เอกสารประกอบการสอนการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการสอน


158421: การแกปญหาทางคณิตศาสตร์
ั
้
___________________________________________________________

อาจารย์ทรงชัย อักษรคิด




ี
รายละเอยดของเอกสาร



้
1. เนอหาการสอน
ื
ั
่
่
่
ั
ความสําคัญของการแก้ปญหาและการตั้งปญหา ประเภทของปญหา ความเชือทีเกียวข้อง
ั
ั
ุ
ั
ั
ิ
กับการแก้ปญหาและการตั้งปญหา กระบวนการและยทธวิธีในการแก้ปญหา เทคนคการตั้งปญหา
ั
การสอนการแก้ปญหา การสอนการตั้งปญหา การประเมินผลการแก้ปญหา การประเมินผลการตั้ง
ั
ั
ั
ปัญหา

2. วัตถุประสงค์การสอน
1. เพื่อให้นิสิตมีความรู้ความเข้าใจและเกิดความตระหนักในการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
ั
ิ
ทางคณตศาสตร์
์
ั
ั
2. เพื่อให้นิสิตมีประสบการณและเกิดทักษะในการแก้ปญหาและการตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์
ั
3. เพื่อให้นิสิตมีความรู้ความเข้าใจและพร้อมสําหรับการสอนการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
ิ
ทางคณตศาสตร์

ื
่
3. รายชอหน่วยการสอน
ี่
ั
่
หนวยท 1 การสร้างความตระหนักในการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
ั
1.1 ความสําคัญของการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
1.2 ประเภทของปญหา
ั
ั
่
ั
่
่
1.3 ความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
่
ี่
ั
ึ
หนวยท 2 การเสริมและฝกทักษะการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
2.1 กระบวนการและยุทธวิธีในการแก้ปัญหา
ั
2.2 เทคนคการตั้งปญหา
ิ
หนวยท 3 การเตรียมความพร้อมเพือการสอนการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
ั
่
่
ี่
ั
3.1 การสอนการแก้ปญหา
3.2 การสอนการตั้งปญหา
ั
ั
3.3 การประเมินผลการแก้ปญหา
ั
3.4 การประเมินผลการตั้งปญหา
๑

4. กําหนดการสอน




หน่วยการสอน เนื้อหา / กิจกรรม หนาเอกสาร ครั้งที / ระยะเวลา
้
่
้
ชีแจงรายละเอียด
 ชี้แจงและแนะนารายวิชา
ํ
-  ชี้แจงเอกสารประกอบการสอน - ครั้งที่ 1
 ชี้แจงรูปแบบการสอน (3 ชั่วโมง)
 ชี้แจงการวัดและประเมินผล
่
่
ี
ั
หนวยท 1 1.1 ความสําคัญของการแก้ปญหาและ ๓ – ๙
การสร้างความ การตั้งปญหา ครั้งที่ 2 และ 3
ั
ตระหนกใน  กิจกรรม 1 …………………………………... ๔ (6 ชั่วโมง)
ั
ั
การแก้ปญหาและการ  กิจกรรม 2 …………………………………... ๘
ั
ตั้งปญหา 1.2 ประเภทของปญหา ๑๐ – ๒๐
ั

 กิจกรรม 3 …………………………………... ๑๐ ครั้งที่ 4 และ 5
 กิจกรรม 4 …………………………………... ๑๑ (6 ชั่วโมง)
 กิจกรรม 5 …………………………………... ๑๗
 กิจกรรม 6 …………………………………... ๒๐

1.3 ความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและ ๒๑ – ๒๓
่
่
ั
่
การตั้งปญหา ครั้งที่ 6
ั
 กิจกรรม 7 …………………………………... ๒๑ (3 ชั่วโมง)
ั
่
่
ี
หนวยท 2 2.1 กระบวนการและยุทธวิธีในการแก้ปญหา ๒๔ – ๔๔

ึ
การเสริมและฝกทักษะ  กิจกรรม 8 …………………………………... ๓๕ ครั้งที่ 7 และ 8
การแก้ปญหาและการ  กิจกรรม 9 …………………………………... ๓๖ (6 ชั่วโมง)
ั
ิ
ั
ตั้งปญหา 2.2 เทคนคการตั้งปญหา ๓๘ – ๔๔
ั
 กิจกรรม 10 ………………………………… ๔๓ ครั้งที่ 9 และ 10
 กิจกรรม 11 ……………………………. ๔๔ (6 ชั่วโมง)

ี
่
หนวยท 3 3.1 การสอนการแก้ปญหา ๔๕ – ๕๖ ครั้งที่ 11
ั
่
การเตรียมความพร้อม  กิจกรรม 12 ………………………………… ๕๖ (3 ชั่วโมง)

เพือการสอนการ 3.2 การสอนการตั้งปญหา ๕๗ – ๖๐
่
ั
แก้ปญหาและการตั้ง  กิจกรรม 13 ………………………………… ๖๐ ครั้งที่ 12
ั
ปัญหา (3 ชั่วโมง)
ั
3.3 การประเมินผลการแก้ปญหา ๖๑ – ๖๗ ครั้งที่ 13

 กิจกรรม 14 ………………………………… ๖๗ (3 ชั่วโมง)


3.4 การประเมินผลการตั้งปญหา ๖๘ – ๗๒ ครั้งที่ 14
ั
 กิจกรรม 15 ………………………………… ๗๑ (3 ชั่วโมง)


- ทดสอบปลายภาคเรียน - ครั้งที่ 15
(3 ชั่วโมง)
๒

ี่
หน่วยท 1

ั
การสร้างความตระหนกในการแกปญหาและการตั้งปญหา
ั
้
ั

เนื้อหา / กิจกรรม
ั
ั
1.1 ความสําคัญของการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
ั
1.2 ประเภทของปญหา
่
่
ั
ั
่
1.3 ความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหา

แนวคิด

1. การแก้ปญหากับการตั้งปญหาเปนกิจกรรมทีสําคัญในการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์
่
ั
ั
็
่
ุ
ั
็
็
การแก้ปญหาควรเปนจุดมงหมายหลักและเปนกิจกรรมหลักของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ และ
่
การตั้งปญหาสามารถส่งเสริมการสร้างความคิดใหมๆ จากประเด็นเนอหาทีมีอยู และขยายความรู้
่
่
ั
ื
้
้
ความเข้าใจในเนอหาทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนออกไปได้ นอกจากนผลการศึกษาวิจัยหลายชิน
ื
ี
้
้
็
ุ
ชีให้เห็นว่าการตั้งปญหาเปนยทธวิธีการสอนทีได้ผลวิธีหนงทีสามารถปรับปรงความสามารถในการ
่
้
่
ึ
่
ั
ุ
แก้ปญหาของนักเรียนได้
ั
ั
้
่
2. ครูผู้สอนควรเข้าใจถึงการใช้ปญหาประเภทต่างๆ ตามบทบาทหนาทีทีแตกต่างกัน
่
ั
่
ออกไปในการสอนคณิตศาสตร์ ได้แก่ ในการสอนเพือการแก้ปญหา (Teaching for problem
่
ั
้
ื
่
solving) จะใช้ปญหาประเภท “โจทย์ทีท้าทายแต่เนอหาเฉพาะ” ส่วนในการสอนเกียวกับการ
ั
ั
แก้ปญหา (Teaching about problem solving) จะใช้ปญหาประเภท “ปญหากระบวนการทีเนนการ
้
ั
่
ุ
ั
่
่
ใช้ยทธวิธี” “ปญหาทีประยุกต์ ใช้ในชีวิตจริง” และ “การสํารวจทางคณิตศาสตร์” และการสอนทีควบคู ่
ั
ิ
ไปกับการแก้ปญหา (Teaching via problem solving) จะใช้ปญหาประเภท “คําถามปลายเปดแบบ
ั
สั้น”
่
3. ความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหาของนักเรียนแต่ละคนนั้น
่
่
ั
ั
เปลียนแปลงได้ยาก นักเรียนจะค่อยๆ พัฒนาความเชือของตนไปอยางช้าๆ ซึงต้องใช้ระยะเวลาที ่
่
่
่
่
์
่
่
ขึนอยูกับลักษณะกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ทีครูผู้สอนจัดวางไว้ให้และมวลประสบการณทีนักเรียน
้
่
ได้รับ ดังนั้นครูผู้สอนจึงเปนผู้ทีมีบทบาทสําคัญต่อการพัฒนาความเชือทีเหมาะสมให้แก่นักเรียน ซึง
่
่
่
็
่
ครูเองก็ควรมีความเชือทีเหมาะสมเสียก่อน แล้วจึงค่อยส่งเสริมหรือสอดแทรกความเชือทีเหมาะสม
่
่
่
่
ลงไปในการจัดการเรียนการสอน


๓

ั
้
1.1 ความสําคัญของการแกปญหาและการตั้งปญหา
ั

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
กิจกรรม 1 (อภิปรายทั้งชั้นเรียน)
กิจกรรม 1


ื
้
่
ิ
ก่อนการอบรมในเนอหาเรืองน ให้นสิตลองอภิปรายร่วมกันว่า
้
ี
ั
่
1. การแก้ปญหามีความสําคัญอยางไร
ั
่
2. การตั้งปญหามีความสําคัญอยางไร
ั
ั
3. การแก้ปญหาและการตั้งปญหามีความสัมพันธ์กันอยางไร
่

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ุ
้
“การแก้ปญหาควรเปนจดเนนของหลักสูตรคณิตศาสตร์และควรเป็น
ั
็
เปาหมายสําคัญของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์รวมถึงเปนส่วนที่บรณาการกิจกรรม
ู
้
็
ั
่
่
ทั้งหมดทางคณิตศาสตร์ การแก้ปญหาไมใชเปนหัวข้อเรื่องทางคณิตศาสตร์ที่แยก
็
่
ออกมา แต่ควรเปนกระบวนการที่สอดแทรกอยูในหลักสูตรที่มีการจัดสภาพการเรียนรู้
็
ให้นักเรียนได้รับทั้งแนวคิด (Concept) และทักษะต่างๆ ทางคณิตศาสตร์”
(NCTM. 1989: 23)

ข้อความดังกล่าวข้างต้นอยูในหลักการและมาตรฐานสําหรับคณิตศาสตร์ในโรงเรียนของ
่
สภาครูคณิตศาสตร์แห่งชาติสหรัฐอเมริกาทีเนนยําถึงบทบาทของการแก้ปญหาในหลักสูตร
ั
้
่
้
คณิตศาสตร์ในโรงเรียน และมักสอดคล้องกับหลักการในการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ใน
้
ุ
โรงเรียนแทบทกประเทศทั่วโลกรวมถึงประเทศไทยด้วย โดยในหลักสูตรการศึกษาขั้นพืนฐาน
พุทธศักราช 2544 ของไทยได้กําหนดมาตรฐานการเรียนรู้ให้นักเรียนมีความสามารถในการแก้
่
็
่
่
ปัญหา (มาตรฐาน ค 6.1) ซึงเปนมาตรฐานการเรียนรู้ทีจําเปนสําหรับนักเรียนทุกคนทีอยูใน
่
็
มาตรฐานการเรียนรู้ด้านทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ (สาระที่ 6) (กรมวิชาการ. 2545: 6-7)
่
ี
ทั้งนคูมือการจัดการเรียนรู้กลุมสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้แนะนําว่าผู้สอนต้องให้โอกาสนักเรียน
้
่
ั
ึ
่
่
ได้ฝกคิดด้วยตนเองให้มาก โดยจัดสถานการณหรือปญหาหรือเกมทีนาสนใจ ท้าทายให้อยากคิด
์
่
่
ั
่
เริ่มต้นด้วยปญหาทีเหมาะสมกับศักยภาพของนักเรียนแต่ละคนหรือนักเรียนแต่ละกลุม โดยอาจเริม
่
ุ
่
ด้วยปัญหาทีนักเรียนสามารถใช้ความรู้ทีเรียนมาแล้วมาประยกต์ก่อน ต่อจากนั้นจึงเพิมสถานการณ ์
่
หรือปญหาทีแตกต่างจากทีเคยพบมา และสําหรับนักเรียนทีมีความสามารถสูง ผู้สอนควรเพิมปญหา
ั
่
ั
่
่
่
ึ
่
่
่
่
ทียากซึงต้องใช้ความรู้ทีซับซ้อนหรือมากกว่าทีกําหนดไว้ในหลักสูตรให้นักเรียนได้ฝกคิดด้วย (กรม
วิชาการ. 2545: 195)

๔

ั
็
ความสามารถในการแก้ปญหาถือว่าเปนหัวใจของคณิตศาสตร์ (Foong Pui Yee. 2007:
54; อ้างอิงจาก Cockcroft Report. 1982. Mathematics count: Report of the committee of
้
ี
inquiry into the teaching of mathematics in school. London: HMSO) ทั้งนหากเราพิจารณาถึง
กรอบหลักสูตรคณิตศาสตร์ของประเทศทีมีผลการทดสอบระดับนานาชาติของนักเรียนอยูในชั้นแนว
่
่
่
้
ี
หน้า เชน ประเทศสิงคโปร์ ดังภาพประกอบข้างล่างน (Ng Swee Fong. 2007: 17; อ้างอิงจาก
Curriculum Planning and Development Division (CPDD). 2006. Mathematics Syllabus-
Primary 2007. Singapore: Ministry of Education) จะพบว่าหลักสูตรคณิตศาสตร์ของสิงคโปร์มี
เปาหมายหลักทีเรียกว่าเปนแก่นกลาง (Core) ของหลักสูตรคือการพัฒนาความสามารถในการแก้
่
้
็
่
ปัญหาของนักเรียนในสถานการณทีหลากหลายซึงประกอบด้วยปญหาทีไมคุ้นเคย (Non-routine
่
์
่
่
ั
็
ั
problems) ปัญหาปลายเปิด (Open-ended problems) และปญหาในโลกแห่งความเปนจริง (Real-
world problems)




































กรอบหลักสูตรคณิตศาสตร์ในประเทศสิงคโปร์


ที่มา: Ng Swee Fong. 2007. The Singapore Primary Mathematics Curriculum In

Teaching Primary School Mathematics: A Resource Book. Lee Peng Yee. p.17.





๕

ั
จากภาพประกอบข้างต้น กล่าวได้ว่าการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์จะประสบความสําเร็จ
่
่
้
็
้
่
ขึนอยูกับองค์ประกอบทีสัมพันธ์กันทั้งห้าด้าน คือ 1) แนวคิด (Concepts) ซึงเปนพืนฐานความรู้ทาง
่
็
คณิตศาสตร์ทีจําเปนสําหรับการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ แนวคิดเรืองจํานวน พีชคณิต
่
ั
่
เรขาคณิต สถิติ ความนาจะเปน และการวิเคราะห์ 2) ทักษะ (Skills) โดยนักเรียนสามารถใช้ทักษะ
็
ั
่
ต่างๆ ซึงมีความสัมพันธ์ต่อกันเพือการแก้ปญหา ได้แก่ การคํานวณเชิงตัวเลข การดําเนินการทาง
่
ุ
ู
พีชคณิต มมมองเชิงปริภมิ การวิเคราะห์ข้อมูล การวัด การใช้เครืองมือทางคณิตศาสตร์ และ
่
การประมาณค่า 3) กระบวนการ (Processes) ทีสําคัญสําหรับนักเรียนต่อการแก้ปญหา ได้แก่
ั
่
ุ
การให้เหตุผล การสือสารและการเชือมโยง ทักษะและวิธีการคิด และการประยกต์ใช้และการสร้าง
่
่
ตัวแบบ 4) การรู้คิด (Metacognition) ซึงเปนความสามารถของนักเรียนในการกํากับความคิดของ
็
่
่
็
ตนเอง และควบคุมการเรียนรู้ด้วยตนเอง และ 5) เจตคติ (Attitudes) ซึงเปนลักษณะเฉพาะทาง
่
่
การเรียนคณิตศาสตร์ทีควรเกิดขึนในตัวนักเรียน ได้แก่ ความเชือ ความสนใจ การเห็นความสําคัญ
้
และรู้คุณค่า ความเชือมั่นในตนเอง และความเพียรพยายาม
่
ั
่
นักการศึกษาหลายทานได้ให้ความหมายทีแตกต่างกันออกไปของคําว่า “การแก้ปญหา”
่
ั
่
ในวิชาคณิตศาสตร์ แต่หลักใหญ่ใจความแล้วพบว่ามีสิงทีตรงกันคือ การแก้ปญหาเปนวิธีการของ
่
็
ั
การได้มาซึงคําตอบเมือต้องเผชิญกับปญหา ซึงผู้แก้ปญหาต้องอาศัยแนวคิด ทักษะ และ
่
ั
่
่
กระบวนการต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ออกมาใช้ในการแก้ปญหา (Polya. 1980: 1, Krulik; &
ั
่
Rudnick. 1995: 3) ประสบการณในการแก้ปญหาทีครูควรหยิบยืนให้กับนักเรียนควรประกอบด้วย
ั
์
่
่
ุ
ั
ทั้งการแก้ปญหาหลายๆ ปญหาทีใช้ยทธวิธีในการแก้ปญหาเดียวกัน และการแก้ปญหาเดียวกันด้วย
ั
ั
ั
่
ุ
ั
ุ
ั
่
การใช้ยทธวิธีการแก้ปญหาหลายๆ ยทธวิธีทีแตกต่างกัน การแก้ปญหาไมควรใช้วิธีเหมือนกับ
่
ั
ํ
้
่
ึ
การให้ทําแบบฝกหัดทีทําซาๆ ด้วยปญหาประเภทเดิมๆ ทีใช้วิธีการแก้แบบเดิมๆ เพียงแบบเดียว
่
แต่ควรใช้ปญหาทีไมคุ้นเคยสําหรับใช้ประเมินหรือสะท้อนความสามารถต่างๆ ทีมีอยูในตัวนักเรียน
่
่
ั
่
่
ั
ผ่านวิธีการแก้ปญหาทีหลากหลายและคําตอบต่างๆ ของนักเรียน (Foong Pui Yee. 2007: 54-55)
่
ึ
แนนอนว่าการแก้ปญหาเปนกระบวนการสําคัญทีควรได้รับการเรียนรู้ ฝกฝน และพัฒนา
็
ั
่
็
ให้เปนทักษะติดตัวนักเรียนตั้งแต่ยังเปนเด็กเล็กๆ จนกระทั่งถึงนักศึกษาในระดับมหาวิทยาลัย แต่
็
่
นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ทีมีชื่อเสียงทั้งหลายต่างเห็นพ้องต้องกันมานานแล้วว่า การ
ั
่
ั
ั
มองเห็นปญหาหรือการตั้งปญหาด้วยตนเองนั้นสําคัญยิงกว่าการแก้ปญหาเสียอีก (สสวท. 2550:
่
่
่
131) ยกตัวอยางเชน ถ้า เซอร์ ไอแซก นวตัน (Sir Isaac Newton, ชวง ค.ศ.1643-1727) ทําเฉย
ิ
่
้
เมยไมคิดว่า “การทีลูกแอปเปลตกลงบนพืนดิน” นั้นเปนปญหาแล้ว ความรู้เรืองแรงโนมถ่วงหรือแรง
่
่
้
ั
ิ
็
ดึงดูดของโลกก็อาจจะไมเกิดขึน หรือถ้านักคณิตศาสตร์ในสมัยก่อนละเลยไมได้สนใจว่า “การพิสูจน์
่
้
่
์
สัจพจนที 5 ของยุคลิดสามารถทําได้หรือไม่” นั้นเป็นปัญหาแล้ว เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด (Non-
่
่
้
่
Euclidean Geometry) ก็อาจจะไมเกิดขึน หรือถ้า เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler, ชวง
ค.ศ.1707-1783) เพิกเฉยต่อสถานการณทีว่า “การเดินผ่านสะพานโคนกส์เบิร์ก (Konigsberg
์
่
ิ
ํ
่
Bridges) ให้ครบทั้งเจ็ดสะพานโดยไม่ให้ซ้าเส้นทางเดิมและกลับมายังจุดเริมต้นทําได้หรือไม” นั้น
่
ั
่
่
็
็
เปนปญหาแล้ว ความรู้เรืองทฤษฎีข่ายงาน (Network theory) ก็อาจจะไมเกิดขึ้น เปนต้น
๖

์
ั
จากผลงานการวิจัยของนักการศึกษาคณิตศาสตร์พบว่าประสบการณในการตั้งปญหาของ
่
้
ื
นักเรียนสามารถส่งเสริมความรู้ความเข้าใจในเนอหาคณิตศาสตร์ รวมทั้งยังสร้างความตืนเต้นและ
่
่
ก่อให้เกิดแรงกระตุ้นต่อการเรียนการสอนด้วย (English. 1998) โดยเฉพาะอยางยิง อิงลิชได้ยืนยัน
่
ว่าการตั้งปญหาชวยพัฒนาการคิด ทักษะการแก้ปญหา เจตคติและความมั่นใจในการทําคณิตศาสตร์
ั
ั
่
่
่
้
รวมทั้งยังชวยขยายความเข้าใจทีกว้างขึนในแนวคิด (Concepts) ทางคณิตศาสตร์ ซึงจะเห็นได้จาก
ตัวอยาง ดังน ้ ี
่
นักเรียนในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้นทีเรียนรู้เกียวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสยอมบอกได้
่
่
่
ว่าจากรูปต่อไปน ‘พื้นที่ A เทากับพื้นที่ B บวกกับพื้นที่ C’
่
้
ี
A
B
C


่
่
่
่
ึ
ุ
นักเรียนทีได้รับการฝกฝนให้มีมมมองทีแตกต่างซึงสามารถขยายเงือนไขของความรู้เดิม
ุ
้
่
่
่
่
ออกไปได้ อาจตั้งปญหาขึนใหมได้ว่า ถ้ารูปบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลียมมมฉากไมใชรูป
ั
สีเหลียมจัตุรัส แต่เปนรูปอืนๆ เชน รูปวงกลม รูปครึงวงกลม รูปสามเหลียมด้านเทา หรือรูปที ่
่
่
่
่
่
่
็
่
่
่
คล้ายกันแบบอืนๆ เปนต้น แล้ว ‘พื้นที่ A จะเทากับพื้นที่ B บวกกับพื้นที่ C หรือไม เพราะเหตุใด’
็
่
A A A
B A B B B
C C C C


ุ
่
็
่
หรือถ้ารูปสามเหลี่ยมไมเปนรูปสามเหลี่ยมมมฉาก (เปนรูปสามเหลียมมมปานหรือรูป
ุ
้
็
ุ
่
สามเหลียมมมแหลม) แล้วรูปสีเหลียมจัตุรัสบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลียมจะมีความสัมพันธ์กัน
่
่
่
อยางไร นั่นคือ ‘พื้นที่ A และพื้นที่ B บวกกับพื้นที่ C จะมีความสัมพันธ์กันอยางไร เพราะเหตุใด’
่
่
A A
B
C B C


่
้
นอกจากน ไวติน (Whitin. 2004: 129) ยังกล่าวด้วยว่าการตั้งปญหาอยางอิสระด้วยตัว
ั
ี
ั
็
ของนักเรียนเองเปนการพัฒนาความคิดทางสติปญญาและการสืบสวนสอบสวนโดยใช้ความคิดเพื่อ
่
ถามคําถามต่างๆ อยางมีหลักการและเหตุผล คําถามต่างๆ เหล่านั้นเปนผลมาจากข้อความ
็
่
้
ั
คาดการณทีผู้ตั้งปญหาคิดสร้างขึนมา ซึงสามารถท้าทายความคิดและขยายขอบเขตการสํารวจทาง
์
่
คณิตศาสตร์มากขึ้น
๗

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

กิจกรรม 2 (กิจกรรมกลุม กลุมละ 3 คน)
่
่
กิจกรรม 2

ั
็
่
ึ
ปญหาทางคณิตศาสตร์ข้อหนงในหนังสือตําราเรียน (สสวท. 2550: 15 – 16) เปนดังน ้ ี

ึ
‘แพะตัวหน่งเจ้าของใช้เชือกผูกติดไว้ที่โคนเสาของโรงนา ซึ่งมีหญ้า
่
อ่อนเขียวขจีอยูรอบๆ โรงนา ถ้าเชือกที่ผูกแพะนั้นมีความยาว 15 เมตร
้
บริเวณพืนของโรงนามีลักษณะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดกว้าง 6
็
เมตร และยาว 9 เมตร อยากทราบว่าบริเวณที่แพะสามารถกินหญ้าได้
็
้
ุ
มากที่สดนั้นมีพืนที่เปนเท่าไร’

1. จงแก้ปญหาข้างต้น
ั
ั
2. จงตั้งปญหาทีท้าทายมา 1 ปัญหา โดยการปรับขยายข้อมูลหรือเงือนไข
่
่
ั
ของปญหาข้างต้น
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ั
ั
็
นักการศึกษาคณิตศาสตร์หลายทานมองว่าการแก้ปญหากับการตั้งปญหาเปนกระบวนการ
่
่
ที่เกี่ยวข้องสัมพันธ์กันและเปนกิจกรรมทีสําคัญในการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ทั้งนโพลยา (Polya.
ี
้
็
1954) ได้กล่าวว่า กระบวนการเรียนรู้คณิตศาสตร์ผ่านการแก้ปญหานั้น การตั้งปญหานับว่าเป็น
ั
ั
็
่
ั
่
่
่
ึ
ส่วนหนงทีมีความสําคัญและเปนส่วนทีแยกออกจากกันไมได้จากการแก้ปญหา สอดคล้องกับแนวคิด
ั
ของอิงลิช (English. 1998) ทีเสนอความคิดเห็นว่าการแก้ปญหานั้นมักจะมาคูกันกับการตั้งปัญหา
่
่
่
้
่
อยูเสมอซึงเปนพืนฐานทีสําคัญของการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยการตั้งปัญหามีความหมาย
่
็
์
่
่
ั
รวมถึงการสร้างปญหาใหมๆ ขึนมาจากสถานการณทีกําหนดให้ หรือเปนการสร้างปญหาโดยการ
็
้
ั
ั
ปรับขยายเงือนไขของปญหาเดิมทีเคยแก้มาแล้วซึงปญหาทีสร้างยังคงสัมพันธ์กับปญหาเดิมอยูก็ได้
่
่
ั
่
่
ั
่
้
์
ี
นอกจากนบราวน และวอลเทอร์ (Brown; & Walter. 2005: 1-3) มีแนวคิดว่าการแก้ปัญหาสัมพันธ์
่
อยางลึกซึงกับการตั้งปญหาในสองลักษณะคือ
ั
้
่
1) การแก้ปญหาใหมๆ ทีดีซึงต้องใช้การระดมทักษะต่างๆ มากมายในการแก้ปญหา
่
ั
่
ั
่
ั
็
มีความจําเปนอยางยิงทีจะต้องใช้การตั้งปญหาทีดีขึนมาก่อน
้
่
่
่
่
ั
่
2) เมือเราแก้ปญหาจนค้นพบคําตอบแล้วบางครั้งเราอาจจะยังไมเข้าใจนัยสําคัญของ
่
ั
่
่
สิงทีได้ลงมือทําไปจนกว่าเราจะเริมสร้าง ขยาย และวิเคราะห์ปญหาใหมๆ ทีเกียวข้องสัมพันธ์กันกับ
่
่
่
ี
้
้
ื
ั
ปญหาเดิม ทั้งนการตั้งปญหาสามารถชวยให้เราเข้าใจในประเด็นเนอหาต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ได้
่
ั
่
่
่
อยางลงลึกมากขึน และยังชวยให้เราค้นพบประเด็นความรู้ใหมๆ เพิมเติมขึ้นมาอีกได้
่
้
ผลการวิจัยเชิงสังเคราะห์ของซิลเวอร์ (Silver. 1994: 19-28) ในปี ค.ศ.1994 ที่แสดงถึง
การผนวกกันระหว่างการตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์กับกระบวนการสอนและการเรียนรู้ พบว่า การ
ั
้
่
ตั้งปญหาสามารถชวยปรับปรงความสามารถในการแก้ปญหาของนักเรียนได้ ซึงส่วนนถือได้ว่าเรา
ี
ุ
่
ั
ั
็
่
ั
ุ
่
ึ
่
ใช้การตั้งปญหาเปนยทธวิธีการสอนแบบหนงทีชวยปรับปรงความสามารถในการแก้ปญหาของ
ุ
ั
๘

ิ
ุ
ี
นักเรียน และในป ค.ศ.1995 รดนทสกีและคณะ (Rudnitsky A.; et al. 1995) ได้ทําการวิจัยทดลอง
่
ั
กับนักเรียนเกรด 3 และ 4 โดยให้นักเรียนเขียนปญหาต่างๆ ในเรืองการบวกและการลบด้วยตนเอง
้
่
ุ
่
ั
่
พบว่ามีการปรับปรงทีดีขึนเกียวกับความสามารถในการแก้ปญหาและความคงทนของกลุมทดลอง
ซึ่งทําให้คิดได้ว่าเด็กกําลังสร้างความรู้ให้เกิดขึนและสามารถสร้างความรู้ใหมๆ ผ่านประสบการณ ์
่
้
ของตนเองและปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อมรอบๆ ตัวได้
ุ
งานวิจัยทดลองกับนักเรียนอาย 15 ปี ในปี ค.ศ.1985 ของเฟอร์กูสันและแฟร์เบิร์น
่
้
ุ
(Ferguson; & Fairburn. 1985: 504-507) พบในทํานองเดียวกันว่ามีการปรับปรงทีดีขึนเกียวกับ
่
่
ั
ความสามารถในการแก้ปญหาของนักเรียนในกลุมทดลองหลักจากทีนักเรียนได้ผ่านการเรียนรู้โดย
่
ี
ใช้การตั้งปญหามาแล้วเปนเวลากว่า 6 เดือน และจากการวิจัยทดลองในป ค.ศ.1982 ของเวิร์ทซและ
็
ั
ุ
คาห์น (Wirtz; & Kahn. 1982: 48-50) กับนักเรียนตั้งแต่ระดับชั้นอนบาลถึงเกรด 6 จากหลายๆ
โรงเรียน โดยแบ่งกลุ่มตัวอย่างเปน 3 กลุ่ม คือ
็
- กลุ่มที 1 ใช้เพียงปญหาต่างๆ จากหนังสือตําราเรียนเทานั้น
่
ั
่
่
- กลุ่มที 2 ไม่ได้ใช้การเรียนการสอนทั้งหมดในการแก้ปญหา
ั
- กลุ่มที 3 ใช้การเรียนการสอนแบบการตั้งปญหา
่
ั
เมื่อให้ทําการทดสอบด้วยแบบทดสอบมาตรฐานกับนักเรียนทั้งสามกลุ่ม ผลปรากฏว่ากลุ่มที 3 มี
่
คะแนนทีดีกว่าอีกสองกลุ่มอย่างเห็นได้ชัด
่
ี
จากการวิจัยทดลองในป ค.ศ.1999 ของดิคเคอร์สัน (Dickerson. 1999) โดยได้ศึกษาหา
่
ั
ุ
ความสัมพันธ์ของผลการเรียนการสอนทั้งหมดห้าวิธี ทีจะปรับปรงผลสัมฤทธิ์ในการแก้ปญหาของ
่
่
นักเรียน ผลปรากฏว่ามีความแตกต่างอยางมีนัยสําคัญทางสถิติระหว่างนักเรียนทีได้รับการสอนโดย
ุ
่
่
่
ใช้การตั้งปญหากับนักเรียนทีได้รับการสอนทีไมใช้การตั้งปญหา ซึงสนับสนนว่าการเรียนการสอน
ั
่
ั
่
ั
โดยใช้การตั้งปญหาจะให้ผลทีดีกว่า
่
ั
ั
จากแนวคิดเกียวกับความสําคัญของการแก้ปญหาและตั้งปญหาดังกล่าวข้างต้น สรุปได้ว่า
ุ
็
ั
ั
มมมองของนักการศึกษาคณิตศาสตร์ทั้งหลายกล่าวว่า การแก้ปญหากับการตั้งปญหาเปนกิจกรรมที ่
ั
็
่
ุ
สําคัญในการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ การแก้ปญหาควรเปนจดมงหมายหลักและเปนกิจกรรมหลัก
็
ุ
ของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ และการตั้งปญหาสามารถส่งเสริมการสร้างความคิดใหมๆ จาก
่
ั
ประเด็นเนอหาทีมีอยู และขยายความรู้ความเข้าใจในเนอหาทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนออกไปได้
้
้
ื
่
่
ื
ึ
่
้
ั
้
่
้
ี
ุ
็
นอกจากนผลการศึกษาวิจัยหลายชินชีให้เห็นว่าการตั้งปญหาเปนยทธวิธีการสอนทีได้ผลวิธีหนงที ่
สามารถปรับปรุงความสามารถในการแก้ปญหาของนักเรียนได้
ั





๙

1.2 ประเภทของปัญหา



----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
กิจกรรม 3 (อภิปรายทั้งชั้นเรียน)
กิจกรรม 3


ี
้
่
ิ
ก่อนการอบรมในเนอหาเรืองน ให้นสิตลองอภิปรายร่วมกันว่า
ื
้
่
ั
ึ
แบบฝกหัดทีอยูในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ทั่วไปของนักเรียน ใชปญหาทางคณิตศาสตร์
่
่
่
หรือไม เพราะเหตุใด









----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


โดยทั่วไปแล้วบทเรียนคณิตศาสตร์มักถูกออกแบบมาในลักษณะของโจทย์หรืองานทาง
่
ี
็
ึ
้
คณิตศาสตร์ซึงมอบหมายให้นักเรียนฝกทํา งานต่างๆ เหล่านเรามักอ้างว่าเปนปญหาทาง
ั
่
่
็
็
ึ
ึ
คณิตศาสตร์ ซึงมีระดับตั้งแต่เปนแบบฝกหัดเพือใช้ทบทวนหรือฝกฝนการคํานวณ หรือเปนโจทย์
ั
่
ปญหาแบบขั้นตอนเดียว จนกระทั่งถึงงานทีท้าทายซึงมักเรียกว่าเปนปญหาแบบหลายขั้นตอน
่
ั
็
อย่างไรก็ตามเราจะเห็นว่าในหนังสือตําราเรียนคณิตศาสตร์โดยทั่วไปนั้น ไมใชทกปญหาจะเป็น
ั
่
ุ
่
ปัญหาทีแท้จริง แม้แต่โจทย์ปญหาก็มักจะมีขั้นตอนวิธีแก้แบบตรงไปตรงมาซึ่งนักเรียนสามารถทํา
่
ั
ุ
่
ุ
ได้โดยตรงไมสลับซับซ้อนมากนัก ทั้งนเพราะจดมงหมายสําคัญของงานต่างๆ ในหนังสือตําราเรียน
่
ี
้
็
ึ
่
ก็เพื่อเปนการฝกฝนและทบทวนความรู้เฉพาะบทเรียนเรืองนั้นๆ มากกว่าการพัฒนาความสามารถ
ั
ในการแก้ปญหา
้
่
นักการศึกษาคณิตศาสตร์หลายทานได้ชีให้เห็นความแตกต่างของงานทางคณิตศาสตร์
ั
่
่
ระหว่างปญหาทีแท้จริง (Real problem-solving tasks) กับปัญหาทีคุ้นเคย (Routine problem
ึ
ั
่
่
sums) โดยให้ความหมายของปญหาทีคุ้นเคยว่าเปนปญหาในระดับตําซึงมีไว้เพือฝกฝนแค่ในขั้น
็
่
ั
่
ึ
่
็
็
ความรู้ความจําเปนหลัก หรือถ้าพิจารณาในเชิงกระบวนการก็เปนแบบฝกหัดทีต้องการขั้นตอนวิธี
่
แก้แบบตรงไปตรงมาก็ได้คําตอบ แต่สําหรับปญหาทีแท้จริงนั้น เปนปญหาทีต้องการกระบวนการ
็
ั
ั
่
่
ั
ทางสติปญญาในขั้นสูงกว่าซึงมีลักษณะทีสําคัญดังต่อไปน (Foong Pui Yee. 2007: 55)
้
ี
่

๑๐

็
ั
่
1) เปนปญหามีความซับซ้อนและไมใชการคิดตามขั้นตอนวิธี (Non-algorithm thinking)
่
็
็
ั
้
ุ
่
่
2) เปนปญหาทีเนนการวิเคราะห์งานและใช้ยทธวิธีต่างๆ อยางเปนกระบวนการ
ั
่
็
3) เปนปญหาทีส่งเสริมการสํารวจแนวคิด (Concepts) กระบวนการหรือความสัมพันธ์
ทางคณิตศาสตร์
็
ั
่
์
4) เปนปญหาเชิงสถานการณทีท้าทาย น่าสนใจ และกระตุ้นเร้าให้เกิดความพยายาม
่
ทีจะค้นหาคําตอบ

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
กิจกรรม 4 (กิจกรรมกลุม กลุมละ 4 คน)
กิจกรรม 4
่
่

จงศึกษาและอภิปรายว่า ปญหาสามข้อต่อไปน เหมือนกันหรือแตกต่างกัน อยางไร
ี
้
่
ั

ุ
์
่
ุ
่
 เมื่อหาจดตัดของเส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสีเหลียมมมฉากใดๆ ได้แล้ว จงพิสูจนว่า
่
ุ
่
่
่
้
เส้นตรงทีลากผ่านจดตัดดังกล่าวจะแบงพืนทีรูปสีเหลียมมุมฉากนั้นเปนสองส่วน
็
่
่
เทาๆ กัน


่
้
ุ
่
่
่
็
่
ึ
่
่
 จะลากเส้นตรงเส้นหนงทีแบงพืนทีรูปสีเหลียมมมฉากใดๆ ออกเปนสองส่วนเทาๆ กัน
่
ได้อยางไร (หาหลักการและวิธีทั่วไป)


่
้
้
่
่
ึ
่
่
้
 ทศและพี สองพีนองกําลังชวยกันเอาขนมเค้กรูปทรงสีเหลียมมุมฉากชินใหญ่ชินหนง
ออกจากตู้อบและทิงให้ขนมเค้กเย็นซักพักหนงก่อนทีจะตัดแบงกินกันสองคน โดย
่
้
่
ึ
่
่
่
้
การแบ่งจะใช้มีดตัดบนหนาเค้กเพียงแค่ครั้งเดียวเท่านั้นอย่างยุติธรรม ชวงเวลาทีทศ
และพีกําลังรออยูนั้น ทั้งสองคนไม่อยูในห้องทําขนม และเปนเวลาพอดีทีเอก พี่ชาย
่
็
่
่
่
้
็
่
ึ
้
คนโตเข้ามาในห้องและตัดขนมเค้กเปนรูปทรงสีเหลียมมมฉากชินเล็กๆ ชินหนงไปกิน
ุ
่
่
ด้วยความหิวและรีบเรง เอกจึงไมได้คิดทีจะตัดทีมมหรือทีขอบของขนมเค้ก เมอทศ
่
่
ื่
ุ
่
่
่
่
้
และพีกลับมา พวกเขาจะแบงขนมเค้กทีเหลืออยูอยางไร โดยใช้วิธีการตัดบนหนาเค้ก
่
่
่
เพียงแค่ครั้งเดียวอยางยุติธรรม


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๑๑

่
่
ั
นักการศึกษาคณิตศาสตร์ได้แบงประเภทของปญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้เกณฑ์การแบง
ุ
แบบต่างๆ สรปได้ดังตารางต่อไปน ี้

ั
่
การแบงประเภทของปญหาทางคณิตศาสตร์

เกณฑ์การแบ่ง ประเภทของปญหา ลักษณะของปัญหา
ั
ประเภทของปญหา
ั
ุ
ิ
 เมือพิจารณาจาก 1) ปัญหาที่ค้นเคย พบเห็นได้บ่อยๆ ในหนังสือเรียนคณตศาสตร์ทั่วๆ ไป
่
ั
“ผู้แก้ปญหา” เป็นหลัก (Routine problems) ปญหามักเกียวข้องกับการประยุกต์การดําเนนการทาง
่
ั
ิ
่
็
็
ิ
่
็
แบ่งได้เปน 2 ประเภท คณตศาสตร์ มักอยูในรูปโจทย์ปญหาทีเปนถ้อยคําหรือเปน
ั
ั
ั
่
็
่
(Reys; et al. 2004: เรืองราว เปนปญหาทีมีโครงสร้างของปญหาไม่ซับซ้อนมาก
115-117) นัก และคล้ายกับตัวอย่างหรือปญหาทีผู้แก้ปญหามี
ั
่
ั
์
ประสบการณในการแก้มาแล้ว
่
ั
ั
2) ปญหาทีไม่คุ้นเคย มีโครงสร้างซับซ้อน และเปนปญหาแปลกใหม่สําหรับผู้
็
ั
ั
(Non-routine แก้ปญหา ในการแก้ปญหาผู้แก้ปญหาต้องใช้ความรู้ ทักษะ
ั
problems) กระบวนการต่างๆ และประสบการณหลายอย่างประมวล
์
ั
เข้าด้วยกันเพื่อหาวิธีการแก้ปญหา
่
่
่
ั
ั
 เมือพิจารณาจาก 1) ปญหาให้ค้นหา ต้องการให้ผู้แก้ปญหาค้นหาคําตอบซึงอาจอยูในรูปปริมาณ
”จุดมุงหมายของ (Problems to find an วิธีการ หรือคําอธิบายให้เหตุผล
่
ปัญหา” answer)
แบ่งได้เปน 2 ประเภท 2) ปัญหาให้พิสูจน์ เปนปญหาให้แสดงการให้เหตุผลว่าข้อความทีกาหนดให้
่
ํ
็
ั
็
็
็
(Polya. 1957: 23-29) (Problems to prove) เปนจริง หรือข้อความทีกาหนดให้เปนเท็จ
่
ํ
ั
์
่
็
่
ั
่
ั
 เมือพิจารณาจาก 1) ปญหาขั้นตอนเดียว เปนปญหาทีผู้แก้ปญหาต้องแปลงสถานการณทีเป็น
็
่
ิ
”ลักษณะเฉพาะของ (One-step problems) เรืองราวให้เปนประโยคทางคณตศาสตร์เกียวกับการบวก
่
ั
ี
ปัญหา” การลบ การคูณ หรือการหาร ปญหาประเภทนมักพบใน
้
้
็
ั
แบ่งได้เปน 6 ประเภท การเรียนการสอนตามปกติ ยุทธวิธีพืนฐานทีใช้ในปญหา
่
ขั้นตอนเดียวนีคือการเลือกการดําเนินการ
้
(Charles; Lester; & O’Daffer. 1987: 11)
็
2) ปญหาหลายขั้นตอน เปนปญหาทีมีความแตกต่างกับปญหาขั้นตอนเดียวตรงที ่
่
ั
ั
ั
ิ
่
็
(Multiple-step จํานวนของการดําเนนการทีจําเปนในการหาคําตอบมี
่
่
้
ึ
ั
problems) มากกว่าหนงตัว ยุทธวิธีพืนฐานทีใช้ในปญหาหลายขั้นตอน
คือการเลือกการดําเนนการ
ิ
(Charles; Lester; & O’Daffer. 1987: 12)


๑๒

ตาราง (ต่อ)


เกณฑ์การแบ่ง ประเภทของปญหา ลักษณะของปัญหา
ั
ั
ประเภทของปญหา
ิ
ั
ิ
ั
็
3) ปญหาปลายเปด เปนปญหาที่สร้างขึ้นให้มีคําตอบเปดกว้าง หรือมีคําตอบที ่
(Open-ended ถูกต้องหลายคําตอบ หรือมีวิธีการหรือแนวทางหาคําตอบ
problems) ได้หลายวิธี เรามักพบปญหาปลายเปดได้โดยทั่วไปใน
ั
ิ
การสอนในชั้นเรียนตามปกติเมือผู้สอนใช้ถามนักเรียนโดย
่
มีจุดมุงหมายในการพัฒนาความหลากหลายของวิธีการหรือ
่
แนวทางเข้าสูการหาคําตอบของปญหาทีกําหนด
่
่
ั
(NCTM. 1989: 210)
็
ั
่
ั
็
4) ปญหากระบวนการ เปนปญหาทีไม่สามารถแปลงเปนประโยคทางคณิตศาสตร์
ิ
(Process problems) โดยการเลือกการดําเนนการได้ทันที แต่จะต้องใช้
ั
กระบวนการต่างๆ ช่วย เช่น การทําปญหาให้ง่ายลง
ั
็
ั
การแบ่งปญหาออกเปนปญหาย่อยๆ การเขียนภาพหรือ
ั
แผนภาพ การเขียนตัวแบบหรือกราฟแทนปญหา เปนต้น
็
ั
้
ี
การแก้ปญหาประเภทนต้องใช้ยุทธวิธีต่างๆ เช่น
การประมาณคําตอบ การเดาและตรวจสอบ การสร้างตาราง
่
การค้นหาแบบรูป การทําย้อนกลับ เปนต้น ซึงปญหา
็
ั
กระบวนการปญหาหนงอาจใช้ยุทธวิธีการแก้ปญหาได้
ั
่
ั
ึ
หลายแบบ
(Charles; Lester; & O’Daffer. 1987: 12)
ั
่
็
ั
5) ปญหาเชิงประยุกต์ เปนปญหาทีผู้แก้ปญหาจะต้องใช้ทักษะ ความรู้ มโนมติ
ั
ิ
ั
(Applied problems) และการดําเนนการทางคณตศาสตร์แก้ปญหาทีเกียวข้องกับ
ิ
่
่
หรือบางครั้งเรียกว่า ชีวิตจริง ซึงต้องใช้วิธีการต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ เช่น
่
่
ั
ั
ปญหาเชิงสถานการณ ์ การรวบรวมข้อมูลทั้งทีกําหนดในปญหาและอยูนอกปญหา
ั
่
(Situational problems) การจัดกระทํากับข้อมูล เปนต้น ปญหาประเภทนีเปนปญหา
ั
็
ั
็
้
ั
่
ทีสามารถทําให้ผู้แก้ปญหาเห็นประโยชนและคุณค่าของ
์
คณิตศาสตร์ได้
(Charles; Lester; & O’Daffer. 1987: 13)
็
ั
่
6) ปัญหาปริศนา มีลักษณะเปนปญหาทีซ่อนสมมติฐานบางอย่างไว้หรือมี
ิ
ู
่
็
่
(Puzzle problems) ลักษณะเปนลกเลนหรือกลอุบาย ซึงสามารถเปดโอกาส
นักเรียนพัฒนาการคิดอย่างมีวิจารญาณได้โดยไม่
้
จําเปนต้องเนนไปทีเนือหาคณตศาสตร์เสมอไป บ่อยครั้งที ่
็
่
้
ิ
คําตอบต่างๆ ของปญหาปริศนาต้องการให้นกเรียนมี
ั
ั
่
่
ั
มุมมองทีแตกต่างออกไปจากปญหาแบบอืนๆ โดยทั่วไป
(Billstein; Libeskind; & Lott. 1977: 36)
๑๓

้
่
ั
ี
นอกจากน ฟง เปย ยี (Foong Pui Yee. 2007: 56) ได้จัดแบงประเภทของงานและปญหา
ุ
้
่
ทางคณิตศาสตร์ซึงมีลักษณะดังภาพประกอบต่อไปน
ี


งานทางคณิตศาสตร์
(Mathematical Tasks)

โจทย์ที่คุ้นเคย ปัญหา

(Routine Sums) (Problems)


โครงสร้างแบบปด โครงสร้างแบบปลายเปด
ิ
ิ
(Closed Structure) (Open-ended Structure)

โจทย์ที่ท้าทาย ปญหากระบวนการ คําถามปลายเปด ปญหาทีประยุกต์ใช้ การสํารวจทาง
่
ั
ิ
ั
แต่เนอหาเฉพาะ ที่เน้นการใช้ยุทธวิธี แบบสั้น ในชีวิตจริง คณิตศาสตร์
้
ื
(Challenge Sums / (Process Problems / (Short Open-ended (Applied Real-life (Mathematical
content-specific) heuristics-strategies) Questions) Problems) Investigation)


ั
การแบงประเภทของงานและปญหาทางคณิตศาสตร์
่

ที่มา: Foong Pui Yee. 2007. Problem Solving in Mathematics. In Teaching
Primary School Mathematics: A Resource Book. Lee Peng Yee. p.56.


่
จากภาพประกอบข้างต้น พบว่า งานทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถแบงออกได้เปน 2
็
ี
้
กลุ่มใหญ่ๆ ได้แก่ 1) โจทย์ทีคุ้นเคย (ในหนังสือเรียน) และ 2) ปัญหา ทั้งนนักการศึกษาคณิตศาสตร์
่
ั
ั
่
หลายทานได้กําหนดความหมายของปญหาทางคณิตศาสตร์ไว้ว่า ปญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง
่
สถานการณทีมีข้อคําถามเกียวกับคณิตศาสตร์ซึงต้องการให้ค้นหาคําตอบ โดยทีผู้แก้ปญหายังไมรู้
่
่
ั
่
่
์
์
วิธีการหรือขั้นตอนทีจะได้มาซึงคําตอบของคําถามจากสถานการณนั้นในทันทีทันใด (Reys; et al.
่
่
ั
2004: 115, Krulik; & Rudnick. 1993: 6) ซึงจากความหมายของปญหาทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว
่
ึ
่
่
พบว่าปญหาทางคณิตศาสตร์ไม่รวมเอาแบบฝกหัดในหนังสือเรียนทีใช้เพือฝกฝนตามขั้นตอนวิธีหรือ
ึ
ั
ึ
่
่
ั
่
ั
ฝึกทักษะอยางเชนในโจทย์ฝกการคํานวณหรือในโจทย์ปญหาหนงหรือสองขั้นตอน ปญหาทาง
ึ
่
ิ
่
ั
ั
่
คณิตศาสตร์สามารถแบงออกได้อีก 2 กลุ่ม คือ ปญหาทีมีโครงสร้างแบบปด และปญหาทีมีโครงสร้าง
แบบปลายเปด ทั้งนปญหาแบบต่างๆ นั้นมีบทบาทหนาทีแตกต่างกันออกไปในการเรียนการสอน
้
ิ
่
้
ั
ี
่
่
่
คณิตศาสตร์ เชน ในการสอนเพือการแก้ปญหา (Teaching for problem solving) การสอนเกียวกับ
ั
๑๔

่
ั
ั
การแก้ปญหา (Teaching about problem solving) หรือการสอนทีควบคูไปกับการแก้ปญหา
่
่
(Teaching via problem solving) เป็นต้น ซึงจะได้กล่าวถึงรายละเอียดต่อไป
ั
ปญหาทางคณิตศาสตร์ในแต่ละประเภทมีรายละเอียดดังต่อไปนี ้
่
ั
ี
1. ปญหาทมีโครงสร้างแบบป ิ ด
่
็
ิ
่
ั
ปญหาทีมีโครงสร้างแบบปดเปนปญหาทีมีการวางระบบโครงสร้างที่ชัดเจน กล่าวคือ
ั
่
คําตอบทีถูกต้องคําตอบหนงของปญหามักจะถูกกําหนดขึนมาได้จากแนวทางหรือวิธีการแก้ปญหาที ่
ึ
้
่
ั
ั
ั
่
์
ั
่
็
่
เฉพาะเจาะจงบางอยางจากข้อมูลทีจําเปนซึงกําหนดมาให้ในสถานการณปญหา ปญหาประเภทน ้ ี
้
ประกอบด้วยโจทย์ทีท้าทายแต่เนอหาเฉพาะ รวมทั้งปญหากระบวนการทีเนนการใช้ยทธวิธี ในการ
ั
่
่
ุ
้
ื
ั
จัดการกับปญหาประเภทนผู้แก้ปญหามักใช้การคิดเพือมงสู่ผลลัพธ์มากกว่าการสร้างทักษะ
่
ุ่
้
ั
ี
่
่
กระบวนการบางอยางหรือขั้นตอนสําคัญบางอยางในวิธีการให้ได้มาซึงคําตอบ
่
1.1 โจทย์ททาทายแตเนอหาเฉพาะ
้
่
้
ื
ี
่
ั
โจทย์ทีท้าทายแต่เนอหาเฉพาะมักมีบทบาทในการสอนเพือการแก้ปญหา (Teaching
ื
้
่
่
ุ
้
ั
่
for problem solving) โดยเนนการเรียนรู้คณิตศาสตร์สําหรับมงเอาไปใช้ประโยชนในการแก้ปญหา
์
้
ื
่
ภายหลังจากได้เรียนรู้เนอหาเฉพาะทางคณิตศาสตร์ไปแล้ว โจทย์ประเภทนมักนามาใช้เพือประเมิน
ํ
้
ี
ทักษะการคิดวิเคราะห์ขั้นสูงขึน ซึ่งครูผู้สอนมักสอนยทธวิธีเฉพาะทีเรียกว่าวิธีการสร้างตัวแบบ
่
ุ
้
ั
(Model method) ให้กับนักเรียนเพื่อแก้โจทย์ปญหาต่างๆ ทีมีโครงสร้างทีคล้ายๆ กัน ไปสูหัวข้อทาง
่
่
่
่
็
เลขคณิตที่เกี่ยวข้องกัน เชน เรืองจํานวนนับและศูนย์ เศษส่วน และร้อยละ เปนต้น พิจารณา
่
ตัวอย่างปญหาต่อไปน ี้
ั
่
ั
ปญหาเรื่องเศษสวน
3/5 ของนักเรียนห้อง ป.6/1 และ 3/4 ของนักเรียนห้อง ป.6/2 เป็น
่
นักเรียนหญิง ห้องเรียนทั้งสองมีจํานวนนักเรียนหญิงเทาๆ กัน และ
็
ห้อง ป.6/1 มีนักเรียนชายมากกว่าห้อง ป.6/2 เปนจํานวน 8 คน
อยากทราบว่านักเรียนห้อง ป.6/1 มีจํานวนทั้งสินกี่คน
้

ปัญหาเรื่องอัตราสวน
่
็
ในตอนแรก อัตราส่วนของเงินของสมพงษ์กับมนัสเปน 5 : 3 แต่
หลังจากที่สมพงษ์ให้เงินกับมนัสไป 20 บาท แล้วปรากฏว่าทั้งคูมีเงิน
่
เทากันพอดี อยากทราบว่าในตอนแรกมนัสมีเงินอยูกี่บาท
่
่

ปญหาเรื่องร้อยละ
ั
ึ
ร้อยละ 25 ของนักเรียนห้องหน่งที่มี 32 คนเป็นนักเรียนชาย ถ้ามี
ี
้
นักเรียนชายเข้ามาเพิ่มในห้องเรียนนอีก จนทําให้ร้อยละของ
็
นักเรียนชายเพิ่มขึนเปนร้อยละ 40 อยากทราบว่ามีจํานวนนักเรียน
้
ชายเข้ามาเพิ่มในห้องเรียนนกี่คน
ี
้
๑๕

ี
่
้
้
ั
1.2 ปญหากระบวนการทเนนการใชยุทธวิธ ี
ั
่
ุ
ปญหากระบวนการทีเนนการใช้ยทธวิธีมักมีบทบาทในการสอนเกียวกับการแก้ปญหา
้
่
ั
ุ
ํ
(Teaching about problem solving) ซึงเนนการใช้ยทธวิธีแบบต่างๆ นาเข้าสูการสอนและการแก้
้
่
่
ั
็
่
ั
่
่
่
้
่
ปญหาทีไมคุ้นเคย กล่าวคือ ส่วนใหญ่เปนปญหาทีไมได้ชีเฉพาะเจาะจงลงไปว่าอยูในเนอหาหรือ
ื
้
่
่
้
ี
ั
บทเรียนคณิตศาสตร์เรืองใด ปญหาประเภทนจะมีกรณีต่างๆ จํานวนมากเพือให้นักเรียนได้จัดการ
ุ
่
็
และพิจารณา โดยครูผู้สอนใช้เปนประโยชนสําหรับจดมงหมายเพือแสดงกระบวนการต่างๆ ที ่
ุ
่
์
พัฒนาการคิดและยทธวิธีการแก้ปญหาทีหลากหลาย เชน การเดาและตรวจสอบ การมองหาแบบรูป
่
่
ั
ุ
่
ื
้
ี
้
็
็
และการทําย้อนกลับ เปนต้น ทั้งนความรู้ด้านเนอหาคณิตศาสตร์ทีจําเปนสําหรับใช้ในปญหา
ั
ี
่
้
่
้
ี
้
ประเภทนจึงควรใช้ประสบการณก่อนหนานทีมีอยูทั้งหมดของนักเรียน และในบางครั้งครูผู้สอนก็
์
้
ั
ี
ุ
ู
่
ื
สามารถบรณาการยทธวิธีต่างๆ เหล่านเข้าไปในการแก้ปญหาทีสัมพันธ์กันกับเนอหาต่างๆ ได้
้
พิจารณาตัวอยางปัญหาต่อไปน ี้
่
็
ปญหาเปดกับหมู
ั
เกษตรกรคนหน่งนับเปดกับหมูที่เขาเลียงไว้ พบว่า นับหัวทั้งหมดได้
้
ึ
็
10 หัว และนับขาทั้งหมดได้ 26 ขา อยากทราบว่าเกษตรกรเลียงเปด
็
้
ุ
่
กับหมูอยางละกี่ตัว และจะมียทธวิธีที่แตกต่างกันกี่แบบสําหรับใช้
ั
แก้ปญหาน ี ้

ยุทธวิธีทีแตกต่างกันสําหรับใช้แก้ปญหาน เชน
ี้
ั
่
่
1) ใชความรูทางพชคณิต
ี
้
้

D + P = 10
2D + 4P = 26
้
2) เดาและตรวจสอบ แลวสร้างตาราง

ถ้าลอง เปด 5 ตัว และหมู 5 ตัว จะมีขารวมกันได้ 10 + 20 = 30 ขา (มากเกินไป)
็
ถ้าลอง เปด 6 ตัว และหมู 4 ตัว จะมีขารวมกันได้ 12 + 16 = 28 ขา (มากเกินไป)
็
็
ถ้าลอง เปด 7 ตัว และหมู 3 ตัว จะมีขารวมกันได้ 14 + 12 = 26 ขา (พอดี)
แล้วลองสร้างตาราง

เป็ด หมู รวมหัว รวมขา ใชได้หรือไม่
้
5 5 10 10 + 20 = 30 
6 4 10 12 + 16 = 28 
7 3 10 14 + 12 = 26 



๑๖

ี
3) เขยนแผนภาพ






ุ
้
4) การใหเหตผลทางตรรกศาสตร์

็
็
ถ้าหากเปนเปดทั้งหมด (10 ตัว) ก็จะได้ 20 ขา ต้องเพิ่มอีก 6 ขา
่
ซึงเพิมอีก 6 ขา เอามาจาก ขา 3 คู่ของหมู
่
ุ
ดังนั้น สรปว่ามี หมู 3 ตัว และเปด 7 ตัว
็

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
กิจกรรม 5 (กิจกรรมกลุม กลุมละ 2 คน)
่
่
กิจกรรม 5

่
่
ั
1. จงแก้ปัญหาเรืองเศษส่วน ปญหาเรืองอัตราส่วน และปญหาเรืองร้อยละ
่
ั
้
ในหนา ๑๕
ั
2. จงแก้ปญหากระดานหมากรุก ต่อไปน ้ ี
ั
ปญหากระดานหมากรุก
มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูปบนกระดานหมากรุก

ั
ขอแนะนําในการแก้ปญหา: ให้ใช้วิธีการต่างๆ ดังต่อไปนี ้
้
1) ลงมือทาอย่างเปนระบบ
็
ํ
2) มองหาแบบรูป
3) สร้างให้เปนสูตร
็
่
ู
4) พยายามสร้างตัวอย่างแบบต่างๆ ให้งายลง (ดรูปข้างล่าง)
ู
5) สรุปผลทีได้ในรูปตาราง (ดตารางข้างล่าง)
่

พยายามสร้างตัวอย่างให้งายลง
่

จากรูปนี้มีจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป หาได้ 5 รูปใช่หรือไม่

สรุปผลที่ได้ในรูปตาราง

ขนาดของจัตุรัส จํานวนจัตุรัส
2 × 2 5
3 × 3 ?
4 × 4 ?
…
…
8 × 8 ?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


๑๗

่
ั
2. ปญหาทมีโครงสร้างแบบปลายเป ิ ด
ี
่
ั
่
ปญหาทีมีโครงสร้างแบบปลายเปดเปนปญหาทีพร่องในโครงสร้าง นั่นคือมีโครงสร้างไม ่
็
ิ
ั
่
ั
่
่
่
ชัดเจน กล่าวคือ อาจขาดข้อมูลหรือเงือนไขบางอยางในตัวปญหาและไมได้มีเปาหมายทีจะกําหนด
้
ั
ิ
ขั้นตอนวิธีดําเนนการแก้ปญหาแบบตายตัวทีจะรับประกันถึงการได้มาซึงคําตอบทีถูกต้อง ปญหา
่
่
่
ั
ี
้
่
่
ุ
ประเภทนแบงออกได้อีก 3 ประเภท ได้แก่ ปญหาทีประยกต์ใช้ในชีวิตจริง การสํารวจทาง
ั
คณิตศาสตร์ และคําถามปลายเปดแบบสั้น
ิ
์
ั
2.1 ปญหาทประยุกตใชในชวิตจริง
ี
้
่
ี
การแก้ปญหาจากสถานการณต่างๆ ในชีวิตประจําวันมักเริมต้นจากสถานการณของ
่
์
ั
์
็
โลกแห่งความเปนจริงของแต่ละบคคล แล้วมองหาความสัมพันธ์ทีเกียวข้องกันภายใต้แนวคิดทาง
่
่
ุ
่
ั
คณิตศาสตร์ พิจารณาตัวอยางปญหาต่อไปน ี้

ี
้
ั
ปญหาการทาสบาน
ต้องตาต้องการทาสีกําแพงและเพดานห้อง 3 ห้องของบ้านที่อาศัย
โดยเพดานสูงจากพืนห้อง 4 เมตร ถ้าสี 1 ลิตรสามารถใช้ระบาย
้
้
บริเวณที่ต้องการได้ 10 ตารางเมตร ทั้งนสีราคากระปองละ 1,250
๋
ี
่
บาท ต้องตาจําเปนต้องรู้ข้อมูลอื่นๆ อะไรอีกบ้างหรือไม เพื่อใช้ใน
็
ี
้
การทาสีครั้งน จงวางแผนการและงบประมาณให้กับต้องตาสําหรับ
็
้
์
การออกไปซือวัสดุอุปกรณที่จําเปนเพื่อการทาสีในครั้งน ี้

2.2 การสํารวจทางคณิตศาสตร์
่
โดยทั่วไปแล้วเรามักจะนากิจกรรมต่างๆ ทีมีลักษณะแบบปลายเปดมาให้นักเรียนได้
ํ
ิ
็
ั
ื
้
สํารวจและขยายความรู้ในเนอหาคณิตศาสตร์ บางครั้งการสํารวจก็เปนส่วนขยายของการแก้ปญหา
ิ
่
่
ได้เมือกระบวนการเปนแบบปลายเปด ซึงครูผู้สอนอาจพัฒนาการสํารวจทางคณิตศาสตร์ออกไปได้
็
ั
ในแนวทางต่างๆ ทีหลากหลายสําหรับนักเรียนทีมีความสามารถแตกต่างกัน ปญหาประเภทนเปด
้
่
ี
่
ิ
โอกาสให้นักเรียนได้พัฒนาระบบของการสร้างผลลัพธ์จากการสํารวจด้วยตนเอง สร้างตารางข้อมูล
่
เพือมองหาความสัมพันธ์และแบบรูปด้วยตนเอง สร้างข้อความคาดการณ ตรวจสอบ ตัดสินใจ และ
์
ํ
่
ุ
่
นาเสนอในรูปทั่วไปของสิงทีค้นพบได้ด้วยตนเอง นักเรียนควรได้รับการกระตุ้นให้คิดด้วยยทธวิธี
่
แบบอืนๆ โดยใช้การถามคําถาม “จะเกิดอะไรขึน ถ้า...” แล้วให้นักเรียนสังเกตการเปลียนแปลงที ่
้
่
่
เกิดขึ้น พิจารณาตัวอยางปัญหาต่อไปน ี้





๑๘

ั
ปญหาการสํารวจจํานวน
่
เลือกจํานวนนับใดๆ ทีมี 3 หลัก : 123
เขียนเลขโดดแบบย้อนกลับ : 321
ํ
นามาลบกัน 321 – 123 = 198
-----------------------------------------------------------------------------

่
เริ่มทีผลลบข้างต้น : 198
เขียนเลขโดดแบบย้อนกลับ : 891
นามาบวกกัน 198 + 891 = 1,089
ํ
-----------------------------------------------------------------------------
่
ลองจํานวนอืนๆ : 609
906 – 609 = 297
297 + 792 = 1,089
-----------------------------------------------------------------------------
่
จากการสํารวจเกิดอะไรขึนเมือเราเลือกจํานวนนับใดๆ ทีมี 3 หลัก
่
้
่
และเมื่อดําเนินการตามขั้นตอนดังกลาว จะได้คําตอบ คือ 1,089 เสมอใช่หรือไม่

2.3 คําถามปลายเป ิ ดแบบสั้น

่
ิ
ครูผู้สอนสามารถใช้คําถามปลายเปดแบบสั้นได้ในบทบาทของการสอนทีควบคูไปกับ
่
่
ั
การแก้ปญหา (Teaching via problem solving) เพือพัฒนาความเข้าใจเชิงลึกของแนวคิดทาง
่
้
ี
คณิตศาสตร์และการสือสารระหว่างกลุมนักเรียน ลักษณะพิเศษของคําถามปลายเปดแบบนคือเปน
่
็
ิ
่
ั
่
คําถามทีมีคําตอบได้มากมายและสามารถแก้ปญหาได้ในหลายๆ แนวทาง ตัวคําถามไมสลับซับซ้อน
และยงยากมากจนเกินไป แต่มีโครงสร้างแบบเชิงเดียวทีเข้าใจได้ง่าย พิจารณาตัวอยางปัญหาใน
่
่
่
ุ
ตารางต่อไปน ี้

โจทย์ทคุนเคย คําถามปลายเป ิ ดแบบสั้น
ี
่
้
 3 × 4 =   จงหาจํานวนสองจํานวนทีคูณกันได้ 12
่
๊
 มีตุกตา 12 ตัว จัดใส่ถุงถุงละ 3 ตัว  มีตุกตา 12 ตัว จัดใส่ถุงถุงละเท่าๆ กัน
๊
่
่
จะจัดได้กีถุง จะจัดได้กีวิธี อย่างไรบ้าง
้
่
่
้
่
 จงหาพืนทีของรูปสามเหลียมมุมฉาก  จงสร้างรูปสามเหลียมรูปอืนๆ ให้มีพืนที ่
่
่
ต่อไปนี ้ เท่ากับพืนทีของรูปสามเหลียมข้างลางน ้ ี
่
้
่






๑๙

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

กิจกรรม 6 (กิจกรรมกลุม กลุมละ 2 คน)
่
่
กิจกรรม 6

ั
ั
1. จงอภิปรายและแก้ปญหาการทาสีบ้าน และปญหาการสํารวจจํานวน
้
ในหนา ๑๘ และหนา ๑๙
้
2. จงแก้ปัญหาการสํารวจตัวต่อ “ติโตรมิโนส์” ต่อไปน ี้
่
ปัญหาการสํารวจตัวตอ “ติโตรมิโนส์”




1) ติโตรมิโนส์แบบใดทีสามารถสร้างให้เกิดลวดลายเทสเซลเลชั่นได้
่
่
่
้
2) มีรูปร่างทีแตกต่างกันอะไรบ้างทีเกิดจากการต่อประกอบติโตรมิโนส์ทั้งห้าชินน ้ ี
่
ิ
3) นสิตสามารถสร้างรูปสีเหลียมมมฉากขนาด 4 × 5 ด้วยติโตรมิโนส์เหล่านี้
่
ุ
ได้หรือไม ่
4) มีอะไรอีกบ้างทีนสิตค้นพบจากการสํารวจตัวต่อ “ติโตรมิโนส์” น ี้
ิ
่
ั
ั
่
3. จงแก้ปญหา และอภิปรายเกียวกับความแตกต่างของปญหาทั้งสามข้อต่อไปน ี ้
่
 จงหาค่าเฉลียเลขคณิตและมัธยฐานของข้อมูลต่อไปน ี ้
4, 8, 2, 4, 7, 9, 5, 4, 5, 2
ุ
่
่
่
่
ึ
่
 จงหาข้อมูลชดหนงทีมีอยู 10 จํานวน ซึงมีค่าเฉลียเลขคณิตและมัธยฐาน
็
เปน 5 และ 6 ตามลําดับ
ึ
่
 มนัสทําแถบบันทึกข้อมูลชดหนงทีมีจํานวนอยู 10 จํานวนฉีกขาดหายไปครึงหนง
ุ
ึ
่
่
่
่
(ดังรูป) แต่ได้ทําการประมวลผลแล้วว่าค่าเฉลียเลขคณิตและมัธยฐานของข้อมูล
่
้
ี
่
่
ชดดังกล่าวคือ 5 และ 6 ตามลําดับ มนัสจะตกแต่งข้อมูลทีขาดหายไปนอยางไร
ุ


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ั
่
จากแนวคิดเกียวกับประเภทของปญหาดังกล่าวข้างต้น สามารถสรปได้ว่า ครูผู้สอนควร
ุ
่
่
ั
เข้าใจถึงการใช้ปญหาประเภทต่างๆ ตามบทบาทหนาทีทีแตกต่างกันออกไปในการสอนคณิตศาสตร์
้
ได้แก่ ในการสอนเพือการแก้ปญหา (Teaching for problem solving) จะใช้ปญหาประเภท “โจทย์ที ่
่
ั
ั
ั
้
ท้าทายแต่เนอหาเฉพาะ” ส่วนในการสอนเกียวกับการแก้ปญหา (Teaching about problem
่
ื
ั
่
ั
ุ
solving) จะใช้ปญหาประเภท “ปญหากระบวนการทีเนนการใช้ยทธวิธี” “ปญหาทีประยุกต์ ใช้ในชีวิต
้
่
ั
จริง” และ “การสํารวจทางคณิตศาสตร์” และการสอนทีควบคูไปกับการแก้ปญหา (Teaching via
่
่
ั
ั
ิ
problem solving) จะใช้ปญหาประเภท “คําถามปลายเปดแบบสั้น”
๒๐

้
ี่
ั
ั
ื่
ี่
1.3 ความเชอทเกยวข้องกับการแกปญหาและการตั้งปญหา

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
กิจกรรม 7 (กิจกรรมรายบคคล และอภิปรายทั้งชั้นเรียน)
ุ
กิจกรรม 7

้
ื
่
1. ก่อนการอบรมในเนอหาเรืองน ให้นสิตลองสํารวจตนเองเกียวกับความเชือทีเกียวข้อง
่
่
่
้
ี
ิ
่
ั
กับการแก้ปญหาและการตั้งปญหาด้วยคําถาม 15 ข้อต่อไปน โดยทําเครืองหมาย  ลงในช่องว่าง
ี้
่
ั
่
่
่
ิ
ชองใดชองหนงของแต่ละข้อคําถาม ทีตรงกับความคิดเห็นหรือความเชือของนสิตมากที่สุด ทั้งน ้ ี
่
ึ
่
่
็
่
้
ุ
ี
่
ความคิดเห็นและความเชือเหล่านเปนความคิดเห็นหรือความเชือส่วนบคคลซึงไม่มีถูกไมมีผิดแต่
่
อย่างใด

ข้อท ี่ คําถาม เห็นด้วย ไมเห็นด้วย
่
1 ปญหาทางคณตศาสตร์ทุกปญหามีวิธีการแก้ปัญหาได้เพียงวิธีเดียว
ั
ิ
ั
ั
ั
่
ึ
2 ปญหาทางคณตศาสตร์บางปญหาอาจมีคําตอบได้มากกว่าหนงคําตอบ
ิ
ิ
่
ั
3 ปญหาทางคณตศาสตร์ทีดีหาได้จากหนงสือเรียนทั่วไป
ั
ิ
ิ
4 นสิตสนกกับการแก้ปญหาทางคณตศาสตร์ทีท้าทาย
ุ
่
ั
5 นสิตชอบแก้ปญหาทีต้องใช้เวลาในการคิด ซึงไม่ใช่ปญหาที่คิดได้ใน
่
ั
่
ิ
ั
ทันทีทันใด
6 การหาคําตอบได้อย่างถูกต้องและรวดเร็วเปนเปาหมายสําคัญทีสดของ
ุ
้
่
็
ั
การแก้ปญหาทางคณตศาสตร์
ิ
ิ
ิ
ิ
ั
7 ถ้าหากนสิตแก้ปญหาทางคณตศาสตร์ไม่ได้ภายใน 5 นาที แล้วนสิตก็
จะไม่ทําต่อ
ั
8 การเรียนแก้ปญหาทางคณตศาสตร์ ไม่เหมาะกับผู้เรียนทีเรียนออนหรือ
่
ิ
่
ผู้เรียนทีไม่ชอบคณตศาสตร์
่
ิ
ิ
9 นสิตชอบตั้งปญหาทางคณตศาสตร์ด้วยตนเอง
ิ
ั
10 การตั้งปญหาทางคณตศาสตร์เปนหนาทีของผู้สอน ไม่ใช่ผู้เรียน
็
่
ั
้
ิ
ั
ิ
11 นสิตคิดว่าตนเองสามารถตั้งปญหาทางคณตศาสตร์ทีดีได้
่
ิ
ิ
12 นสิตชอบแก้ปญหามากกว่าให้ตั้งปญหา
ั
ั
่
ั
ิ
ิ
่
13 คนทีเกงคณตศาสตร์ มักตั้งปญหาทางคณตศาสตร์ได้ดี
14 คนทีอ่อนคณตศาสตร์ มักตั้งปญหาทางคณตศาสตร์ได้ไม่ดี
ิ
่
ั
ิ
15 ผู้สอนและผู้เรียนไม่ควรเสียเวลาในการตั้งปญหาทางคณตศาสตร์ด้วย
ิ
ั
ั
่
ตนเอง เพราะเราสามารถหาปญหาทีดีได้มากมายจากหนงสือเรียน
ั

ั
ั
2. จงอภิปรายถึงผลการสํารวจความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหา
่
่
่
ดังกล่าวกับเพือนนสิตคนอืนๆ
ิ
่
่

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
๒๑

่
่
่
ั
็
ั
ความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์ถือว่าเปนความคิด
ุ
่
่
เห็นส่วนบคคลทีไม่มีถูกไมมีผิด แต่เราจะมองความเชื่อในลักษณะทีว่าเปนความเชือทีเหมาะสม
่
่
่
็
่
่
หรือไมเหมาะสม ความเชือดังกล่าวส่งผลโดยตรงต่อความสามารถในการปฏิบัติงานทางคณิตศาสตร์
ของนักเรียน
่
่
่
่
นักการศึกษาคณิตศาสตร์หลายทานได้ศึกษางานวิจัยทีเกียวข้องกับความเชือของนักเรียน
ั
ในการแก้ปญหา (Schoenfeld. 1985, Frank. 1988, Ernest. 1989, Thompson. 1992, Kroll; &
ี
Miller. 1993, Lubinski; & Mariani. 1999) ผลจากงานวิจัยเหล่านชีให้เห็นว่านักเรียนหลายคนมี
้
้
่
่
่
่
ั
ความเชือทีไมเหมาะสมเกียวกับการแก้ปญหา เชน
่
่
ั
ุ
่
 เราควรแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์ทกปญหาให้ได้อยางรวดเร็วและอยางถูกทิศทาง
ั
 การหาคําตอบได้อยางถูกต้องและรวดเร็วเปนเปาหมายสําคัญทีสุดของ
่
้
็
่
ั
การแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์
่
่
 มีแนวทางทีถูกต้องเพียงแนวทางเดียวเทานั้นในการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์
ั
่
้
ี
่
่
่
ั
จากความเชือดังกล่าวเหล่านส่งผลให้นักเรียนทีไมรู้วิธีการแก้ปญหาอยางทันทีทันใดเมือ
่
ั
เริมแก้ปญหาก็ไมอยากทีจะแก้ปญหาต่อไป หากนักเรียนแก้ปญหาไมได้ภายในระยะเวลาสั้นๆ แล้ว
่
ั
่
ั
่
่
นักเรียนก็จะไมพยายามทําต่อ และถือได้ว่าเปนผู้ทีขาดสมรรถนะในการแก้ปญหา (NCTM. 2000:
่
็
่
ั
259)
จากงานวิจัยของรงฟา จันท์จารภรณ (Rungfa Janjaruporn. 2005: 127-130) ซึงได้
้
่
่
ุ
์
ุ
่
่
ศึกษาความเชือของนักศึกษาครูคณิตศาสตร์ทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาโดยใช้แบบสอบถามก่อน
ั
่
่
เรียนและหลังเรียนวัดกับนักศึกษาครูในกลุ่มทดลอง พบว่า ความเชือทีเหมาะสมเกียวกับการแก้
่
่
ั
่
ปญหาทีเพิมสูงขึนอยางมีนัยสําคัญทางสถิติ ได้แก่ ความเชื่อทีว่า “การค้นหาคําตอบทีถูกต้องไมใช ่
่
่
้
่
่
่
ั
่
้
่
ั
เปาหมายสําคัญทีสุดของการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์” และ “การแก้ปญหาต่างๆ ทีหลากหลาย
้
ั
่
ประเภทยอมดีกว่าการแก้ปญหาต่างๆ เพียงประเภทเดียวตลอดเวลา” นอกจากน คะแนนมัธยฐาน
ี
่
่
่
่
่
่
ในด้านความเชือทีเหมาะสมทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาของกลุมทดลองไมสูงกว่าคะแนนมัธยฐาน
ั
ของกลุ่มควบคุมอย่างมีนัยสําคัญทางสถิติ
้
ผลของการวิจัยดังกล่าวชีให้เห็นว่าในเรื่องความเชื่อหรือความคิดเห็นส่วนบุคคลนั้นเป็น
เรองเปลียนแปลงได้ยาก สอดคล้องกับแนวคิดของแฟรงค์ (Frank. 1988: 34) ทีกล่าวว่า ความเชือ
ื่
่
่
่
เกียวกับคณิตศาสตร์ของแต่ละคนไมสามารถพัฒนาไปได้ในชวงข้ามวันข้ามคืน นักเรียนจะค่อยๆ
่
่
่
่
่
พัฒนาความเชือของตนไปอยางช้าๆ ซึงต้องใช้ระยะเวลาทีขึนอยูกับลักษณะกิจกรรมคณิตศาสตร์ที ่
่
่
้
่
์
่
ครูจัดวางไว้ให้และมวลประสบการณทีนักเรียนได้รับ
ั
่
่
สําหรับความเชือทีเกียวข้องกับการตั้งปญหาของครูผู้สอนและนักเรียนนั้น จากผลการวิจัย
่
ของนักการศึกษา (Barlow; & Cates. 2006, Aristoklis. 2007) พบว่า ครูผู้สอนและนักเรียนหลาย
คนมีความเชือทีไมเหมาะสมเกียวกับการตั้งปญหา เช่น
่
ั
่
่
่
 การตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์เปนหนาทีของครู ไม่ใชนักเรียน
ั
็
่
้
่
็
่
 ฉันคิดว่าการตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์เปนเรืองทียากเกินไปสําหรับฉัน
่
ั
๒๒

ั
ั
่
 เราไม่ควรเสียเวลาในการตั้งปญหาเพราะว่าเราสามารถหาปญหาทีดีได้มากมาย
จากหนังสือตําราเรียนทั่วไป
ั
ั
การพัฒนาความสามารถในการแก้ปญหาและการตั้งปญหาให้กับนักเรียนนั้นครูผู้สอนควร
่
่
่
่
มีความเชือทีเหมาะสมเสียก่อน จากนั้นจึงค่อยส่งเสริมหรือสอดแทรกความเชือทีเหมาะสมลงไปใน
่
การจัดการเรียนการสอน ตัวอยางความเชือทีเหมาะสมในการแก้ปญหาและการตั้งปญหา เชน
ั
่
่
ั
่
 ปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายๆ ปญหาสามารถแก้ได้ในหลายๆ วิธี
ั
ั
 ปญหาทางคณิตศาสตร์หลายๆ ปญหามีคําตอบได้หลายคําตอบ
ั
 การหาคําตอบได้อย่างถูกต้องและรวดเร็วไม่ใชเปาหมายสําคัญทีสุดของ
่
้
่
ุ
้
ั
่
การแก้ปญหา แต่เปาหมายสําคัญทีสุดคือการเรียนรู้กระบวนการและยทธวิธีใน
การแก้ปัญหา
่
 เราสามารถสร้างสรรค์การตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์ทีดีได้ด้วยตนเอง
ั
่
ั
 การตั้งปญหาอยางอิสระด้วยตัวของเราเอง ช่วยพัฒนาและขยายความเข้าใจที ่
้
่
กว้างขึนในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งยังชวยพัฒนาความคิดสร้างสรรค์
เจตคติและความมั่นใจในการทําคณิตศาสตร์
ั
ั
่
่
่
จากแนวคิดเกียวกับความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหาดังกล่าว
่
ข้างต้น สรปได้ว่า ความเชือทีเกียวข้องกับการแก้ปญหาและการตั้งปญหาของนักเรียนแต่ละคนนั้น
ั
ั
่
่
่
ุ
่
่
่
่
เปลียนแปลงได้ยาก นักเรียนจะค่อยๆ พัฒนาความเชือของตนไปอยางช้าๆ ซึงต้องใช้ระยะเวลาที ่
ขึนอยูกับลักษณะกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ทีครูผู้สอนจัดวางไว้ให้และมวลประสบการณทีนักเรียน
์
่
่
้
่
่
ได้รับ ดังนั้นครูผู้สอนจึงเปนผู้ทีมีบทบาทสําคัญต่อการพัฒนาความเชือทีเหมาะสมให้แก่นักเรียน ซึง
่
่
่
็
่
ครูเองก็ควรมีความเชือทีเหมาะสมเสียก่อน แล้วจึงค่อยส่งเสริมหรือสอดแทรกความเชือทีเหมาะสม
่
่
่
ลงไปในการจัดการเรียนการสอน













๒๓

ี่
หน่วยท 2

ึ
การเสริมและฝกทักษะการแกปญหาและการตั้งปญหา
ั
ั
้

เนื้อหา / กิจกรรม
2.1 กระบวนการและยทธวิธีในการแก้ปญหา
ั
ุ
ิ
2.2 เทคนคการตั้งปัญหา

แนวคิด



ั
็
ั
่
่
1. กระบวนการแก้ปญหาเปนหลักการหรือขั้นตอนการแก้ปญหาอยางกว้างๆ ทีใช้ได้กับ
ุ
่
ั
่
็
่
ํ
ั
แทบทกปญหา โดยกระบวนการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์ทีเปนทียอมรับ และนามาใช้กันอยาง
ั
แพร่หลาย คือกระบวนการแก้ปญหาตามแนวคิดของโพลยา ซึงประกอบด้วยขั้นตอนสําคัญสีขั้นตอน
่
่
ั
่
่
ทีเรียกว่ากระบวนการแก้ปญหาสีขั้นตอนของโพลยา ได้แก่ ขั้นที 1 : ทําความเข้าใจปญหา ขั้นที 2 :
่
ั
่
ั
วางแผนแก้ปญหา ขั้นที 3 : ดําเนนการตามแผน และขั้นที 4 : ตรวจสอบผล ส่วนยทธวิธีการ
ิ
่
ุ
่
่
ิ
ั
แก้ปญหาเปนเทคนคพิเศษเฉพาะทีอาจนาไปใช้ได้กับบางประเภทของปญหาตามความเหมาะสม
ํ
็
ั
่
ํ
็
่
่
โดยยุทธวิธี การแก้ปญหาซึ่งเปนเครืองมือทีสําคัญและสามารถนามาใช้ในการแก้ปญหาได้ดีทีพบได้
ั
ั
ั
่
็
บอยในคณิตศาสตร์ ได้แก่ 1) ลงมือปฏิบัติจริง 2) ใช้แผนภาพ/วาดตัวแบบ 3) แบ่งเปนปญหาย่อย/
็
่
ั
ทําปญหาให้ง่ายลง 4) ค้นหาแบบรูป 5) แจกแจงรายการอยางเปนระบบ/สร้างตาราง 6) เดาและ
ตรวจสอบ/ลองผิดลองถูก 7) ทําย้อนกลับ 8) เขียนเปนประโยคทางคณิตศาสตร์/ใช้ตัวแปร และ 9)
็
้
ั
ุ
่
ี
ึ
่
่
ั
เปลียนมมมอง/นกถึงปญหาทีคล้ายกัน แต่ทั้งนไมได้หมายความว่าปญหาแต่ละปญหาจะสามารถแก้
ั
ุ
ั
ได้ด้วยยทธวิธีเฉพาะทีนาเสนอนเพียงอยางเดียวเทานั้น ปญหาทีไมคุ้นเคยทั้งหลายไมจําเปนต้อง
่
็
่
่
่
ี
้
่
่
ํ
่
็
่
จํากัดให้เปนปญหาทีตรงกับหัวข้อเรืองคณิตศาสตร์เรืองใดเรื่องหนง และไมมีวิธีการแก้ปญหาที ่
ั
่
่
ึ
่
ั
ั
ั
ตายตัวของแต่ละปญหา เราควรคํานงถึงการแก้ปญหาแต่ละปญหาด้วยยทธวิธีทีแตกต่างและที ่
ุ
ึ
่
ั
เปนไปได้มากกว่าเพียงยทธวิธีเดียว
็
ุ
่
2. ครูผู้สอนควรพยายามตั้งปญหาทางคณิตศาสตร์ให้เกียวข้องกับสถานการณในชีวิต
ั
์
ั
จริงของนักเรียน ตั้งปญหาให้นาสนใจและท้าทายความสามารถของนักเรียน และดัดแปลงปญหา
่
ั
่
ปลายปดหรือปญหาทีคุ้นเคยให้เปนปญหาปลายเปดหรือปญหาทีไมคุ้นเคยเพือฝกการคิดและใช้
็
ิ
่
ึ
ั
ั
่
ิ
่
ั
ิ
ั
ั
ิ
ิ
่
ทักษะกระบวนการของนักเรียน โดยใช้เทคนคการตั้งปญหาบางเทคนคได้ เชน เทคนคการตั้งปญหา
ั
ิ
่
แบบให้นักเรียนยกตัวอยาง เทคนิคการตั้งปญหาแบบให้ตัวอยางปญหายอยหลายๆ ปญหา เทคนค
่
่
ั
ั
ั
การตั้งปญหาแบบใช้แนวทางตรงข้ามกับปญหาทีคุ้นเคย และเทคนคการตั้งปญหา “อะไรจะเกิดขึ้น
ั
ั
ิ
่
...ถ้า...ไม...” (What-if-not) เป็นต้น
่

๒๔

้
ี
2.1 กระบวนการและยุทธวิธในการแกปัญหา


ั
่
ี
้
่
กระบวนการแก้ปญหาในทีนเปรียบเสมือนหลักการหรือขั้นตอนการแก้ปญหาอยางกว้างๆ
ั
่
ั
ั
ุ
ุ
่
ิ
ทีใช้ได้กับแทบทกปญหา ส่วนยทธวิธีการแก้ปญหาเปนเทคนคพิเศษเฉพาะทีอาจนาไปใช้ได้กับบาง
ํ
็
ประเภทของปญหาตามความเหมาะสม
ั
่
่
ํ
่
็
ั
กระบวนการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์ทีเปนทียอมรับ และนามาใช้กันอย่างแพรหลาย คือ
กระบวนการแก้ปญหาตามแนวคิดของโพลยา (Polya. 1957: 5 – 6) ซึงประกอบด้วยขั้นตอนสําคัญ
ั
่
สีขั้นตอนทีเรียกว่ากระบวนการแก้ปญหาสีขั้นตอนของโพลยา ได้แก่
่
่
ั
่
ขั้นที 1 : ทําความเข้าใจปญหา
่
ั
ั
่
ขั้นที 2 : วางแผนแก้ปญหา
่
ขั้นที 3 : ดําเนนการตามแผน
ิ
ขั้นที 4 : ตรวจสอบผล
่
้
แต่ละขั้นตอนมีสาระสําคัญ ดังน
ี
ั
่
ขั้นท 1 : ทําความเข้าใจปญหา (Understanding the problem)
ี
็
ั
ี
้
ขั้นตอนนเปนขั้นเริมต้นของการแก้ปญหาทีต้องการให้นักเรียนคิดเกียวกับปญหา และ
่
ั
่
่
ี
้
ุ
ั
ตัดสินว่าอะไรคือสิงทีต้องการค้นหา ในขั้นตอนนนักเรียนต้องทําความเข้าใจปญหาและระบส่วน
่
่
สําคัญของปญหา ซึงได้แก่ตัวไมรู้ค่า ข้อมูลและเงือนไขในการทําความเข้าใจปญหา นักเรียนอาจ
ั
่
ั
่
่
่
ํ
้
่
ุ
ํ
ั
้
พิจารณาส่วนสําคัญของปญหาอยางถีถ้วน พิจารณาซาไปซามา พิจารณาในหลากหลายมมมอง
หรืออาจใช้วิธีต่างๆ ชวยในการทําความเข้าใจปญหา เชน การเขียนรูป การเขียนแผนภมิ หรือ
ั
่
ู
่
ั
การเขียนสาระของปญหาด้วยถ้อยคําของตนเองก็ได้
่
ี
ั
ขั้นท 2 : วางแผนแกปญหา (Devising a plan)
้
่
้
ขั้นตอนนต้องการให้นักเรียนค้นหาความเชือมโยงหรือความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลและ
ี
์
ั
ํ
่
่
ตัวไมรู้ค่า แล้วนาความสัมพันธ์นั้นมาผสมผสานกับประสบการณในการแก้ปญหา เพือกําหนด
ั
ํ
่
แนวทางหรือแผนในการแก้ปญหา และท้ายสุดเลือกยทธวิธีทีจะนามาใช้แก้ปญหา
ั
ุ
ี
่
ขั้นท 3 : ดําเนินการตามแผน (Carrying out the plan)
่
่
้
ขั้นตอนนต้องการให้นักเรียนลงมือปฏิบัติตามแนวทางหรือแผนซึงวางไว้ โดยเริมจาก
ี
การตรวจสอบความเปนไปได้ของแผน เพิมเติมรายละเอียดต่างๆ ของแผนให้ชัดเจน แล้วลงมือ
็
่
ุ
ปฏิบัติจนกระทั่งสามารถหาคําตอบได้ ถ้าแผนหรือยทธวิธีทีเลือกไว้ไมสามารถแก้ปญหาได้ นักเรียน
่
ั
่
็
ั
่
ั
ุ
ต้องค้นหาแผนหรือยทธวิธีแก้ปญหาใหมอีกครั้ง การค้นหาแผนหรือยุทธวิธีแก้ปญหาใหมถือเปน
่
่
การพัฒนาผู้แก้ปญหาทีดีด้วยเชนกัน
่
ั
่
ี
ขั้นท 4 : ตรวจสอบผล (Looking back)
ขั้นตอนนต้องการให้นักเรียนมองย้อนกลับไปยังคําตอบทีได้มา โดยเริ่มจากการ
่
้
ี
ั
ุ
่
ตรวจสอบความถูกต้อง ความสมเหตุสมผลของคําตอบและยทธวิธีแก้ปญหาทีใช้ แล้วพิจารณาว่ามี
๒๕

ั
ุ
่
่
่
คําตอบหรือมียทธวิธีแก้ปญหาอยางอืนอีกหรือไม่ สําหรับนักเรียนทีคาดเดาคําตอบก่อนลงมือปฏิบัติ
ก็สามารถเปรียบเทียบหรือตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคําตอบทีคาดเดาและคําตอบจริงใน
่
ี
้
ขั้นตอนนได้
่
ต่อมาวิลสันและคณะ (Wilson; et al. 1993: 60 – 62) ได้เสนอแนะกรอบแนวคิดเกียวกับ
็
่
่
กระบวนการแก้ปญหาทีแสดงความเปนพลวัต มีลําดับไมตายตัว สามารถวนไปเวียนมาได้ดัง
ั
ภาพประกอบต่อไปน ี้


ทําความเข้าใจ
ั
ตั้งปญหา ปัญหา




ตรวจสอบผล วางแผน
แก้ปัญหา


ดําเนินการ
ตามแผน


ั
้
กระบวนการแกปญหาทเปนพลวัตตามแนวคิดของวิลสันและคณะ
ี
่
็

ที่มา: Wilson; et al. 1993. Mathematical Problem Solving. In Research Ideas for
the Classroom: High School. p.61.


จากภาพประกอบข้างต้นสามารถอธิบายได้ว่า เมือเผชิญปญหาซึงอาจเปนปญหาทีผู้สอน
ั
ั
่
่
่
็
็
่
้
เป็นผู้ตั้งขึนหรือนักเรียนเปนผู้ตั้งขึ้นเองก็ตาม นักเรียนจะต้องเริมทําความเข้าใจปญหาก่อน
ั
ุ
หลังจากนั้นจึงวางแผนแก้ปญหา พร้อมทั้งกําหนดยทธวิธีทีเหมาะสมในการแก้ปญหานั้น แล้ว
่
ั
ั
ิ
่
ดําเนนการตามแผนทีวางไว้ จนกระทั่งสามารถหาคําตอบได้ สุดท้ายพิจารณาความถูกต้อง
่
็
ั
ุ
ความสมเหตุสมผลของคําตอบทีได้และยทธวิธีทีใช้แก้ปญหา สําหรับทิศทางของลูกศรนั้น เปน
่
ึ
่
่
่
ึ
่
การแสดงการพิจารณาหรือตัดสินใจทีจะเคลือนการกระทําจากขั้นตอนหนงไปสูอีกขั้นตอนหนง หรือ
่
พิจารณาย้อนกลับไปขั้นตอนก่อนหนาเมือมีข้อสงสัย เชน เมือนักเรียนทําการแก้ปญหาในขั้นทํา
้
ั
่
่
่
ั
่
ั
่
ความเข้าใจปญหา และคิดว่ามีความเข้าใจปญหาดีแล้ว ก็เคลือนการกระทําไปสูขั้นวางแผนแก้
่
ิ
ั
ปญหา หรือในขณะทีนักเรียนดําเนนการตามแผนซึงวางไว้ในขั้นดําเนนการตามแผน แต่ไม่สามารถ
่
ิ
่
ิ
่
ั
ดําเนนการต่อไปได้ นักเรียนก็อาจย้อนกลับไปเริมวางแผนใหมในขั้นวางแผนแก้ปญหา หรือย้อนไป
ั
ั
ทบทวนทําความเข้าใจปญหาใหม่อีกครั้งในขั้นทําความเข้าใจปญหาก็ได้
๒๖

ื
่
ั
เนองจากกระบวนการแก้ปญหาตามแนวคิดของวิลสันและคณะ เปนการดําเนนการที ่
็
ิ
้
็
เกิดขึนได้ในการแก้ปญหาในชีวิตจริง ดังนั้นนักเรียนจึงไม่จําเปนต้องเริ่มต้นใหม่ในขั้นทําความเข้าใจ
ั
ั
ปญหาเสมอไป เรียกกระบวนการแก้ปญหาตามแนวคิดของวิลสันและคณะว่าเปนกระบวนการ
ั
็
็
่
ั
แก้ปญหาทีเปนพลวัต
สิงหนงทีผู้แก้ปญหาจะต้องกระทําเมือเผชิญกับปญหาคือการเลือกและใช้ยทธวิธีที ่
่
ึ
่
ุ
ั
่
ั
่
เหมาะสมในการแก้ปญหา ในการแก้ปญหาหนงๆ นอกจากผู้แก้ปญหาจะต้องมีความรู้พืนฐานที ่
ั
ั
ั
ึ
่
้
ั
ั
่
เพียงพอและเข้าใจกระบวนการแก้ปญหาดีแล้ว การเลือกใช้ยทธวิธีการแก้ปญหาทีเหมาะสมและมี
ุ
ั
่
่
ั
ึ
็
ั
่
ประสิทธิภาพสูงสุดก็เปนอีกปจจัยหนงทีชวยในการแก้ปญหา ถ้าผู้แก้ปญหามีความคุ้นเคยกับ
ั
ุ
่
ั
ยุทธวิธีการแก้ปญหาต่างๆ ทีเหมาะสมและหลากหลายแล้ว ผู้แก้ปญหาก็จะสามารถคัดเลือกยทธวิธี
ุ
ั
็
่
เหล่านั้นมาปรับใช้ได้ทันที โดยไมต้องเสียเวลาลองผิดลองถูกมากนัก ยทธวิธีการแก้ปญหาซึงเปน
่
ั
ํ
่
่
เครืองมือทีสําคัญและสามารถนามาใช้ในการแก้ปญหาได้ดีทีพบได้บอยในคณิตศาสตร์ (Billstein;
่
่
Libeskind; & Lott. 1997) มีดังน ้ ี
1) ลงมือปฏิบัติจริง
2) ใช้แผนภาพ/วาดตัวแบบ
ั
็
ั
3) แบ่งเปนปญหาย่อย/ทําปญหาให้ง่ายลง
4) ค้นหาแบบรูป
่
5) แจกแจงรายการอยางเปนระบบ/สร้างตาราง
็
6) เดาและตรวจสอบ/ลองผิดลองถูก
7) ทําย้อนกลับ
8) เขียนเปนประโยคทางคณิตศาสตร์/ใช้ตัวแปร
็
ุ
9) เปลียนมมมอง/นกถึงปญหาที่คล้ายกัน
่
ึ
ั
่
ุ
ั
นักเรียนควรเห็นตัวอยางการใช้ยทธวิธีต่างๆ ข้างต้นในการปฏิบัติการแก้ปญหา ซึงครู
่
่
่
ผู้สอนสามารถยกตัวอยางกระบวนการ/ขั้นตอนการแก้ปญหาตั้งแต่เริมต้นจนจบกระบวนการอยาง
่
ั
เปนระบบตามแผนภูมิสายงานดังภาพประกอบต่อไปนได้ (Foong Pui Yee. 2007: 80)
็
ี
้










๒๗

นึกภาพ เริ่ม

จากข้อมูล คําสําคัญ

อ่านปัญหา

ั
ทวนปญหาด้วยภาษาของเราเอง
จัดการข้อมูลที่ได้รับ
อะไรคือสิ่งทีกําหนดให้
่
อะไรคือสิงที่ต้องค้นหา
่

ขอความ ไม่ใช่ เข้าใจแล้ว

ช่วยเหลือจากครู ใช่หรือไม ่ ลงมือปฏิบัติจริง/

ทดลอง
ทําปญหา ใช่ ใช้แผนภาพ
ั
่
ให้งายลง สํารวจและเลือกยุทธวิธี หรือตัวแบบ
แจกแจงรายการ เดาและ
็
อย่างเปนระบบ ค้นหา นึกถึงปญหา ตรวจสอบ
ั
เขียนเปนประโยค แบบรูป ที่คล้ายกัน
็
ิ
ทางคณตศาสตร์
ดําเนินการตามแผนและแก้ปญหา
ั
ใช้ทักษะทางเรขาคณต ใช้ทักษะการคํานวณ
ิ
ใช้เหตุผลเชิงตรรกศาสตร์
ใช้ทักษะและแนวคิดทาง
ิ
ขอความ ไม่ใช่ คําตอบถูกต้องแล้ว คณตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง

ช่วยเหลือ ใช่หรือไม ่
ตรวจสอบและปรับปรุง ใช่ ค้นหาการได้มาซึ่งคําตอบแบบอืนๆ
่
การได้มาซึ่งคําตอบ
ํ
ทาได้ดีมาก


ั
ตั้ง / ขยายปญหา สร้างปญหาใหมที่คล้ายคลึงกัน
ั
่
้
จะเกิดอะไรขึนถ้า......... และลงมือแก้ปญหานั้น
ั

ั
้
แผนภูมิสายงานแสดงกระบวนการ/ขั้นตอนการแกปญหา

ที่มา: Foong Pui Yee. 2007. Problem Solving in Mathematics. In Teaching
Primary School Mathematics: A Resource Book. Lee Peng Yee. p.80.


๒๘

ุ
ั
่
ุ
้
ี
่
ต่อไปนเป็นตัวอยางการประยกต์ใช้ยทธวิธีต่างๆ ในการแก้ปญหาซึงเปนเครืองมือทีสําคัญ
่
่
็
ี
่
ํ
่
ุ
ั
้
และสามารถนามาใช้ในการแก้ปญหาได้ดีที่พบได้บอยในคณิตศาสตร์ทั้ง 9 ยทธวิธี แต่ทั้งนไมได้
หมายความว่าปญหาแต่ละปญหาจะสามารถแก้ได้ด้วยยทธวิธีเฉพาะทีนาเสนอนเพียงอยางเดียว
่
ํ
่
ั
ั
้
ี
ุ
็
่
่
ั
ั
่
เทานั้น ปญหาทีไม่คุ้นเคยทั้งหลายไม่จําเปนต้องจํากัดให้เปนปญหาทีตรงกับหัวข้อเรื่องคณิตศาสตร์
็
ึ
่
่
ั
ึ
่
เรืองใดเรืองหนง และไมมีวิธีการแก้ปญหาทีตายตัวของแต่ละปญหา เราควรคํานงถึงการแก้ปญหา
่
ั
ั
่
็
ุ
่
่
ุ
แต่ละปญหาด้วยยทธวิธีทีแตกต่างและทีเปนไปได้มากกว่าเพียงยทธวิธีเดียว
ั
ี
1. ยุทธวิธลงมือปฏิบัติจริง
็
การลงมือปฏิบัติจริงเปนยทธวิธีแก้ปญหาแบบหนงทีเปนไปตามธรรมชาติ โดยปกติ
ุ
ึ
ั
่
็
่
็
้
่
ุ
อาจทําคร่าวๆ ก่อน ไม่เนนความละเอียดและประณีตเพือให้เห็นภาพรวมของงานทีทํา เปนยทธวิธีที ่
่
ั
ดีทีจะทําให้ผู้แก้ปญหาได้คิดผ่านการกระทําและทําให้มองเห็นภาพของสถานการณทีเปนรูปธรรม
่
่
็
์
เข้าใจง่าย พิจารณาตัวอยางปัญหาต่อไปน ี้
่
ปญหาจับคูชายหญิง
่
ั
นักเรียนกลุมหน่งจํานวน 8 คน เปนนักเรียนชาย 5 คน และนักเรียน
ึ
็
่
่
่
หญิง 3 คน ครูต้องการเลือกนักเรียนชาย-หญิง 1 คูจากนักเรียนกลุม
้
ี
นเพื่อถือพานไหว้ครู จํานวนคูของนักเรียนชาย-หญิงที่แตกต่างกันที่
่
็
เปนไปได้มีทั้งหมดกี่คู
่

ี
ยุทธวิธ: ลงมือปฏิบัติจริง
่
่
่
โดยให้นักเรียนออกมาจับคู แล้วนับกรณีทีแตกต่างทีเปนไปได้ทั้งหมด
็
คําตอบ คือ 15 คู ่

2. ยุทธวิธใช้แผนภาพ/วาดตัวแบบ
ี
์
การใช้แผนภาพ/วาดตัวแบบเปนการอธิบายสถานการณและแสดงความสัมพันธ์ของ
็
่
่
ข้อมูลต่างๆ ของปญหาด้วยแผนภาพหรือตัวแบบ ซึงการใช้แผนภาพหรือตัวแบบจะชวยให้เข้าใจ
ั
้
ั
ั
ปญหาได้ง่ายขึน และบางครั้งก็สามารถหาคําตอบของปญหาได้โดยตรงจากแผนภาพหรือตัวแบบ
นั้น (พิจารณาตัวอยางปญหาติดตั้งสายโทรศัพท์ ในหนา ๓๐)
ั
่
้

3. ยุทธวิธแบ่งเปนปญหาย่อย/ทําปญหาใหง่ายลง
ี
ั
ั
้
็
็
็
ั
ั
ปญหาบางปญหาอาจดูเหมือนเปนปญหาใหญ่ อาจเปนเพราะขนาดของจํานวนหรือ
ั
่
็
ั
่
ความซับซ้อนของปญหา การแบงเปนปญหายอยหรือทําปญหาให้ง่ายลงจะชวยทําให้สามารถ
ั
่
ั
่
ํ
ึ
ั
่
กําหนดแนวคิดในการแก้ปญหาและนาแนวคิดนั้นมาใช้แก้ปญหาทีกําหนดได้ วิธีการหนงของยทธวิธี
ั
ุ
่
นคือการแบงปญหาออกเปนส่วนๆ หรือเริมต้นด้วยปญหาทีมีระดับความซับซ้อนนอยลง บางครั้ง
้
ี
่
ั
่
็
ั
้
การทําปญหาให้ง่ายลงสามารถนาไปใช้เพือให้สามารถค้นหาแบบรูปของคําตอบได้ (พิจารณา
่
ํ
ั
่
ั
ตัวอยางปญหาติดตั้งสายโทรศัพท์ ในหนา ๓๐)
้
๒๙

ี
้
4. ยุทธวิธคนหาแบบรูป
็
่
ั
การค้นหาแบบรูปเปนการวิเคราะห์ปญหาและค้นหาความสัมพันธ์ของข้อมูลทีมี
็
็
ั
่
่
ลักษณะเปนระบบหรือเปนแบบรูปในสถานการณ์ปญหานั้นๆ แล้วคาดเดาคําตอบ ซึงคําตอบทีได้จะ
ี
้
ถูกยอมรับว่าเปนคําตอบทีถูกต้องเมือผ่านการตรวจสอบยืนยัน ยทธวิธีนมักจะใช้ในการแก้ปญหาที ่
ุ
็
่
ั
่
่
่
่
ึ
็
เกียวกับเรืองจํานวนและเรขาคณิต การฝกฝนการค้นหาแบบรูปในเรื่องดังกล่าวเปนประจําจะชวยผู้
ั
่
็
่
แก้ปญหาในการพัฒนาความรู้สึกเชิงจํานวนและทักษะการสือสาร ซึงเปนทักษะทีชวยให้ผู้แก้ปญหา
ั
่
่
่
่
สามารถประมาณและคาดคะเนจํานวนทีพิจารณาโดยยังไมต้องคิดคํานวณก่อน ตลอดจนสามารถ
สะท้อนความรู้ความเข้าใจในแนวคิดทางคณิตศาสตร์และกระบวนการคิดของตนได้ พิจารณา
ตัวอยางปัญหาต่อไปน ี้
่
ั
ปญหาติดตั้งสายโทรศัพท์
ึ
ในหมูบ้านแห่งหน่งมีบ้านเรือนทั้งหมด 20 หลัง ถ้าต้องการติดตั้ง
่
ุ
สายโทรศัพท์ให้โทรติดต่อหากันได้ทกบ้าน อยากทราบว่าจะต้องใช้
สายโทรศัพท์ทั้งหมดกี่เส้น (สายโทรศัพท์ 1 เส้น แทนการเชื่อมต่อ
กันระหว่างบ้าน 2 หลัง)

ยุทธวิธ: ใช้แผนภาพ/วาดตัวแบบ
ี
ั
แบ่งเปนปญหาย่อย/ทําปญหาให้ง่ายลง
ั
็
ค้นหาแบบรูป

1 หลัง 0 เส้น → 0
2 หลัง 1 เส้น → 1
3 หลัง 3 เส้น → 1 + 2
4 หลัง 6 เส้น → 1 + 2 + 3





5 หลัง 10 เส้น → 1 + 2 + 3 + 4


20 หลัง → 1 + 2 + 3 + … + 19 = 190
คําตอบ คือ 190 เส้น







๓๐

็
ี
5. ยุทธวิธแจกแจงรายการอย่างเปนระบบ/สร้างตาราง
็
็
การแจกแจงรายการอยางเปนระบบ/สร้างตารางเปนการจัดระบบข้อมูลโดยแยกเปน
็
่
้
่
่
กรณีๆ ทีเปนไปได้ แล้วอาจนาข้อมูลมาใส่ตาราง โดยตารางทีสร้างขึนจะชวยในการวิเคราะห์หา
่
ํ
็
้
่
ํ
่
่
ความสัมพันธ์อันจะนาไปสูการค้นพบแบบรูปหรือข้อชีแนะอืนๆ ตลอดจนชวยให้ไมหลงลืมหรือ
่
่
่
ั
็
่
ึ
สับสนในกรณีใดกรณีหนงเมือต้องแสดงกรณีทีเปนไปได้ทั้งหมดของปญหา ผู้แก้ปญหาอาจขจัดกรณี
ั
่
่
่
่
่
ทีไม่ใชออกก่อนแล้วค่อยค้นหาระบบหรือแบบรูปของกรณีทีเหลืออยู ซึงถ้าไมมีระบบในการแจกแจง
่
รายการทีเหมาะสมแล้ว ยทธวิธีนก็จะไม่มีประสิทธิภาพ พิจารณาตัวอยางปญหาต่อไปน ี้
้
ี
ั
่
่
ุ
ั
ปญหาการแข่งขันยิงธน ู
ู
โจเปนผู้จัดการแข่งขันยิงธน ซึ่งผู้แข่งขันแต่ละคนจะต้องยิงธน 3 ครั้ง
็
ู
่
ครั้งละ 1 ดอก ถ้าผู้แข่งขันยิงธนครั้งใดไมถูกเปาจะไมนับแต้มให้และ
ู
้
่
ถือว่าตกรอบทันที อยากทราบว่าคะแนนที่เปนไปได้ทั้งหมดจากการ
็
แข่งขันซึ่งโจจะต้องเตรียมบัตรคะแนนไว้มีทั้งหมดกี่แบบที่แตกต่าง
กัน

ยุทธวิธ: แจกแจงรายการอยางเปนระบบ/สร้างตาราง
็
่
ี

คะแนน
แบบที ่
100 50 10 รวม
1 ↑↑↑ 300
2 ↑↑ ↑ 250
3 ↑↑ ↑ 210
4 ↑ ↑↑ 200
5 ↑ ↑ ↑ 160
6 ↑ ↑↑ 120
7 ↑↑↑ 150
8 ↑↑ ↑ 110
9 ↑ ↑↑ 70
10 ↑↑↑ 30

่
คําตอบ คือ 10 แบบทีแตกต่างกัน

ี
6. ยุทธวิธเดาและตรวจสอบ/ลองผิดลองถูก
็
การเดาและตรวจสอบหรือการลองผิดลองถูกเปนการพิจารณาข้อมูลและเงือนไขต่างๆ
่
ทีปญหากําหนด ผสมผสานกับประสบการณเดิมทีเกียวข้องมาสร้างข้อความคาดการณ์ แล้วตรวจ
์
่
่
่
ั
่
สอบความถูกต้องของข้อความคาดการณนั้น ถ้าการคาดเดาไม่ถูกต้องก็คาดเดาใหมโดยอาศัย
์
๓๑

้
็
่
์
ประโยชนจากความไมถูกต้องของการคาดเดาก่อนหนานั้นเปนกรอบในการคาดเดาคําตอบของ
่
ั
่
ั
ปญหาครั้งต่อไป ผู้แก้ปญหาควรคาดเดาอยางมีเหตุผลและมีทิศทาง เพือให้สิงทีคาดเดานั้นเข้าใกล้
่
่
ั
่
่
่
คําตอบทีต้องการมากทีสุด พิจารณาตัวอยางปญหาต่อไปน ี้
ปญหาเติมเลขโดดในวงกลม
ั
้
จงเติมเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ในวงกลมแต่ละวงต่อไปน แล้วทํา
ี
ให้ผลบวกในแนวเส้นตรงทกแนวมีค่าเปน 12
็
ุ


ี
ยุทธวิธ: เดาและตรวจสอบ/ลองผิดลองถูก

คําตอบ คือ


7. ยุทธวิธทําย้อนกลับ
ี
่
็
ั
่
การทําย้อนกลับเปนการวิเคราะห์ปญหาทีพิจารณาจากผลย้อนกลับไปสูเหตุ โดย
เริมต้นจากข้อมูลทีได้ในขั้นตอนสุดท้าย จากนั้นทําย้อนขั้นตอนกลับมาสูข้อมูลทีได้ในขั้นตอนเริมต้น
่
่
่
่
่
่
ั
่
การทําแบบย้อนกลับใช้ได้ดีกับการแก้ปญหาทีต้องการอธิบายถึงขั้นตอนการได้มาซึงคําตอบ
่
ั
พิจารณาตัวอยางปญหาต่อไปน ี้
ปญหาพนกงานเสิร์ฟ
ั
ั
็
เจนทํางานเปนพนักงานเสิร์ฟในร้านอาหารคาราโอเกะ โดยทางร้าน
่
กําหนดค่าแรงต่อชั่วโมงให้ดังน ถ้าทํางานในชวงก่อนเที่ยงคืน ให้
ี
้
่
ค่าแรง 20 บาทต่อชั่วโมง แต่ถ้าทํางานในชวงหลังเที่ยงคืน ให้ค่าแรง
ึ
30 บาทต่อชั่วโมง คืนวันเสาร์วันหน่งเจนทํางานได้ค่าแรงทั้งหมด
160 บาท โดยทํางานจนถึงตี 2 อยากทราบว่าวันนั้นเจนเริ่มทํางาน
ตั้งแต่เวลาเทาไร
่

ี
ยุทธวิธ: ทําย้อนกลับ
โดยนับถอยหลังทีละ 1 ชั่วโมง จากตี 2 และคํานวณจํานวนเงินค่าแรง
ทั้งหมดในแต่ละชั่วโมง



คําตอบ คือ เจนเริมทํางานตั้งแต่เวลา 19.00 น.
่


๓๒

็
ี
ี
8. ยุทธวิธเขยนเปนประโยคทางคณิตศาสตร์/ใชตัวแปร
้
ุ
่
็
ั
ี้
ั
การแก้ปญหาด้วยยทธวิธีนทําโดยการเปลียนประโยคภาษาในปญหาให้เปนประโยค
่
ทางคณิตศาสตร์ หรือสมมุติตัวแปรแทนจํานวนทีไม่ทราบค่า แล้วสร้างความสัมพันธ์ของข้อมูลต่างๆ
่
ั
ั
ตามเงือนไขทีปญหากําหนดกับตัวแปรทีสมมุติขึน แล้วพิจารณาหาคําตอบของปญหาจากความ
่
้
่
่
่
ั
ั
้
สัมพันธ์ทีสร้างขึน ปญหาบางปญหาสามารถสร้างความสัมพันธ์ในรูปสมการหรืออสมการทีสอด
ี
ั
ั
้
คล้องกับปญหาได้ การแก้ปญหาลักษณะนทําได้โดยแก้สมการหรืออสมการ แล้วพิจารณาความ
ั
เปนไปได้จากคําตอบของสมการหรืออสมการนั้น พิจารณาตัวอยางปญหาต่อไปน ี้
่
็
ั
ั
ปญหาหลุมฝงศพ
่
ที่หลุมฝงศพของนักคณิตศาสตร์ทานหน่งชื่อ ไดโอฟานตัส
ึ
ั
(Diophantus, ค.ศ.246 – 330) ได้มีคําจารึกไว้ว่า “ไดโอฟานตัสใช้
่
่
่
ชีวิตในวัยเด็กเทากับ 1/6 ของชีวิตทาน ในวัยหนมเทากับ 1/12 ของ
ุ
่
ชีวิตทาน และหลังจากนั้นอีก 1/7 ของชีวิตท่านอยู่เปนโสด ภรรยา
็
่
ี
ท่านคลอดลูกหลังจากแต่งงานแล้ว 5 ป ลูกของท่านเสียชีวิตก่อน
ท่าน 4 ป ในขณะที่มีชีวิตเท่ากับครึ่งหน่งของชีวิตท่าน” อยากทราบ
ึ
ี
ุ
่
ว่าไดโอฟานตัสเสียชีวิตเมื่ออายได้เทาไร

ยุทธวิธ: เขียนเปนประโยคทางคณิตศาสตร์/ใช้ตัวแปร
ี
็
่
สมมุติให้ไดโอฟานตัสเสียชีวิตเมื่ออายุ x ป และหลังจากมีลูกแล้วทานมีอายอีก y ปี
ุ
ี
ั
ก่อนเสียชีวิต จากปญหาสามารถเขียนเปนสมการได้ว่า
็
(x/6) + (x/12) +(x/7) + 5 + y = x ...........
ั
ี
่
จากปญหาบอกว่าลูกของทานเสียชีวิตก่อนทาน 4 ป แสดงว่าลูกของท่านเสียชีวิตเมือ
่
่
่
่
ี
้
่
่
ึ
่
อายเทากับ y – 4 ปี ซึงค่านเทากับครึงหนงของชีวิตทาน นั่นคือ
่
ุ
y – 4 = x/2 ...........
แก้ระบบสมการ  และ  จะได้ x = 84
่
ุ
คําตอบ คือ ไดโอฟานตัสเสียชีวิตเมืออายได้ 84 ปี

ี
9. ยุทธวิธเปลยนมุมมอง/นกถึงปญหาทคล้ายกัน
ี่
่
ึ
ั
ี
ุ
ุ
็
่
การเปลียนมมมองเปนการเปลียนการคิดหรือมมมองให้แตกต่างไปจากทีคุ้นเคย
่
่
ุ
็
ั
้
ยทธวิธีนอาจเรียกว่าเปนการ “หยดคิดก่อน” (breaking out) เพราะว่าผู้แก้ปญหาต้องหยดคิดมอง
ุ
ี
ุ
ุ
่
ั
ั
ปญหาให้รอบด้าน หาวิธีหรือหามมมองของปญหาใหมซึงอาจแปลกแยกไปจากวิธีปกติธรรมดา สิ่ง
่
สําคัญของยทธวิธีก็คือการเปลียนมมมองการคิดทีแตกต่างไปจากเดิมเพือทําให้แก้ปญหาได้ง่ายขึน
ุ
้
ุ
่
ั
่
่
ั
้
ี
้
ึ
่
่
ั
่
ี
ั
นอกจากนเมือเผชิญกับปญหา สิงหนงทีผู้แก้ปญหาควรกระทําคือการพิจารณาว่าปญหานคล้ายกับ
่
ปญหาทีตนเคยแก้มาก่อนหรือไม ถ้าเปนปญหาทีคล้ายกับปญหาทีเคยแก้มาก่อน หรือมีบางส่วน
่
ั
่
่
ั
็
่
ั
๓๓

ั
ุ
ั
่
ของปญหาคล้ายกับปญหาทีเคยแก้มาก่อน ผู้แก้ปญหาต้องคิดทบทวนถึงวิธีการหรือยทธวิธีทีเคยใช้
ั
่
ุ
ํ
่
ั
่
่
แล้วพิจารณาเพือนามาประยกต์ใช้กับปญหาทีกําลังเผชิญอยู พิจารณาตัวอยางปญหาต่อไปน ี้
ั
่
ปญหา AB เทากับเทาไร
ั
่
่
จากรูปกําหนดให้  AOBD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก OB = 5 หน่วย
่
และ BC = 2 หนวย จงหาว่า AB เท่ากับเท่าไร


ี
ยุทธวิธ: เปลียนมุมมอง
่
่
ุ
่
AB = OD เนองจากเส้นทแยงมมทั้งสองของรูปสีเหลียมมมฉากมีขนาดเท่ากัน
ื
่
ุ
็
OD = OC = 5 + 2 = 7 เนองจากเปนรัศมีของวงกลม
่
ื
ดังนั้น AB = OD = 7 หน่วย
คําตอบ คือ AB = 7 หน่วย

ั
่
ุ
ุ
จากแนวคิดเกียวกับกระบวนการและยทธวิธีในการแก้ปญหาดังกล่าวข้างต้น สรปได้ว่า
่
ั
ั
่
็
ั
ุ
กระบวนการแก้ปญหาเปนหลักการหรือขั้นตอนการแก้ปญหาอยางกว้างๆ ทีใช้ได้กับแทบทกปญหา
ํ
่
่
โดยกระบวนการแก้ปญหาทางคณิตศาสตร์ทีเปนทียอมรับ และนามาใช้กันอยางแพรหลาย คือ
็
่
ั
่
กระบวนการแก้ปญหาตามแนวคิดของโพลยา ซึงประกอบด้วยขั้นตอนสําคัญสีขั้นตอนทีเรียกว่า
ั
่
่
่
กระบวนการแก้ปญหาสีขั้นตอนของโพลยา ได้แก่ ขั้นที 1 : ทําความเข้าใจปญหา ขั้นที 2 : วางแผน
่
ั
่
่
ั
่
ุ
็
ิ
่
ั
ั
แก้ปญหา ขั้นที 3 : ดําเนนการตามแผน และขั้นที 4 : ตรวจสอบผล ส่วนยทธวิธีการแก้ปญหาเปน
ํ
ิ
ุ
่
ั
เทคนคพิเศษเฉพาะทีอาจนาไปใช้ได้กับบางประเภทของปญหาตามความเหมาะสม โดยยทธวิธี
ํ
ั
็
่
ั
การแก้ปญหาซึงเปนเครืองมือที่สําคัญและสามารถนามาใช้ในการแก้ปญหาได้ดีที่พบได้บอยใน
่
่
่
คณิตศาสตร์ ได้แก่ 1) ลงมือปฏิบัติจริง 2) ใช้แผนภาพ/วาดตัวแบบ 3) แบ่งเป็นปญหายอย/ทํา
ั
ปญหาให้ง่ายลง 4) ค้นหาแบบรูป 5) แจกแจงรายการอยางเปนระบบ/สร้างตาราง 6) เดาและ
่
ั
็
ตรวจสอบ/ลองผิดลองถูก 7) ทําย้อนกลับ 8) เขียนเปนประโยคทางคณิตศาสตร์/ใช้ตัวแปร และ 9)
็
ั
ั
้
ี
่
ุ
่
่
ั
เปลียนมมมอง/นกถึงปญหาทีคล้ายกัน แต่ทั้งนไมได้หมายความว่าปญหาแต่ละปญหาจะสามารถแก้
ึ
ี
่
้
่
ํ
ุ
่
่
็
ั
่
ได้ด้วยยทธวิธีเฉพาะทีนาเสนอนเพียงอยางเดียวเทานั้น ปญหาทีไมคุ้นเคยทั้งหลายไมจําเปนต้อง
่
จํากัดให้เปนปญหาทีตรงกับหัวข้อเรืองคณิตศาสตร์เรืองใดเรื่องหนง และไมมีวิธีการแก้ปญหาที ่
็
ั
ั
ึ
่
่
่
่
่
ั
ั
ตายตัวของแต่ละปญหา เราควรคํานงถึงการแก้ปญหาแต่ละปญหาด้วยยทธวิธีทีแตกต่างและที ่
่
ั
ุ
ึ
เปนไปได้มากกว่าเพียงยทธวิธีเดียว
ุ
็

๓๔

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

กิจกรรม 8 (กิจกรรมกลุม กลุมละ 3 คน)
่
กิจกรรม 8
่

ั
้
่
ี
จงแก้ปญหาต่อไปน พร้อมทั้งระบุยุทธวิธีทีใช้
่
ี
้
 กําหนดจํานวนนับ 4 จํานวน ได้แก่ 1, 1, 9 และ 9 ให้นาจํานวนทั้งสีจํานวนนมา
ํ
ิ
่
ิ
ดําเนนการบวก ลบ คูณ หรือหารกัน (เลือกจากสีการดําเนนการนเทานั้น และแต่ละการดําเนนการ
้
ี
่
ิ
็
จะเลือกใช้กี่ครั้งก็ได้) แล้วให้ได้ผลลัพธ์เปน 10

้
่
่
 โดงปาลูกดอก 4 ครั้งบนเปารูปวงกลมทีมีแต้ม
่
คะแนนต่างๆ ดังรูป โดยแต่ละครั้งทีปาลูกดอกจะได้แต้มคะแนนที ่
่
แตกต่างกัน และแต้มคะแนนรวมของโดงเมือปาครบ 4 ครั้งคือ 25
่
จงหาแต้มคะแนนแต่ละครั้งของโด่ง

้
ี
่
 จงเติมเลขโดด 2, 4, 6 และ 8 ในช่องต่อไปน แล้วทําให้ผลคูณมีค่ามากทีสุด


 เมื่อกําหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมใดๆ ให้รูปหนึ่ง

จงสร้างรูปสีเหลียมจัตุรัสแนบในรูปสามเหลียมมมแหลมดังกล่าว
่
่
่
ุ

็
่
ุ
่
  ABCD เปนรูปสีเหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 10 หนวย จุด E, F, G และ H เป็นจด
่
่
็
่
่
่
่
้
่
กึงกลางแต่ละด้าน ดังรูป จงหาว่า  MNKS ซึงเปนรูปสีเหลียมจัตุรัสภายใน มีพืนทีกีตารางหนวย
๓๕

 มดตัวหนึ่งเดินรอบขอบโต๊ะรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งรอบใช้ระยะทางเดินทั้งสิ้น 270
่
็
เซนติเมตร ถ้าความยาวของโต๊ะเปนสองเทาของความกว้างของโต๊ะแล้ว โต๊ะตัวนจะมีขนาดความ
ี้
็
่
กว้างและความยาวเปนเทาไร

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
กิจกรรม 9 (กิจกรรมรายบคคล)
ุ
กิจกรรม 9


่
่
จากปญหาทั้งสีข้อต่อไปน ให้นสิตเลือกทําเพียง 2 ข้อเทานั้น โดยให้เขียนอธิบายวิธีการ
้
ิ
ี
ั
แก้ปญหาอยางละเอียด (ให้เวลา 1 ชั่วโมง 30 นาที)
่
ั

่
่
ึ
ปญหา A วัวตัวหนง เจ้าของใช้เชือกผูกติดไว้ทีกึงกลางรั้วด้านหนงของโรงนา ซึงมีหญ้าอ่อน
ั
่
ึ
่
่
เขียวขจีอยูรอบๆ โรงนา (ดังรูป) ถ้าเชือกทีผูกวัวนั้นมีความยาว 12 เมตร บริเวณ
่
่
พืนของโรงนามีลักษณะเปนรูปสามเหลียมด้านเทา ยาวด้านละ 8 เมตร
่
่
้
็
่
อยากทราบว่า บริเวณทีวัวสามารถกินหญ้าได้มากทีสุดนั้นมีพืนทีเปนเทาไร
่
้
่
็
่





่
ั
ปญหา B มีตารางของจํานวนทีเรียงลําดับอยูตารางหนง โดยแต่ละแถวจะเรียงกัน 7 ตัว
ึ
่
่
(ดังรูป) ถ้าเราลองเอากรอบมุมฉากมาครอบจํานวนทั้งสามให้อยูภายในกรอบ
่
ปรากฏว่าผลบวกของจํานวนทั้งสามเทากับ 1,890
่
่
่
(ตัวอย่างเชน ในรูปจะได้ผลบวกเทากับ 10 + 11 + 18 = 39)
ี
จงหาว่าต้องวางกรอบนในตําแหนงใดและทิศทางอยางไร
้
่
่
๓๖

(กรอบวางครอบได้ 4 แบบ คือ )




















ั
่
่
้
ึ
ปญหา C ในตําบลแห่งหนงมีชางไฟฟา ช่างตัดผม และช่างซ่อมรองเท้า ทั้งสามคนมีชื่อว่า
่
สมปอง สมชาย และสมรักษ์ แต่เราไมรู้ว่าคนไหนมีอาชีพอะไร
บังเอิญว่าในตําบลแห่งนมีผู้ทีเรียนจบปริญญาเอก (ดอกเตอร์) อยู 3 คน ทีมีชือ
่
่
ี
่
้
่
ํ
้
ซากันกับชางทั้งสาม คือ ดร.สมปอง ดร.สมชาย และ ดร.สมรักษ์
่
้
่
ี
เมือได้สอบถามข้อมูลจากกํานันของตําบลแห่งน ทําให้รู้รายละเอียดว่า
่
1. ดร.สมชาย อาศัยอยูใน “หมู่บ้านร่มรื่น”
2. ช่างตัดผมอาศัยอยู่กึงกลางทางพอดิบพอดีระหว่าง “หมูบ้านรมเย็น”
่
่
่
่
่
กับ “หมูบ้านร่มรืน”
3. ดร.สมรักษ์มีรายได้เดือนละ 20,000 บาท พอดิบพอดี
่
่
่
่
4. ดอกเตอร์ทีมีบ้านอยูใกล้ทีสุดกับชางตัดผม มีรายได้เปน 3 เท่าของ
็
ช่างตัดผม พอดิบพอดี
่
่
5. ดอกเตอร์ทีมีชื่อเดียวกันกับช่างตัดผม อาศัยอยู่ในหมู่บ้านรมเย็น
่
6. สมปองเล่นหมากรุกชนะชางไฟฟา
้
อยากทราบว่า ช่างซ่อมรองเท้า ชืออะไร
่


่
ั
่
่
ปญหา D สมพลและสมบัติเปนเพือนรักกัน ทั้งสองคนมีทีดินทีอยูติดกันดังรูป จากรูปให้
่
็
่
ั
็
เปนเส้นแบ่งแยกทีดินทั้งสองฝ่ง
่
วันหนงสมบัติคิดได้ว่า ถ้าแนวเส้นแบงแยกทีดินเปนแนวเส้นตรงเพียงเส้นเดียว
็
่
่
ึ
่
่
์
่
เทานั้น จะทําให้ใช้ประโยชนของทีดินได้คุ้มค่ากว่า จึงไปคุยปรึกษากับสมพลเพือ
่
่
่
่
่
่
เจรจาขอจัดแบงทีดินเสียใหมให้มีแนวเส้นแบงแยกทีดินเพียงเส้นเดียว ซึงสมพล
่
่
้
่
่
ก็เห็นดีด้วย แต่ปญหาอยูทีว่าจะมีวิธีแบงทีดินอยางไรให้ยติธรรม นั่นคือพืนทีของ
่
ั
ุ
่
๓๗

ทีดินของทั้งสองคนยังเทาเดิม
่
่













่
่
ุ
่
นสิตจะมีวิธีแก้ปญหาแบงทีดินให้ยติธรรมได้อยางไร …?
ิ
ั

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



























































๓๘