MODUL LINGKARAN (Sudut Pusat Lingkaran, Sudut Keliling Lingkaran, Luas Juring, Panjang Busur, dan Hubungannya)

TINJAUAN MATA PELAJARAN

A. Deskripsi Mata Pelajaran

Matematika merupakan mata pelajaran yang bersifat wajib untuk diberikan kepada
anak-anak Sekolah Menengah Pertama (SMP). Di dalam modul ini akan membahas materi
tentang sudut pusat lingkaran, sudut keliling lingkaran, panjang busur lingkaran, luas juring
lingkaran, dan hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling. Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan siswa dapat memahami tentang konsep lingkaran. Secara lebih terperinci, siswa
diharapkan :

1. Menentukan sudut pusat lingkaran.
2. Menentukan sudut keliling lingkaran.
3. Menentukan panjang busur lingkaran.
4. Menghitung luas juring lingkaran.
5. Mengidentifikasi hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap

busur yang sama.
6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat lingkaran.
7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut keliling lingkaran.
8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang busur lingkaran.
9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas juring lingkaran.
10. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hubungan antara sudut pusat dengan

sudut keliling yang menghadap busur sama.

B. Kegunaan Mata Pelajaran

Sesuai dengan kegunaan diberikannya matematika di sekolah, kita dapat melihat bahwa
matematika sekolah memegang peranan sangat penting. Anak didik memerlukan matematika
untuk memenuhi kebutuhan praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Beberapa kegiatan yang dapat dilakukan siswa dari pembelajaran matematika, diantaranya :

1. Dapat berhitung,
2. Dapat menghitung isi dan berat,
3. Dapat mengumpulkan,
4. Dapat mengolah data,
5. Dapat menyajikan data,

6. Dapat menafsirkan data dan
7. Dapat menggunakan kalkulator dan komputer.

Selain itu, kegunaan pembelajaran matematika yang lain adalah agar mampu mengikuti
pelajaran matematika lebih lanjut, membantu memahami bidang studi lain seperti fisika, kimia,
arsitektur, farmasi, geografi, ekonomi, dan sebagainya, dan agar para siswa dapat berpikir
logis, kritis, dan praktis, beserta bersikap positif dan berjiwa kreatif.

C. Kompetensi Dasar

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, 3.7.1 Menentukan sudut pusat lingkaran.

panjang busur, dan luas juring lingkaran serta 3.7.2 Menentukan sudut keliling lingkaran.

hubungannya. 3.7.3 Menentukan panjang busur lingkaran.

3.7.4 Menentukan luas juring lingkaran.

3.7.5 Mengidentifikasi hubungan antara sudut

pusat dengan sudut keliling yang menghadap

busur yang sama.

4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang dengan sudut pusat lingkaran.

busur, dan luas juring lingkaran serta 4.7.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

hubungannya. dengan sudut keliling lingkaran.

4.7.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan panjang busur lingkaran.

4.7.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan luas juring lingkaran.

4.7.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan hubungan antara sudut pusat dengan

sudut keliling yang menghadap busur yang

sama.

D. Bahan Pendukung Lainnya
1. LCD dan Proyektor.

E. Petunjuk Belajar
Untuk mendapatkan hasil maksimal saat belajar menggunakan bahan ajar ini, maka disediakan
beberapa petunjuk penggunaan bahan ajar antara lain:

1. Bacalah dan pahami dengan baik uraian materi yang disajikan pada masing-masing
kegitan pembelajaran. Apabila terdapat materi yang kurang jelas segera tanyakan
kepada guru.

2. Kerjakan soal latihan dengan baik untuk melatih kemampuan penguasaan pengetahuan
konseptual dan literasi lingkunganmu.

3. Untuk kegiatan “Kegiatan Diskusi” yang berisi kegiatan praktik, perhatikan hal-hal
“Keselamatan Kerja” yang berisi petunjuk melakukan praktikum. Jika ada kegiatan
yang belum dipahami, tanyakan pada guru hingga jelas.

4. Setelah selesai bersihkan dan kembalikan alat dan bahan ke tempatnya.

PENDAHULUAN

Pernahkah kamu berkreasi ke Dunia Fantasi? Di tempat tersebut, kamu dapat
menikmati berbagai macam permainan yang unik dan menarik. Mulai dari halilintar, kora-kora,
sampai arung jeram. Salah satu permainan yang tidak boleh dilewatkan adalah bianglala.
Dalam permainan ini, kamu dapat melihat satu tempat dari ketinggian tertentu. Jika
diperhatikan secara seksama, bentuk dasar dari permainan ini adalah berupa lingkaran.
Tahukah kamu, apa yang dimaksud dengan lingkaran?

Setelah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, kamu akan mempelajari
bangun datar yang lain, yaitu lingkaran. Pada bab ini kita akan mempelajari tentang sudut pusat
lingkaran, sudut keliling lingkaran, panjang busur lingkaran, luas juring lingkaran, dan
hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling.

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat memahami tentang konsep
lingkaran. Secara lebih terperinci, siswa diharapkan :

1. Menentukan sudut pusat lingkaran.
2. Menentukan sudut keliling lingkaran.
3. Menentukan panjang busur lingkaran.
4. Menghitung luas juring lingkaran.
5. Mengidentifikasi hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap

busur yang sama.
6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat lingkaran.
7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut keliling lingkaran.
8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang busur lingkaran.
9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas juring lingkaran.

10. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hubungan antara sudut pusat dengan
sudut keliling yang menghadap busur sama.

Untuk mencapai tujuan di atas, siswa dituntut untuk membaca setiap uraian materi
dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan latihan dan tes formatif secara
disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-mudahan mempelajari modul akan menjadi
pekerjaan yang menyenangkan bagi siswa.

SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

Gambar-gambar benda berbentuk lingkaran di kehidupan sehari-hari.
Ban mobil, kaset (compact disk), jam dinding, uang logam seperti gambar di atas
merupakan contoh-contoh benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Lingkaran adalah
himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik pusat. Jarak yang
sama itu disebut jari-jari. Lingkaran adalah salah satu kurva tutup sederhana yang membagi
bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan luar lingkaran. Nama lingkaran biasanya
sesuai dengan nama titik pusatnya. Jarak yang tetap antara titik pada lingkaran dengan pusat
lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya disimbolkan huruf r. Dengan pemahaman tentang
istilah-istilah tersebut siswa dapat memecahkan berbagai masalah yang terkait dengan
lingkaran.
A. Memahami sudut pusat lingkaran
Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran.
Sudut pusat sering disimbolkan (α,β,θ).
Ciri-cirinya :
1. Terbentuk dari dua sinar garis (kaki sudut).
2. Kaki sudut berhimpat dengan jari-jari lingkaran.
3. Titik sudut berimpit dengan titik pusat lingkaran.

Dari ketiga gambar di atas dapat disimpulkan bahwa FAOC, FAOB, dan FKOL adalah sudut
pusat lingkaran.

B. Memahami Sudut Keliling Lingkaran
Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berimpit dengan tali busur, dan titik

pusatnya berimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Pada gambar di atas sudut keliling ABC pada lingkaran O. Kaki-kaki sudut ABC (sinar BA
dan sinar BC) memotong lingkaran di titik A san C. Dengan kata lain sudut keliling ABC
menghadap busur AC. Dapat disimpulkan pada gambar kaki sudut AC dan BC berimpit dengan
tali busur AC dan titik pusatnya berimpit dengan titik B.

C. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama.
Perhatikan gambar di bawah!

FRPQ adalah sudut keliling dan FROQ adalah sudut pusat dengan menghadap busur yang
sama, yaitu RQ, OQ, OP, dan QR adalah jari-jari lingkaran, OQ = OP = OR, sehingga œOPR
dan œOPQ merupakan segitiga sama kaki, maka FPRO = FRPO, dan FPQO = FQPO, FROS

adalah sudut luar œOPR, maka FROS = FPRO + FRPO, dan FQOS adalah sudut luar œOPQ,
maka FQOS = FPQO + FQPO.

Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :
FROQ = FROS + FQOS

= (FPRO + FRPO) + (FPQO + FQPO)
= 2 FRPO + 2 FQPO
= 2 (FRPO + FQPO)
= 2 FRPQ
Maka dapat disimpulkan bahwa :

Jika sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran menghadap busur yang sama, maka
berlaku :

Sudut pusat = 2 × sudut keliling.

Sudut keliling = 1 × sudut pusat.
2

Contoh Soal
Berdasarkan gambar di bawah ini, jika FBOC = 6Oᵒ

a. Tunjukkanlah manakah yang merupakan sudut pusat lingkaran!
b. Tunjukkanlah manakah yang merupakan sudut keliling lingkaran!
c. Hitunglah besar FBAC!

Penyelesaian :

a. Sudut pusat lingkaran ditunjukkan oleh FBOC.

b. Sudut keliling lingkaran ditunjukkan oleh FBAC.

c. FBAC dan FBOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka :

FBAC = 1 × FBOC
2

= 1 × 6Oᵒ = 3Oᵒ
2

Jadi, besar FBAC = 3Oᵒ

PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING LINGKARAN

A. Memahami Panjang Busur Lingkaran

Panjang busur sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya. Panjang busur
merupakan bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik. Kedua titik tersebut dan
pusat lingkaran membentuk sebuah sudut. Bagian busur yang akan dimaksud dapat dilihat dari
gambar berikut.

Rumus untuk mencari panjang busur lingkaran :

AB = × Keliling Lingkaran
360ᵒ

Hubungan antara dua sudut dan panjang busur dalam satu lingkaran :

=


B. Memahami Luas Juring Lingkaran

Juring merupakan daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur. Daerah yang
dibatasi tersebut merupakan bagian dari luas lingkaran. Untuk mengetahui daerah yang disebut
juring dapat dilihat pada gambar berikut.

Rumus Mencari Luas Juring AOB :

Luas Juring AOB = ×
360ᵒ

Hubungan antara dua sudut dan panjang busur dalam satu lingkaran :

=


C. Memahami Hubungan Sudut Pusat dengan Panjang Busur dan Luas Juring
Tahukah kalian bagaimana bentuk lapangan permainan tolak peluru? Gambar A di

bawah ini merupakan gambar bentuk lapangan tolak peluru.

Gambar A
Jika dilihat secara mendetail pada lingkaran (titik A) maka gambar lapangan tolak peluru
seperti gambar B di bawah ini.

Gambar B
Dapatkah kalian menghitungnya berapa panjang busur yang dibentuk oleh sudut 45ᵒ
pada gambar B? Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama seperti gambar B. Jika jarak anak

A dan anak B sejauh 100 m, dapatkah kalian menghitung berapa panjang busur (garis
lengkung) yang dibentuk oleh anak B dan anak C?
Untuk menjawab soal tersebut Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran, sudut
pusat, dan panjang busur serta hubungannya.

Gambar C
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat
lingkaran. Pada gambar di bawah, FAOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB
disebut busur AB dan daerah arsiran FOAB disebut juring FOAB. Pada pembahasan kali ini,
kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah
lingkaran.

Gambar D
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.

Jadi, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus
dengan besar sudut pusatnya.

Gambar E
Sekarang perhatikan gambar E di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh :

Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan
luas lingkaran = πr2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar E di atas, sehingga
diperoleh :

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB
pada gambar E di atas :

Panjang busur AB = (α/360°) x 2πr
Luas juring OAB = (α/360°) x πr2
Luas tembereng AB = luas juring OAB – luas Δ AOB.
Berdasarkan penjelasan tersebut dapatkah Anda menjawab soal berapa panjang busur yang
dibentuk oleh sudut 45 pada Gambar B?
Berikut pembahasannya:
Pada gambar tersebut diketahui bahwa d = 2,135 m dan α = 45°, maka:
Panjang busur = (∠ pusat/360°) x πd
Panjang busur = (45°/360°) x 3,14 x 2,135 m
Panjang busur = 0,84 m
Jadi, panjang busur pada gambar B adalah 0,48 m.

Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama seperti gambar B. Jika jarak anak A dan anak B
sejauh 100 m, dapatkah Anda hitung berapa panjang busur (garis lengkung) yang dibentuk
oleh anak B dan anak C?
Berikut pembahasannya:
Pada gambar tersebut diketahui bahwa r = 100 m dan α = 45°, maka:
Panjang busur = (∠ pusat/360°) x πd
Panjang busur = (45°/360°) x 3,14 x 100 m
Panjang busur = 39,25 m
Jadi, panjang busur pada gambar A adalah 39,25 m.

Contoh Soal

Perhatikan Gambar di atas. Diketahui panjang jari-jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB = 90°,
hitunglah :

1. Panjang AB.
2. Luas juring OAB.
3. Luas tembereng AB.

Penyelesaian:
1. Panjang AB = (∠ AOB/360°) x 2πr
Panjang AB = (90°/360°) x 2 x 22/7 x 28 cm
Panjang AB = (1/4) x 2 x 22/7 x 28 cm
Panjang AB = 44 cm
2. Luas juring OAB = (∠ AOB/360°) x πr2
Luas juring OAB = (90°/360°) x 22/7 x (28 cm)2
Luas juring OAB = (1/4) x 22/7 x 28 x 28 cm2
Luas juring OAB = 616 cm2
3. Karena besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalah Δ siku-siku sisi 10 cm, sehingga
Luas Δ AOB = ½ alas x tinggi
Luas Δ AOB = ½ x 28 cm x 28 cm

Luas Δ AOB = 392 cm2
Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas ΔAOB
Luas tembereng AB = 616 cm2 – 392 cm2
Luas tembereng AB = 224 cm2

Latihan

Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di
bawah ini!

1. Sebuah lingkaran berpusat di titik O seperti gambar berikut. Tentukan besar sudut
AOB!

2. Diberikan sebuah lingkaran sebagai berikut!

∠DFE besarnya adalah 70° dan ∠ DPE adalah (5x − 10)°. Tentukan nilai x.
3. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat

berukuran 130ᵒ maka besar sudut keliling tersebut adalah...
4. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ. Besar sudut PAQ adalah 130ᵒ.

Tentukan besar sudut POQ!
5. Perhatikan gambar berikut!

Diketahui: ∠AOB = 65°
Tentukan besar ∠ ACB!

6. Tentukan luas juring lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 70ᵒ dan jari-jarinya 10
cm!

7. Tentukan panjang busur lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 35ᵒ dan jari-jarinya 7
cm!

8. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika panjang busur AB = 45 cm, maka berapakah
panjang busur CD?

9. Pada gambar berikut, jika luas juring AOB adalah 40 cm2, maka berapakah luas juring
BOC?

10. Pada gambar berikut, jika panjang busur PQ = 12 cm, panjang busur QR = 30 cm, dan
luas juring POQ = 45 cm2, maka berapakah luas juring QOR?

RAMBU-RAMBU JAWABAN LATIHAN
1. Untuk soal nomor 1 dan 2 perhatikan soal dan gambar dengan teliti. Lalu jawab
soal dengan rumus atau ketentuan yang sudah dipelajari.
2. Untuk soal nomor 3 dan 4 gambarlah lingkaran terlebih dahulu dari sudut yang
diketahui lalu jawab soal yang ditanyakan dengan menggunakan rumus atau
ketentuan yang sudah dipelajari.
3. Untuk soal nomor 5 perhatikan soal dan gambar dengan teliti. Lalu jawab soal
dengan rumus atau ketentuan yang sudah dipelajari.
4. Untuk soal nomor 6 dan 7 gambarlah lingkaran terlebih dahulu dari sudut yang
diketahui lalu jawab soal yang ditanyakan dengan menggunakan rumus atau
ketentuan yang sudah dipelajari.
5. Untuk soal nomor 8, 9 dan 10 perhatikan soal dan gambar dengan teliti. Lalu jawab
soal dengan rumus atau ketentuan yang sudah dipelajari.

RANGKUMAN
 Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat
lingkaran.
 Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berimpit dengan tali busur, dan
titik pusatnya berimpit dengan suatu titik pada lingkaran.
 Sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran menghadap busur yang sama, maka
berlaku : Sudut pusat = 2 × sudut keliling dan sudut keliling = 1 × sudut pusat.

2

 Panjang busur lingkaran sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya.
 Luas juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut.
 Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar

sudut pusatnya.

TES FORMATIF
Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi ini, jawablah dengan benar
pertanyaan-pertanyaan berikut ini!

1. Perhatikan gambar lingkaran dengan pusat titik O berikut.

Besar sudut ACB adalah....
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
2. Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Besar sudut RQP adalah 55° maka besar sudut ROP adalah.....
A. 60°
B. 95°
C. 110°
D. 120°

3. Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Nilai x adalah....
A. 14
B. 27
C. 54
D. 64
4. Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Besar sudut RQP adalah 47° maka besar sudut ROP adalah.....
A. 69°
B. 94°
C. 114°
D. 124°
5. Sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran adalah pengertian
dari.....
A. Sudut Pusat Lingkaran
B. Sudut Keliling Lingkaran
C. Sudut Juring
D. Sudut Lancip

6. Perhatikan gambar berikut!

Pusat lingkaran berada di titik O. Jika ∠ABE + ∠ACE + ∠ADE = 96°, maka besar
sudut ∠AOE adalah....
A. 32°
B. 48°
C. 64°
D. 84°
7. Perhatikan lingkaran berikut, pusat lingkaran di titik O.

Diketahui:
∠ABD + ∠AOD + ∠ACD = 140°
Besar ∠ABD =.....
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°

8. Perhatikan gambar di bawah!

Jika panjang busur AB adalah 32 cm maka panjang busur CD adalah ….

A. 21 1 cm

3

B. 22 1 cm

3

C. 23 1 cm
3

D. 24 1 cm

3

9. Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran di atas memiliki ukuran jari-jari sebesar10,5 cm. Luas juring COD
adalah ….
A. 28,875 cm2
B. 288,75 cm2
C. 2.887,5 cm2
D. 28.875 cm2

10. Sebuah lingkaran jari-jarinya 8 cm dan sudut pusat 30 derajat. Luas juring AOB
adalah.....
A. 16,75 cm2
B. 17 cm2
C. 17,15 cm2
D. 16,15 cm2

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

1. D
2. C
3. B
4. B
5. A
6. C
7. B
8. A
9. A
10. A

TINDAK LANJUT

Dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat pada modul ini, kemudian hitunglah jumlah
jawaban kalian yang benar. Gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan
terhadap materi ini.

Rumus :

Tingkat Penguasaan = ℎ × 100%

ℎ

Keterangan tingkat penguasaan yang siswa capai :

90% - 100% = Baik Sekali.

80% - 89% = Baik.

70% - 79% = Cukup.

< 70% = Kurang.

Apabila tingkat penguasaan siswa mencapai 80% ke atas, siswa dapat melanjutkan dengan
mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apabila tingkat penguasaan siswa kurang dari 80%,
siswa harus mempelajari kembali uraian materi terutama pada bagian yang belum dikuasai.

DAFTAR PUSTAKA
Agus, NA. (2007). Mudah Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen

Pendidikan Nasional.
Nuharin, D dan Wahyuni T. (2008). Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta : Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
https://mafia.mafiaol.com/2013/01/hubungan-sudut-pusat-panjang-busur-luas.html
https://www.dosenmatematika.co.id/mengetahui-hubungan-sudut-pusat-panjang-busur-dan-
luas-juring-pada-lingkaran/
https://idschool.net/smp/panjang-busur-luas-juring-dan-luas-tembereng/