M O D U L Dibuat Oleh : Ali Tutupoho, SE., M.Si. Jurusan Ekonomi Pembangunan Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Pattimura
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. ii KATA PENGANTAR Konsep-konsep matematika menjadi alat analisis yang penting dalam ilmu ekonomi. Matematika dapat menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalahmasalah ekonomi. Matematika Ekonomi bertujuan memberikan pengertian yang lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar ilmu ekonomi dengan menerapkan matematika dalam bahasan-bahasannya. Modul ini berisi uaraian, contoh-contoh soal dan latihan mengenai penerapan konsep-konsep matematika dalam bidang ekonomi. Materi disusun berdasarkan Rencana Pembelajaran Semester (RPS) mata kuliah matematika ekonomi selama satu semester pada jurusan ekonomi pembangunan fakultas ekonomi dan bisnis universitas pattimura. Penyajian setiap bab diawali dengan model-model matematika murni, disusul dengan penjelasan ringkas tentang logika dari konsep-konsep ekonomi yang menerapakan model tersebut, kemudian penerapan model matematika itu sendiri dalam konsep ekonomi yang bersangkutan beserta contoh-contoh praktisnya. Modul ini disusun sedemikian rupa agar dapat dipahami dengan mudah oleh mahasiswa dan dapat bermanfaat sebagai pelengkap acuan terutama bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika ekonomi. Akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu secara langsung maupun tidak langsung hingga tersusunnya modul ini. Semoga bmodul ini dapat bermanfaat dan kritik serta saran-saran bagi perbaikan kedepannya sangat diharapkan. Ambon, Maret 2023 P e n u l i s
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. iii DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL …………………………………………………………… i KATA PENGANTAR …………………………………………………………… ii DAFTAR ISI ……………………………………………………………………... iii BAB 1. FUNGSI ………………………………………………………….. 1 1.1. Pengertian Fungsi …………………………………………..... 1 1.2. Unsur – Unsur Fungsi ……………………………………….. 1 1.3. Jenis-jenis Fungsi …………………………………………… 2 BAB 2. FUNGSI LINEAR ………………………………………………. 4 2.1. Pengertian Fungsi Linear …………………………………... 4 2.2. Pembentukan Fungsi Linear ………………………………. 5 2.3. Penggambaran Fungsi Linear ……………………………... 7 2.4. Grafik dan Arah Garis Fungsi Linear …………………….. 7 2.5. Hubungan Dua Garis Fungsi ………………………………. 8 2.6. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 9 2.6.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar ………………………………… 9 2.6.2. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar ….. 11 2.6.3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar ... 12 2.6.4. Fungsi Biaya ………………………………………..... 14 2.6.5. Fungsi Penerimaan ………………………………….. 16 2.6.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok ……. 17 2.6.7. Fungsi Anggaran …………………………………… 18 2.6.8. Fungsi Konsumsi-Tabungan, dan Angka Pengganda…... 19
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. iv BAB 3. FUNGSI KUADRAT …………………………………………… 22 3.1. Pengertian Fungsi Kuadrat ………………………………… 22 3.2. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim .………………………… 22 3.3. Formula Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat ……………... 22 3.4. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 26 3.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar ………………………………... 26 3.4.2. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar ….. 27 3.4.3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar ... 28 3.4.4. Fungsi Biaya ………………………………………..... 29 3.4.5. Fungsi Penerimaan ………………………………….. 31 3.4.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok ……. 33 3.4.7. Fungsi Utilitas ………………………………………... 34 3.4.8. Fungsi Produksi ……………………………………… 35 3.5. Soal-Soal Latihan ……………………………………………. 36 BAB 4. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA ……………………… 38 4.1. Kuosien Diferensi Dan Derivatif …………………………... 38 4.2. Kaidah-kaidah Deferensiasi ……………………………….. 39 4.3. Derivatif dari Derivatif ……………………………….......... 41 4.4. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya………………. 42 4.5. Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun……………………… 42 4.6. Titik Ekstrim: Maksimum, Minimum dan Titik Belok ...... 43 4.7. Penerapan Ekonomi ……………………………………………….44 4.7.1. Elastisitas …………………………………………………..44 4.7.2. Biaya Marjinal ……………………………………..............46 4.7.3. Penerimaan Marjinal..............................................................46 4.7.4. Utilitas Marjinal.................................................................... 47 4.7.5. Produk Marjinal …………………………………….. 48 4.7.6. Analisis Keuntungan Maksimum..........................................49 4.4.7. Penerimaan Pajak Maksimum...............................................50 4.4.8. Efek Pemajakan Bagi Penunggal ..........................................51
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. v 4.8. Soal-Soal Latihan …………………………………………..... 54 BAB 5. DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK ………………………...... 55 5.1. Diferensial Parsial …………………………………………… 55 5.2. Derivatif dari Derivatif Parsial …………………………….. 55 5.3. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum ………………… 56 5.4. Optimisasi Bersyarat : Pengganda Lagrange ……………… 57 5.5. Aplikasi Fungsi Parsial Pada Ekonomi.............................................59 5.5.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial ………………………………………………….. 59 5.5.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan ................................................................................ 62 5.5.3. Utilitas Marjinal Parsial dan Kesimbangan Konsumsi 64 5.5.4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi 67 5.6. Soal-Soal Latihan.............................................................................. 70 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 72
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. vi DAFTAR PUSTAKA Assuari, Sofyan. (1996). Matematika Ekonomi. Jakarta ; Rajawali Chiang, Alpha. (2006). Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jilid 1 & 2. Jakarta ; Penerbit Erlangga. Dumairy. (2006) . Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Terapan. Yogyakarta : BPFE. Johanes, H dan Sri Handoko, Budiono. 1983. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Jakarta : LP3S. Josep Bintang Kalangi. (2005). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Buku 1 & 2. Jakarta; Salemba Empat.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 1 BAB I F U N G S I Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu ekonomi, mengingat telaah–telaah ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Baik fungsi yang berbentuk persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan. Fungsi berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan ( atau ). Bab ini menguraikan segala hal yang berkaitan dengan konsep fungsi secara umum, terutama fungsi-fungsi yang berbentuk persamaan. Uraian yang lebih terinci mengenai fungsi– fungsi tertentu disajikan di dalam bab-bab berikutnya, sekaligus dengan bahasan mengenai penerapan ekonomi dari fungsi yang bersangkutan. 1.1 PENGERTIAN FUNGSI Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Atau, fungsi adalah hubungan antara 2 atau lebih variabel yang saling pengaruh mempengaruhi Notasi fungsi secara umum : y = f ( x1, x2, .… , xn ) 1.2 UNSUR – UNSUR FUNGSI Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur–unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan kostanta. Variabel. Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf – huruf latin. Koefisien. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta. Konstanta ialah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 2 1.3 JENIS – JENIS FUNGSI Fungsi dapat digolong–golongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi noaljabar. Rincian jenis–jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada skema berikut: F U N G S I Fungsi aljabar Fungsi non-aljabar (transender) F. Irrasional F. rasional F. Polinom F. Linear F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat F. Pangkat F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik Skema 1 : Pembagian Jenis Fungsi I. Fungsi Aljabar : 1. Fungsi Irasional 2. Fungsi Rasional : a. Fungsi Polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom : y = a0 + a1x + a2x 2 + … + anx n b. Fungsi Linear adalah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, disebut juga fungsi berderajat satu. Bentuk umum persamaan linear : y = a0 + a1x , a1 ≠ 0 c. Fungsi Kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, disebut juga fungsi berderajat dua. Bentuk umum persamaan kuadrat : y = a0 + a1x + a2x 2 , a2 ≠ 0 d. Fungsi Kubik ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga, disebut juga fungsi berderajat tiga. Bentuk umum persamaan kubik : y = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 , a3 ≠ 0
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 3 e. Fungsi Pangkat Banyak ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. Bentuk umum persamaan : y = x n , n = bilangan nyata bukan nol II. Fungsi Non-aljabar : 1. Fungsi Exponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umum persamaan : y = nekx + c , n ≠ 0 , k,c = konstanta. 2. Fungsi Logaritma ialah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponesial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk umumnya : y = n log x , n > 0 dan n ≠ 1. 3. Fungsi Trigonometrik dan fungsi Hiperbolik ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan–bilangan genometrik. Contoh persamaan Fungsi Trigonometrik : y = sin 5x Contoh persamaan Fungsi Hiperbolik : y = arc cos 2x Berdasarkan letak ruas variabel-variabel yang terdapat dalam fungsi, fungsi dibedakan menjadi dua, yaitu : 1. Fungsi Eksplisit yaitu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebasnya dapat dibedakan dengan jelas, variabel bebas dan variabel tidak bebasnya terletak di ruas yang berlainan → y = f ( x ) Contoh : y = 2x + 3 , jika x= 3 maka y = 2(3) + 3 = 9 z = 2x + y 2 + 3 , jika x = 2 , y = 3 maka z = 2 (2) + 3 2 + 3 = 16 2. Fungsi Implisit yaitu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas, variabel bebas dan variabel tidak bebasnya terletak di satu ruas yang sama → f (x,y) = 0 Contoh : 2x + 3y - 5 = 0 , jika ditetapkan x = 1 maka y = 1 atau jika y = 3 maka x = -2
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 4 BAB II FUNGSI LINEAR 2.1. PENGERTIAN FUNGSI LINEAR Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Dan apabila digambarkanakan menghasilkan sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx ; dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal – y mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Sedangkan lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x. Notasi fungsi linear : y = f (x) y = ax + b Contoh : y = 3x + 2 Keterangan: x dan y adalah Variabel yaitu : besaran yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubahubah dan saling pengaruh mempengaruhi. Variabel dalam fungsi dibedakan mejadi dua : 1. Variabel bebas ( independent ) yaitu variabel yang besarnya dapat ditentukan sembarang → x 2. Variabel tidak bebas ( dependent ) yaitu variabel yang besarnya baru dapat ditentukan setelah nilai variabel bebasnya ditentukan terlebih dahulu → y a adalah Konstanta yaitu : bilangan yang tetap, tidak berubah-ubah.atau, a = nilai y pada saat fungsi memotong sumbu y dimana x = 0 b adalah Koefisien yaitu : bilangan/angka yang menyertai variabel x, yang merupakan gradient, slope, lereng, kecondongan, kecuraman, koefisien arah atau garis fungsi dengan sumbu horizontal x. b = tg α = ∆y = y2 – y1 ∆x x2 – x1
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 5 y – y1 = b ( x – x1 ) 2.2. PEMBENTUKAN FUNGSI LINEAR Sebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa macam cara tergantung dari data yang tersedia. Pada prinsipnya persamaan dapat dibentuk berdasarkan unsur-unsur seperti penggal garisnya, lereng garisnya atau koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya 1. Cara Dwi Koordinat Syarat : diketahui 2 titik koordinat A (x1, y2) dan B (x2, y2) Rumus : Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati 2 titik koordinat A (2, 1) dan B (4, 5) ! Jawaban : y - 1 = x - 2 5 - 1 4 - 2 y - 1 = x - 2 4 2 2y - 2 = 4x - 8 → 2y = 4x - 6 → y = 2x - 3 Persamaan fungsi linear : y = 2x – 3 atau y = -3 + 2x 2. Cara slope Koordinat Syarat : diketahui 1 titik koordinat A (x1, y1) dan koefisien arah ( b) Rumus : Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati titik koordinat A (4, 5) dan gradient b = 4 Jawaban : y - 5 = 4 ( x - 4 ) y - 5 = 4x - 16 → y = 4x - 11 Persamaan fungsi linear : y = 4x - 11 atau y = -11 + 4x 3. Cara General Linear Equation Syarat : diketahui 2 titik koordinat A (x1, y2) dan B (x2, y2) Rumus : A (x1, y2) : y1 = a + bx1 B (x2, y2) : y2 = a + bx2 - y1 –y2 = b (x1 – x2) → b = ∆y = y2 – y1 = tg α ∆x x2 – x1 y – y1 = x – x1 y2 – y1 x2 - x1
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 6 Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati 2 titik koordinat A (2, 1) dan B (4, 5) Jawaban : A (2, 1) : 1 = a + b . 2 B (4, 5) : 5 = a + b . 4 - - 4 = - 2 b → b = -4/-2 = 2 1 = a + 2 . 2 → a = - 3 Persamaan fungsi linear : y = 2x – 3 atau y = -3 + 2x 4. Cara Penggal Lereng Syarat : diketahui titik koordinat penggal garis (0, y) atau (x, 0) dan slope/koefisien arah ( b) Rumus : Jika koordinat (0, y) → Jika koordinat (x, 0) → Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear jika : (1) Diketahui titik koordinat (0, 2) dan gradient b = 0,5 (2) Diketahui titik koordinat (-4, 0) dan gradient b = 2 Jawaban : Persamaan fungsi linear : (1) y = 2 + 0,5x (2) x = - 4 + 2y 5. Cara Dwi Penggal Syarat : diketahui 2 titik koordinat penggal garis (0, y) dan (x, 0) Rumus : atau c = yo = penggal sumbu vertikal (0,y) d = xo = penggal sumbu horizontal (x, 0) Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati titik penggal (0, 2) dan (-4, 0) Jawaban : penggal vertikal : c = 2 dan penggal horizontal : d = - 4 y = c – c x → y = 2 - 2 x → y = 2 + 1/2 x d - 4 atau , y = ( 1 – x ) yo → y = (1 - x ) 2 → y = 2 + 1/2 x xo - 4 Persamaan fungsi linear : y = 2 + 1/2x atau y = 2 + 0,5 x y = ( 1 – x ) yo xo y = c – c x d x = a + by y = a + bx
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 7 y 0 x y a y = a-bx 0 x y y= bx 0 x y y = -a - bx 0 -a x 2.3. PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR Fungsi Linear dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (Diagram Kartesius) dengan sistem koordinat (x,y), dimana x mewakili sumbu horizontal dan y mewakili sumbu vertikal. Contoh : y = 3 + 2x → Atau dengan mencari koordinat titik-titik potong pada sumbu horizontal-x dan sumbu vertikal-y dari persamaan y = 3 + 2x, • jika x = 0 maka y = 3 + 2.0 = 3 dan X y = 3 + 2x koordinat titik potong pada sumbu y 5 adalah (0,3) • jika y = 0 maka 0 = 3 + 2x, x = -3/2 3 (0,3) dan koordinat titik potong pada sumbu y adalah (-3/2,0) (-3/2,0) 0 1 Y 2.4. GRAFIK DAN ARAH GARIS FUNGSI LINEAR Bila kita akan menggambarkan grafik fungsi linear, ada beberapa kemungkinan arah grafik fungsi dilihat dari nilai koefisien arah b dan konstanta a. a) b positif, a= (+) b) b positif, a = 0 c) b positif, a=( - ) y= bx d) b negatif, a= (+) e) b negatif, a = 0 f) b negatif, a= (-) y a y=a+bx 0 x y y = -a + bx 0 -a x x 0 1 2 3 4 y 3 5 7 9 11
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 8 2.5. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Ada empat macam kemungkinan bentuk hubungan garis lurus, yaitu : 1. Berimpit Jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. Contoh : y1 = a1 + b1 x maka akan berimpit dengan garis y2 = a2 + b2 x. 2. Sejajar Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis satu sama lain memiliki nilai yang sama. y1 = a1 + b1 x akan sejajar dengan y2 = a2 + b2 x dengan nilai b1 = b2. 3. Berpotongan Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis lainnya. y1 = a1 + b1 x akan berpotongan dengan y2 = a2 + b2 x jika b1 G b2 4. Tegak lurus Dua buah garis akan tegak lurus jika lereng yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain. b1 = -1/b2. Berimpit Sejajar y y x x Berpotongan Tegak lurus y y x x
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 9 2.4. PENERAPAN PADA EKONOMI 2.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar Fungsi Permintaan (Demand) yaitu : fungsi yang menjelaskan jumlah barang yang diminta (Q) pada waktu tertentu, pada berbagai tingkat harga (P) dengan asumsi variable lain cateris paribus. P Qd = f ( Px, Py, C, I, Tx, X, M…) a P = a - bQ Asumsi : variabel lain cateris paribus sehingga Hukum Permintaan : Jika P ↑ → Q ↓ atau P ↓ → Q ↑ 0 Q Terlihat bahwa variabel P (price,harga) dan variabel Q (quantity, jumlah) memiliki tanda yang berlawanan yang mencerminkan hukum permintaan, jika harga barang naik maka permintaan akan menurun. Fungsi Penawaran (Supply) yaitu : fungsi yang menjelaskan jumlah barang yang ditawarkan (Q) pada waktu tertentu, pada berbagai tingkat harga (P). P Qs = f ( Px, Py, C, I, Tx, X, M…) a P= a + bQ Asumsi : variabel lain cateris paribus sehingga Hukum Penawaran : Jika P ↑ → Q ↑ atau P ↓ → Q ↓ 0 Q Dalam persamaan di atas terlihat variable P dan Q memiliki tanda yang sama dan mencerminkan hukum penawaran dimana saat harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan juga naik. Keseimbangan Pasar ( market equilibrium) suatu barang yaitu : suatu kondisi terciptanya jumlah keseimbangan (equilibrium quantity) dimana jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan ( Qd = Qs) dan terciptanya harga keseimbangan (equilibrium price) dimana harga yang diminta sama dengan harga yang ditawarka (Pd = Ps). Secara grafik ditunjukan dengan perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. P = a + bQ P = a - bQ
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 10 Pd = Ps Syarat Keseimbangan Pasar atau P Qd = jumlah permintaan Qs = jumlah penawaran Pe E = keseimbangan pasar Pe = harga keseimbangan Qe = jumlah keseimbangan Contoh : Qe Q Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbanga pasarnya. Jawab : P = 15 – Q Q = 15 – P P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P Qd = Qs 15 – P = -6 +2P 15 + 6 = 2P + P 21 = 3P P = 7 Q = 15 – P = 15 – 7 = 8 Jadi harga keseimbangan Pe =7 dan jumlah Keseimbangan Qe = 8 P 15 7 3 0 8 15 Q Latihan : 1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P = -2Q + 8. Tentukan : a. Harga tertingginya b. Jumlah Permintaan maksimum c. Jumlah pada tingkat harga P = 6 d. Harga pada tingkat permintaan Q = 3 e. Gambarkan kurvanya ! f. Kapan barang tersebut menjadi barang bebas (free goods) ? g. Kapan barang tersebut tidak seorangpun mampu membeli ? 2. Sebuah buku catatan harian apabila dijual dengan harga Rp 3.000,- akan laku sebanyak 600 buku, pada setiap kenaikan harga sebesar Rp 800,- jumlah yang akan dijual bertambah sebanyak 400 buku. Bagaimana bentuk persamaan fungsi penawaran buku tersebut dan gambarkan grafiknya! S Equilibrium D Qs E Qd Qd = Qs
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 11 3. Dengan harga Rp 250 ribu/kwintal atau kurang tidak ada yang bersedia menawarkan beras di pasar. Setiap kenaikan harga sebesar Rp 10 ribu/kwintal jumlah penawaran beras bertambah 20 kwintal. Tentukan persamaan fungsi penawaran dan gambarkan grafiknya ! 4. Carilah titik keseimbangan pasar dari persamaan Q = -2P + 12 dan Q = 2P – 3, dan tentukan mana dari kedua persamaan tersebut yang merupakan fungsi permintaan dan fungsi penawaran ! 2.4.2. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar Pengenaan pajak spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva fungsi penawaran (supply) bergeser ke atas dengan penggal yang lebih tinggi pada sumbu harga, sementara fungsi permintaan tetap. Bentuk umumnya : Sebelum pajak : P = a + bQ Sesudah pajak : P’ = a + bQ + t Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Dikenakan pajak sebesar 3 per unit. Berapakah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak? Jawab : Sebelum pajak : P = 15 – Q Q = 15 – P P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P P Keseimbangan pasar : Qd = Qs 15 – P = -6 +2P 15 15 + 6 = 2P + P E' 21 = 3P Q’s Qs P = 7 9 Q = 15 – P E ( 8 , 7 ) 7 E = 15 – 7 = 8 Sesudah pajak : 3 Ps’ = 3 + 0,5Q + 3 Q’ = -12 +2P Qd Qd = Qs’ 15 – P = -12 +2P 27 = 3P 0 P’ = 9 Q’ = 15 – P’ E’ ( 6 , 9 ) = 15 – 9 = 6 6 8 15 Q
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 12 Pajak yang ditanggung konsumen per unit : tk = Pe’ – Pe → tk = 9 – 7 = 2 Pajak total yang ditanggung konsumen : TK = tk x Qe’ → TK = 2 x 6 = 12 Pajak yang ditanggung produsen per unit : tp = t – tk → tp = 3 – 2 = 1 Pajak total yang ditanggung produsen : TP = tp x Qe’ → TP = 1 x 6 = 6 Pajak total yang diterima pemerintah : T = TK + TP = Qe’ x t → T = 6 x 3 = 18 2.4.3. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Subsidi yang diberikan atas produksi sesuatu barang akan menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsisdi spesifik sebesar s per unit, kurva penawaran akan bergeser sejajar ke bawah dengan penggal lebih kecil, sementara fungsi permintaan tetap. Bentuk umumnya : Sebelum subsidi : P = a + bQ Sesudah subsidi : P’ = a + bQ – s Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Dikenakan subsidi sebesar 1,5 per unit. Berapa keseimbangan pasarnya? Jawab : Sebelum Subsidi P = 15 – Q Q = 15 – P P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P Keseimbangan : Qd = Qs 15 – P = -6 +2P 15 + 6 = 2P + P 21 = 3P P = 7 Q = 15 – P E ( 8 , 7 ) = 15 – 7 = 8 Penawaran sesudah subsidi P’ = 3 + 0,5Q – 1,5 P’ = 1,5 + 0,5Q Q’ = -3 + 2P Maka keseimbangan Qd = Qs’ 15 – P = -3 + 2P 3P = 18 P’ = 6 Q’ = 15 – P’ E’ ( 9 , 6 ) = 15 – 6 = 9 P 15 7 3 1,5 0 8 9 15 Q Qs E Qs’ E’ Qd
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 13 Subsidi yang diterima konsumen per unit : sk = Pe – Pe’ → sk = 7 – 6 = 1 Subsidi total yang diterima konsumen : SK = sk x Qe’ → SK = 1 x 9 = 9 Subsidi yang diterima produsen per unit : sp = s – sk → sp = 1,5 – 1 = 0,5 Subsidi total yang diterima produsen : SP = sp x Qe’ → SP = 0,5 x 9 = 4,5 Subsidi total yang dibayar pemerintah : S = SK + SP = Q’e x s → S = 9 x 1,5 = 13,5 Latihan : 1. Permintaan dan penawaran suatu barang ditunjukkan dengan fungsi sebagai berikut Qd = 12 – 0,5 P dan Qs = -8 + 2P. a. Hitunglah tingkat harga dan kuantitas keseimbangan barang di pasar. b. Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar $ 1 per unit barang, hitunglah keseimbangan pasar setelah ada pajak. c. Gambarkanlah grafik keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak. d. Berapa total pajaka yang dibayar konsumen dan produsen, serta berapa total pajak yang diterima pemerintah. 2. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran BBM di Indonesia masingmasing adalah Q = 4 – P 2 dan P = 0,25 + 0,25Q. a. Hitung kuantitas dan harga pada posisi market equilibrium. b. Bila ada subsidi BBM sebesar 0,25 per barel, hitung kuantitas dan harga pada posisi equilibrium yang baru. c. Gambarkan grafik market equilibrium sebelum dan sesudah ada subsidi d. Berapa total subsisdi yang diterima konsumen dan produsen, serta berapa total subsidi yang dibayarkan pemerintah 3. Harga dan jumlah barang yang tercipta di pasar dari suatu paroduk masingmasing adalah Rp 125.000 dan 500 unit barang, namun karena dikenakan pajak per unit barang keseimbangan berubahmenjadi Rp 150.000 dan 400 unit barang. Dari produsen diketahui bahwa produsen hanya akan menjual barang bila harga di atas Rp 100.000. a. Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran, gambarkan grafiknya! b. Berapa besar pajak per unit yang dikenakan pada produk? 4. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah : P + 2Q – 3600 = 0 dan P - 5Q – 1500 = 0. Jika jumlah permintaan (penawaran) barang pada keseimbangan pasar setelah subsidi meningkat sebesar 50 unit. Tentukan : a. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi, gambarkan grafiknya! b. Besar subsidi per unit. c. Total subsidi dinikmati konsumen, total subsidi dinikmati produsen dan total pengeluaran pemerintah untuk subsidi.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 14 2.6.4. Fungsi Biaya Biaya adalah pengeluaran yang tidak dapat dihindari dalam memproduksi atau memasarkan suatu barang atau jasa. Biaya total (TC) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan terdiri dari biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Bentuk persamaan fungsinya : Biaya total (Total Cost = TC) terdiri atas : 1. Biaya tetap (Total Fixed Cost = TFC atau FC ) yaitu : biaya yang tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, berapa unitpun barang yang dihasilkan, jumlah biaya tetap dalam jangka pendek tidak berubah. 2. Biaya Variabel ( Total Variabel Cost = TVC atau VC) yaitu : biaya yang tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar biaya variabelnya. Perhitungan Biaya : Biaya rata-rata adalah : biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk. Biaya marjinal adalah : biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Biaya tetap ( Total Fixed Cost ) : TFC = k (k = konstanta ) Biaya variabel ( Total Variabel Cost ) : TVC = f (Q) = AVC . Q Biaya total ( Total Cost ) : TC = TFC + TVC = k + f(Q) = g(Q) Biaya tetap rata-rata ( Average Fixed Cost ) : AFC = TFC Q Biaya variabel rata-rata ( Average Variabel Cost : AVC = TVC Q Biaya rata – rata ( Average Cost ) : AC = TC = TFC + TVC = AFC + AVC Q Q Biaya Marjina ( Marginal Cost ) : MC = ∆ TC o Q TC = FC + VC
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 15 Bentuk Fungsi Biaya Linear : TFC = k (k = konstanta ) TC = k + AVC.Q TVC = f (Q) = AVC . Q TVC = AVC.Q TC = TFC + TVC = k + f(Q) = g(Q) AC = TC = TFC + TVC = AFC + AVC k TFC = k Q Q MC = ∆ TC 0 Q o Q Contoh : Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar 20.000 dan biaya variabelnya 100Q. Buat persamaan dan kurva biaya totalnya ! Jawab : Diketahui : FC = 20.000 VC = 100Q , maka Fungsi biaya : TC = FC + VC TC = 20.000 + 100Q Jika Q = 500, TC = 20.000 + 100 (500) = 70.000 C TC = 20.000 + 100Q 70.000 VC = 100Q 50.000 20.000 0 Q 500
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 16 TR = f(Q) Penerimaan Total ( Total Revenue ) : Penerimaan Rata-rata ( Average Revenue ) : TR = P.Q = f ( Q ) AR = TR = P.Q = P Penerimaan Maarjinal ( Marginal Revenue ) : Q MR = ∆ TR ∆ Q Q 2.6.5. Fungsi Penerimaan Penerimaan merupakan hasil penjualan barang. Penerimaan total ( Total Revenue = TR atau R) adalah : hasil kali barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. Perhitungan Penerimaan : Grafik Fungsi Penerimaan Linear : R 0 Q ( Pasar Persaingan Sempurna ) Contoh : Harga jual suatu produk adalah 200 per unit. Berapa besar penerimaan bila terjual 350 unit? Jawab : Fungsi penerimaan : R = Q x P , maka R = Q x 200 = 200Q Bila Q = 350, maka R = 200(350) = 70.000 R 70.000 40.000 0 200 350 Q R = 200Q
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 17 Untung / Laba positif ( л > 0 ) → TR > TC Titik Impas / BEP ( л = 0 ) → TR = TC Rugi / Laba negatif ( л < 0 ) → TR < TC Л = TR - TC 2.6.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok (Analisis Break Even Point-BEP/ Titik Impas / Balik Modal ) Dengan diketahuinya penerimaan total (R) dan total biaya (C) maka dapat juga diketahui apakah perusahaan mengalami keuntungan atau kerugian. Keuntungan apabila 0 dan kerugian apabila < 0. Sedangkan nilai didapat dari selisih Revenue dengan Cost. Sedangkan kondisi pulang pokok adalah apabila nilai R = C. Contoh : Bila biaya total C = 20.000 + 100Q dan penerimaan R = 200Q pada tingkat produksi berapa perusahaan mengalami pulang pokok? Dan apa yang terjadi bila produksi sebesar 300 unit? Jawab : Kondiisi pulang pokok : R = C 200Q = 20.000 + 100Q 100Q = 20.000 Q = 200 Jika Q = 300, maka R = 200(300) = 60.000 , dan C = 20.000 + 100(300) = 50.000 Maka, = R – C → = 60.000 – 50.000 = 10.000 (untung) C, R, R 60.000 C 50.000 40.000 VC 20.000 FC 0 100 200 300 Q
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 18 M = x . Px + y . Py 2.6.7. Fungsi Anggaran Dua teori yang melatarblakangi pembahasan tentang fungsi anggaran : 1. Teori Produksi ; Fungsi Anggaran, mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang produsen membeli dua macam masukan (input) atau lebih, berkenaan dengan jumlah dana yang tersedia dan harga masing-masing masukan (input). 2. Teori Konsumsi ; Fungsi Anggaran, mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang konsumen membeli dua macam keluaran (output) atau lebih berkenaan dengan jumlah pendapatannya dan harga masing-masing keluaran (output) Persamaan Fungsi Anggaran → GarisAnggaran ( Budget Line ) → pada teori produksi : → pada teori konsumen : M : jumlah dana produsen M : jumlah pendapatan konsumen x : jumlah masukan x x : jumlah keluaran x y : jumlah masukan y y : jumlah keluaran y Px : harga x per unit Px : harga x per unit Py : harga y per unit Py : harga y per unit Contoh : Buatlah persamaan anggaran konsumen untuk barang x dan y dimana harga x = 500 dan y = 1000. Jika pendapatan sebesar 100.000 yang dianggarkan dibelanjakan untuk barang x, berapa unit x yang diperoleh? Dan berapa unit y yang didapat jika ia membeli 100 unit x? Jawab : M = x.Px + y.Py 100.000 = x.500 + y.1000 100.000 = 500x + 1000y y Jika semua pendapatan untuk x (y = 0) maka : M = x.Px + y.Py 100.000 = 500x + 0 500x = 100.000 100 x = 200 unit Jika x = 100 unit, maka 50 M = x.Px + y.Py 100.000 = 100(500) + 1000y 1000y = 100.000 – 50.000 0 100 200 x y = 50 unit.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 19 C = f ( Y ) = Co + c Y = Co + MPC. Y 2.6.8. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara baik secara individu ( perorangan) maupun secara keseluruhan ( pendapatan nasional ) dialokasikan ke dua kategori penggunaan yaitu untuk konsumsi dan tabungan. Jika Y = pendapatan, C = konsumsi dan S = tabungan, maka dapat dirumuskan dalam persamaan linear : Konsumsi dan tabungan berbanding lurus dengan pendapatan. Semakin besar pendapatan semakin besar pula konsumsi dan tabungan. Fungsi Konsumsi. Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional. Bisa juga dianalogkan untuk hubungan antara konsumsi dan pendapatan perorangan, yang dirumuskan sebagai berikut : Co = Autonomous Consumption ( konsumsi otonom / konsumsi absolute), menunjukan besarnya konsumsi nasional pada pendapatan nasionalnya nol atau biaya yang mau tidak mau harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan biologis manusia (contoh : makan) c = MPC = Marginal Propensity to Consume : besarnya tambahan konsumsi akibat adanya tambahan pendapatan. MPC = ∆ C = C2 – C1 ∆ Yd Yd2 – Yd1 Yd = Disposible Income : pendapatan yang benar-benar dapat dibelanjakan Yd = Y- Tx + Tr , dimana Tx = Pajak (Tax) dan Tr = Transfer Payment (contoh : subsidi) Jika diasumsikan Tx = 0 dan Tr = 0 , maka Yd = Y , sehingga : Fungsi Tabungan. Fungsi Tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapatan nasional, juga dianalogkan untuk hubungan antara tabungan dan pendapatan perorangan. Karena Yd = Y , besarnya tabungan dapat dicari dengan persamaan : S = Y – C , dimana C = Co + c Y , maka S = Y – ( Co + c.Y ) = Y – Co – c.Y = - Co + ( 1 – c ) Y C = f ( Yd ) = Co + c Yd = Co + MPC. Yd Y = C + S
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 20 , S 230 C= 30 +0,8Y 50 30 20 0 0 S= -30 + 0,2Y 150 Y Jadi , S = - Co + ( 1 – c ) Y = So + s.Y = So + MPS. Y Dimana So = - Co , s = 1 - c → c + s = 1 , atau MPS = 1 - MPC → PMC + MPS = 1 So = MPS = Autonomous Saving ( tabungan otonom ), merupakan titik potong grafik tabungan pada sumbu vertikal S, atau besarnya tabungan pada saat pendapatan nol. s = MPS = Marginal Propensity to Saving : besarnya tambahan tabungan akibat adanya tambahan pendapatan. MPS = ∆ S = S2 – S1 ∆ Y Y2 – Y1 Grafik Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan C, S Y = C + S C=Co + c.Y Contoh : C = 8 + 0,2 Y S = -8 + 0,8 Y Co S=So + s.Y Gambarkan grafiknya ! 450 0 Y So= -Co Contoh : Konsumsi masyarakat ditunjukan oleh persamaan C = 30 + 0,8Y. Bagaimana fungsi tabungannya? Berapa besar konsumsi jika tabungan 20? Jawab : S = Y – C C S = Y – (30 + 0,8Y) S = -30 + 0,2Y Jika S = 20 1 20 = -30 + 0,2Y 20 + 30 = 0,2Y Y = 250, maka C = Y – S = 250 – 20 = 230 -3
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 21 Angka Pengganda / Multipliers ( k ) Angka Pengganda / Multipliers ( k ) ialah suatu bilangan yang menjelaskan tambahan pendapatan nasional akibat adanya perubahan pada variabel-variabel tertentu dalam perekonomian (misal : C, I, G, X dan M). c = MPC s = MPS Latihan : 1. Konsumsi otonomi Andi Rp 250.000. Saat pendapatan Andi Rp 3.750.000, ia habiskan untuk konsumsi sebesar Rp 2.500.000. Tentukan : a. Persamaan fungsi konsumsi dan tabungan Andi b. Berapa pendapatan Andi jika konsumsinya Rp 6.668.500. 2. Fungsi konsumsi dan tabungan suatu daerah digambarkan dalam bentuk grafik berikut : C, S Y = C + S a. Tentukan persamaan fungsi C=100 + 0,2Y konsumsi dan tabungannya! b. Berapa konsumsi dan tabungan 125 jika pendapatan daerahnya 150 ? 100 S = -100 + 0,8Y c. Pada tingkat pendapatan berapakah 450 dimana semua pendapatannya 0 Y habis untuk konsumsi ? -100 d. Berapakah angka multipliernya? 3. Seorang karyawati suatu perusahaan dapat menyisihkan gajinya untuk ditabung Rp 2.000.000 per bulan. Bila untuk konsumsi yang harus dia keluarkan minimal Rp 1.000.000 per bulan serta kecendrungannya untuk meningkatkan konsumsinya 25 % dari penghasilan. Berapakah besar penghasilan karyawati tersebut, berapa angka penggandanya serta gambarkan grafik dari fenomena tersebut. k = 1 = 1 1 – c s
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 22 y Jika a < 0 sumbu simetri Titik Ekstrim Parabola 0 x y Jika a > 0 sumbu simetri Parabola Titik Ekstrim 0 x BAB III FUNGSI KUADRAT ( PARABOLA ) 3.1. Pengertian Fungsi Kuadrat (Parabola) Fungsi Kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi non linear yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah dua yang bila digambarkan kurva/grafiknya berbentuk parabola sehingga disebut fungsi parabola. Bentuk umum persamaa kuadrat adalah y = a + bx + cx2 dimana c 0. 3.2. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan titik ekstrim. Sumbu Simetri adalah garis lurus yang membagi grafik parabola sama besar sehingga bagian yang satu cerminan bagian yang lain. Sumbu simetri parabola dapat berupa garis yang sejajar sumbu vertical (y) atau sejajar dengan sumbu horizontal (x). Titik Ekstrim (titik puncak) parabola adalah titik potong antara sumbu simetri dan grafik parabola yang bersangkutan. Titik ekstrim dibedakan dua yaitu titik ekstrim maksimum dan minimum, tergantung dari bentuk persamaan fungsi kuadratnya. 3.3. Formula Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat ( Parabola ) 1. Bentuk y = f(x) atau sumbu simetri vertikal sejajar sumbu y Bentuk kurva parabola : y = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 23 −+√ 2−4 2 −−√ 2−4 2 1 Tahapan menggambar fungsi kuadrat : 1. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka y = c, jadi titiknya M (0, c) 2. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka 0 = ax2 + bx + c. Ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu : a. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac > 0, maka terdapat dua titik potong : x = − +√ 2−4 2 −−√2−4 → titik N1 , 0 x2 = 2 → titik N2 , 0 b. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac = 0, maka terdapat satu titik potong x1 = x2 = - b , jadi titiknya O - b , 0 2a 2a c. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac < 0, maka tidak terdapat titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x. 3. Mencari titik ekstrim ( titik puncak ) → P - b , 2a → ( x , y ) 4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi / membelah dua grafik fungsi kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Persamaan sumbu simetris → x = - b 2a Contoh 1 : y= - x 2 + 6x - 9 Tahapan menggambar fungsi kuadrat : P(3 0) 1. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, 0 3 maka y = -9, jadi titiknya M (0 , -9) 2. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka 0 = -x 2 + 6x - 9. Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac = 0 → 6 2 – 4(-1)(-9) = 0, maka terdapat satu titik potong yaitu x1 = x2 = - 6 = 3 , 2(-1) jadi titiknya O (3 , 0 ) 3. Titik ekstrim (titik puncak ) : - 9-M(0,-9) (6,-9) P - 6 , 2(-1) → P ( 3 , 0 ) 4. Sumbu simetris x = - 6 = 3 y 2(-1) - ( b2 – 4ac ) 4a - (62 – 4(-1)(-9) 4(-1)
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 24 - (52 – 4(1)(6) 4(1) 1 2 Contoh 2 : y= x 2 -5x + 6 Tahapan menggambar fungsi kuadrat : 1. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka y = 6, jadi titiknya M (0 , 6) 2. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka 0 = x2 - 5x + 6. Oleh karena Diskriminan y D = b2 – 4ac = 0 → 5 2 – 4(1)(6) = 1 > 0, maka terdapat dua titik potong yaitu : x = −(−5) +√(−5)2−4(1)(6) = 5 + 1 = 3 → (3 , 0) 2(1) x = −(−5)−√(−5)2−4(1)(6) 2(1) 2 = 5 – 1 = 2 → (2 , 0) 2 3. Titik ekstrim (titik puncak ) : P -(-5) , 2(1) → P ( 2 1/2 , -1/4 ) 4. Sumbu simetris x = -(-5) = 2 1/2 2(1) 2. Bentuk x = f(y) atau sumbu simetri vertikal sejajar sumbu x Bentuk kurva parabola : x = Ay2 + By + C Jika a < 0 Jika a < 0 Titik Ekstrim Sumbu simetri Parabola 0 x Tahapan menggambar fungsi kuadrat : 1. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = c, jadi titiknya M (C , 0) 2. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = Ay2 + By + C. y Titik Ekstrim Sumbu simetri Parabola 0 x y = 2,5 6 0 2 2;5 3 x P (2,5 , -,25) x = Ay2 + By + C
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 25 −+√2−4AC 2 −−√2−4AC 2A 1 1 2 Ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu : a. Bila Diskriminan D = B 2 – 4AC > 0 , maka terdapat dua titik potong : y = −B +√2−4AC 2 − −√2−4AC → titik N1 , 0 y2 = 2 → titik N2 b. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC = 0, maka terdapat satu titik potong y1 = y2 = - B , jadi titiknya O 0 , - B 2A 2A c. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC < 0, maka tidak terdapat titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x. 3. Mencari titik ekstrim (titik puncak ) → P , - B → ( x , y ) 2A 4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi / membelah dua grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar. Persamaan sumbu simetris → y = - B 2A Contoh 1 : x = y 2 – 3y + 2 Tahapan menggambar fungsi kuadrat : 1. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = 2, jadi titiknya M(2, 0) 2. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = y2 - 3y + 2. Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac > 0 → (-3)2 – 4(1)(2) = 1 > 0 , maka terdapat 2 buah titik potong : y = −(−3) +√(−3)2−4(1)(2) 2(1) y = −(−3)−√(−3)2−4(1)(2) 2(1) = 3 + 1 = 2 → jadi titiknya N1 2 = 3 – 1 = 1 → jadi titiknya N2 2 y (0 , 2 ) (0 , 1 ) 3. Titik ekstrim (titik puncak ) : P - ((-3)2 – 4(1)(2) = -1 , -(-3) = 3 2 4(1) 4 2(-1) 2 P(-1/4,11/2) P (-1/4 , 1 1/2) 1 (2,3) y = 11/2 4. Sumbu simetris y = -(-3) = 3 = 1 ½ -1/4 0 M (2,0) x 2(1) 2 - ( B 2 – 4AC ) 4A , 0
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 26 - ((2)2 – 4(-1)(3)) 4(-1) 1 Contoh 2 : x= - y 2 + 2y + 3 Tahapan menggambar fungsi kuadrat : 1. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = 3, jadi titiknya M(3 , 0) 2. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = Ay2 + By + C. Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac > 0 → (2)2 – 4(-1)(3) = 16 > 0 , maka terdapat 2 buah titik potong : y = −(2) +√(2)2−4(−1)(3) 2(−1) −(2)−√(2)2−4(−1)(3) = -2 + 4 = -1 → jadi titiknya N1 -2 (0 , -1 ) y2 = 2(−1) = -2 – 4 = 3 → jadi titiknya N2 (0 , 3 ) - 2 3. Titik ekstrim (titik puncak ) : y P = -4 = 1 , -(2) = 2 = 1 → P (1,1) 3 -4 2(-1) 2 4. Sumbu simetris y = -(2) = 2 = 1 1 P(1,1) 2(-1) 2 0 x -1 3.4. Penerapan Pada Ekonomi 3.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar Selain fungsi linear, permintaan dan penawaran juga dapat berupa fungsi nonlinear, kurva yang terbentuk dapat berupa potongan lingkaran, hiperbola, elips maupun parabola. Cara mencari keseimbangan pasar sama seperti fungsi linear yaitu dengan mencari titik potong dari 2 persamaan pada kondisi Qd = Qs atau Pd = Ps.. Contoh : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19 – P 2 sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2P2 . Berapa harga dan jumlah pada keseimbangan pasarnya ? Jawab : Keseimbangan pasar ; Qd = Qs 19 – P 2 = -8 + 2P2 27 = 3P2 P 2 = 9 → Pe = ± 3 Q = 19 – P 2 Qe = 19 - (3)2 = 10 atau Qe = 19 - (-3)2 = 10 Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada harga 3 dan jumlah 10 unit.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 27 3.4.2. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar Jika pada suatu barang dikenakan pajak spesifik sebesar t per uni, maka persamaan fungsi penawaran setelah pajak akan berubah, sementara fungsi permintaan tetap, dan keseimbangan pasar juga akan berubah. Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak I. P = f (Q) = a Q2+ b Q + c P’ = f (Q) = a Q2+ b Q + c + t II. Q = f (P) = a P 2 + b P + c Q’ = f (P – t) = a (P- t)2 + b (P - t) + c Contoh : Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah Qd = 19 – P 2 dan Qs = -8 + 2P2 . Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 1,- per unit. Berapa harga dan jumlah barang yang terjadi di pasar setelah penetapan pajak tersebut ? Jawab : Fungsi Penawaran sebelum pajak : Qs = -8 + 2P2 Fungsi Penawaran setelah pajak (t = 1) : Qs’ = -8 + 2(P – 1)2 = -8 + 2(P2 – 2P + 1) = 2P2 – 4P - 6 Keseimbangan pasar setelah pajak ; Qd = Qs’ 19 – P 2 = 2P2 – 4P – 6 3 P2 – 4P – 25 = 0 Dengan rumus abc : P1,2 = −(−4) +√(−4)2−4(3)(−25) 2(3) = 4 ± 17,78 6 P1 = 4 + 17,78 = 3,63 6 P2 = 4 - 17,78 = -2,30 6 P2 tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional. Dengan mensubtitusi P1 = 3,63 ke persamaan Qs’ atau Qd = 19 – (3,63)2 = 5,82 , maka dengan adanya pajak : Pe’ = 3,63 dan Qe’ = 5,82. Selanjutnya, dengan keseimbangan pasar sebelum pajak : pe = 3 dan Qe = 10, maka : Pajak yang ditanggung konsumen per unit : tk = Pe’ – Pe = 3,63 – 3 = 0,63 Total Pajak yang ditanggung konsumen : TK = tk x Qe’ = 0,63 (5,82) = 3,67 Pajak yang ditanggung produsen per unit : tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37 Total Pajak yang ditanggung produsen : TP = tp x Qe’ = 0,37 (5,82) = 2,15 Total Pajak yang dibayar pemerintah : T = t x Qe’ = 1 (5,82) = 5,82
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 28 3.4.3. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Jika pada suatu barang diberikankan subsidi spesifik sebesar s per unit, maka persamaan fungsi penawaran setelah subsidi akan berubah (lihat tabel), kurva penawaran akan bergeser ke bawah sejauh s, sementara fungsi permintaan tetap, dan keseimbangan pasar juga akan berubah. Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak I. P = f (Q) = a Q2+ b Q + c P’ = f (Q) = a Q2+ b Q + c - s II. Q = f (P) = a P 2 + b P + c Q’ = f (P+s) = a (P+s)2 + b (P+s) + c Contoh : Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah Qd = 36 – P 2 dan Qs = P2 + 4. Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2,- per unit. a. Berapa harga dan jumlah barang yang terjadi di pasar sebelum dan setelah penetapan subsidi tersebut ? b. Berapa subsidi per unit yang diterima consumen dan berapa totalnya ? c. Berapa subsidi per unit yang diterima produsen dan berapa totalnya ? d. Berapa besar subsidi yang dibayar pemerintah ? Jawab : a. Keseimbangan pasar sebelum subsidi ; Qd = Qs 36 – P 2 = P 2 + 4 32 = 2 P2 → 16 = P 2 → P = ± √16 P = ± 4 P1 = +4 dan P2 = -4 P2 tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional. Dengan mensubtitusi P1 = 4 ke persamaan Qs atau Qd = 36 – (4)2 = 20 , maka dengan adanya pajak : Pe = 4 dan Qe = 20. b. Fungsi Penawaran sebelum subsidi : Qs = P 2 + 4 Fungsi Penawaran sesudah subsidi (s=2) : Qs’(P+s) = (P+2)2 + 4 = P 2 + 4P + 4 + 4 = P 2 + 4P + 8 Keseimbangan pasar setelah subsidi ; Qd = Qs’ 36 – P 2 = P 2 + 4P + 8 0 = 2 P2 + 4P – 28 : 2 0 = P 2 + 2P – 14
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 29 Dengan rumus abc : P1,2 = −(2) +√(2)2−4(1)(−14) 2(1) = - 2 ± 17,78 2 P1 = -2 + 17,78 = 3,63 2 P2 = -2 - 17,78 = -2,30 (tidak dipakai) 2 Dengan mensubtitusi P1 = 3,63 ke persamaan Qs’ atau Qd = 19 – (3,63)2 = 5,82 , maka dengan adanya subsidi : Pe’ = 3,63 dan Qe’ = 5,82. Selanjutnya, dengan keseimbangan pasar sebelum subsidi: Pe = 4 dan Qe = 20, maka : Subsidi yang diterima konsumen per unit : sk = Pe – Pe’ = 4 – 3,63 = 0,37 Total subsidi yang diterima konsumen : SK = sk x Qe’ = 0,37 (5,82) = 2,15 Subsidi yang ditanggung produsen per unit : sp = s – sk = 2 – 0,37 = 1,63 Total Subsidi yang ditanggung produsen : SP = sp x Qe’ = 1,63 (5,82) = 9,49 Total Subsidi yang dibayar pemerintah : S = s x Qe’ = 2 (5,82) = 11,64 3.4.4. Fungsi Biaya Fungsi biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasional bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Sesuai dengan namanya, sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: a) Fungsi Biaya Kuadrat ( Parabolik ) TC = a Q2 – b Q + c AC = TC = a Q2 – b Q + c Q Q AVC = TVC = a Q2 – b Q Q Q AFC = TFC = c Q Q C TC TVC k TFC 0 Q TC min pada saat Q = -b 2a
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 30 AC AVC Q b) Fungsi Biaya Kubik C TC TC = a Q3 – bQ2 + cQ + d TVC AC = TC = aQ3 – bQ2 + cQ + d Q Q AVC = TVC = aQ3 – bQ2 + cQ = aQ2 – bQ + c Q Q k TFC AFC = TFC = d Q Q 0 Q Selain fungsi biaya tetap, biaya variabel dan biaya total dikenal juga biaya marjinal dan biaya rata-rata. Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeularkan untuk menghasilkan tiap unit produk atas keluaran. Sedangkan biaya marjinal adalah biaya tambahan untuk menghasilkan tambahan satu unit produk. Rumusnya : Biaya total : C = FC + VC Biaya tetap rata-rata : AFC = FC/Q Biaya variabel rata-rata : AVC = VC/Q Biaya rata-rata : AC = C = FC + VC = FC + VC = AFC + AVC Q Q Q Q Biaya marjinal : MC = ∆C = C1 – C2 ∆Q Q C AFC -b
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 31 R = Q x P = f(Q) AR = R = Q x P = P Q Q MR = ΔR ΔQ Contoh : Biaya yang dikeluarkan sebuah perusahaan C = 2Q2 – 24Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitung juga FC, VC, AFC dan AVC. Dan jika ditambah 1 unit produksi berapa besarnya biaya marjinal? Jawab : C minimun terjadi pada titik ekstrim parabola, yaitu : Q = −b = 24 = 6 unit 2a 4 Besarnya C minimum = 2Q2 – 24Q + 102 = 2(6)2 – 24(6) + 102 = 30 FC = 102 VC = 2Q2 – 24Q = 2(6)2 – 24(6) = -72 AC = C/Q = 30/6 = 5 AFC = FC/Q = 102/6 = 17 AVC = VC/Q = -72/6 = -12 Jika ditambah 1 unit Q = 7 C = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 32 MC = ∆/∆ = 32 – 30/ 7 – 6 = 2 3.4.5. Fungsi Penerimaan Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan. Penerimaan total (total revenue) adalah hasilkali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. Secara matematika, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang. Penerimaan total adalah fungsi dari jumlah barang dikalikan harga per unit. Penerimaan rata-rata adalah penerimaan yang diperoleh per unit barang. Secara grafik kurva AR sama dengan kurva P. Penerimaan marjinal adalah penerimaan tambahan yang diperoleh dari tambahan satu unit barang yg dihasilkan/dijual.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 32 Grafik Fungsi Penerimaan Kuadrat R TR max TR = f(Q) 0 Q ( Pasar Monopoli) produksi Contoh 1: Fungsi permintaan ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Bagaimana fungsi penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual 200 unit barang dan hitung harga per unit? Hitung juga penerimaan marjinal jika pernjualan bertambah 50 unit dan tentukan tingkat penjualan yang menghasikan penerimaan total maksimum dan berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut? Jawab : Fungsi penerimaan : R = Q x P R = Q x (900 – 1,5Q) R = 900Q – 1,5Q2 Jika Q = 200 → R = 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000 P = 900 – 1,5(200) = 600 Jika Q = 250 → R = 900(250) – 1,5(250)2 = 131.250 MR = ∆R = 131.250−120.000 = 225 ∆Q 250−200 R = 900Q – 1,5Q2 R maksimum pada Q = -b = - 900 = 300 2a 2(-1,5) Besarnya R maksimum = 900(300) – 1,5(300)2 = 135.000 R(ribuan) 135 120 0 2 3 Q (ratusan) TR max pada Q = -b 2a
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 33 Л max pada Q = -b 2a Contoh 2: Seorang produsen monopolis mempunyai fungsi permintaan diketahui P=600 – 1,5Q, berapa penerimaan totalnya jika barang 150 unit dan berapa harga jual per-unit? Hitung penerimaan marjinal dari penjualan 150 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total max dan besarnya penerimaan total max tersebut? Jawab: P = 600 – 1,5Q → R = Q x P = 600Q – 1,5Q Jika Q = 150, → R = 600(150) – 1,5(150)² = 56.500 Harga : P = 600–1,5(150) = 375 Jika Q = 250, → R = 600(250) – 1,5(250)² = 90.000 MR = ΔR = 90.000−56.500 = 75 ΔQ 250−150 R = –1,5Q2 + 600Q R max pada Q = −b 2 = −600 2(−1.5) = 200 Besar R max = –1,5(200)² + 600(200) = 119.700 3.4.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok (Analisis Break Even Point-BEP/ Titik Impas /Balik Modal ) Konsep yang lebih penting berkenan dengan R dan C adalah konsep pulang pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimun produk yang harus dihasilkan terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih posititf antara R dan C. Secara grafik ditunjukkan oleh jarak kurva R dan C, semakin lebar jarak positif tersebut semakin besar keuntungan yang diperoleh. Hubungan grafik Fungsi Kuadrat TR dan TC : C,R TC л < 0 Untung / Laba positif ( л > 0 ) → TR > TC BEP(л=0) Titik Impas / BEP ( л = 0 ) → TR = TC л<0 л>0 Rugi / Laba negatif ( л < 0 ) → TR < TC BEP(л=0) Jika fungsi laba : Л = a Q2 – b Q + c maka : 0 Q1 Q2 Q Л = TR - TC
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 34 Contoh : Penerimaan total sebuah perusahaan R = -0,10Q2 + 20Q, sedangkan biaya total C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20. Hitung keuntungan perusahaan jika terjual 10 dan 20 unit produk. Jawab : Fungsi laba : = R – C = -0,10Q2 + 20Q – (0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20) = -0,253 + 2,90Q2 + 13Q – 20 Saat Q = 10, = -0,25(10)3 + 2,90(10)2 + 13(10) – 20 = 250 + 290 + 130 – 20 = 150 (keuntungan) Saat Q = 20, = -0,25(20)3 + 2,90(20)2 + 13(20) – 20 = -2000 + 1160 + 260 – 20 = - 600 (rugi) 3.4.7. Fungsi Utilitas Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak suatu barang dikonsumsi, semakin besar pula utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik jenuh pada jumlah konsumsi tertentu lalu berkurang hingga negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus ditambah. Utilitas total adalah fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik dengan kurva parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang. U Utilitas total mencapai puncaknya ketika utilitas marjinal = 0 dan berkurang ketika utilitas marjinal negatif. Utilitas total : U = f(Q) Utilitas marjinal : MU = U = f(Q) 0 MU Q
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 35 Produk total : P = f(X) Produk rata-rata : AP = P/X produk marjinal : MP = ∆/∆X 3.4.8. Fungsi Produksi Bentuk fungsi produk total yang non-linear pada umumnya berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak. Produk total merupakan fungsi dari jumlah masukan faktor produksi yang digunakan. Produk rata-rata ialah jumlah keluaran atau produk yang dihasilkan dari setiap unit masukan yang digunakan. Sedangkan produk marjinal ialah produk tambahan yang dihasilkan dari setiap tambahan satu unit masukan yang digunakan. Contoh : Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh P = 9X2 – X 3 . Bentuklah persamaan produk rata-ratanya serta hitunglah produk total dan produk rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa produk marjinalnya jika ditambah 1 unit masukan? Jawab : Fungsi produksi : P = 9X2 – X 3 Produk rata-rata : AP = P = 9X2 – X 3 = 9X – X 2 X X Untuk X = 6 P = 9(6)2 – (6)3 = 108 AP = P/X = 108/6 = 18 Untuk X = 7 P = 9(7)2 – (6)3 = 98 MP = ∆P/∆X = 98−108 7−6 = -10 (produk marjinal negatif berarti masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produksi).
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 36 3.5. Soal-Soal Latihan 1. Keseimbangan pasar tercipta pada harga dan jumlah barang masing-masing adalah Rp175.000 dan 575 unit barang. Namun keseimbangan pasar tersebut berubah dengan harga menjadi Rp 225.000 dan jumlah barang menjadi 450 unit, karena adanya pajak perunit barang. Sementara pada produsen diketahui bahwa ia tidak akan menjual barangnya bila harga sebesar Rp 140.500. a. Buatlah fungsi permintaan dan Fungsi penawarannya ? b. Berapa besar pajak per unit yang akan dikenakan pada produk tersebut dan berapa besar penerimaan pemerintah dari pajak ? c. Buatlah dan arsirlah grafik kartesiusnya! 2. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran masing-masing adalah Q = 5 - P 2 dan P = 1 + Q a. Hitunglah kuantitas dan harga pada kondisi market equilibrium. b. Bila ada subsidi sebesar 1 per unit, hitung kuantitas dan harga pada posisi equilibrium yang baru. c. Tentukan subsidi total yang dikeluarkan pemerintah. Gambarkan grafik kartesiusnya ! 3. Perhatikan grafik berikut ; Y a. Fenomena apakah yang ditunjukkan pada grafik di atas ? b. Buatlah persamaan linear yang ditunjukkan pada pertanyaan a, b, c, d dan e pada grafik di atas? c. Berapakah besar pendapatan dan konsumsi jika tabungan sebesar Rp 300.000. C/S a? b? (2.500.000, 2.500.000) c ? d ? - Co
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 37 4. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan Rp 2.000.000 dari penjualan barang sebanyak 1.500 unit. Penerimaan yang diperoleh perusahaan tersebut Rp 30.000.000 sedangkan biaya tetap yang dikeluarkannya guna memproduksi barang yang dijualnya Rp 13.000.000. Tentukan : a. Fungsi Penerimaan, Fungsi Biaya Variabel dan Fungsi Biaya Totalnya? b. Pada tingkat produksi atau penjualan berapa unit perusahaan tersebut dapat menutupi biaya total yang dikeluarkannya ? c. Pada tingkat produksi atau penjualan berapa unit perusahaan ini dapat menutupi biaya tetap yang dikeluarkannya?
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 38 BAB IV DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan–kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya – jika ada. Bab ini membahas diferensial yang menyangkut fungsi yang mengandung hanya satu variabel bebas dalam persamannya. Pengertian diferensial, hakekat derivat, kaidah–kaidah diferensial, penggunaanya dalam penyidikan titik ekstrim sebuah fungsi dan penerapan ekonominya diuraikan di sini. 4.1. KUOSIEN DIFERENSI DAN DERIVATIF Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar x (baca:”delta x” ), maka bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi : y = f (x) y + y y y = f (x + x) = f (x + x)− y = f (x + x)− f (x) Dimana x adalah tambahan x, dan y adalah tambahan y berkenaan dengan adanya tambahan x. Jadi y timbul karena adanya x. Apabila ruas kiri dan ruas kanan persamaan terakhir di atas sama–sama dibagi x, maka diperoleh : y = x f (x + x)− f (x) x Bentuk Δy/Δx disebut dengan hasilbagi perbedaan atau kuesion diferensi (difference quotiont), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kousien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil dari proses diferensiasi disebut turunan atau derivatif (derivative). Jadi, diferensial adalah proses untuk memperoleh derivative (turunan). Diferensiable yaitu fungsi yang mempunyai derivative atau dapat didiferensialkan.
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 39 Notasi diferensial dari suatu fungsi f(x) sebagai berikut : Jika suatu fungsi ; Y = f (x) didiferensialkan/diturunakan maka turunan pertamanya : Y’ = f’ (x) = dy = Δy (dy/dx = deye de-eks, Δ = delta) dx Δx dy/dx → biasanya untuk fungsi kontinu Δ → biasanya untuk fungsi deskrit 4.2. KAIDAH–KAIDAH DIFERENSIASI Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara terlebih dahulu menemukan kuosien diferensianya, kemudian menentukan limit kousien diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol. Jelasnya, langkah–langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Andaikan fungsi aslinya ialah y = f (x) 2. Masukkan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh y + y = f (x + x) 3. Manipulasikan untuk memperoleh y = f (x + x)− f (x) 4. Bagi kedua ruas dengan x sehingga diperoleh kuosien diferensinya y = x f (x + x) − f (x) x 5. Tentukan limitnya untuk x → 0, sehingga diperoleh turunan fungsinya dy = lim y = lim f (x + x)− f (x) dx x → 0 x x → 0 x Langkah-langkah di atas agak menyulitkan, kaidah-kaidah diferensial berikut yang biasa digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi: 1. Diferensiasi konstanta Jika y = k , dimana k adalah konstanta, maka y’ = dy = 0 dx Contoh : y = 3 → y’ = dy = 0 dx 2. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn , dimana n adalah konstanta, maka y’ = dy = nxn-1 dx Contoh : y = x4 → y’ = dy = 4x4-1 = 4x3 dx
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 40 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv , dimana v = h(x), maka y’ = dy = k dv dx dx Contoh : y = 2x4 → y’ = dy = 4.(2x4-1) = 8x3 dx 4. Diferensiasi pembagian kontanta dengan fungsi a. Jika y = k , dimana v = h(x), maka y’ = dy = k (-n) x n dx x n+1 Contoh : y = 2 → y’ = dy = - 2.(4.x-4-1 )= -8x-5 = - 8 x 4 dx x 5 b. Jika y = k , dimana v = h(x), maka y’ = dy = - k . dv/dx v dx v 2 Contoh : y = 2 → y’ = dy = - 2.(4.2x4-1 ) = -16x3 = -4 2x4 dx (2x4 ) 2 4x8 x -5 5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi Jika y = u ± v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = dy = du ± dv dx dx dx Contoh : y = 4x2 + x 3 misalkan u = 4x2 → du/dx = 8x y’ = dy = du ± dv v = x 3 → dv/dx = 3x2 dx dx dx = 8x + 3x2 6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = dy = u dv ± v du = u.v’ + v.u’ dx dx dx Contoh : y = (4x2 ) (x3 ) y’ = dy = u dv ± v du dx dx dx = (4x2 )(3x2 ) + (x3 )(8x) = 12x4 + 8x4 = 20x4 7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka v y’ = dy = v.du/dx - u.dv/dx = v.u’ – u.v’ dx v 2 v 2
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 41 Contoh : y = 4x2 x 3 y’ = dy = v.du/dx - u.dv/dx dx v 2 = (x 3 ) (8x) – (4x2 )(3x2 ) = 8x4 – 12x4 = -4x4 = -4x-2 (x3 ) 2 x 6 x 6 8. Diferensiasi fungsi bepangkat Jika y = un , dimana u = g(x) dan n = konstanta, maka y’ = dy = n.un-1 . du dx dx Contoh : y = (4x3 + 5)2 misalkan u = 4x3 + 5 → du/dx = 12x2 y’ = dy = n.un-1 . du dx dx = 2(4x3 + 5)( 12x2 ) = 96x5 + 120x2 9. Diferensiasi fungsi akar Jika y = q √x p = x p/q , maka y’ = dy = p . x p/q-1 dx q Contoh : y = 3 √x 2 = x 2/3 → y’ = 2 . x 2/3-1 = 2 x -1/3 3 3 4.3. DERIVATIF DARI DERIVATIF Sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali, tergantung pada derajatnya. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (firs derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atu fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua, dan seterusnya. Contoh : y = f (x) = x 3 – 4x2 + 5x - 7 y’ = dy/dx = 3x2 – 8x + 5 y” = dy/dx = 6x - 8 y”’ = dy/dx = 6 y’v = dy/dx = 0
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 42 4.4. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non-linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first derivative) dan turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar fungsi tersebut. Fungsi y = f(x) Kegunaan Kondisi / Syarat 1. Turunan I y’ = f’ (x) 1. Mengetahui letak titik ekstrim 2. Mengetahui apakah suatu fungsi menaik atau menurun pada titik tertentu : • Fungsi menaik (slope kurva positif) • Fungsi menurun (slope kurva negatif) y’ = dy = f’ (x) = 0 dx y’ = dy = f’ (x) > 0 dx y’ = dy = f’ (x) < 0 dx 2. Turunan II y” = f” (x) 1. Mengetahui jenis titik ekstrim : • Titik Ekstrim maksimum (x,y) • Titik Ekstrim minimum (x,y) 2. Mencari titik belok fungsi Pada y’ = 0 y” = d2 y = f”(x) < 0 dx2 y” = d2 y = f”(x) > 0 dx2 y” = 0 4.5. FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN Derivatif pertama dari sebuah fungsi non–linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrim sebuah fungsi non-linear. Decreasing Function (Fungsi Menurun) Increasing Function (Fungsi Menaik) Fungsi menurun adalah suatu kondisi dimana nilai fungsi y menurun pada saat nilai x bertambah sehingga kemiringan kurva negatif. y’ = dy/dx = tg α < 0 Fungsi menaik adalah suatu kondisi dimana nilai fungsi y menaik pada saat nilai x bertambah sehingga kemiringan kurva positif: y’ = dy/dx = tg α > 0
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 43 Fungsi Parabola atau fungsi Kubik : y = f (x) dapat dicari : 1. Letak titik ekstrim pada saat y’ = dy = f’ (x) = 0 dx 2. Jenis titik ekstrim : • Titik Ekstrim maksimum jika y” = d 2 y = f”(x) < 0 pada saat y’ = 0 dx2 • Titik Ekstrim minimum jika y” = d2 y = f”(x) > 0 pada saat y’ = 0 dx2 3. Mencari titik belok fungsi pada saat y” = d2 y = f” (x) = 0 dx2 Kurva cembung ke bawah atau terbuka ke atas Mempunyai titik minimum → (x,y) pada y” = d2y = f”(x) > 0 dx2 y y = f(x) y 0 x x Contoh : y = x 2 – 8x + 12 Kurva cembung ke atas atau terbuka ke bawah Mempunyai titik maksimum → (x,y) pada y” = d2y = f”(x) > 0 dx2 y y y = f(x) 0 x x Contoh : y = -x 2 + 4x - 6 4.6. TITIK EKSTRIM : MAKSIMUM - MINIMUM DAN TITIK BELOK FUNGSI Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kuadrat atau kubik (jika ada), serta titik beloknya, dapat dicari melalui penelusuran terhadap derivatif pertama dan derivatif kedua fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik (titik) ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat guna mengetahui jenis titik (-titik) ekstrim yang bersangkutan dan menentukan letak titik beloknya. ( lihat tabel materi 4.4.)
Modul Matematika Ekonomi Ali Tutupoho, SE., M.Si. 44 Dimana dQd / dp tak lain adalah Qd atau f (P) ' ' 4.7. PENERAPAN EKONOMI Teori diferensial amat lazimm diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marjinal dan konsep optimisasi. Dalam kaitanya dengan konsep elastisitas, pada sub–bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan elastistas berbagai variabel ekonomi. Sedangkan dalam kaitannya dengan konsep nilai marjinal dan konsep optimisasi, akan dibahas penerapan diferensial dalam pembentuk fungsi atau penghitungan nilai marjinal dari berbagai variabel ekonomi, serta penentuan nilai optimum dari fungsi atau variabel yang bersangkutan. 4.7.1. Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenan dengan x dapat didefinisikan sebagai Ini berarti bahwa elastistas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. (a) Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f (P), maka elastisitas permintaannya Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh Qd = 25 – 3 P2 . Tentukan elastisitas permintaannya pada P = 5. Jawab : Qd = 25 – 3P2 Q’d = -6P dQd P P 5d = dP . Qd = -6P . 25 – 3P2 ηd = %ΔQd = EQd = %ΔP EP ΔP → 0 (ΔP/P) lim (ΔQd /Qd ) = dQd . P dp Qd = Ey = lim (Δy/y ) = dy . x Ex Δx → 0 (Δx/x ) dx y