4 การแปลงทางเรขาคณิต เฉลย

วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 3 การแปลงทางเรขาคณิต ............................เฉลย.................................... ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน.................................................................. สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษา.................................. ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์ เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา …………..

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 1 บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต เป็นการเปลี่ยนตำแหน่งของรูปเรขาคณิต ทั้งนี้ลักษณะและขนาดของรูปยังคงเดิม การเปลี่ยนตำแหน่งของรูปเรขาคณิตในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้นนี้เป็นการเปลี่ยนตำแหน่งของรูปเรขาคณิตโดยการเลื่อน ขนาน การสะท้อน และการหมุน ตัวอย่าง การแปลงที่เป็นการเลื่อนขนาน การแปลงที่เป็นการสะท้อน การแปลงที่เป็นการหมุน

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 2 1.การเลื่อนขนาน (Translation) การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเส้นตรงในทิศทาง เดียวกันและเป็นระยะทางเท่ากันตามที่กำหนด วิธีการสร้างรูปที่ได้จากการเลื่อนขนาน ให้นำคู่อันดับของจุดต่างๆของรูปมาบวกกับระยะของการเลื่อน y x โดยนำระยะเลื่อนแกน x บวกกับคู่ อันดับตัวหน้า และนำระยะเลื่อนแกน y บวกกับคู่อันดับตัวหลัง ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดอยู่ที่ A(2,5) B(1,3) C(3,3) จงเขียนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานรูป สามเหลี่ยมนี้ โดยมีระยะของการเลื่อนขนานคือ − 2 3 วิธีทำ ให้ A , B และ C เป็นจุดที่ได้จากการเลื่อนขนานจุด A, B และ C ตามลำดับ จะได้พิกัดขอจุด A คือ (3 2, 2 5 5,3 + − + =) ( ) B คือ (3 1, 2 3 4,1 + − + =) ( ) C คือ (3 3, 2 3 6,1 + − + =) ( ) X 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Y 6 0 6 7 8 9 A B C A B C ข้อสังเกต ถ้า x เป็นบวก จะเป็นการเลื่อนขนานไปทางขวา ถ้า x เป็นลบจะเลื่อนขนานไปทางซ้าย ถ้า y เป็นบวก จะเป็นการเลื่อนขนานไปด้านบน ถ้า y เป็นลบจะเลื่อนขนานไปด้านล่าง

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 3 สมบัติของการเลื่อนขนาน 1. ภายใต้การเลื่อนขนานไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างและขนาดของรูปต้นแบบ 2. จุดแต่ละจุดที่สมนัยกันของรูปต้นแบบกับรูปที่เกิดหลังจากการเลื่อนขนาน มีระยะห่างเท่ากัน 3. รูปที่ได้จากการเลื่อนขนานกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ ตัวอย่างที่ 2 จงหาพิกัดของจุด A , B ,C , D ที่ได้จากการเลื่อนขนานรูปสี่เหลี่ยม ABCD ซึ่งมีจุดยอดที่ A(− 2,5), B(3,1), C(4,4) และ D(0,3) เป็นระยะ 2 4 วิธีทำ เลื่อนขนานรูปเป็นระยะ 2 4 คือเลื่อนไปตามแกน X ทางขวามือ 4 หน่วย เลื่อนไปตามแกน Y ขึ้นด้านบน 2 หน่วย จุด A(− 2,5) เลื่อนเป็น จุด A (4 2, 2 5 2, 7 − + =) ( ) จุด B(3,1) เลื่อนเป็น จุด B (4 3, 2 1 7,3 + + =) ( ) จุด C(4,4) เลื่อนเป็น จุด C (4 4, 2 4 8,6 + + =) ( ) จุด D(0,3) เลื่อนเป็น จุด D (4 0, 2 3 4,5 + + =) ( ) ตัวอย่างที่ 3 กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปต้นแบบ โดยมีพิกัดของ A, B และ C เป็น (6,5),(6,3) และ (9,3) ตามลำดับ ถ้าเลื่อนขนานจุด A ไปอยู่ทีตำแหน่ง (1,3) จงหาพิกัดของจุด B และ C ตำแหน่งใหม่ วิธีทำ จากตำแหน่ง A(6,5) เลื่อนไปที่ (1,3) แสดงว่าเลื่อนไปตามแกน X ทางซ้าย 5 หน่วย เลื่อนลงตามแกน Y 2 หน่วย ดังนั้น พิกัดใหม่ของ B คือ (1,1) พิกัดใหม่ของ C คือ (4,1) 3 A B C A B C X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 5 6 0

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 4 แบบฝึกหัดที่ 1 เรื่องการเลื่อนขนาน 1. จากรูปที่กำหนดให้ จงตอบคำถามต่อไปนี้ 1) รูปสามเหลี่ยมคู่ใดที่อาจเกิดจากการเลื่อนขนานด้วย PQ โดยมีรูปสามเหลี่ยมรูปใดเป็นรูปต้นแบบและรูป สามเหลี่ยมรูปใดเป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน ตอบ รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 3 เป็นรูปต้นแบบ รูปสามเหลี่ยมรูป 5 เป็นรูปที่ได้จากการเลื่อนขนาน 2) ถ้าให้รูปสามเหลี่ยมรูป 4 เป็นรูปต้นแบบและรูปสามเหลี่ยม 3 รูปเป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน เวกเตอร์ที่ใช้ใน การเลื่อนขนานมีลักษณะอย่างไร ตอบ เวกเตอร์ที่มีทิศทางขึ้นไปตามแนวตั้ง 6 หน่วย 3) ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูป 2 เป็นรูปต้นแบบ แล้วเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ที่มีทิศทางไปทางขวาตามแนวนอนอ 6 หน่วย ภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานคือรูปสามเหลี่ยมรูปใด ตอบ ไม่มีรูปสามเหลี่ยมที่เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานรูปสามเหลี่ยมรูป 2 ด้วยเวกเตอร์ที่มีทิศทางไปทางขาว ตามแนวนอน 6 หน่วย 4) ถ้าเวกเตอร์ใช้ในการเลื่อนขนานมีทิศทางไปทางซ้ายตามแนวนอน 8 หน่วย และขึ้นไปตามแนวตั้ง 6 หน่วย โดยมี รูปสามเหลี่ยมรูป 1 เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน แล้วรูปสามเหลี่ยมรูปใดเป็นรูปต้นแบบ ตอบ รูปสามเหลี่ยมรูป 4 เป็นรูปต้นแบบ 2. กำหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD,PQ, RS และ TU จงเขียนภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้วย PQ, RS และ TU

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 5 3. จงอธิบายลักษณะของเวกเตอร์ที่ใช้ในการเลื่อนขนานรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2) 4. กำหนด PQRS มีจุด P(4,4) จุด Q(1,2), จุด R(4,1) และ จุด S(5,2) เป็นจุดยอด จงหาพิกัดของจุดยอดของ ภาพรูปสี่เหลี่ยมที่ได้จากการเลื่อนขนาน PQRS ด้วย MN ตอบ เวกเตอร์มีทิศทางไปทางซ้ายตามแนวนอน 5 หน่วย และลงไปตามแนวตั้ง 3 หน่วย หรือเวกเตอร์มีทิศทางลงไป ตามแนวตั้ง 3 หน่วย และไปทางซ้ายตามแนวนอน 5 หน่วย ตอบ เวกเตอร์ที่มีทิศทางไปทางขวาตามแนวนอน 5 หน่วย และลงไปตามแนวตั้ง 1 หน่วย หรือเวกเตอร์มีทิศทางลงไป ตามแนวตั้ง 1 หน่วย และไปทางขวาตามแนวนอน 5 หน่วย ตอบ 1. จากจุด P(4, 4) เลื่อนจุด P ไปทางซ้าย ตามแนวแกน X 6 หน่วย และเลื่อนลงไปตาม แนวแกน Y 3 หน่วย จะได้จุด P เป็นภาพที่ได้จาก การเลื่อนขนานจุด P และมีพิกัดเป็น (−2,1) 2. เลื่อนจุด Q R (1, 2 , 4,1 ) ( ) และ S (5, 2) ใน ทำนองเดียวกันกับเลื่อนจุด P จะได้จุด Q R , และ S มีพิกัดเป็น (− − − − 5, 1 , 2, 2 ) ( ) และ (− − 1, 1) ตามลำดับ นั่นคือ จุด P Q R (− − − − − 2,1 , 5, 1 , 2, 2 ) ( ) ( ) และ S(− − 1, 1) เป็นพิกัดของจุดยอดของภาพรูป สี่เหลี่ยมที่ได้จากการเลื่อนขนาน PQRS ด้วย MN

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 6 5.กำหนด ABCD เป็นรูปต้นแบบ ABCD เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน ABCD ซึ่งมีจุด A(5,−3) เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานจุด A จงหาพิกัดของจุด B , C และ D 6. รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGHI เป็นเส้นรอบรูปของอาคารแสดงสินค้าที่มองจากด้านข้าง สถาปนิกต้องการส่งภาพนี้ไป ยังผู้สร้างด้วยคอมพิวเตอร์ เพื่อหลีกเลี่ยงจำนวนลบที่ปรากฏในพิกัด เขาจึงเลื่อนขนานรูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGHI ให้ จุด A ไปยังจุดกำเนิด ดังรูป ตอบ เนื่องจาก เลื่อนจุด A ไปที่จุดกำเนิด ดังนั้นทุกจุดบนรูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGHI ต้องเลื่อนไปทางขาวตาม แนวนอน 80 หน่วย และเลื่อนขึ้นไปตามแนวตั้ง 33 หน่วย นั่นคือ พิกัดที่หนึ่ง ( x) ของทุกจุดต้องบวกด้วย 80 และพิกัดที่สอง ( y) ของทุกจุดต้องบวกด้วย 33 จะได้พิกัดดังนี้ B C D E F G H (160,0 , 135, 23 , 142,68 , 120, 43 , 80,68 , 40, 43 , 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8,68) และ I(25, 23) ตอบ เลื่อนจุด C(−2, 7) และ D(1,3) ในทำนองเดียวกันกับเลื่อนจุด B จะได้จุด C และ D มีพิกัดเป็น (7, 2) และ (10, 2− ) ตามลำดับ นั่นคือจุด B C , และ D มีพิกัดเป็น (1, 1 , − ) (7, 2) และ (10, 2− ) ตามลำดับ

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 7 7. กําหนด AB มีจุด A(2, 2) และจุด B(5,5) เป็นจุดปลาย ถ้า AB เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน AB และมี A(−3, 2) และ B(0,5) เป็นจุดปลาย จงหา 1) พิกัดของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ของการเลื่อนขนาน เมื่อ (1, 5− ) เป็นพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ 2) พิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ของการเลื่อนขนาน เมื่อ ( x y, ) เป็นพิกัดของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ตอบ เนื่องจาก A(−3, 2) เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน จุด A(2, 2) ดังนั้น เวกเตอร์ของการเลื่อนขนานมีทิศทางไปทางซ้าย ตามแนวนอน 5 หน่วย 1) เมื่อ (1, 5− ) เป็นพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ จะได้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์มีพิกัดเป็น (1 5, 5 0 + − + ) หรือ (6, 5− ) 2) เมื่อ ( x y, ) เป็นพิกัดของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ จะได้จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์มีพิกัดเป็น ( x y + − + ( 5 , 0 ) ) หรือ ( x y −5, ) 8. กําหนดจุด A(− − 3, 4) และจุด A เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานจุด A ไปทางซ้ายตามแนวแกน X 8 หน่วย แล้วขึ้นไปตามแนวแกน Y 6 หน่วย จงหาพิกัดของจุด A และระยะห่างระหว่างจุด A กับจุด A ตอบ เนื่องจากเลื่อนขนานจุด A(− − 3, 4) ไปทางซ้ายตามแนวแกน X 8 หน่วย แล้วขึ้นไปตามแนวแกน Y 6 หน่วย จะได้พิกัดของจุด A คือ (−11, 2) พิจารณาระยะ AA จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ 2 2 2 2 2 8 6 100 AA AC CA = + = + = ดังนั้น AA =10 นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุด A กับจุด A เท่ากับ 10 หน่วย 9. จงใช้การเลื่อนขนานในการหาพื้นที่โดยประมาณของรูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) 2) พื้นที่โดยประมาณของรูปเป็น 3 15 15 = ตารางเซนติเมตร พื้นที่โดยประมาณของรูปเป็น 3 4 12 = ตารางเซนติเมตร

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 8 2. การสะท้อน (Reflection) การสะท้อนรูปต้นแบบแบบข้ามเส้นสะท้อน เป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูป ต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปที่เกิดจากการสะท้อน (Reflection) โดยผ่านเส้นสะท้อน รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและมี รูปร่างเหมือนกับรูปต้นแบบ รูปที่เกิดจากการสะท้อนและรูปต้นแบบจะมีระยะห่างจากเส้นสะท้อนเท่ากัน โดยเส้นสะท้อน จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับแนวทางของการสะท้อน วิธีการสร้างรูปที่เกิดจากการสะท้อน วาดรูปต้นแบบไว้ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นสะท้อนตามกำหนด ถ้าเส้นสะท้อนเป็นแกน Y ให้เปลี่ยนเครื่องหมายของ พิกัดของคู่อันดับตัวหน้าเป็นเครื่องหมายตรงข้าม ส่วนคู่อันดับตัวหลังคงไว้เหมือนเดิม แต่ถ้าเส้นสะท้อนเป็นแกน X ให้ เปลี่ยนเครื่องหมายของพิกัดของคู่อันดับตัวหลังเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม ส่วนคู่อันดับตัวหน้าคงไว้เหมือนเดิม คู่อันดับใหม่ที่ได้จะเป็นจุดต่างๆ ของรูปที่เกิดจากการสะท้อน สมบัติของการสะท้อน 1. จุดบนเส้นสะท้อนเป็นจุดคงที่ ไม่มีการสะท้อน 2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับแนวทางของการสะท้อน 3. รูปที่เกิดจากการสะท้อนกับรูปต้นแบบห่างจากเส้นสะท้อนเท่ากัน 4. รูปที่เกิดจากการสะท้อนกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ 5. จุดแต่ละจุดของรูปที่เกิดจากการสะท้อนกับจุดแต่ละจุดของรูปต้นแบบจะมีระยะห่างจากเส้นสะท้อนเท่ากัน รูปต้นแบบ เส้นสะท้อน ภาพที่ได้จากการเส้นสะท้อน แกนของการสะท้อน

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 9 ตัวย่างที่ 4 กำหนดรูปต้นแบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดมุมที่ (1,5),(5,4), (4,2) และ (0,2) จงวาดรูปต้นแบบและรูปที่เกิด จากการสะท้อนที่มีแกน X เป็นเส้นสะท้อน วิธีทำ เนื่องจากรูปต้นแบบจุดมุมที่ (1,5),(5,4), (4,2) และ (0,2) เมื่อทำการสะท้อนรูปต้นแบบข้ามแกน X จะได้รูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดมุมที่ (1, 5 , 5, 4 , 4, 2 − − − ) ( ) ( ) และ (0, 2− ) ดังรูป 0 1 2 3 4 5 6 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 (1,5) (5, 4) (4, 2) (0, 2) (0, 2− ) (4, 2− ) (5, 4− ) (1, 5− ) Y

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 10 ตัวอย่างที่ 5 กำหนดรูปต้นแบบเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มุดมุมอยู่ที่ (1,1), (2,4) และ (5,3) จงวาดรูปต้นแบบและรูปที่เกิด จากการสะท้อนที่มีแกน X และแกน Y เป็นเส้นสะท้อน วิธีทำ เนื่องจากรูปต้นแบบจุดมุมที่ (1,1), (2,4) และ (5,3) เนื่องจากสะท้อนข้ามแกน X จะได้รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมที่ (1, 1 , 2, 4 − − ) ( ) และ (5, 3− ) เนื่องจากสะท้อนข้ามแกน Y จะได้รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมที่ (− − 1,1 , 2, 4 ) ( ) และ (−5,3) Y X 3 1 2 3 4 5 6 1 2 4 5 6 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 (2, 4) (5,3) (1,1) (−2, 4) (−5,3) (−1,1) (5, 3− ) (1, 1− ) (2, 4− )

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 11 ตัวอย่างที่ 6 กำหนด ABC และให้เส้นตรง l เป็นเส้นสะท้อน ซึ่งมีสมการเป็น y = x จงหา 1) พิกัดของจุด A , B และ C ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนจุด A, B และ C 2) ABC ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ABC วิธีทำ 1) จากสมบัติของการสะท้อน จุดที่สมนัยกันแต่ละคู่จะอยู่ห่าง จากเส้นตรง จากรูป จุด A มีพิกัดเป็น (3,1) จุด B มีพิกัดเป็น (−2, 0) และ จุด C มีพิกัดเป็น (−3,3) จะได้ จุด A มีพิกัดเป็น (1,3) จุด B มีพิกัดเป็น (0, 2− ) จุด C มีพิกัดเป็น (3, 3− ) 2) ลาก A B B C , และ CA จะได้ ABC เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ABC ด้วยเส้นสะท้อน l ซึ่งมีสมการเป็น y x = ตัวอย่างการประยุกต์ของการสะท้อน

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 12 แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงหาเส้นสะท้อนของการสะท้อนในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2) 3) 4) 2. จงเขียนภาพหรือข้อความที่ได้จากการสะท้อนในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) กำหนดให้ DE เป็นเส้นสะท้อน 2) กำหนดให้ KL เป็นเส้นสะท้อน

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 13 3. กำหนดเส้นตรง l เป็นเส้นสะท้อน จงหาภาพที่ได้จากการสะท้อน ABCD ในแต่ละข้อต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาพิกัดของ จุดยอดของภาพนั้น 1) 2) 3) 4) จะได้ A B C D เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ABCD และมีพิกัดของจุดยอดดังนี้ A B C (− − − − 3, 4 , 5,1 , 3, 1 ) ( ) ( ) และ D(−1,1) จะได้ A B C D เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ABCD และมีพิกัดของจุดยอดดังนี้ A B C (− − − − 3, 4 , 1, 5 , 2, 3 ) ( ) ( ) และ D(− − 1, 2) จะได้ A B C D เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ABCD และมีพิกัดของจุดยอดดังนี้ A B C (1, 4 , 1, 2 , 3,0 − − − ) ( ) ( ) และ D(3, 3− ) จะได้ A B C D เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ABCD และมีพิกัดของจุดยอดดังนี้ A B C (4, 2 , 3,1 , 1, 2 − ) ( ) ( ) และ D(2, 1− )

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 14 3. การหมุน (Rotation) การหมุน (Rotation) เป็นการแปลงที่เกิดจากการจับคู่ระหว่างจุดบนรูปต้นแบบกับรูปที่เกิดจากการหมุน การหมุนต้องมีจุดหมุนซึ่งเป็นจุดคงที่ โดยหมุนรูปต้นแบบรอบจุดหมุนเป็นมุมต่างๆเช่น 30 องศา, 45 องศา, 60 องศา, 90 องศา การหมุนเกิดได้สองทิศทาง คือ ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาหรือทิศทางตามเข็มนาฬิกา จุดหมุนจะอยู่นอกรูปต้นแบบ หรืออยู่รูปต้นแบบก็ได้ ในทางคณิตศาสตร์การหมุนเป็นการแปลงทางเรขาคณิตอีกแบบหนึ่งซึ่งกําหนดไว้ดังนี้ การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเป็น จุดหมุน หรือ จุดศูนย์กลางของการ หมุน (center of rotation) แต่ละจุด P บนระนาบ มีจุด P เป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทาง ที่กําหนดด้วย มุมที่มีขนาด k องศา โดยที่ OP OP = 1. รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุน สามารถทับกันได้สนิทโดยไม่ต้องพลิกรูป หรือกล่าวว่ารูปต้นแบบและภาพที่ ได้จากการหมุนเท่ากันทุกประการ 2. จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนจุดนั้น จะอยู่บนวงกลมเดียวกันที่มีจุดหมุนเป็นจุดศูนย์กลาง แต่วงกลมทั้งหลายเหล่านี้ไม่จําเป็นต้องมีรัศมียาวเท่ากัน 3. เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนจุดนั้น จะผ่านจุดหมุนเสมอ

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 15 การหมุนรูปบนระนาบ จุดหมุนอาจอยู่ภายนอกรูปต้นแบบหรือไม่อยู่ภายนอกรูปต้นแบบก็ได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 7 กำหนด ABC เป็นรูปต้นแบบ จุด P เป็นจุดหมุน จงหา ABC ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC ทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุมที่มีขนาด k องศา วิธีทำ จุดหมุน M อยู่ภายนอกรูปต้นแบบ จุดหมุน O อยู่ภายในรูปต้นแบบ แนวคิด สร้าง ˆ ˆ APA BPB , และ CPC ˆ ทวนเข็มนาฬิกาให้มีขนาด k องศา และให้ PA PA PB PB = = , และ PC PC =

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 16 1. ลาก PA แล้วสร้าง APE ˆ ให้มีขนาด k องศา ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาและใช้จุด P เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี PA เขียนส่วนโค้งตัด PE ที่จุด A 2. ลาก PB แล้วสร้าง BPF ˆ ให้มีขนาด k องศา ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาและใช้จุด P เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี PB เขียนส่วนโค้งตัด PF ที่จุด B 3. ลาก PC แล้วสร้าง CPG ˆ ให้มีขนาด k องศา ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาและใช้จุด P เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี PC เขียนส่วนโค้งตัด PG ที่จุด C 4. ลาก A B B C , และ CA จะได้ ABC เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC ทวนเข็มนาฬิการอบจุด P ด้วยมุมที่มีขนาด k องศา ตัวอย่างที่ 8 รูปต่อไปนี้เป็นภาพที่ได้จากการแปลงทางเรขาคณิตซึ่งเท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ ABC รูปใดเป็น ภาพที่ได้จากการหมุน ABC เพราะเหตุใด วิธีทำ พิจารณา ABC กับรูปสามเหลี่ยมรูป 1 ➢ ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุดยอดคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ ➢ สร้างเส้นตรงแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่าง จุดยอดคู่ที่สมนัยกันทุกเส้น จะพบว่า เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากที่สร้างนั้นตัดกันที่จุด M เพียงจุดเดียว ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมรูป 1 เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC โดยมีจุด M เป็นจุดหมุนเพียงจุดเดียว พิจารณา ABC กับรูปสามเหลี่ยมรูป 2 ในกรณีนี้ จะเห็นได้ชัดว่ารูปทั้งสองนี้ไม่สามารถนําไปทับกันได้สนิท โดยไม่ต้องพลิกรูป ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมรูป 2 จึงไม่เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC แนวคิด เนื่องจากโจทย์กําหนดให้รูปทุกรูป เท่ากันทุกประการแล้ว ถ้าเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและ ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอด คู่ที่สมนัยกันของ ABC และ ABC ตัดกัน ที่จุดเดียว ก็เพียงพอที่จะกล่าวได้ว่า ABC เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 17 พิจารณา ABC กับรูปสามเหลี่ยมรูป 3 ➢ ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุดยอดคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ ➢ สร้างเส้นตรงแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อม ระหว่างจุดยอดคู่ที่สมนัยกันทุกเส้น จะพบว่า เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากที่สร้างนั้น ไม่ตัดกัน ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมรูป 3 จึงไม่เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC ตัวอย่างที่ 9 กําหนดให้จุด A เป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด A(2,3) รอบจุดกําเนิด O จงหาพิกัดของจุด A เมื่อกําหนด ขนาดของมุมและทิศทางที่ใช้ในการหมุนดังนี้ 1) 90° ตามเข็มนาฬิกา 2) 90° ทวนเข็มนาฬิกา 3) 180° ทวนเข็มนาฬิกา วิธีทำ วิธีสร้างรูปจากการหมุน เปลี่ยนคู่อันดับของพิกัด (สำหรับการหมุนรูปรอบจุดกำเนิด) 1. กรณีหมุน o 90 ตามเข็มนาฬิกา ให้สลับที่คู่อันดับของพิกัดระหว่างคู่อันดับตัวหน้ากับคู่อันดับตัวหลัง แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายของคู่ อันดับตัวหลังเป็นตรงข้าม พิกัดที่ได้จะเป็นพิกัดที่เกิดจากการหมุนลูก 2. กรณีหมุน o 90 ทวนเข็มนาฬิกา ให้สลับคู่อันดับของพิกัดระหว่างคู่อันดับตัวหน้ากับคู่ดับตัวหลัง แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายของคู่อันดับตัว หน้าเป็นตรงข้าม พิกัดที่ได้จะเป็นพิกัดที่เกิดจากการหมุนรูป 3. กรณีหมุน o 180 ทั้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา ไม่ต้องสลับที่คู่ดับของพิกัดให้คงเดิมไว้ แต่จะเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งของพิกัดต่างๆให้เป็นเครื่องหมาย ตรงกันข้าม พิกัดที่ได้จะเป็นพิกัดที่เกิดจากการหมุนรูป 1) พิกัดของจุด A ที่เกิดจากการหมุนจุด ด้วยมุม 90° ตามเข็มนาฬิกา คือ (3, 2− ) 2) พิกัดของจุด A ที่เกิดจากการหมุนจุด A ด้วยมุม 90° ทวนเข็มนาฬิกา คือ (−3, 2) 3) พิกัดของจุด A ที่เกิดจากการหมุนจุด A ด้วยมุม 180° ทวนเข็มนาฬิกา คือ (− − 2, 3)

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 18 ตัวอย่างที่10 กำหนดรูปต้นแบบเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมที่จุด (2,2), (3,5) และ (6,3) 1. จงวาดรูปสามเหลี่ยมต้นแบบ 2. จงวาดรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการหมุนรูปสามเหลี่ยมต้นแบบตามเข็มนาฬิกา o 90 โดยที่จุด (0,0) เป็นจุดหมุน 3. จงวาดรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการหมุนรูปสามเหลี่ยมต้นแบบทวนเข็มนาฬิกา o 90 องศาโดยมีจุด (0,0) เป็นจุดหมุน 4. จงวาดรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการหมุนรูปสามเหลี่ยมต้นแบบตามเข็มนาฬิกา o 180 โดยจุด (0,0) เป็นจุดหมุน วิธีทำ Y 6 5 (2, 2− ) 4 (5, 3− ) 3 2 1 (2, 2) -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3 -4 -5 -8 -7 -6 -1 -2 -3 -4 (3, 6− ) -5 X 7 8 9 10 -6 -10 -9 (6,3) (3,5) (−3,6) (−5,3) (−2, 2) (− − 2, 2) (− − 6, 3) (− − 3, 5) รูปต้นแบบ ตามเข็ม 90 องศา ตามเข็ม 180 องศา ทวนเข็ม 90 องศา

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 19 ตัวอย่างที่ 11 กำหนดรูปต้นแบบเป็นส่วนของเส้นตรงซึ้งมีจุดปลายอยู่ที่ (3,4) และ (6,2) จงวาดรูปที่เกิดจากการหมุน ส่วนของเส้นตรงดังกล่าวทวนเข็มนาฬิกา o 90 รอบจุด (1,1) วิธีทำ ขั้นที่ 1 วาดรูปส่วนของเส้นตรงดังกล่าวและจุดหมุน ขั้นที่ 2 เลื่อนแกน เพื่อนให้จุดหมันเปลี่ยนเป็นจุด (0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 5 4 3 2 1 X 0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 (2,3) (5,1) -1 6 5 4 3 2 1 -8 -7 -6 -4 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -5 -3 X -10 -9 7 8 9 10 7 Y (3, 4) (6, 2) Y

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 20 ขั้นที่ 3 หมุนส่วนของเส้นตรงดังกล่าวทวนเข็มนาฬิกา o 90 ขั้นที่ 4 เลื่อนแกนเพื่อให้จุดหมุนเปลี่ยนเป็นจุด (1,1) ดังเดิม -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10 6 2 1 7 5 4 3 (0, 6) (−2,3) 1 X 2 3 4 6 6 2 1 5 -1 0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 8 9 7 10 (5,1) Y -1 X 1 2 3 4 5 6 5 4 3 (2,3) (−1,5) (−3, 2) 7 8 9 10 Y

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 21 แบบฝึกหัดที่ 3 เรื่องการหมุน 1. จงหาพิกัดของจุดที่เกิดจากการหมุนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ โดยมีจุด (0,0) เป็นจุดหมุน หมุน o 90 ตามเข็มนาฬิกา หมุน o 90 ทวนเข็มนาฬิกา หมุน o 180 ตามเข็มนาฬิกา 1) (1,2) (2, 1− ) (−2,1) (− − 1, 2) 2) (8,2) (2, 8− ) (−2,8) (− − 8, 2) 3) (− 4,6) (6, 4) (− − 6, 4) (4, 6− ) 4) (− 2,8) (8, 2) (− − 8, 2) (2, 8− ) 5) (− 3,−6) (−6,3) (6, 3− ) (3, 6) 6) (− 9,−5) (−5,9) (5, 9− ) (9,5) 7) (3,−5) (− − 5, 3) (5,3) (−3,5) 8) (1,−7) (− − 7, 1) (7,1) (−1,7) 2. จากรูปที่กำหนดให้ จงเขียนรูปที่เกิดจากการหมุนในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) หมุนตามเข็มนาฬิกา o 90 รอบจุด (0,0) 2) หมุนทวนเข็มนาฬิกา o 90 รอบจุด (0,0) 3) หมุนตามเข็มนาฬิกา o 180 รอบจุด (0,0) 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3 -4 -5 -8 -7 -6 -1 -2 -3 -4 -5 7 8 9 10 -6 -10 -9 Y X รูปต้นแบบ ตามเข็มนาฬิกา 90 องศา ทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา ตามเข็มนาฬิกา 180 องศา (3,5) (6, 4) (6, 2) (2,1) (−2, 6) (−4, 6) (−5,3) (−1, 2) (− − 2, 1) (− − 6, 2) (− − 6, 4) (− − 3, 5) (1, 2− ) (5, 3− ) (4, 6− ) (2, 6− )

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 22 4. จงหาภาพที่ได้จากการหมุนรูปต่อไปนี้ รอบจุด P ด้วยมุมที่กำหนด 1) 90o ตามเข็มนาฬิกา 2) 45o ทวนเข็มนาฬิกา 3) 180o ตามเข็มนาฬิกา 4) 60o ตามเข็มนาฬิกา 5. กำหนดให้ ABC เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC จงหาจุดหมุนในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2) 3) 4)

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 23 6. จากรูป เมื่อกำหนดให้จุด O เป็นจุดหมุน ตัวอักษร F ที่อยู่ทางขวาของจุด O เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ตัวอักษร F ที่อยู่ทางซ้ายของจุด O หรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ ไม่เป็น เพราะไม่สามารถหมุนตัวอักษร F ที่อยู่ทางซ้ายของจุด O ไปทับตัวอักษร F ที่อยู่ทางขวาของจุด O ได้สนิทโดยไม่ต้องพลิกรูป 7. จากรูปที่กำหนดให้ บริเวณที่แรเงามีพื้นที่ประมาณกี่ตารางหน่วย 1) 2) 3) 4) 8 ตารางหน่วย 1 ตารางหน่วย 4 ตารางหน่วย 5 ตารางหน่วย

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 24 แบบทดสอบท้ายบทเรื่องการแปลงทางเรขาคณิต จงตอบคำถามต่อไปนี้ให้ถูกต้อง 1. ถ้าเลื่อนขนานจุด (1,5) เป็นระยะ 2 5 − พิกัดของจุด ใหม่ตรงกับข้อใด ก. (3,10) ข. (3, 0) ค. (−1,10) ง. (−1,0) 2. ถ้าเลื่อนขนานจุด (3, 4) เป็นระยะ 8 5 จะได้พิกัดของ จุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (11,9) ข. (11, 1− ) ค. (−5,9) ง. (− − 5, 1) 3. ถ้าสะท้อนจุด (−3,5) โดยมีแกน X เป็นเส้นสะท้อน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (3,5) ข. (3, 5− ) ค. (− − 3, 5) ง. ถูกทุกข้อ 4. ถ้าสะท้อนจุด (4,5) โดยมีเส้นตรง y = 1 เป็นเส้น สะท้อน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (−4,5) ข. (4, 5− ) ค. (4, 3− ) ง. (−2,5) 5. ถ้าหมุนจุด (3,9) ตามเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (−9,3) ข. (− − 9, 3) ค. (9,3) ง. (− − 3, 9) 6. ถ้าหมุนจุด (−5, 2) ตามเข็มนาฬิกา 180o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (5, 2− ) ข. (2,5) ค. (− − 2, 5) ง. (−2,5) 7. ถ้าหมุนจุด (5,9) ทวนเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (− − 5, 9) ข. (−5,9) ค. (9, 5− ) ง. (−9,5) 8. ถ้าหมุนจุด (2, 6) ตามเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุน และสะท้อนข้ามแกน X จะได้พิกัด ของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (6, 2) ข. (−6, 2) ค. (6, 2− ) ง. (− − 6, 2) 9. สะท้อนจุด (6, 7) โดยมีแกน Y เป็นเส้นสะท้อน แล้วเลื่อนขนานเป็นระยะ 10 2 − จะได้พิกัดของจุดใหม่ ตรงกับข้อใด ก. (−6, 7) ข. (6, 7− ) ค. (4,5) ง. (− − 4, 5) 10. ถ้าเลือนขนานจุด (−5,6) เป็นระยะ 12 5 − เเล้วหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุด หมุนจะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (1,7) ข. (−1,7) ค. (7, 1− ) ง. (− − 1, 7) 11. ถ้าสะท้อนจุด (4, 4) โดยมีแกน Y เป็นเส้นสะท้อน แล้วหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็น จุดหมุน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (4, 4) ข. (−4, 4) ค. (4, 4− ) ง. (− − 4, 4) 12. ถ้าเลื่อนขนานจุด (0,3) เป็นระยะ 12 5 − แล้วหมุน ทวนเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (5, 4) ข. (−5, 4) ค. (5, 4− ) ง. (− − 5, 4) 13. ถ้าสะท้อนจุด (−3, 4) โดยมีแกน X เป็นเส้นสะท้อน แล้วหมุนทวนเข็มนาฬิกา 180o โดยมีจุด (1,0) เป็น จุดหมุน จะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (3, 4) ข. (− − 4, 3) ค. (4, 4) ง. (5, 4)

บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต 2 14. ถ้าเลือนขนานจุด (− − 5, 6) เป็นระยะ 4 8 แล้วหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 2− ) เป็นจุดหมุนจะได้พิกัดของจุดใหม่ตรงกับข้อใด ก. (2,1) ข. (4,3) ค. (4, 1− ) ง. (8, 6) 15. ถ้าเลื่อนขนานจุด (− − 4, 1) เป็นระยะ 7 7 แล้วสะท้อนด้วยเส้นตรง y = 4 จะได้พิกัดของจุดใหม่ ตรงกับข้อใด ก. (2,1) ข. (4,3) ค. (4, 1− ) ง. (8, 6) 16. ถ้าเลื่อนขนานจุด (4, 4) เป็นระยะ 7 7 แล้วหมุน ตามเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุนจะได้ว่า จุดแรกและจุดสุดท้ายอยู่ห่างกันเท่าไร ก. 23 หน่วย ข. 25 หน่วย ค. 27 หน่วย ง. 29 หน่วย 17. ถ้าสะท้อนจุด (−3, 4) โดยมีเส้นตรง x =1 เป็นเส้น สะท้อน แล้วหมุนตามเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็นจุดหมุน จะได้ว่าจุดแรกและจุดสุดท้ายอยู่ห่างกันเท่าไร ก. 110 หน่วย ข. 120 หน่วย ค. 130 หน่วย ง. 140 หน่วย 18. ถ้าสะท้อนจุด (−6, 4) โดยมีแกน Y เป็นเส้นสะท้อน แล้วหมุนตามเข็มนาฬิกา 90o โดยมีจุด (0, 0) เป็น จุดหมุน ถ้าลากเส้นเชื่อมทั้งสามจุดที่กล่าวถึง จะได้รูป สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่าไร ก. 56 ตารางหน่วย ข. 60 ตารางหน่วย ค. 64 ตารางหน่วย ง. 68 ตารางหน่วย 19. ถ้าเลื่อนขนานจุด (4,9) ไปเป็นจุด (8,3) จงหาว่า เป็นการเลื่อนขนานไปในทิศทางใด เป็นระยะเท่าไร ก. เลื่อนขึ้น 6 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 4 หน่วย ข. เลื่อนขึ้น 6 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 4 หน่วย ค. เลื่อนลง 6 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 4 หน่วย ง. เลือนลง 6 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 4 หน่วย 20. ถ้าสะท้นจุด (5,10) ไปเป็นจุด (5, 0) จงหาว่าใช้ เส้นตรงใดเป็นเส้นสะท้อน ก. แกน X ข. แกน Y ค. เส้นตรง x = 5 ง. เส้นตรง y = 5 25