การให้เหตุผลทางเรขาคณิต เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา ................. ....................................เฉลย........................................ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 4 ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน............................................................... สำนักงานเขตพื้นที่............................................... ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 1 บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 4.1 ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต ข้อความคาดการณ์ คือ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ถูกเสนอว่าเป็นจริง แต่ยังไม่มีใคร สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้เมื่อ ข้อความคาดการณ์ถูกพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง มันจะกลายเป็น ทฤษฎีบท (theorem) และถือว่าเป็นข้อเท็จจริงในคณิตศาสตร์ที่ นำไปใช้อ้างอิงได้ แต่ถ้ามันยัง ไม่ได้รับการพิสูจน์ นักคณิตศาสตร์จะต้องมีความระมัดระวังในการใช้ข้อความคาดการณ์นั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า กระบวนการที่ใช้ในการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้ง แล้วรวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะ นำไปสู่ข้อสรุปที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริง เรียกว่า ข้อความคาดการณ์ ประโยคเงื่อนไข คือ ข้อความที่ประกอบไปด้วยข้อความ 2 ข้อความ ที่เชื่อมต่อกันด้วย ถ้า...แล้ว... โดยเราจะเรียกข้อความที่ ตามหลัง “ถ้า” ว่า “เหตุ” และจะเรียกข้อความที่ตามหลัง “แล้ว” ว่า “ผล” เช่น 1.ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก แล้ว ABCD มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน 2. ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน 3. ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว 2 a เป็นจำนวนคู่ ประโยคเงื่อนไขที่เป็นจริง คือ ประโยคเงื่อนไขที่เรายอมรับว่าเหตุเป็นจริง เหตุนั้นทำให้ผลเป็นจริงเสมอ ประโยคเงื่อนไขที่ไม่เป็นจริง คือ ประโยคเงื่อนไขที่เรายอมรับว่าเหตุเป็นจริง เหตุนั้นไม่ทำให้เกิดผลจริงเสมอไป บทกลับของประโยคเงื่อนไข คือ การนำผลของประโยคมาเป็นเหตุและการนำเหตุของประโยคนั้นมาเป็นผล ถ้าประโยคเงื่อนไขเป็นจริงและมีบทกลับเป็นจริงแล้ว อาจเขียนประโยคเดียวกันโดยใช้คำว่าก็ต่อเมื่อเชื่อมประโยคทั้งสองนั้น เขียนเป็นประโยคเดียวกัน ได้ดังนี้ “รูปสามเหลี่ยมใดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน” ซึ่งประโยคนี้ก็จะเป็นจริงด้วย การให้เหตุผลทางเรขาคณิต การให้เหตุผลทางเรขาคณิตมีความเกี่ยวข้องกับ คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ ทฤษฎีบท เช่น 1. คำอนิยาม หมายถึง คำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความได้ แต่สามารถเข้าใจความหมายได้ โดยอาศัยการรับรู้จาก ประสบการณ์ ความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของมัน เช่น จุด เส้น ระนาบ เป็นต้น 2. บทนิยาม หมายถึง สิ่งที่ให้ความหมายเฉพาะหรือคำจำกัดความได้เช่น รังสี คือ ส่วนของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลายเพียงจุด เดียว เป็นต้น ประโยคมีเงื่อนไข : “ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน” เป็นจริง บทกลับ : “ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมใดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว” เป็นจริง
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 2 3.ทฤษฎีบท หมายถึง ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม คำนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎี บทอื่น ๆ ที่ได้พิสูจน์มาแล้ว เช่น “มุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา” “เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมตรงข้าม ย่อมเท่ากัน” 4.สัจพจน์ หมายถึง ข้อความที่ยอมรับหรือตกลงว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น “เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเพียงจุดเดียว เท่านั้น” “ลากเส้นตรงให้ผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น” การพิสูจน์ ข้อความทางคณิตสาสตร์ส่วนใหญ่อยู่ในรูปประโยคมีเงื่อนไข การพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นประโยคเงื่อนไข แบ่งเป็น 2 กรณีคือ 1. การพิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริง (อาศัยบทนิยาม สัจพจน์ ข้อความที่พิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง และสมบัติต่างๆ) 2. การพิสูจน์ข้อความที่ไม่เป็นจริง (หาตัวอย่างค้าน) ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทังสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของ ขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น 1. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้ 2. เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน จะตัดกันที่จุดเพียงจุดเดียวเท่านั้น 3. สามารถต่อส่วนของเส้นตรงออกไปทั้งสองข้างได้ โดยให้มีความยาวตามที่ต้องการ 4. สามารถลากเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นให้ผ่านจุดจุดหนึ่งที่ไม่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดให้ และขนานกับเส้นตรงที่กำหนดให้นั้น
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 3 ตัวอย่างที่ 1 จงพิสูจน์ว่า รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ต้องการพิสูจน์ว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พิสูจน์ เนื่องจาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (กำหนดให้) ดังนั้น AB BC AC = = (รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสามด้าน) จะได้ AB AC = ดังนั้น ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยมี AC เป็นเส้นทแยงมุม จงพิสูจน์ว่า ABC เป็น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มี AC เป็นเส้นทแยงมุม ต้องการพิสูจน์ว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พิสูจน์ เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (กำหนดให้) ดังนั้น AB CB = (ด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาวเท่ากัน) ดังนั้น ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) ตัวอย่างที่ 3 จงพิสูจน์ข้อความ “รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส” ไม่เป็นจริง พิสูจน์ เนื่องจากมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปนั้นคือ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังรูป ดังนั้น ข้อความที่กล่าวว่า “รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส” ไม่เป็นจริงเสมอไป นั่นคือ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 4 ตัวอย่างที่ 4 จงพิสูจน์ว่า ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 360 องศา กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่ง ต้องการพิสูจน์ว่า ˆ ˆ ˆ ˆ 360o DAB ABC BCD CDA + + + = พิสูจน์ ลาก AC เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ 180o CAB ABC BCA + + = และ ˆ ˆ ˆ 180o CAD ADC DCA + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180 องศา) จะได้ ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 180 360o CAB ABC BCA CAD ADC DCA + + + + + = + = (สมบัติของการเท่ากัน) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 360o CAB CAD ABC BCA DCA ADC + + + + + = ดังนั้น ˆ ˆ ˆ ˆ 360o DAB ABC BCD CDA + + + = ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ AB CD GH / / , ตัด AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลำดับ จงหาว่า GEB CFE ˆ ˆ + เท่ากับกี่องศา วิธีทำ เนื่องจาก AB CD GH / / , ตัด AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลำดับ จะได้ GEA CFE ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) ˆ ˆ 180o GEB GEA + = (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น ˆ ˆ 180o GEB CFE + = (สมบัติของการเท่ากันโดยแทน GEA ˆ กับ CFE ˆ ) ตอบ 180o
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 5 แบบฝึกหัดที่ 1 1. จากรูป กำหนดให้ 4 ˆ 1 ˆ = จงหาขนาดของ 3 ˆ 2 ˆ + เนื่องจาก ˆ ˆ 2 1 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ˆ ˆ 1 4 = (กำหนดให้) ดังนั้น ˆ ˆ 2 4 = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 4 3 180o + = (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น ˆ ˆ 2 3 180o + = (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 4 ด้วย ˆ 2 ) 2. จากรูป กำหนดให้ 3 ˆ 1 ˆ = รูปสามเหลี่ยม ABC นี้เป็นรูปสามเหลี่ยมชนิดใด เมื่อ 1) ˆ ˆ 2 3 เนื่องจาก ˆ ˆ 1 3 = (กำหนดให้) ˆ ˆ 1 4 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 3 4 = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 3 5 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ ˆ 345 = = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 2 3 (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ 2 4 และ ˆ ˆ 2 5 ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองมุม) 2) 3 ˆ 2 ˆ = เนื่องจาก ˆ ˆ 1 3 = (กำหนดให้) ˆ ˆ 1 4 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 3 4 = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 3 5 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) และ ˆ ˆ 2 3 = (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ ˆ 2 4 5 = = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองมุม)
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 6 3. กำหนดให้ XY ตัด AB และ CD ที่จุด E และจุด F และ AE ˆ X = DF ˆ Y จงให้เหตุผลว่า เพราะเหตุใด AB ขนาดกับ CD เนื่องจาก ˆ ˆ 1 2 = (กำหนดให้) ˆ ˆ 2 3 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) จะได้ ˆ ˆ 1 3 = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น AB CD / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) 4. จากรูป กำหนดให้ AB CD / / และ DE พบ BC ที่จุด E จงพิสูจน์ว่า BED ABE EDC ˆ ˆ ˆ = + กำหนดให้ AB CD / / และ DE พบ BC ที่จุด E ต้องการพิสูจน์ BED ABE EDC ˆ ˆ ˆ = + หรือ ˆ ˆ ˆ 1 2 3 = + พิสูจน์ เนื่องจาก ˆ ˆ 2 4 + (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ˆ ˆ ˆ 1 4 3 = + (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ดังนั้น ˆ ˆ ˆ 1 2 3 = + (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 4 ด้วย ˆ 2 ) หรือ BED ABE EDC ˆ ˆ ˆ = + (สมบัติของการเท่ากัน) 5. กำหนดให้ AB CD / / และ CD EF / / LP ตัด AB CD , และ EF ที่จุด M N, และ O ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า 1) EON BMN ˆ = ˆ เนื่องจาก ˆ ˆ 1 4 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) และ ˆ ˆ 4 2 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมี ขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 1 2 = (สมบัติของการเท่ากัน) หรือ EON BMN ˆ = ˆ (สมบัติของการเท่ากัน) 2) ˆ ˆ 180o AMN EON + = เนื่องจาก ˆ ˆ 3 2 180o + = (ขนาดของมุมตรง) และ ˆ ˆ 1 2 = (จากการพิสูจน์ข้อ 1) ดังนั้น ˆ ˆ 3 1 180o + = (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 2 ด้วย ˆ 1 ) หรือ ˆ ˆ 180o AMN EON + = (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 7 6. จากรูป กำหนดให้ PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า STUV เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ ˆ 50o TWQ = จงหาขนาดของ UPV ˆ เนื่องจาก ˆ 50o TWQ = (กำหนดให้) STUV เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (กำหนดให้) จะได้ SV TU / / (ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน) ดังนั้น ˆ ˆ 50o SPW TWQ = = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (กำหนดให้) จะได้ ˆ 60o WPU = (มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด 60 องศา) เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ 180o SPW WPU UPV + + = (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ 50 60 180 + + = UPV (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ SPW ด้วย 50 และแทน WPU ˆ ด้วย 60 ) ดังนั้น ˆ 70o UPV = (สมบัติของการเท่ากัน) 7. ป้ายตกแต่งหน้าร้านแห่งหนึ่งมีลักษณะดังรูป จงหาขนาดของ ABD ˆ เนื่องจากรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อนเท่ากันทุกประการ ˆ 120o BCD = (กำหนดให้) จะได้ ˆ 120o BCA = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ 180o CAB ABC BCA + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) จะได้ ˆ 15 120 180 + + = ABC (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน CAB ˆ ด้วย 15 และแทน BCA ˆ ด้วย 120 ) ดังนั้น ˆ 45o ABC = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 45o ABC DBC = = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) และ ABD ABC DBC ˆ ˆ ˆ = + (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 45 45 90o ABD = + = (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ABC ˆ และ DBC ˆ ด้วย 45 )
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 8 8. กำหนดให้ PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและกำหนดมุมที่มีขนาดต่างๆ ดังรูป จงหาว่า abc + + มีค่าเท่าไร เนื่องจาก PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (กำหนดให้) ดังนั้น ˆ 1 85o = และ ˆ 2 o = b (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 40 1 180 + + =c (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) จะได้ 40 85 180 + + =c (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 1 และ 85 ) ดังนั้น c = 55 (สมบัติของการเท่ากัน) จาก PST จะได้ ˆ c a = + 2 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่ มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) จะได้ c a b = + = 55 (สมบัติของการเท่ากัน โดย แทน ˆ 2 ด้วย b ) ดังนั้น a b c a b c + + = + + = + = ( ) 55 55 110 9. จากรูป กำหนดให้ l m// จงหาว่า ABC ˆ มีขนาดกี่องศา เนื่องจาก l m// และ ˆ 100o BAC = (กำหนดให้) จะได้ ˆ 2 100o = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 1 2 140o + = (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน ที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) จะได้ ˆ 1 100 140 + = (สมบัติของการเท่ากัน โดย แทน ˆ 2 ด้วย 100 ) ดังนั้น ˆ 1 40o = หรือ ˆ 40o ABC = (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 9 4.2 การสร้างและการให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้าง ตัวอย่างที่ 6 กำหนดจุด P อยู่ภายนอก AB จงสร้างเส้นตรงผ่านจุด P และขนานกับ AB พร้อมทั้งแสดงเหตุผล กำหนดให้จุด P อยู่ภายนอก AB ต้องการสร้าง CP ผ่านจุด P และขนานกับ AB สร้าง 1. กำหนดจุด E เป็นจุดจุดหนึ่ง บน AB แล้วลาก EP 2. สร้าง EPC ˆ ให้มีขนาดเท่ากับขนาดของ BPC ˆ โดย EPC ˆ และ BEP ˆ เป็นมุมแย้งกัน 3. ลาก CP จะได้ CP ผ่านจุด P และขนานกับ AB ตัวอย่างที่ 7 จงสร้างรูปสามเหลี่ยมให้มีฐานยาวเท่ากับ a หน่วย สูงเท่ากับ b หน่วย และ มุมที่ฐานมุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับ k องศา ดังรูป พร้อมทั้งแสดงเหตุผล สร้าง 1.สร้าง AB ยาว a หน่วย 2.ที่จุด B สร้าง PB ตั้งฉากกับ AB 3. ใช้จุด B เป็นจุดศูนย์กลางรัศมีเท่ากับ b หน่วย เขียนเส้นโค้งตัด BP ให้จุดตัดคือ จุด Q 4.สร้าง RQ ตั้งฉากกับ BP ที่จุด Q จะได้ RQ ขนานกับ AB 5. ที่จุด A สร้าง XAB ˆ ให้มีขนาดเท่ากับ k องศา และ ให้ AX ตัด RQ ให้จุดตัดคือ จุด C จะได้จุด C อยู่ห่างจาก AB เท่ากับ b หน่วย 6.ลาก BC จะได้ ABC มีฐาน AB และ a หน่วย ความสูง b หน่วย และ CAB ˆ มีขนาดเท่ากับ k องศา
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 10 แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีลักษณะเป็นไปตามที่โจทย์กำหนดในแต่ละข้อต่อไปนี้โดยไม่ต้องพิสูจน์ 1) กำหนด XYZ ˆ และส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่ยาว a หน่วย และ b หน่วย ดังรูป จงสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มุมมุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดของ XYZ ˆ ด้านที่เป็นแขนของมุมที่สร้างยาวเท่ากับ a หน่วย และ b หน่วย 1. สร้าง AQ และบน AQ สร้าง AB ยาว a หน่วย 2. สร้าง PAQ ˆ ให้มีขนาดเท่ากับขนาดของ XYZ ˆ 3. สร้าง AR แบ่งครึ่ง PAQ ˆ 4. บน AR สร้าง AC ยาว b หน่วย 5. ลาก BC จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมตามต้องการ 2) กำหนด รูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงสร้าง XYZ ให้ ( ) 1 ˆ ˆ , 2 2 XY AB AC XYZ ABC = + = และ YZ BC = 1. สร้าง DE แบ่งครึ่ง AB ที่จุด F 2. สร้าง XP 3. บน XP สร้าง XR ยาวเท่ากับ AF และสร้าง RY ยาวเท่ากับ AC จะได้ 1 2 XY AB AC = + 4. สร้าง XYQ ˆ ให้มีขนาดเท่ากับสองเท่าของขนาดของ ABC ˆ 5.บน YQ สร้าง YZ ยาวเท่ากับ BC 6. ลาก XZ จะได้ XYZ เป็นรูปสามเหลี่ยมตามต้องการ
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 11 3) กำหนด XYZ ˆ จงสร้าง ABC ที่ ABC XYZ ˆ ˆ = จุด E อยู่บน AC โดยให้ BE แบ่งครึ่ง ˆ ABC BE a , = หน่วย และ AB b = หน่วย ดังรูป 1. สร้าง BP และบน BP สร้าง BA ยาว b หน่วย 2. สร้าง ABQ ˆ ให้มีขนาดเท่ากับขนาดของ XYZ ˆ 3. สร้าง BR แบ่งครึ่ง ABQ ˆ 4. บน BR สร้าง BE ยาว a หน่วย 5. ลาก AS ให้ผ่านจุด E และตัด BQ ที่จุด C จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมตามต้องการ 4) กำหนด PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป จงสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากับ PR และฐานยาวเป็นสองเท่าของ QR 1. สร้าง AX 2. บน AX สร้าง AB ยาวเป็นสองเท่าของ QR 3. ใช้จุด A และจุด B เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ PR เขียนส่วนโค้งให้ตัดกันที่จุด C 4. ลาก AC และ BC จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามต้องการ
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 12 5) จงสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มี AB เป็นฐาน มีความสูง b หน่วย ˆ o BAC k = และ เส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด C มายัง AB ยาว a หน่วย ดังรูป 1. สร้าง PQ และกำหนดจุด A บน PQ 2. สร้าง AR ตั้งฉากกับ PQ ที่จุด A 3. บน AR สร้าง AS ยาว b หน่วย 4. สร้าง ST ตั้งฉากกับ AR ที่จุด S ทางด้านเดียวกับ AQ 5. สร้าง UAQ ˆ ให้มีขนาดเท่ากับ o k และ AU ตัด ST ที่จุด C (จะได้จุด C มีระยะห่างจาก PQ เท่ากับ b หน่วย) 6. ใช้ชุด C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ a หน่วย เขียนส่วนโค้งตัด AQ ที่จุด V 7. ใช้จุด V เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ VA เขียนส่วนโค้งตัด VQ ที่อยู่ B 8. ลาก BC จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมตามต้องการ 2. กำหนดให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส A มีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับ a หน่วย รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส B มีความยาว แต่ละด้านเท่ากับ b หน่วย ดังรูป จงสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส A และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส B
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 13 1. สร้าง PQ และกำหนดจุด M บน PQ แล้วสร้าง MN ยาว b หน่วย 2. สร้าง MR ตั้งฉากกับ PQ ที่จุด M และบน MR สร้าง MC ยาว a หน่วย 3. ลาก ST ผ่านจุด N และจุด C 4. สร้าง NU ตั้งฉากกับ ST ที่จุด N และสร้าง CV ตั้งฉากกับ ST ที่จุด C ทางด้านเดียวกันของ ST 5. ให้จุด N และจุด C เป็นจุดศูนย์กลางรัศมีเท่ากับ NC เขียนส่วนโค้งตัด NU ที่จุด E และตัด CV ที่จุด D ตามลำดับ 6. ลาก DE จะได้ NCDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามต้องการ 3. กำหนดส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่ยาว a และ b หน่วย ดังรูป 1) จงสร้างรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวที่มีด้านประกอบมุมมุมหนึ่งยาว a หน่วย และ b หน่วย โดยไม่ต้องแสดงเหตุผล 2) จากข้อ 1) นักเรียนสร้างได้กี่รูป จงอธิบาย 1) 1. สร้าง AP และบน AP สร้าง AQ ยาว a b + หน่วย 2. กำหนดจุด C บน AQ จะได้ AC ยาวน้อยกว่า a b + หน่วย (เนื่องจาก จะสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เมื่อ ผลบวกของความยาวของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมมากกว่าความยาว ของด้านที่สาม) 3. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ a หน่วย และใช้จุด C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ b หน่วย เขียนส่วนโค้งตัดกันทั้งสองด้านของ AC ที่จุด B และจุด D ตามลำดับ 4. ลาก BA BC DA , , และ DC จะได้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวตามต้องการ
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 14 2) สร้างได้หลายรูปนับไม่ถ้วย เพราะ สามารถสร้าง AC ให้ยาวน้อยกว่า a b + หน่วย ได้มากมายนับไม่ถ้วน โดยให้จุดตัด B และ D อยู่ทางขวาของจุด A เสมอ ดังตัวอย่าง 4. กำหนดให้ AC เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม DAB ˆ และ FG AD / / จงหาว่า ADGF มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย พิจารณา ABC และ ADC CAB CAD ˆ ˆ = ( AC เป็นเส้นแบ่งครึ่ง DAB ˆ ) ˆ ˆ 90o ABC ADC = = (กำหนดให้) AC AC = ( AC เป็นด้านร่วม) ดังนั้น ABC ADC (ม.ม.ด.) จะได้ AB AD = = 8 (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) เนื่องจาก AE ED = (กำหนดให้) ดังนั้น AE ED = = 4 (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก AEF เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (กำหนดให้) จะได้ 2 2 2 FE AF AE = − (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2 2 2 FE = − 5 4 (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น FE = 3 (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก FG AD / / (กำหนดให้) จะได้ ADGF เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (มีด้านตรงข้ามขนานกัน 1 คู่) ดังนั้น พื้นที่ของ ( ) 1 8 3 3 16.5 2 ADGF = + = ตารางหน่วย
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 15 4.3 การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม แบบฝึกหัดที่ 3 1.กำหนดให้ AC และ BD แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด M จงแสดงว่า AB ขนานกัน DC พิจารณา ABM และ CDM เนื่องจาก AM CM = (กำหนดให้ BD แบ่งครึ่ง AC ที่จุด M ) ˆ ˆ 1 2 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) BM DM = (กำหนดให้ AC แบ่งครึ่ง BD ที่จุด M ) ดังนั้น ABM CDM (ด.ม.ด.) จะได้ ˆ ˆ 3 4 = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น AB DC / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากันแล้ว เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน แล้วมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน มีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองมุม แล้วด้าน ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากัน ทฤษฎีบท ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งยาวเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ มุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน (ฉ.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านอื่นอีกหนึ่งคู่ยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 16 2. กำหนดให้ ABC และ DBC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปที่มีฐาน BC ร่วมกัน ลาก AD จงหาว่า ABD และ ACD เท่ากันทุกประการหรือไม่ พร้อมทั้งแสดงเหตุผล พิจารณา ABD และ ACD เนื่องจาก AB AC = (ด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วยาวเท่ากัน) DB DC = (ด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วยาวเท่ากัน) AD AD = (เป็นด้านร่วม) ดังนั้น ABD ACD (ด.ด.ด.) 3. จากรูป กำหนดให้ ACD และ BCD เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยมี ˆ 30o A = จงหาว่า BCA ˆ มีขนาดเท่าไร จาก ADC จะได้ ˆ 30o CAD = (กำหนดให้) ˆ ˆ 30 1 2 180 + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูป สามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) ˆ ˆ 1 2 150o + = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 1 2 = (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 1 2 75o = = (สมบัติของการเท่ากัน) จาก BCD จะได้ ˆ ˆ 1 3 = (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 1 3 75o = = (จากการพิสูจน์ข้างต้น ˆ 1 75o = และสมบัติของการเท่ากัน) ˆ ˆ ˆ 1 3 4 180o + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) ˆ 75 75 4 180 + + = (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 1 และ ˆ 3 ด้วย 75 ) ดังนั้น ˆ 4 30o = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ 2 4 5 = + ˆ 75 30 5 = + (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 2 ด้วย 75 และแทน ˆ 4 ด้วย 30 ) จะได้ ˆ 5 45o = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 45o BCA = (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 5 ด้วย BCA ˆ )
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 17 4. จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง และ ABD เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยที่ ˆ 100o BDC = จงหาว่า BCD ˆ มีขนาดเท่าไร จาก ABD จะได้ ˆ 1 100 + =x (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่ มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ˆ 1 = x (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 1 50 = =x (สมบัติของการเท่ากัน) จาก BCD จะได้ ˆ 2 100 180 + + = x (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) ˆ 2 50 100 180 + + = (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน x ด้วย 50 ) ˆ 2 30o = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 30o BCD = (สมบัติของการเท่ากัน x โดยแทน ด้วย BCD ˆ ) 5. จากรูป กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว ที่มี AB = 5 เซนติเมตร, BD =12 เซนติเมตร และ DE = 8 เซนติเมตร จงหา 1) พื้นที่ของ ABCD พิจารณา AEB และ CEB เนื่องจาก ˆ ˆ 90o AEB CEB = = (เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวตัดกันเป็นมุมฉาก) BE BE = ( BE เป็นด้านร่วม) และ AB CB = (ด้านประชิดของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวยาวเท่ากัน) ดังนั้น AEB CEB (ฉ.ด.ด.) จะได้ AE EC = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) เนื่องจาก AEB เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AEB ˆ เป็นมุมฉาก AB = 5 เซนติเมตร และ BE = 4 เซนติเมตร จะได้ 2 2 2 AE = − 5 4 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) ดังนั้น AE = 3 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) และ AC = 6 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ พื้นที่ของ 1 2 ABCD = ผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม ( ) ( ) 1 2 1 6 12 2 = AC BD = = 36 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 18 2) ความยาวรอบรูปของ ABCD เนื่องจาก AED เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ( ) ˆ 90o AED = จะได้ 2 2 2 AD AE ED = + (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2 2 = + 3 8 ดังนั้น AD = 73 เซนติเมตร เนื่องจาก AD CD = (ด้านประชิดของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวยาวเท่ากัน) จะได้ CD = 73 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ความยาวรอบรูปของ ABCD AB BC CD DA = + + + = + + + 5 5 73 73 = + 10 2 73 เซนติเมตร 6. วิภาพับมุมกระดาษแผ่นหนึ่ง ได้ดังรูป จงหาขนาดของ GFB ˆ จาก AEF จะได้ ˆ AFE + + = 90 32 180 (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180 องศา) ดังนั้น ˆ 58o AFE = (สมบัติของการเท่ากัน) เมื่อพับกระดาษไปแล้ว รูปเดิมและรูปใหม่ที่ได้จากการพับเท่ากันทุกประการ ดังนั้น AEF GEF จะได้ ˆ 58o GEF = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ 180o AFE EFG GFB + + = (ขนาดของมุมตรง) ˆ 58 58 180 + + = GFB (สมบัติของการเท่ากันโดยแทน AFE ˆ และ EFG ˆ ด้วย 58 ) ดังนั้น ˆ 64o GFB = (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 19 8.กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ DF ตัดกับ AB ที่จุด E ดังรูป จงหาว่า FAB ˆ มีขนาดกี่องศา ลาก FB และพิจารณา AED และ BEF DE FE = และ AE BE = (กำหนดให้) และ AED BEF = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) จะได้ AED BEF (ด.ม.ด.) ดังนั้น ˆ ˆ 90o DAE FBE = = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) และ AD BF = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) เนื่องจาก AD AB = (ด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเท่ากัน) จะได้ BF AB = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ABF เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน) จะได้ FAB BFA ˆ = ˆ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ ˆ 180o FBA FAB BFA + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180o ) จะได้ ( ) ˆ 90 2 180 + = FAB (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน FBA ˆ ด้วย 90 ) ( ) ˆ 2 90o FAB = ดังนั้น ˆ 45o FAB =
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 20 ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู่ แล้วรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทฤษฎีบท มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงข้ามที่มีขนาดเท่ากัน สองคู่แล้วรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทฤษฎีบท เส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่ง ซึ่งกันและกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ปิดหัวท้ายของส่วนของเส้นตรงที่ ขนานกันและยาวเท่ากัน จะขนานกันและยาวเท่ากัน ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมใดๆจะขนานกับด้านที่สามและยาวเป็นครึ่งหนี่งของด้านที่สาม
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 21 แบบฝึกหัดที่ 4 1. กำหนดให้ AB และ CD ตัดกันและแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด O จงพิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน กำหนดให้ AB และ CD ตัดกันและแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด O ต้องพิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พิสูจน์ พิจารณา AOD และ BOC จะได้ AO BO = ( CD แบ่งครึ่ง AB ที่จุด O ) ˆ ˆ 1 2 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) DO CO = ( AB แบ่งครึ่ง CD ที่จุด O ) ดังนั้น AOD BOC (ด.ม.ด.) จะได้ AD BC = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะยาวเท่ากัน) และ ˆ ˆ 3 4 = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น AD BC / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) นั่นคือ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านที่อยู่ตรงข้ามกันคู่หนึ่งขนานกันและยาวเท่ากัน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) 2. จากรูป AB CD WX YZ / / , / / และ XY ZV / / จงหาค่า x เนื่องจาก WX YZ / / (กำหนดให้) จะได้ ˆ 1 79o = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก XY ZV / / (กำหนดให้) จะได้ ˆ 2 60o = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 1 2 180 + + =x (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา) จะได้ 79 60 180 + + =x (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน ˆ 1 ด้วย 79 และ แทน ˆ 2 ด้วย 60 ) ดังนั้น x = 41 (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 22 3. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ให้จุด D และ จุด E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC และ BC ตามลำดับ ถ้า AB = 8 เซนติเมตร BC = 9 เซนติเมตร และ CA =10 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูปของ CDE เนื่องจาก จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของ AC และ AC =10 เซนติเมตร (กำหนดให้) จะได้ DC = 5 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก จุด E เป็นจุดกึ่งกลางของ BC และ BC = 9 เซนติเมตร (กำหนดให้) จะได้ EC = 4.5 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก จุด D และจุด E เป็นจุดกึ่งกลางของ AC และ BC ตามลำดับ และ AB = 8 เซนติเมตร (กำหนดให้) จะได้ 1 2 DE AB = (ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้าน ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ จะยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม) ดังนั้น DE = 4 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) นั่นคือ CDE มี DC = 5 เซนติเมตร, EC = 4.5 เซนติเมตร และ DE = 4 เซนติเมตร จะได้ ความยาวรอบรูปของ = + + = CDE 5 4.5 4 13.5 เซนติเมตร 4. กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและ ADE CBF ˆ ˆ = จงพิสูจน์ BEDF เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พิสูจน์พิจารณา ADE และ CBF ˆ ˆ 1 2 = (กำหนดให้) AD CB = (ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน) ˆ ˆ 3 4 = (มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ADE CBF (ม.ด.ม.) จะได้ DE BF = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะยาวเท่ากัน) และ AE CF = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะยาวเท่ากัน) เนื่องจาก AB CD = (ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน) หรือ AE EB CF FD + = + (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ EB FD = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น BEDF เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู่)
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 23 5.จากรูป กำหนดให้ KLMN เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี ˆ 45 , 3 o K KO NP = = = เซนติเมตร OP และ NL ยาว เท่ากัน แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด W จงหาพื้นที่ของ KLMN จาก KON จะได้ ˆ ˆ ˆ 180o NKO KON ONK ++= (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180 องศา) ˆ 45 90 180 + + = ONK (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน NKO ˆ ด้วย 45 และแทน KON ˆ ด้วย 90 ) ˆ 45o ONK = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น KON เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองมุม) เนื่องจาก KO = 3 เซนติเมตร (กำหนดให้) จะได้ NO = 3 เซนติเมตร (ด้านประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วยาวเท่ากัน) พิจารณา NWP และ OWL จะได้ NW OW = และ PW LW = ( OP และ NL ยาวเท่ากัน แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด W ) NWP OWL ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น NWP OWL (ด.ม.ด.) จะได้ NP OL = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) เนื่องจาก NP = 3 เซนติเมตร (กำหนดให้) ดังนั้น OL = 3 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ KL KO OL = + = + = 3 3 6 เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน KLMN = = 6 3 18 เซนติเมตร
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 24 6. กำหนด จุด P จุด Q จุด R และ จุด S เป็นจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ตามลำดับ ถ้าเส้นทแยงมุม AC และ BD ยาว 8 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร ตามลำดับ จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม PQRS เนื่องจาก AC = 8 เซนติเมตร และ BD =12 เซนติเมตร (กำหนดให้) จุด P จุด Q จุด R และจุด S เป็นจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสี่เหลี่ยม ABCD (กำหนดให้) จาก ABC จะได้ 1 2 PQ AC = (ส่วนของเส้นตรงลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมใดๆ จะยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม) ดังนั้น ( ) 1 8 4 2 PQ = = เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) ในทำนองเดียวกัน จาก ADC จะได้ SR = 4 เซนติเมตร จาก DAB จะได้ 1 2 PS BC = (ส่วนของเส้นตรงลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมใดๆ จะยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม) ดังนั้น ( ) 1 12 6 2 PS = = เซนติเมตร (สมบัติของการเท่ากัน) ในทำนองเดียวกัน จาก DCB จะได้ QR = 6 เซนติเมตร ดังนั้น ความยาวรอบรูปของ PQRS = + + + = 4 4 6 6 20 เซนติเมตร 7.กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มี BD ยาว 14 หน่วย และ CE ยาว z หน่วย จงหา 1) ค่าของ z y − เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (กำหนดให้) จะได้ BC CD = (ด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาวเท่ากัน) นั่นคือ 4 3 25 y − = (กำหนดให้) ดังนั้น y = 7 (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก CED เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตัดกันเป็นมุมฉาก) BD =14 หน่วย (กำหนดให้) จะได้ 14 7 2 2 BD BE ED = = = = หน่วย (เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน) ดังนั้น 2 2 2 z = − 25 7 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) = 576 (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ z = 24 (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น z y − = − = 24 7 17 (สมบัติของการเท่ากัน โดยแทน z ด้วย 24 และแทน y ด้วย 7 )
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 25 2) พื้นที่ของ ABCD เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (กำหนให้) BD =14 หน่วย (กำหนดให้) AC z = = = 2 2 24 48 ( ) หน่วย (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น พื้นที่ของ 1 2 ABCD = ผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม 1 14 48 2 = = 336 ตารางหน่วย 8.สมศักดิ์ได้รับมอบหมายให้ตั้งเสาส่งสัญญาณโทรศัพท์ โดยยึดฐานของเสาส่งสัญญาณไว้ที่จุด B และฝังสมอบกไว้ที่จุด A และจุด C บนพื้นในแนวระดับดังรูป สมศักดิ์กล่าวว่า ถ้า AB เท่ากับ BC และเสาสัญญาณโทรศัพท์ PB ตั้งอยู่ในแนวดิ่ง แล้ว ท่อนเหล็กที่ใช้ยึดเสาสัญญาณโทรศัพท์จากจุด P ถึงจุด A และจากจุด P ถึงจุด C จะยาวเท่ากัน นักเรียนคิดว่าคำ กล่าวของสมศักดิ์เป็นจริงหรือไม่ เพราะเหตุใด พิจารณา PBA และ PBC AB BC = (กำหนดให้) ˆ ˆ 90o PBA PBC = = ( PB อยู่ในแนวดิ่งหรือตั้งฉากกับ AB และ BC ซึ่งอยู่บนพื้นในแนวระดับ) PB PB = ( PB เป็นด้านร่วม) จะได้ PBA PBC (ด.ม.ด.) ดังนั้น PA PC = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะ ยาวเท่ากัน) นั้นคือ คำกล่าวของสมศักดิ์ที่ว่า “ท่อนเหล็กที่ใช้ยึดเสาสัญญาณโทรศัพท์จากจุด P ถึงจุด A และจากจุด P ถึงจุด C จะยาวเท่ากัน” เป็นจริง
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 26 แบบทดสอบท้ายบท จงเลือกข้อถูกที่สุด 1.ประโยคเงื่อนไขในข้อใดเป็นจริง ก. ถ้า 2 b = 25 แล้ว b = 5 ข. ถ้า a 1 > b 1 แล้ว a 1 − > b 1 − ค. ถ้า a b แล้ว − − a b ง. ถ้า a เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว 1 เป็นตัวประกอบ ของ a 2.กำหนดส่วนของเส้นตรงยาว a หน่วย พิจารณาข้อความ ต่อไปนี้ 1. ให้ D และ E เป็นศูนย์กลางรัศมียาว a หน่วย เขียน ส่วนโค้งตัดกันที่จุด F 2.ลาก DE ยาว m หน่วย 3. ลาก DF และ EF ข้อใดเรียงลำดับข้อความที่แสดงขั้นตอนการสร้างได้ถูกต้อง ก. ข้อ 1. ข้อ 2. และข้อ 3. ข. ข้อ 1. ข้อ 3. และข้อ 2. ค. ข้อ 2. ข้อ 3. และข้อ 1. ง. ข้อ 2. ข้อ 1. และข้อ 3. 3.จงพิจารณาขั้นตอนการสร้าง ดังต่อไปนี้ 1. ลาก OC จะได้ ( ) o m BOC 90 ˆ = 2. ใช้จุด A และจุด B เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวเท่ากัน เขียนส่วนโค้งตัดกันที่จุด C 3. ใช้จุด O เป็นศูนย์กลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนส่วน โค้งตัด AB ที่จุด A และจุด B 4. ลาก AB ข้อใดเรียงลำดับข้อความที่แสดงขั้นตอนการสร้างได้ถูกต้อง ก. ข้อ 1. ข้อ 2. ข้อ 3. และข้อ 4. ข. ข้อ 2. ข้อ 1. ข้อ 4. และข้อ 3. ค. ข้อ 3. ข้อ 1. ข้อ 2. และข้อ 4. ง. ข้อ 4. ข้อ 3. ข้อ 2 และข้อ 1. 4.ขั้นตอนการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ให้ AB ยาว 3.5 หน่วย o BAE 105 ˆ = และ BC ยาว 5 เซนติเมตร โดยลาก AB ยาว 3.5 หน่วย และสร้าง BA ˆ E ให้มีขนาด o 105 ขั้นต่อไปควรดำเนินการสร้างตามข้อใด ก. กำหนดจุด D บน AE และใช้เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี 5 เซนติเมตร เขียนส่วนโค้งตัด AB ข. ใช้จุด Ä เป็นจุดศูนย์กลางตัด AE ที่จุด D ค. กำหนดจุด D บน AE และใช้จุดศูนย์กลางรัศมี 5 เซนติเมตร เขียนส่วนโค้ง ง. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี 5 เซนติเมตร เขียนส่วน โค้งตัด AE ที่จุด D 5.จงพิจารณาขั้นตอนการสร้าง ดังต่อไปนี้ 1. ลาก AX 2. ลาก AC และ BC 3. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนส่วน โค้งตัด AX ที่จุด B 4. ใช้จุด A และจุด B เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวเท่ากัน เขียนส่วนโค้งตัดกันที่จุด C ข้อใดเรียงลำดับข้อความที่แสดงขั้นตอนการสร้างได้ถูกต้อง ก. ข้อ 1. ข้อ 2. ข้อ 3. และข้อ 4. ข. ข้อ 1. ข้อ 2. ข้อ 4. และข้อ 3. ค. ข้อ 1. ข้อ 3. ข้อ 4. และข้อ 2. ง. ข้อ 1. ข้อ 4. ข้อ 2 และข้อ 3. 6. จากรูปสามเหลี่ยม ATM ที่กำหนดให้ จงเรียงลำดับ ขั้นตอนการสร้าง AE ตั้งฉากกับ TM ให้ถูก 1. ลาก AD ตัดกับ TM ที่จุด E จะได้ AE ตั้งฉากกับ TM 2. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวกว่าระยะจากจุด Ä ถึง TM เขียนส่วนโค้งตัด TM ที่จุด B และจุด C 3. ใช้จุด B และจุด C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวเกิน
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 2 ครึ่งหนึ่งของ BC เขียนส่วนโค้งตัดกันที่จุด D ข้อใดถูกต้อง ก. ข้อ 1. ข้อ 2. และข้อ 3. ข. ข้อ 2. ข้อ 3. และข้อ 1. ค. ข้อ 2. ข้อ 1. และข้อ 3. ง. ข้อ 3. ข้อ 1. และข้อ 2. กำหนดให้ AB และ CD เป็นเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุด O ต้องการพิสูจน์ว่า AO ˆ C = DO ˆ B ข้อความ ผล 1. AO ˆ C + CO ˆ B = AO ˆ B 2. AO ˆ B = 180 3. AO ˆ C + CO ˆ B = 180 4. DO ˆ B + CO ˆ B = DOˆC 5. AO ˆ C + CO ˆ B = DO ˆ B + CO ˆ B 6. AO ˆ C = DO ˆ B 1. AO ˆ C และ CO ˆ B เป็นส่วนย่อยของ AO ˆ B 2. (ข้อ 7) 3. จากข้อ 1 ข้อ 2 และ สมบัติของการเท่ากัน 4. พิสูจน์ในทำนอง เดียวกันกับการพิสูจน์ ข้อ 3 5. จากข้อ 3 ข้อ 4 และ (ข้อ 8) 6. จากข้อ 5 และสมบัติ ของการเท่ากัน 7. ควรเติมเหตุผลของการพิสูจน์ในข้อใด ก. AO ˆ B เป็นมุมแหลม ข. AO ˆ B เป็นมุมป้าน ค. AO ˆ B เป็นมุมฉาก ง. AO ˆ B เป็นมุมตรง 8. ควรเติมเหตุผลของการพิสูจน์ในข้อใด ก. สมบัติของการเท่ากัน ข. สมบัติของการบวก ค. สมบัติของการสลับที่ ง. สมบัติของการลบ กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ต้องการพิสูจน์ว่า BA ˆ C + AC ˆ B + AB ˆ C = 180 พิสูจน์ ลากเส้น DE ผ่านจุด B และขนานกับ AC ข้อความ ผล 1. AC // DE 2. BA ˆ C = (ข้อ 9) และ AC ˆ B = (ข้อ 10) 3. BA ˆ C + AC ˆ B = (ข้อ 11) 4. BA ˆ C + AC ˆ B + AB ˆ C = AB ˆ D + CB ˆ E + AB ˆ C 5. AB ˆ D + CB ˆ E + AB ˆ C + DB ˆ E 6. BA ˆ C + AC ˆ B + AB ˆ C = DB ˆ E 7. DB ˆ E = (ข้อ 12) องศา 8. BA ˆ C + AC ˆ B + AB ˆ C = (ข้อ 13) องศา 1. โดยการสร้าง 2. จากข้อ 1 มุมแย้งที่ เกิดจากเส้นตัดเส้น ขนานมีขนาดเท่ากัน 3. จากข้อ 2 และ สมบัติการเท่ากัน 4. จากข้อ 3 บวกทั้ง สองข้างด้วยขนาด ของมุม AB ˆ C 5. AB ˆ D , CB ˆ E , AB ˆ C เป็นส่วนย่อย ของ DB ˆ E 6. จากข้อ 4 และข้อ 5 และสมบัติของการ เท่ากัน 7. DB ˆ E เป็นมุมตรง 8. จากข้อ 6 และข้อ 7 และสมบัติขิงการ เท่ากัน 9. ควรเติมข้อความของการพิสูจน์ในข้อใด ก. AC ˆ B ข. CB ˆ E ค. AB ˆ D ง. BA ˆ C 10. ควรเติมข้อความของการพิสูจน์ในข้อใด ก. AB ˆ D ข. CB ˆ E ค. BA ˆ C ง. AC ˆ B 27
บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 3 11. ควรเติมข้อความของการพิสูจน์ในข้อใด ก. AB ˆ D + CB ˆ E ข. AB ˆ D + BA ˆ C ค. BA ˆ C + AC ˆ B ง. AC ˆ B + AB ˆ D 12. ควรเติมข้อความของการพิสูจน์ในข้อใด ก. 60 ข. 90 ค. 120 ง. 180 13. ควรเติมข้อความของการพิสูจน์ในข้อใด ก. 225 ข. 180 ค. 120 ง. 90 28