เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา …………… ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ..................(เฉลย).................... ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน.................................................................. สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษา.................................. ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1 บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก โดยในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด ส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จากรูป สามเหลี่ยม ABC ซึ่งมุม B เป็นมุมฉาก และมีส่วนประกอบต่างๆ ดังนี้ ➢ ด้าน AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ➢ ด้าน BA และ BC เรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ในการทำโจทย์เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้น หากเราทราบความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 ด้าน ก็จะ สามารถหาด้านที่เหลืออีกด้านหนึ่งได้เสมอ 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นิยาม : สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออาจจะสรุปเป็นสมการได้ว่า โดยให้ ด้าน c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้าน a และ b เป็นด้านประกอบมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าโจทย์กำหนดค่า c และ a มาให้ โจทย์ต้องการทราบค่าของ b เราต้องทำการจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น b 2 = c2 - a 2 + ข้อสังเกต ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด จากภาพ จะได้ว่า พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูป c = พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูป a + พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูป b c 2 = a2 + b2
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 2 หรือ ถ้าโจทย์กำหนดค่า c และ b มาให้โจทย์ต้องการทราบค่าของ a เราต้องทำการจัดรูปการใหม่ได้เป็น ตัวอย่างที่ 1 จากรูปจงหาความยาวของด้านที่เหลือ วิธีทำ จากสูตร 2 2 2 c = a + b จะได้ 2 2 2 25 = a + 7 24 576 576 625 49 2 2 2 2 = = = = − a a a a ดังนั้น ด้านที่เหลือยาวคือ 24 หน่วย ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AB x = +10 หน่วย, AC = 20 หน่วย และ BC = x หน่วย จงหาว่า x มีค่าเท่าไร วิธีทำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส 2 2 2 c = a + b จะได้ 2 2 2 (x +10) = x +20 20 100 400 2 2 x + x + = x + 300 = 20x 20 300 x = x = 15 ดังนั้น x = 15 หน่วย a 2 = c2 - b 2
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3 ตัวอย่างที่ 3 โครงสร้างหลังคาหน้าจั่วมีส่วนประกอบดังภาพ ถ้าจันทันของโครงหลังคาบ้านหลังหนึ่งยาว 4.6 เมตร ดั้งยาว 1.6 เมตร และขื่อยาว 6 เมตร ชายคาจะมีความยาวเท่าใด วิธีทำ เนื่องจาก CA = 4.6 เมตร CE =1.6 เมตร DF = 6 เมตร ตัดแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับขื่อ จึงได้ว่า DE = EF = 3 เมตร เนื่องจาก CDE เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี CE ˆ D เป็นมุมฉาก จะได้ 2 2 2 CD = DE + EC 3.4 11.56 9 2.56 3 1.6 2 2 = = = + = + CD เนื่องจาก DA = CA−CD 1.2 4.6 3.4 = = − ดังนั้น ชายคามีความยาว 1.2 เมตร ตอบ 1.2 เมตร ตัวอย่างที่ 4 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มี AB = 12 เซนติเมตร BC = 9 เซนติเมตร และ AF = 8 เซนติเมตร ดังรูป จงหาความยาวของ AH จากภาพ CA และ CB เป็นความยาวของจันทัน AD และ BF เป็นความยาวของชายคา DF เป็นความยาวของขื่น CE เป็นความยาวของดั้ง (ดั้งจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับขื่อ) CDF เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งส่วนนี้ของหลังคาเรียก หน้าจั่ว วิธีทำ เนื่องจาก ACH เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี AC ˆ H เป็นมุมฉาก ดังนั้น 2 2 2 AH = AC + CH หา 2 AC จาก ABC เนื่องจาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี AB ˆ C เป็นมุมฉาก ดังนั้น 12 9 225 2 2 2 2 2 = + = AC = AB + BC จะได้ 2 2 AH = 225 + CH 17 225 8 289 2 = = + = AH ดังนั้น AH ยาก 17 เซนติเมตร ตอบ 17 เซนติเมตร
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 4 แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2) ตอบ 2 2 2 x = y + z ตอบ 2 2 2 f = h + g 3) 4) ตอบ 2 2 2 s = r + t ตอบ 2 2 2 p = q + r 2. จำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 1) 9 และ 12 แนวคิด 9 12 225 2 2 2 c = + = c = 15 2) 20 และ 21 แนวคิด 20 21 841 2 2 2 c = + = c = 29 3) 3 และ 1.25 แนวคิด 3 (1.25) 10.5625 2 2 2 c = + = c = 3.25 4) 0.8 และ 1.5 แนวคิด (0.8) (1.5) 2.89 2 2 2 c = + = c =1.7 5) 5 2 2 และ 7 แนวคิด 49 54.76 5 12 7 5 2 2 2 2 2 2 + = + = c = c = 7.4 6) 2.4 และ 2 1 4 แนวคิด ( ) 26.01 2 9 5.76 2 1 2.4 4 2 2 2 2 = = + c = + c = 5.1
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 5 3. สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาความยาวของด้านที่เหลือ 1) แนวคิด 2 2 2 c = a + b ( ) 0.5 (0.3) 0.4 0.25 2 2 2 = = + = c c ตอบ 0.5 หน่วย 2) แนวคิด 2 2 2 c = a + b ( ) ( ) ( ) 2 2.9 2.1 4 2.9 (2.1) 2 2 2 2 2 2 = = − = = + b b b ตอบ 2 หน่วย 3) แนวคิด 2 2 2 c = a + b 16 20 12 256 20 12 2 2 2 2 2 2 = = − = = + b b b ตอบ 16 หน่วย 4) แนวคิด 2 2 2 c = a + b ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12.5 3.5 144 12.5 3.5 2 2 2 2 2 2 = = − = = + b b b ตอบ 12 หน่วย 4.สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาความยาวรอบรูป 1) แนวคิด 2 2 2 c = a + b 9 15 12 81 15 12 2 2 2 2 2 2 = = − = = + b b b ความยาวรอบรูปคือ 12 + 9 +15 = 36 ตอบ 36 หน่วย 2) แนวคิด 2 2 2 c = a + b ( ) ( ) 12 92.16 51.84 144 9.6 7.2 2 2 2 2 = = + = = + c c c ความยาวรอบรูปคือ 12 + 7.2 + 9.6 = 28.8 ตอบ 28.8 หน่วย 3) แนวคิด 2 2 2 c = a + b ( ) ( ) ( ) ( ) 1.5 3.9 3.6 2.25 3.9 3.6 2 2 2 2 2 2 = = − = = + b b b ความยาวรอบรูปคือ 1.5 + 3.9 + 3.6 = 9 ตอบ 9 หน่วย 4) แนวคิด 2 2 2 c = a + b ( ) ( ) 4.5 7.29 12.96 20.25 2.7 3.6 2 2 2 2 = = + = = + c c c ความยาวรอบรูปคือ 2.7 + 3.6 + 4.5 =10.8 ตอบ 10.8 หน่วย
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 6 5.จากรูปที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาระยะ MN 1) วิธีทำ เนื่องจาก AM = MB = 6 หน่วย และ AN = NB = 8 หน่วย เมื่อลาก MN จะได้ว่า MBN เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม B เป็นมุมฉาก ดังรูป จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า 6 8 100 2 2 2 MN = + = MN =10 ดังนั้นระยะทาง MN เท่ากับ 10 หน่วย ตอบ 10 หน่วย 2) วิธีทำ ลากต่อส่วนของเส้นตรง MC ไปพบกับส่วนต่อของส่วนของเส้นตรง NT ที่จุด S และลาก MC ดังรูป จะได้ว่า MSN เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี MS ˆ N เป็นมุมฉาก จะได้ 2 2 2 MN = MS + SN 15 225 9 12 2 2 = = = + MN ดังนั้นระยะทาง MN เท่ากับ 15 หน่วย ตอบ 15 หน่วย แบบฝึกหัดที่ 2 1. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากด้านที่หนึ่งยาว 7 เซนติเมตร และด้าน ตรงข้ามมุมฉากยาว 25 เซนติเมตร วิธีทำ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได้ 2 2 2 x = 25 − 7 24 576 = = x นั่นคือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 24 7 84 2 1 = ตารางเซนติเมตร ตอบ 84 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 7 2. กำหนดให้ PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ RS ตั้งฉากกับ PQ ที่จุด S ดังรูป ถ้า RP =15 หน่วย และ QR = 8 หน่วย จงหา 1) พื้นที่ของ PQR แนวคิด พื้นที่ 8 15 60 2 1 PQR = = ตอบ 60 ตารางหน่วย 2) ความยาวของ PQ แนวคิด จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก PQR จะได้ 2 2 2 PQ =15 +8 17 289 = = PQ นั่นคือ PQ ยาว 17 หน่วย ตอบ 17 หน่วย 3) ความยาวของ RS แนวคิด เนื่องจาก พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม PQR = PQ RS 2 1 17 1 7 17 120 17 2 1 60 = = = RS RS RS ดังนั้น RS ยาว 17 1 7 หน่วยหรือประมาณ 7.06 หน่วย ตอบ ประมาณ 7.06 หน่วย 3. ร้านขายน้ำปั่นแห่งหนึ่ง ต้องการซื้อหลอดมาใช้กับแก้วใส่น้ำปั่นซึ่งมีลักษณะเป็นทรงกระบอก เจ้าของร้านจึงวัดขนาดแก้ว พบว่า แก้วสูง 6 นิ้ว และมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 2.5 นิ้ว อยากทราบว่าเจ้าของร้านจะต้องซื้อหลอดที่มีความยาวไม่น้อย กว่ากี่นิ้ว เพื่อให้หลอดไม่มีโอกาสที่จะอยู่ต่ำกว่าขอบแก้ว วิธีทำ จากโจทย์ เขียนแบบจำลองของหลอดแก้วใส่น้ำปั่น ได้ดังภาพ เนื่องจาก ระยะที่สั้นที่สุดที่หลอดจะอยู่ไม่ต่ำกว่าของแก้วได้ คือ x นิ้ว จะเห็นว่า ถ้าต้องการซื้อหลอดที่ไม่มีโอกาสอยู่ต่ำกว่าขอบแก้ว หลอดดังที่กล่าวจะต้องยาวไม่น้อยกว่า x นิ้ว จากภาพ จะได้ว่า 2 2 2 x = 2.5 + 6 6.5 42.25 = = x นั่นคือ เจ้าของร้านจะต้องซื้อหลอดที่มีความยาวไม่น้อยกว่า 6.5 นิ้ว ตอบ ไม่น้อยกว่า 6.5 นิ้ว
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 8 4. บ้านของมาวิน โรงเรียน และร้านอาหารของคุณแม่ อยู่ในตําแหน่งที่ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดย ร้านอาหารอยู่ห่างจากบ้าน ของมาวิน 1.5 กิโลเมตร และอยู่ห่างจากโรงเรียน 2 กิโลเมตร ดังรูป ตอนเช้ามาวินขี่จักรยาน จากบ้านตรงไปที่โรงเรียนโดยไม่ผ่าน ร้านอาหาร แต่ทุก ๆ วันหลังเลิกเรียนมาวินต้องไปช่วยคุณแม่เก็บของ และทําความ สะอาดร้านอาหารก่อนที่จะกลับบ้าน อยากทราบว่า ในแต่ละวันมาวินจะขี่จักรยานเป็นระยะทางอย่างน้อยกี่กิโลเมตร วิธีทำ จากรูปในโจทย์ ให้ X แทนระยะทางจากบ้านของมาวินถึงโรงเรียนโดยไม่ผ่านร้านอาหารของคุณแม่ เนื่องจาก ตําแหน่งของบ้านของมาวิน ร้านอาหารของคุณแม่ และโรงเรียนเป็นจุดยอดของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 2 x = + 1.5 2 = 6.25 ดังนั้น x = 2.5 นั่นคือ ระยะทางจากบ้านของมาวินถึงโรงเรียนโดยไม่ผ่านร้านอาหารของคุณแม่ ยาว 2.5 กิโลเมตร ดังนั้น ในแต่ละวัน มาวินจะขี่จักรยานเป็นระยะทางอย่างน้อย 2.5 + 2 + 1.5 = 6 กิโลเมตร 5. บ้านของภาวีมีสระบัว ซึ่งลึก 0.80 เมตร คุณพ่อของเธอได้ชื่อโคมไฟลอยน้ำเพื่อมาประดับสระบัวเพิ่มเติม โดยโคมไฟลอย น้ำที่ซื้อมานี้ มีเชือกสําหรับรั้งโคมไฟไม่ให้ลอยไปไกล ซึ่งเชือกนี้จะยึดไว้กับ พื้นสระบัว ถ้าเชือกสําหรับรั้งโคมไฟนี้ยาว 1 เมตร จงหาว่าโคมไฟลอยน้ำนี้จะลอยห่างจากจุดบนผิวน้ำที่ตรงกับจุดยึดเชือกที่ก้นสระได้ ไม่เกินกี่เมตร วิธีทำ เนื่องจาก โคมไฟลอยน้ำ สามารถลอยไปได้ไกลที่สุดเมื่อเชือกที่ยึดไว้กับจุดยึดตึงพอดี ซึ่งยาวเท่ากับ 1 เมตร จากภาพ จะเห็นว่าระยะต่าง ๆ เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น เราสามารถหาระยะห่างจากจุดบนผิวน้ำที่ตรงกับจุดยึดจนถึงตําแหน่งดังกล่าวได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้ x แทนระยะห่างจากจุดบนผิวน้ำที่ตรงกับจุดยึดจนถึง โคมไฟลอยน้ำที่ลอยไปได้ไกลที่สุด จะได้ x = −1 0.80 = 0.36 ดังนั้น x = 0.60 นั่นคือ โคมไฟลอยน้ำนี้จะลอยห่างจากจุดบนผิวน้ำที่ตรงกับจุดยึดได้ไม่เกิน 0.60 เมตร 6. เสาธงต้นหนึ่ง ตั้งตรงอยู่ด้วยเสาข้างสองต้นซึ่งมีสลักยึดติดอยู่ 2 ตัว โดยสลักตัวบนอยู่สูงจากพื้นดิน 5 ฟุต นายสะอาดต้องการทาสีเสาธง จึงถอดสลักตัวล่างแล้วหมุนเสาธงลงมาจนกระทั่งยอดเสาธงแตะพื้น และทําให้ ยอดเสาธง ห่างจากแนวโคนเสาข้าง 12 ฟุต ดังรูป อยากทราบว่าเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงจะอยู่ห่างจาก พื้นดินกี่ฟุต วิธีทำ ให้ AB แทนระยะจากยอดเสาธงถึงสลักตัวบน BC แทนระยะจากสลักตัวบนถึงพื้นดิน AC แทนระยะจากยอดเสาธงถึงแนวโคนเสาตรงพื้นดิน จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได้ 2 2 2 AB = + 5 12 =169 ดังนั้น AB =13 เนื่องจาก ยอดเสาธงอยู่ห่างจากพื้นดินเท่ากับ AB +5 ฟุต นั่นคือ ยอดเสาธงอยู่ห่างจากพื้นดิน 13 5 18 + = ฟุต
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 9 7.เราใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมของหน้าจอเครื่องรับโทรทัศน์ เพื่อบอกขนาดของเครื่องรับโทรทัศน์ เล็กซื้อเครื่องรับ โทรทัศน์แบบไร้ขอบ ขนาดหน้าจอ 42 นิ้ว สูง 20 นิ้ว และมีฐานตั้งเครื่องรับโทรทัศน์สูง 5 นิ้ว มาให้ คุณแม่เครื่องหนึ่ง ถ้าที่บ้านของคุณแม่มีชั้นวางของที่มีลักษณะเป็นช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 35 นิ้ว และสูง 30 นิ้ว อยากทราบว่า เครื่องรับ โทรทัศน์เครื่องนี้จะวางที่ชั้นวางของนี้ได้หรือไม่ เพราะเหตุใด วิธีทำ จากโจทย์ เขียนแบบจำลองของช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ได้ดังภาพ เนื่องจาก ความสูงของเครื่องรับโทรทัศน์เมื่อรวมฐานตั้งเป็น 20 5 25 + = นิ้ว ซึ่งชั้นวางของของคุณแม่ มีช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก สูง 30 นิ้ว ดังนั้น เราจะพิจารณาว่าเครื่องรับโทรทัศน์ที่เล็กซื้อให้คุณแม่นั้น สามารถวางที่ชั้นวางนี้ได้หรือไม่ จากความกว้างของ เครื่องรับโทรทัศน์ โดยทั่วไป ด้านหน้าของเครื่องรับโทรทัศน์จะมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น เมื่อเราทราบว่าเส้นทแยงมุมของเครื่องรับโทรทัศน์เป็น 42 นิ้ว และสูง 20 นิ้ว ให้ x แทนความกว้างของเครื่องรับโทรทัศน์ จะได้ 2 2 2 x = − 42 20 x =1,364 เนื่องจาก ช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 35 นิ้ว และ 2 35 1, 225 = จะเห็นว่า 1,364 1, 225 จะได้ x 35 ดังนั้น เครื่องรับโทรทัศน์นี้มีความกว้างมากกว่าความกว้างของช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ เครื่องรับโทรทัศน์เครื่องนี้ ไม่สามารถวางที่ชั้นวางของของคุณแม่ได้
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 10 3. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบท (บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส) ให้ a,b, c เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป ถ้า 2 2 2 a + b = c แล้ว ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี o C 90 ˆ = ตัวอย่างที่ 5 กำหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ AB = 6 หน่วย, BC = 8 และ AC =10 หน่วย จงพิจารณาว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธีทำ เนื่องจาก 36 64 100 2 2 2 AB = BC = AC = จะได้ 2 2 2 6 + 8 =10 จากบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างที่ 6 กำหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ AB = 7 หน่วย, BC = 25 และ AC = 26 หน่วย จงพิจารณาว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธีทำ เนื่องจาก 49 625 676 2 2 2 AB = BC = AC = จะได้ 2 2 2 7 + 25 26 จากบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างที่ 7 จงหาพื้นที่ของ ABC ที่ AB = 7 หน่วย, BC = 24 และ AC = 25 หน่วย วิธีทำ เนื่องจาก 2 2 2 7 + 24 = 25 จากบทกลับทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสรุปได้ว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี o B 90 ˆ = พื้นที่ ABC เท่ากับ 7 24 2 1 2 1 AB BC = = 84 ตารางหน่วย ตอบ 84 ตารางหน่วย A ฤ B ฤ C ฤ 6 ฤ 10 ฤ 8 ฤ A ฤ A ฤ B ฤ B ฤ C ฤ C ฤ 24 ฤ 7 ฤ 25 ฤ 25 ฤ 26 ฤ 7 ฤ
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 11 แบบฝึกหัดที่ 3 1.ถ้าต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวของด้านที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาว่ารูปสามเหลี่ยมที่สร้างได้ นี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 1) a =11 b = 60 c = 61 แนวคิด 61 3,721 2 = และ 11 60 121 3,600 3,721 2 2 + = + = ดังนั้น 2 2 2 61 =11 + 60 ตอบ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2) d = 20 e = 10 f =12 แนวคิด 20 400 2 = และ 10 12 100 144 244 2 2 + = + = ดังนั้น 2 2 2 20 10 +12 ตอบ ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3) p = 0.6 q =1.2 r =1.4 แนวคิด 1.4 1.96 2 = และ 0.6 1.2 0.36 1.44 1.8 2 2 + = + = ดังนั้น 2 2 2 1.4 = 0.6 +1.2 ตอบ ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 4) x = 0.5 y =1.3 z =1.2 แนวคิด 1.3 1.69 2 = และ 0.5 1.2 0.25 1.44 1.69 2 2 + = + = ดังนั้น 2 2 2 1.3 = 0.5 +1.2 ตอบ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของ กำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุม ฉาก
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 12 2. จงแสดง ABC ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 1) วิธีทำ ABC ที่กำหนดให้ จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อ 2 2 2 AC = AB + BC จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADB จะได้ 45 36 729 2 2 2 AD = − = AD = 27 และจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก CDB จะได้ 60 36 2,304 2 2 2 CD = − = CD = 48 ดังนั้น AC = 27 + 48 = 75 หน่วย เมื่อพิจารณาความยาวของด้านทั้งสามของรูปาลสามเหลี่ยม ABC จะได้ 75 5,625 2 2 AC = = และ 45 60 5,625 2 2 2 2 AB + BC = + = ดังนั้น 2 2 2 AC = AB + BC ตอบ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2) วิธีทำ ABC ที่กำหนดให้ จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อ 2 2 2 BC = AB + AC จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADB จะได 65 25 3,600 2 2 2 AD = − = จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC จะได้ 3,600 144 24,336 2 2 AC = + = จากรูปสามเหลี่ยม ABC จะได้ 65 24,336 28,561 2 2 2 AB + AC = + = เนื่องจาก (25 144) 169 28,561 2 2 2 BC = + = = ดังนั้น 2 2 2 BC = AB + AC ดังนั้น จากทฤษฎีบมกลับพีทาโกรัส จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตอบ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 13 3. กำหนดให้ ABC มี CD ตั้งฉากกับ AB ที่จุด D จงพิจารณาว่าความยาวที่กำหนดให้ในข้อใด ที่ทำให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะเหตุใด 1) AC =13 BC =15 CD =12 วิธีทำ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC จะได้ 13 12 25 2 2 2 AD = − = ดังนั้น AD = 5 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BDC จะได้ 15 12 81 2 2 2 DB = − = ดังนั้น DB = 9 จะได้ AB = AD + DB = 5 + 9 =14 ดังนั้น ABC มี AC = 13, BC =15 และ AB = 14 ซึ่ง 2 2 2 15 13 +14 หรือ 2 2 2 BC AC + AB ดังนั้น ABC จึงไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2) AC =10 BC =17 CD = 8 วิธีทำ จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC จะได้ 10 8 36 2 2 2 AD = − = ดังนั้น AD = 6 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BDC จะได้ 17 8 225 2 2 2 DB = − = ดังนั้น DB =15 จะได้ AB = AD + DB = 6 +15 = 21 ดังนั้น ABC มี AC = 10, BC =17 และ AB = 21 ซึ่ง 2 2 2 21 10 +17 ดังนั้น ABC จึงไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 4. ชายคนหนึ่งต้องการตรวจสอบว่า ผนังบ้านตั้งฉากกับพื้นดินหรือไม่ เขาจึงทำเครื่องหมายที่ผนังบ้านสูงจากพื้นดิน 8 ฟุต แล้วใช้ปลายข้างหนึ่งของเชือกผูกที่จุดซึ่งทำเครื่องหมายไว้นั้น ปลายเชือกอีกข้างหนึ่งผูกไว้ที่หลักซึ่งปักอยู่บนพื้นดิน ดังรูป ถ้าความยาวเชือกหลังจากผูกแล้วเป็น 10 ฟุต ระยะระหว่างหลักกับผนังบ้านควรเป็นเท่าไร จึงจะบอกได้ว่าผนังบ้านตั้งฉาก กับพื้นดิน วิธีทำ ให้ AC แทนระยะจากจุดซึ่งทำเครื่องหมายที่ผนังบ้านถึงพื้นดิน AB แทนความยาวของเชือก BC แทนระยะระหว่างหลักกับผนังบ้าน จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACB จะได้ 10 8 36 2 2 2 BC = − = BC = 6 ดังนั้น ระยะระหว่างหลักกับผนังบ้านควรเป็น 6 ฟุต จึงจะบอกได้ว่าผนังบ้านตั้งฉากกับพื้น
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 14 แบบทดสอบเรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำชี้แจง : ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว 1. y มีค่าเท่ากับข้อใด ก. 3 หน่วย ข. 4 หน่วย ค. 5 หน่วย ง. 6 หน่วย 2. จากรูป x มีค่าเท่าใด ก. 15 ข. 21 ค. 81 ง. 100 3. จากรูป a มีความยาวเท่าใด ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 9 4. ความยาวของด้านที่กำหนดให้ในข้อใด เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก ก. 6, 8, 11 ข. 13, 12, 7 ค. 17, 15, 8 ง. 3, 4, 6 5. จากรูป สี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย ก. 25 ข. 30 ค. 48 ง. 60 6. ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี B เป็นมุมฉาก ด้าน BC=12 วา ด้าน AC=15 วา สามเหลี่ยมรูปนี้มี พื้นที่กี่ตารางวา ก. 54 ข. 90 ค. 108 ง. 180 7. เสาธงสูง 12 เมตร ต้องการโยงเชือกจากยอดเสาธง ลงมาผูกติดกับพื้นดินห่างจากฐานเสาธง 5 เมตร ต้องใช้เชือกยากกี่เมตร ก. 13 ข. 17 ค. 84.5 ง. 169 8. กระต่ายเดินทางไปทางทิศเหนือ 6 เมตร แล้วไปทาง ตะวันออกอีก 12 เมตร หลังจากนั้นเดินต่อไปทาง เหนืออีก 10 เมตร จึงพักรับประทานอาหารขณะนี้ กระต่ายอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตร ก. 20 ข. 28 ค. 40 ง. 64 9. ทฤษฎีบทปีทาโกรัสเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใด ก. รูปสามเหลี่ยมมุมเท่า ข. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ง. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม 10. ถ้ากำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้าน ยาว 70, 240 หน่วย แล้วอีกด้านหนึ่งจะยาวเท่าใด ก. 240 หน่วย ข. 245 หน่วย ค. 250 หน่วย ง. 255 หน่วย 11. ถ้ากำหนดด้าน 3 ด้านของรูปสามเหลี่ยมคือ 16, 30 และ 34 หน่วย อยากทราบว่ารูปสามเหลี่ยมที่ได้ เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ก. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ข. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ง. รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า 12. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุม ฉากยาว 5 และ 12 หน่วย เส้นรอบรูปของรูป สามเหลี่ยมนี้ยาวเท่าไร ก. 25 หน่วย ข. 27 หน่วย ค. 28 หน่วย ง. 30 หน่วย
บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 16 13. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านยาวด้านละ 10 ซม. ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวเท่าใด ก. 8.44 ซม. ข. 8.55 ซม. ค. 8.66 ซม. ง. 8.77 ซม. 14. ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม xyz คือ 7, 10 และ 13 อยากทราบว่ารูปสามเหลี่ยมที่ได้เป็นรูป สามเหลี่ยมใด ก. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข. รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน ค. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ง. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม 15. ถ้ากำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้าน ยาว 70, 240 หน่วย แล้วอีกด้านหนึ่งจะยาวเท่าใด ก. 240 หน่วย ข. 245 หน่วย ค. 250 หน่วย ง. 255 หน่วย 16. กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูป สามเหลี่ยม ดังนี้ 1. 10 24 26 2. 3.5 12 12.5 3. 8 15 20 ข้อใดต่อไปนี้สรุปได้ถูกต้อง ก. ข้อ 3. เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข. ข้อ 1.และ 2. เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. ข้อ 2. ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ง. ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้ง 3 ข้อ 17. เรือลำหนึ่งแล่นไปทางทิศใต้ได้ 33 ไมล์ แล้วเบน หัวไปทางทิศตะวันตกอีก 56 ไมล์ เรือลำนี้อยู่ห่าง จากที่เดิมเท่าไร ก. 65 ไมล์ ข. 6 ไมล์ ค. 62 ไมล์ ง. 100 ไมล์ 18. ขนาดหน้าจอคอมพิวเตอร์ใช้การวัดความยาวของ เส้นทแยงมุมของหน้าจอเพื่อบอกขนาด ถ้าหน้าจอ คอมพิวเตอร์ขนาด 25 นิ้ว มีความยาว 20 นิ้ว อยากทราบว่าหน้าจอคอมพิวเตอร์มีความกว้างเท่าไร ก. 10 นิ้ว ข. 15 นิ้ว ค. 20 นิ้ว ง. 25 นิ้ว 19. เสาธงต้นหนึ่งสูง 12 เมตร นักเรียนเชิญธงขึ้นสู่ เสาธงดึงเชือกจนตึงจะอยู่ห่างจากโคนเสาธง 5 เมตร จงหาว่าจะต้องใช้เชือกยาวอย่างน้อยกี่เมตร ก. 10 เมตร ข. 11 เมตร ค. 13 เมตร ง. 25 เมตร 20. ถ้า p, q, r เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุม ฉากโดยมี p เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ข้อใดเป็น ความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส ก. p=2, q=3, r=4 ข. p=3, q=4, r=5 ค. p=5, q=3, r=4 ง. p=6, q=4, r=5 15