สมการเมทริกซ์และความสัมพันธ์ (1)

MAtrix

สมการเมทริกซ์
และความ
สัมพันธ์

นิยามของเมทริกซ์

ให้ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก เมทริกซ์มิติm x n หมายถึง กลุ่มของ
จำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) ชุดหนึ่ง ซึ่งเรียงกัน m แถว (row)
แถวละ n หลัก (column) โดย จัดเรียงให้อยู่ในเครื่องหมายวงเล็บ [ ]
หรือ ( ) ซึ่งเครื่องหมายวงเล็บนี้เขียนให้คลุมจำนวน ที่อยู่ข้างใน และเรียก
แต่ละจำนวนในเมทริกซ์ว่าเป็นสมาชิกของเมทริกซ์ ให้ A เป็นเมทริกซ์มิติm
x n โดยที่มี aij เป็นสมาชิก เมื่อ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n

ชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) คือเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและจำนวน
หลักเท่ากัน นั่น คือ m = n และเราจะเรียกว่าเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติ n เรา
เรียกสมาชิก a11 , a22 , … , ann ในเมทริกซ์ว่าเป็นสมาชิกในแนวทแยง
(Diagonal elements) เมทริกซ์แถว หรือเวกเตอร์แถว หมายถึงเมทริกซ์
ที่มีแถวเดียวหรือ m = 1 เมทริกซ์หลัก หรือเวกเตอร์หลัก หมายถึงเมทริกซ์
ที่มีหลักเดียวหรือ n = 1

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน A = [aij]n x n โดยที่ aij = 0 ทุกค่า i > j
เรียก A ว่าเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper triangular matrix)

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างให้ B = [bij]n x n ถ้า bij = 0 ทุกค่า i < j เรียก
B ว่าเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Lower triangular matrix)

เมทริกซ์เอกลักษณ์คือ A=[m x n] โดยที่aij เมื่อ i=j เเละ aij = 0 เมื่อ
i = j(Identity matrix)

ถ้าเมทริกซ์สเกลาร์มีสมาชิกในแนวทแยงทุกตัวเป็น 1 หมดนั่นคือ
a11 = a22 = … = ann = 1 (Scalar Matrix)

ให้A = [aij]m x n โดยที่ aij = 0 ทุกค่าของ i = 1, 2, …, m และ j =
1, 2, …, n เรียก A ว่าเป็นเมทริกซ์ศูนย์(Zero matrix) และเขียนแทน
ด้วย 0

C = [cij]n x n ถ้า C เป็นทั้งเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและเมทริกซ์สามเหลี่ยม
ล่าง นั่นคือ cij = 0 ทุกค่า i > j และ i < j เรียก C ว่าเป็นเมทริกซ์ทแยง
(Diagonal matrix)

เมทริกซ์แถว เช่น [1 2]1x2 [1 2 3 4]1x4 (Row Matrix)

เมทริกซ์หลัก (Column Matrix)
เมทริกซ์สมมาตร คือ A=A (Symmetric Matrix)
เมทริกซ์เสมือกสมมาตรคือ A=-A(Skew symmetric Matrix)

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการบวกจะนำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน



การลบเมทริกซ์

การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของเมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันจะต้องเท่ากัน แต่ต่าง
กันตรงที่สมาชิกข้างในเมทริกซ์จะต้องนำมาลบกัน

การคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมีหลักเกณฑ์ดังนี้
1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ จำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวหลัง
2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวนแถวของตัวหน้าคูณจำนวนหลักของตัวหลัง

การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
ขนาด 2*2

ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ (Relation): r คือ การนำข้อมูล2ชุด มาเชื่อมโยงเพื่อวาดกราฟความสัมพันธ์ทาง
คณิตศาสตร์คือ การนำเซต2เซต มาจับคู่กันในรูปคู่อันดับ

⊆ถ้า R เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างเซตดรรชนีจำกัด X และ Y (นั่นคือ R X×Y) แล้ว R จะสามารถ

เขียนแทนได้ด้วยเมทริกซ์ติดต่อ M ซึ่งดรรชนีของแถวและหลักจะบ่งชี้โดยสมาชิกของ X และ Y ตามลำดับ
สมาชิกแต่ละตัวของ M เช่นว่านั้นนิยามโดย

เพื่อที่จะกำหนดจำนวนต่าง ๆ ในแถวและหลักของเมทริกซ์ เซต X และ Y จะต้องบ่งชี้ดรรชนีด้วยจำนวนเต็มบวก
กล่าวคือ i จะมีค่าตั้งแต่ 1 จนถึงภาวะเชิงการนับ (ขนาด) ของ X และ j จะมีค่าตั้งแต่ 1 จนถึงภาวะเชิงการนับ
ของ Y

นิยามความสัมพันธ์ทวิภาค R บนเซต {1, 2, 3, 4} ว่า aRb จะสัมพันธ์กัน ก็ต่อเมื่อ a หาร b ลงตัว ตัวอย่าง
เช่น 2R4 สัมพันธ์กันเพราะ 2 หาร 4 ลงตัว, 3R4 ไม่สัมพันธ์กันเพราะ 3 หาร 4 ไม่ลงตัว จากนิยามดังกล่าว
สามารถแสดงเซตของคู่อันดับที่ทำให้ R มีความสัมพันธ์ดังนี้
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}
ซึ่งใช้เมทริกซ์เชิงตรรกะแสดงแทนได้ดังนี้

ฟังก์ชัน(Function)

ฟังก์ชัน(Function)คือ r ที่มีผลลัพธ์เพียงอย่างเดียว

กำหนด x เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ
เรียกว่า โดเมน Domain : D
y เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ
เรียกว่า เรนจ์ Range : R