หน่วยที่ 4 เซนทรอยด์และจุดศูนย์ถ่วง

1
รหัส 20106-1006 ชื่อวชิ า กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

4หน่วยท่ี เซนทรอยด์และจุดศูนย์ถว่ ง

Trang Industrail and Community Education College

2
รหสั 20106-1006 ชอ่ื วิชา กลศาสตร์โครงสร้าง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

หนว่ ยที่ 4
เรื่อง เซนทรอยดแ์ ละจดุ ศนู ย์ถ่วง

สาระการเรยี นรู้
4.1 ความหมายจุดเซนทรอยดแ์ ละจุดศูนยถ์ ่วง
4.2 การกำหนดจุดเซนทรอยด์และการหาจุดศนู ย์ถ่วง

สาระสำคัญ
จดุ ศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุ ถา้ พจิ ารณาทางฟิสิกส์ของวตั ถุแลว้ มกั จะเป็นศูนย์กลาง

อย่างไรกต็ ามจดุ ศนู ยก์ ลาง และจุดศูนย์กลางมวลจะเป็นจุดๆ เดยี วกนั เมื่อวัตถุน้นั มีความหนาแน่น
สมำ่ เสมอ และถ้าหากวตั ถุมีความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอแล้ว จดุ ทัง้ สองจะไมไ่ ด้อยู่ทีเ่ ดยี วกัน
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
จดุ ประสงค์ท่ัวไป

1. เพื่อใหม้ คี วามรู้ความเขา้ ใจเกย่ี วกับจุดเซนทรอยดแ์ ละจุดศนู ยถ์ ว่ ง
2. เพื่อให้มีทักษะในการคำนวณหาจดุ เซนทรอยด์ของวตั ถุทเ่ี ป็นพนื้ ท่เี ดียวกนั
3. เพ่อื ใหม้ ีทักษะในการคำนวณหาจดุ เซนทรอยด์ของวัตถุที่เปน็ พืน้ ท่ีประกอบ
4. เพ่อื ให้มีกิจนิสยั ในการทำงานที่มรี ะเบียบแบบแผน มีความรบั ผิดชอบ
จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. บอกความหมายของจุดเซนทรอยดไ์ ด้ถกู ตอ้ ง
2. บอกความหมายของจุดศนู ย์ถ่วงได้ถกู ต้อง
3. คำนวณหาตำแหนง่ ของจดุ เซนทรอยด์ของวตั ถุท่เี ปน็ พืน้ ที่เดยี วกนั ได้อยา่ งถกู ตอ้ ง
4. คำนวณหาตำแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของวัตถุท่เี ปน็ พนื้ ทป่ี ระกอบได้อยา่ งถูกตอ้ ง

Trang Industrail and Community Education College

3
รหัส 20106-1006 ชอื่ วิชา กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

หนว่ ยท่ี 4
เรื่อง เซนทรอยดแ์ ละจดุ ศนู ยถ์ ่วง

บทนำ
แรงทปี่ รากฏในธรรมชาตโิ ดยทวั่ ไปจะเป็นแรงแบบแผก่ ระจายอยบู่ นพ้นื ท่ี หรือปริมาตรของ

วตั ถุ แต่อย่างไรกต็ ามแรงกระจายสามารถรวมเป็นแรงๆ เดียวได้ เม่อื พิจารณากรณที ่ีแรงกระทำบน
พืน้ ทน่ี ้อยๆ เม่ือเทียบกับพื้นทที่ ้ังหมดของโครงสร้างนน้ั ๆ แรงดงึ ดดู ของโลก ถือเปน็ แรงกระจายที่
สำคญั ซงึ่ กระจายทัว่ ทั้งปรมิ าตรของวตั ถุ สามารถทำให้ทราบถึงจุดศนู ยถ์ ว่ งของวตั ถตุ ่างๆ ได้

4.1 ความหมายของจุดเซนทรอยด์ และจุดศนู ยถ์ ว่ ง
เซนทรอยด์ (Centroid) หมายถึง จุดศนู ยก์ ลางทางเรขาคณติ ของวตั ถุใดๆ หรือเปน็ จุด

ก่ึงกลางของพน้ื ท่ี หรอื รปู ทรง และถา้ พจิ ารณาถงึ คุณสมบตั ทิ างฟสิ กิ ส์ของวตั ถุ จะเรยี กว่า จดุ
ศูนยก์ ลางมวลแทน

จุดศนู ยถ์ ว่ ง (Center of Gravity) หมายถึง จุดที่นำ้ หนกั รวมของวตั ถุผ่าน วัตถุทุกชนิดจะ
ประกอบไปดว้ ยมวลเล็กๆ ซ่ึงถูกแรงดงึ ดดู ของโลกกระทำ ซ่ึงแนวของแรงจะขนานกนั สจู่ ดุ ศูนยถ์ ว่ ง
ของโลก ถ้าเอาแรงเล็กๆ เหล่านม้ี ารวมกนั ก็จะได้ นำ้ หนกั นัน้ เอง เรยี กย่อๆ ว่า CG

4.2 การกำหนดจุดเซนทรอยดแ์ ละการหาจุดศูนย์ถ่วง
4.2.1 การคำนวณหาจุดเซนทรอยด์ของวัตถทุ ีเ่ ป็นพ้ืนท่ีเดยี วกัน
สำหรบั วตั ถุทางเรขาคณติ ทีเ่ ปน็ เนอ้ื เดยี วกนั และมีรูปร่างอยา่ งเดยี วกัน จดุ ศนู ย์ถ่วงและจดุ

เซนทรอยดจ์ ะอยู่ที่เดียวกัน
ตัวอยา่ งเซนทรอยด์ของรูปทรงเรขาคณติ

ก. รูปสเ่ี หล่ยี ม

เซนทรอยดจ์ ากแกน x = a
2
b
เซนทรอยดจ์ ากแกน y = 2

Trang Industrail and Community Education College

4
รหสั 20106-1006 ชอื่ วชิ า กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

ข. รูปวงกลม

เซนทรอยดจ์ ากแกน x = r
เซนทรอยด์จากแกน y = r

ค. รูป 1 วงกลม
4

เซนทรอยด์จากแกน x = 2d
3
2d
เซนทรอยดจ์ ากแกน y = 3

ง. รูป 1 วงกลม
2

เซนทรอยด์จากแกน x = r

เซนทรอยดจ์ ากแกน y = 2d
3
จ. รูปโพลา
ฉ. รูปสามเหล่ียม เซนทรอยดจ์ ากแกน x = 3b
8
2a
เซนทรอยดจ์ ากแกน y = 5

เซนทรอยดจ์ ากแกน x = 2b
3
h
เซนทรอยด์จากแกน y = 3

Trang Industrail and Community Education College

5
รหัส 20106-1006 ชือ่ วชิ า กลศาสตรโ์ ครงสร้าง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

ตัวอยา่ งท่ี 4.1 จงหาจุดเซนทรอยด์ จากพ้นื ท่ี ดงั รูป

วธิ ีทำ

หาจดุ เซนทรอยด์

x = a y = b
2 2
900 1150
x = 2 y = 2

x = 450 mm y = 575 mm

-----------------------------------------------------------------------------

ตัวอยา่ งท่ี 4.2 จงหาจดุ เซนทรอยด์ จากพ้นื ที่ ดังรปู

วิธีทำ

หาจุดเซนทรอยด์

x = d y = 2d
2 3
1518 21518
x = 2 y = 3

x = 759 mm y = 322.13 mm

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College

48
รหสั 20106-1006 ชอื่ วชิ า กลศาสตร์โครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

4.2.2 การคำนวณหาจดุ เซนทรอยด์ของวตั ถุท่เี ปน็ พื้นทป่ี ระกอบ
สำหรบั วัตถุทางเรขาคณติ ท่ีไมเ่ ปน็ เนือ้ เดียวกนั และมรี ปู รา่ งต่างกัน การหาจดุ เซน

ทรอยดข์ องรูปเหล่าน้ใี ชว้ ิธโี มเมนต์ของพื้นที่ คือ ผลรวมของโมเมนต์ของพน้ื ทร่ี วมจะมคี ่า
เท่ากับ โมเมนตข์ องพืน้ ท่ยี ่อยแตล่ ะพ้นื ทีร่ วมกนั

รปู ที่ 4.1 แสดงวัตถุทางเรขาคณติ ท่ไี ม่เป็นเนอ้ื เดียวกัน

เปน็ พื้นทสี่ เี่ หลี่ยมติดกันเป็นแผ่นเดียวกัน ทำไดโ้ ดยแบง่ พื้นที่ออกเปน็ ชน้ิ สว่ นยอ่ ย คือพ้ืนที่

A1 และ A2 ซึง่ แต่ละพืน้ ที่มีระยะทางเซนทรอยดห์ า่ งจากแกน x และแกน y คอื x1 , x2 และ y1, y2
ตามลำดับ

หาระยะ x ให้โมเมนตข์ องพ้ืนที่หมุนรอบแกน y

x.(A1 + A2) = A1.x1 + A2.x2

x = A1.x1 + A2.x2
A1 + A2

หาระยะ y ให้โมเมนตข์ องพื้นท่หี มนุ รอบแกน x

y.(A1 + A2) = A1.y1 + A2.y2

y = A1.y1 + A2.y2
A1 + A2

ในกรณที ่เี ปน็ ลูกบาศก์ จะใช้ปรมิ าตรแทนพน้ื ทีก่ ็ได้

Trang Industrail and Community Education College

49
รหสั 20106-1006 ช่อื วชิ า กลศาสตรโ์ ครงสร้าง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต
ตัวอยา่ งที่ 4.3 จงหาจดุ เซนทรอยด์

วิธีทำ
แบ่งพ้ืนทีอ่ อกเปน็ ช้นิ สว่ นยอ่ ย

หาพนื้ ที่

A1 = 100 30 = 3000 mm2
A2 = 80 20 = 1600 mm2
A1 + A2 = 3000+1600 = 4600 mm2
หาระยะ x และระยะ y

x1 = 15 mm y1 = 50 mm
x 2 = 70 mm y 2 = 10 mm
หาจุดเซนทรอยด์

x = A1.x1 + A2.x2
A1 + A2

x = (3000).(15) + (1600).(70)
4600
45000 + 112000
x = 4600

x = + 157000
4600

Trang Industrail and Community Education College

50
รหัส 20106-1006 ชือ่ วิชา กลศาสตรโ์ ครงสร้าง 1 ระดับ ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

x = 34.13 mm

y = A1.y1 + A2.y2
A1 + A2

y = (3000).(50) + (1600).(10)
4600
150000+ 16000
y = 4600

y = + 262000
4600
y = 56.96 mm

จุดเซนทรอยดอ์ ยทู่ ่ี ( x, y ) = 34.13,56.96 mm

-----------------------------------------------------------------------------

ตัวอยา่ งที่ 4.4 จงหาจดุ เซนทรอยด์

วิธที ำ
แบ่งพนื้ ทอ่ี อกเปน็ ชิ้นสว่ นย่อย

หาพืน้ ท่ี

A1 = 30 40 = 1200 mm2
A2 = 90 60 = 5400 mm2
A3 = 20100 = 2000 mm2

Trang Industrail and Community Education College

51
รหสั 20106-1006 ชื่อวิชา กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

A1 + A2 + A3 = 1200+ 5400+ 2000 = 8600 mm2
หาระยะ x และระยะ y

x1 = 15 mm y1 = 20 mm
x 2 = 45 mm y2 = 40 + 30 = 70 mm
x3 = 90 + 10 = 100 mm y3 = 50 mm
หาจดุ เซนทรอยด์

x = A1.x1 + A2.x2 + A3.x3
A1 + A2 + A3

x = (1200).(15) + (5400).(45) + (2000).(100)
8600
18000+ 243000+ 200000
x = 8600

x = + 461000
8600
x = 56.60 mm

y = A1.y1 + A2.y2 + A3.y3
A1 + A2 + A3

y = (1200).(20) + (5400).(70) + (2000).(50)
8600
24000+ 378000+ 100000
y = 8600

y = + 502000
8600
y = 58.37 mm

จุดเซนทรอยด์อยู่ท่ี ( x, y ) = 56.60 , 58.37 mm

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College

52
รหสั 20106-1006 ช่ือวชิ า กลศาสตรโ์ ครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หน่วยกิต

ตัวอยา่ งที่ 4.5 จงหาจดุ เซนทรอยด์

วิธีทำ
แบง่ พ้ืนท่ีออกเป็นช้นิ ส่วนย่อย

หาพ้นื ที่

A1 = 60 90 = 5400 mm2

A2 = 1  30 90 = 1350 mm2
2
1
A3 = 2  30 60 = 900 mm2

A1 + A2 + A3 = 5400+1350+ 900 = 7650 mm2

หาระยะ x และระยะ y

x1 = 45 mm y1 = 30 mm

x2 = 90 = 30 mm y2 = 60 + 30 = 70 mm
3 3
x 3 = 100 mm y3 = 20 mm

หาจุดเซนทรอยด์

x = A1.x1 + A2.x2 + A3.x3
A1 + A2 + A3

Trang Industrail and Community Education College

53
รหสั 20106-1006 ช่ือวชิ า กลศาสตร์โครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

x = (5400).(45) + (1350).(30) + (900).(100)
7650
243000+ 40500+ 90000
x = 7650

x = + 373500
7650
x = 48.82 mm

y = A1.y1 + A2.y2 + A3.y3
A1 + A2 + A3

y = (900).(30) + (1200).(70) + (600).(20)
7650
27000+ 84000+ 12000
y = 7650

y = + 123000
7650
y = 16.08 mm

จดุ เซนทรอยด์อยู่ท่ี ( x, y ) = 48.82 , 16.08 mm

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College

54
รหสั 20106-1006 ชอื่ วชิ า กลศาสตรโ์ ครงสร้าง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต
ตัวอยา่ งที่ 4.6 จงหาจุดเซนทรอยด์

วธิ ีทำ
แบ่งพื้นทอ่ี อกเปน็ ชิ้นส่วนย่อย

A1 = 55 60 = 3300 mm2

d2 ( 60) 2
4 4
A2 = 0.50 = 0.50 = 1413.72 mm2

A3 = 40 70 = 2800 mm2

A4 = d2 = (30)2 = 706.86 mm2
4 4
A1 + A2 + A3 + A4 = 3300+1413.72 + 2800− 706.86 = 6806.86 mm2

หาระยะ x และระยะ y

x1 = 30 mm y1 = 55 = 22.50 mm
2
x 2 = 30 mm 2  60
x 3 = 80 mm y2 = 55 + 3 = 67.73 mm
x 4 = 80 mm
หาจดุ เซนทรอยด์ y3 = 35 mm

y4 = 22.505 mm

x = A1.x1 + A2.x2 + A3.x3 + A4 .x4
A1 + A2 + A3 − A4

Trang Industrail and Community Education College

55
รหสั 20106-1006 ช่อื วชิ า กลศาสตร์โครงสรา้ ง 1 ระดบั ปวช. จำนวน 2 หนว่ ยกิต

x = (3300).(30) + (1413.72).(30) + (2800).(80) − (706.86).(80)
6806.86
99000+ 42411.50 + 224000− 56548.67
x = 6806.86

x = + 308862.83
6806.86
x = 45.38 mm

y = A1.y1 + A2.y2 + A3.y3 + A4 .y4
A1 + A2 + A3 − A4

y = (3300).(22.50) + (1413.72).(67.73) + (2800).(80) − (706.86).(22.50)
6806.86
74250+ 95754.42 + 224000−15904.31
y = 6806.86

y = + 311275.11
6806.86
y = 45.73 mm

จุดเซนทรอยด์อยู่ท่ี ( x, y ) = 45.38 , 45.73 mm

-----------------------------------------------------------------------------

Trang Industrail and Community Education College