เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 6 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา ….....….. ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คุณครู.................................................. ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน.............................................................. สำนักงานเขตพื้นที่............................................. ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1 บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1. แนะนำระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ 3x − y = 3 2x + y = 2 เขียนกราฟของสมการทั้งสอง ได้ดังนี้ ให้ a,b,c,d,e และ f เป็นจำนวนจริง ที่ a,b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ c, d ไม่ เป็นศูนย์พร้อมกัน ระบบที่ประกอบด้วยสมการ cx dy f ax by e + = + = เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี x และ y เป็นตัวแปร โดยที่ a และ c เป็นสัมประสิทธิ์ของ x b และ d เป็นสัมประสิทธิ์ของ y คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่สอดคล้องกับ สมการทั้งสองของระบบสมการ หรือกล่าวได้ว่าคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัว แปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่ค่า x และค่า y ทำให้ได้สมการที่เป็นจริงทั้งสองสมการ เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเป็นเส้นตรงสองเส้นซึ่งตัด กันที่จุด (1,0) เพียงจุดเดียว แสดงว่ามีคู่อันดับเพียงคู่เดียว คือ (1,0) ที่เป็นคำตอบของทั้งสองสมการ ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ (1,0)
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ x − 2y =1 2x − 4y = 2 เขียนกราฟของสมการทั้งสอง ได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ 3x − 2y = −6 3x − 2y = 3 เขียนกราฟของสมการทั้งสอง ได้ดังนี้ เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเป็น กราฟที่ทับกันหรือเป็น เส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคำตอบมากมายไม่จำกัด โดยทุกคู่ อันดับที่เป็นคำตอบต้องสอดคล้องกับสมการ เนื่องจากกราฟของสมการทั้งสองเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน จึงไม่ตัดกัน ทำให้ไม่มีจุดตัด ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 3 แบบฝึกหัดที่ 1 1.จากกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรต่อไปนี้ จงพิจารณาว่าแต่ละระบบสมการมีคำตอบหรือไม่ ในกรณีมีคำตอบ เดียวให้ระบุคำตอบนั้น มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ (2,1) มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ (3,−3) มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ไม่มีคำตอบ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ (− 2,3) มีคำตอบมากมายไม่จำกัด 1) 2) 3) 4) 5) 6)
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 4 2. กำหนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ดังนี้ y + 2x = 6 x = 2 y = 3x − 4 y − 3x = 6 y = −2 1) จงเติมหมายเลขของสมการลงใน ให้สอนคล้องกับกราฟของสมการที่กำหนดให้ 2) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ประกอบด้วยสมการ และ มีคำตอบหรือไม่ ในกรณีมีคำตอบให้ระบุคำตอบ ตอบ มีคำตอบเดียวคือ (0,6) 3) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ประกอบด้วยสมการ และ มีคำตอบหรือไม่ ในกรณีมีคำตอบให้ระบุคำตอบ ตอบ ไม่มีคำตอบ 4) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ประกอบด้วยสมการ และ มีคำตอบหรือไม่ ในกรณีมีคำตอบให้ระบุคำตอบ ตอบ มีคำตอบเดียวคือ (2,−2) 5) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ประกอบด้วยสมการ และ มีคำตอบหรือไม่ ในกรณีมีคำตอบให้ระบุคำตอบ ตอบ มีคำตอบเดียวคือ (4,−2) 6) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ประกอบด้วยสมการ , และ มีคำตอบหรือไม่ ในกรณีมีคำตอบให้ระบุ คำตอบ ตอบ มีคำตอบเดียวคือ (2,2)
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 5 2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเรานิยมใช้สมบัติการเท่ากันเช่น สมบัติสมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ ตัวอย่างที่ 4 จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ x + 2y = 1 x − 2y = 5 วิธีทำ x + 2y = 1 x − 2y = 5 + ; (x + 2y)+ (x − 2y) = 1+ 5 3 2 6 2 2 6 = = + + − = x x x y x y แทน x ด้วย 3 ในสมการ จะได้ 1 2 2 3 2 1 = − = − + = y y y ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (3,−1) ตัวอย่างที่ 5 จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ 2x + 4y = 3 3x + 6y = 8 วิธีทำ 2x + 4y = 3 3x + 6y = 8 3 ; 6x +12y = 9 2 ; 6x +12y = 16 - (6x +12y)− (6x +12y) = 9 −16 0 7 6 12 6 12 7 = − x + y − x − y = − ซึ่งเป็นสมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 6 แบบฝึกหัดที่ 2 1. จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรต่อไปนี้ 1) 3x − 4y = 0 3x + 4y = −24 วิธีทำ 3x − 4y = 0 3x + 4y = −24 + ; 6x = −24 x = −4 แทน x ด้วย − 4 ในสมการ จะได้ ( ) 3 4 12 3 4 4 0 = − − = − − = y y y ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (− 4,−3) 2) 3x − y = 7 4x − 3y −11 = 0 วิธีทำ 3x − y = 7 4x − 3y −11 = 0 จากสมการ 4x − 3y =11 3 ; 9x − 3y = 21 - ; 5x =10 x = 2 แทน x ด้วย 2 ในสมการที่ จะได้ ( ) 1 1 3 2 7 = − − = − = y y y ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (− 2,−1)
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 7 3) x + 7 y = 8 3x + 2y = 5 วิธีทำ x + 7 y = 8 3x + 2y = 5 3 ; 3x + 21y = 24 - ; 19y = 19 y = 1 แทน y ด้วย 1 ในสมการ จะได้ ( ) 1 7 1 8 = + = x x ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (1,1) 4) x + 2y −1= 0 2x + 4y − 5 = 0 วิธีทำ x + 2y −1= 0 2x + 4y − 5 = 0 2 ; 2x + 4y − 5 = 0 − ; −3 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ 5) 4x = 3y +12 3 4 3 x = y + วิธีทำ 4x = 3y +12 3 4 3 x = y + แทน x ด้วย 3 4 3 y + ในสมการ จะได้ 12 12 3 12 3 12 3 3 12 4 3 4 = + = + = + + y y y y แสดงว่า สมการ และสมการ มีคำตอบเหมือนกัน และมีคำตอบมากมายไม่จำกัด ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัดอยู่ในรูป
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 8 6) 2 1 x + y = 6 1 x − 3y = วิธีทำ 2 1 x + y = แทน y ด้วย 12 1 ในสมการ จะได้ 6 1 x − 3y = 12 1 12 1 x + = − ; 3 1 4y = 12 5 x = 12 1 y = ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ 12 1 , 12 5 7) 5x + 3y =10 4x − 2y = 8 วิธีทำ 5x + 3y =10 แทน x ด้วย 2 ในสมการ จะได้ 4x − 2y = 8 5(2)+3y =10 2 ; 10x + 6y = 20 3y = 0 3 ; 12x − 6y = 24 y = 0 + ; 22x = 44 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (2,0) x = 2 8) − 2x −5y = 5 2y = 4 − 2x วิธีทำ − 2x −5y = 5 2y = 4 − 2x จากสมการ ; 2x + 2y = 4 + ; − 3y = 9 y = −3 แทน y ด้วย − 3 ในสมการ จะได้ ( ) 5 2 10 2 5 3 5 = − = − − − − = x x x ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (5,−3)
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 9 9) 2x − 3y = 5 − 6x + 9y = −12 วิธีทำ 2x − 3y = 5 − 6x + 9y = −12 (−3) ; − 6x + 9y = −15 − ; 0 = 3 ซึ่งเป็นสมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ 10) 2 2 1 x − y = y − 2x = −4 วิธีทำ 2 2 1 x − y = y − 2x = −4 2 ; 2x − y = 4 + ; 0= 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง แสดงว่า สมการ และสมการ มีคำตอบเหมือนกัน และมีคำตอบมากมายไม่จำกัด หาคู่อันดับที่เป็นคำตอบของระบบสมการนี้ได้จากสมการใดสมการหนึ่ง ดังนี้ จากสมการ จะได้ y = 2x − 4 ดังนี้ ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัดอยู่ในรูป (x,2x − 4) เมื่อ x แทนจำนวนจริงใดๆ 2. จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรต่อไปนี้ 1) 5x − 4y =1 x − y = −7 วิธีทำ 5x − 4y =1 x − y = −7 5 ; 5x − 5y = −35 − ; y = 36 แทน y ด้วย 36 ในสมการ จะได้ 29 36 7 = − = − x x ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (29,36)
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 10 2) 5 2 3 x = y − 12y −8x = −12 วิธีทำ 5 2 3 x = y − 12y −8x = −12 แทน x ด้วย 5 2 3 y −ในสมการ จะได้ 40 12 12 12 40 12 5 12 2 3 12 8 = − − + = − = − − − y y y y ซึ่งเป็นสมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ 3) − 2x = 2( y − 2) 2x + 2y = 4 วิธีทำ − 2x = 2( y − 2) 2x + 2y = 4 จากสมการ ; − 2x + 2y = −4 + ; 0 = 0 ซึ่งเป็นสมการที่เป็นจริง แสดงว่า สมการ และสมการ มีคำตอบเหมือนกัน และมีคำตอบมากมายไม่จำกัด หาคู่อันดับที่เป็นคำตอบของระบบสมการนี้ได้จากสมการใดสมการหนึ่ง ดังนี้ จากสมการ จะได้ y = 2 − x ดังนี้ ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัดอยู่ในรูป (x,2 − x) เมื่อ x แทนจำนวนจริงใดๆ 4) 11x + 8y = 31 13x − 6y = 83 วิธีทำ 11x + 8y = 31 แทน x ด้วย 5 ในสมการ จะได้ 13x − 6y = 83 11(5)+8y = 31 3 ; 33x + 24y = 93 8y = −24 4 ; 52x − 24y = 332 y = −3 ; 85x = 425 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (5,−3) x = 5
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 11 5) 4x − 3y =12 1 4 1 3 1 x − y = วิธีทำ 4x − 3y =12 1 4 1 3 1 x − y = 12 ; 4x − 3y = 12 จะเห็นว่า สมการ ที่ได้จากสมการ เป็นสมการเดียวกันกับสมการ แสดงว่า สมการ และสมการ มีคำตอบเหมือนกัน และมีคำตอบมากมายไม่จำกัด หาคู่อันดับที่เป็นคำตอบของสมการนี้ได้จากสมการใดสมการหนึ่ง ดังนี้ จากสมการ ; 4x − 3y =12 3 4 −12 = x y ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัดอยู่ในรูป − 3 4 12 , x x เมื่อ x แทนจำนวนจริงใดๆ 6) 2x + 3y =1.6 3x − 4y = 4.1 วิธีทำ 2x + 3y =1.6 แทน x ด้วย 1.1 ในสมการ จะได้ 3x − 4y = 4.1 2(1.1)+ 3y =1.6 4 ; 8x +12y = 6.4 3y = −0.6 3 ; 9x −12y =12.3 y = −0.2 ; 17x =18.7 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (1.1,−0.2) x =1.1 7) 0.2x + 0.3y = 0.7 0.5x − 0.2y = 0.8 วิธีทำ 0.2x + 0.3y = 0.7 แทน x ด้วย 2 ในสมการ จะได้ 0.5x − 0.2y = 0.8 2(2)+ 3y = 7 10 ; 2x + 3y = 7 3y = 3 10 ; 5x − 2y = 8 y =1 2 ; 4x + 6y =14 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (2,1) 3 ; 15x − 6y = 24 + ; 19x = 38 x = 2
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 12 8) 3x + 3 = 23− 4y 4 4 3 + = x y วิธีทำ 3x + 3 = 23− 4y 4 4 3 + = x y จากสมการ ; 3x + 4y = 20 12 ; 3x + 4y = 48 − ; 0 = −28 ซึ่งเป็นสมการที่ไม่เป็นจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ 9) − 4x + 9y − 7 = 0 12x − 27y + 21= 0 วิธีทำ − 4x + 9y − 7 = 0 แทน x ด้วย 0 ในสมการ จะได้ 12x − 27y + 21= 0 4(0)+ 9y − 7 = 0 3 ; 12x + 27y − 21 = 0 9y = 7 + ; 24x = 0 9 7 y = x = 0 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ 9 7 0, 10) 26x + 3y + 4 = 0 (x − ) = (1− y) 4 1 2 5 1 วิธีทำ 26x + 3y + 4 = 0 แทน x ด้วย 2 1 −ในสมการ จะได้ (x − ) = (1− y) 4 1 2 5 1 3 4 0 2 1 26 + + = − y 20 ; 4(x − 2) = 5(1− y) −13 + 3y + 4 = 0 4x − 8 = 5 − 5y 3y = 9 4x + 5y −13 = 0 y = 3 5 ; 130x +15y + 20 = 0 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ − ,3 2 1 3 ; 12x +15y − 39 = 0 − ; 118x + 59 = 0 2 1 x = −
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 13 11) 2x − 3y = −9 3(x −1) = 5(y − 4)+ 2 วิธีทำ 2x − 3y = −9 3(x −1) = 5(y − 4)+ 2 จากสมการ ; 3x − 3 = 5y − 20 + 2 3x − 5y = −15 3 ; 6x − 9y = −27 2 ; 6x −10y = −30 − ; y = 3 แทน y ด้วย 3 ในสมการ จะได้ ( ) 0 2 0 2 3 3 9 = = − = − x x x ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (0,3) 12) 5(y − 2)−6x = 7 2(x + 5)− (y −1) = 4 วิธีทำ 5(y − 2)−6x = 7 2(x + 5)− (y −1) = 4 จากสมการ ; 2x +10 − y +1 = 4 2 7 2 7 = + − = − y x x y แทน y ด้วย 2x + 7 ในสมการ จะได้ ( ) ( ) 2 9 4 18 10 25 6 7 5 2 5 6 7 5 2 7 2 6 7 = − = − + − = + − = + − − = x x x x x x x x แทน x ด้วย 2 9 −ในสมการ จะได้ 2 7 2 9 2 = − + = − y y ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ − ,−2 2 9
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 14 3.การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา เป็นอีกเรื่องหนึ่งที่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้ความรู้เรื่องระบบ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร สำหรับความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา เป็นดังนี้ ตัวอย่างที่ 6 ถ้าครึ่งหนึ่งของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43 และสามเท่าของจำนวนน้อย มากกว่าสองเท่าของ จำนวนมากอยู่ 23 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนมาก y แทนจำนวนมาก จากโจทย์ ครึ่งหนึ่งของผลบวกของจำนวนสองจำนวนนี้เป็น 43 จะได้สมการ ( ) 43 2 1 x + y = จากโจทย์ สามเท่าของจำนวนน้อย มากกว่าสองเท่าของจำนวนมากอยู่ 23 จะได้สมการ 3y − 2x = 23 2 ; x + y = 86 2 ; 2x + 2y =172 + ; (3y − 2x)+ (2x + 2y) = 23+172 39 5 195 3 2 2 2 195 = = − + + = y y y x x y แทน y ด้วย 39 ในสมการ จะได้ x + 39 = 86 x = 47 ดังนั้น จำนวนสองจำนวนนั้นคือ 47 และ 39 ตัวอย่างที่ 7 เมืองบูรพาและเมืองอาคเนย์อยู่ห่างกัน 480 กิโลเมตร ศรัณย์ขับรถจากเมืองบูรพาไปเมืองอาคเนย์ส่วนนิอรขับ รถยนต์จากเมืองอาคเนย์ไปเมืองบูรพาบนเส้นทางเดียวกัน ทั้งสองออกเดินทางเวลา 06:00 น. พร้อมกัน และพบกันเวลา 09:00 น. โดยศรัณย์ขับรถได้ระยะทางมากกว่านิอร 30 กิโลเมตร จงหาว่าแต่ละคนขับรถด้วยอัตราเร็วเท่าไร วิธีทำ ให้ศรัณย์ขับรถด้วยอัตราเร็ว x กิโลเมตรต่อชั่วโมง นิอรขับรถด้วยอัตราเร็ว y กิโลเมตรต่อชั่วโมง ทั้งสองคนขับรถตั้งแต่เวลา 06: 00 น. และพบกันเวลา 09 : 00 น. คิดเป็นเวลาขับรถคนละ 3 ชั่วโมง ได้ระยะทางรวมกัน 480 กิโลเมตร จะได้สมการ 3x + 3y = 480 เวลา 3 ชั่วโมง ศรัณย์ขับรถได้ระยะทางมากกว่านิอร 30 กิโลเมตร จะได้สมการเป็น 3x − 3y = 30 ระยะทาง = อัตราเร็ว x เวลา
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 15 + ; 6x = 510 x = 85 แทน x ด้วย 85 ในสมการ จะได้ ( ) 75 3 225 255 3 480 3 85 3 480 = = + = + = y y y y ดังนั้น ศรัณย์และนิอรขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 85 และ 75 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ตามลำดับ แบบฝึกหัดที่ 3 1. จำนวนที่มีสองหลักจำนวนหนึ่ง มีเลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 4 และผลบวกจำนวนนี้กับจำนวนที่ ได้จากการสลับที่เลขโดดเป็น 154 จงหาจำนวนนั้น วิธีทำ ให้ x แทนเลขโดดในหลักสิบ y แทนเลขโดดในหลักสิบ เลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 4 จะได้สมการเป็น x − y = 4 จำนวนที่มีสองหลักที่กล่าวถึงคือ 10x + y เมื่อสลับที่เลขโดดทั้งสองจะได้จำนวนใหม่เป็น 10y + x ผลบวกของจำนวนนี้กับจำนวนที่ได้จากการสลับที่เลขโดดเป็น 154 จะได้สมการเป็น (10x + y)+ (10y + x) =154 14 11 11 154 + = + = x y x y . 9 ; 2 18 = + = x x แทน x ด้วย 9 ในสมการ จะได้ 5 9 14 = + = y y ดังนั้น จำนวนนั้น คือ 95
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 16 2. ติ๊กสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได้ 200 เหรียญ คิดเป็นเงินรวมกัน 920 บาท อยากทราบว่าติ๊กมี เหรียญแต่ละชนิดอย่างละกี่เหรียญ วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนเหรียญชนิดสิบบาท คิดเป็น 10x บาท y แทนจำนวนเหรียญชนิดหนึ่งบาท คิดเป็น y บาท ติ๊กสะสมเหรียญชนิดสิบบาทและหนึ่งบาท รวมกันได้ 200 เหรียญ จะได้สมการเป็น x + y = 200 เหรียญชนิดสิบบาท และหนึ่งบาท คิดเป็นเงินรวมกัน 920 บาท จะได้สมการเป็น 10x + y = 920 − ; 9x = 720 x = 80 แทน x ด้วย 80 ในสมการ จะได้ 120 80 200 = + = y y ดังนั้น ติ๊กมีเหรียญชนิดสิบบาท 80 เหรียญ และมีเหรียญชนิดหนึ่งบาท 120 เหรียญ 3.วิมลมีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท ส่วนหนึ่งนำไปฝากธนาคารเพื่อรับดอกเบี้ย 2% อีกส่วนหนึ่งนำไปลงทุนเพื่อรับเงินปัน ผล 4% สิ้นปีมีรายได้รวมกัน 4,000 บาท อยากทราบว่าวิมลนำไปลงทุนแต่ละประเภทเท่าใด วิธีทำ ให้ x แทนเงินที่วิมลไปฝากธนาคาร y แทนเงินที่วิมลนำไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผล วิมลมีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท จะได้สมการเป็น x + y =120,000 ส่วนที่ฝากธนาคารได้รับดอกเบี้ย 2% และส่วนที่ลงทุนได้รับเงินปันผล 4% สิ้นปีมีรายได้รวมกัน 4,000 จะได้สมการเป็น 4,000 100 4 100 2 x + y = หรือ x + 2y = 200,000 − ; y = 80,000 แทน y ด้วย 80,000 ในสมการ จะได้ x + 80,000 =120,000 x = 40,000 ดังนั้น วิมลนำเงินไปฝากธนาคาร 40,000 บาท และนำเงินไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผล 80,000 บาท
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 17 4.กรกัณฑ์คิด “เครื่องดื่มประจำสัปดาห์” สำหรับร้านของเขา โดยต้องผสมเครื่องดื่มที่มีชานม 80% กับเครื่องดื่ม ที่มีชานม 50% เพื่อให้ได้เครื่องดื่มสูตรพิเศษเป็นเครื่องดื่มประจำสัปดาห์ 5 ลิตร ที่มีชานม 60% กรกัณฑ์ต้องใช้เครื่องดื่มแต่ละ อย่างกี่ลิตร วิธีทำ ให้ ใช้เครื่องดื่มที่มีชานม 80% จำนวน x ลิตร ผสมกับเครื่องดื่มที่ชานม 50% จำนวน y ลิตร ต้องการเครื่องดื่มผสมเป็นสูตรพิเศษประจำสัปดาห์ 5 ลิตร จะได้สมการเป็น x + y = 5 เครื่องดื่มที่มีชานม 80% จำนวน x จะมีชานมอยู่ x 0.8x 100 80 = ลิตร เครื่องดื่มที่มีชานม 50% จำนวน y จะมีชานมอยู่ x 0.5y 100 50 = ลิตร จะได้ เครื่องดื่มผสมที่มีชานมทั้งหมด 0.8x + 0.5y ลิตร ต้องการเครื่องดื่มผสมจำนวน 5 ลิตร ที่มีชานม 60% จะมีชานม 5 3 100 60 = ลิตร จะได้สมการเป็น 0.8x + 0.5y = 3 10 ; 8x + 5y = 30 5; 5x + 5y = 25 − ; 3x = 5 3 5 x = แทน x ด้วย 3 5 ในสมการ จะได้ 3 10 5 3 5 = + = y y ดังนั้น กรภัณฑ์ต้องใช้เครื่องดื่มที่มีชานม 80% ผสมกับเครื่องดื่มที่มีชานม 50% จำนวน 3 5 ลิตร และ 3 10 ลิตร ตามลำดับ
บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 18 แบบทดสอบเรื่องระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คำชี้แจง : จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด 1. กราฟของสมการในข้อใดที่ขนานกัน ก. y = 2x - 5 , y = -2x + 5 ข. y = 2x + 5 , y = 2x – 5 ค. y = 2x - 5 , y = -2x – 5 ง. y = 2x + 5 , y = 5x + 2 2. กราฟคู่ใดตัดแกน y ที่จุดเดียวกัน ก. y = 4x - 1 , y = -4x + 1 ข. y = 4x - 1 , y = -4x - 1 ค. y = 4x + 1 , y = 4x - 1 ง. y = 4x + 1 , y = x + 4 3. สี่เท่าของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งมากกว่าจำนวนเต็มอีก จำนวนหนึ่งอยู่ 4 เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ตรงกับข้อใด ก. 4x + y = 4 ข. 4x - y = 4 ค. 4x > y + 4 ง. 4x > y - 4 4. ข้อใดเป็นคำตอบของสมการ 2x + y = 4 ก. {…, (-3 , 10) , (-2 , 8) , (-1 , 6) , (0 , 4) ,…} ข. {…, (-2 , 8) , (0 , 4) , (1 , 2) , (2 , 8) ,…} ค. {…, (-1 , 6) , (0 , 4) , (2 , 0) , (4 , -8) ,…} ง. {…, (-2 , 8) , (1 , 2) , (3 , -2) , (5 , -6) ,…} 5. จากระบบสมการ ถ้า (a,b) เป็นคำตอบ ของระบบสมการ แล้ว a - b มีค่าตรงกับข้อใด ก. -16 ข. 16 ค. -2 ง. 2 6. ถ้ากราฟของสมการ 3x - ky = -2 ขนานกับกราฟของ เส้นตรง 6x - 4y - 7 = 0 แล้ว k มีค่าตรงกับข้อใด ก. 4 ข. -4 ค. 2 ง. -2 7. จากระบบสมการ แล้ว (x,y) ตรงกับ ข้อใด ก. (2,5) ข. (-2,-5) ค. (-2,5) ง. (2,-5) 8. ผู้ใหญ่ 3 คน กับเด็ก 4 คน ช่วยกันทำงานอย่างหนึ่งเสร็จ ใน 14 วัน และถ้าให้ผู้ใหญ่ 10 คน กับเด็ก 15 คน ทำงาน อย่างเดียวกันนั้นเสร็จภายใน 4 วัน อยากทราบว่าผู้ใหญ่ 7 คน กับเด็ก 6 คน ช่วยกันทำงานชิ้นเดิมจะเสร็จในเวลา กี่วัน ก. 7 วัน ข. 8 วัน ค. 9 วัน ง. 10 วัน 9. เหรียญห้าบาทคละกันทั้งหมด 52 เหรียญ แต่คิดเป็น จำนวนเงินทั้งหมด 120 บาท อยากทราบว่าฉันกับน้อง สะสมเงินเหรียญบาทและเหรียญห้าบาทอย่างละกี่เหรียญ ก. ฉันและน้องสะสมเงินเหรียญบาท 15 เหรียญ เหรียญห้าบาท 37 เหรียญ ข. ฉันและน้องสะสมเงินเหรียญบาท 37 เหรียญ เหรียญห้าบาท 15 เหรียญ ค. ฉันและน้องสะสมเงินเหรียญบาท 17 เหรียญ เหรียญห้าบาท 35 เหรียญ ง. ฉันและน้องสะสมเงินเหรียญบาท 35 เหรียญ เหรียญห้าบาท 17 เหรียญ 10. พายเรือในแม่น้ำเจ้าพระยาจากท่าพระจันทร์ไปยังท่าสาทร ระยะทาง 6 กิโลเมตร โดยพายเรือตามน้ำเสียเวลา 45 นาทีแต่ เมื่อพายเรือทวนน้ำกลับในทางเดิม เสียเวลา 1 ชั่วโมง 12 นาที จงหาอัตราเร็วการไหลของกระแสน้ำ ก. ความเร็วของกระแสน้ำ 2 3 กิโลเมตร/ชั่วโมง ข. ความเร็วของกระแสน้ำ 1 กิโลเมตร/ชั่วโมง ค. ความเร็วของกระแสน้ำ 4 3 กิโลเมตร/ชั่วโมง ง. ความเร็วของกระแสน้ำ 2 1 กิโลเมตร/ชั่วโมง 4x - 5y = 33 3x - 2y = 16 4x - y = 19 2x + y = 23