รูปเล่มสถิติการวัดและประเมินผล

บทที่10 สถิติเบื้องต้นส ำหรับกำรวัดและประเมินผล เสนอ รองศำสตรำจำรย์ ดร. ธนำนันต์ กลุไพบุตร จัดท ำโดย 1.นำงสำวนิศำชล สมบูรณ์ รหัสนักศึกษำ 65723713222 2.นำงสำวจิรำวรรณ อุปโคตร รหัสนักศึกษำ 65723713225 3.นำงสำวสุรำงคณำ สุริยะมำตร์ รหัสนักศึกษำ 65723713226 หลักสูตรประกำศนียบัตร สำขำวิชำชีพครู หมู่ 2 มหำวิทยำลัยรำชภัฎสกลนคร

สำรบัญ เนื้อหำ หน้ำ 1. ควำมหมำยของสถิติ………………………………………………………………………………………………………1 2. สถิติเบื้องต้นส ำหรับกำรวัดและกำรประเมินผล.…………………………………………………………………….3 การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution) ……………………………………………………………………….3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (Measure of Central Tendency) …………………………………………….6 3. กำรวัดต ำแหน่งและกำรเปรียบเทียบ……………………………………………………………………………….15 อัตราส่วน ……………………………………………………………………………………………………………………………15 ร้อยละ…………………………………………………………………………………………………………………………………15 เปอร์เซนไทล์………………………………………………………………………………………………………………………..16 4. กำรวัดกำรกระจำย (measure of variability)……………………………………………………………….17 พิสัย (range)………………………………………………………………………………………………………………………..18 ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (quartile deviation)…………………………………………………………………………..18 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation หรือ Average Deviation)…………………………………………….21 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน (Standard Deviation and Variance) ………………….22 สัมประสิทธิ์ความผันแปร (Coefficient Variance) ………………………………………………………………….26 5. คะแนนมำตรฐำน………………………………………………………………………………………………………….27 Z - score…………………………………………………………………………………………………………………………….27 T – score……………………………………………………………………………………………………………………………27 6. กำรตัดเกรด………………………………………………………………………………………………………………...29 ระบบของเกรด……………………………………………………………………………………………………………………..29 รูปแบบของการก าหนดเกรด ………………………………………………………………………………………………...30 วิธีการตัดเกรด………………………………………………………………………………………………………………………36 ข้อดีข้อเสียของการตัดเกรดแต่ละประเภท………………………………………………………………………………..43 แนวโน้มการตัดเกรดเพื่อคุณภาพของผู้เรียน……………………………………………………………………………..44 สรุป………………………………………………………………………………………………………………………………...46 บรรณำนุกรม……………………………………………………………………………………………………………………47

1 สถิติเบื้องต้นส ำหรับกำรวัดและประเมินผล 1. ควำมหมำยของสถิติ การประเมินทั่วไปมีขั้นตอนส าคัญขั้นตอนหนึ่ง คือการวิเคราะห์ข้อมูลและการน าเสนอผลการ วิเคราะห์ที่ต้องใช้สถิติประเภทต่างๆ มาช่วยเป็นด าเนินการโดยทั่วไปแล้วในช่วงที่ผ่านมา การประเมินและการ วิจัยในประเทศไทยส่วนใหญ่เป็นเชิงปริมาณจึงต้องใช้สถิติมาช่วยในการวิเคราะห์ เช่น เพื่อบรรยายและ น าเสนอข้อมูล ทดสอบเพื่อตัดสินผลการประเมินหรือทดสอบสมมุติฐานและตรวจสอบคุณภาพเครื่องมือ เนื่องจากสถิติมีหลายประเภทแต่ละประเภทก็เหมาะสมกับข้อมูลที่จะน ามาใช้ใช้วิเคราะห์ต่างกันจึงต้องเลือกใช้ ให้ถูกต้อง เพื่อให้ผลการวิเคราะห์มีความแม่นย า น่าเชื่อถือมากที่สุดสถิติเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลในการประเมิน นั้นจะแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ สถิติเชิงบรรยายและสถิติเชิงอ้างอิงในที่นี้เห็นว่าสถิติเข้ามาใช้ ประโยชน์ เกี่ยวข้องกับการประเมินได้ 4 ลักษณะ หรือ 4 ประเภท คือ ใช้บรรยายและน าเสนอข้อมูล ใช้ทดสอบ เพื่อตัดสิน ผล การประเมิน ซึ่งไม่ค่อยใช้กันมากนักและใช้ตรวจสอบหาคุณภาพเครื่องมือ และอาจมีการทดสอบ ชุดฝึก หรือหลักสูตรต่างๆที่ใช้ในโครงการฝึกอบรมบ้าง โดยภาพรวมแล้วสถิติที่ใช้ก็จะเป็นสถิติ ง่ายๆ ในบทนี้จะ กล่าวถึงสาระทั่วๆไปเกี่ยวกับสถิติ ได้แก่ ความหมายของสถิติ ประเภทของ สถิติ และสถิติที่ใช้กันมากในการ ประเมิน ดังนี้ เมื่อกล่าวถึงค าว่า “สถิติ” คนทั่วไป มักจะนึกถึงตัวเลขจ านวนมากๆตารางสูตร หรือสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ มีลักษณะแปลกเกินกว่าที่จะท าความเข้าใจ แต่ความจริงเราสามารถใช้ความรู้ความเข้าใจในเรื่องสถิติที่ เป็น พื้นฐานมาสัมพันธ์กัน ก็สามารถน าไปใช้ให้เป็นประโยชน์ได้ เช่น การใช้ข้อมูลสถิติที่เป็นตัวเลขแสดงข้อเท็จจริง ช่วยในการตัดสินใจวางแผนการด าเนินงาน การสรุปปัญหา และการแก้ปัญหาต่างๆ ปัจจุบันสถิติ ได้เข้าไปมี บทบาทในการด าเนินชีวิตของคนเราเป็นอย่างมากจนไม่อาจหลีกเลี่ยงได้ไม่ว่าจะเป็นด้านธุรกิจ การค้าขาย อุตสาหกรรม เกษตรกรรม การมีความรู้ทางด้านสถิติย่อมอ านวยประโยชน์ในการท างานและ การศึกษาอย่าง มาก ดังจะเห็นได้ว่าหลักสูตรการศึกษาในสาขาวิชาต่างๆ ส่วนใหญ่จะมีวิชาที่เกี่ยวกับสถิติอยู่ เสมอ สถิติ (Statistics) มาจากภาษาเยอรมันว่า Statistik มีรากศัพท์มาจาก Stat หมายถึง ข้อมูล หรือ สารสนเทศ ซึ่งจะอ านวยประโยชน์ต่อการบริหารประเทศใน ด้านต่างๆ เช่น การท าส ามะโนครัว เพื่อจะทราบ จ านวนพลเมืองในประเทศทั้งหมด ในสมัยต่อมาค าว่า สถิติ ได้หมายถึง ตัวเลขหรือข้อมูลที่ได้จากการเก็บ รวบรวม เช่น จ านวนผู้ประสบอุบัติเหตุบนท้องถนน อัตราการเกิดของเด็กทารก ปริมาณน้ าฝนในแต่ละปี เป็น ต้น สถิติในความหมายที่กล่าวมานี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า ข้อมูลทางสถิติ (Statistical data) อีกความหมายหนึ่ง สถิติ หมายถึง วิธีการที่ว่าด้วยการเก็บรวบรวมข้อมูล การน าเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และการ ตีความหมายข้อมูล สถิติในความหมายนี้เป็นทั้งวิทยาศาสตร์และศิลปศาสตร์ เรียกว่า "สถิติศาสตร์" สถิติ มีควำมหมำยโดยกว้ำง 2 ประกำร คือ 1.สถิติหมายถึง ตัวเลขหรือข้อเท็จจริงเกี่ยวกับเรื่องต่าง ๆ ที่เก็บรวบรวมได้ เช่น ปริมาณ น้ าฝนที่ตก ในเขตกรุงเทพมหานครปี 2554 สถิติการน าเข้าและส่งออกน้ ามันปาล์ม สถิติจ านวน ผู้ส าเร็จการศึกษาใน ระดับปริญญาตรีปี 2554 สถิติการเกิดอุบัติเหตุบนท้องถนน เป็นต้น 2.สถิติ หมายถึง ศาสตร์ที่ว่าด้วยวิธีการที่ใช้ในการศึกษาข้อมูล หรือระเบียบวิธีการทางสถิติ (Statistical Method) ซึ่งประกอบด้วย การเก็บรวบรวมข้อมูล การน าเสนอข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล และ การแปลความหมายข้อมูล (พิสณุ ฟองศรี. 2549: 269)

2 สถิติแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ 2.1 สถิติพรรณนำ (Descriptive Statistics) เป็นสถิติที่ใช้อธิบายคุณลักษณะของสิ่งที่ ต้องการ ศึกษากลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ไม่สามารถอ้างอิงไปยังกลุ่มอื่นๆได้ สถิติที่อยู่ในประเภทนี้ เช่นค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน ค่า ฐานนิยม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าพิสัย ฯลฯ ตัวอย่างสถิติบรรยายหรือสถิติพรรณนา (ภัทรสินี ภัทรโกศล. 2550 : 2) 1) จากการศึกษาการสาเหตุของการเสียชีวิตของผู้ป่วยสตรีในโรงพยาบาลด่านขุนทด ระหว่างปี พ.ศ. 2540 - พ.ศ. 2548 พบว่าอัตราการเสียชีวิตของผู้ป่วยสตรีที่มากเป็นอันดับสอง มีสาเหตุมา จาก โรคมะเร็งเต้านม ซึ่งคิดเป็นร้อยละ 38 ของสตรีที่เสียชีวิตในโรงพยาบาลแห่งนี้ 2) จากการศึกษาภูมิประเทศที่เป็นพื้นที่ป่าของประเทศไทยในปี พ.ศ. 2541 พบว่า พื้นที่ป่า ของ ประเทศไทยถูกท าลายไปเกินกว่า 20% ของพื้นที่ป่าที่ศึกษาในปี พ.ศ. 2539 3) จากการศึกษาระดับเอชดีแอล-คอเรสเตอรอล (HDL-Cholesterol) ในกลุ่มตัวอย่าง จากการศึกษา ระดับเอชดีแอล-คอเรลเตอรอล จ านวน 50 คนที่รักษาระดับคอเรสเตอรอลด้วยการออกกาลัง กายประจ าเป็น ระยะเวลา 1 ปี พบว่า ระดับเอชดีแอล-คอเรสเตอรอลในเลือดจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 75 mg/dl รูปแบบของสถิติพรรณนานจะสังเกตได้จากตัวอย่างว่าเป็นการเก็บและใช้ข้อมูลจากกลุ่มที่ ศึกษา ทั้งหมด โดยการสรุปผลจะไม่มีการอ้างอิงไปยังกลุ่มประชากรอื่นๆ เช่น การศึกษาพื้นที่ป่าในประเทศ ไทยเป็น การศึกษาจากประชากรจริง (ประชากรในที่นี้ คือ พื้นที่ป่าทั้งหมดของประเทศ) ไม่มีการเลือกตัวอย่าง หรือ การศึกษาระดับเอชดีแอล-คอเรสเตอรอล ก็จะสรุปผลเฉพาะกลุ่มที่ศึกษาเพียง 50 คน เท่านั้น ไม่มีการ อ้างอิง ไปยังกลุ่มประชากรอื่นๆ ทั้งสิ้น เป็นต้น 2.2 สถิติอ้ำงอิง (Inferential Statistics) เป็นสถิติที่ใช้อธิบายคุณลักษณะของสิ่งที่ต้องการ ศึกษา กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งหรือหลายกลุ่ม แล้วสามารถอ้างอิงไปยังกลุ่มประชากรได้ โดยกลุ่มที่น ามาศึกษาจะต้องเป็นตัว แทนที่ดีของประชากร ตัวแทนที่ดีของประชากรได้มาโดยวิธีการสุ่มตัวอย่าง และตัวแทนที่ดีของประชากร เรียกว่ากลุ่มตัวอย่าง ตัวอย่างสถิติอ้างอิงหรือสถิติอนุมาน 1) การศึกษาพฤติกรรมของผู้ป่วยโรคปวดศีรษะไมเกรนในโรงพยาบาลของรัฐ 3 แห่ง ในประเทศไทย เป็นระยะเวลากว่า 5 ปี มีจ านวนผู้ป่วยอาสาสมัครเข้าร่วมโครงการวิจัยนี้จ านวน 15,000 คนสามารถสรุป ผลได้ว่าสาเหตุหลักของโรคปวดศีรษะไมเกรน คือ ความเครียดที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องตลอดระยะเวลาของ ท างาน 2) กระทรวงศึกษาธิการต้องการก าหนดมาตรฐานการศึกษาของนักเรียนในระดับประถมศึกษาให้เป็น มาตรฐานเดียวกันทั่วประเทศ ดังนั้น ทางกระทรวงศึกษาธิการ จึงด าเนินการทดสอบเด็กนักเรียนในชั้นเรียน ต่างๆทั่วประเทศ โดยการเลือกโรงเรียนที่จะต้องทดสอบ ผลปรากฏว่า คะแนนเฉลี่ยของการทดสอบข้อเขียน วิชาสิ่งแวดล้อมและสังคมนั้นนักเรียนจากโรงเรียนในเขตชุมชนห่างไกลสามารถท าคะแนนสอบได้สูงกว่า นักเรียนในเขตชุมชนเมือง 20% แต่ในส่วนของคะแนนเฉลี่ยของการทดสอบวิชาวิทยาศาสตร์ พบว่านักเรียน จากโรงเรียนในเขตชุมชนห่างไกลสามารถท าคะแนนสอบได้ต่ ากว่านักเรียนในเขตชุมชนถึง 45% ทางกระทรวง ศึกษาจึงสรุปผลว่ามาตรฐานการเรียนสายวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนในเขตชุมชนเมืองสูงกว่าโรงเรียนในเขต ชุมชนห่างไกล แต่มาตรฐานการเรียนสายสิ่งแวดล้อมและสังคมของโรงเรียนในเขตชุมชนห่างไกลจะสูงกว่า โรงเรียนในเขตชุมชนเมือง

3 3)ในการศึกษาผลกระทบของการรับประทานฮอร์โมนของสตรีหลังหมดประจ าเดือนของสูตินารีแพทย์ รายหนึ่ง ซึ่งการศึกษาจะกระท าโดยการเลือกผู้ป่วยสตรีที่ไม่มีประจ าเดือนแล้วจากโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง เป็น จ านวน 500 คน หลังจากนั้นแพทย์จะให้กลุ่มตัวอย่างนี้ได้รับฮอร์โมนบ ารุงร่างกายเป็นระยะเวลา 5 ปี ผล จาก การศึกษาพบว่า ผู้ป่วยสตรีในกลุ่มตัวอย่างมีการป่วยด้วยโรคมะเร็งเต้านมหลังจากการรับฮอร์โมนเกินกว่า 2 ปี เป็นจ านวนมากกว่า 75% ดังนั้น แพทย์จึงสรุปผลว่า การรับฮอร์โมนเกินกว่า 2 ปี จะเป็นสาเหตุของการ เกิด มะเร็งเต้านมในสตรีได้ รูปแบบของสถิติอนุมานนี้จะสังเกตได้จากตัวอย่างว่าเป็นการเก็บและใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง เช่น มี การก าหนดกลุ่มประชากรของการทดสอบการให้ฮอร์โมนแก่สตรีหลังจากหมดประจ าเดือน แต่การศึกษา กระท าเพียงกลุ่มตัวอย่างที่มาตรวจรักษา ณ โรงพยาบาลเพียงแห่งเดียวแต่ผลที่สรุปนั้นเป็นผลที่พิจารณาสรุป รวมไปถึงผลกระทบที่จะเกิดขึ้นในกลุ่มประชากรดังกล่าวเป็นต้น สถิติอ้างอิงสามารถ แบ่งออกได้เป็น 2 ประเภท (สุมารี จันทร์, 2547 : 2) 1) สถิติมีพารามิเตอร์ (Parametric Statistics) เป็นวิธีการทางสถิติที่ จะต้องเป็นไปตามข้อตกลง เบื้องต้น 3 ประการ ดังนี้ 1.ข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้จะต้องอยู่ในมาตรอันตรภาคขึ้นไป (Interval Scale) 2.ข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้จากกลุ่มตัวอย่างจะต้องมีการแจกแจงเป็นโค้งปกติ 3.กลุ่มประชากรแต่ละกลุ่มที่น ามาศึกษาจะต้องมีความแปรปรวนเท่ากันสถิติที่อยู่ ในประเภท นี้ เช่น t – test, Z – test, ANOVA, Regression ฯลฯ 2) สถิติไร้พารามิเตอร์ (Nonparametric Statistics) เป็นวิธีการทางสถิติ ที่สามารถน ามาใช้ได้โดย ปราศจากข้อตกลงเบื้องต้นทั้ง 3 ประเภทข้างต้น สถิติที่อยู่ในประเภทนี้ เช่น ไคสแควร์, Median Test, Sign test ฯลฯ 2. สถิติเบื้องต้นส ำหรับกำรวัดและกำรประเมินผล ในการวัดและประเมินผลครูผู้สอนต้องเลือกใช้สถิติให้ ถูกต้องส าหรับการวิเคราะห์ผลที่ได้จากการวัด ซึ่งจะท าให้การประเมินผลมีความถูกต้องเชื่อถือได้และสามารถ น าผลการประเมินไปใช้ปรับปรุงหรือพัฒนาการ เรียนการสอน การแนะแนว หรือการบริหารจัดการศึกษาให้มี ประสิทธิภาพยิ่งขึ้น ดังนั้นครูและผู้เกี่ยวข้องกับการประเมินควรได้เรียนรู้เรื่องต่อไปนี้ การน าข้อมูลมาวิเคราะห์ทางสถิตินั้นประกอบด้วย 4 ขั้นตอน คือการเก็บรวบรวมข้อมูล การวิเคราะห์ ข้อมูล การน าเสนอผลการวิเคราะห์ข้อมูล และการแปลผล โดยที่ข้อมูลที่จะน ามาวิเคราะห์ทางสถิติได้นั้นต้อง เป็นข้อมูลเชิงปริมาณ ข้อมูลที่รวบรวมได้มาแล้วแต่ยังไม่ได้น ามาจัดระเบียบ หรือจัดกระท าด้วยวิธีการใดๆ เรียกว่าข้อมูลดิบ (Raw data หรือ Raw score)เพื่อให้ข้อมูลดิบมีความหมายยิ่งขึ้นจึงมีการใช้สถิติส าหรับ วิเคราะห์ข้อมูล สถิติเบื้องต้นส าหรับการวัดและประเมินผลที่ครูควรรู้ ได้แก่ การแจกแจงความถี่ การวัด แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง การวัดการกระจาย มีรายละเอียดน าเสนอ ดังนี้ 1. กำรแจกแจงควำมถี่ (Frequency Distribution) ข้อมูลดิบเป็นข้อมูลที่เก็บมาโดยไม่ได้จัดระบบให้เป็นหมวดหมู่ กล่าวคือ ตัวเลขที่มีค่าสูงและที่มีค่าต่ า ปะปน กัน ซึ่งถ้ามีข้อมูลจ านวนมากจะท าให้การอ่านข้อมูลไม่ชัดเจน จึงมีการน าข้อมูลมาจัดระเบียบใหม่ เรียกว่าการ แจกแจงความถี่ การแจกแจงความถี่มี 2 ชนิด คือ

4 1.1 แบบไม่จัดหมวดหมู่ข้อมูล (Ungrouped data) วิธีนี้มีล าดับขั้นการท าดังนี้ 1) เรียงคะแนนจากมากไปน้อย หรือ น้อยไปมาก 2) ขีดรอยคะแนน (Tally) และนับรอยคะแนนใส่ตัวเลขในช่องความถี่ ตัวอย่ำง 1 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 30 คน ได้คะแนนดังนี้ 38 38 44 43 36 43 47 49 36 43 50 41 44 43 36 42 39 44 43 45 49 35 39 48 41 40 40 45 48 43 วิธีท ำ เรียงคะแนน ขีดรอยคะแนน น ามาแจกแจงความถี่ ได้ดังตาราง 1 ตำรำง 1 ตำรำงแจกแจงควำมถี่คะแนนวิชำคณิตศำสตร์(แบบแจกแจงเป็นคะแนนเดียว) คะแนน (X) รอยขีด ควำมถี่ (f) 50 / 1 49 // 2 48 // 2 47 / 1 45 // 2 44 /// 3 43 ////// 6 42 / 1 41 // 2 40 // 2 39 // 2 38 // 2 36 /// 3 35 / 1 Σ f=30

5 1.2 แบบจัดหมวดหมู่ข้อมูล (Grouped Data) ในกรณีที่มีข้อมูลจ านวนมากการแจกแจงความถี่ จะต้องใช้ตารางที่มีบรรทัดมาก ไม่กะทัดรัด จึงนิยมจัดข้อมูลเป็นช่วงคะแนนซึ่งมีวิธีท าดังนี้ 1) หาพิสัย (Range) คือความแตกต่างระหว่างคะแนนสูงกับคะแนนต่ าสุด พิสัย = คะแนนสูงสุด – คะแนนต่ าสุด 2) ก าหนดจ านวนชั้นคะแนนที่ต้องการ 3) หาช่วงความกว้างของแต่ละชั้นหรืออันตรภาคชั้น (Interval) จากสูตร 4) เขียนขีดจ ากัดของคะแนนโดยขึ้นต้นด้วยชั้นของคะแนนสูงไปจนถึงชั้นของคะแนนต่ า 5) ขีดรอยคะแนนแล้วนับจ านวนรอยขีดใส่ในช่องความถี่ ตัวอย่ำง 2 จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 1 มีวิธีท าดังนี้ การก าหนดช่วงคะแนนอาจเริ่มต้นจากคะแนนสูงสุดหรือต่ าสุดก็ได้ แต่ต้องครอบคลุมข้อมูลทุกจ านวน เช่น จากน้อยไปมาก ได้แก่ ช่วงคะแนน 35-37, 38-40, 41-43, 44-46, 47-59, 60-62 จากมากไป น้อยได้แก่ช่วงคะแนน 48-50, 42-44, 39-41, 36-38, 33-35 น าคะแนนมาแจกแจงความถี่ได้ดัง ตาราง 2 ตำรำง 2 ตำรำงแจกแจงควำมถี่คะแนนวิชำคณิตศำสตร์ (แบบแจงแจงเป็นอันตรภำคชั้น) คะแนน (X) รอยขีด ควำมถี่ (f) 50-48 ///// 5 47-45 /// 3 44-42 /////////// 10 41-39 ////// 6 38-36 ///// 5 35-33 / 1 Σ f=30

6 2. กำรวัดแนวโน้มเข้ำสู่ส่วนกลำง (Measure of Central Tendency) เป็นการหาค่ากลาง เพื่อ เป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด ค่ากลางที่นิยมใช้คือ ฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ย 2.1 ฐำนนิยม (Mode) ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีซ้ าากันมากที่สุด หรือข้อมูลที่มีความถี่สูงที่สุดในข้อมูลชุดหนึ่งๆ มีวิธีการ หา ดังนี้ 1) กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ วิธีการหาฐานนิยม โดยพิจารณาข้อมูลตัวใดซ้ ากันมากที่สุด ข้อมูลตัวนั้นก็คือฐานนิยม เช่น ข้อมูลชุดที่ 1 6 5 7 8 9 7 8 ข้อมูลชุดที่ 2 1 5 3 8 9 2 4 ข้อมูลชุดที่ 3 6 3 6 8 7 3 4 ข้อมูลชุดที่ 1 ฐานนิยมคือ 8 ข้อมูลชุดที่ 2 ไม่มีฐานนิยม และข้อมูลชุดที่ 3 มีฐานนิยม 2 ค่า คือ 6 และ 3 2) กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 2.1) กรณีที่มีการแจกแจงความถี่แบบคะแนนเดียวการหาค่าฐานนิยมโดยพิจารณาดูว่า ข้อมูลตัวใดมีมากที่สุด ข้อมูลนั้นก็คือฐานนิยม 2.2) กรณีที่มีการแจกแจงความถี่แบบอันตรภาคชั้นใช้สูตรค านวณ ดังนี้

7 ตัวอย่ำง 3 จงหาฐานนิยมของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ ปรากฏดังตารางแจก แจงความถี่ ดังนี้ วิธีท า พิจารณาชั้นที่มีฐานนิยมอยู่คือชั้นที่มีความถี่สูงสุดคือ 14 – 20 มีความถี่ 8 จะได้ L = 13.5 d1 = 8 – 5 = 3 d2 = 8 – 4 = 4 i = 7 ดังนั้น ฐานนิยมของคะแนนวิชาหลักการวัดและประเมินผลคือ 16.5 ฐานนิยมเป็นวิธีหาค่ากลางข้อมูล ที่อยู่ตั้งแต่มาตรานามบัญญัติขึ้นไป 2.2 มัธยฐำน (Median) มัธยฐานเป็นข้อมูลที่อยู่ในต าแหน่งตรงกลางของข้อมูลที่เรียงค่าข้อมูลแล้วมีวิธีหาดังนี้ 1. กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ เมื่อข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่หาค่ามัธยฐานได้ดังนี้ 1.1) หาต าแหน่งมัธยฐานโดยใช้สูตร 1.2) เรียงคะแนนหรือค่าของข้อมูลที่ก าหนด 1.3) หาค่าข้อมูลที่อยู่ ณ ต าแหน่งที่มัธยฐานที่ได้จากมัธยฐานของ

8 ตัวอย่ำง 4 ข้อมูลชุดที่ 1 20 18 14 10 17 22 ข้อมูลชุดที่ 2 30 15 17 28 32 17 19 หามัธยฐานของข้อมูลชุดที่ 1 โดยหาต าแหน่ง = = 3.5 ข้อมูลที่ เรียงแล้วคือ 10 14 17 18 20 22 ดังนั้นค่ามัธยฐานคือ ต าแหน่ง 3.5 นั่นคือต าแหน่งที่อยู่กึ่งกลางของสองค่ารวมกันแล้วหารสอง ดังนั้นค่ามัธยฐาน มัธยฐานของข้อมูลชุดที่ 2 คือค่าที่อยู่ในต าแหน่งกึ่งกลางข้อมูลชุดที่ 2 คือต าแหน่งที่ 4 ดังนั้นค่ามัธย ฐานคือ 19 2.กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 2.1) กรณีที่มีการแจกแจงความถี่แบบค่าเดียว วิธีการหาค่ามัธยฐาน โดยหาค่าความถี่สะสมของแต่ละชั้นแล้วค านวณหาต าแหน่ง ของมัธย ฐานจากว่าเป็นข้อมูลตัวใด ข้อมูลนั้นก็คือ มัธยฐาน ตัวอย่ำง 5 จงหาค่ามัธยฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของผู้เรียนจากตาราง แจกแจงความถี่ที่ ก าหนดให้ดังนี้ วิธีท ำ 1. หาความถี่สะสม (F)ของแต่ละชั้น 2. หาต าแหน่งมัธยฐาน 3. หาคะแนนที่มีต าแหน่งที่ 35.5 คือ คะแนนที่อยู่ตรงกลางระหว่าง ต าแหน่งที่ 35 กับ 36 นั่นเอง คะแนนที่มีต าแหน่งที่ 35.5 คือ

9 ดังนั้น ค่ามัธยฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ คือ 29 2.2) กรณีที่มีการแจกแจงความถี่แบบอัตรภาคชั้นใช้สูตรค านวณดังนี้ เมื่อ Mdn แทน ค่ามัธยฐาน L แทน ขีดจ ากัดล่างของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ i แทน อันตรภาคชั้น N แทน จ านวนข้อมูลทั้งหมด F แทน ความถี่สะสมของคะแนนในชั้นก่อนถึงชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ f แทน ความถี่ของคะแนนในชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ ตัวอย่ำง 6 จงหาค่ามัธยฐานของคะแนนวิชาภาษาไทยของนักเรียนจากตาราง แจกแจงความถี่ที่ ก าหนดให้ดังนี้ วิธีท ำ 1. ค านวณค่าต าแหน่งมัธยฐาน 2. หาคะแนนที่มีต าแหน่งที่ 20 อยู่ในชั้น 24-28 ซึ่งมีค่า L = 23.5 i = 5 F = 10 f = 12 3. แทนค่าในสูตร = 23.5 + 4.17 = 27.67

10 กล่าวโดยสรุป มัธยฐานเป็นวิธีการหาค่ากลางของข้อมูลที่มีการวัดอยู่ในมาตรเรียงอันดับซึ่งเหมาะกับ ข้อมูลที่เบ้ไปทางใดทางหนึ่ง หรือข้อมูลที่ทราบแต่ช่วงกลางๆ ไม่ทราบค่าสูงและค่าต่ า 2.3 ค่ำเฉลี่ย (Mean) ค่าเฉลี่ยมีชื่อหลายชื่อ ได้แก่ คะแนนเฉลี่ย ตัวกลางเลขคณิต และมัชฌิมเลขคณิตหาได้โดยน าข้อมูล ทุกค่ามารวมกันแล้วหารด้วยจ านวนข้อมูลทั้งหมดมีวิธีการหาในแต่ละกรณีดังนี้ ตัวอย่ำง 7 จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนของนักเรียนจากข้อมูลที่ก าหนด ดังนี้ 14 19 14 14 19 16 16 ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนกลุ่มนี้คือ 16 2) กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 2.1) กรณีที่มีการแจกแจงความถี่แบบค่าเดียว 1) กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ ใช้สูตร

11 ตัวอย่ำง 8 จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนวิชาภาษาอังกฤษ ดังนี้ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของคะแนนวิชาภาษาอังกฤษ คือ 29.90 2.2)กรณีที่มีการแจกแจงความถี่แบบอันตรภาคชั้นการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลในกรณีที่มีการจัด หมวดหมู่ข้อความสามารถหาได้ 2 วิธี คือ 1) ใช้สูตรเดียวกับ ข้อ 2.1 กรณีที่ไม่มีการจัดหมวดหมู่ข้อมูลโดยให้ X เป็นคะแนนจุดกลางชั้น (Midpoint) ซึ่งหาได้โดยเข้าขีดจ ากัดล่างและขีดจ ากันบนรวมกันแล้วหารด้วย 2 แล้ว หาค่าเฉลี่ยโดยใช้สตูร เดิม คือ

12 ตัวอย่ำง 9 จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ ดังนี้

13 ใหม่จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของข้อมูลเดิมลบด้วยค่าคงที่ คือ 4) ถ้าเอาค่าคงที่ไปหารข้อมูลแต่ละตัวของข้อมูลชุดหนึ่งแล้ว ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุด ใหม่จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดเดิมหารด้วยค่าคงที่นั้น คือ ตัวอย่ำง 10 จากข้อมูลต่อไปนี้ จงหาค่าเฉลี่ยโดยวิธีลัด 3) ถ้าเอาค่าคงที่ไปลบข้อมูลแต่ละตัวของข้อมูลชุดหนึ่งแล้วค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุด

14 กำรเปรียบเทียบฐำนนิยม มัธยฐำน และค่ำเฉลี่ย ได้ดังนี้ 1. ในกรณีที่ข้อมูลชุดเดียวกัน มีค่าเฉลี่ย = ค่ามัธยฐาน = ค่าฐานนิยม จะมีการแจกแจงเป็นปกติ ดัง ปรากฏในภาพ 2. ในกรณี ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม จะมีการแจกแจงเบ้ซ้าย 3. ในกรณีฐานนิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย มีการแจกแจงที่เบ้ขวา

15 4. กรณีมีข้อมูลมาก ๆ ต้องการหาค่ากลางอย่างรวดเร็ว ควรใช้ฐานนิยม แต่ถ้าข้อมูลมีความ ผิดปกติหรือ แตกต่างกันมาก หรือมีการแจกแจงเป็นรูปโค้งเบ้ไปทางใดทางหนึ่งควรใช้ค่ามัธยฐาน 5. ในกรณีข้อมูลมีการแจกแจงเป็นรูปโค้งเบ้ ควรน าเสนอค่ากลางทุกค่าดีกว่าเลือกใช้เพียงค าเดียว หาก การแจกแจงเป็นรูปโค้งปกติ หรือใกล้ปกติควรใช้ค่าเฉลี่ย 3. กำรวัดต ำแหน่งและกำรเปรียบเทียบ ความหมายของการวัดต าแหน่งและการเปรียบเทียบ การวัดต าแหน่งและการเปรียบเทียบ เป็นวิธีการหาค่าที่ระบุต าแหน่งของข้อมูล หรือแสดง การ เปรียบเทียบระหว่างข้อมูล อาทิ อัตราส่วน ร้อยละ และเปอร์เซนไทล์ เป็นต้น 3.1 อัตรำส่วน อัตราส่วน (Ratio) เป็นการน าข้อมูลเชิงปริมาณ 2 ตัว/กลุ่ม มาเปรียบเทียบในลักษณะของ ข้อมูลหนึ่ง เป็นกี่เท่าของข้อมูลอีกสิ่งหนึ่ง หรือ ข้อมูลที่สนใจต่อข้อมูลทั้งหมด ดังสูตรค านวณ อัตรำส่วน หรือ ข้อมูลทั้งหมดข้อมูลที่สนใจ ดังแสดงตัวอย่างการค านวณหาอัตราส่วนของข้อมูลในตัวอย่างที่ 5.1 ตัวอย่ำงที่ 6.1 จ านวนผู้เรียนในห้องทั้งหมด 30 คน เป็นเพศชาย 12 คน เป็นเพศหญิง 18 คน จงหา อัตราส่วนของเพศหญิงต่อเพศชาย หรืออัตราส่วนของเพศหญิงหรือเพศชายต่อผู้เรียนทั้งหมด วิธีท ำ อัตราส่วนของเพศหญิง ต่อเพศชาย เท่ากับ หรือ 3 : 2 อัตราส่วนของเพศชาย ต่อผู้เรียนทั้งหมด เท่ากับ หรือ 2 : 5 อัตราส่วนของเพศหญิง ต่อผู้เรียนทั้งหมด เท่ากับ หรือ 3 : 5 3.2 ร้อยละ ร้อยละ (Percentage) เป็นอัตราส่วนที่เทียบจ านวนที่สนใจกับกับจ านวนทั้งหมดที่เป็น จ านวนเต็ม ร้อย โดยสามารถใช้ได้กับข้อมูลในระดับอัตราส่วน ดังสูตรค านวณ ร้อยละ = ข้อมูลทั้งหมดข้อมูลที่สนใจ × 100 ดังแสดงตัวอย่างการค านวณหาร้อยละของข้อมูลในตัวอย่างที่ 5.2

16 ตัวอย่ำงที่ 2 จ านวนผู้เรียนในห้องทั้งหมด 30 คน เป็นเพศชาย 12 คน เป็นเพศหญิง 18 คน ให้หาร้อยละของ ผู้เรียนเพศหญิงหรือเพศชายต่อผู้เรียนทั้งหมด วิธีท า ร้อยละของเพศหญิง ต่อผู้เรียนทั้งหมด เท่ากับ % หรือ ร้อยละ 40 ร้อยละของเพศชาย ต่อผู้เรียนทั้งหมด เท่ากับ % หรือ ร้อยละ 60 ในการใช้ร้อยละเพื่อน าเสนอข้อมูลควรระมัดระวัง ดังนี้ 1.จ านวนเต็มที่ใช้เทียบเป็นส่วนเท่ากับหนึ่งร้อย เพื่อให้การแสดงข้อมูลมีความหมายแต่พฤติกรรมของมนุษย์ที่ ไม่ควรเทียบเป็นหนึ่งร้อยเนื่องจากพฤติกรรมของมนุษย์ในแต่ละช่วง มีอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ เท่ากัน 2.ร้อยละของจ านวนที่มีฐานต่างกัน (ก่อนที่จะเปลี่ยนเป็นร้อยละ) จะน ามาบวก ลบ และหาค่าเฉลี่ย ไม่ได้ 3.ไม่นิยมใช้ร้อยละที่มีค่าเกิน 100 หรือกรณีที่มีฐานเป็นจ านวนน้อยๆ แต่จะใช้การเปรียบเทียบใน ลักษณะ ของสัดส่วนจะเหมาะสมกว่า 4.การใช้ร้อยละจะท าให้ความคลาดเคลื่อนที่มีอยู่แล้วเพิ่มมากยิ่งขึ้น อาทิ ผู้เรียนได้คะแนน 15 * 2 แสดงว่า ได้คะแนนจริงระหว่าง 13 ถึง 17 คะแนน แต่ถ้าขยายเป็นร้อยละจะท าให้ ความคลาดเคลื่อน + 2 เพิ่มขึ้นด้วย 3.3 เปอร์เซนไทล์ เปอร์เซนไทล์ (Percentile) เป็นต าแหน่งของข้อมูลที่ระบุให้ทราบว่ามีข้อมูลที่ต่ ากว่า ข้อมูลนั้น ๆ คิดเป็นร้อยละเท่าไร อาทิ สมศักดิ์ สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้คะแนน 75 คะแนนคิดเป็นเปอร์เซนไทล์ที่ 80 หมายความว่า ในจ านวนผู้เรียน 100 คนมีผู้เรียนที่ได้ต่ ากว่าสมศักดิ์ 80 คน มีขั้นตอนวิธีการค านวณหา เปอร์เซนไทล์ ดังนี้ 5.3.1 เรียงล าดับคะแนนคะแนนจากมากไปหาน้อย 5.3.2 แจกแจงความถี่ของคะแนนแต่ละคะแนน 5.3.3 หาความถี่สะสม (cf) ของคะแนนแต่ละคะแนนจากคะแนนต่ าสุดขึ้นสู่คะแนน สูงสุด (ดัง ตัวอย่าง) โดยความถี่สะสมทั้งหมดจะเท่ากับจ านวนทั้งหมด 5.3..4 ค านวณหา cf f โดยเริ่มต้นที่ 0 จากช่องความถี่สะสม แล้วน าไปบวก ครึ่งหนึ่งของ ความถี่ ดังแสดงตัวอย่างที่ 5.3 5.3..5 หาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์โดยน า cf f คูณด้วย (N เป็นจ านวนคนทั้งหมด) ดังแสดง ตัวอย่างการวิเคราะห์หาเปอร์เซนไทล์ ในตัวอย่างที่ 6.3

17 ตัวอย่ำงที่ 3 ตัวอย่างแสดงการวิเคราะห์หาเปอร์เซนไทล์ คะแนน จ ำนวน ควำมถี่ สะสม (cf) cf f เปอร์เซนไทล์ 41 3 3 1.5 3.75 42 3 6 4.5 12.25 43 4 10 8.0 20.00 44 4 14 12.0 30.00 45 8 22 18.5 40.00 46 5 27 24.5 61.25 47 3 30 28.5 72.25 48 4 34 32.0 80.00 49 4 38 36.0 90.00 50 2 40 39.0 97.50 N = 40 0 ควำมหมำยของเปอร์เซ็นต์ไทล์จำกตำรำง อาทิ คะแนน 45 คะแนน ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 40.0 หมายความว่า ในจ านวน 100 คนมีคนที่ได้คะแนน ต่ ากว่า 45 คะแนนเท่ากับ 40 คน คะแนน 49 คะแนน ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90.0 หมายความว่า ในจ านวน 100 คนมีคนที่ได้คะแนน ต่ ากว่า 49 คะแนนเท่ากับ 90 คน 4. กำรวัดกำรกระจำย (measure of variability) ค่าสถิติที่ใช้วัดค่ากลางของข้อมูลคือค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม ซึ่งข้อมูลแต่ละชุดที่มีค่าเฉลี่ย เท่ากันอาจมีการกระจายของข้อมูลแตกต่างกัน เช่น ข้อมูลชุดที่ 1 10 10 10 10 10 ข้อมูลชุดที่ 2 5 5 10 15 15 ข้อมูลชุดที่ 3 5 6 11 8 20 (cf + f) ×

18 จากข้อมูลทั้ง 3 ชุด มีคะแนนเฉลี่ยเท่ากัน คือ 20 แต่มีข้อสังเกตว่าข้อมูลชุดที่ 1 ไม่มีการ กระจายกล่าวคือ ข้อมูลในกลุ่มไม่มีความแตกต่างกัน และข้อมูลชุดที่ 3 มีการกระจายมากที่สุดคือมีข้อมูลใน กลุ่มมีความแตกต่างกันมากที่สุด การวัดการกระจายเป็นวิธีที่ท าให้ทราบว่าข้อมูลชุดหนึ่งมีความแตกต่างกันมากน้อยเพียงใด วิธีวัดการกระจายที่นิยมใช้ ได้แก่ พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน และสัมประสิทธิ์ความผันแปร ซึ่งมีวิธีค านวณได้ ดังนี้ 1) พิสัย (range) พิสัยเป็นค่าความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ าสุดของข้อมูลชุดหนึ่งๆเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้ พิสัย = ค่ำสูงสุด – ค่ำต่ ำสุด ตัวอย่ำง 11 ข้อมูลชุดที่ 1 15 20 30 40 50 ข้อมูลชุดที่ 2 15 5 18 20 50 จากตัวอย่างพิสัยของข้อมูลทั้ง 2 ชุด = 50 – 15 = 35 ซึ่งการกระจายของข้อมูลภายในแต่ละชุดไม่ เหมือนกัน ดังนั้นจึงนิยมใช้พิสัยในกรณีที่ต้องการดูการกระจายของข้อมูลอย่างรวดเร็วหรือต้องการท าตาราง แจกแจงความถี่เท่านั้น 2) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (quartile deviation) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เป็นค่าครึ่งหนึ่งของความ แตกต่างระหว่างควอไทล์ที่ 3 (Q3) กับควอไทล์ที่ 1 (Q1) เขียนเป็นสูตรได้ดังนี้ 2.1) กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ เมื่อ Q.D. แทน ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ Q1 แทน ค่าที่แบ่งข้อมูลเป็น ¼ หรือ 25% Q3 แทน ค่าที่แบ่งข้อมูลเป็น ¾ หรือ 75% ในการหาค่าควอไทล์ได้ดังนี้ 1) เรียงข้อมูลจากมาก ไปหาน้อยหรือจากน้อยไปหามาก 2) หาต าแหน่ง Q1 จากสูตร และ หาต าแหน่ง Q1 3) หาค่า Q1 และ Q3

19 ตัวอย่ำง 12 มีผู้เรียน 8 คน ท าคะแนนสอบวิชาสังคมศึกษาได้ดังนี้

20 ตัวอย่ำง 13 จงหาค่ามัธยฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนจากตารางแจกแจงความถี่ที่ ก าหนดให้ดังนี้ หากแบ่งข้อมูลจ านวน 30 คน ออกเป็น 4 ส่วน ต าแหน่ง Q1 คือ ต าแหน่ง อยู่ในช่วงคะแนน 14-20 ซึ่งมีขีดจำกัดล่าง = 13.50 ต าแหน่ง Q3 คือ ต าแหน่ง อยู่ในช่วงคะแนน 35-41 ซึ่งมีขีดจำกัดล่าง = 34.50 i = 7

21 3) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation หรือ Average Deviation) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย คือ ผล เฉลี่ย ของความเบี่ยงเบนของคะแนนแต่ละตัวจากค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดเดียวกัน มีสูตรดังนี้ 3.1)กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ ตัวอย่ำง 14 ข้อมูลชุดหนึ่ง คือ 1 3 7 5 9 มีค่าเฉลี่ยเป็น 5 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้ คือ 2.40 3.2) กรณีที่ข้อมูลมีแจกแจงความถี่

22 4) ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนและควำมแปรปรวน (Standard Deviation and Variance) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายที่ดี และใช้กันมากที่สุดหาได้จากรากที่สองของ ค่าเฉลี่ยของ ผลรวมของคะแนนทุกค่าที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยยกก าลังสอง มีสัญลักษณ์ และสูตรดังนี้ ตัวอย่ำง 15 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของผู้เรียนดังนี้ ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนของข้อมูลชุดนี้คือ 11.75

23 4.1) กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ คน ได้คะแนนดังนี้ 1 2 3 4 5 1) กรณีที่ข้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ 2) กรณีที่ข้อมูล มาจากกลุ่มตัวอย่าง ตัวอย่ำง 16 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนน สอบวิชาสังคมศึกษาโดย สุ่มนักเรียนมา 5 วิธีท าำ กรณีนี้เป็นข้อมูลที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง และไม่ได้แจกแจงความถี่

24 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ คือ 1.58 4.2) กรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ 1) กรณีที่ข้อมูลมาจากประชากร 2) กรณีที่ข้อมูลมาจากกลุ่มตัวอย่าง

25 ตัวอย่ำง 17 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิทยาศาสตร์ของผู้เรียน 20 คน ดังนี้ วิธีท ำ กรณีที่ข้อมูลที่ได้เป็นข้อมูลจากประชากรและแจกแจงความถี่

26 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 3.28 คุณสมบัติบางประการของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1. เมื่อบวกข้อมูลแต่ละตัวด้วยค่าคงที่ (c) ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับค่า ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม เขียนได้ว่า SX+C = SX 2. เมื่อลบข้อมูลแต่ละตัวด้วยค่าคงที่ (c) ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับค่าส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม เขียนได้ว่า SX-C = SX 3. เมื่อคูณข้อมูลแต่ละตัวด้วยค่าคงที่ (c) ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับค่า ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม คูณด้วย c เขียนได้ว่า SXC = cSX 4. เมื่อหารข้อมูลแต่ละตัวด้วยค่าคงที่ (c) ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับค่า ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม หารด้วย c เขียนได้ว่า ความแปรปรวน หมายถึง ค่าเฉลี่ยของผลรวมของคะแนนทุกค่าที่เบี่ยงเบนไปจาก ค่าเฉลี่ยยกก าลัง สอง ใช้สัญลักษณ์ S 2 (ส าหรับความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง) และ 2 (ส าหรับความแปรปรวนของ ประชากร) ดังนั้นในการค านวณหาค่าความแปรปรวนก็ค านวณได้เช่นเดียวกับส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน แต่ไม่ ต้องถอดรากที่สอง หรือถ้าทราบค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาก่อนแล้ว น ามา ยกก าลังสองก็จะได้ค่าความ แปรปรวน ในการวัดการกระจายของข้อมูลจะใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) หรือความแปรปรวน (S2 ) ก็ได้ แต่ ควรใช้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง นักวัดผลหรือนักวิจัยมักใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เพราะส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานแสดงการกระจายของข้อมูลที่อยู่ในหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิมที่ น ามาวิเคราะห์ 5) สัมประสิทธิ์ควำมผันแปร (Coefficient Variance) เป็นวิธีการกระจายที่ ค านวณสูตร ดังนี้

27 สัมประสิทธิ์ความผันแปรใช้เมื่อต้องการเปรียบเทียบข้อมูล 2 ชุด ที่มีหน่วยไม่เหมือนกัน เช่น เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลความสูงของคน 2 กลุ่มกลุ่มแรกมีความสูงเฉลี่ยเท่ากับ 1.50 เมตร ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.12 เมตรกลุ่มที่สองมีความสูงเฉลี่ยเท่ากับ 68 นิ้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5.40 นิ้วค านวณค่าสัมประสิทธิ์ความผันแปรได้ดังนี้ จากตัวอย่างจะเห็นว่าการกระจายของข้อมูลทั้ง 2 ชุดใกล้เคียงกันมาก ซึ่งหากดูเฉพาะข้อมูลดิบเป็น เรื่องจากที่จะพิจารณา กล่าวโดยสรุป ค่าสัมประสิทธิ์ความผันแปรไม่มีหน่วย ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความผันแปร ของข้อมูลใดสูงกว่า แสดงว่าข้อมูลชุดนั้นมีความแตกต่างกันในกลุ่มมากกว่าข้อมูลที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความผัน แปรต่ ากว่า 5. คะแนนมำตรฐำน เป็นหน่วยของการวัดชนิดหนึ่งที่แปลงรูปมาจากคะแนนดิบเพื่อเปลี่ยนระดับผลการวัดจากระดับอันดับ เป็นระดับช่วงระยะ ที่นิยมใช้มี Z-score และ T - score Z- score เป็นคะแนนมาตรฐานที่มีทรวดทรงการกระจายเป็นโค้งปกติ ซึ่งมี X = 0 และ S = 1 Z เป็นได้ทั้ง + และ - เป็น + แสดงว่ามีความสามารถสูงกว่าค่าเฉลี่ย เป็น - แสดงว่ามีความสามารถต่ ากว่าค่าเฉลี่ย T - score เป็นคะแนนมาตรฐานที่มีทรวดทรงการกระจายเป็นโค้งปกติ ซึ่งมี X = 50, S = 10 (แปลงมา จาก Z เพราะว่า Z ติดลบและติดทศนิยม ใช้ได้ไม่สะดวก)

28 ถ้าก าหนดพื้นที่ใต้โค้งเป็น 100 % จะมีคุณสมบัติดังนี้ ค่า Z จาก 0 ถึง +1 หรือ 0 ถึง -1 มีพื้นที่ประมาณ 34 % ค่า Z จาก +1 ถึง +2 หรือ -1 ถึง -2 มีพื้นที่ประมาณ 14 % ค่า Z จาก +2 ถึง +3 หรือ -2 ถึง -3 มีพื้นที่ประมาณ 2 % หมำยเหตุ ค่า T มีคุณสมบัติท านองเดียวกับค่า Z เช่น ค่า T จาก 50 ถึง 60 หรือ 40 ถึง 50 มีพื้นที่ประมาณ 34 % จากคุณสมบัตินี้เป็นประโยชน์ต่อการแปลความหมายของคะแนน Z = 0 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 50 คน ใน 100 คน Z = 1 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 84 คน ใน 100 คน Z = 2 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 98 คน ใน 100 คน Z = -1 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 16 คน ใน 100 คน Z = -2 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 2 คน ใน 100 คน หมำยเหตุ ค่า T มีคุณสมบัติท านองเดียวกับค่า Z เช่น ค่า T จาก 50 ถึง 60 หรือ 40 ถึง 50 มีพื้นที่ประมาณ 34 % จากคุณสมบัตินี้เป็นประโยชน์ต่อการแปลความหมายของคะแนน Z = 0 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 50 คน ใน 100 คน Z = 1 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 84 คน ใน 100 คน Z = 2 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 98 คน ใน 100 คน Z = -1 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 16 คน ใน 100 คน Z = -2 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 2 คน ใน 100 คน หมำยเหตุ ค่า T แปลความหมายของคะแนนท านองเดียวกับค่า Z เช่น T = 50 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 50 คน ใน 100 คน T = 70 จะมีความสามารถสูงกว่าคนอื่น 98 คน ใน 100 คน เมื่อ Z – score คือ คะแนน Z – score

29 X คือ คะแนนดิบ x̅ คือ ค่าเฉลี่ย คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน วิธีหำ T-score หาได้จากสูตร ดังนี้ T-score = 10Z + 50 เมื่อ T คือ คะแนน T - score Z คือ คะแนน Z - score ตัวอย่ำงที่ 5.1 สมศักดิ์สอบวิชาสถิติได้50 คะแนน ซึ่งในกลุ่มนี้มีค่าเฉลี่ย 45 คะแนน และส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 5 อยากทราบว่าสมศักดิ์ ได้คะแนนเมื่อแปลงเป็น Z-score แล้วเท่ไร สมศักดิ์ได้คะแนนมาตรฐาน Z- score เท่ากับ 1 6. กำรตัดเกรด 1. ระบบของเกรด เกรดเป็นการตัดสินผลการเรียนรูที่แสดงเป็นสัญลักษณหรือตัวอักษรมีอยู่ด้วยกันหลายระบบ ขึ้นอยู่ กับจุดมุง หมายของการประเมินผล และแต่ละสถาบันการศึกษา เชน ระบบ 2 เกรด 3 เกรด 5 เกรด หรือระบบ 8 เกรด ตารางแสดงตัวอย่างระบบของเกรด

30 2. รูปแบบของกำรก ำหนดเกรด รูปแบบการก าหนดที่ส าคัญมี 3 รูปแบบ คือการก าหนดเกรดแบบอิงกลุ่ม (Norm-Referenced Grading) การ ก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์ (Criterion-Referenced Grading) และการก าหนดเกรดแบบอิง เกณฑ์และอิงกลุ่ม (Criterion and Norm -Referenced Grading) (ศิริชัย กาญจนวาสี, 2544; ไพศาล หวัง พานิช, 2543; วิรัช วรรณรัตน์, 2548) มีรายละเอียดดังนี้ 2.1 กำรก ำหนดเกรดแบบอิงกลุ่ม (Norm-Referenced Grading) แนวคิดการก าหนดเกรดแบบอิงกลุ่ม เป็นการตัดสินระดับผลการเรียนรู้ของผู้เรียน โดยใช้คะแนน เปรียบเทียบ กันเองภายในกลุ่มผู้เรียนที่สอบด้วยแบบสอบเดียวกันหรือแบบสอบคู่ขนานกัน แนวคิดการตัดสิน แบบอิงกลุ่ม นี้ตั้งอยู่บนทฤษฎีความแตกต่างระหว่างบุคคล ที่เชื่อว่าบุคคลมีความสามารถในการเรียนรู้ได้ แตกต่างกัน คะแนนที่ได้จากแบบทดสอบซึ่งใช้แทนความรู้ความสามารถของผู้เรียนจึงควรกระจายเข้าใกล้โค้ง การแจกแจง ปกติ (ถ้ามีผู้เข้าสอบมากพอ) ลักษณะข้อสอบที่ใช้จึงต้องมีความยากง่ายพอเหมาะ และมีอ านาจ จ าแนกสูง แนวคิดนี้จึงพยายามกระจายคะแนนความรู้ความสามารถของผู้เรียน เพื่อจัดระดับความรู้ ความสามารถของ ผู้เรียนเป็นกลุ่ม ๆ โดยการเปรียบเทียบกันเองว่าใครอยู่ในกลุ่มเก่งกลุ่มรองลงมาและกลุ่ม อ่อน ตามล าดับ วิธีการก าหนดเกรดแบบอิงกลุ่ม มีวิธีที่นิยมใช้กันอยู่หลายวิธีตัวอย่างเช่น 1. การให้เกรดโดยก าหนดสัดส่วนไว้ล่วงหน้า การให้เกรดแบบอิงกลุ่มวิธีนี้มีการน าคะแนนของทั้งกลุ่ม มาจัดเรียงตามล าดับคะแนนตามความมากน้อยเพื่อเป็นการเปรียบเทียบถึงความเก่งอ่อนภายในกลุ่ม และให้ เกรดผู้เรียนแต่ละคนตามสัดส่วนที่ก าหนดไว้ล่วงหน้าตัวอย่างเช่น จ านวน % ของผู้ได้เกรด A:B:C:D:F = 10%:20%:40%:20%:10% 2. การให้เกรดโดยก าหนดช่วงคะแนนระหว่างเกรดเท่ากัน การให้เกรดอิงกลุ่มแบบนี้ที่ใช้ทั่วไปมี 2 แบบ ดังนี้ แบบที่ 1 ก ำหนดช่วงคะแนนของแต่ละเกรดจำกพิสัย (Range) การให้เกรดอิงกลุ่มแบบนี้เริ่มจากการค านวณค่าพิสัยของคะแนน (คะแนนสูงสุด – คะแนนต่ าสุด) จากนั้นจึงน าค่าพิสัยมาหารด้วยจ านวนเกรดที่ต้องการให้ผู้เรียน คะแนนที่ได้จะใช้เป็นช่วงคะแนนห่างระหว่าง เกรดแต่ละเกรด ดังตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น คะแนนชุดหนึ่งมีค่าสูงสุด 90 คะแนน ต่ าสุดเป็น 31 คะแนน พิสัยของคะแนนชุดนี้ เท่ากับ 59 สมมติว่าต้องการตัดเกรดเป็น 5 เกรด จาก A ถึง F ช่วงห่างระหว่างเกรดจึงเป็น (59/5) เท่ากับ 11.8 คะแนน ดังนี้ เกรด A (90 -11.8 = 78.1) คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 79 – 90 เกรด B (78.1 -11.8 = 66.4) คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 67 – 78 เกรด C (66.4 -11.8 = 54.6) คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 55 – 66 เกรด D (54.6 -11.8 = 42.8) คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 43 – 54 เกรด F (42.8 -11.8 = 31) คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 31 – 42

31 แบบที่ 2 ก ำหนดช่วงคะแนนของแต่ละเกรดจำกโค้งกำรแจกแจงปกติ การให้เกรดอิงกลุ่มแบบนี้เริ่มจากการถือว่าคะแนนมีการแจกแจงแบบโค้งปกติ เช่น เป็นกลุ่มที่มี ลักษณะสุ่ม หรือมีจ านวนผู้เรียนมาก ๆ เป็นต้น วิธีนี้มีการค านวณหาค่าเฉลี่ย (X) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) ของคะแนนสอบมาใช้เป็นตัวก าหนดช่วงห่างระห่างเกรดแต่ละเกรด โดยใช้จ านวนเกรดที่ต้องการให้กับ ผู้เรียนไปหารจ านวนช่วงการกระจายของคะแนนการแจกแจงโค้งปกติ ซึ่งมีการกระจายประมาณ 6 ช่วง ส่วน เบี่ยงเบนมาตรฐาน (X ± 3SD) ตัวอย่าง คะแนนชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น X และ SD ตามล าดับ สมมติว่าต้องการตัดเกรดเป็น 5 เกรด จาก A ถึง F ช่วงห่างระหว่างเกรดจึงประมาณ (6/5) เท่ากับ 1.2 SD เช่น X + 1.8 SD < เกรด A X + 0.6 SD < เกรด B < X + 1.8 SD X - 0.6 SD < เกรด C < X + 0.6 SD X - 1.8 SD < เกรด D < X - 0.6 SD เกรด F < X - 1.8 SD 3.การให้เกรดโดยพิจารณาจากระดับความสามารถของกลุ่มผู้เรียนจากการให้เกรดอิงกลุ่มแบบ ก าหนดสัดส่วนไว้ล่วงหน้า (1) หรือแบบก าหนดช่วงคะแนนระหว่างเกรดเท่ากัน (2) ซึ่งเป็นการให้เกรดเป็น สัดส่วนตายตัวของกลุ่ม นักวัดผลบางท่านโต้แย้งว่า อาจไม่เป็นการยุติธรรม เพราะว่ากลุ่มแต่ละกลุ่มมี ความสามารถไม่เท่ากัน Dewey B. Stuit (อ้างถึงใน Ebel, 1965) จึงได้เสนอวิธีการให้เกรดแบบ 5 เกรด โดยมีการปรับ สัดส่วนของแต่ละเกรดให้เหมาะสมกับระดับความสามารถของกลุ่ม ด้วยการจัดกลุ่มความสามารถของผู้เรียน เป็น 7 ระดับ ซึ่งพิจารณาได้จากการค านวณค่าเฉลี่ยของเกรดเฉลี่ยสะสม (GPA) จากผลการเรียนที่ผ่านมาของ ผู้เรียนทั้งกลุ่ม แล้วอาศัยค่ามัธยฐาน (Median) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) ของคะแนนโดยก าหนด ขีดจ ากัดล่างของเกรด A ด้วยค่าในตาราง และก าหนดขีดจ ากัดล่างของเกรดถัดลงไป (B, C, D และ F) โดยการ ลดคะแนนลงเกรดละ 1 SD ตำรำงแสดงกำรก ำหนดขีดจ ำกัดล่ำงของเกรด A ตำมระดับควำมสำมำรถของกลุ่ม

32 ตัวอย่างเช่น สมมติว่าผู้สอนมีข้อมูลที่บอกได้ว่ากลุ่มผู้เรียนมีความสามารถ (ที่ผ่านมา) อยู่ระดับดี (ค่าเฉลี่ยของ GPA ทั้งกลุ่มประมาณ 2.40) ช่วงห่างของคะแนนแต่ละเกรดสามารถค านวณได้ดังนี้ X + 1.1 SD < เกรด A X + 0.1 SD < เกรด B < X + 1.1 SD X + 0.9 SD < เกรด C < X + 0.1 SD X – 1.9 SD < เกรด D < X – 0.9 SD เกรด F < X – 1.9 SD 4.การให้เกรดโดยแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนทีและก าหนดเกรดสูงสุด/ต่ าสุด ไพศาล หวัง พานิช (2543) กล่าวถึงวิธิีการให้ระดับผลการเรียนแบบอิงกลุ่มว่ามีขั้น ตอนดังนี้ 1) แปลงคะแนนจากการวัดแต่ละครั้งเป็น T-Score (หรือคะแนนมาตรฐานแบบอื่น) 2) รวมคะแนน T จากการวัดทุกครั้งของผู้เรียนแต่ละคนตามน้ าหนักที่ก าหนดไว้แล้วหา ค่าเฉลี่ย 3) ก าหนดจ านวนเกรด โดยพิจารณาปัจจัยต่าง ๆ ประกอบ ได้แก่ความแตกต่างของคะแนน (ช่วงห่างของคะแนน) สภาพกลุ่มผู้เรียนในด้านระดับความสามารถความมุ่งมั่นตั้งใจในการเรียนรวมทั้งระดับ ความจริงจังตั้งใจของผู้สอน และปัจจัยอื่น ๆ ส าหรับการเรียนการสอน 4) ก าหนดเกรดสูงสุดและต่ าสุด เมื่อก าหนดจ านวนเกรดได้แล้ว เช่น 3 เกรดให้พิจารณา ต่อไปว่าควรเป็น A, B, C หรือ B, C, D หรือ C, D, F หรืออีกนัยหนึ่ง พิจารณาว่าเกรดสูงสุดของกลุ่มควรเป็น A หรือ B หรือ C และเกรดต่ าสุดควรเป็น F หรือ D 5) เมื่อทราบจ านวนเกรดและเกรดสูงสุดหรือต่ าสุดแล้ว ด าเนินการตัดเกรด โดย 5.1) หาช่วง (Range) คะแนนของกลุ่ม (คะแนนสูงสุด – คะแนนต่ าสุด) 5.2) หาช่วงของแต่ละเกรด โดยช่วงคะแนนของกลุ่ม ÷ จ านวนเกรด 5.3) ก าหนดเกรดโดยแต่ละเกรดจะมีช่วงคะแนนตามที่ก าหนดโดยพิจารณาเป็น 2 กรณี เมื่อจ านวนเกรดเป็นคู่ (2, 4 เกรด) ให้แบ่งหรือตัดเกรดจากคะแนนกึ่งกลางหรือเฉลี่ยคือ T = 50 (หรือ (Z = 0)) หากจ านวนเกรดเป็นคี่ (3, 5 เกรด) ให้เกรดกึ่งกลางคลุมคะแนนกึ่งกลาง T50 ± (ช่วงเกรด ÷2) ข้อตกลง เบื้องต้น การก าหนดเกรดแบบอิงกลุ่ม มีข้อตกลงเบื้องต้นดังนี้ 1) คะแนนของผู้สอบได้มาจากเครื่องมือวัดที่มีคุณภาพ 2) ผู้สอบมีความรู้ความสามารถในเรื่องนั่นแตกต่างกัน 3) คะแนนที่ใช้แทนความรู้ความสามารถมีการกระจายจึงสามารถน ามาใช้จัดกลุ่มความสามารถ ข้อดีและข้อเสีย การก าหนดเกรดแบบอิงกลุ่มมีข้อดีและข้อเสีย ดังนี้ ตารางแสดงข้อดีและข้อเสียของการก าหนดเกรด แบบอิงกลุ่ม

33 2.2 กำรก ำหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์ (Criterion-Referenced Grading) การก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์ เป็นการตัดสินระดับผลการเรียนรู้ของผู้เรียน โดยใช้คะแนน เปรียบเทียบกับเกณฑ์ (มาตรฐาน) ที่ก าหนดไว้ เช่น เปรียบเทียบกับจุดมุ่งหมาย คะแนนเต็มคะแนนจุดตัดที่ ก าหนดไว้ (Cut-of scores) มาตรฐานวิชาชีพ เป็นต้นแนวคิดการตัดสินแบบอิงเกณฑ์นี้ตั้งอยู่บนทฤษฎีการ เรียนรู้เพื่อรอบรู้ ที่ว่าด้วยการให้ผู้เรียนมีความรู้ความสามารถอะไร ท าอะไรได้บ้าง คะแนนที่ได้จากแบบสอบ จึงใช้แทนระดับความรู้ความสามารถของผู้เรียนลักษณะของข้อสอบที่ใช้จึงต้องวัดสิ่งที่เป็นตัวแทนพฤติกรรม หรือลักษณะส าคัญของวิชา การวัดระดับความรู้ความสามารถของผู้เรียนจึงเป็นการเปรียบเทียบกับเกณฑ์ มาตรฐานของความรู้ความสามารถที่ผู้เรียนพึงมีโดยไม่ต้องเปรียบเทียบกับผู้อื่นในกลุ่มเดียวกันวิธีการก าหนด เกรดแบบอิงเกณฑ์ มีวิธีที่นิยมใช้กันอยู่หลายวิธี ตัวอย่างเช่น 1.กำรให้เกรดโดยก ำหนดเกณฑ์จุดตัดจำกระเบียบหรือประสบกำรณ์ การให้เกรดแบบอิงเกณฑ์วิธีนี้มีการก าหนดเกณฑ์คะแนนแต่ละเกรดไว้เป็นการล่วงหน้า โดยอาศัย ระเบียบหรือประสบการณ์ว่าผู้เรียนจะต้องได้คะแนนอย่างน้อยเท่าไรจึงจะถือว่าสอบผ่าน มีการก าหนดด้วยว่า คะแนนในช่วงใดถือว่ามีความรู้ความสามารถระดับใด ตัวอย่าง เช่น ผู้สอนอาจก าหนดเกณฑ์คะแนนของแต่ละ เกรดไว้ดังนี้ เกรด A คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 90% -100% เกรด B คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 80% -89% เกรด C คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 70% -79% เกรด D คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 60% -69% เกรด F คือผู้ที่ได้คะแนนจาก 0% - 59% 2.กำรให้เกรดโดยก ำหนดเกณฑ์พฤติกรรมกำรเรียนรู้ การให้เกรดแบบอิงเกณฑ์วิธนี้เป็นการก าหนดผลการเรียนรู้โดยอิงกับจุดมุ่งหมายเชิงพฤติกรรม หรือ จุดมุ่งหมายของการเรียนการสอน โดยผู้เรียนจะต้องมีความรู้ความสามารถขั้นต่ าอะไรบ้างจึงจะถือว่าสอบผ่าน มีการก าหนดตัวอย่างว่าผู้เรียนจะต้องมีความรู้ความสามารถอะไร สามารถท าอะไรได้บ้างถึงขั้นไหนตามที่ ก าหนดจึงจะได้ระดับของเกรดแต่ละเกรดที่จะให้ ตัวอย่างเช่น ผู้สอนอาจก าหนดเกณฑ์คะแนนของแต่ละเกรดไว้ดังนี้ เกรด A คือผู้ที่บรรลุจุดมุ่งหมายหลักทุกข้อ และจุดมุ่งหมายรองทุกข้อ เกรด B คือผู้ที่บรรลุจุดมุ่งหมายหลักทุกข้อ และจุดมุ่งหมายรอง 2 ใน 3 เกรด C คือผู้ที่บรรลุจุดมุ่งหมายหลักทุกข้อ และจุดมุ่งหมายรอง 1 ใน 3 เกรด D คือผู้ที่บรรลุจุดมุ่งหมายหลักทุกข้อ เกรด F คือผู้ที่ไม่บรรลุจุดมุ่งหมายหลัก

34 3.กำรให้เกรดโดยก ำหนดเกณฑ์จำกผลกำรศึกษำวิจัย การให้เกรดแบบอิงเกณฑ์วิธีนี้เป็นการก าหนดเกณฑ์มาตรฐานส าหรับการตัดสินคุณค่าผลการเรียนรู้ โดยการใช้ผลการศึกษาวิจัย เช่น การวิเคราะห์เกณฑ์ความสามารถขั้นต่ า (Minimum Passing Level : MPL) การวิเคราะห์เกณฑ์จุดตัดที่เหมาะสมด้วยการศึกษาวิจัยถึงความตรงของการตัดสินใจและความคลาดเคลื่อนที่ เกิดขึ้นซึ่งต้องอาศัยเทคนิควิธีและการวิเคราะห์ที่ค่อนข้างสลับซับซ้อน การก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์ มีข้อตกลงเบื้องต้นดังนี้ 1) คะแนนของผู้สอบได้มาจากเครื่องมือวัดผลที่มีคุณภาพ 2) คะแนนที่ได้เป็นตัวแทนระดับความรู้ความสามารถของผู้สอน 3) เกณฑ์มาตรฐานที่ก าหนดสามารถใช้ตัดสินระดับความรู้ความสามารถได้ ข้อดีและข้อเสีย การก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์มีข้อดีและข้อเสีย ดังนี้ 2.3 กำรก ำหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์ร่วมกับอิงกลุ่ม (Criterion-and Norm-Referenced Grading) การก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์และอิงกลุ่มเป็นการตัดสินระดับผลการเรียนรู้ของผู้เรียนที่ใช้ทั้งวิธีแบบ อิงเกณฑ์และอิงกลุ่มผสมกันโดยใช้คะแนนการสอบย่อย การวัดผลความก้าวหน้า เปรียบเทียบกับเกณฑ์ (มาตรฐาน) ขั้นต่ าที่ก าหนดไว้และใช้คะแนนรวม (การวัดผลสรุปรวม) เปรียบเทียบกันเองภายในกลุ่ม แนวคิด การตัดสินแบบนี้ตั้งอยู่บนพื้นฐานความเชื่อทางทฤษฎีที่ว่าการเปรียบเทียบคะแนนของผู้เรียนกันเอง ภายใน กลุ่มจะมีความหมายสมบูรณ์ขึ้นถ้าผู้เรียนได้มีความรู้ความสามารถตามคุณสมบัติขั้นต่ าแล้วกล่าวคือเมื่อผู้เรียน ได้ผ่านการตรวจสอบความรู้ความสามารถขั้นต่ าแล้วระหว่างการเรียนการสอนน่าจะท าให้การเปรียบเทียบ คะแนนรวมภายในกลุ่มผู้เรียนหลังเสร็จสิ้นการสอนมีความเหมาะสม และสามารถใช้ตัดสิน ระดับผลการเรียนรู้ ของผู้เรียนได้ดียิ่งขึ้นข้อตกลงเบื้องต้น 1) คะแนนสอบย่อยและคะแนนรวมได้มาจากเครื่องมือวัดผลที่มีคุณภาพ 2) ผู้สอบมีความรู้ความสามารถในเรื่องนั้นแตกต่างกัน 3) คะแนนที่ได้เป็นตัวแทนระดับความรู้ความสามารถของผู้สอบ 4) เกณฑ์ที่ก าหนดสามารถใช้ตัดสินระดับความรู้ความสามารถของผู้สอบได้

35 ข้อดีและข้อเสีย การก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์และอิงกลุ่มมีข้อดีและข้อเสีย ดังนี้ตารางแสดงข้อดีและข้อเสียของการ ก าหนดเกรดแบบอิงเกณฑ์และอิงกลุ่ม รูปแบบตัดเกรดแต่ละแบนนั้นมีแนวคิดเบื้องหลัง ดังนั้นการใช้การตัดเกรดรูปแบบใดนั้นควรเข้าใจใน แนวคิด ของการตัดเกรดแต่ละแบบ ดังนี้ (ศิริชัย กาญจนวาสี, 2544) แนวคิดในกำรตัดเกรดแบบอิงกลุ่ม มีแนวคิดตั้งอยู่บนทฤษฎีของความแตกต่างระหว่างบุคคล ที่เชื่อ ว่าบุคคลสามารถเรียนรู้ได้แตกต่างกัน คะแนนที่ได้จากแบบทดสอบใช้แทนความรู้ความสามารถของผู้เรียน ซึ่ง ควรมีการกระจายเข้าใกล้การแจกแจงแบบโค้งปกติ โดยมีผู้มีความรู้ความสามารถปานกลางจ านวนมาก ส่วนผู้ ที่มีความสามารถสูงหรือต่ าย่อมมีจ านวนน้อยกว่า การจัดระดับความรู้ความสามารถของผู้เรียนเช่นนี้ท าให้ สามารถทราบว่าผู้เรียนแต่ละคนมีความรู้ความสามารถสูงหรือต่ าเมื่อเทียบกับกลุ่มผู้เรียนทั้งหมด แต่ไม่ สามารถทราบสภาพความรู้ความสามารถที่แท้จริงของตนเอง ดังนั้นแบบทดสอบที่ใช้ต้องเป็นแบบทดสอบชุดเดียวกันหรือคู่ขนานและการวิเคราะห์ข้อสอบเพื่อหา ความตรง ความเที่ยง ความยากและอ านาจจ าแนกมีความส าคัญอย่างยิ่ง โดยเฉพาะแบบทดสอบที่ดีต้อง จ าแนกผู้เรียนเก่ง อ่อนได้ แนวคิดในกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์ มีแนวคิดตั้งอยู่บนทฤษฎีการเรียนเพื่อรอบรู้ที่ว่าด้วยการให้ ผู้เรียนมีความรู้ความสามารถอะไร ท าอะไรได้บ้าง คะแนนที่ได้จากแบบทดสอบใช้แทนความรู้ความสามารถ ของผู้เรียนในขอบเขตของเนื้อหาที่ส าคัญของวิชาการวัดความรู้ความสามารถของผู้เรียนจึงเป็นการ เปรียบเทียบกับเกณฑ์มาตรฐานที่พึงมีโดยไม่ได้เปรียบเทียบกับผู้อื่นในกลุ่มเดียวกัน ดังนั้นแบบทดสอบที่ใช้เป็นแบบทดสอบเพื่อการประเมินความรอบรู้ในเนื้อหาหรือคุณลักษณะที่ ต้องการวัดตามจุดประสงค์เชิงพฤติกรรม อาจไม่จ าเป็นต้องใช้แบบทดสอบเดียวกันตลอดเวลา การวิเคราะห์ แบบทดสอบเน้นในเรื่องความตรงมากที่สุด แนวคิดในกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์และอิงกลุ่ม เป็นการตัดเกรดแบบผสม โดยมีแนวคิดตั้งอยู่บน ทฤษฎีที่ว่าการเปรียบเทียบคะแนนของผู้เรียนกันเองภายในกลุ่มจะมีความหมายสมบูรณ์ขึ้น ถ้าผู้เรียนได้มี ความรู้ความสามารถตามคุณสมบัติขั้นต่ าแล้ว กล่าวคือ เมื่อผู้เรียนผ่านการตรวจสอบความรู้ความสามารถขั้น ต่ าระหว่างการเรียนการสอนแล้ว น่าจะท าให้การเปรียบเทียบคะแนนรวมภายในกลุ่มผู้เรียนหลังเสร็จสิ้นการ สอนมีความเหมาะสมและสามารถใช้ตัดสินระดับการเรียนรู้ของผู้เรียนได้ดียิ่งขึ้น

36 3. วิธีกำรตัดเกรด การตัดเกรดเป็นการประเมินผลการเรียนรู้ของผู้เรียนโดยสรุปออกมาเป็นเกรดความถูกต้อง เหมาะสม ในการให้เกรดซึ่งขึ้นอยู่กับองค์ประกอบ 3 ประการ คือ 1) ผลการวัด 2) เกณฑ์การพิจารณา 3) การตัดสินใจ วิธีการตัดเกรดมีหลายวิธีซึ่งขึ้นอยู่กับรูปแบบของการตัดเกรด โดยมีรายละเอียดของวิธีการตัดเกรดใน แต่ละ รูปแบบ ดังนี้วิธีการตัดเกรดแบบอิงกลุ่ม ที่นิยมใช้มีหลายวิธี ในที่นี้จะน าเสนอ 6 วิธี ดังนี้ 3.1 วิธีกำรตัดเกรดโดยก ำหนดสัดส่วนเปอร์เซ็นต์ในแต่ละเกรด วิธีการตัดเกรดแบบนี้ขึ้นอยู่กับดุลย พินิจของผู้สอน โดยมากมักก าหนดสัดส่วนของแต่ละเกรดโดยใช้สัดส่วนของโค้งปกติ ดังนั้น ผู้สอนต้องก าหนดจ านวนเกรดหรือระดับคะแนนขึ้นมาก่อน แล้วเรียงอันดับที่ (Rank) ของการ สอบตามคะแนนมากไปน้อย ดังตัวอย่างต่อไปนี้ (สมมติ มีผู้เรียนเข้าสอบ 80 คน)ถ้าต้องการแบ่งเป็น 4 เกรด อาจจะแบ่งเป็นดังนี้ เกรด A ต้องการ 16% จึงมีจ านวน 13 คน เกรด B ต้องการ 34% จึงมีจ านวน 27 คน เกรด C ต้องการ 34% จึงมีจ านวน 27 คน เกรด D ต้องการ 16% จึงมีจ านวน 13 คน ถ้าต้องการแบ่งเป็น 5 เกรด อาจจะแบ่งเป็นดังนี้ เกรด A ต้องการ 10% จึงมีจ านวน 8 คน เกรด B ต้องการ 20% จึงมีจ านวน 16 คน เกรด C ต้องการ 40% จึงมีจ านวน 32 คน เกรด D ต้องการ 26% จึงมีจ านวน 16 คน เกรด F ต้องการ 10% จึงมีจ านวน 8 คน 3.2 วิธีกำรตัดเกรดโดยใช้ค่ำพิสัย (วิธีของ Douglas) หลักการส าคัญ ขึ้นอยู่กับคะแนนต่ าสุดกับสูงสุด ของผู้เรียนและจ านวนเกรดที่ต้องการให้ผู้เรียนดัง ตัวอย่างต่อไปนี้ มีผู้เข้าสอบ 90 คน

37 วิธีท ำ 1. เมื่อตรวจให้คะแนนเรียบร้อย จึงเรียงคะแนนจากสูงสุดจนถึงต่ าที่สุด 2. หาความถี่ของแต่ละคะแนน 3. หาพิสัย = คะแนนสูงสุด – คะแนนต่ าสุด = 56 - 15 = 43 4. ถ้าต้องการตัด 5 เกรด (A - F) ช่วงห่างระหว่างเกรด = 43/5 = 8.6 ปัดเป็น 9 ดังนั้นจ านวนผู้เรียนได้เกรด ดังนี้ เกรด A ระหว่าง 50 – 58 มีจ านวน 6 คน เกรด B ระหว่าง 41 – 49 มีจ านวน 19 คน เกรด C ระหว่าง 32 – 40 มีจ านวน 30 คน เกรด D ระหว่าง 23 – 31 มีจ านวน 28 คน เกรด F ระหว่าง 15 – 22 มีจ านวน 7 คน 3.3 วิธีตัดเกรดโดยใช้ค่ำมัธยฐำน (วิธีของ Dewey B.Stuit) หลักการส าคัญ คือ ต้องพิจารณา ผู้เรียนทั้งหมดว่ามีความสามารถอยู่ในกลุ่มใด (จาก 7 กลุ่ม) และต้อง อาศัยค่ามัธยฐานกับค่าความเบี่ยงเบน มาตรฐาน วิธีการนี้เป็นการแก้ปัญหาการตัดเกรด เนื่องมาจาก ความสามารถของผู้เรียนในแต่ละภาคเรียนไม่ ทัดเทียมกัน เช่น ในกรณีที่ผู้สอนก าหนดเกณฑ์การให้เกรดไว้ ล่วงหน้าเหมือนกันในทุกภาคเรียน คือ ก าหนดจะ ให้เกรด A 10% ของจ านวนคนทั้งหมดในแต่ละภาคเรียน ถ้าเป็นเช่นนี้ในภาคเรียนใดที่มีผู้เรียนที่มี ความสามารถสูงจ านวนมากก็อาจจะมีโอกาสได้ระดับผลการเรียนสูง จ านวนน้อย หรือพิจารณาในแง่ตรงกัน ข้ามภาคเรียนใดที่มีกลุ่มที่มีความสามารถต่ าก็มีโอกาสได้ระดับผลการเรียนสูงจ านวนมาก ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหา ดังกล่าว จึงเสนอว่าขั้นแรกต้องประเมินกลุ่มผู้เรียนก่อนว่ามี ความสามารถโดยเฉลี่ยอยูในระดับใด แล้วให้เกรด ตามความสามารถของกลุ่มสิ่งที่จะบอกความสามารถของ กลุ่มผู้เรียนได้ดีและสะดวกที่สุดคือ ค่าเฉลี่ยของ คะแนนเฉลี่ยละสมของกลุ่ม (Grade Point Average: GPA) แล้วน าผลไปเทียบกับตารางพิจารณาระดับ ความสามารถเพื่อหาจุดต่ าสุดของเกรดสูงสุดที่จะให้ (Lover Limit Factor) ดังนี้

38 ขั้นตอนการตัดเกรด มีดังนี้ 1. ประเมินคร่าวๆ ว่ากลุ่มผู้เรียนมีความสามารถระดับใด (ดีเลิศ ดีมาก ฯลฯ ถ้าประเมินไม่ได้ให้ใช้ G.P.A. เฉลี่ย เช่น ได้มากกว่า 2.60 ก็เป็นกลุ่มดีเลิศ เป็นต้น) เพื่อจะได้ทราบจุดต่ าสุดของเกรดสูงสุดที่จะให้ 2. หาค่ามัธยฐาน (Median) 3. ค านวณค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร 4. ค านวณจุดต่ าสุดของเกรด A โดยน าค่า Factor ที่ได้จากตารางส าเร็จรูปไปคูณกับค าความ เบี่ยงเบน มาตรฐาน แล้วน าผลคูณที่ได้ไปบวกกับค่ามัธยฐาน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นคะแนนต่ าสุดของเกรด A ส่วน คะแนน ต่ าสุดของเกรด B ก็น าค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานไปลบออกจากคะแนนต่ าสุดของเกรด A ส าหรับ คะแนน ต่ าสุดของเกรด C และ D ก็ต าเนินการเช่นเดียวกัน ตัวอย่าง ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นิสิตจ านวน 50 คน พบว่า G.P.A. เฉลี่ยของกลุ่มเท่ากับ 2.35 มี การแจกแจงความถี่ของคะแนนดังนี้

39 วิธีท ำ 1. เทียบค่า G.P.A. ของกลุ่ม (เท่ากัน 2.35) กับตารางส าเร็จรูปได้ค่า Factor = 1.1 2. ค่ามัธยฐานของคะแนนชุดนี้ = 25 3. ค านวณค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 5 (โดยประมาณ) 4. ค านวณจุดต่ าสุดของเกรด A และเกรดอื่น ๆ ดังนี้ คะแนนต่ าสุดของเกรด A = (1.1 x 5) + 25 = 30.50 - 31 ขึ้นไป (3 คน) คะแนนต่ าสุดของเกรด B = 31 - 5 = 26 (18 คน) คะแนนต่ าสุดของเกรด C = 26 - 5 = 21 (21 คน) คะแนนต่ าสุดของเกรด D = 26 - 5 = 16 (5 คน) คะแนนต่ าสุดของเกรด F คือตั้งแต่ 15 ลงมา (3 คน) 3.4 วิธีกำรตัดเกรดโดยใช้ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต (Mean) หลักการส าคัญคือ อาศัยค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานมาเป็นตัวก าหนดช่วงห่าง ของแต่ละเกรด โดยยึดถือว่าคะแนนมีการแจกแจงเป็นไค้งปกติ มีวิธีการดังนี้ 1. ตรวจให้คะแนนแล้วหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. ค านวณค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3. หาขอบเขตของแต่ละเกรด ดังนี้

40 ตัวอย่าง คะแนนวิชา การวัดและประเมินผลการศึกษา ของนักศึกษา ปรากฏผลดังนี้ วิธีท ำ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean) ของคะแนนชุดนี้ = 23.47 2. ค านวณค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) = 4.53 ดังนั้น ค่า 0.5 SD = 0.5 × 4.53 = 6.79 นั่นคือ เกรด A = X + 1.5 SD = 23.47 + 6.79 = 30.26 ตั้งแต่ 30 คะแนนขึ้นไป (13 คน) เกรด B = X + 0.5 SD = 23.47 + 2.26 = 25.73 ระหว่าง 26 ถึง 29 คะแนน (43 คน) เกรด C = X - 0.5 SD = 23.47 - 2.26 = 21.21 ระหว่าง 21 ถึง 25 คะแนน (51 คน) เกรด D = X - 1.5 SD = 23.47 + 6.79 = 15.68 ระหว่าง 17 ถึง 20 คะแนน (34 คน) เกรด F = ตั้งแต่ 16 คะแนนลงมา (9 คน) 3.5 วิธีกำรตัดเกรดโดยใช้คะแนนมำตรฐำน Z (Z-Score) หลักการส าคัญคือ จุดแบ่งระดับคะแนน 2 ไม่มีกฎเกณฑ์ตายตัว ขึ้นอยู่กับผู้ประเมินจะมีเกณฑ์อย่างไร ตัวอย่าง มีผู้เข้าสอบ 217 คน และก าหนดว่าเกรด A ต้องได้คะแนน Z ตั้งแต่ 1.5 ขึ้นไป มีผลการวัด ดังนี้

41 วิธีท ำ 1. หา ∑X (คือผลบวกของคะแนนทุกคน) 2. X = 1745 ÷ 127 = 13.74 3. หา SD = 4.6 4. หาขอบเขตของแต่ละเกรด ดังนี้ เนื่องจากโจทย์ระบุเกรด A ต้องใช้เกรดคะแนน Z ตั้งแต่ 1.5 ขึ้นไป จึงเข้าเกณฑ์ ดังนี้ 3.6 วิธีกำรตัดเกรดโดยใช้คะแนนมำตรฐำน T – ปกติ (Normalized T - Score) การกระจาย ของความถี่ของคะแนนผู้เข้าสอบจะมีลักษณะเป็นโค้งปกติ พื้นที่ได้เส้นโค้งปกติ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน % พื้นที่ใต้เส้นโค้งสะสม คะแนน Z และคะแนน T แสดงเปรียบเทียบ ได้ดังรูป (สาขาวิชา ฟิสิกส์ มหาวิทยาลัย เทคโนโลยีราชมงคล ธัญบุรี, 2554) ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะกรณีแบ่งการตัดเกรดออกเป็น 5 เกรด คือ A, B, C, D และ F (ถ้าจะแบ่งเกรดให้ เป็น A, B+, B, C+, C, D+, D และ F เพียงซอยย่อยบริเวณของแต่ละเกรดออกเป็น สองส่วนเท่านั้น) ตัวอย่าง ในการสอบวิชาหนึ่ง จ านวนนักศึกษา 20 คน ได้คะแนนสอบ ดังนี้ 24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15 เมื่อแปลง คะแนน ดิบเป็นคะแนนทีปกติแล้วได้ดังตาราง

42 เมื่อผู้ใช้เลือกตัดเกรด A, B, C, D, F หาพิสัย (Range) ของคะแนน ในที่นี้ (คะแนนทีปกติค่าสูงสุด – คะแนนทีปกติค่าต่ าสุด) / จ านวนเกรดที่จะตัด = (70-30) / 5 = 8 คะแนนทีปกติเท่ากับหรือมากกว่า 50 + 1.5 * พิสัย จะได้เกรด A 50 + 1.5 * 8 = 62 คะแนน T ปกติ 62 ขึ้นไปจึงจะได้ A คะแนนที่ปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 + 0.5 * พิสัย แต่ไม่ถึง 50 +1.5 * พิสัย จะได้เกรด B 50 + 0.5 * 8 = 54 คะแนน T ปกติ 54 ถึง 61 จะได้ B คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 - 1.5 * พิสัย แต่ไม่ถึง 50 + 0.5 * พิสัย จะได้เกรด C 50 - 0.5 * 8 = 46 คะแนน T ปกติ 46 ถึง 53 จะได้ C คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 - 1.5 * พิสัย แต่ไม่ถึง 50 - 0.5 * พิสัย จะได้เกรด D 50 - 1.5 * 8 = 38 คะแนน T ปกติ 38 ถึง 45 จะได้ D คะแนนทีปกติ ที่น้อยกว่า 50 – 15 * พิสัย จะได้เกรด F คะแนนทีปกติที่น้อยกว่า 38 จะติด F น าเกรดที่ได้ไปเขียนลงในตาราง จะเป็นดังนี้

43 วิธีกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์ วิธีการนี้จะน าคะแนนที่เกิดจากผลการเรียนของผู้เรียนแต่ละคนไปเปรียบเทียบกับเกณฑ์ หรือ จุดประสงค์ที่ตั้งไว้ การประเมินแบบนี้ส่วนมากจะออกมาในรูปผ่านหรือไม่ผ่าน รู้หรือไม่รู้ หรือออกมาในรูป ของเกรด A, B, C, D หรือ F แต่เกรดที่ได้จากการประเมินแบบนี้จะบอกได้ว่าคนนี้ได้เกรด A สามารถท าอะไร ได้บ้าง เช่น สามารถผ่านจุดประสงค์หลัก จุดประสงค์รองทุกข้อ หรือสามารถท าคะแนนได้ถึงร้อยละ 90 ขึ้นไป การให้เกรดในระบบนี้ที่นิยมใช้ แบ่งเป็น 2 ประเภท ดังนี้ แบบที่ 1 ตัดสินให้ผ่ำน ไม่ผ่ำน หลักการส าคัญคือ ก าหนดเกณฑ์ขั้นต่ าในรูปของคะแนนดิบหรือ เปอร์เซ็นต์ ผลที่ได้จากการ ประเมินผลในระบบนี้จะมีแค่ 1 ค่าเท่านั้น ซึ่งการให้เกรดวิธีนี้ใช้ดีมากในการ ประเมินแบบอิงเกณฑ์ โดยผู้สอน ต้องก าหนดเกณฑ์ขั้นต่ า (Minimum Requirement) เอาไว้ว่า ผู้สอนต้องมี ความสามารถ (ตามจุดประสงค์) อะไรบ้างจากนั้นจึงท าการตรวจสอบว่าใครผ่านหรือไม่ผ่านตามเกณฑ์ที่ ก าหนดไว้การตัดสินให้เกรดเป็น ดี - ผ่าน ตก ก็อนุโลมให้อยู่ในลักษณะนี้ แบบที่ 2 ใช้เกณฑ์ที่คำดหวังหรือตั้งเกณฑ์ไว้ตำยตัว หลักการส าคัญคือ ก าหนดเกณฑ์ในรูปของ คะแนนดิบหรือเปอร์เซ็นต์ขึ้นมาก่อน เช่น ได้ 90% ขึ้นไป ได้เกรด A ได้ 70 - 80% ได้แกรด B เป็นต้น ระบบนี้ มีจุดอ่อนตรงที่ว่าเปอร์เซ็นต์หรือคะแนนของผู้เรียนขึ้นอยู่ กับความยากง่ายของข้อสอบ โดยครูผู้สอนมิได้มี วิจารณญาณของตนเองเข้ามาเกี่ยวข้องด้วย เช่น ถ้าข้อสอน ยากเกินไป ผู้เรียนกลุ่มนี้ก็อาจจะได้เกรด F หลาย คน ซึ่งไม่สอดคล้องกับการประเมินที่มีประสบการณ์ร่วมกัน ของครูผู้สอน ดังนั้น การก าหนดเกณฑ์มาตรฐาน จะต้องอาศัยประสบการณ์ของผู้สอนหรือการพิจารณาร่วมกันของกลุ่มผู้สอน ซึ่งเกณฑ์แต่ละเรื่องไม่จ าเป็นต้อง เท่ากันเสมอไป ขึ้นอยู่กับความจ าเป็นและความยากง่ายของ แต่ละเรื่องเป็นส าคัญ การตัดเกรดแบบอิงกลุ่ม และอิงเกณฑ์ในปัจจุบันมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ส าเร็จรูปที่ใช้ใน การตัดเกรดซึ่งสามารถช่วยให้ผู้สอนเลือกใช้ รูปแบบ หรือวิธีการตัดเกรด การวิเคราะห์ผลค านวณและจัดพิมพ์ ได้สะดวก ท าให้ประหยัดเวลาได้มากขึ้น 4. ข้อดีข้อเสียของกำรตัดเกรดแต่ละประเภท การตัดเกรดแต่ละรูปแบบมีส่วนที่เป็นข้อดีและข้อเสียของแต่ละรูปแบบ ดังที่ ศิริชัย กาญจนวาสี (2544) สรุป ไว้ ดังนี้ ข้อดีของกำรตัดเกรดแบบอิงกลุ่ม 1) ช่วยกระตุ้นผู้เรียนให้เกิดการแข่งขันเป็นแรงจูงใจให้ผู้เรียนพยายามเรียนรู้ให้ดีที่สุด มีใช่หวังผล เพียงเรียนเพื่อผ่านเท่านั้น 2) สะดวกน าไปใช้ปฏิบัติ ข้อเสียของกำรตัดเกรดแบบอิงกลุ่ม 1) มาตรฐานของการก าหนดเกณฑ์ขึ้นอยู่กับผลการเรียนของกลุ่ม 2) มีปัญหาการเปรียบเทียบระหว่างรุ่นของผู้เรียน ซึ่งแต่ละรุ่นอาจมีความสามารถแตกต่างกันถึงแม้จะ ได้เกรดเดียวกัน ข้อดีของกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์ 1) ช่วยเสริมสร้างความร่วมมือระหว่างผู้เรียน เป็นแรงจูงใจให้ผู้เรียนพัฒนาการเรียนรู้ร่วมกัน 2) ท าให้มีเกณฑ์มาตรฐานส าหรับการตัดสินคุณภาพในแต่ละวิชาชีพ

44 ข้อเสียของกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์ 1) ผู้สอนมีเกณฑ์ในการตัดสินคุณภาพที่ต่างกัน 2) มีปัญหาความเชื่อถือได้ของเกณฑ์ที่ใช้ ข้อดีของกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์และอิงกลุ่ม 1) ช่วยเสริมสร้างความร่วมมือและการแข่งขันระหว่างผู้เรียน 2) มีการตรวจสอบผลความก้าวหน้าในการเรียนรู้และผลสรุปของการเรียนรู้ ข้อเสียของกำรตัดเกรดแบบอิงเกณฑ์และอิงกลุ่ม 1) มีปัญหาความเหมาะสมและเชื่อถือได้ของเกณฑ์ที่ใช้ในการตัดสิน 2) มีความสลับซับซ้อนในทางปฏิบัติ 5. แนวโน้มกำรตัดเกรดเพื่อคุณภำพของผู้เรียน แนวโน้มในการตัดเกรดที่จะประเมินความสามารถของผู้เรียนแต่ละคนว่า มีความสามารถเป็นอย่างไร ผ่านหรือไม่ผ่าน ความสามารถอยู่ในระดับใด ซึ่งถือว่าเป็นเรื่องที่ท าได้ยากเนื่องจากก าหนดเกณฑ์หรือ มาตรฐานในการตัดสินความสามารถของผู้เรียนเป็นสิ่งที่ซับซ้อน และยังคงเป็นปัญหาที่มีการถกเถียงกันมาก ตามความคิดเห็นที่แตกต่างกันของแต่ละบุคคลหรือปรัชญาการศึกษาที่ใช้ อย่างไรก็ตาม การตัดสินผลการ เรียนหรือการให้ระดับผลการเรียน ถือเป็นหน้าที่ที่ส าคัญอย่างหนึ่งของผู้สอน ที่จะต้องด าเนินการอย่างในการ ตัดสินความสามารถของผู้เรียน ดังนี้ 1.ความรู้ความสามารถ หรือทักษะของผู้เรียน ต้องเป็นความรู้ความสามารถที่เป็นไปตามจุดมุ่งหมาย ของการเรียนรู้ที่ส าคัญ หรือเป็นจุดเน้น ตลอดจนคุณลักษณะอื่น ๆ ที่เป็นจุดเน้นของหลักสูตรในแต่ละระดับ ซึ่ง ถือเป็นปัจจัยส าคัญในการก าหนดระดับความรู้ความสามารถของผู้เรียน 2.ข้อมูลที่ได้จากการวัดผล หรือผลการวัดด้วยวิธีใด ๆ ก็ตาม ในรายวิชานั้น ๆ ต้องเป็นข้อมูลที่ ถูกต้อง ตรงกับความเป็นจริงและเชื่อถือได้ กล่าวคือ ต้องได้จากเครื่องมือวัดที่มีคุณภาพ วัดได้ครอบคลุมทุก คุณลักษณะที่ต้องประเมินตามหลักสูตร ใช้วิธีการวัดหลาย ๆ วิธี เพื่อให้สอดคล้องกับสิ่งที่ต้องการวัด และ ด าเนินการวัดหลาย ๆ ครั้ง ทั้งก่อนการเรียนการสอน ระหว่างเรียน และหลังสิ้นสุดการเรียนการสอน ตลอดจน มีมาตรการในการตรวจให้คะแนนที่มีความเป็นปรนัย 3.เกณฑ์ที่ใช้เป็นหลักในการพิจารณาเปรียบเทียบว่า คุณลักษณะที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียนนั้นอยู่ใน ระดับใด ซึ่งเกณฑ์ที่ใช้ต้องเหมาะสมกับธรรมชาติของวิชา สอดคล้องกับแผนการจัดการเรียนรู้หรือแผนการจัด กิจกรรมการเรียนการสอนด้วย 4.คุณธรรมและวิจารณญาณส าหรับผู้ประเมิน ซึ่งเป็นสิ่งที่ส าคัญมากที่ผู้สอนต้องตัดความอคติส่วนตัว ออกไป เพื่อให้การประเมินเป็นไปอย่างยุติธรรม โปร่งใสและต้องค านึงถึงการพัฒนาการ ความงอกงามทางด้าน คุณลักษณะที่พึงประสงค์ทั้งด้านพุทธิพิสัย จิตพิสัย และทักษะพิสัยที่เกิดขึ้นกับผู้เรียนเป็นหลัก รวมถึงการเน้น ที่ทักษะกระบวนการต่าง ๆ ซึ่งสอดแทรกอยู่ในกระบวนการเรียนการสอน ที่ควรน ามาพิจารณา ดังนั้น การตัด เกรดเพื่อคุณภาพของผู้เรียนนั้นจึงควรสอดคล้องกับแนวกรปฏิรูปการศึกษาที่เน้น พัฒนาการเรียนรู้ของผู้เรียน ให้ก้าวหน้าสูงสุด มีการปรับเปลี่ยน เพิ่มเติมเทคนิค วิธีการประเมินผลให้หลากหลายสอดคล้องกับเนื้อหาสาระ กระบวนการเรียนรู้ของผู้เรียน และสามารถด าเนินการอย่างต่อเนื่องเป็น หนึ่งเดียวกับกระบวนการเรียนรู้

45 ดังนั้นแนวโน้มการตัดเกรด จึงมีหลายประเด็นที่เป็นค าถามที่ต้องพิจารณา อาทิเช่น การประเมินพัฒนาการ ของผู้เรียนจะประเมินอย่างไร การประเมินส าหรับการเรียนแบบร่วมมือจะ ประเมินอย่างไร การพิจารณาผล การวัดที่หลากหลายทั้งที่เป็นผลจากผลสัมฤทธิ์และไม่ใช้ผลสัมฤทธิ์ เช่น การ มีส่วนร่วมในห้องเรียนจะประเมิน หรือไม่และให้ความส าคัญมากน้อยเพียงใด ท าอย่างไรให้มีการประเมินเป็น ระยะ ๆ ในห้องเรียนโดยไม่แยก เด็ดขาดจากการเรียนกับการสอบ เป็นต้น

46 สรุป สถิติเป็นศาสตร์แขนงหนึ่งของระเบียบวิธีการทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งมีการวิเคราะห์ข้อมูล และน าเสนอ เป็นสารสนเทศจากการแปลความหมายข้อมูล สถิติแบ่งได้เป็น 2 สาขา คือสถิติเชิงบรรยาย (Descriptive Statistic) เป็นสถิติที่มุ่งบรรยายลักษณะของข้อมูลไม่น าผลที่ได้ไปอ้างสรุปถึงกลุ่มอื่น และสถิติเชิงอ้างอิง (Inferential Statistic) เป็นสถิติที่ศึกษากับกลุ่มตัวอย่างแล้วสรุปผลที่ได้อ้างอิงถึงกลุ่มประชากร ทั้งนี้ในการ เลือกสถิติวิเคราะห์ข้อมูลจะมีลักษณะแตกต่างกันออกไปตามระดับของข้อมูล ซึ่งหากมองในแง่ของการวัด จะ แบ่งข้อมูลดังกล่าวได้เป็น 4 ระดับ คือ นามบัญญัติ เรียงล าดับ อันตรภาค อัตราส่วน โดยในการวิเคราะห์ ข้อมูล จะต้องทราบว่าข้อมูลนั้นอยู่ในระดับใด แล้วเลือกใช้สถิติให้เหมาะสมกับระดับนั้นๆ ดังนั้นผู้วิจัยจึงต้องมี ความ เข้าใจเกี่ยวกับลักษณะของข้อมูลว่าจัดอยู่ในระดับใดหรือมาตราใด หลังจากที่ได้รวบรวมข้อมูลมาแล้วแต่ ยัง ไม่ได้น ามาจัดระเบียบ หรือจัดกระท าด้วยวิธีการใดๆ เราเรียกข้อมูลนั้นว่า ข้อมูลดิบ (Raw data หรือ Raw score) เพื่อให้ข้อมูลดิบมีความหมายยิ่งขึ้นจึงมีการใช้สถิติส าหรับวิเคราะห์ข้อมูล สถิติเบื้องต้นส าหรับ การวัด และประเมินผล ได้แก่ การแจกแจงความถี่ การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง และการวัดการกระจาย

47 บรรณำนุกรม ชูศรี วงศ์รัตนะ. (2546). เทคนิคกำรใช้ถิติเพื่อกำรวิจัย. พิมพ์ครั้งที่ 9. กรุงเทพฯ : เทพเนรมิตรการพิมพ์. ชวน ชัย เชื้อสาธชุน. (2544). สถิติเพื่อกำรวิจัย. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซ็นเตอร์. พิชิต ฤทธิ์จรูญ. (2547). ระเบียบวิธีกำรวิจัยทำงสังคมศำสตร์. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ: เฮ้าส์ ออฟ เคอร์ มีสท์. พิษณุ ฟองศรี. (2551). วิจัยทำงกำรศึกษำ. พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพฯ : พรอพเพอร์ตี้พรินท์. พวง รัตน์ ทวีรัตน์. (2543). วิธีกำรวิจัยทำงพฤติกรรมศำสตร์และสังคมศำสตร์. พิมพ์ครั้งที่ 8. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. ไพศาล วรค า. (2554). กำรวิจัยทำงกำรศึกษำ. พิมพ์ครั้งที่ 2. มหาสารคาม : ตักสิลาการพิมพ์. วาโร เพ็งสวัสดิ์. กำรประเมินผลกำรเรียน. พิมพ์ครั้งที่ 4. สกลนคร : โปรแกรมวิชาการวัดผลการศึกษา คณะ ครุศาสตร์ สถาบันราชภัฏสกลนคร, 2542