Turunan Kedua dan Titik Stasioner

Turunan Fungsi
Aljabar

Sumber: http://3.bp.blogspot.com/-qMqMr7w3sEs/Vp7auwN8zGI/AAAAAAAAfPA/
CyPGzDCmZkc/s1600/2.jpg

Tahukah kalian pengertian elastisitas harga
permintaan? Elastisitas harga permintaan adalah
koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang diminta akibat adanya per-
ubahan harga. Angka elastisitas ini dinyatakan
dalam bentuk persen. Konsep turunan dapat
dimanfaatkan untuk menyelesaikan kasus terse-
but. Bagaimana definisi dan aturan turunan
fungsi itu?

Kalian telah memahami bahwa turunan kedua dari fungsi y = f(x) dinotasikan
y' atau f'(x).
Turunan dari turunan pertama dinamakan turunan kedua.
Notasinya dapat ditulis sebagai y'' atau f'' (x).

Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut.
a. y = 5x3 – 3x2 + 3x – 1
b. y = 2 x - 2
Jawab:
a. y = 5x3 – 3x2 + 3x – 1

y’ = 3(5)x3–1 – 2(3)x2–1 + 3 – 0
= 15x2 – 6x + 3

y” = 30x – 6

2

b. y = - 2 x -2
y’ = (–2)(2)x –2–1
= –4x–3
y” = (–4)(–3)x–4–1
= 12x –5

Setelah memahami cara menentukan turunan kedua dari suatu fungsi, kita
akan membahas pemanfaatan turunan kedua tersebut.
Turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan jenis nilai stasioner.
Lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

3

Kalian telah memahami jenis-jenis nilai stasioner melalui turunan pertama.
Kali ini kita akan mendeteksi nilai stasioner menggunakan turunan kedua dari fungsi
tersebut.
Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) yang kontinu dalam interval b < x <c yang
memuat x = a.
Turunan pertama dan turunan kedua fungsi tersebut terdefinisi pada interval
tersebut.

a. Jika f'(a) = 0 dan f''(a) > 0 maka (a, f(a)) adalah titik balik
minimum.
b. Jika f'(a) = 0 dan f''(a) < 0 maka (a, f(a)) adalah titik balik
maksimum.
c. Jika f'(a) = 0 dan f''(a) bergantian tanda ((+) ke (–) atau
sebaliknya) maka (a, f(a)) adalah titik belok horizontal.

4

Dengan demikian, untuk mendapatkan titik belok horizontal, selain turunan kedua
harus sama dengan nol, perlu diselidiki bahwa turunan kedua itu berubah tanda dari
positif ke nol, kemudian ke negatif, atau sebaliknya.

Periksalah titik maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = x(12 – 2x)2 dengan
menggunakan turunan kedua.

f'(x) = 12(x2 – 8x + 12) = 12(x – 2)(x – 6)

Nilai-nilai kritisnya adalah
f'(x) = 0 ⇔ 12(x – 2)(x – 6) = 0
⇔ x = 2 atau x = 6

5

Turunan kedua dari fungsi f(x).
f”(x) = 12(2x – 8) = 24(x – 4)

Pengujian nilai kritis pada f''(x).
f''(2) = 24(2 – 4) = –48 < 0 sehingga f(2) maksimum,
yang nilainya f(2) = 2(12 – 2(2))2 = 128.

f''(2) = 24(6 – 4) = 48 > 0 sehingga f(6) minimum, yang nilainya
f(6) = 6(12 – 2(6))2 = 0.
Dengan demikian, titik maksimum di (2, 128) dan titik minimum di (6, 0).

Tentukan titik stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi
f(x) = x3 – 3x2 – 24 x.
Jawab:
f(x) = x3 – 3x2 – 24 x.
f ’(x) = 3 x2 – 6x – 24

6

Syarat stasioner f ’(x) = 0
3 x2 – 6x – 24 = 0 _: 3
x2 – 2 x – 8 = 0
(x -4)(x+2) = 0
x = 4 atau x = -2
Untuk x = 4 --> f(x) = x3 – 3x2 – 24 x.

f(4) = 43 – 3(4)2 – 24(4)
= 64 – 48 – 96
= -80

Terbentuk titik (4,-80)
Untuk x = -2 --> f(x) = x3 – 3x2 – 24 x.

f(4) = (-2)3 – 3(-2)2 – 24(-2)
= - 8 – 12 + 48
= 28

Terbentuk titik (-2, 28)

7

Menentukan jenis titik stasioner dengan turunan kedua.
f(x) = x3 – 3x2 – 24 x.
f ’(x) = 3 x2 – 6x – 24
f”(x) = 6 x – 6
Untuk x = 4 --> f”(4) = 6.4 - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 maka titik (4, -80) titik balik
minimum

8

xx

12 x x

xx x

xx x

xx x

1 3 − 2 2 − 5

3

9

10