กล้วย1

E – Book เร่อื ง ความหมายของตรโี กณมติ ิ

รายชอื่ สมาชิก
ด.ญ.จุฑารัตน์ ซิม้ เจรญิ 3/2
ด.ญ.ปยิ ากร เย็นขนุ ทด 3/2
ด.ญ.ปาริฉัตร สังขค์ ีต 3/2
ด.ญ.ขวัญจิรา เสมาลอ้ ม 3/2
ด.ญ.ดวงกมล ชนะภยั 3/2

สมาชกิ กลุม่
ด.ญ.จุฑารัตน์ ซ้มิ เจริญ 3/2
ด.ญ.ปิยากร เย็นขุนทด 3/2
ด.ญ.ปารฉิ ตั ร สงั ข์คีต 3/2
ด.ญ.ขวัญจริ า เสมาล้อม 3/2
ด.ญ.ดวงกมล ชนะภัย 3/2

ตรโี กณมิติ (จากภาษากรกี trigonon มมุ 3 มมุ และ metro การวดั )
เปน็ สาขาของคณิตศาสตรท์ เ่ี กีย่ วข้องกับมมุ , รปู สามเหล่ยี ม และฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์
มีความเก่ียวข้องกบั เรขาคณิต แม้ว่าจะสรปุ ไมไ่ ด้อย่างแนช่ ดั วา่ ตรีโกณมิตเิ ป็นหัวขอ้ ย่อยของเรขาคณติ

ประวัตติ รโี กณมิติ

นักคณิตศาสตรม์ ุสลมิ ในยุคกลาง (หรอื ยุคมดื ตามคำเรียกของชาวยุโรป)
มสี ่วนเปน็ อย่างมากในการพัฒนาและอุทศิ ผลงานในคณติ ศาสตร์สาขาตรโี กณมติ ิ
โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพ้นื ฐานมาจาก
1. ตำราคณติ ศาสตร์อินเดียทีช่ อ่ื Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)

2. ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลวา่ ยงิ่ ใหญ่ทสี่ ดุ
แสดงให้เหน็ ว่านกั คณิตศาสตรอ์ าหรบั ยกยอ่ งหนงั สอื เล่มนีม้ าก) ของทอเลมีนักคณติ ศาสตรท์ ่ีมีชื่อเสียงชาวกรกี

3. ตำราสเฟียรกิ ของเมเนลาอุสนกั คณติ ศาสตรช์ าวกรีกเชน่ กนั

อยา่ งไรก็ตาม ถงึ แม้วา่ นกั คณิตศาสตรก์ รีกและอินเดยี จะมบี ทบาทในการพฒั นาตรโี กณมิติ
แต่ทวา่ นักประวตั ิศาสตรค์ ณิตศาสตรห์ ลายท่าน ได้ใหเ้ กียรตนิ ักคณิตศาสตรอ์ าหรบั ว่า
เปน็ ผ้พู ฒั นาความรใู้ นสาขานอ้ี ยา่ งแท้จรงิ

สำหรับประเทศไทยน้ัน ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิตเิ ข้ามาต้ังแตส่ มัยสโุ ขทยั ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์
สำหรบั คำนวณหาตำแหนง่ พระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ขา้ งขึ้นข้างแรม (เพียร)
โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มมุ 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE
จะใชห้ ลกั การเทียบจากตารางฉายา เรยี กว่า โกฏิฉายา

ตรีโกณมิติวนน้ี

ปจั จุบนั มกี ารนำตรีโกณมติ ิไปใชใ้ นงานสาขาตา่ งๆ เชน่ เป็นเทคนคิ ในการสรา้ งรปู สามเหล่ียม
ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตรเ์ พ่อื วัดระยะทางของดาวทอ่ี ยู่ใกล้ ในภูมศิ าสตรใ์ ช้วดั ระยะทางระหว่างหลกั เขตท่ดี ิน
และใช้ในดาวเทยี มนำทาง งานทม่ี ีการใชป้ ระโยชนจ์ ากตรีโกณมิติ ไดแ้ ก่ ดาราศาสตร์
(และการนำทางในมหาสมุทร บนเครือ่ งบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎดี นตร,ี สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์,
การวิเคราะหต์ ลาดการเงิน, อเิ ลก็ ทรอนกิ ส,์ ทฤษฎคี วามน่าจะเปน็ , สถิตศิ าสตร์, ชีววทิ ยา,
การสรา้ งภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใชค้ อมพิวเตอรช์ ่วย (CAT scans) และ
คล่ืนเสียงความถี่สงู ) , เภสชั ศาสตร,์ เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วทิ ยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดนิ ไหว,
อตุ นุ ิยมวทิ ยา, สมุทรศาสตร,์ วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดนิ และภมู มิ าตรศาสตร์,
สถาปัตยกรรม, สทั ศาสตร์, เศรษฐศาสตร,์ วศิ วกรรมไฟฟา้ , วิศวกรรมเครอื่ งกล, วิศวกรรมโยธา,
เรขภาพคอมพวิ เตอร์, การทำแผนท,ี่ ผลกิ ศาสตร์

ประวตั ิตรโี กณมิติ

รปู สามเหลย่ี มสองรูปจะเรียกวา่ คล้ายกัน ถ้ารูปหน่งึ สามารถขยายไดเ้ ป็นอกี รปู หน่งึ
และจะเป็นกรณีนกี้ ็ต่อเม่อื มมุ ที่สมนยั กนั มีขนาดเทา่ กนั ตวั อย่างเช่น
รูปสามเหลีย่ มสองรูปที่มมี มุ ร่วมกันมุมหน่งึ และด้านทีต่ รงข้ามกบั มุมนน้ั ขนานกัน
เปน็ ข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลีย่ มที่คล้ายกัน ด้านแตล่ ะด้านจะเปน็ สดั ส่วนกัน นัน่ คอื
ถ้าดา้ นทยี่ าวท่สี ดุ ของรูปสามเหลย่ี มหนงึ่ ยาวเปน็ สองเท่าของด้านทยี่ าวที่สดุ ของรูปสามเหล่ยี มที่คล้ายกัน
จะกลา่ วได้ว่า ดา้ นท่ีสนั้ ที่สดุ จะยาวเปน็ สองเทา่ ของด้านทสี่ ้ันท่สี ุดของอีกรูปสามเหลี่ยม
และด้านทยี่ าวปานกลางก็จะเป็นสองเทา่ ของอีกรูปสามเหลย่ี มเช่นกนั
อตั ราสว่ นระหว่างดา้ นท่ยี าวท่สี ดุ และดา้ นทีส่ ้ันที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ
อตั ราสว่ นระหว่างด้านทย่ี าวที่สุดและด้านท่ีส้นั ที่สุดของรูปสามเหล่ียมอกี รปู ด้วย

จากขอ้ เท็จจริงเหล่าน้ี เราจะนยิ ามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นดว้ ยรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก
ซ่ึงเปน็ รปู สามเหล่ยี มซึ่งมีมมุ ฉากหนึ่งมมุ (90 องศา หรอื /2 เรเดยี น)
ด้านท่ยี าวที่สดุ ในรูปสามเหลย่ี มใดๆจะอยตู่ รงข้ามกับมมุ ที่ใหญท่ ส่ี ุด
แตเ่ พราะวา่ ผลรวมของมมุ ภายในรปู สามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ เรเดยี น
ดังนน้ั มมุ ท่ีใหญ่ท่สี ุดในรูปสามเหล่ียมนค้ี ือมุมฉาก
ดา้ นท่ียาวที่สดุ ในรปู สามเหลีย่ มจงึ เปน็ ดา้ นทีต่ รงข้ามกบั มุมฉาก เรยี กวา่ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

●

นำรูปสามเหล่ยี มมุมฉากมาสองรูปท่ีมีมุม A รว่ มกนั รูปสามเหลีย่ มทั้งสองน้ีจะคลา้ ยกัน
และอตั ราสว่ นของด้านตรงข้ามมมุ A ตอ่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก จะเทา่ กันทั้งสองรูป มันจะเปน็ จำนวนระหว่าง 0
ถึง 1 ขน้ึ อยกู่ ับขนาดของมมุ A เท่าน้นั เราเรยี กว่า ไซน์ของ A และเขยี นดว้ ย sin (A) ในทำนองเดยี วกัน
เรานยิ าม โคไซนข์ อง A คืออัตราส่วนระหวา่ ง ดา้ นประชิดมมุ A ตอ่ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ฟงั กช์ ันเหล่านเี้ ป็นฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ทิ ่ีสำคัญ
ฟังกช์ นั อ่ืนๆสามารถนิยามโดยใช้อตั ราส่วนของด้านตา่ งๆของรปู สามเหล่ียม แต่มนั ก็สามาถเขยี นไดใ้ นรปู ของ
ไซน์ และ โคไซน์ ฟงั กช์ ันเหลา่ นีค้ อื แทนเจนต์, ซแี คนต์, โคแทนเจนต,์ และ โคซแี คนต์

วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างงา่ ยๆคอื จำว่า ขา้ มฉาก ชิดฉาก ขา้ มชิด (ไซน์-ด้านตรงขา้ ม-
ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก โคไซน์-ดา้ นประชิด-ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงขา้ ม-ด้านประชดิ )

ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถกู นยิ ามขน้ึ สำหรับมุมระหวา่ ง 0 ถงึ 90 องศา (0 ถึง /2 เรเดยี น) เทา่ น้ัน
หากใช้วงกลมหนึง่ หนว่ ย จะขยายไดเ้ ปน็ จำนวนบวกและจำนวนลบทัง้ หมด

คร้ังหนงึ่ ฟงั กช์ ันไซน์และโคไซน์ถกู จัดลงในตาราง (หรอื คำนวณด้วยเคร่ืองคิดเลข)
ทำใหต้ อบคำถามทั้งหมดเกยี่ วกบั รปู สามเหล่ียมใดๆ ไดอ้ ยา่ งแทจ้ รงิ โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์

กฎเหลา่ นีส้ ามาถใช้ในการคำนวณมุมทเ่ี หลือและด้านของรูปสามเหลย่ี มได้
เม่ือรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมมุ
หรอื รู้ขนาดของมมุ สองมมุ และความยาวของด้านหนง่ึ ดา้ น หรือ รู้ความยาวของด้านท้ังสามดา้ น

ตวั อย่างการหาคา่ sin

จำเป็นตอ้ งรู้เรื่อง พีทาโกรสั ด้วย ให้ดา้ นท่ไี ม่รู้เปน็ X

จาก พที าโกรสั (ดา้ นตรงขา้ มฉาก)2 = (ด้านประชดิ มุมฉาก)2 +( ดา้ นประชิดมุมฉากอีกด้าน)2

252 = 202 + X2

X= 15

ดงั นน้ั

Sin C = ขา้ ม / ฉาก = 15/25 = 3/5