วิชานวัตกรรมและเทคโนโลยี

เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์

เรื่องลำดับและอนุกรม

ชั้น ม.5



เเรนืื่อ้องหลาำวดิัชบาแคลณะิตอศนุากสรตมร์


ชั้น ม.5



คำนำ ก




หนังสือเล่มนี้จัดทำขึ้นเพื่อประกอบการเรียนวิชานวัตกรรม
และเทคโลยี โดยมีจุดประสงค์เพื่อให้ความรู้แก่ผู้ที่สนใจที่
จะศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับเรื่อง เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์

เรื่องลำดับและอนุกรม ม.5 ทั้งนี้ เนื้อหาต่างๆ ได้มีการ
ศึกษาและรวบรวมมาจากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ เรื่อง
ลำดับและอนุกรมชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 และอินเทอร์เน็ต
ขอขอบพระคุณอาจารย์ ผู้เชี่ยวชาญเป็นอย่างสูง ที่ท่าน
กรุณาให้คำแนะนำเพื่อแก้ไข ให้ข้อเสนอแนะต่อการทำงาน
ผู้จัดทำหวังว่าหนังสือฉบับนี้คงมีประโยชน์ต่อผู้ที่นำไปใช้
ให้เกิดผลสัมฤทธิ์ตามความคาดหวัง





ผู้จัดทำ
นางสาวอารียา ดีนอก



สารบัญ หน้า
ก
เรื่อง 1
คำนำ 2
ลำดับ 2
ความหมายของลำดับ 3
ตัวอย่างของลำดับ 4
ตัวอย่างการเขียน 4
ลำดับเลขคณิต 5
ลำดับเรขาคณิต 5
ลำดับหลายชั้น 6
ลำดับเว้นระยะ 6
ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด 7
ลำดับยกกำลัง 7
อนุกรม 8
ตัวอย่างการเขียนอนุกรม 9
อนุกรมเลขคณิต 10
อนุกรมเรขาคณิต
อ้างอิง

1
คณิตฯ ลำดับและอนุกรม ม.5
ลำดับ เป็นจำนวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฏ
เกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นลำดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่ง
ออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่
– ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด เช่น
1, 2, 3, 4, …, 100 ฯลฯ
– ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด
เช่น 1, 2, 3, 4, … ฯลฯ

ลำดับ
บทนิยาม คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็ม
บวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า
“ลำดับ” ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …,
n } เรียกว่า “ลำดับจำกัด” และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มี
โดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } เรียกว่า “ลำดับอนันต์”

2

ความหมายของลำดับในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิก
ของเรนจ์เรียงกันไป กล่าวคือ ถ้า a เป็น ลำดับจำกัด จะเขียน
แทนด้วย a1, a2, a3, …, an และถ้า a เป็น ลำดับอนันต์
จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an, …
เรียก a1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a3 ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ
และเรียก an ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของ
ลำดับ

ตัวอย่างของการเขียนลำดับ
– ตัวอย่างที่ 1 : 4, 7, 10, 13 เป็นลำดับจำกัดที่มี
a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 และ an = 3n + 1
– ตัวอย่างที่ 2 : – 2, 1, 6, 13, … เป็นลำดับอนันต์ที่มี
a1 = – 2, a2 = 1, a3 = 6, a4 = 13 และ an = n2 – 3

นอกจากการเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์
แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป พร้อมทั้ง
ระบุสมาชิกในโดเมนด้วย

ตัวอย่างการเขียน 3

– ตัวอย่างที่ 1 : ลำดับ 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนด้วย

an = 3n + 1 เมื่อ n { 1, 2, 3, 4 }

– ตัวอย่างที่ 2 : – 2 , 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนด้วย

an = n2 – 3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

ทั้งนี้ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป

ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมนให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น ลำดับ

อนันต์

ตัวอย่างการเขียนลำดับจัด และลำดับอนันต์

โดยที่ ลำดับจำกัด เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของ

จำนวนเต็มบวก n ในพจน์แรก และลำดับอนันต์ เป็น

ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

– ตัวอย่างที่ 1 : 6, 12, 18, 24, 30 เป็นลำดับจำกัด

– ตัวอย่างที่ 2 : an= 5n – 2 เมื่อ n { 1, 2, 3, …, 20 }

เป็นลำดับจำกัด

– ตัวอย่างที่ 3 : 2, 4, 8, 16, …, an, … เป็นลำดับอนันต์

– ตัวอย่างที่ 4 : an = n2 +3 เป็นลำดับอนันต์

ลำดับเลขคณิต 4

ลำดับเลขคณิต เป็นลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่

n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่าง

ที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม (Common difference)

ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว

จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an เท่ากับค่า

คงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ผลต่างร่วม” (Common

difference) เขียนแทนด้วย “d” จากบทนิยาม

d = an+1 – an หรือ an+1 = an + d

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเลขาคณิต เป็นลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1

ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียก

ค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม” (Common ratio)

ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว

จะได้เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม”

(Common ratio) เขียนแทนด้วย “r”

ลำดับหลายชั้น 5

ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับเลขอนุกรม มีค่าความแตกต่าง

ระหว่างตัวเลขมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย

ตัวอย่างการเขียนลำดับหลายชั้น

ลำดับเว้นระยะ
ลำดับเว้นระยะ เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วย
อนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน
ตัวอย่างการเขียนลำดับเว้นระยะ

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด 6

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด เป็นลำดับอนุกรมที่เกิด

จากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมา

และใช้ค่าแตกต่างที่เป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลข

อนุกรมลำดับถัดไป

ตัวอย่างการเขียนลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด

ลำดับยกกำลัง
ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยก
กำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่าง
ที่อาจเป็นเลขยกกำลัง
ตัวอย่างการเขียนลำดับยกกำลัง

อนุกรม 7

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์ จะ

เรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับใน

รูป a1 + a2 + a3 + … + an ว่าอนุกรมจำกัด

และในทำนองเดียวกัน ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น

ลำดับอนันต์ จะ เรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป

a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่าอนุกรมอนันต์

ความหมายของอนุกรม และสัญลักษณ์แทนการบวก

กำหนด a1, a2, a3, … , an เป็นลำดับจำกัด จะได้

a1 + a2 + a3 + … + an เป็นอนุกรมจำกัด

และ เมื่อ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับอนันต์ จะได้

a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็นอนุกรมอนันต์

โดยจากบทนิยาม เราจะได้ว่าอนุกรมจำกัดมาจากลำดับ

จำกัด และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์

จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + …

เรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม

เรียก a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม

เรียก a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม

และเรียก an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

ตัวอย่างของการเขียนอนุกรม

– ตัวอย่างที่ 1 : 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็นอนุกรม

จำกัด ที่ได้จากลำดับจำกัด 1, 3, 5, 7, …, 99

8

อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตเป็นผลต่างร่วมของ
อนุกรมเลขคณิตด้วย
เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับ
เลขคณิต จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 +
(n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก
ของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น
ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผล
บวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + …
+ an ว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วม (d) ของ
ลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

อนุกรมเรขาคณิต 9

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรม

เรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็น

อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

เมื่อ a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็นอนุกรม

เรขาคณิต ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วน

ร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น

ลำดับเรขาคณิต ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผล

บวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + …

+ an ว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับ

เรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต

ด้วย

10

อ้างอิงข้อมูลจาก :
kamonchanart2.wordpress.com/,

www.doesystem.com