Pembahasan Soal OSK Matematika SMP 2017 Tingkat Kabupaten

Pembahasan Soal

OSK SMP 2017

OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017

OSK Matematika SMP

(Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP)

Disusun oleh:

Pak Anang

Halaman 2 dari 20

PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMP

TINGKAT KABUPATEN
11 MARET 2017

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

1. Misalkan adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima , , dan
adalah ….
A. 12 TIPS SUPERKILAT:

B. 14 Jadi, untuk bilangan bulat positif, maka jelas bahwa
jumlah dari ketiga bilangan prima tersebut merupakan
C. 15 kelipatan 12.
D. 17

Pembahasan:
Perhatikan, bilangan prima yang genap hanya 2, sedang seluruh bilangan prima selain 2 adalah

ganjil. Dan mengingat jumlah tiga bilangan ada genap, maka pastilah salah satu dari bilangan
prima tersebut adalah 2. Bilangan prima genap 2 hanya dimungkinkan diperoleh dari .

Sehingga,

Maka untuk , diperoleh ketiga bilangan prima tersebut adalah 2, 3, dan 7.
Jadi, jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah .

Jawaban: A. 12

2. Diketahui dan adalah dua bilangan bulat positif, serta merupakan bilangan ganjil yang lebih

kecil daripada 2017. Jika , maka pasangan bilangan yang mungkin ada sebanyak

….
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8

Pembahasan:

Karena adalah bilangan ganjil, maka seharusnya ganjil pula.
Sekarang perhatikan ruas kanan terdapat , berarti bilangan ganjil yang dapat dibuat adalah

dan .

Jadi, ada 3 buah pasangan bilangan yang dapat dibentuk.

Jawaban: B. 3

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

JarakHalaman 3 dari 20
(meter)
3. Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa , , dan .
Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah ….

100
80
60
50
40
20
10

0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Waktu(detik)

A. Pelari C selalu berlari paling depan.
B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
C. Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis.
D. Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.
Pembahasan:
Dapat diamati pada grafik bahwa jarak tempuh adalah 100 m ditandai dengan garis putus-putus.
Kemiringan garis menyatakan kecepatan gerak lari dari pelari.
Sehingga, pelari A mula-mula bergerak dengan kecepatan tinggi, sebelum akhirnya berhenti
setelah menempuh jarak 80 m.
Sedangkan pelari B bergerak semakin melambat setelah 10 detik.
Dan pelari C bergerak semakin cepat setelah 10 detik.
Untuk waktu tempuhnya, pelari A tidak sampai di garis finis.
Pelari B membutuhkan waktu 18 detik untuk tiba di garis finis.
Sedangkan pelari C lebih cepat sehingga membutuhkan waktu 16 detik saja untuk finis.
Ketiga pelari berpapasan satu sama lain pada jarak 80. Hal itu dapat dilihat pada perpotongan
ketiga grafik di titik (16, 80).
Sehingga kesimpulannya pelari B disusul C sebelum garis finish….
Jawaban: B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4 dari 20
4. Jika bilangan bulat positif dan merupakan solusi sistem persamaan linear

maka banyak nilai adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Pembahasan:

Sehingga,

Agar adalah bilangan positif, maka jelas
Sehingga,

Agar adalah bilangan positif, maka jelas

Sehingga dari dua uraian di atas, dan akan bernilai positif apabila .

Sekarang perhatikan informasi di soal, bahwa dan harus bilangan bulat positif.
Untuk memastikan bahwa dan adalah suatu bilangan bulat, maka coba pandang bentuk

dan .

Sehingga jelas bahwa bentuk pembilang keduanya haruslah kelipatan 5 agar dapat diperoleh
masing-masing dan adalah bilangan bulat.

Sehingga, pilih pada interval agar bentuk dan kelipatan 5.

Jadi, ada 3 nilai yang mungkin adalah 7, 12, 17
Jawaban: B. 3

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 5 dari 20

5. Diketahui fungsi memenuhi persamaan , untuk . Nilai sama dengan
….
A.

B.

C.

D.

Pembahasan:

Gunakan dan , agar mendapatkan sistem persamaan linear dalam dan .

Jawaban: B.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 6 dari 20

6. Pada jajar genjang , jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara
sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm. Luas jajar genjang ABCD adalah ….

9
4

A. minimal 36 cm2.
B. tepat 36 cm2.
C. maksimal 36 cm2.
D. Antara 36 cm2 dan 81 cm2.

Pembahasan:
Perhatikan, unsur yang diketahui pada soal hanyalah dua buah jarak sepasang sisi sejajar pada
jajar genjang.

Perhatikan ilustrasi berikut,

(i) (ii) (iii)

Perhatikan pada tiga gambar di atas. Terdapat dua lingkaran berjari-jari 4 dan 9 sebagai
perwakilan jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang. Luas jajar genjang dapat bervariasi
apabila kita memutar salah satu pasangan sisi sejajar..

Sehingga jelas bahwa pada gambar (i) merupakan luas minimal jajaran genjang yaitu saat kedua

pasang sisi sejajar saling tegak lurus. Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi
panjang berukuran 4 dan 9:

cm2.

Sedangkan pada gambar (ii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga
luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (i).

Dan juga pada gambar (iii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya
lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (ii).

Begitu seterusnya hingga kedua pasang sisi sejajar nyaris berhimpit, maka luasnya menjadi tak
hingga.

Jadi, jawabannya adalah luas jajar genjang minimal 36 cm2.

Jawaban: A. minimal 36 cm2 .

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7 dari 20 ,
Cara Alternatif 1:
Perhatikan jajar genjang

9
4

Apabila kita tarik garis jarak dua garis sejajar bernilai pada salah satu titik sudut jajar genjang,

maka misal garis tersebut adalah , dan sudut , maka:

sin sin

Padahal luas jajar genjang adalah:

sin

sin

Kita tahu bahwa dan ,
, jadi:
sin sin

sin
sin

Perhatikan juga bahwa
sin

kalikan dengan

Jadi, jelas bahwa diperoleh , ini artinya bahwa luas jajar genjang minimal adalah 36 cm2.
Jawaban: A. minimal 36 cm2.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 8 dari 20 ,
Cara Alternatif 2:
Perhatikan jajar genjang

9
4

Perhatikan siku-siku di titik , sehingga

Ingat, pada suatu segitiga, sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah sisi-sisi yang lain, sehingga
diperoleh:

kuadratkan kedua ruas

Sehingga, jelas bahwa luas jajaran genjang
adahal

Dengan menerapkan konsep yang sama untuk , maka dengan mudah juga akan diperoleh

bahwa . Sehingga luas jajaran genjang yang didapatkan juga .

Namun, masih ada pertanyaan bahwa apakah mungkin = 4 dan ?
Jika , maka berimpit dengan , dan jika , maka berimpit dengan ,

sehingga merupakan persegi panjang, Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas
persegi panjang berukuran 4 dan 9:

cm2.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 9 dari 20

7. Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan . Luas
daerah trapesium yang diarsir adalah ….

A.

B. 1

C.

D.

Pembahasan:

1
1

Ingat perbandingan istimewa pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lain 30° dan 60°,
perbandingan sisi-sisinya adalah

Karena panjang , maka jelas dan .
Dan panjang serta

Jadi, luas trapesium adalah:

Jawaban: B. 1.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 10 dari 20 dengan dan . Panjang lintasan pada
8. Diketahui persegi panjang

gambar berikut adalah ….

A. siku-siku di , sehingga
B.
C.
D.

Pembahasan:
Perhatikan

Perhatikan sebangun dengan , sehingga

Mudah dibuktikan bahwa karena:
- (lebar persegi panjang )
- (sudut dalam berseberangan)

- (sudut siku-siku)

maka kongruen dengan , sehingga

Pandang ruas garis merupakan hasil penjumlahan dari beberapa ruas garis dan ,

serta karena , maka diperoleh:

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 11 dari 20 , maka
Dengan menggunakan kesamaan luas

Sehingga karena kongruen dengan , maka

Sehingga panjang lintasan adalah:
panjang lintasan

Jawaban: D. .

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 12 dari 20

9. Diketahui … dan adalah himpunan bagian dari yang mempunyai 4

anggota. Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan
yang mungkin adalah

A. 1.980
B. 148.995
C. 297.990

D. 299.970

Pembahasan dengan “Ralat Soal”:
Ralat soal “Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak
himpunan yang mungkin adalah” seharusnya menjadi “Jika semua anggota merupakan suatu
bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah”

Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari

adalah … dan beda , maka banyak
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama

anggota dapat ditentukan dengan:

Banyak kemungkinan maupun adalah bilangan genap adalah:
.

Jawaban: B. 148.995

embahasan tanpa “Ralat Soal”

Perhatikan, bentuk adalah bernilai genap dapat diperoleh dalam tiga buah kasus,
yaitu:

- dan seluruhnya adalah bilangan genap
- dan seluruhnya adalah bilangan ganjil

- dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan genap

Kasus 1:
adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah

…
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda , maka banyak
anggota dapat ditentukan dengan:

Banyak kemungkinan dan adalah bilangan genap adalah:
.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 13 dari 20

Kasus 2:
Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan ganjil yang merupakan himpunan bagian dari dari

adalah … dan beda , maka banyak
Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama

anggota dapat ditentukan dengan:

Banyak kemungkinan dan adalah bilangan ganjil adalah:
.
dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan
Kasus 3:
Banyak kemungkinan .
genap adalah:
adalah bernilai genap, dimana dan adalah himpunan
Sehingga, bentuk . . . ..
bagian adalah:

Jawaban: -

Komentar terhadap soal:
Menurut pandangan saya, pembuat soal agak lalai dalam mengunci soal. Saya menduga bahwa
penulis dan pembuat soal sebenarnya meletakkan alternatif jawaban benar pada opsi jawaban D.

Mengapa? Hal ini dimungkinkan jawaban benar adalah D, apabila penghitungan pada ketiga kasus
terjadi kekeliruan, yaitu perhitungan pada kasus ketiga, yaitu bentuk perkalian secara

tak sengaja dianggap sebagai bentuk penjumlahan , sehingga perhitungannya akan
menjadi:

Sehingga, bentuk adalah bernilai genap, dimana dan adalah himpunan
bagian adalah:

.. .

Jawaban: D. 299.970.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 14 dari 20

10. Dari 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan

dan . Jika jangkauan data tersebut adalah 16, median, median, dan , maka

nilai rata rata data tersebut adalah ….
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

Pembahasan:

Padahal , sehingga diperoleh:
Maka dari dan

Jadi rata-rata data tersebut adalah:

Jawaban: B. 11. , maka dihitung nilai dan , sehingga diperoleh
Cara Alternatif:
Setelah diperoleh

Jadi rata-rata data tersebut adalah:

Jawaban: B. 11.
Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 15 dari 20

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT yang memenuhi
1. Diketahui dan adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai

pertidaksamaan , maka nilai terbesar yang mungkin adalah ….

Pembahasan:

Jadi, terbesar yang mungkin adalah 112, dengan nilai .

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 16 dari 20

2. Nilai .. . . sama dengan ….
sebagai bentuk deret geometri dengan
Pembahasan: dan ,

Pandang bentuk
maka diperoleh:

Sehingga,

Dan seterusnya…..

Sehingga . . .
.. .
.
Cara Alternatif:
.
Misal .. . .

...

Maka dari dua persamaan di atas, diperoleh: .

.
.

.
.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 17 dari 20

3. Diketahui adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan dan adalah solusi persamaan

serta bilangan dan adalah solusi persamaan . Nilai

sama dengan ….

Pembahasan: dan , sehingga diperoleh:

penyelesaiannya adalah
….….….
……………..

penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh:
……..….
……………..

Jumlah persamaan (1) dan (2)
………………..

Eliminasi dan pada persamaan (1) dan (3), diperoleh:

Substitusikan ke persamaan (2) dan (4), diperoleh:

Jadi dari persamaan (5) diperoleh:

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 18 dari 20

4. Misalkan dan sebuah persegi dengan merupakan titik tengah AD. Luas segitiga
adalah 6 satuan luas. Luas segitiga adalah ….

TIPS SUPERKILAT:
Dengan mudah diamati bahwa AC = 2 CD, dan DE = 2BF
Jadi luas CDE = luas ABC = 6

Pembahasan: dan sebuah persegi, maka:
Karena

Karena titik tengah , maka
Sehingga,

Perhatikan sebangun

Sehingga sebangun
Perhatikan

Sehingga
Padahal

Maka

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 19 dari 20

5. Tersedia 10 loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang
sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di
loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu
dari 4 orang sebelumnya adalah ….

Pembahasan:
Misal loket tersebut diilustrasikan pada gambar berikut:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A B C D
E

Tidak diketahui secara jelas jumlah pelanggan, namun pada soal disajikan lima pelanggan
pertama, misalkan .

Maka, banyak kejadian keempat orang pertama dilayani di loket berbeda dan orang kelima pada

antrian loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya adalah .

Sedang seluruh kejadian yang mungkin untuk kelima orang pertama tersebut adalah .

Jadi, peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5
pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah:

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 20 dari 20
Pembahasan soal OSK Matematika SMP 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat
keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan
soal OSN ini.
Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta
soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terima kasih.
Pak Anang

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)