Complex Number

ร

ร

บทนำ

จากกราฟ เราจะเห็นว่า ปัจจุบันความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์ มีความหลากหลาย
ไม่มีส่วนใดที่ตดั กบั แกน x ทั้งในด้านของแอพพลิชัน เครื่องมืออานวยความสะดวกหรือ
แม้กระทั่งแอพพลิเคชันโทรศัพท์มือถือ ที่สามารถแก้สมการทาง

คณติ ศาสตแตร์ไเ่ รดาเ้ รทกอืราบบจหะร1ือ0ไ0ม%่ ? ว่าในอดีต สมัยที่มนุษย์รู้จักเพียง

แค่จานวนจริง มีสมการที่ก่อให้เกิดปัญหาขึ้น และทาให้วงการ
คณิตศาสตร์ส่ันคลอน สมการที่กล่าวมานี้คอื สมการงา่ ย ๆ คือ

x2 +1= 0

บทนำ

ร

ซึ่งในระบบจานวนจรงิ นน้ั เปน็ ไปไมไ่ ด้เลยทจ่ี ะมจี านวนจริงใดๆ ยกกาลงั สองแลว้ คา่ ติดลบ
สมการนีจ้ ึงไม่มีผลเฉลยในระบบจานวนจรงิ

ดังนั้น นักคณติ ศาสตรถ์ ึงไดค้ ดิ คน้ เซตของจานวนขน้ึ มา เรียกวา่ จานวนเชิงซอ้ น

Complex Number

ร

Complex Number

Example 1
จงหำผลบวกและผลคณู ของจำนวน (-1,2) และ (3,-4)

sol (-1,2) + (3,-4) = (-1+3,2+(-4))
= (2,-ร2)

(-1,2)(3,-4) = ((-1)3-2(-4),(-1)(-4)+2(3))
= (-3+8,4+6)
= (5,10)

Complex Number

ร

Complex Number

ร

Complex Number

ร

Complex Number

ร

Complex Number

Example 2
จงหำผลบวกและผลคูณของ 3+2i และ 1-i

sol (3+2i) + (1-i) =((3+1)+(2+(-1))i
= 4+รi

(3+2i)(1-i) = (3(1)-2(-1))+(3(-1)+2(1))i
= 5-i

Complex Number

Example 3
จงหำผลบวกและผลคูณของจำนวนเชงิ ้ซอน 2(1+3i) และ i(2+4i)

sol เน่อื งจำก 2(1+3i) = 2+6i และ i(2+4i)=-4+2i
ร

2(1+3i) + i(2+4i) = (2+6i)+(-4+2i)
= -2+8i

และ (2(1+3i))( i(2+4i)) = (2+6i)(-4+2i)
= -20-20i

Complex Number

Example 4
จงหำจำนวนจริง a และ b จำก (a+2i)+(-1+2bi)=3+8i

sol เนือ่ งจำก (a+2i)+(-1+2bi)=(a-1)+(2+2b)=3+8i
ร

จะไ้ด a-1=3 และ 2+2b=8
ดังนน้ั a=4 และ b=3

Complex Number

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

Example 5
จงหำ (2-3i) – (4-i)

sol (2-3i) - (4-i) = (3-2i) + ( - (4-i))
((2-4)+(ร-2+1)i
= -2-2i

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

สมบตั ขิ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

Example 6

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

Example 7

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

Example 8

ร

รำกทส่ี องของจำนวนเชงิ ซอ้ น

Example 8

ร

กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

เน่ืองจำก Complex Number เขียนในรปู (a,b) หรือ a+bi
โดยที่ a Real Part และ b Imaginary Part ดงั นน้ั อำจแทน Complex Number
ในจุดในระนำบ เรียกแกน x แกนจริง เรยี กแกน y แกนจนิ ตภาพ
และเรยี กระนำบน้ี Complex Plan

ร

กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

พิจำรณำ 3+2i และ -1-3i
จะสำมำรถเขียน ในรปู (3,2) , (-1,-3)
หรอื สำมำรถแทน Vector ที่มจี ดุ จำกจุด (0,0)
ไปรส้ินสุดทีจ่ ดุ (3,2) , (-1,-3) ตำมลำดับ ดงั ภำพ

กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

ร

กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

ร

กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

ร

Example 10 กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

ร

Example 10 กรำฟและคำ่ สมั บรู ณ์

ร

รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

Example 11 รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

Example 11 รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

Example 11 รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

Example 11 รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

Example 11 รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

Example 12 รปู เชงิ ขวั้ ของ Z

ร

รำกท่ี n ของ Z

ร