Emodul Matematika

EMODUL MATEMATIKA

POLINOMIAL

2

SMA/MA Sederajat

SALSABILAH

PENDAHULUAN

Identitas Modul

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan
Kelas : XI Mipa
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit
Judul Modul : Polinomial

Kompetensi Dasar

3.3. Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial
4.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi

Tujuan Pembelajaran

1.Menentukan nilai suatu polinom.
2.Menentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan dan

perkalian pada polinom.
3.Menenentukan hasil operasi pembagian pada polinomial dengan

cara bersusun dan horner.
4.Menentukan hasil bagi dan sisa jika dibagi dengan suku

banyak berderajat dua.
5.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi

polinomial.

Petunjuk Penggunaan Modul

1.Berdoa sebelum mempelajari modul.
2.Pelajari uraian materi yang disediakan secara berurutan.
3.Perhatikan contoh-contoh yang disediakan, jika memungkinkan cobalah

mengerjakannya kembali.
4.Keberhasilan proses pembelajaran dengan modul ini bergantung pada

kesungguhan kalian dalam memahami modul dan berlatih secara mandiri.

Peta Operasi Penjumalahan
Konsep Suku dan

Kesamaan Banyak Pengurangan
Suku
Polinomial Perkalian
Banyak (Suku dan

Teorema Banyak) Pembagian
Faktor
Teorema
Sisa

Aturan Hubungan
Descartes akar

dengan
koefisien
suku banyak

Pengertian Suku Banyak

SUKU BANYAK
Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang varabel
(peubahnya) berpangkat bilangan bulat non negatif.
Bentuk umum:

Dengan n Є bilangan bulat

Pengertian:

Disebut koefisien masing-masing bilangan real (boleh juga bilangan kompleks).

Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada
tiap-tiap suku, disebut n. Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki
derajat.
Suku:

Suku tetap (konstanta)
adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah.

Sedangkan adalah suku berderajat tinggi.

Nilai Suku Banyak

Jika maka suku banyak dapat dicari
dengan cara substitusi dan skemati/horner.

1. Metode Substitusi
Dengan mensubstitusi nilai variabel x ke fungsi suku banyak
Contoh:
Diketahui fungsi polinomial
Maka nilai fungsi tersebut untuk x = -2 adalah...
Pembahasan:

Jadi, nilai f(-2) = -45

2. Metode Bagan/Skema/Horner . Nilai suku banyak jika x = 3 adalah...

Contoh:
Diketahui

Pembahasan:

3 3 -2 7 -5 -8 Koefisien x
Nilai suku banyak
______9____2_1___8_4__2_3_7_ +
3 7 28 79 _2__2_9
_______

____

Operasi Suku Banyak

Penjumlahan dan

Contoh:

Diketahui
Tentukan p(x) + q(x)!
Pembahasan:

Pengurangan dan

Contoh:


Diketahui
Tentukan g(y) - h(y)!
Pembahasan:

Operasi Suku Banyak

Perkalian dan

Contoh:

Diketahui
Tentukan f(x) . g(x)!
Pembahasan:

Pembagian

Pembagian suku banyak P(x) oleh (x-a) dapat ditulis dengan:

P(x) = (x-a) . H(x) + S(x)


Keterangan:
P(x) = suku banyak yang dibagi
(x-a) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa pembagian

Pembagian Suku Banyak

Metode Horner

Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa jika x² + 4x - 8 dibagi (x - 2)!

Pembahasan: 4 -8
Koefisien
Polinum
a 21 Sisa pembagian
_______

____
______2____1_2___

1 6 ___4____

Koefisien hasil bagi Jadi, hasil baginya adalah x + 6
dan sisa pembagiannya adalah 4

Metode Pembagian Bersusun

Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa jika x² + 4x - 8 dibagi (x - 2)!

Pembahasan:

______x_+__6____
Hasil bagi
x - 2 x² + 4x - 8
_x_² _-_2_x____ - Yang dibagi

Pembagi 6x - 8 Jadi, hasil baginya
adalah x + 6 dan sisa
6_x__-_1_2____ - pembagiannya adalah 4
4 Sisa pembagian

Teorema Sisa

1. Jika suku banyak P(x) dibagi (x ± a) maka sisanya P(±a) .


2. Jika suku banyak P(x) dibagi (ax ± a) maka sisanya .

3. Jika suku banyak P(x) dibagi (ax² + bx + c) maka sisanya px + q.

Contoh 1:
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x-2 bersisa -13, dibagi oleh x-3 bersisa 7.
Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x² - x - 6 maka sisanya adalah...

Pembahasan: —
Dimisalkan sisanya: S(x) = ax + b
P(x): (x + 2) —› S(-2) = -13 —› -2a + b = 13

P(x): (x - 3) —› S(3) = 7 —› 3_a_+__b_=_7___

-5a = -20

a =4

a = 4 substitusikan ke -2a + b = -13
-2a + b = -13
-2(4) + b = -13
-8 + b = -13

b = -5

Jadi, sisanya adalah ax + b = 4x - 5

Teorema Sisa

1. Jika suku banyak P(x) dibagi (x ± a) maka sisanya P(±a) .


2. Jika suku banyak P(x) dibagi (ax ± a) maka sisanya .

3. Jika suku banyak P(x) dibagi (ax² + bx + c) maka sisanya px + q.

Contoh 2:
Suatu suku banyak bila dibagi oleh (x + 3) akan bersisa 4 dan jika dibagi
(2x - 1) akan bersisa -10. Tentukan sisa bagi f(x) oleh (2x² + 5x - 3)!

Pembahasan:

Hasil pemfaktoran dari (2x² + 5x - 3) = (2x - 1)(x + 3). Artinya, (2x + 1) dan
(x + 3) sudah merupakan akar-akarnya sehingga:

Dimisalkan sisanya: S(x) = px + q
P(x): (x + 3) —› S(-3) = 4 —› -3p + q = 4

P(x): (2x - 1) —› S(½) = -10 —_› _½_p_+__q_=_-_10 —

-7/2 p = 14
p = -4

p = -4 substitusikan ke -3p + q = 4
-3p + q = 4
-3(-4) + q = 4
12 + q = 4

q = -8 Jadi, sisanya adalah px + q = -4x + -8

Teorema Faktor Jika F(x) adalah polinomial, (x-k) merupakan faktor dari F(x)
jika dan hanya jika F(k) = 0.
Artinya:


1. Jika (x - k) merupakan faktor, maka nilai F(k) = 0, sebaliknya;

2. Jika F(k) = 0, maka (x - k) merupakan faktor.
3. Jika (x - k) adalah faktor rasional dari suku banyak

, maka kemungkinan
nilai k adalah hasil bagi dari faktor dengan faktor

Aturan tanda dari Descrates
Jumlah faktor real positif dari polinom F(x) sama dengan
jumlah pergantian tanda dari suku-suku F(x).


Jumlah faktor real negatif dari polinom F(x) sama dengan

jumlah pergantian tanda dari suku-suku F(-x).
Note: untuk mencari faktor yang lain dapat menggunakan
metode horner

Akar-akar Rasional Persamaan Suku Banyak

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan suku


banyak, karena terdapat hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan suku

banyak.
Jika P(x) adalah suku banyak; (x - k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar
dari persamaan P(k) = 0.
k disebut akar atau nilai nol dari persamaan suku banyak: P(x) = 0

Teorema Akar-akar Rasional

Jika P(x) dan (x - k) merupakan faktor dari P(x) maka

k merupakan akar dari P(x).


Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku Banyak
Jika akar-akar persamaan suku banyak: adalah dan

maka

Daftar
Pustaka

Aksin, Nur, dkk. 2017. Matematika Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam SMA/MA
kelas XI Semester 2.Yogyakarta: Intan Pariwara.
Buku Logic Matematika Praktis
(https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/suku-banyak-
matematika-kelas-11-pengertian-pembagian-dan-contoh-soal/)
Simangusong, Wilson. 2015. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.

(021) 3820323 • [email protected] • www.situssangathebat.co.id • Jl. Melambai no 15, Jakarta