คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม1 หน่วย1_อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 คณติ ศาสตร์ เล่ม 1
หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 4 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 5
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 3

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 3

หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 6

Slide PowerPoint_สอื่ ประกอบการสอน

บริษัท อักษรเจริญทศั น์ อจท. จำกัด : 142 ถนนตะนำว เขตพระนคร กรุงเทพฯ 10200
Aksorn CharoenTat ACT.Co.,Ltd : 142 Tanao Rd. Pranakorn Bangkok 10200 Thailand
โทร./แฟกซ์. : 0 2622 2999 (อัตโนมัติ 20 คู่สำย) [email protected] / www.aksorn.com

1หน่วยการเรียนร้ทู ี่

อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

ตวั ชีว้ ัด
• เขำ้ ใจและใชส้ มบัติของกำรไมเ่ ท่ำกนั เพ่ือวเิ ครำะหแ์ ละแก้ไขปัญหำโดยใช้อสมกำรเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว (ค 1.3 ม.3/1)

21 เมตร

สระน้าควรมคี วามลกึ 24 เมตร
อย่างนอ้ ยก่เี มตร

จึงจะทา้ ให้สระนา้ มีความจุ
มากกวา่ 1,260 ลกู บาศกเ์ มตร

นิพจน์ ควรรู้กอ่ นเรยี น
นิพจน์พชี คณติ
นิพจนเ์ ป็นจำนวนทอ่ี ยู่ในรูปคำ่ คงตัวหรือตวั แปร ซง่ึ อย่ใู นรปู กำรดำเนนิ กำรตำ่ ง ๆ
เอกนาม
นพิ จน์พีชคณิตเป็นนิพจนท์ ปี่ ระกอบไปด้วยคำ่ คงตวั และตัวแปร ซึง่ อยู่ในรปู กำรดำเนินกำรต่ำงๆ
พหุนาม
เอกนำมเปน็ นิพจน์ที่สำมำรถเขียนให้อยใู่ นรูปกำรคณู ของคำ่ คงตวั กบั ตัวแปรตัง้ แต่ 1 ตวั ข้นึ ไป และเลขชกี้ ำลังของ
ตวั แปรแตล่ ะตัวเปน็ ศูนย์หรอื จำนวนเตม็ บวก โดยส่วนทีเ่ ปน็ ค่ำคงตวั เรยี กวำ่ สมั ประสทิ ธ์ขิ องเอกนาม และผลบวก
ของเลขช้ีกำลังของตัวแปรแตล่ ะตวั ในเอกนำม เรยี กวำ่ ดีกรีของเอกนาม

พหนุ ำมเป็นนิพจนท์ ีอ่ ยใู่ นรูปเอกนำม หรอื เขียนอยู่ในรูปกำรบวกของเอกนำมตง้ั แต่ 2 เอกนำมขน้ึ ไป และดกี รสี ูงสดุ
ของพหนุ ำมทอ่ี ยู่ในรูปผลสำเรจ็ ทีไ่ ม่มีพจน์ทคี่ ลำ้ ยกัน เรยี กวำ่ ดีกรขี องพหนุ าม

สมบัติของการเท่ากนั ของจา้ นวนจริง ควรรู้ก่อนเรียน

1) สมบัตสิ มมาตร 2) สมบตั ิถา่ ยทอด

ถ้ำ a = b แลว้ b = a ถำ้ a = b และ b = c แล้ว a = c
เมอื่ a และ b แทนจำนวนจริงใดๆ เมอ่ื a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ

3) สมบตั ขิ องการเทา่ กนั เกีย่ วกับการบวก 4) สมบัติของการเท่ากนั เก่ียวกับการคูณ

ถำ้ a = b แล้ว a + c = b + c ถำ้ a = b แล้ว a × c = b × c
เมอื่ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ

ประโยคเกยี่ วกบั จา้ นวนกบั ความสัมพันธท์ ่ปี รากฏ

ประโยคเกีย่ วกบั จา้ นวน ความสมั พันธ์ทีป่ รากฏ

สำมมำกกวำ่ ลบสอง ควำมสัมพันธ์มากกว่า

ฟ้ำมีส่วนสูงน้อยกวำ่ 160 เซนตเิ มตร ควำมสมั พันธ์น้อยกว่า

เก้ำไมเ่ ท่ำกับแปด ควำมสัมพนั ธ์ไม่เท่ากับ

กลำ้ มที ี่ดินไมน่ อ้ ยกวำ่ 10 ไร่ ควำมสัมพนั ธม์ ากกวา่ หรอื เทา่ กับ

ออยมีเงินเกบ็ ไมเ่ กิน 1,000 บำท ควำมสัมพนั ธ์น้อยกว่าหรอื เท่ากบั

เครื่องหมายแสดงการไม่เทา่ กนั

1. 3. 5.
นอ้ ยกวา่ 2. นอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากับ 4. ไม่เท่ากบั
มากกวา่
มากกวา่ หรือเทา่ กบั

อสมการ & อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

อสมการ อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว

อสมการ เปน็ ประโยคสัญลักษณท์ ี่ อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

แสดงถงึ ควำมสัมพันธข์ องจำนวน เป็นอสมกำรท่ีมีตวั แปรปรำกฏอย่เู พยี ง
โดยมสี ญั ลักษณ์ < > ≤ ≥ หรือ ≠ ตวั แปรเดยี ว และมดี กี รขี องตวั แปรเทำ่ กับ 1

แสดงควำมสัมพนั ธ์

ประโยคเก่ียวกับจา้ นวน & ประโยคสัญลกั ษณ์

ประโยคเกย่ี วกับจา้ นวน ประโยคสญั ลกั ษณ์

จำนวนจำนวนหนง่ึ ไมเ่ ท่ำกบั สำม x ≠ 3 เมื่อ x แทนจำนวนหนึง่

ก้องมีสว่ นสงู มำกกว่ำ 170 เซนตเิ มตร x > 170 เมือ่ x แทนควำมสงู ของกอ้ ง

ห้ำเท่ำของจำนวนจำนวนหนึ่งนอ้ ยกว่ำ 100 5x < 100 เมื่อ x แทนจำนวนจำนวนหนึง่

ผลรวมของจำนวนจำนวนหนึง่ กับ 10 มคี ำ่ ไม่เกนิ 50 x + 10 ≤ 50 เมื่อ x แทนจำนวนจำนวนหนง่ึ

กล้ำมีเงนิ ไม่น้อยกว่ำ 500 บำท x ≥ 500 เม่อื x แทนจำนวนเงินของกล้ำ

ค้าตอบของอสมการ

คา้ ตอบของอสมการ คอื จำนวนจริงใดๆ ท่แี ทนตัวแปร
ในอสมกำรแล้วทำให้อสมกำรเปน็ จริง

กราฟแสดงคา้ ตอบบนเสน้ จา้ นวน

x>a x<a x≠a

a a a

x≥a x≤a a<x<b

a a a b
b
a≤x<b a<x≤b a≤x≤b

a ba ba

สมบัตขิ องการไมเ่ ท่ากนั

สมบตั ิของการไมเ่ ทา่ กันเกย่ี วกับการบวก สมบตั ิของการไม่เทา่ กนั เกีย่ วกบั การคูณ

กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนจรงิ ใดๆ กำหนดให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ
• ถำ้ a < b แล้ว a + c < b + c • ถ้ำ a < b และ c เปน็ จำนวนจรงิ บวก แลว้ ac < bc
• ถำ้ a ≤ b แลว้ a + c ≤ b + c • ถำ้ a ≤ b และ c เปน็ จำนวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc
• ถำ้ a > b แลว้ a + c > b + c • ถ้ำ a > b และ c เปน็ จำนวนจรงิ บวก แลว้ ac > bc
• ถ้ำ a ≥ b แลว้ a + c ≥ b + c • ถ้ำ a ≥ b และ c เปน็ จำนวนจรงิ บวก แล้ว ac ≥ bc
• ถ้ำ a < b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ลบ แล้ว ac > bc
• ถำ้ a ≤ b และ c เป็นจำนวนจรงิ ลบ แลว้ ac ≥ bc
• ถ้ำ a > b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac < bc
• ถำ้ a ≥ b และ c เปน็ จำนวนจริงลบ แล้ว ac ≤ bc

ตวั อยา่ งที่ 1

จงแก้อสมกำรในแต่ละข้อต่อไปน้ี พรอ้ มทัง้ เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน

1) x + 1 > −5 2) − 4 + x ≤ 6

วธิ ที ้า 1) จำก x + 1 > −5
นำ −1 มำบวกท้ังสองขำ้ งของอสมกำร
จะได้ x + 1 + (−1) > −5 + (−1)
หรอื x > −6
ดงั น้ัน คำตอบของอสมกำร x + 1 > −5 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนทม่ี ำกกวำ่ −6
เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดังน้ี

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

ตวั อย่างที่ 1

จงแกอ้ สมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ พรอ้ มทัง้ เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน

1) x + 1 > −5 2) − 4 + x ≤ 6

วิธที ้า 2) จำก −4 + x ≤ 6
นำ 4 มำบวกท้ังสองข้ำงของอสมกำร
จะได้ −4 + x + 4 ≤ 6 + 4
หรอื x ≤ 10
ดังนั้น คำตอบของอสมกำร −4 + x ≤ 6 คอื จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนท่นี ้อยกวำ่ หรอื เท่ำกบั 10
เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดงั นี้

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

ตวั อย่างที่ 2

จงแกอ้ สมกำรในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ พร้อมทงั้ เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน

1) 2x ≤ −10 2) − 5x > 20

วธิ ที า้ 1) จำก 2x ≤ −10
นำ 1 มำคูณทั้งสองข้ำงของอสมกำร
2
1 1
จะได้ 2x 2 ≤ (−10) 2

หรือ x ≤ −5

ดังนั้น คำตอบของอสมกำร 2x ≤ −10 คือ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนท่นี ้อยกวำ่ หรอื เท่ำกบั −5

เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดงั นี้

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

ตวั อย่างที่ 2

จงแกอ้ สมกำรในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี พรอ้ มทงั้ เขยี นกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน

1) 2x ≤ −10 2) − 5x > 20

วิธที ้า 2) จำก −5x > 20
1
นำ −5 มำคูณทงั้ สองขำ้ งของอสมกำร

จะได้ −5x 1 1
−5 < (20) − 5

หรอื x < −4

ดงั นน้ั คำตอบของอสมกำร −5x > 20 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนทน่ี อ้ ยกวำ่ −4

เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวนได้ ดังน้ี

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

ตัวอย่างท่ี 3
จงแก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 พรอ้ มทั้งเขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน

วิธีท้า กำรแกอ้ สมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 ทำได้ 2 วธิ ี ดงั น้ี
วธิ ที ี่ 1 เขยี นอสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 ให้อยูใ่ นรูป −4 ≤ 2x − 10 และ 2x − 10 < 10

จำกน้ัน แก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 และ 2x − 10 < 10

แก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 ได้ ดังน้ี แก้อสมกำร 2x − 10 < 10 ได้ ดังนี้
จำก −4 ≤ 2x − 10 จำก 2x − 10 < 10

จะได้ 2x − 10 ≥ −4 จะได้ 2x < 20

2x ≥ 6 x < 10

x ≥3

จำก 3 ≤ x และ x < 10
จะได้ 3 ≤ x < 10

ตวั อย่างที่ 3
จงแก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 พร้อมทัง้ เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเสน้ จำนวน

วิธีทา้ กำรแก้อสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 ทำได้ 2 วิธี ดังนี้

วิธที ่ี 2 จำก −4 ≤ 2x − 10 < 10

จะได้ 6 ≤ 2x < 20

3≤ x < 10

จำกวิธที ี่ 1 และวธิ ีท่ี 2 จะได้คำตอบของอสมกำร −4 ≤ 2x − 10 < 10 คือ จำนวนจรงิ

ทกุ จำนวนที่มำกกว่ำหรอื เท่ำกบั 3 แตน่ อ้ ยกว่ำ 10

เขียนกรำฟแสดงคำตอบบนเส้นจำนวนได้ ดังน้ี

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

จำกรูป จะเห็นว่ำ สระน้ำมคี วำมกวำ้ ง 21 เมตร และยำว 24 เมตร 21 เมตร
ถำ้ ให้สระน้ำลึก h เมตร
จะได้ สระนำ้ มคี วำมจเุ ท่ำกับ 21 × 24 × h 24 เมตร

= 504h ลูกบำศก์เมตร
เนื่องจำกตอ้ งกำรใหส้ ระน้ำจนุ ้ำไดม้ ำกกว่ำ 1,260 ลกู บำศกเ์ มตร
จะได้ อสมกำรทีส่ อดคลอ้ งกบั ขอ้ ควำมขำ้ งตน้ คอื 504h > 1,260

ถ้ำเรำแก้อสมกำรหำคำ่ h
จะได้ คำ่ h คอื ควำมลกึ ของสระน้ำที่ทำใหส้ ระนำ้ จุนำ้ ไดม้ ำกกวำ่ 1,260 ลกู บำศก์เมตร

ตอ่ ไปนจ้ี ะเปน็ กำรแก้อสมกำร 504h > 1,260
จำก 504h > 1,260
จะได้ h > 2.5

ดังนน้ั สระน้ำตอ้ งมีควำมลึกมำกกวำ่ 2.5 เมตร จงึ จะทำใหส้ ระนำ้ มคี วำมจุมำกกว่ำ 1,260 ลกู บำศกเ์ มตร