BAHAN AJAR PERSAMAAN POLINOMIAL Tujuan Pembelajaran: • Menjelaskan persamaan polinomial • Menentukan akar-akar persamaan polinomial • Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial. Kelompok: Nama Anggota: 1. _____________________ 2. _____________________ 3. _____________________ 4. _____________________ 5. _____________________ 6. _____________________ Selamat Belajar ☺ Scan disini untuk mengaksesnya secara online:
PERSAMAAN POLINOMIAL A. Uraian Materi Persamaan Polinomial Persamaan polinomial merupakan kalimat terbuka yang nilai kebenarannya tergantung pada nilai variabel yang diberikan. Secara umum, persamaan polinomial dalam variabel dapat dituliskan sebagai berikut. + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0 = 0 Dengan ≠ 0 dan bilangan asli Penyelesaian polinomial merupakan nilai variabel yang membuat persamaan polinomial bernilai benar. Untuk lebih memahami penyelesaian polinomial mari kita simak contoh berikut Menentukan Akar-Akar Persamaan Rasional 1. Pengertian Akar-Akar Rasional Jika sebuah bilangan rasional pecahan dalam suku terendah, maka merupakan akar persamaan suku banyak: + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0 = 0, ≠ 0 dengan koefisien-koefisien bilangan bulat, dimana c adalah faktor bulat dari 0 (konstanta) dan d adalah faktor bulat dari (Koefisien suku dengan pangkat tertinggi). Persamaan polinomial 3 − 4 2 + + 6 = 0 Untuk x = 1 (1) 3 − 4(1) 2 + 1 + 6 = 0 1 − 4. (1) + 1 + 6 = 0 1 − 4 + 1 + 6 = 0 4 = 0 (salah) Diperoleh = 1 bukan merupakan penyelesaian atau akar persamaan polinomial Untuk = 2 (2) 3 − 4(2) 2 + 2 + 6 = 0 8 − 4. (4) + 2 + 6 = 0 8 − 16 + 2 + 6 = 0 0 = 0 (Benar) Dengan demikian diperoleh bahwa = 2 merupakan penyelesaian atau akar dari persamaan polinomial. Contoh
2. Menentukan akar-akar rasional persamaan Polinomial Menentukan akar-akar persamaan polinomial berarti menentukan nilai variabel persamaan polinomial bernilai benar. Akar-akar persamaan polinomial berderajat dua dapat ditentukan dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc yang smeua itu sudah dipelajari di SMP. Sementara untuk polinomial berderajat lebih dari dua akar-akar rasionalnya dapat ditentukan menggunakan teorema berikut. Adapun langkah-langkah untuk mencari akar polinomial yaitu: 1. Menentukan akar-akar yang mungkin yaitu dengan mencari nilai 2. Menentukan salah satu akar polinomial dengan mensubstitusi salah satu akar yang mungkin. 3. Mencari akar-akar yang lain menggunakan skema Horner. Contoh Soal: Tentukan akar-akar persamaan polinomial 4 + 3 − 13 2 − + 12 = 0 Penyelesaian: Langkah 1. Menentukan akar-akar yang mungkin Suku konstan= 12, faktor bilangan bulat positif dari 12 atau nilai adalah ± ⋯ , ± ⋯ , ± ⋯ , ± ⋯ , ± ⋯ , ± ⋯ Koefisien pangkat tertinggi = ⋯ Faktor dari bilangan bulat 1 atau adalah ± ⋯ Jika adalah akar rasional dari 6 3 − 5 2 − 3 − 2 = 0, maka nilai c dibatasi sampai faktor dari −2, yaitu ±1, ±2, sedangkan nilai d dibatasi sampai faktor dari 6, yaitu: ±1, ±2, ±3, ±6. Jadi, akar rasional yang mungkin hanya: ±1, ±2, ± 1 2 , ± 1 3 , ± 1 6 ± 2 3 Teorema Akar-Akar Rasional Misalkan () = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0 adalah sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bulat. Maka adalah akar rasional dari () = 0, dengan c adalah faktor bilangan bulat positif dari 0 (konstanta) dan d adalah faktor bilangan bulat dari (koefisien suku dengan pangkat tertinggi). Contoh
Akar-akar yang mungkin adalah = = ± … … , ± 2 1 , ± … … , ± … … , ± … … , ± … … Langkah 2. Menentukan salah satu akar persamaan polinomial. Substitusikan akar yang mungkin pada langkah 1 ke dalam persamaan polinonial Untuk = 1, maka 4 + 3 − 13 2 − + 12 = 0 (1) 4 + …3 − … ... 0 = 0 → benar, maka = 1 merupakan salah satu akar persamaan polinomial. Langkah 3. Mencari akar lain dengan menggunakan skema Horner 4 3 2 1 0 1 1 … … -1 … * 1 … … … + 1 2 … … … Diperoleh ℎ() = 3 + 2 2 − … Untuk menentukan akar-akar yang lain dapat dilakukan dengan kembali ke langkah 2. (catatan: pengerjaan bisa lansung dilanjutkan ke langkah ke 3 jika hasil bagi yang diperoleh sudah berderajat dua atau mudah untuk difaktorkan secara langsung) Kembali ke Langkah 2. substitusi akar-akar yang mungkin (kecuali = 1) ke ℎ(). Untuk = −1 3 + 2 2 − 11 − 12 = 0 ... ... 0 = 0 → benar, maka = … merupakan salah satu akar persamaan polinomial. Langkah 3. Mencari akar lain dengan menggunakan skema Horner 3 2 1 0 -1 1 … -11 … … … 12 + 1 … … Diperoleh hasil bagi … Sehingga polinomial 4 + 3 + 13 2 − + 12 = 0 dapat dituliskan menjadi: 4 + 3 + 13 2 − + 12 = 0
( – 1)( + 1)( 2 + + 12) = 0 ( – 1)( + 1)( − ⋯ )( + ⋯ ) = 0 = 1 =. . . =. . . =. .. Sehingga diperoleh akar-akar atau himpunan penyelesaian dari persamaan polinomial 4 + 3 + 13 2 − + 12 = 0 adalah {… , … , … , … }. 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial Jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial dapat ditentukan tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial dijelaskan dalam teorema berikut. Contoh : Contoh: Misalkan 1, 2, 3, dan 4 adalah akar-akar persamaan polinomial 2 4 − 3 − 5 2 − 8 − 6 = 0. Persamaan polinomial tersebut mempunyai 4 = 2, 3 =. .., 2 = −. .. , 1 =. .., dan 0 =. ... Maka: 1 + 2 + 3 + 4 = − 3 4 = − … … = … … 12 + 13 + 14 + 23 + 24 + 34 = 2 4 = … … = − … … 123 + 124 + 134 + 234 = − …−3 4 = − … 4 = − … … =. .. 1234 = (−1) …. × … … = … … =. .. Teorema Vieta Jika 1, 2, 3, … , , adalah akar-akar persamaan polinomial + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + 2 2 + 1 + 0 = 0 Maka berlaku: 1 + 2 + 3 + … , +−1 + = − −1 12 + 13 + … + 23 + 24 + −1 = − −2 ..... dan seterusnya 123 … −1 = (−1) × 0