ปรียาภรณ์ พืชสอน ม.5/3 เลขที่ 36

เอกสารประกอบการเรียน Expo + Log
น.ส.ปรียาภรณ์ พชื สอน ม. 5/3 เลขท่ี 36

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม

เอก ารประกอบการเรียนออนไลน์ เรอ่ื ง การ ารากที่ องในรูป a 2 b รอื x 2 y

พิจารณาการกระจาย 5 3 2

(น +ล)2.- #+2นล +$

522 32t 2 5. 3 +

(5 + 3) =

= 5+2 75 t 3

= 8+2 15
#

ตัวอย่างท่ี 1 จง ารากที่ องของ 7 2 10 (คาตอบจะมี องค่า)

()น5 + 2 ราก บวก

(5 +- 2) ราก(เ)นลม

ตวั อย่างท่ี 2 จง ารากท่ี องของ 10 2 21 (คาตอบจะมี องคา่ )

± ยา -53) ราก(เ)นบวก

ตัวอย่างท่ี 3 จง าค่าของ 10 84 (คาตอบจะมีคา่ เดยี ว)

= 10-221

37=
-

ตัวอย่างที่ 4 จง าคา่ ของ 5 21 (คาตอบจะมีคา่ เดยี ว)

5 + 27 = 2• 5 + 27

2

= 10+227

2

= 7+ 3

2

ตวั อยา่ งท่ี 5 จง าค่าของ 17 6 8 (คาตอบจะมคี า่ เดยี ว)

17 -6 8 = 77-2×3 8

= 17-2 72

q 8= -

แบบฝึก ดั การแก้ มการทอี่ ยู่ในรปู กรณฑ์

1. 2y 2 3 2y 4y 5
ยกกาลัง องทง้ั องขา้ ง

2y 2 3 2y 2 2y 2 3 2y 4y 5

2 2y 2 3 2y 4y

2y 2 3 2y 2y
(2y 2)(3 2y) 4y2
6y 4y2 6 4y 4y2

8y2 2y 6 0
4y2 y 3 0

(4y 3)(y 1) 0
y 1, 3

ตรวจคาตอบ แลว้ เซตคาตอบคอื 1
2. x2 6x 1 6 x2 6x 5

x2 6x 1 6 x2 6x 1 6

ใ ้ x2 6x 1 y จะได้

y 6 y6

y 36 12 y 6 y 6
12 y 6 30

2y 6 5
4y 24
25
y 49
4

แทนคา่ y าค่า x x2 6x 1 49
4

4x2 24x 4 49

4x2 24x 45 0

(2x 3)(2x 15) 0

x 3 , 15
2 2

ตรวจคาตอบ แลว้ เซตคาตอบคอื {32 , 215}

3. จง าเซตคาตอบของ มการ 3x 2 2 3x 1 3x 10 6 3x 1 14

3×+2 + 2 3× + า + 3×+10+63×+1 = 14
3× + 1 t 1 1 (3×+7) + 3×+7+9+2 9(3×+7) = 74

3× + า + 7 + 3×+1 + 9 = 14

23×+1 = 10

3×+1 =5
3× +7
= 25
×
=8

ตรวจ ตอบ

แทน ×= 8

3 (8) +2+2 3 (8) + 7 + 3 (8) +10+6 3 (8) + 7 = /4

3 (8) +2+2 (5) + 3(8) +1① +6 (5) = 14
= 74
6+8

•:{ 8 }

คำคำ

แบบฝกึ ัด เร่ือง การ ารากที่ องของจานวนที่อยูใ่ นรปู x 2 y

1. จง าค่าของ 17 2 72 = 9 8 2 9 8
=98

= 3 22

2. จง าค่าของ 4 2 3 = 3+1-23.1

= ( 3- 2

g)

3. จง าคา่ ของ 12 6 3 = ± (3-7)
#

= 12+2 3.3 • 3
= 9+3+2 9 ° 3

= 9t 3
= 3+ 3 #

4. จง ารากที่ อง 11 2 24
เน่ืองจาก 11 2 24 = 8 3 2 8 3
= ( 8 3)2
= (2 2 3)2

รากท่ี องของ 11 2 24 คือ (2 2 3)
5. จง าคา่ ของ 4 15

§ (4 + ง ) = 70 + 6

2 /#

752= 8+2

= 5+342 5 • 3
2

5. ÷= 3 +
×

2

6. จง ารากท่ี องของ 4 5 17 4 15

4= + 5 + 77-2 75.22 &หาราก 2 มอง 4+25

= 4 + 5 + 72+5-2 72.5 = 3+7+2 3.7 = 4+2 3

4= + 5 + 72 - (3 + 2 = 4+23

5 7)

= 4+2 ง &ราก 2 = ± (3+1)/7

7. จง าคา่ ของ 3 3 8 7 4 3

= -55 + 3+87+2 72

= -3 + 3+8(4 + 3)

= -3 + 3+76+8 3

= -3 + 79+2 48
= -3 + 16 + 3

4ะ - 3 + + 3

=4

=2 *

รทู ไม่รู้จบ เรา ามารถใช้ ลักการของ มการ เพ่ือ าคา่ ของจานวนตดิ รทู ไม่ร้จู บได้

เชน่ 2 2 2 2... รือ 1 1 1 1 ...

ตวั อยา่ ง จง าคา่ ของ 3 3 3 3... = × X = 0,3

(ง×] 2 2

=×

3× =×

2- 3 × =0

× =0

XCX - 3)

ตวั อยา่ ง จง าค่าของ 6 6 6 6 ... =× × - -2,3
-
2
( )6 + × 2
×=
6+×
2
×2×-6
=×

=0

CX -3) (×+ 2) = 0

กCปตัวอย่าง จง าค่าของ 1 1 6 =×
6

1 ...

+= 7 + =× 3)= (×+2) (× - =0

€= า + ×- = o = × = -2

③ #,

2

= × + 6-× = O

×

2-= × × -6 = 0

I

แบบ.ก/ด

-๐/ 2y +2 + 3-2Y y= 4 +5

" ( 27+2 + 3-2y)2 2

= ( 4y + 5)

22 2

(A + B) = +2AB + B

= 2Y +2+2 (2y+2) • (3-24) + 3-2Y Y= 4 +5

4y= 5+2 64-4y# 6- Y= 4 +5

= 5+2 2y-4y 2+6 = 4Y +5

ยก45ง 2 4yำy2= - 6 7๋4=
9-2 หาร
7๋2y -8 +6 0-

7๋ y4 - -3 -

ะ0

C4Y + 3) Cy - 7) = 0

§y = - ,①

#

* ฟงั ก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชยี ลเปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 จาก ไปทั่วถึง + โดย มบตั ขิ องฟงั กช์ นั 1-1 จะไดว้ า่
= กต็ อ่ เมอื่ =

ซึ่งเราจะนา มบัตินไ้ี ปชว่ ยในการแก้ มการเอกซ์โพเนนเชยี ลตอ่ ไป

แบบฝกึ หดั

×✓

×✓
..

×✓
..

✓×

×✓

✓×

✓×
..

✓×
..
✓×

××

×✓

××

4. ถ้า ( ) = 2− และ ( ) = 3 แลว้ จง าค่า

1. (2) = ! #= 2. (3) = 33=27

3. (0) + (0) = 1+7=2

4. (4) − (4) = 87 #- = 12%-7 = 1295
16
5. (1) ∙ (1) = § × 3=2
2

(3)§ § § #6.=
(2) ÷9 = ×=

7. ( ๐ )(1) = fcg a)) = f (3) = 3

8. ( ๐ )(1) = g Cfc7)) = g (E)

=3 ± 3

=

5. จง าเซตคาตอบของ มการ รืออ มการต่อไปน้ี

1. 10 = 100 2. 3 = 1
27
/" = /02 เซต&ตอบ }×
เซต&ตอบ
3=
)อ { 2 } # { }× =-3
×=2 )อ -3
#
4. (21) = 16
3. 16 = 4

42× เซต&ตอบ ×- 4 เซต&ตอบ

แ= )อ {2} # 2 =2
× =2
× = -4 )อ {-4 } #
5. 4− = 1 6. (21)2 = 64
64

ว× °
2 =2 เซต&ตอบ
4-× = 4-3 เซต&ตอบ
-2× = 6 )อ {-3} #
X =3 )อ {3 }# × = -3

7. (23) = 81 8. 5 ≤ 125

M64

[ =/ :)× 4 ×3

(ง เซต&ตอบ 5 5 เซต&ตอบ

×- =4 )อ {-4 } × 3 )อ {3 }

# #

× = -4

9. (14)2 < 64 10. 27 < (53) ≤ 1
¢ว× 125

× 43 า&ตอบ ฐํ้ < (G)× % F. 7

3 )อ (- น - g)
#
_
;)" ×
2 <

l (5-3) % F. ฒื๋

3- < × ×0
3- > ×
(-3,0 ]
× < -3

<+ o - @ >
+
เ
เ
3-
0

สมการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชียล
1. สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

22 (×+2) 3 (× - 2)
=ๆ

2×+4 = 3×-6

× = 70

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ

2¥ = 4-5+2× × = -20+8×

222¥ = G 5+2×) 20 = >×

×= 20
7
× = -10+4×
2

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ 22x 1 17(2x) 8 0

"22× - 77 (2) +8 =0 §× "
. =O
2= 2=

2 ° (2×)2- 17(2×) + 8

ใ$9=2× × = y-

922 - า >a +8 = 0 2× 3
=
8= 2

(29-7) (9-8) = 0

§9 = ,8 X =3

แบบฝึ กหดั
1. ถา้ 4 − = 128 และ 32 + = 81 แลว้ คา่ ของ เทา่ กบั เทา่ ใด

22(× → >

=2

2×-2Y =7 ①

32× + Y 34= 87 =

2× + y =4 ②

① ②- ; -3Y =3

y เ= -

2. ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ โดยท่ี a › 0 และ b › 1 ถา้ ab ba และ b ab3a
แลว้ 20a + 14b เทา่ กบั เทา่ ใด

ab b" จาก ab b"

= {b =

ba ="" = b"

= b

,า b b bแทน a ; "
"" b =2 b

=.

b b 49 " ไ. = 4 b
= b2- 4 b.- o
b ( b- 4) = 0
1 = 49 - า
49 = 2

a =t b = 0,4
2
(E)b.
+14 (4)
..
20 a +14 = 20

= 10 + 56

= 66
*

3. จงแกส้ มการ 2 +2 = 5 − 1

(22)

42×-5 (2)¥ + 1--0 ×24๊ % . ..

ใ$ ¥ =a 2 = (E)|.

2 0×

[E) ำoำ 2=

<ฅํ๋ .

(49-7)(a- 7) = 0 .
.

#9 = ,y X =๐

4. จงแกส้ มการ 5 −3 + 52− = 6
5

§52.55ำ× × =0
=0
5= . -

× ×

53.55ำ5 7ณตลอด ; 5 .

× ×

2+125-6.55 =ณตลอด ; ๐=
(5×)

25

25 750.5×+3125 = 0

(25 7ณตลอด ; 5×) -

× 92-7509+3725 = 0

a= 5 ; (a- 25)(9-725) = 0

9 = 25,725

× ×

5 = 25 5 = 725

×= 2 X =3

5. จงแกส้ มการ 23 +1 − 17(22 ) + 2 +3 = 0

2 ° (E)3- 77 (2)2 + × = 0

8.2

× 2 ° (E) 2- 77. (2) +8 =0

2 หารตลอด ; =0

292-779+8

(29-7) (9-8) = 0

fa = , 8

/× 23×
€ @2 = = 82 = =

yX = _ ×=3

6.

p✓A

3. 32×+92.5×-244 = 0 §× "

9= =3

(× a) ×
a= %3.9 +
- 244 =0
32× "
=
3

[39 + - 244 =0 × 2=

-

ว 2

39 _ 2449+87 =0

=0 92×

§= , 8g q
(39-1) (a- 81) = 8ๆ =

9 × =2

|I 11
24
¥1-

2. อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

1. ( 2 1)x (3 2 2)x 2 f ลด

× × +2

( 2- 7) (2+1-22)

(2-1) × K ]2 × +2
2- g)

× 2×+4
×-
4

× -4 ตอบ C- ม , - 4)
*,

2. 9x 8 f เEม
22x 1
81

32× 8 3 2× 4-

22× 87 3
2.
16 222
3 2× 87 × -4

2 X -2

3 2× 24 ตอบ C-2 , ม ) #
3
2

3.

}ญื๋% )\

→

±± ะ

(5× - 2) (× -4) < ๐ 45

+ - +
,
|
2 4

5

4.

32(× +5) × +5

_ 4.3 (3 ) + 27 E 0

[3×+5] 2- 12 (3)×+5+27£ 0 Ca = I๋ำ

92-729+27 EO 3×+5 "
= 3 → × = -4
(a- 3) (9-9) EO
3×+5 =3ม→ × =-3

+, - ,+
-3
4-
•
• 1l เ|

4-5- 32

[ -4 , -3 ]

× ×

y a- y= 9
-
§"
q = 92 =a

3 =a J = a-

× 5 =

1.9.: y =3 :y ×

=5

×

Y 9=

=% 92- ×

(G)2=92 y= 9
8 = a-3

( E )? K3
-
=a
× E =a
# yi. -
×
(E)-
(E).

..
Y=

ค- ก- จ-
บ- ง-

32× N×
2

32×+ O้ 2×-2.22× o ำ9 =3 b×
=
=2

Q(3 ×)2 + × -2 (2×)2 = 0 9ำ ab -2b2
Ca+2b) (9-b)
3.

(3×+2 × (3×-25 = 0

2๑ )

¥3 × 23± × o

2.2 = 0 -
_

หา,ามาก + เสมอ × ×

3= 2

:• × = 0

T2 (2) 2- 5 (3ง (2) +3C3 E 0

×"

+3 EO 3 หารตลอด
(G) (G) ]2×-5 [2

(B)292 59 +3 EO [a-- ×

]

(29-3) (9-7) EO ×

| (G)r r =7

× - 0
-

10

••

Expo y= ×
a-

_

ฟงั กช์ ันลอการิทมึ (Logarithmic function) 10g 94= × =

ฟังกช์ ันลอการิทึมจะเปน็ ผกผนั (inverse) ของฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชยี ล จากนยิ ามของฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลคือ

เน่ืองจากฟงั กช์ นั ลอการิทึมเป็นผกผันของฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล จึงได้นิยามของฟงั ก์ชันลอการทิ ึมคือ

แต่เน่อื งจากการเขยี นเงื่อนไข ไมน่ ิยมเขียนจึงมีข้อตกลงกันว่า กา นดใ ้

อ่านวา่ วายเท่ากบั ล็อกเอ็กซฐ์ านเอ

ดังน้นั เราจึงได้ นิยามของฟังกช์ นั ลอการิทมึ คือ

กราฟของฟังก์ชนั ลอการิทมึ จะผา่ นจดุ (1,0) เ มอ ดงั รูป

ขอ้ สงั เกต จากกราฟ และ จะผ่านจดุ เ มอเพราะว่า
1. กราฟของฟงั ก์ชัน เป็นฟังก์ชนั เพิ่ม
2. ถ้า แลว้
เปน็ ฟงั ก์ชันลด
ถา้ แล้ว

3. ฟังกช์ ันลอการทิ ึมเปน็ ฟังก์ชนั 1-1 จาก ไปถึง
4. โดยอาศัย มบัตขิ องฟังกช์ ัน 1-1 จะไดว้ ่า

ก็ต่อเม่อื

5. เน่ืองจาก กต็ อ่ เม่อื

เมอ่ื เราแทน ด้วย ใน มการ ลังจะได้

เมอ่ื เราแทน ดว้ ย ใน มการแรกจะได้
เราจงึ มี มบัติของลอการทิ ึมเพื่อใช้งานคือ

loga า = 0

× = 94 <→ y - logax
-

แบบฝกึ หดั

×y 2 = log416

a- 10g2 ะ 9

# 9= 10 64 8

ฏํ้109 °° °

= -2

( [#64 = 3

27 = 33

E)4 = -2

1ิ

= 10

3. จงหาคา่ ของลอการิทึมโดยใชส้ มบตั ิ

1

=7

2

|= 09 3 33 = 1

3

=0

±= / 0988( =

=X

= loga 25 = 5

= / 095235 §§= /0933 = -

= | 09>372= § log>7 §=
3)= / 093 ( | 0922 = 10933 = 1

ะ 1092C 1093 Cloga 2ำ)

= 109210939 = 1 0922 = 1

4. r

/ 09 3 32= 2 / 09 2 26 = 6

= 2+6 ะ 8 ไ+,๊ ""

./๋1๋2๋454×4×9-35. 400×400×4ออ 590
= / 0922 /=3 34/093 10g 4004 109256
g- -

_

109 4 108
=
8(ญื๊) .= 3×4 = 12 =/ 09 เอ

ำ 12+8 ะ 20
*

6.

7๋ loglog เ [8* -] = แ 2- 2
-

7.

[ ]9109 2%

log ะ0 = า

8.

(( 4)10922 logs5) - 2)( | oga33 ( log:3) + / logp 3) + /092322

(G) ;= (4) C-2) -
§(- 3) + +

= c-8) +2 + 7 = -5

9. /เออ × g 9 เออ

± log เ=อ/09 "
เอ
- % ม = Ro
_
,อ เอ .

= 20

โอโย

10. log@๋ = -1

| 0924 | 22= 09 2 2-

_

1

93 5 lo g3 5 logba - tn

11. จงหาคา่ ของ _

logab

Aจารณา 1 = logs 3

-1035g

•น 5/09 53 = 3

12.

log 230 + loga (E)2 |09ว (G 1092 (=% )
{ %)§ %log 30 × × ×5-
ๆ÷ × ×

| 092 23 = 3

13.

{ }1094 2 1093 [า + 10924 ]

1094 { 21 0933 }

#| 0942 = / 09 22 =

2

14.

I,๋ ¥ J๊ i.%.
..
%=

/ 09 แ 2 = "

log 24 =
#=

15.

bt1 = 1 09 59 logab f-

logba = 2 _

1 09 abd = logab

1 2=

mnn

logab

16.

/ 09 2 1092¥ K § 4= §= | 0g ๆ (5 logs 256 ± เอง52แ |= 09 2 91 09 9 32
logsah
/ 0924 25
= |0g 25 1095Mา / 0g232
log N๋ = 2 Iog= 2รวง = | 092 16 → 29 →

=

=5

ะ log K๋ . : 2+4-5 = 7 #

17.

/ 0g d 9bc O่/ 09 d " + | 0g logdc § ง/ 09d C =
= + =

0

g= #+ + เอง " ogcd|. ะ 75

logdc §= - - Q่ .. */

= 10 - 5-3
7 50

18.

ร

3%3ฒู๋T µ U๊ i. 1 i.: ;; ::y = " × ×
××
ำ2× 5× = 3 ×

ำ2× 5×-3 - 0 ,

(2×-7) ( × + 3) = 0 = | 098 - 10 9 28

#× = -3 10g 2

19. 3= . Y 3

=
§(E)ะ × =

× = aY←→ y = logax 9
a = logy2×
Y2× = 9 Ens Y2× =
y = 1092 b
27 = b <วง 2 × = ( loga b)9

× = € ( logab9)

20.

2. 2ำ 2 logab = 2 1 09 ว b- 4 3.29+29. | ogab = 29 loggb + 4 1 09ab
29 - logab = 1092 b- 2
3. 29 = 4 /092b = 2 (2/092 b)
29+2 = 2 logab
3.2 " = 2(29+2)

แทนWา a ; 4 +2-- 2 logab 3 ๑ 2ำ 2-29 = 4

3 - logab2 29 4=
-

238 = b=

9 =2

แบบฝึ กทกั ษะ เรื่องสมบตั ขิ องลอการิทมึ

คำสงั่ จงแสดงวิธีทำ

1. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log6 3 8 7 2 58 log6 3 8 7 2 58
log2 (log 3125) log2 (log 5)

109 63 (80-258) (85+2.58) [ 5)%ง1092 1°

/09 6 3448-232 1092 ( 10953125)
10963 2แ
| 0gal 10955)
109 66 = 7

/ 0925

§° = 1 09 52
=แ
••

2g

2. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 7 3 73 4 log 5 2 3 3 77 5400
4
23

M¥5#ด%ป × 5> + ง %ป#ด 7> +'ออา = 50+27+2.2อT× >

t+ ง = (อ + 5)2

= 7-3 = ยา + งง 7 = (55+35)2

4ยา +

logr รอง• + งง" ดง5 35×5ด+3ง = 50-2>

•.
>+

55×3ง 23 (55+35)

= -7 = (55+35)"

-น

•
4 109 cga+3g,→ (55+3 = -8

= C- 7) + C-8)

#q= -

3. จงหาค่าสาเรจ็ ของ A= 729 log 138 จงหาค่า log3 A

2 1 log 0.0529 1 log 216
2 3

+109/09 100 / 0gอ . อ529 + 32 แ A= 72 91 09 138

10g 138

|og (100×0.23×6) | og 3 (72 9) ว

| 0g 138 36

3
§ §| อ9 = ×6

=3 #

4. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log3 12 log3 972
log324 3 log4 3

= 1 09 312. | 093324 _ / 093 972. 10934

= ( 10933. log 34) ( / 093 324) - (10933+1093324) ( /0934)

[#]/= 3 = 109 38า
093
<

= / 09 3 34 = 4 #

5. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log16 216 log36108 log81 324
2 log2 9 2 log6 3 1 log3 6

¥ 109 26 ¥ /09 3 18 = /์ § § §= + +

= = = 3+4+4

/09 236 / 09 3 18 8

§ /0926 - =I

= = 1g 1096108 8#

2/09 26 1g 1+1cg3

§ 22 §= × = glog 108

=เ

log , เอ 8

6. ถา้ logxy x 2 จงหาคา่ logxy 4 y logxy 5 x3y2 log xy 3 y
3 x

- logxxy =3 tgy [ )ง
-
×
log ×× + logxy §=

logx Y §= -1 = logxy Y ×ำ¥ ฐ= logxyYtf#5) 109

=2 ×

2

= |0gyx = 2

logyxy = logy× + logyy = 5๋ B) - /7) (ง

=3

g• :/ ogxy Y = § 8๋= - = 27-712

180

= -97 ft
780

7. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 128log3 2 7 25 12 3
4 log5 8 4 log7 8

= ๆ7/0925% 121 ° 985 = 43/0987

= 27 /°92,125¥ =4 / 0927

= 23/09225 = 441°925 4=

3 = 28/0925 = 22/0927

= 25 58 = 72

= 15,625 = = 49

= 390,625

° 75,625 4390,625 -49
••

= 406,207 =//

8. กาหนดให้ logxyz x 2 , logxyz xy 3 log xyz x3y2
3 4 จงหาค่า z4

109 × + logxyzY §= 109 × " =/ 09 × × + logxyzY + logxyzz
yz
xyz yz

} + logxyzY = § 1 = ง + § + logxyzZ

logxyzt ;๋§ := + = 109 § <๋yzzน = 72+ 8- 77

•
× = 1+ -

/ #= 72

3 1 × 2 1 09 xyzY 4 109

×yz
xyzz• น 09 + -

=3/(ๆ + ×(E) E)#-

ๆ=
-2 + -1

= -12+77-6

6

7=
_

6#

9. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 1 3 4096 log3{1621 log100 (1 log2 512)}
64

= | og เออ (1+1092512) = / 09 34096×4

= | 09 เออ (1+9) = 1 = / og4-3 (4096×4)ง

2 {= - 1 0944 >

= 1093 ( น + G) = -7 #

|= 09 3 87 = 4 T

10. กาหนดให้ loga x 3 , log b x 3 , logc x 3 , logd x 3
2 4 5 8

จงหาคา่ logx abcd logabc x

=§log 9 ง logxb §= , logxc = § , logxd = §
×

logxabcd = | ogxa + Iogxb +109×° + logxd

§ § ง§= +
§+ + =

1 09 abc× txabc= = 1
logxhlogxb+109×°

=7

=€

=3

F.
} 2%9§• = = ;๊ *

•+

641 log4 5 81 log2 5
11. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 271 log3 5 216 log6 5

"= /0935"

= 64.64/0945 %%=
..
| ฐํ๋ฐํ๋A๊%¥;= %? .. .
== 3-

= 27 ° 5

5%64 + 8) 2= 2

= 28

5%2> + ,,

= 18

T /=/

2

12. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 41 log16 25 81log2 27

271 log3 2

341.4 4 1 25 ° 2 /°92>2 = " 2,10932
แ
2> •

09 = 331= 2g ฺ °932

= 3/092,284 42219425

= = 2> . 8

ง=
. =3 1°9328

= 276

4 5=° = (28) }

= 20 = 4✓3ft ~ 6.35

° 20 + 6.35 = 0.72
••
*
276

ลอการทิ มึ สามญั (Common Logarithm) /"

0g เอ = n



ตวั อยา่ ง 1 จงหาค่าลอการิทมึ ตอ่ ไปนี้

1. log 5760 = /09C 5.76 × เอง 2. log 0.00648 = Iog 6.48+1091$

= log 5.7+109103 3)= อ . 8176 + C-

= 0.7604 t 3 = - 2.7 884
ะ 3.7604
109 5760

ตัวอยา่ ง 2 กาหนดให้ log N = 3.7566 จงหาคา่ N

109N ะ 3. 7566 glog เอง 1g N = / 095710

= 075 66 +3 N = 5770

log/= 0g 5.7เ + 3 *

เอ

= log (ร 7า × เอง
.

ตวั อย่าง 3 กาหนดให้ log N = -0.5918 จงหาคา่ N

log N = -0.5918

= 0.4082 + (- 1)

= / 0g 2.56 + log า(

/ 0g 36.2 = 109 (3.62×10)
= log 3.62 + logso
~
= อ . 55 87 + า
°(e)
= 1. 5587

10g N = 0.7566

5710

antilog อ.>% - s >70
-

จงหาคา่ ของ

เอา= = 10

า$ $ เออ เอา7= =
= 0-

.

02= ๆ + /°93 = เอน |093

= 10053 ส 300

= log 3 tlogs

,= 1 ×

5)

10g 442 = 2.6454

/09 (442 × 10)=2.6454

10944.2+109.101=2.6454

/0944.2 = 2.6454- 1 ะ 1. 6 544

6)

-ด/ป loglog 1๋2 - 3 + /0g ง

64 27

/ 0g 5- / 094 + / 0g 9

( )#1 09 5 = Iog (%-)

i. Antilogllog#4 )

= 45 #

I

7) จงหาแอนตลิ อการทิ ึมของจานวนจรงิ ในข้อตอ่ ไปน้ี
1. log 8 + log 2 – log 4
2. 2log x + log y – 3log z

วธิ ีทำ

①-ด/ป log 8 + logz - / 094

109 (ว8×า4 ง = / อ94

. antilogclog 4) 4= *
..

02. 2 /0g × + logy -3 log =

log 2 + logy - Iogz
×

Iog ¥( × )

antilogclog }(→× )
. = ×

ญื้. . *

ลอกำรทิ ึมธรรมชำติ (Natural Logarithm) logฐาน e

นอกจากลอการทิ ึมสามญั ที่เปน็ ท่ีรจู้ ักแลว้ ยังมีลอการิทึมอกี ฐานหนงึ่ ที่มีทีใ่ ชแ้ ละมปี ระโยชน์

มากตอ่ การศกึ ษาในระดับสงู โดยเฉพาะดา้ นสาขาวิทยาศาสตร์ คอื ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับ

e (จานวนตรรกยะมคี า่ ประมาณ 2.71828) lnx = logex
เรยี กลอการทิ มึ ฐาน e นว้ี ่า ลอการทิ ึมธรรมชาติ หรอื ลอการทิ มึ แบบเนเปียร์(Napierian

logarithm) ในการเขียนลอการิทมึ ฐาน e นยิ มเขยี น ln x แทน logex

ตัวอย่ำง (1) ln e = | ogee = 1

(2) ln 1 = Iog ( า=-
e
(3) ln e2 = loge2 = 2

(4) ln e = loget = jt

การหาคา่ ln x เมอื่ x เปน็ จานวนจรงิ บวก หาไดโ้ ดยอาศยั ลอการิทึมสามัญ ดงั น้ี

ln x = logex

= log x เปสยน →ฐานะ0

log e

= log x
log 2.718

= log x
0.4343

= 2.3026 log x

ดังนนั้ ln x = log x = 2.3026 log x

0.4343

ตัวอย่ำง จงหาค่าของ ln 728 ตัวอยำ่ ง จงหาคา่ ของ loge 0.163
วิธที ำ ln 728 = loge 728 วธิ ที ำ loge 0.163 = loge0.163

= / 09 728 = /0g 0.163
- -
10g e Ioge

เองอg(1= = 1อgcแ3 × เอง
> 28 ×
.

-1กee c gloge
e

-- 6.59 # Elog 7.28+109702 = -1.87 = 109%63 + /091(
- -
loge loge

= 0.8621 + 2 = 0.2122 - 1

- -

0.4343 0.4343

logax ; !า × > 0 เสมอ

1. 2.

|093 (×ำ 8) =/0936× € 1092C 3-×) = /092 (2×)
ำ× 8 = 6×
1°92×บ3T- = / oga (2 ×)
×2-6×+8 = o
0 # \2
( × -4)(× - 2) = 2
2,4 2×
×= /CFE) ( )= ×-
g-7

3- × = 4×2

4×2+×-3 = 0

(4×-3) (× + 7) = 0

3. 4.

log )3 1094 CXTD = =7 / 092 X. / 092× = 1

1 094C× + 7) า =3 l /092 2 y

=3 ×)

=

43× + ๆ = • :/ 092 × = ± า

× + ๆ = 64

× = 63 1092 × =7

× + 2= =

1092 × =า

× , 1= =
2

5. 6.

เอง1093× + ง= | oga c- 3×) = |0g22 +1092 ย-5า×2) 2

× wgg c. 3 ×) = | 092 (2C 1- ×3)
3 2×23- × = 2-

# ง9 + = 2×2-3×-2 = 0

39 /ณตลอด ำ 392+3 = 109

392-709+3 = 0

(39-7) (9-3) ๐=

§o :/ 093× = log 3× =3 (2×+1) (× - 2) = 0 เ8อแทน!า ตรวจ<ตอบ
3
× =3 & × =3 × = 0ง,2

X =2

v
7.× =3=5

7. การ3± A-- { ¥}
โ

2 1093 CX - 1) 3- 1093 Cx - 1) = 1าฑื๋ญ๚ื๋ | G๋ะ%¥ฑื๋× 2 (2- -@0× T )2

( @ว×า+ ง =

log1093 CX - 1)2- 3C ×- 1)3 = 1 ×+ า 7✓-= 4- 4 ×- + ×-7

2- บ= -4
×-

=

3× -3 =1 1 = 4×-4

× =# 4× =5

3 × =E

4

ตอบ 3 (g) (E) = 5

8.

รH

1092 I๋-2/092× = 4 22 %)(×+ " 7
+2 = q . ( 2

J๋( )1092 =4 4.22×-9.2×+2 = 0

§) 242 294 9 a +2 = 0
=
=แ (49-1) (9-2) =0

§ =4 9 # 2= ,
= Kำ+
×

2

①× = -2
,

1.

109 & [log 3C× + 1)] > Iogg2 [โลด )

1093C ×+ 7) < 2 Lจารณา log

×+า 2 1093C × + 1) > o

<3

× +า M> = า

X <8 × >o

|1 CO , 8) #

08

0

o

2.

log [ Iog x. c9- log ×3 ] > า log × =£
,
× 2
210gIog x. ( 9- × ) >, เอา
&= 10

logx2- ( qlogx)2 + - า0 >, อ Iog × =2

- เ Nณ ตลอด ; 2C logx )2-910×+10 Eo × = 1 02

292- 9 a +10 0 <+ - i +>

|

(29-5) (9-2) E 0

§9 ะ 9= 2

,

3.

1093 (4×+137) < 10939 + 1093 C 1+ O๋ำ

1093 (4×+137) < log 3 [9แ + O๋ำ]

4×+137 < 9 + 9. O๋ <+ | - +

( × ) 2+137 × 2 |>
5
2 < 9 + 36.2
0
(2)2-36.2×+728 < 0 0

(2×-4) (2×-32) <0 ตอบ C2,5) *

/× = 2 × =5

5.

P๊

จาก (2-0) 12 + B) = า

2- B =า

2+ง

2- โ3 "

= (2+0)

( ×2-2×-16) / 092C 2 +ง)" < |oga C 2 +R3)

logC- ×ำ 2×+76) 2 [2 + ✓3) < lc

PAT 1 ปี 2563

log x. [ log 2 +10g ×] = 310g 2.210g 2

1 09 1092 × ( 109 ×ำ+109 2. logx -6 ( Iog 2 o
4
= 2)
S 8) T/ 092C + (2× ) '°9 × _ =

ab" - เbะ = o

"9 a+

4
ำIogal T+ ×
+ง( 2× = Jx Ca +3 b) ( a- 2 b) = 0
-

U ++ (2× °9 × 4- "98 T ba = -3 ba = 2
41°98
=

+ง( 2 × × Iogx = -3 /og 2 log × = 2 1092
Iog × = log 22
=
X=4
Vog Wง 2 Xาง) Iog Iog12× ) ' °9 × = 1098 | 0g × = /0g Y3
4

Z× = 3

log x. log 2× = log 8. log 4 × =2
8

(E) }ตอบ
(4) = = 0.5 #

** log x. log 2× = log 8.1094

log x. [ log 2 + log ×] = log 8. log 4

llog xp + log 2. logx - log 8.1094 ะ 0

llog × + log 8) Clog × -10g 4) =0

log 8 logx - log 4. logx

Clog 8- log 4) olog ×

1091 [ | • log ×

Iog 2 • Iogx

log × = - log 8 log × ะ 1094

Iog × = logs" × =4

×= 1

8