Proyecto Sé - Grado 2° - Cartilla

2 Modelación. Colorea de azul los factores y de rojo los productos.

5 ϫ 7 ϭ 35 6 ϫ 8 ϭ 48

4 ϫ 9 ϭ 36 6 ϫ 3 ϭ 18

3 Busca el producto de cada pareja de factores y exprésalo en forma de

adición. Observa el ejemplo.

Factores Producto Adición

5y2 10 2ϩ2ϩ2ϩ2ϩ2

8y3

2y8

6y5

9y4

4 Ejercitación. Relaciona cada pareja de factores con su producto.

3ϫ6 18 5 ϫ 4
10 ϫ 2 24 8 ϫ 3

4ϫ6 20 2 ϫ 9

Solución de problemas 51
5 Luis dibujó flores de cuatro pétalos.

Si hizo un cuadro con cinco flores,
¿cuántos pétalos dibujó?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

El doble y el triple

Jorge, Alejandra y Guillermo son
hermanos. Jorge tiene 6 años.
Alejandra tiene el doble de la edad de
Jorge y Guillermo, el triple. ¿Cuántos
años tienen Alejandra y Guillermo?

La edad de Jorge se El doble de 6 equivale a El triple de 6 equivale a

representa con 6 velas. tener dos veces 6. tener tres veces 6.

6 ϩ 6 ϭ 12 6 ϩ 6 ϩ 6 ϭ 18
2 ϫ 6 ϭ 12 3 ϫ 6 ϭ 18

R/ Alejandra tiene 12 años y Guillermo tiene 18.

Para calcular el doble de un número, se multiplica ese número por 2.
Para calcular el triple de un número, se multiplica ese número por 3.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Calcula el doble y el triple de los números de la izquierda.

Número El doble de… El triple de…

6 2 ϫ 6 ϭ 12 3 ϫ 6 ϭ 18
5
7 PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM
2

52 Pensamiento numérico

2 Razonamiento. Dibuja los objetos necesarios para completar la cantidad

de elementos de cada caja.

B tiene el doble que A. C tiene el triple que D.

3 Completa los espacios. Indica en cada caso si se está calculando el doble o

el triple.

2 ϫ 6 ϭ 12 12 es el doble de 6 .
ϫ 8 ϭ 24
ϫ 5 ϭ 15 24 es el de .
ϫ4ϭ8
15 es el de .

8 es el de .

4 Comunicación. Responde y explica tu respuesta.

w ¿Es verdad que el doble de 9 es igual al triple de 6?

w ¿Es verdad que el triple de 7 es igual al doble de 10?

Solución de problemas 53

5 En el salón de música del colegio de

Mariana hay 9 tambores y el doble de
platillos. Además, hay 4 flautas y el triple
de panderetas. ¿Cuántos platillos
y panderetas hay?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Multiplicación por 2 y por 3

Tabla del 2 Tabla del 3

2ϫ 1ϭ 2 ϩ2 3ϫ 1ϭ 3 ϩ3
2ϫ 2ϭ 4 ϩ2 3ϫ 2ϭ 6 ϩ3
2ϫ 3ϭ 6 ϩ2 3ϫ 3ϭ 9 ϩ3
2ϫ 4ϭ 8 ϩ2 3 ϫ 4 ϭ 12 ϩ3
2 ϫ 5 ϭ 10 ϩ2 3 ϫ 5 ϭ 15 ϩ3
2 ϫ 6 ϭ 12 ϩ2 3 ϫ 6 ϭ 18 ϩ3
2 ϫ 7 ϭ 14 ϩ2 3 ϫ 7 ϭ 21 ϩ3
2 ϫ 8 ϭ 16 ϩ2 3 ϫ 8 ϭ 24 ϩ3
2 ϫ 9 ϭ 18 ϩ2 3 ϫ 9 ϭ 27 ϩ3
2 ϫ 10 ϭ 20 3 ϫ 10 ϭ 30

Para construir la tabla del 2 se multiplica por 2 cada uno de los
números del 1 al 10.

Para construir la tabla del 3 se multiplica por 3 cada uno de los
números del 1 al 10.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Busca los resultados en las tablas de la parte superior de la

hoja y responde.

3 ϫ 10 ϭ 2 ϫ 10 ϭ 2ϫ5ϭ

3ϫ4ϭ 2ϫ9ϭ 2ϫ6ϭ

2ϫ9ϭ 3ϫ8ϭ 3ϫ7ϭ

54 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Observa las figuras y responde.

¿Cuántas canicas ¿Cuántos lápices ¿Cuántas
hay en total? hay en total? frutas hay?

3 Comunicación. Completa los esquemas. 1ϭ
4ϭ
2ϭ 7ϭ
3ϭ
8ϭ 2ϭ

2ϫ 5 ϭ 3ϫ

3ϭ

10 ϭ

Solución de problemas
4 Mariana compró tres paquetes de galletas.

Si en cada paquete hay dos galletas,
¿cuántas galletas completa? ¿Y si compra
dos paquetes?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 55

Multiplicación por 4 y por 5

Tabla del 4 Tabla del 5

4ϫ 1ϭ 4 ϩ4 5ϫ 1ϭ 5 ϩ5
4ϫ 2ϭ 8 ϩ4 5 ϫ 2 ϭ 10 ϩ5
4 ϫ 3 ϭ 12 ϩ4 5 ϫ 3 ϭ 15 ϩ5
4 ϫ 4 ϭ 16 ϩ4 5 ϫ 4 ϭ 20 ϩ5
4 ϫ 5 ϭ 20 ϩ4 5 ϫ 5 ϭ 25 ϩ5
4 ϫ 6 ϭ 24 ϩ4 5 ϫ 6 ϭ 30 ϩ5
4 ϫ 7 ϭ 28 ϩ4 5 ϫ 7 ϭ 35 ϩ5
4 ϫ 8 ϭ 32 ϩ4 5 ϫ 8 ϭ 40 ϩ5
4 ϫ 9 ϭ 36 ϩ4 5 ϫ 9 ϭ 45 ϩ5
4 ϫ 10 ϭ 40 5 ϫ 10 ϭ 50

Para construir la tabla del 4 se multiplica por 4 cada uno de los
números del 1 al 10.

Para construir la tabla del 5 se multiplica por 5 cada uno de los
números del 1 al 10.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Escribe los resultados de las multiplicaciones.

4ϫ4ϭ 4ϫ8ϭ 5ϫ5ϭ

5ϫ7ϭ 4ϫ9ϭ 5ϫ2ϭ

5ϫ3ϭ 5ϫ2ϭ 4ϫ7ϭ

56 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Completa las secuencias.

ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4

0

ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5 ϩ5

0

3 Escribe la multiplicación que te muestre el total de objetos para cada caso.

ϫϭ ϫϭ

ϫϭ ϫϭ

Solución de problemas 57
4 Javier es un excelente jugador de tenis.

Para practicar este deporte decidió
comprar tres paquetes con cinco pelotas
de tenis cada uno. ¿Cuántas pelotas de
tenis compró en total?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Multiplicación por 6 y por 7

Tabla del 6 Tabla del 7

6ϫ 1ϭ 6 ϩ6 7ϫ 1ϭ 7 ϩ7
6 ϫ 2 ϭ 12 ϩ6 7 ϫ 2 ϭ 14 ϩ7
6 ϫ 3 ϭ 18 ϩ6 7 ϫ 3 ϭ 21 ϩ7
6 ϫ 4 ϭ 24 ϩ6 7 ϫ 4 ϭ 28 ϩ7
6 ϫ 5 ϭ 30 ϩ6 7 ϫ 5 ϭ 35 ϩ7
6 ϫ 6 ϭ 36 ϩ6 7 ϫ 6 ϭ 42 ϩ7
6 ϫ 7 ϭ 42 ϩ6 7 ϫ 7 ϭ 49 ϩ7
6 ϫ 8 ϭ 48 ϩ6 7 ϫ 8 ϭ 56 ϩ7
6 ϫ 9 ϭ 54 ϩ6 7 ϫ 9 ϭ 63 ϩ7
6 ϫ 10 ϭ 60 7 ϫ 10 ϭ 70

Para construir la tabla del 6 se multiplica por 6 cada uno de los
números del 1 al 10.

Para construir la tabla del 7 se multiplica por 7 cada uno de los
números del 1 al 10.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Completa las tablas.

ϫ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
7

58 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Usa la multiplicación para contar y responder las

preguntas.

¿Cuántas pelotas hay? ¿Cuántos dulces hay?

¿Cuántas canicas hay? ¿Cuántas tortas hay?

3 Comunicación. Representa en la recta numérica la multiplicación 7 ϫ 4 .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Solución de problemas 59
4 Fernando tiene siete invitados a su

cumpleaños y a cada uno le dará una
sorpresa con nueve dulces. ¿Cuántos
dulces empacará en total?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Multiplicación por 8 y por 9 Tabla del 9

Tabla del 8 9ϫ 1ϭ 9 ϩ9
9 ϫ 2 ϭ 18 ϩ9
8ϫ 1ϭ 8 9 ϫ 3 ϭ 27 ϩ9
9 ϫ 4 ϭ 36 ϩ9
ϩ8 9 ϫ 5 ϭ 45 ϩ9
9 ϫ 6 ϭ 54 ϩ9
8 ϫ 2 ϭ 16 9 ϫ 7 ϭ 63 ϩ9
9 ϫ 8 ϭ 72 ϩ9
ϩ8 9 ϫ 9 ϭ 81 ϩ9
9 ϫ 10 ϭ 90
8 ϫ 3 ϭ 24

ϩ8

8 ϫ 4 ϭ 32

ϩ8

8 ϫ 5 ϭ 40

ϩ8

8 ϫ 6 ϭ 48

ϩ8

8 ϫ 7 ϭ 56

ϩ8

8 ϫ 8 ϭ 64

ϩ8

8 ϫ 9 ϭ 72

ϩ8

8 ϫ 10 ϭ 80

Para construir la tabla del 8 se multiplica por 8 cada uno de los
números del 1 al 10.

Para construir la tabla del 9 se multiplica por 9 cada uno de los
números del 1 al 10.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Escribe los resultados de las multiplicaciones.

9ϫ7ϭ 8ϫ8ϭ 8ϫ5ϭ
9ϫ3ϭ 9ϫ2ϭ 9ϫ9ϭ
8ϫ6ϭ 9ϫ4ϭ 8ϫ1ϭ

60 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Completa la tabla.
ϫ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
9

3 Razonamiento. Completa las secuencias.

8 16 32 48 80

9 27 54 81

4 Escribe la multiplicación que corresponde en cada caso.

ϫϭ ϫϭ

Solución de problemas 61
5 Marisol tiene nueve caballos en su finca. Si

debe cambiarle las herraduras a todos los
caballos, ¿cuántas herraduras se necesitan?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Multiplicación sin reagrupación

Gabriela debe tomar cuatro dosis de un
medicamento durante doce días. ¿Cuántas
dosis del medicamento habrá tomado al
final del tratamiento?

Para responder se multiplica 12 ϫ 4.

Se ubican los números Se multiplica el número Se multiplica el número
de manera vertical. El menor por las unidades menor por las decenas
número mayor se ubica del número mayor. del número mayor.
encima del menor.

du du du

12 12 12
ϫ4 ϫ4 ϫ4

8 48
4ϫ2ϭ8 4ϫ1ϭ4

R/ Al final del tratamiento Gabriela habrá tomado 48 dosis del medicamento.

Para multiplicar números en los que uno de los factores tiene dos
cifras, se comienza por las unidades; luego, se multiplican las decenas.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Realiza las operaciones indicadas.

a. d u b. d u c. d u

21 11 22
ϫ4 ϫ5 ϫ3

62 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Completa las multiplicaciones de acuerdo con el ejemplo.

17 ϫ 3 7 ϫ 3 ϭ 21 31 ϫ 7 1ϫ7ϭ
10 ϫ 3 ϭ ϩ 30 30 ϫ 7 ϭ ϩ 210

51

25 ϫ 6 6 ϫ 5 ϭ 30 18 ϫ 5 5ϫ 8ϭ
20 ϫ 6 ϭ ϩ 5 ϫ 10 ϭ ϩ

3 Une cada operación con su resultado.

234 421 312 221
ϫ2 ϫ3 ϫ4 ϫ4

1 263 884 468 1 248

4 Observa el dibujo y calcula el número total de dulces. 25 dulces

25 dulces 25 dulces

Solución de problemas 63
5 La ruta que lleva a Tatiana al colegio

hace tres recorridos diariamente.
¿Cuántos recorridos hace en 12 días?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Multiplicación con reagrupación

Vanesa quiere saber cuántas fichas
tienen sus cuatro rompecabezas. Si
cada rompecabezas tiene 435 fichas,
¿cuántas fichas hay en total?
Para responder se multiplica 435 ϫ 4.

Se multiplican Se multiplican las decenas Se multiplican las
las unidades.
y se suman las decenas centenas y se suma la

reagrupadas. centena que se reagrupó.

cdu cdu cd u

2 12 12 5
4
435 435 43 20

X 4X 4 X

20 14 20 1 7 14

4 ϫ 5 ϭ 20 4 ϫ 3 ϭ 12 4 ϫ 4 ϭ 16
12 ϩ 2 ϭ 14 16 ϩ 1 ϭ 17
Se escribe 0 en
las unidades y se Se escribe 4 en las Se escribe 17.
reagrupan dos decenas. decenas y se reagrupa 1
centena.

R/ Vanesa tiene en total 1 740 fichas de rompecabezas.

Para multiplicar números de tres cifras se comienza por las unidades.
Luego, se multiplican las decenas y las centenas.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Calcula los siguientes productos.

234 872 238 965 837
ϫ8 ϫ3 ϫ5 ϫ2 ϫ7

64 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Une con una línea cada operación con su resultado. Realiza los cálculos

necesarios en el cuaderno.

345 ϫ 6 6 594

753 ϫ 9 1 205

241 ϫ 5 2 070

942 ϫ 7 6 777

3 Comunicación. En el desarrollo de las multiplicaciones se cometieron

algunos errores. Encuéntralos y coméntalos con uno de tus compañeros.

175 283
ϫ5 ϫ5
10 40 15
555

4 Razonamiento. Calcula los productos y completa el crucinúmero.

Horizontales Verticales 1 cd e
b 3
1. 235 ϫ 5 a. 121 ϫ 3 a2
2. 245 ϫ 3 b. 972 ϫ 8
3. 125 ϫ 2 c. 125 ϫ 1 4
4. 868 ϫ 7 d. 568 ϫ 9
5. 363 ϫ 8 e. 258 ϫ 8

5

Solución de problemas 65
5 Daniel quiere cambiar de lugar su biblioteca

y empaca todos sus libros en siete cajas. Si
en cada caja se pueden guardar 28 libros,
¿cuántos libros tiene en total?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Propiedades de la multiplicación

Ángela y Antonio recolectaron
algunas conchas de mar. Ángela
formó 4 grupos de 6 conchas y
Antonio hizo 6 grupos de 4. ¿Quién
recolectó más conchas?

4 ϫ 6 ϭ 24 y 6 ϫ 4 ϭ 24

R/ Ángela y Andrés recolectaron el
mismo número de conchas de mar.

Fíjate en que las multiplicaciones
4 ϫ 6 y 6 ϫ 4 tienen el mismo
producto. Se cumple la propiedad
conmutativa.

Propiedad conmutativa: el 2ϫ3ϭ3ϫ2ϭ6
orden de los factores no altera el
producto. (2 ϫ 4) ϫ 5 ϭ 2 ϫ (4 ϫ 5)
8 ϫ 5 ϭ 2 ϫ 20
Propiedad asociativa: cuando se 40 ϭ 40
multiplican tres o más factores
pueden agruparse de diferentes 4ϫ1ϭ4
maneras sin que cambie el 1 ϫ 15 ϭ 15
producto.

Propiedad modulativa: al
multiplicar un número por 1, el
producto es el mismo número.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Aplica la propiedad conmutativa y completa.

3 ϫ 4 ϭ 4 ϫ ϭ 12 1ϫ6ϭ ϫ ϭ
5ϫ7ϭ ϫ ϭ 8ϫ3ϭ ϫ ϭ
6ϫ8ϭ ϫ ϭ 9ϫ7ϭ ϫ ϭ

66 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Calcula los productos. 8ϫ ϭ8 1ϫ ϭ9

1ϫ4ϭ

ϫ7ϭ7 5ϫ1ϭ ϫ2ϭ2

¿Qué propiedad se aplica en las anteriores multiplicaciones?

3 Completa las igualdades. (1 ϫ 6) ϫ 3 ϭ ϫ
(4 ϫ 3) ϫ 8 ϭ ϫ
(5 ϫ 4) ϫ 2 ϭ ϫ 2 (3 ϫ 2) ϫ 5 ϭ ϫ
(3 ϫ 5) ϫ 7 ϭ ϫ
(4 ϫ 2) ϫ 3 ϭ ϫ

4 Razonamiento. Pinta del mismo color las multiplicaciones que tengan el

mismo producto.

6ϫ3 2ϫ9 4ϫ7
7ϫ4 3ϫ5
5ϫ3

3ϫ6

9ϫ2

5 Completa las operaciones de acuerdo con el orden indicado.

(2 ϫ 3) ϫ 9 (7 ϫ 1) ϫ 4 (5 ϫ 2) ϫ 3

6ϫ9 7ϫ ϫ3

54

Solución de problemas

6 Lina compró cinco paquetes de hojas

con adhesivos. Si cada hoja tiene cuatro
adhesivos y en cada paquete hay siete hojas,
¿cuántos adhesivos compró en total?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 67

Multiplicación por dos cifras

Silvia fue con su prima a recoger algunas
flores. Si formaron doce ramilletes de 25
flores cada uno, ¿cuántas flores recogieron
en total?

Para responder se debe multiplicar 25 ϫ 12.

Se multiplica el primer Se multiplica el primer Por último, se suman
los dos productos
factor por las unidades factor por las decenas del obtenidos.

del segundo. segundo. Se deja libre la

casilla de las unidades.

c du cdu c du

X 1 25 25
X 12 X 12
25
12 50 1 50
5 10 25 + 25

3 10 0

R/ Recogieron 300 flores en total.

Para multiplicar números con factores de dos cifras, primero se
multiplica uno de los factores por las unidades del otro factor; después,
por las decenas. Finalmente, se suman los productos parciales.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Realiza las multiplicaciones en tu cuaderno. 84
ϫ 57
63 51 32

ϫ 24 ϫ 36 ϫ 15

68 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Sustituye los símbolos por su valor. Haz las multiplicaciones.

Símbolo Valor

14 a. ϫ ϭ ϫ
68
72 b. ϫ ϭ ϫ
35
91 c. ϫ ϭ ϫ

3 Comunicación. Revisa las multiplicaciones e indica cuál de los niños
obtuvo un resultado correcto.

25 84 91
ϫ1 3 ϫ5 2 ϫ2 7
168 637
65 ϩ4 2 0 ϩ1 8 2
ϩ2 5 4368 1457

315

María David Diana

Solución de problemas 69
4 Felipe organizó una fiesta para celebrar su

cumpleaños. Invitó a 15 de sus amigos y
le regaló 12 gomitas a cada uno. ¿Cuántas
gomitas regaló en total?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

La división como sustracciones sucesivas

En un parque de diversiones hay 24
niños esperando para montar en
las tacitas. Si en cada tacita caben
cuatro niños, ¿cuántas se ocupan?

Para responder hay que dividir
24 entre 4.

24 Ϭ 4ϭ ?

Número total Niños que caben en Total de tacitas
de niños cada tacita

El resultado de la división se puede calcular mediante sustracciones sucesivas.

1 2 3

24 20 16
Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4

20 16 12

4 5 6

12 8 4
Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4

8 4 0

R/ En total se ocupan seis tacitas.

El resultado de la división corresponde al número de veces que se
pueda sustraer un número de otro.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Resuelve la división mediante sustracciones sucesivas.

15 Ϭ 3 ϭ

15 Ϫ ϪϪ Ϫ

Ϫ3

12

De se puede restar veces 3. Entonces 15 Ϭ 3 ϭ .

70 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Comunicación. Completa las oraciones con los números de la derecha.

De 32 se resta veces 4. 79
De 63 se resta veces 9.

De 18 se resta veces 2. 8 3
De 15 se resta veces 7 y sobra 1. .5 2
De 43 se resta veces 8 y sobran

3 Razonamiento. Responde las preguntas.

a. ¿Cuál es el número del que se puede sustraer 5 veces 4 y no sobra nada?

Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4

0

R/
b. ¿Cuál es el número del que se puede sustraer 4 veces 9 y no sobra nada?

Ϫ9 Ϫ9 Ϫ9 Ϫ9

0

R/

Solución de problemas

4 Ocho niños tienen igual cantidad de

globos. Si en total se reúnen 24 globos,
¿cuántos tiene cada niño?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 71

La división y sus términos

Los botes que se utilizan para
realizar rafting tienen capacidad
para transportar a ocho personas.
¿Cuántos botes son necesarios para
transportar a 40 personas a la vez?

Para responder se divide 40 entre 8.

El cociente de la división se calcula con el siguiente procedimiento.

a. Se busca un número b. Se escribe 5 en el c. Se resta al dividendo el

que multiplicado por cociente. producto de 8 ϫ 5, para
8 dé 40.
calcular el residuo.

8ϫ1ϭ8 40 8 divisor
8 ϫ 2 ϭ 16 5 cociente

8 ϫ 3 ϭ 24 dividendo 40 8
8 ϫ 4 ϭ 32
Se multiplica el divisor Ϫ 40 5
por el cociente.
residuo 0

8 ϫ 5 ϭ 40 8 ϫ 5 ϭ 40

El número es 5.

R/ Se necesitan cinco botes para transportar a las 40 personas.

Dividir es repartir una cantidad en partes o grupos del mismo tamaño.
Los términos de la división son: dividendo, divisor, cociente y residuo.

Desarrolla tus competencias

1 Comunicación. Completa la tabla.

división dividendo divisor cociente residuo

29 Ϭ 5 29 5
42 Ϭ 6
PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM
72 Pensamiento numérico

2 Razonamiento. Dibuja los objetos. Completa las expresiones.

16 flores en cuatro jarrones. 10 salchichas en cinco platos.

16 Ϭ ϭ Ϭϭ

3 Razonamiento. Completa el cuadro. Realiza

Reparte Completa Ϭϭ
Ϭϭ
Dividendo:
Divisor: 73
Cociente:

Ocho gorras entre Residuo:
cuatro niños.
Dividendo:
Divisor:
Cociente:

18 pitos entre tres niños. Residuo:

Solución de problemas

4 Daniel quiere leer un cuento de 25

páginas en cinco días. Si cada día lee la
misma cantidad de páginas, ¿cuántas
páginas lee diariamente?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Mitad, tercio y cuarto

En una tienda venden grupos de 12 galletas en diferentes presentaciones.

Presentación 1 Presentación 2 Presentación 3

¿Cuántas galletas hay en cada tipo de caja?
Para responder se deben calcular la mitad, un tercio y un cuarto de 12.

Presentación 1 Presentación 2 Presentación 3

La mitad de 12 equivale Un tercio de 12 equivale Un cuarto de 12 equivale

a dividir 12 entre 2. a dividir 12 entre 3. a dividir 12 entre 4.

12 2 12 3 12 4

Ϫ 12 6 Ϫ 12 4 Ϫ 12 3
0 0 0

La mitad de 12 es 6. Un tercio de 12 es 4. Un cuarto de 12 es 3.

R/ En las cajas de presentación tipo 1 hay seis galletas; en las de tipo 2 hay

cuatro galletas; y en las de tipo 3 hay tres galletas.

La mitad de un número resulta de dividirlo entre 2.
Un tercio de un número resulta de dividirlo entre 3.
Un cuarto de un número resulta de dividirlo entre 4.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Relaciona cada expresión con el valor correspondiente.

La tercera parte de 15. La mitad de 18. La cuarta parte de 32.

9 85

74 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Comunicación. Colorea, según la clave.

La mitad de los círculos.
Un tercio de los círculos.

3 Razonamiento. Une con flechas a cada pez con su hijo.

9

La mitad de 10

Un tercio de 6 Un cuarto de 28 2 7
La mitad de 20 Un tercio de 27 10 5

Solución de problemas 75

4 Gabriela compró agua, azúcar y 16

limones para preparar limonada. Su amigo
Cristian le ayudó a exprimir un cuarto
de todos los limones. ¿Cuántos limones
exprimió? ¿Cuántos limones faltan por
exprimir?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Relación entre multiplicación y división

Los 48 niños de un grupo scout
formaron grupos de seis niños para
recoger los papeles y las latas que
había en el lugar en el que acamparon.
¿Cuántos grupos formaron?

a. Se divide 48 entre 6.
b. Para comprobar el resultado se tiene

en cuenta la relación que existe entre
la división y la multiplicación.

48 6
Ϫ 48 8

0

(divisor ϫ cociente) ϩ residuo ϭ dividendo

6 ϫ 8 ϩ 0 ϭ 48

R/ Formaron ocho grupos.

La multiplicación es la operación inversa a la división.

Desarrolla tus competencias

1 Comunicación. Completa los enunciados.

56 Ϭ 7 ϭ porque ϫ ϭ

64 Ϭ 8 ϭ porque ϫϭ

42 Ϭ 6 ϭ porque ϫϭ

2 Reúnete con uno de tus compañeros. Escribe el divisor, el cociente y el

residuo de una división. Pídele que averigüe el dividendo.

76 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

3 Ejercitación. Aplica la prueba de la división y corrige las divisiones que son

incorrectas. Compara tu respuesta con un compañero.

51 8 27 9 49 5 18 9
36 13 39 02

51 8 27 9 49 5 18 9

4 Completa la tabla. Ten en cuenta la prueba de la división.

dividendo divisor cociente residuo

46 8 3

84

5 Razonamiento. Aplica la prueba de la división y verifica las respuestas.

Escribe o , según corresponda.

30 Ϭ 5 ϭ 6 48 Ϭ 7 ϭ 8 21 Ϭ 3 ϭ 7 54 Ϭ 9 ϭ 5



porque: porque: porque: porque:
5 ϫ 6 ϭ 30

Solución de problemas 77

6 En un juego se deben repartir por igual

27 cartas entre tres niños. Martín tomó 11
cartas y el resto lo dividieron entre Jorge y
Constanza. ¿Está bien hecha la repartición?
Explica tu respuesta.

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Dividendo con la primera cifra mayor que el divisor

En un taller de mecánica se deben
revisar 78 carros en seis días. Si
se revisa la misma cantidad de
carros diariamente, ¿cuántos
revisarán en un día?

Para responder se divide 78 entre 6.

a. Se dividen 7 decenas entre 6. b. A las ocho unidades del

Sobra una decena que equivale dividendo se le añaden las diez

a 10 unidades. unidades que sobraron. Luego, se

78 6 divide 18 entre 6.

Ϫ6 1 78 6
1 Ϫ 6 13

18

Ϫ 18

0

R/ En el taller se deben revisar trece carros diariamente.

En todas las divisiones el residuo debe ser menor que el divisor.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Realiza las siguientes divisiones.

83 5 96 3 64 2 87 5

92 7 65 5 36 2 43 3

78 Pensamiento numérico PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Comunicación. Haz la división y explica el procedimiento que seguiste.

94 5
Ϫ
Ϫ

3 Raquel y Sandra hicieron una división. Haz correctamente el procedimiento

e identifica el error que cometió cada niña.

Ana Raquel Ahora tú
68 5
68 5 68 5
1 17 Ϫ
Ϫ5 Ϫ5
8 38 Ϫ

Ϫ5 Ϫ 35
3 3

Solución de problemas 79
4 Alberto recicló el lunes 48 botellas; el

martes recicló la mitad de las botellas
del lunes y el miércoles un tercio de las
botellas del martes. ¿Cuántas botellas
recicló durante los tres días?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Dividendo de tres cifras

Los estudiantes de un colegio reunieron
218 vasos plásticos para hacer teléfonos
caseros. Si para cada teléfono necesitan
dos vasos, ¿cuántos teléfonos pueden
hacer?

Para responder se divide 218 entre 2.

a. Se dividen las b. Se dividen las decenas. c. A las 8 unidades del

centenas. Como no se puede, se dividendo se le agregan
escribe cero en el cociente. las 10 unidades que
quedaron.

218 2 218 2 218 2
1 10
Ϫ2 Ϫ2 Ϫ 2 10 9
0 01 018

No sobra ninguna Sobra una decena que Ϫ 18
centena. equivale a 10 unidades. 0

El residuo es cero.

R/ Con 218 vasos plásticos se pueden hacer 109 teléfonos caseros.

Para dividir un número de tres cifras se dividen ordenadamente cada
una de las cifras empezando por las centenas. Cuando la cifra que se
divide es menor que el divisor, se escribe cero en el cociente.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Haz las siguientes divisiones.

516 Ϭ 4 897 Ϭ 6 345 Ϭ 2 923 Ϭ 7
Ϭ2
2 Completa el esquema. Ϭ2 Ϭ2
PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM
Ϭ2 Ϭ2
928

80 Pensamiento numérico

3 Razonamiento. Colorea los espacios que tengan divisiones exactas.

248 Ϭ 2 416 Ϭ 3 327 Ϭ 3

237 Ϭ 3 316 Ϭ 2

538 Ϭ 5 544Ϭ 4 826Ϭ 5

429 Ϭ 3 312Ϭ 3 725Ϭ 5

768 Ϭ 3 749Ϭ 3 525Ϭ 5

812 Ϭ 6 380Ϭ 6 658Ϭ 5

4 Observa la balanza. Determina el peso de cada paquete. Justifica.

Solución de problemas 81
5 Óscar distribuyó 128 canicas en sus

cuatro camiones de juguete. Si en todos
puso la misma cantidad, ¿cuántas
canicas tiene cada camión?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Resolución de problemas

Analizo el residuo de la división

Marisol organizó su colección de 58 cuentos en la
biblioteca. Si en cada anaquel ubicó nueve cuentos,
¿cuántos anaqueles utilizó?

Inicio

Comprensión del problema

w ¿Cuántos libros tiene Marisol?
w ¿Cuántos libros ubicó Marisol en cada anaquel de la biblioteca?

No ¿Respondiste bien las
preguntas?

Sí

Concepción de un plan

w ¿Qué se debe calcular?
w ¿Qué operación te permite hallar la respuesta?

No ¿Tienes claro el plan?

Sí Ϫ

Ejecución del plan

w Resuelve la división correspondiente.
w Analiza el residuo y determina si necesita un

anaquel más para los libros que sobran.

R/ Marisol utilizó anaqueles.

No Comprobación Sí Fin
¿Usó 7 anaqueles?82
PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Amplía tus conocimientos en www.e-sm.net/2mt14

Practica con una guía Ϫ
Ϫ
1 En un parque de atracciones

instalaron una nueva montaña
rusa. Si hay 72 personas en la fila
y en cada carro caben solamente
cinco, ¿cuántos carros se requieren
para todos?

w Plantea y haz la división

correspondiente.

w Analiza el residuo de la división

para verificar si se necesita un
carro sin cupo completo.

R/ Se requieren carros.

Soluciona otros problemas

2 En una granja lechera se reúnen 95 litros

de leche. Para repartir esa cantidad en
cantinas de 8 litros, ¿cuántas cantinas son
necesarias? ¿Cuántos litros sobran?

3 Para transportar 684 cajas de cuadernos

se utilizaron seis camiones. Si cada
camión llevó la misma cantidad de cajas,
¿cuántas cajas transportó cada camión?

4 Isabel llevó 28 duraznos en canastas. Si

puso cinco en cada canasta, ¿cuántas
canastas utilizó?

Plantea

5 Completa el enunciado. Ten en cuenta la operación que se debe realizar.

Resuélvelo.

Ana recogió 45 piedritas y las guardó en grupos de 5. ¿Cuántos
?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 83

Ciencia, Tecnología y Sociedad

Del Antiguo Egipto a la actualidad

Sabías La distancia de la
que…
Tierra al Sol es de
El hombre tardó muchos
años en calcular la 149 600 000
distancia entre la Tierra y
el Sol? kilómetros.

Indaga. Considerando que la Los egipcios
aproximación a esta distancia se llegaron a dominar
hubiera sabido muchísimo antes las matemáticas
si a alguien se le hubiese ocurrido y encontraron que la
multiplicación y la división
multiplicar por mil se podían reducir a operaciones de
millones la altura de la adición y sustracción.
pirámide de Keops en

Egipto, construida 300 años antes
de Cristo , ¿qué operación permitiría
calcular la altura de la pirámide de
Keops?

84 Ciencia, tecnología y sociedad Aprende más sobre las pirámides en
www.e-sm.net/2mt15

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Uso de la calculadora

Multiplicar

¿Sabes que ya ¡Qué bien!, yo también ¿Cómo multiplico Digita el número 57
sé multiplicar? puedo ayudarte con 57 ϫ 9? seguido del signo
esta operación.
.

¿Digito ahora Veo que eres todo Sí, solo me falta oprimir ¡Me encanta
el 9? un experto. la tecla para obtener que sepas
el resultado. manejarme!

Ejemplo

Para calcular 128 ϫ 47:

1. Se enciende la calculadora y se 2. Se oprime la tecla .

digita cada cifra del primer factor.

w En pantalla: 128 w En pantalla: 128
6016
3. Se digita el segundo factor, 47. 4. Se oprime la tecla .

w En pantalla: 47 w En pantalla:

Practica 21 5 18 52 39

w Realiza las multiplicaciones. 85

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

3 Geometría plana
y del espacio

Todos los objetos de tu entorno tienen características que
se relacionan con algunos elementos de la geometría.
Aprende a identificarlos.

¿Qué vas a aprender? PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

w Recta, semirrecta y segmento
w Rectas paralelas y

perpendiculares
w Plano cartesiano
w Sólidos geométricos
w Figuras planas
w Ángulos

Explora acerca de estos temas en
www.e-sm.net/2mt04

86

Competencias lectoras

Juan y cuatro de sus amigos decidieron
practicar lanzamientos con el balón. Se ubicaron
separados uno del otro, mientras se pasaban la
pelota ordenadamente.

—¡Hey!, al lanzar el balón se dibuja una figura en
el aire —dijo Juan.

Ximena, recordando el tema de las figuras
planas, le respondió:

—Sí, es cierto, es un cincoángulo.

Todos se rieron hasta que les dolió el estómago.
Es que sabían que ese no era el verdadero
nombre del pentángulo.

Comprende
w ¿Qué figuras geométricas hay en una
cancha de baloncesto?
w Averigua cuál es el verdadero nombre
de la figura de cinco lados. Y el de una
de tres.

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 87

Recta, semirrecta y segmento

En la clase de geometría la profesora le pidió a Gloria que uniera dos puntos
que había dibujado en el tablero.

1. Gloria unió los puntos así: 2. La profesora dibujó la línea más

corta que se podía trazar.

3. Luego, prolongó el segmento en Tomó la regla y trazó un
segmento.
un solo sentido.
4. Por último, prolongó el segmento

en los dos sentidos.

Representó una semirrecta. Dibujó una recta.

Un segmento es la distancia más corta entre dos puntos.

Una semirrecta se extiende en un solo sentido. Se conoce su punto de
inicio, pero no tiene fin.

Una recta se extiende en ambos sentidos. No tiene punto de inicio
ni final.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Une los puntos de acuerdo con la información dada.

w Los puntos A y M con una recta de AB
color rojo. M

w Los puntos W y Z con una
semirrecta de color azul.

w Los puntos B y Z con un segmento.

W Z

88 Pensamiento espacial PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Comunicación. Repasa las líneas según la clave.

semirrectas segmentos rectas

3 Escribe el nombre de cada tipo de línea.

Solución de problemas 89
4 Sonia dice que cuando los puntos

iniciales de dos semirrectas se unen se
forma una recta. Diana opina que esto no
siempre se cumple. ¿Quién tiene
la razón?
Haz un dibujo de la situación.

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Rectas paralelas

Maribel dibujó una mesa que hay en su salón de clase.
w Utilizó una regla y trazó dos
líneas horizontales.
w Luego, trazó las líneas laterales.
w Y por último, dibujó las patas
de la mesa.

Prolongó cada pareja de segmentos y
determinó que los segmentos no se
cortan por más que se prolonguen.
Es decir, son paralelos.

Se pueden trazar líneas paralelas con ayuda de un papel doblado.

a. Se dobla la hoja de b. Se dobla nuevamente c. Con ayuda de un color

papel por la mitad. por la mitad. se marcan los dobleces.

Las rectas paralelas no tienen puntos en común, sin importar cuánto
se prolonguen.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Con ayuda de la regla prolonga los diferentes pares de

rectas y rodea con color rojo las que sean paralelas.

90 Pensamiento espacial PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Colorea el cartel que tiene una afirmación verdadera.

Las rectas paralelas Las rectas paralelas no
tienen al menos un punto tienen ni un punto
en común.
en común.

Las rectas paralelas Las rectas paralelas
tienen más de un punto coinciden en dos puntos

en común. exactamente.

3 Comunicación. Traza la recta que pasa por los puntos E y R. Luego, traza la

recta que pasa por los puntos C y N. ¿Qué relación guardan las rectas?

N
E

RC

Solución de problemas
4 Observa las letras del nombre que se presenta. ¿En qué letras se pueden

identificar segmentos paralelos?

Repísalos con color verde.

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 91

Rectas perpendiculares

César y Leticia observaron que las
dos líneas que están dibujadas en la
superficie de la mesa de ping-pong
forman cuatro partes iguales.
Esta clase de líneas reciben el nombre
de rectas perpendiculares.

Con ayuda de un papel doblado se pueden representar rectas perpendiculares.

a. Se dobla una b. Se dobla ahora c. Se marcan los

hoja por la mitad, verticalmente. dobleces con un color
horizontalmente. o un lápiz.

Las rectas perpendiculares son aquellas que tienen un punto en común
y forman cuatro partes iguales.

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Encierra con una línea de color azul las parejas de rectas

perpendiculares.

92 Pensamiento espacial PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Razonamiento. Marca verdadero (V) o falso (F), según sea el caso.

w Las rectas perpendiculares forman cuatro regiones iguales. V F

w Las rectas perpendiculares no tienen puntos en común. VF

w Las rectas paralelas también son perpendiculares. VF

3 Comunicación. Con ayuda de una regla traza parejas de líneas

perpendiculares. Colorea con un tono diferente cada región que se forma.

Solución de problemas

4 Observa el plano

e identifica dos
calles que sean
perpendiculares.

Jiménez

A-11 C-80

Esperanza

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 93

Plano cartesiano

Liliana y su mamá juegan damas chinas. Para identificar la posición de las
fichas acordaron utilizar la representación de un plano cartesiano.

Por ejemplo, la ficha roja está en la casilla (B, 3).

Posición de la ficha en sentido horizontal. (B , 3) Posición de la ficha en sentido vertical.

Según esto, ¿en qué casilla está ubicada la ficha negra?
R/ La ficha negra está ubicada en la posición (F, 6).

Para ubicar un elemento en el plano cartesiano se tienen en cuenta la
columna y la fila que corresponden a la casilla en la que se encuentra.

Desarrolla tus competencias

1 Razonamiento. Escribe las coordenadas de la ubicación de cada ficha.

5 ϭ( , )
ϭ( , )
4 ϭ( , )
3 ϭ( , )
2 ϭ( , )
1
PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM
A BCDE F G H
94 Pensamiento espacial

2 Comunicación. Ten en cuenta las letras y números ubicados en las casillas y

responde.

w ¿Cuál es el mayor número

que puede formarse con 6C O
las cifras ubicadas en las
casillas (A, 5), (B, 3) y 54 S
(D, 1)?
4 5A L L
w ¿Qué palabra se forma con 37 R

las letras ubicadas en las 2S S I 2

casillas (B, 6), (C, 4), (A, 2), 1 5 T2 M
(C, 1), (E, 2), (F, 4), (G, 3) y A B CDE FG
(F, 6)?

3 Razonamiento. Dibuja en el plano cada figura en las coordenadas

indicadas.

7 ϭ (C, 4)
6 ϭ (I, 2)
ϭ (A, 7)
5 ϭ (E, 5)
4 ϭ (B, 6)
3 ϭ (G, 1)
2 ϭ (H, 3)
1

A B CD E F G H I

Solución de problemas 95

4 Para la muestra de artes, los estudiantes

organizaron sus obras dentro del salón,
así: Los dibujos estaban ubicados en
(A, 2), (A, 3) y (A, 4); y las figuras de
plastilina en (B, 5), (C, 5), (D, 5) y (E, 5).
Elabora un plano de la situación.

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Sólidos geométricos

Los niños de segundo grado clasificaron los juguetes según su forma.

Tienen todas sus caras planas.

Tienen una cara curva. Tienen caras planas y curvas.

Los principales sólidos de caras planas son los prismas, las pirámides
y los cubos.

Los principales sólidos con caras curvas son la esfera, el cono y el cilindro.

Desarrolla tus competencias

1 Razonamiento. Completa cada oración para que sea verdadera.

w Todas las caras de un prisma tienen forma de .
.
w Las caras de una pirámide distintas a la base son

w La esfera tiene una cara .

w Las bases del cilindro son dos .

96 Pensamiento espacial PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Ejercitación. Escribe el nombre del sólido y de cada una de sus partes. Ten

en cuenta el ejemplo.

arista

cara

base

vértice

Prisma

3 Modelación. Completa la tabla que aparece a continuación.

Sólido

¿Puede rodar? Sí No Sí No Sí No Sí No

Figura de las
caras laterales

Figura de la
base

Solución de problemas

4 Fernanda sostiene un sólido geométrico

en su mano. Si la sombra que proyecta
su base sobre la pared tiene forma de
círculo, ¿qué tipo de sólido es?

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM 97

Figuras planas

Hugo y sus amigos levantaron un ladrillo que
estaba sobre el césped del patio del colegio
y observaron que la huella que quedó en el
suelo tiene sus lados rectos.

La huella que dejó el ladrillo se llama polígono.
Los nombres de un polígono varían de acuerdo con su número de lados.

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

Tres lados Cuatro lados Cinco lados Seis lados

Un polígono es una figura plana cerrada y limitada por segmentos.

Las partes de un polígono son: lado

lados, vértices y ángulos.

vértice

ángulo

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Colorea con verde las figuras que sean polígonos.

98 Pensamiento espacial PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

2 Comunicación. Construye un dibujo en el que utilices diferentes

polígonos. Ten en cuenta el ejemplo.

3 Completa el dibujo de cada figura. Luego, escribe su nombre y el número de

lados y de vértices que tiene cada una.

Solución de problemas 99
4 Daniel está observando el dibujo

de la constelación Cetus. ¿Qué
polígonos se identifican en ella?
Dibújala en tu cuaderno y escribe
los nombres de cada figura
geométrica.

PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM

Ángulos

Mariana y su mamá fueron a una presentación de ballet y los movimientos
que realizaban las bailarinas con sus brazos llamaron su atención.

Al llegar a casa Mariana representó algunos de estos movimientos utilizando
segmentos que se unen en un punto. Es decir, dibujó tres ángulos.

Un ángulo está formado por dos lados y un vértice.

Los lados son los bordes del ángulo.
Corresponden a dos semirrectas o rayos.

El vértice es el punto en el que se cortan los lados

dos lados o rayos. vértice

Desarrolla tus competencias

1 Ejercitación. Señala los lados y los vértices de los ángulos en los

dibujos. Utiliza la siguiente clave.

vértices lados

100 Pensamiento espacial PROYECTO SÉ, EDICIÓN ESPECIAL © EDICIONES SM