НЕМО 4 клас

Да се запознаем

Скъпи малки приключенци и пътешественици,

В ръцете ви е следващият сборник с истории за нашите герои Нико-
ла, Ема, Мила и Огнян, които вече са четвъртокласници и продължават
да откриват интересни приложения на математиката. Предлагаме ви
отново да се присъедините към тях и заедно да търсите решения на
нови и интересни логически предизвикателства, геометрични пъзели и
аритметични загадки. Както и преди, ваши помощници в ученето, пъ-
тешествията и игрите ще са квантовият преобразувател – маркер, и
пространствено-времевата машина на семейство Изобретенски.

А за онези от вас, които сега за пръв път се срещат с нашите герои –
ДА СЕ ЗАПОЗНАЕМ.

В едно прекрасно кътче на планетата Земя, в подножието на пла-
нина със заснежени върхове и дълбоки езера, се намира невероятен град.
В центъра му се издигат лъскави кули от метал и стъкло, оградени от
обширни паркове с безброй ярки цветя. В квартала край Големия парк
къщите са цветни и усмихнати, като живи.

В този квартал живеят Никола, Ема, Мила и Огнян. Не ги познавате ли?
Сега ще ви ги представим.

Никола, когото често наричат Ники, и Ема са брат и сестра. Те са
се родили в един и същи ден, но Никола е с няколко минути по-голям и
това често е повод за дребни заяждания. Сега вече децата са ученици в
четвърти клас.

Да надникнем в къщата на близнаците. Въпреки че отвън тя из-
глежда като всички останали, вътре може да се видят много странни
предмети. Те са резултат от дългогодишната работа на родителите на
Ники и Ема, които са учени изобретатели. Всичко, което семейство Из-
обретенски са сътворили, най-напред е използвано у дома. Някои от изо-
бретенията са смешни и забавни, като например метлата с крачета. Тя
тича след всеки, който отива да си дояде пицата пред компютъра и ръси
трохи след себе си. Други изобретения обаче са наистина велики. Такъв е
квантовият преобразувател – маркер. С него може да се направят чудеса:

6

мухата да се превърне в слон, после той да се оцвети в зелено, да му
пораснат две нови уши на гърба и да полети в небето. Най-вълнуващо-
то е, че никога не знаеш какво точно ще се случи, когато използваш
квантовия маркер. Едно обаче е сигурно – няма да ти напише домашно-
то. Другото забележително изобретение на необикновеното семейство
е пространствено-времевата машина. Ако влезеш в нея, тя може за миг
да те отведе на безкрайно далечна планета, в някоя египетска пирамида
преди 5 хиляди години или да те пренесе напред в бъдещето, при това,
ако искаш, да те направи невидим. Единственото, което не може, е да
те отнесе в утрешния час по математика, за да видиш какви задачи ще
ти се паднат на контролната работа.

Да не забравяме за Мила и Огнян (Оги). Те са най-добрите приятели и
съученици на Ники и Ема. Мила е лъчезарно момиче, което с готовност се
включва във всички забавления, особено ако в тях има тайни и загадки за
разрешаване. Оги е най-любознателното момче, което познавам, и винаги
е готов за приключения. Те с удоволствие гостуват на Ема и Ники в чуда-
тата къща на семейство Изобретенски, с интерес изпробват всички нови
изобретения и с много симпатия наричат пространствено-времевата ма-
шина НЕМО (Досещате ли се защо? Никола, Ема, Мила, Огнян). И тогава
се случват необикновените неща, за които ще прочетете в тази книга.

7

11

Сговорна дружина машина ремонтира

Всеки петък вечер семейство Изобретенски обсъждат плановете за
предстоящите почивни дни. За тази седмица се оказа, че е време за про-
филактика на НЕМО. Всички сложни устройства имат нужда от време
на време да бъдат проверени, почистени и ако се налага, ремонтирани, за
да работят ефективно и без грешки.

– Имаме доста работа – каза инж. Изобретенски. – Трябва непремен-
но да сменим управляващата програма на НЕМО с най-новата версия и
да въведем новите кодове за бърз достъп в таблицата за управление.

– А може ли и ние да се включим, за да свършим по-бързо? – с надежда
попитаха Ники и Ема, на които много им се искаше в края на седмицата
да остане време за поредното приключение.

– Естествено, деца. Четиримата с Мила и Оги ще бъдете младеж-
кият технически екип. Утре всички заедно ще разпределим задачите. За
всяка дейност един от вас ще помага на мене или на майка ви.

На сутринта нашите четирима ентусиазирани помощник-техници
получиха таблицата със задачите за деня. Те трябваше да решат кои
имена да запишат на празните редове в дясната колонка.

75

Дейност Отговорник от младежкия
технически екип
Обновяване
на програмата за управление
Актуализиране
на кодовете за управление
Чистене на контролния пулт
и клавиатурата

Tъй като имаше задачи само за трима души, а всеки искаше да участ-
ва, решиха да използват квантовия маркер, който на случаен принцип да
направи избора, но за целта трябваше да въведат броя на различните
възможни комбинации, от които да се избира.

– Ама защо ни е квантовият маркер, като възможностите са само 4!
Например, ако един от нас не участва, остават другите трима, колкото са
и задачите – това е една възможност, а ние сме четирима, значи, за всеки
по една. Може да ги напишем на листчета, да сгънем всяко на четири и да
ги разбъркаме в ей тази шапка. Помните ли като ни разказваше дядо, че
така са избирали кой от приятелите в квартала да каже на съседа, че са му
счупили прозореца с топката. После мама ще изтегли едно листче и готово.

Оги обаче разсъждаваше различно:

– Това е така, ако искаме само да определим кои трима души да участ-
ват. Но ако има значение кой какво точно ще прави, вариантите стават
повече. Например един вариант е аз да помагам при обновяването на про-
грамата, а Ники да проверява светлинните индикатори, но ако двамата
се разменим, това вече е втори вариант, защото ролите не са същите.

А вие как мислите? Кой от двамата е прав за броя
на различните възможни комбинации за разпределение на ролите?

После Оги продължи:

– Ема е права, че трима помощници измежду нас може да се изберат
по 4 начина. Ще ги запиша с първите букви от имената им: (Н, Е, М),
(Н, М, О), (Н, Е, О) и (Е, М, О). Обаче аз мисля, че от първата група (Н,
Е, М) може да се получат няколко различни комбинации, като се промени
редът на имената, вижте как:

76

Дейност Отговорник от младежкия
технически екип
Обновяване на програмата
за управление Н Н Е Е ММ
Актуализиране на кодовете ЕМНМЕ Н
за управление МЕМНН Е
Чистене на контролния пулт
и клавиатурата

В случая редът на подреждане е важен, защото от подреждането за-
виси кой какво ще прави. На мене не ми е все едно дали ще обновявам про-
грамата, или ще чистя клавиатурата, нали така? Значи, ако Ники, Ема
и Мила помагат, възможните разпределения са всъщност 6. А това озна-
чава, че общият брой на вариантите с отчитане на подреждането е 24.

– Вярно, така е наистина – съгласи се Ема. – Аз мога да изброя всич-
ките 24 комбинации без таблица като твоята, като нарисувам граф-дър-
во и после пресметна броя на „листенцата“. Първо, всеки от нас може да
бъде избран за първата дейност. После, при всеки избор, за втората дей-
ност остават само трима, а за третата – само двама от нас. Вижте:

Н М
О
Е
Н М О

О Е
М
Е

начало

М

О

Нарисувах ви частта, която се получава, ако Ники е избран първи.
По същия начин можем да си представим как ще изглежда цялото дърво,
а като умножим броя на разклоненията на всяка стъпка, получаваме
4 . 3 . 2 = 24, точно колкото са всички възможности.

Всички се съгласиха, че не им се правят 24 листчета с варианти, и
оставиха на квантовия маркер да определи безпристрастно избора.

77

Упражнения в клас

1 В един клас има 8 момичета и 10 момчета.

а) Трябва да се изберат трима ученици да помагат в училищната
библиотека. Колко такива различни тройки е възможно да се изберат?

б) Трябва да се изберат двама дежурни за училищния стол: един по-
мощник за малките ученици и един асистент в кухнята. Колко са въз-
можните избори за тези дежурства?

в) Трябва да се изберат две момичета и две момчета да помогнат
за засаждане на цветя в училищния парк. Колко такива екипа може да
се изберат?

Решение:

а) Всички ученици са общо 18. Първият ученик може да се избере из-

между всичките 18 деца, вторият – измежду останалите деца, а

третият – след като са избрани вече двама от останалите деца.

Ако си представим много разклоненото и голямо граф-дърво, то има три

стъпки – с , и разклонения, значи, общият брой

възможности е . . = .

По този начин сме преброили всички тройки, в които има значение ре-

дът на децата. В случая мястото в тройката няма значение, защото за

търсените помощници не се предвиждат различни роли. Три деца може да

се наредят помежду си общо по 6 начина. Следователно търсеното число

е 6 пъти по-малко и трябва да разделим на 6. Има :6=

избора на трима помощници в библиотеката.

б) В този случай помощниците имат различни роли, значи, редът на

избор има значение. Имаме 2 стъпки за избор измежду всички 18 ученици.

На първата стъпка има възможности, а на втората – .

Следователно общият брой двойки, при които нареждането има значе-

ние, е . = .

в) Тук трябва поотделно да изберем 2 момичета измежду всичките 8 и

две момчета измежду всичките 10, като редът на избора значение.

78

Броят на всички двойки момичета е . = . Но
тук всяка двойка е преброена два пъти (например (А, Б) и (Б, А)). Значи,
различните двойки момичета са : = .

Броят на всички двойки момчета е . = .

И тук всяка двойка е преброена пъти. Значи, различните двойки

момчета са : = .

За да се избере един екип, всяка двойка момичета може да се комби-

нира с всяка двойка момчета, значи, броят екипи е . =
.

2 Кодът за отключване на сейф се състои от шест символа: цифрите
2, 4, 6 и 8, и буквите А и В.

а) Колко такива различни комбинации има, в които всички символи
са различни?

б) Колко комбинации има, ако се разрешава да се повтарят символи?

Решение:

а) Трябва да преброим нарежданията на всичките 6 възможни симво-

ла за 6-те позиции на кода, като редът на символите значение и

не е разрешено повтаряне на символи.

За първата позиция има възможности, за втората – ,

за третата – , за четвъртата – , за петата – ,

и за шестата – . Следователно броят на всички кодове е

.

б) Ако е разрешено да се повтарят символите, тогава за първата

позиция има възможности, за втората – , за третата –

, за четвъртата – , за петата – , и за шестата –

. Следователно броят на всички кодове е

(може да пресметнете това число с калкулатор).

3 Четири момчета (Алекс, Борис, Владо и Дани) и пет момичета (Лили,
Мария, Надя, Поли и Руми) подготвят танцов спектакъл. В началото на
първата част на спектакъла всички са в един ред, с лице към публиката.
В началото на втората част момчетата и момичетата са в два реда
един зад друг, с лице към сцената. В началото на третата част всички

79

са в кръг в средата на сцената. Хореографът на спектакъла иска да
изпробва всички възможни варианти за подреждане на танцьорите. По
колко възможни подреждания има за всяка от частите на спектакъла?

Решение:

За първата част на спектакъла трябва да пресметнем колко са под-

режданията на всичките деца в една редица. За първата позиция

има възможности, за втората – , и т.н., следователно

общият брой подреждания е .

Момичетата може да се подредят по начина.

Момчетата може да се подредят по начина.

В два реда децата може да се подредят по начина.

За третата част всичките 9 деца трябва да са в кръг. Да разгле-
даме едно възможно подреждане на всички деца в една редица, например
АБВДЛМНПР (всяко дете е означено с първата буква на името си). Ако
А и Р се хванат в кръг, без да се разместват останалите, получаваме:

РАБ
ПВ

НД
МЛ

Но същия кръг ще получим, ако редицата е БВДЛМНПРА (където
само Алекс се е преместил след Руми), защото кръговете биха били раз-
лични само ако някое дете има поне един различен съсед. Това ще се случи

и с редиците ВДЛМНПРАБ, ДЛМНПРАБВ и т.н., които са общо
на брой, защото след това всичко започва отначало.

Следователно броя на подрежданията в кръг може да пресметнем,
като разделим броя на подрежданията в редица на броя на „завъртания-

та“ на една редица по описания вече начин:

.

В заключение, има общо подреждания на децата в кръг.

80

Опитайте сами

1 Мария има 4 различни поли, 2 чифта панталони, 7 блузи и 3 чифта
обувки. Всички дрехи в гардероба є си подхождат по стил и цвят и може
да се комбинират. Мария се обзаложила с приятелите си, че ще се облича
по различен начин всеки ден в продължение на трите пролетни месеца
март, април и май. Възможно ли е тя да спечели облога? Защо?

2 Реномиран италиански ресторант предлага в обедното си меню из-
бор от три супи, пет основни ястия, шест десерта и четири вида без-
алкохолни напитки. Колко са различните възможни обедни комбинации
от супа, основно ястие, десерт и напитка?

3 Майката на Ники и Ема планира да приготви пица за вечеря. Като
основни съставки тя винаги слага доматено пюре и кашкавал. В хладил-
ника има продукти за следните допълнителни съставки: шунка, чушки,
маслини, броколи.

a) Колко различни варианта пици с две допълнителни съставки има
(например шунка и чушки е един такъв вариант)?

б) Ако децата настояват за пица с три допълнителни съставки,
колко са вариантите за избор?

в) Таткото на Ники и Ема обича пица с много съставки. Колко са ва-
риантите за пица с максималния брой допълнителни съставки (разбира
се, магазинът е затворен и изборът трябва да се ограничи до наличните
продукти в хладилника)?

4 За десерт сем. Изобретенски имат два вида сладолед: сметанов и
шоколадов. Освен това те могат да добавят орехови ядки или плодове.
Колко вида различни десерти с поне един вид сладолед може да се при-
готвят с тези продукти?

5 В Клуба на младите изобретатели в училището на Ники и Ема има
17 деца. За предстоящото районно състезание трябва да се избере от-
бор от трима състезатели измежду участниците. По колко различни
начина може да се сформира този отбор?

81

6 За да се активира най-новата програма за управление на НЕМО, е
необходимо да се въведат последователно следните няколко кода:

а) 15-ото поред естествено число;
б) 15-ото поред двуцифрено естествено число;
в) 15-ото поред нечетно естествено число;
г) 15-ото поред четно двуцифрено число;
д) 15-ото поред трицифрено число.
Открийте тези кодове.

7 Съседите на сем. Изобретенски имат три деца. Днес семейството има
празник, на който им гостуват двете баби и двамата дядовци на децата.

а) На тържествения обяд всички домакини и гости сядат около
кръглата маса в трапезарията. По колко различни начина могат да се
подредят те? (Подрежданията са различни, ако поне един човек е сменил
поне един от съседите си. Смяна единствено на столовете без смяна на
съседите не се смята за различно подреждане.)

б) След обяда всички искат да си направят семеен портрет, на кой-
то възрастните да са прави един до друг в един ред, а децата да са в
един ред, клекнали пред тях. Колко са тези подреждания?

8 Колко различни отбора от шест участници (три момичета и три мом-
чета) е възможно да се изберат измежду група от 4 момичета и 5 момчета?

9 Петя има картички, на всяка от които е една от цифрите 1, 2, 3,
4 и 5. Всяка цифра е написана на поне две картички.

а) Колко двуцифрени числа може да състави Петя, като подреди 2
картички една до друга?

б) Колко двуцифрени числа с различни цифри може да се съставят по
същия начин?

10 Колко различни трицифрени числа може да се образуват от картон-
четата?

3507

Колко от тези числа са четни?

82