การแยกตัวประกอบ00

การแยก
ตัวประกอบ

ด.ช. พฤฒ จิตมั่น เลขที่ 9
นำเสนอ อาจารณ์ฐิติพร นุ่นลอย

แยกตัวประกอบ
ในหัวข้อ สูตรการแยกตัวประกอบ ที่ได้รวบรวม


สูตรไว้นั้น เป็นเพียงสูตรที่ใช้แก้ปัญหาในโจทย์ แต่

การท่องจำเพียงสูตรอย่างเดียวอาจจะไม่เพียงพอ

จำเป็นต้องทำความเข้าใจและฝึกฝนในการทำโจทย์

สร้างประสบการณ์ในการทำโจทย์ด้วย ซึ่งจะทำให้มี

ประสิทธิภาพยิ่งขึ้น โดยเรื่องการแยกตัวประกอบนี้

จะถูกนำไปใช้ในบทการแก้สมการกำลังสองต่อไป

สรุป สูตรการแยกตัวประกอบ ทั้งหมด
a² – b² = (a + b)(a – b)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab+ b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b+ 3ab² – b³

การฝึกแยกตัวประกอบแบบพื้นฐาน
พื้นฐานการแยกตัวประกอบ เป็นสิ่งที่สำคัญมาก

เพราะว่าเป็นพื้นฐานที่ต้องใช้ในอนาคตอย่างแน่นอน
เพราะฉะนั้นเราควรแยกตัวประกอบให้ชำนาญและถูก
ต้องไว้จะดีที่สุดเพื่อจะได้ไม่ต้องจำ สูตรการแยก
ตัวประกอบ ทัง้ หมด

รูปแบบที่ 1
พหุนามอยู่ในรูป x² + bx + c
ในการแยกตัวประกอบรูปแบบนี้ให้ถือหลักการว่า
” บวกกันได้ตัวกลาง คูณกันได้ตัวหลัง “
กล่าวคือ ให้หาตัวเลข 2 ตัวที่สามารถบวกกันแล้ว
เท่ากับ b และคูณกันได้เท่ากับ c นั่นเอง กำหนด
ตัวแปร m และ n เป็นค่าคงที่ จะสามารถเขียนในรูป
แบบสมการได้ว่า

b=m+n

c=m×n

จากนั้นก็จะสามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น
x² + bx + c = (x+m)(x+n)

ตัวอย่าง
จงแยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6
จากตัวอย่างนี้ ถ้าต้องการแยกตัวประกอบ
ในการพิจารณาตามหลัก
” บวกกันได้ตัวกลาง คูณกันได้ตัวหลัง “
นั่นก็คือ พิจารณาว่าตัวเลขคู่ใด บวกกันได้เท่ากับ 5
และคูณกันได้เท่ากับ 6
เริ่มพิจารณาจากการคูณ ตัวเลขที่คูณกันได้เท่ากับ 6
มีด้วยกัน 2 ชุด คือ

2×3

6×1

ต่อจากนั้นก็ลองหาผลบวกกันดู

2+3=5

6+1=7

แสดงว่าตัวเลขที่สามารถใช้ได้ก็คือ 2 และ 3
เพราะฉะนั้นสามารถแยกตัวเป็นกอบได้เป็น
²x + 5x + 6 = ( x + 2 )( x + 3 )

รูปแบบที่ 2
พหุนามอยู่ในรูป ax² + bx + c
ในการแยกตัวประกอบรูปแบบนี้ให้ถือหลักการว่า
”ตัวหน้าคูณกันได้ข้างหน้า ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณ
ไกลต้องได้ตรงกลาง ตัวหลังคูณกันต้องได้ข้าง
หลัง“
กล่าวคือ ในรูปแบบนี้จำเป็นจะต้องหาตัวเลข 4 ตัวที่
มีความสัมพันธ์กัน จะขอแยกเป็นชุดข้างหน้า และชุด
ข้างหลังก่อน

ชุดข้างหน้า คือตัวเลข 2 ตัวที่คูณกันแล้วได้
เท่ากับ a กำหนดให้เป็นตัวแปร k และ h เป็นค่า
คงที่
ชุดข้างหลัง คือตัวเลข 2 ตัวที่คูณกันแล้วได้
เท่ากับ c กำหนดให้เป็นตัวแปร m และ n เป็นค่า
คงที่
ความยากอยู่ที่ตัวเลขชุดตรงกลาง ในการแยก
ตัวประกอบในรูปแบบนี้จะต้องสามารถแยกได้ใน
รูปแบบ

( kx + m )( hx + n)

โดยที่เราต้องกำหนดความสัมพันธ์

ของตัวเลขชุดตรงกลางได้ตามหลัก

“ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล” นั่นก็

คือ ตัวไกล k คูณกับ n บวกกับตัว

ใกล้ m คูณกับ h ต้องได้เท่ากับ b ซึ่ง

ก็คือตัวกลาง

สรุปความสัมพันธ์ทั้ง 3 หัวข้อได้

ดังนี้
การแยกตัวประกอบของ ax² + bx +

c จะเท่ากับ ( kx + m )( hx + n) ก็ต่อ

เมื่อ

a=k×h
b=(k×n)+(h×m)
c=m×n

ตัวอย่าง
จงแยกตัวประกอบของ 5x² + 11x + 2
จากตัวอย่างนี้ ถ้าต้องการแยกตัวประกอบ ใน
พิจารณาตามหลัก
” ตัวหน้าคูณกันได้ข้างหน้า ใกล้คูณใกล้บวกไกล
คูณไกลต้องได้ตรงกลาง ตัวหลังคูณกันต้องได้
ข้างหลัง “
นั่นก็คือ เราต้องพิจารณาทั้งหมด 3 ประเด็น ได้แก่

1. ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 2
2. ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 5
3. นำมาจัดเรียง แบบใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณ

ไกล ได้เท่ากับ 11
พิจารณาว่า ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 2

2×1

พิจารณาว่า ตัวเลขใดบ้างคูณกันได้เท่ากับ 5

5×1

นำมาจัดเรียง แบบใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล ได้
เท่ากับ 11

( 5x +2 )( x + 1 )
ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล
(5)(1)+(2)(1) = 7

( 5x + 1 )( x + 2 )
ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล
(5)(2)+(1)(1) = 11

เพราะฉะนั้น การแยกตัวประกอบของ 5x² + 11x + 2
จะเท่ากับ
( 5x + 1 )( x +2 )

อยู่ในรูปผลคูณถือเป็นการเสร็จสิ้น

การดึงตัวร่วม
การดึงตัวร่วมเป็นพื้นฐานสำคัญในวิชา

คณิตศาสตร์ เพราะช่วยในการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์ได้อย่างมากทั้งในบทนี้และบทอื่น ๆ




รูปแบบที่ 3
พหุนามอยู่ในรูป ab + ac
การแยกตัวประกอบรูปแบบนี้จะใช้สมบัติการ
แจกแจงเพื่อแยกตัวประกอบ โดยการใช้ตัวประกอบ
ร่วม
( Common factor ) หรือ a ตามรูปของพหุนาม
ข้างต้น
จะได้ ab + ac = a(b + c)
วิธีการก็คือ ลองพิจารณาตัวเลข หรือ ตัวแปร ที่อยู่
ระหว่างเครื่องหมาย บวกและลบ ว่ามีตัวเลขหรือ
ตัวแปรใดที่เหมือนกันหรือไม่ ในบางครั้งอาจจะไม่
สามารถมองเห็นได้ทันที ต้องใช้ไหวพริบในการ
พิจารณาด้วย
เมื่อเจอตัวเลขหรือตัวแปรที่ซ้ำกันแล้ว ให้ดึงออกมา

ตัวอย่าง

จงดึงตัวร่วมของ 5x + 10

พิจารณาได้ดังนี้

จากโจทย์ถ้าเรามองด้วยตาเปล่า จะไม่เห็นพจน์ที่
มีลักษณะเดียวกัน แต่ถ้าเรามองว่า 10 คือผลคูณ
ระหว่าง 5 และ 2 ทำให้เราเห็นได้ว่า มีเลข 5 อยู่
ระหว่างผลบวกนั้น ทำให้เราสามารถดึง 5 ออกมาใน
ฐานะตัวประกอบร่วมได้

= 5x + (5)(2) = 5(x+2)

จงดึงตัวร่วมของ ²12x +6x
พิจารณาได้ดังนี้

จากโจทย์ถ้าเรามองด้วยตาเปล่า จะเห็น

ว่าทั้งสองพจน์มีตัวแปร x ที่มีลักษณะ

เดียวกันเพียงอย่างเดียว แต่ถ้าเรามองว่า

12 คือ ผลคูณระหว่าง 6 และ 2 ทำให้เราเห็น

ได้ว่า มีเลข 6 อยู่ระหว่างผลบวกนั้น ทำให้เรา
สามารถดึง 6 และ x ออกมาในฐานะ

ตัวประกอบร่วมได้

= (6)(2)(x)(x) + (6)(x)(1) = 6x(2x+1)