เซต&เลขยกกำลัง

เซต
&

เลขยกกำลัง

นำเสนอ
อาจารย์รสชกร บุปผาคำ

จัดทำโดย
นายชยุตม์ มีเย็นน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่6/8

เรื่องเซต

ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ

เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”

แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา

เราเรียกสมาชิกของเซต




เซตที่เ
ท่ากัน

เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง

2 เซต

เหมือนกันทุกตัว

เช่น A={1,2,3} B={1,2,3} จะได้ A=B

เซตที่เทียบเท่ากัน
เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน

เช่น A={a,b,c} , B={1,2,3}
จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว

n( A ) = n ( B ) = 3
ดังนั้น A เทียบเท่ากับเซต B

เซตจำกัด

เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน

เช่น A={1,2,3,…,100} จะได้ n(A)=100 A เป็นเซตจำกัด




เซตอนันต์

เซตใดๆ จะเป็นเซตอนันต์ก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากจนหาค่าไม่ได้

เช่น A={1,2,3,…} จะได้ A เป็นเซตอนันต์

เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย เช่น { } = 0

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตจำนวน
ใช้ R แทนจำนวนจริง

Q แทนจำนวนตรรกยะ
I แทนจำนวนเต็ม

วิธีการเขียนเซต

ใช้การแจกแจง ⊂


X=1,2,3 A ={1,2,3} โดย X A
เขียนแบบบอกเงื่อนไขการเขียนเซตแบบกำหนดเงื่อนไขมีวิธีการเขียนดังนี้

1.เขียนวงเล็บปีกกา

2.เขียนตัวแปร

3.เขียนสัญลักษณ์ “ | ” ตามหลังตัวแปร สัญลักษณ์ตัวนี้อ่านว่า โดยที่

4.เขียนข้อความบรรยายเงื่อนไขตัวแปร ซึ่งเป็นเงื่อนไขของการเป็นสมาชิกของเซตนั้น

5.เขียนวงเล็บปีกกาปิด

ตัวอย่างเช่น

A = {X | X เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10}

เมื่อเขียน A ในแบบแจกแจงสมาชิกจะได้ดังนี้

A ={2,4,6,8}

สับเซต
ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า

⊂เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B

⊄เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B

หมายเหตุ

⊂1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A A)
⊂2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (ø A)

⊂3. ถ้า A ø แล้ว A = ø
⊂ ⊂ ⊂4. ถ้า A B และ B C แล้ว A C
⊂ ⊂5. A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A

สมบัติพื้นฐาน

∪∅ ∪A = A , A U = U
∩∅ ∩A = ø , A U = U




∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪A B C = (A B) C = A (B C) = (A C) B
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = (A B) C = A (B C) = (A C) B




∪ ∩ ∪ ∩ ∪A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)




∪ ∩(A´)´ = A (A B)´ = A´ B´
∩ ∪(A B) ´ = A´ B´
∩


A-B = A B´

เพิ่มเติม

⊂A B แล้ว 1. A – B = ø
∩2. A B = A
∪3. A B = B

การหาจำนวนเซตแบบประยุกต์

⊂1) กำหนด n(A) = n , n(B) = m โดยที่ A B
⊂ ⊂จำนวนเซต X ซึ่ง A X B = 2 n(B) – n(A) = 2 m – n เซต

⊂2) กำหนด n(A) = n , n(B) = m โดยที่ A B
⊂จำนวนเซต X ซึ่ง A Ë X แต่ X B = 2 n(B) – 2 n(B) – n

(A) =2 m- 2 m – n เซต

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
1) 2 เซต

∪ ∩– n (A B) = n(A) + n(B) –n(A B)
∪ ∩– n [(A-B) (B-A)] = n(A) + n(B) –2[n(A B)]

2) 3 เซต

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩– n (A B C) = n(A) + n(B) +n(C)-n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)





เลขยกกำลัง (Exponential)

1. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
2. รากที่ ของจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
3. การหาผลบวก ผลต่าง ของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
4. การหา ผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
5. การประมาณค่าของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
6. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

เลขยกกำลัง

ถ้าจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เราจะเขียนจำนวนเหล่านั้นออกมาในรูป

ของเลขยกกำลัง โดยจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำ ๆ จะเรียกว่า “ฐาน” และจำนวนตัวที่

คูณ จะเรียกว่า “เลขชี้กำลัง” เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น เพื่อน ๆ ลองนึกถึงการพับ

กระดาษ 1 แผ่น




พับกระดาษ 1 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน




พับพักบระกดราษะด10าษครั้ง2กรคะดรัา้งษถูกกแรบ่ะงอดอากษเป็ถนูก2แxบ่2งอxอ2กxเป2็นx 22xx2 x2 2=x 42 xส่ว2 นx 2

กระดาษพับซ้อนกัน 1,024 ทบนี่หนามาก ๆ เลย แล=ะใ1,น0ช2
ี4วิตสจ่วรนิง ถ้าต้องเขียน 2 x 2x“เลxข22ยก=xกำล8ั…ง” x 2 ให้ครบตาม
ต้องการก็คงพจับะเกหนรื่อะยดแลาะษเสีย3เวลคามรัา้งก ๆกนรักะคดณิาตษศาถสูตกร์แจึบง่นิงยอมเอขีกยนเอปอ็นกมา2ในรxูปข2อง
สซ่ึ่วงปนระกอบไปด้วย

ฐานและเลขชี้กำลัง เราสามารถเขียน 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังได้ว่า 210

ซึ่ง 2 คือฐาน และ 10 คือเลขชี้กำลัง และจะอ่าน 210 ว่า…
2 กำลัง 10

2 ยกกำลัง 10

หรือ กำลัง 10 ของ 2

เลขยกกำลัง (Exponential)

1. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
2. รากที่ ของจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
3. การหาผลบวก ผลต่าง ของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
4. การหา ผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
5. การประมาณค่าของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
6. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

เลขยกกำลัง

ถ้าจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เราจะเขียนจำนวนเหล่านั้นออกมาในรูป

ของเลขยกกำลัง โดยจำนวนที่คูณตัวเองซ้ำ ๆ จะเรียกว่า “ฐาน” และจำนวนตัวที่

คูณ จะเรียกว่า “เลขชี้กำลัง” เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น เพื่อน ๆ ลองนึกถึงการพับ

กระดาษ 1 แผ่น




พับกระดาษ 1 ครั้ง กระดาษถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน




พับพักบระกดราษะด10าษครั้ง2กรคะดรัา้งษถูกกแรบ่ะงอดอากษเป็ถนูก2แxบ่2งอxอ2กxเป2็นx 22xx2 x2 2=x 42 xส่ว2 นx 2

กระดาษพับซ้อนกัน 1,024 ทบนี่หนามาก ๆ เลย แล=ะใ1,น0ช2
ี4วิตสจ่วรนิง ถ้าต้องเขียน 2 x 2x“เลxข22ยก=xกำล8ั…ง” x 2 ให้ครบตาม
ต้องการก็คงพจับะเกหนรื่อะยดแลาะษเสีย3เวลคามรัา้งก ๆกนรักะคดณิาตษศาถสูตกร์แจึบง่นิงยอมเอขีกยนเอปอ็นกมา2ในรxูปข2อง
สซ่ึ่วงปนระกอบไปด้วย

ฐานและเลขชี้กำลัง เราสามารถเขียน 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังได้ว่า 210

ซึ่ง 2 คือฐาน และ 10 คือเลขชี้กำลัง และจะอ่าน 210 ว่า…
2 กำลัง 10

2 ยกกำลัง 10

หรือ กำลัง 10 ของ 2

เลขยกกำลัง ฐาน และเลขชี้กำลัง

จำนวนที่สามารถเป็นฐานได้มีหลายรูปแบบ เช่น จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ เศษส่วน ทศนิยม ยกตัวอย่างเช่น 24 (-2)4
(เลขยกกำลัง-เศษส่วน)2 0.45

ข้อสังเกต: อ่านไม่เหมือนกัน ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน
ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่

(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16
ลบสองยกกำลังสี่

-24 = – (2 x 2 x 2 x 2) = -16
จะเห็นว่า (-2)4 มีค่าไม่เท่ากับ -24 แค่ใส่วงเล็บ ผลลัพธ์ก็ต่างกันแล้ว ดังนั้นเพื่อน ๆ ต้องระวังการใส่วงเล็บให้ดีนะ เราลอง

มาดูตัวอย่างอื่น ๆ เพิ่มกันดีกว่า
54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

(5)4 = (5)(5)(5)(5) = 625
-54 = -(5 x 5 x 5 x 5) = -(625) = -625
(-5)4 = (-5)(-5)(-5)(-5) = (25)(25) = 625
กรณีนี้ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ สำหรับฐานที่เป็นจำนวนลบ จะเห็นว่า (-5)4 เท่ากับ 54 แต่ไม่เท่ากับ -54 อย่าลืมสังเกตให้ดี
นะว่าเครื่องหมายลบอยู่ข้างในหรือข้างนอกวงเล็บ

53 = 5 x 5 x 5 = 125
-53 = -(5 x 5 x 5) = -125
(-5)3 = (-5)(-5)(-5) = -125
กรณีนี้ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ สำหรับฐานที่เป็นจำนวนลบ จะเห็นว่า (-5)3 เท่ากับ -53 แต่ (-5)3 ไม่เท่ากับ 53

*ข้อสังเกต*
ถ้าฐานเป็นจำนวนลบ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ > ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ
ถ้าฐานเป็นจำนวนลบ เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ ​> ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก

กรณีเลขชี้กำลัง n เป็นจำนวนเต็มบวก



⋯ตัวan=a×a×a×a× ×a⏟n ตัว
≠กรณีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มลบ เมื่อฐาน a 0



a0=1,a−n=1an
กรณีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน



a1n=anamn=amn

สมบัติเลขยกกำลัง

สูตรผลคูณ-ผลหารของเลขยกกำลังฐานเดียวกัน



กรณีกำลังซ้อนกันสองชั้นขึ้นไปโดยไม่มีวงเล็บ ให้คำนวณจากบนลงล่าง เหมือนกับสูตรที่สอง



สูตรกระจายกำลังเข้าไปในผลคูณ-ผลหาร



สูตรกระจายกำลังเข้าไปในราก

การจัดรูปเลขยกกำลัง

การจัดรูปเลขยกกำลัง มีจุดประสงค์เพื่อจัดให้เลขยกกำลังของเราอยู่ในรูปอย่างง่าย



รูปอย่างง่ายของเลขยกกำลัง หมายถึงเลขยกกำลังที่



1.เลขชี้กำลังทุกตัวเป็นบวก
2.รวมเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันเอาไว้ด้วยกัน