หน่วยที่ 5 โมเมนต์ความเฉื่อย

1
รหัส 20106-1006 ชื่อวชิ า กลศาสตร์โครงสรา้ ง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

5หน่วยท่ี โมเมนตค์ วามเฉ่อื ย

Trang Industrail and Community Education College

2
รหสั 20106-1006 ช่ือวชิ า กลศาสตร์โครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

หน่วยท่ี 5
เรือ่ ง โมเมนตค์ วามเฉ่ือย

สาระการเรยี นรู้
5.1 ความหมายของโมเมนตค์ วามเฉื่อย
5.2 การหาคา่ โมเมนต์ความเฉอื่ ย
5.3 หน่วยของโมเมนต์ความเฉอ่ื ย
5.4 โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยรูปทรงเรขาคณิต
5.5 การหาคา่ โมเมนต์ความเฉอ่ื ยเมือ่ แกนเคล่ือนย้าย
5.6 การหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยแบบโพล่า
5.7 รัศมีไจเรชนั

สาระสำคัญ
ความแขง็ แรงของชิน้ สว่ นท่ีประกอบเปน็ โครงสร้างจะมคี วามสามารถในการรบั แรงแตกตา่ ง

กนั มากหรอื นอ้ ย ข้ึนอย่กู ับขนาดของพื้นทหี่ น้าตดั ของคาน เมื่อมกี ารกระจายแรงอย่างตอ่ เน่ืองกระทำ
ตอ่ พ้นื ทีห่ น้าตดั จะทำให้ความเค้นของแรงเปน็ สดั สว่ นกบั ระยะทางจากแนวแรงถงึ แกนของโมเมนต์
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
จดุ ประสงค์ท่ัวไป

1. เพือ่ ใหม้ คี วามรู้ความเข้าใจโมเมนต์ของความเฉ่ือยของพ้ืนท่ี
2. เพอ่ื ใหม้ ีทักษะในการคำนวณหาโมเมนต์ของความเฉือ่ ยของพืน้ ท่ี
3. เพอื่ ให้มกี ิจนสิ ยั ในการทำงานท่ีมรี ะเบยี บแบบแผน มคี วามรบั ผิดชอบ
จุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม
1. อธบิ ายการความหมายของโมเมนต์ความเฉือ่ ยได้
2. คำนวณหาค่าโมเมนต์ความเฉ่อื ยของรปู ทรงเรขาคณติ ได้อย่างถกู ตอ้ ง
3. คำนวณหาค่ารัศมีไจเรชนั ไดอ้ ยา่ งถกู ต้อง

Trang Industrail and Community Education College

3
รหสั 20106-1006 ชอื่ วชิ า กลศาสตรโ์ ครงสร้าง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

หนว่ ยท่ี 5
เรอื่ ง โมเมนต์ความเฉอ่ื ย

บทนำ
ในการศึกษาวิชากลศาสตร์ ขนาดและรูปร่างของหนา้ ตดั วัสดุมีความสำคัญต่อการคำนวณ

เป็นอยา่ งย่ิง นอกจากขนาดของพื้นที่หนา้ ตดั แล้วคุณสมบตั ิอย่างหน่งึ ของพนื้ ท่กี ็คือ โมเมนตค์ วาม
เฉ่อื ยของพน้ื ท่ี จำเป็นตอ้ งศึกษาเน่ืองจากมีผลตอ่ การคำนวณในการรับแรงของโครงสรา้ งนนั้ ๆ

5.1 ความหมายของโมเมนตค์ วามเฉอื่ ย
ความแขง็ แรงของโครงสรา้ งจะมากหรือนอ้ ย จะตอ้ งคำนงึ ถึงส่งิ ตอ่ ไปน้ี
1. วสั ดทุ ี่นำมาทำชิ้นส่วน
2. ชนิดนำ้ หนักทบี่ รรทุกบนโครงสร้าง
3. ความยาวของโครงสร้าง
4. รูปหนา้ ตัดของโครงสรา้ ง
เมื่อพิจารณาหน้าตัดจะเห็นได้ชดั มาก หนา้ ตัดใหญ่และหน้าตดั เล็กย่อมมีความแข็งแรงหรอื

ความสามารถรบั นำ้ หนกั แตกตา่ งกนั ขนาดของหน้าตัดตอ้ งมีความกว้าง ความลกึ การกระจายของ
แรงจะกระทำตามหนา้ ตดั ของคาน การกระจายแรงตอ่ หนา้ ตดั ของคานจะมีความเขม้ ของแรงเปน็
สัดส่วนกับระยะทางจากแกน N-A

คุณสมบัตทิ มี่ ีผลตอ่ การกระจายแรงดังกลา่ ว เป็นคณุ สมบัตขิ องพืน้ ทห่ี น้าตัดคูณกับระยะทาง
กำลงั สอง เรยี กวา่ โมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia)

โมเมนต์ความเฉอื่ ย เปน็ สมบัตอิ ย่างหนึ่งเกดิ ขึ้นเมอ่ื วัตถุหมนุ เป็นปรมิ าณทีบ่ อกความเฉื่อยใน
การหมนุ (Rotational Inertia) ของวตั ถุในการที่จะพยายามรักษาสภาพเดมิ ของการหมุนเอาไว้ โดย
วัตถุมีโมเมนตค์ วามเฉื่อยมาก ก็จะทำใหว้ ตั ถนุ ั้นเปลี่ยนสภาพของการหมนุ เดิมไดย้ าก และถ้าวัตถุนัน้ มี
โมเมนต์ความเฉือ่ ยนอ้ ย กจ็ ะทำใหว้ ัตถนุ ้นั เปลี่ยนสภาพของการหมนุ เดมิ ไดง้ ่าย ซง่ึ โมเมนต์ความเฉ่ือย
ของวตั ถมุ คี า่ ขนึ้ กับแกนหมนุ รปู รา่ งของวัตถุและลกั ษณะการเรยี งตัวของวัตถรุ อบแกนหมุน

5.2 การหาคา่ โมเมนต์ความเฉือ่ ย (Moment of Inertia)
โมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยของพื้นทีใ่ ดๆ และรอบแกนใด แกนหนึง่ จะมคี ่าเทา่ กับผลรวมของพื้นที่

เลก็ ๆ ท่ีแบง่ ออกจากพ้นื ทใี่ หญก่ บั ระยะทางจากแกนน้ันๆ ยกกำลงั สอง

Trang Industrail and Community Education College

4
รหสั 20106-1006 ช่ือวิชา กลศาสตรโ์ ครงสร้าง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

พิจารณารปู ท่ี 5.1 พืน้ ที่ A แบ่งเปน็ พื้นท่เี ลก็ ๆ a1 ,a2 ,a3 ........an พนื้ ทีเ่ หลา่ นนั้ จะหมุนรอบๆ
แกน y หรือแกน x

ถ้าเอาระยะทาง x1 , x2 , x3 ........xn ยกกำลังสองคณู กบั พนื้ ท่ี a1 ,a2 ,a3 ........an จะไดโ้ มเมนต์
ความเฉอื่ ยของพนื้ ท่ี A รอบแกน y

ในทำนองเดยี วกนั
ถ้าเอาระยะทาง y1 , y2 , y3 ........yn ยกกำลงั สองคณู กับพื้นที่ a1 ,a2 ,a3 ........an จะไดโ้ มเมนต์
ความเฉอ่ื ยของพื้นท่ี A รอบแกน x
ผลคูณอันนเ้ี รยี กว่า โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยของพ้ืนท่ี

รปู ท่ี 5.1 แสดงพ้ืนท่เี ล็กๆ หมุนรอบแกน x และ แกน y

โมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยหมุนรอบแกน y

Iy = ax2 + ax2 + a3x32 ..........anxn2
11 22

Iy = ax2 (5.1)

โมเมนตค์ วามเฉื่อยหมุนรอบแกน x

Ix = ay2 + a2y22 + a3y32 ..........anyn2
11

Ix = ay2 (5.2)

จากสมการท่ี (5.1) , (5.2) มชี ่อื เรยี กเพื่อใหส้ อดคล้องกบั สมการ คอื “โมเมนต์ท่ีสองของ

พนื้ ที่ (Second Moment of Area)”

5.3 หน่วยของโมเมนต์ความเฉอ่ื ย (ซม)4
ระบบเมตริก (นิ้ว)4
ระบบองั กฤษ (เมตร)4
ระบบ SI

Trang Industrail and Community Education College

5
รหสั 20106-1006 ชื่อวิชา กลศาสตร์โครงสร้าง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

5.4 โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยรปู ทรงเรขาคณิต

จากผลการรวมพ้นื ท่ีเล็กๆ ระยะทางของพน้ื ที่ A ถงึ แกน ยกกำลังสองจะได้โมเมนตข์ องความ

เฉื่อยรูปทรงเรขาคณิต ดังนี้

รูปทรงเรขา สตู ร

Ix0 = bh3
12

Iy0 = hb3
12

Ix0 = bh3
12

Iy0 = hb3
12

Ix0 = r 4 = d2
4 64

Iy0 = r 4 = d2
4 64

Ix0 =  − 4 r 4
 8 9

Ix0 =  − 4 r 4
16 9

Iy0 =  − 4 r 4
16 9

Trang Industrail and Community Education College

6
รหสั 20106-1006 ชื่อวชิ า กลศาสตร์โครงสร้าง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

รปู ทรงเรขา สตู ร

Ix0 = bh3
36

ตวั อยา่ งที่ 5.1 จงคำนวณหาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกน x และแกน y

วิธีทำ

หาโมเมนตข์ องความเฉอื่ ยรอบแกน x

Ix = bh3
12
100 2003
Ix = 12

Ix = 66.67 106 mm4

โมเมนตค์ วามเฉ่อื ยรอบแกน x = 66.67 106 mm4

หาโมเมนต์ของความเฉอื่ ยรอบแกน y

Ix = bh3
12
2001003
Ix = 12

Ix = 16.67 106 mm4

โมเมนตค์ วามเฉ่อื ยรอบแกน y = 16.67 106 mm4

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College

7
รหสั 20106-1006 ชอ่ื วิชา กลศาสตร์โครงสรา้ ง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

ตัวอยา่ งที่ 5.2 จงคำนวณหาโมเมนต์ความเฉอื่ ยรอบแกน x ,แกน y และโมเมนต์ความเฉ่อื ยโพลาร์

วิธีทำ

หาโมเมนต์ของความเฉือ่ ยรอบแกน x

Ix = bh3
36
4  63
Ix = 36

Ix = 24 m4

โมเมนตค์ วามเฉือ่ ยรอบแกน x = 24 m4

หาโมเมนตข์ องความเฉื่อยรอบแกน y

Iy = hb3
36
643
Iy = 36

Iy = 10.67 m4

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x = 10.67 m4

J = Ix + Iy
J = 24 +10.67

J = 34.67 m4

โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยโพลาร์ = 34.67 m4

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College

8
รหสั 20106-1006 ชอ่ื วชิ า กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต
5.5 โมเมนต์ความเฉื่อยเม่อื แกนเคลอื่ นยา้ ย
ตามรูปท่ี 5.2 A เปน็ พน้ื ทที่ ีจ่ ะหาโมเมนต์ความเฉื่อย และเคลื่อนย้ายแกน
ให้ Ix0 เป็นโมเมนต์ความเฉอ่ื ยรอบแกน x 0 ซง่ึ ผ่านจดุ เซนต์ทรอยดพ์ ้ืนท่ขี องวตั ถุ

รูปที่ 5.2 แสดงการย้ายแกนโมเมนตข์ องความเฉ่อื ย

Ix1 คอื โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนใหม่ x1
h คอื ระยะระหวา่ งแกน x0 และ x
A คอื พ้นื ที่ ทจี่ ะหาโมเมนตค์ วามเฉื่อย
จะไดส้ ตู รการยา้ ยแกน ดงั นี้

Ix1 = Ix1 + Ah2
5.6 โมเมนต์ความเฉ่อื ยแบบโพลาร์ (Polar Moment of Inertia)

โมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยแบบโพลาร์ คือ โมเมนตค์ วามเฉื่อยรอบแกนท่ี 3 นน้ั กค็ อื แกน z ซ่ึงเปน็
แกนท่ตี งั้ ฉากกับพน้ื ท่ี x-y ตามรปู ท่ี 5.3 พ้ืนทเี่ ลก็ ๆ a1 จะอยู่ห่างจากแกน z เปน็ ระยะทาง r1

รปู ท่ี 5.3 แสดงพื้นท่เี ลก็ ๆ a1 จะอยู่หา่ งจากแกน z เป็นระยะทาง r

J = Ix + Iy
J คือ โมเมนตค์ วามเฉอ่ื นแบบโพลาร์
Ix คือ โมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยรอบแกน x
Iy คือ โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกน y

Trang Industrail and Community Education College

9
รหสั 20106-1006 ชอ่ื วิชา กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

5.7 รัศมไี จเรชั่น (Radius of Gyration)
รศั มีไจเรชนั่ คือ ระยะระหวา่ งแนวแกนใดๆ ถึงแนวของพ้นื ที่พจิ ารณาท่ถี ูกอัดตัวจนแน่น

กลายเปน็ แถบท่ีมคี วามหนาน้อยมาก

รปู ท่ี 5.4 แสดงการหาคา่ รัศมไี จเรชัน่

Ix = Kx2A

จึงกล่าวไดว้ ่า

รศั มีไจเรชั่นของพน้ื ที่ A รอบแกน x

Kx = Ix
A
Ix คอื โมเมนต์ความเฉอื่ ยรอบแกน x

A คือ พน้ื ท่ี

K x คอื รัศมไี จเรชั่นในแนวแกน x
รศั มไี จเรชนั่ ของพ้ืนที่ A รอบแกน y

Ky = Iy
A
Iy คอื โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกน y

A คอื พ้นื ที่

K y คอื รศั มีไจเรชัน่ ในแนวแกน y
รัศมีไจเรชั่นของพืน้ ท่ี A รอบแกน z

Kz = Ix = K2 + K2
A x y

J คอื โมเมนต์ความเฉื่อนแบบโพลาร์

A คอื พื้นท่ี

K z คอื รศั มีไจเรชัน่ ในแนวแกน z
K x คือ รัศมไี จเรชน่ั ในแนวแกน x
K y คอื รัศมีไจเรชน่ั ในแนวแกน y

Trang Industrail and Community Education College

10
รหสั 20106-1006 ชอื่ วิชา กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

ตัวอย่างที่ 5.3 จงคำนวณหาโมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกน x0 ซึ่งผา่ นจดุ เซนทรอยด์
และรอบแกน x

วธิ ีทำ

หาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกน x0

Ix0 = bh3
12
200 4003
Ix0 = 12

Ix0 = 1066.67 106 mm4

โมเมนตค์ วามเฉื่อยรอบแกน x0 = 1066.67 106 mm4

หาพืน้ ที่

A = bh

A = 200400

A = 80000 mm2

พืน้ ที่ = 80000 mm2

หาระยะ h

h = 300 mm

หาโมเมนตข์ องความเฉือ่ ยรอบแกน x

Ix = Ix0 + Ah2
Ix = 1066.67106 + (800003002 )
Ix = 8266.67106 mm4
โมเมนตข์ องความเฉอื่ ยรอบแกน x = 8266.67106 mm4

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College

11
รหสั 20106-1006 ชอื่ วชิ า กลศาสตร์โครงสร้าง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

ตวั อยา่ งที่ 5.4 จงคำนวณหารัศมีไจเรช่นั รอบแกน x

วธิ ีทำ
หาโมเมนตข์ องความเฉ่อื ยรอบแกน x

Ix = bh3
12
300 5003
Ix = 12

Ix = 3125 106 mm4

โมเมนต์ของความเฉอ่ื ยรอบแกน x = 3125 106 mm4

หาพืน้ ที่

A = bh

A = 300500

A = 150000 mm2

พน้ื ท่ี = 150000 mm2

Kx = Ix
A

Kx = 3125106
150000

K x = 20833.33
K x = 144.34 mm
รัศมไี จเรช่ัน = 144.34 mm

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College