รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ก

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD)
เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ชุดนี้ จัดทำขึ้นตามมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560)
เพื่อแก้ปญั หานกั เรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร์ กระตุ้นให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด เกิดทักษะ
การคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง มีการเรียงลำดับ
เนือ้ หาจากงา่ ยไปหายาก มีทั้งหมด 7 เลม่ ดงั น้ี

เล่มที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 2 สมบตั ิเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 3 รากที่สองของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มท่ี 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น
เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน มีเนื้อหาประกอบด้วย
คำชี้แจงในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้สำหรับครูและ
นักเรียน สาระสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อน - หลังเรียน
และเฉลยบัตรกิจกรรม เฉลยบัตรงาน เฉลยแบบทดสอบก่อน - หลงั เรยี น

ผจู้ ัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิค
การแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
ทำให้นกั เรียนมผี ลสัมฤทธิท์ างการเรียนสูงข้ึน เป็นสือ่ ทีม่ ีประสิทธิภาพสำหรับครทู ี่สนใจนำไปใช้ในการ
พัฒนานักเรียน และสามารถอำนวยประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ให้บรรลุตามวัตถุประสงค์ของ
หลกั สตู รได้

อมุ าวดี เสน็ อุมา
ครชู ำนาญการ

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

ข

สารบญั หนา้
ก
เรื่อง ข
คำนำ ค
สารบญั ง
คำชแี้ จงเก่ยี วกับชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ ฉ
คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับครู ช
คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับนกั เรียน 1
ผงั มโนทัศนข์ น้ั ตอนการเรยี นรู้ 2
ผลการเรยี นรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้ 5
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน 6
สาระสำคัญรากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 3
บัตรคำสงั่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 8
บัตรกิจกรรมที่ 6.1 รากที่ 3 ของจำนวนจริง 12
บตั รเนอื้ หาที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 15
บัตรกิจกรรมที่ 6.2 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 19
บตั รงานที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 22
แบบทดสอบหลงั เรยี น เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน 23
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 24
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 6.1 รากที่ 3 ของจำนวนจรงิ 29
เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 6.2 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 35
เฉลยบตั รงานที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 36
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น 37
ตารางบนั ทึกคะแนน 40
เกณฑ์การใหค้ ะแนน
บรรณานกุ รม

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

ค

คำชีแ้ จงเกี่ยวกบั ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้

1. เอกสารเล่มนี้เป็นชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนิค
การแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน มีทั้งหมด 7 เล่ม ดังนี้
เล่มที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 2 สมบตั ิเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 3 รากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

2. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ เป็นเลม่ ที่ 6 เรือ่ ง รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย
2.1 คำชี้แจงเกี่ยวกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้
2.2 คำแนะนำสำหรับครู
2.3 คำแนะนำสำหรับนักเรียน
2.4 ผลการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้และสาระสำคัญ
2.5 แบบทดสอบก่อนเรียน
2.6 บตั รคำส่ัง
2.7 บตั รกิจกรรม / เฉลยบัตรกิจกรรม
2.8 บัตรเนือ้ หา
2.9 บตั รงาน / เฉลยบัตรงาน
2.10 แบบทดสอบหลงั เรยี น
2.11 บรรณานกุ รม

3. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ ใชเ้ วลาเรียน 2 ชวั่ โมง
4. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ ประเมินผลการเรียนรู้จากแบบทดสอบหลังเรยี น เล่มที่ 6

จำนวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลาในการสอบ 15 นาที

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น ง

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์
(STAD) เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ครูมีบทบาทสำคัญ ในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควร
เตรียมความพรอ้ มและปฏิบัติตามคำแนะนำ ดังน้ี

1. ศึกษารายละเอียดต่าง ๆ ท้ังด้านเนื้อหา วิธีการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
ขั้นตอนการดำเนินกิจกรรมและกระบวนการจัดการเรียนการสอนด้วยเทคนิค
การแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) ให้เข้าใจชัดเจน ดงั น้ี
1.1 ข้ันท่ี 1 ขั้นนำเสนอเนื้อหา ครูจะทบทวนพื้นฐานความรู้เดิม จากนั้น
ครูสอนเน้ือหาใหม่กับนักเรียนกลุ่มใหญ่ท้ังชั้น

1.2 ข้ันท่ี 2 ข้ันทำงานเป็นทีม นักเรียนจะต้องทำงานเป็นกลุ่ม ปฏิบัติกิจกรรม
และทำบัตรงานร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียน
คนละ 1 เล่ม ใหน้ ักเรียนศกึ ษาเนื้อหาและตัวอย่าง ถ้านักเรียนไม่เข้าใจกใ็ ห้
เพื่อนในกลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้เพื่อนในกลุ่มฟังจนเข้าใจ การ
อธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดีมีผลให้
สามารถทำแบบทดสอบย่อยได้คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง
และส่งผลให้คะแนนของกลุ่มสูงไปด้วย ในการทำงานกลุ่มครูจะดูแล
อยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำหรืออธิบาย เม่ือนักเรียนมีปัญหาและ
ไม่สามารถหาคำตอบได้ในกลุ่ม

1.3 ขั้นท่ี 3 ขั้นทดสอบย่อย เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจในเน้ือหาที่เรียน
ซึ่งนักเรียนแต่ละคนต้องทำบัตรงาน และแบบทดสอบด้วยตนเองไม่มีการ
ช่วยเหลอื กนั

1.4 ข้ันท่ี 4 ข้ันคิดคะแนนความก้าวหน้า คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการ
ทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนนรายบุคคลไปแปลงเป็น
คะแนนกลุ่ม โดยครูติดวิธีการหาคะแนนความก้าวหน้า และการหาคะแนน
กลุ่มไวท้ ี่บอร์ดของห้องเรียน เม่ือเรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมีคะแนน
กลุ่มมากที่สดุ จะได้รับรางวลั

1.5 ขั้นท่ี 5 ขั้นชมเชย ยกย่อง นักเรียนคนใดและกลุ่มใด ทำคะแนนได้มาก
ทีส่ ดุ หรอื ทำคะแนนได้ดีกว่าครั้งก่อนจะได้รบั คำชมเชยหรอื รางวลั

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

จ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรบั ครู (ต่อ)

2. ศกึ ษาค้นคว้าเนื้อหาเพิม่ เติมล่วงหน้า และเตรียมความพร้อมกอ่ นใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้
3. แบง่ กลมุ่ นักเรียนออกเป็นกล่มุ กลุม่ ละ 4 – 5 คน คละความสามารถ คือ คนเก่ง

ปานกลาง และออ่ น ใช้อัตราส่วน 1:2:1
4. ชีแ้ จงให้นักเรียนทราบวิธีการใชช้ ดุ กิจกรรมการเรียนรู้
5. แจ้งผลการเรียนรู้และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้แก่นกั เรียน
6. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเป็นรายบุคคล เพื่อนำคะแนนที่ได้ไปใช้เป็น

คะแนนฐานของตนเอง และคะแนนฐานเฉลี่ยของกลุม่ ตอ่ ไป

คะแนนฐานของตนเอง คือ ร้อยละของคะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เลม่ ที่ 6

คะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เลม่ ที่ 6  100
10

คะแนนฐานเฉลี่ยของกลุ่ม คือ คา่ เฉลี่ยของคะแนนฐานของสมาชิกในกลมุ่

คะแนนทดสอบย่อย คือ ร้อยละของคะแนนหลงั เรียน

7. ให้คำแนะนำและอำนวยความสะดวกในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
8. หลังจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรียบร้อยแล้วให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลัง

เรียนเป็นรายบุคคล

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

ฉ

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับนักเรยี น

ในการศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิค
การแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดต่อนักเรียนเอง
กอ่ นที่จะศกึ ษานักเรียนควรปฏิบตั ิตามคำแนะนำ ดังน้ี

1. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ใช้เวลา 2 ช่วั โมง
2. นักเรียนอ่านคำชีแ้ จงเกีย่ วกบั ชดุ กิจกรรมและคำแนะนำสำหรบั นกั เรียนใหเ้ ข้าใจ
3. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 6 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที เป็นรายบุคคล

เพื่อประเมินความรู้พื้นฐานของนักเรียน แล้วตรวจคำตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
ก่อนเรียนและบันทึกคะแนนทีไ่ ด้
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม และบัตรกิจกรรม บัตรงานร่วมกัน ซึ่งครูจะแจก
ชุดกิจกรรมให้นักเรียนคนละ 1 เล่ม ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหา ตัวอย่าง ถ้านักเรียน
ไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้เพื่อนในกลุ่ มฟังจนเข้าใจ
การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดี มีผลให้
สามารถทำแบบทดสอบได้คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง และส่งผลให้
คะแนนของกลุ่มดีไปด้วย ในการทำงานกลุ่มครูจะดูแลอยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้
คำแนะนำหรอื อธิบาย เมือ่ นักเรียนมีปญั หาและไม่สามารถหาคำตอบได้ในกลุม่
5. ทำแบบทดสอบหลังเรียนเล่มที่ 6 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที ด้วยตนเอง ไม่มี
การช่วยเหลอื กนั เพือ่ ทราบความก้าวหน้าในการเรียนของนกั เรียน
6. คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนน
รายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนนกลุ่ม เม่ือเรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมีคะแนน
กลมุ่ มากทีส่ ุดจะได้รบั รางวัล
7. ในการทำ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อนเรียน และแบบทดสอบหลังเรียน
ข อ ใ ห้ นั ก เรี ย น ท ำ ด้ ว ย ค ว า ม ตั้ ง ใ จ แ ล ะ มี ค ว า ม ซื่ อ สั ต ย์ ต่ อ ต น เอ ง ใ ห้ ม า ก ที่ สุ ด
โดย “นักเรยี นตอ้ งไม่เปิดดเู ฉลยลว่ งหน้า”

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน ช

ผังมโนทัศนข์ น้ั ตอนการเรียนรู้

อา่ นคำชีแ้ จงสำหรบั นกั เรียน

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ศึกษาบัตรเนื้อหา
ศกึ ษาเนือ้ หาและตวั อย่าง
ทำบตั รกิจกรรม/ตรวจบัตรกิจกรรม
ทำบัตรงาน/ตรวจบตั รงาน

ทำแบบทดสอบหลังเรียน

ประเมินผล ไม่ผา่ นเกณฑ์

ผ่านเกณฑ์

บนั ทึกคะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน
คำนวณคะแนนพัฒนาการของกลุม่
ประกาศชมเชย

ศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ เลม่ ต่อไป

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 1

ผลการเรียนรู้ และจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ผลการเรียนรู้
หารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน เมือ่ n เป็นจำนวนนบั ทีม่ ากกว่า 1

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

1. ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ
1.1 หารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้

2. ดา้ นทกั ษะ นักเรียนมีความสามารถ
2.1 ในการแก้ปัญหา
2.2 ในการใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร และการนำเสนอ

3. ดา้ นคุณลกั ษณะ ปลกู ฝังให้นกั เรียนมีพฤติกรรม ดังนี้
3.1 มีความซื่อสัตย์
3.2 มีระเบียบวินัย
3.3 ใฝ่เรียนรู้
3.4 มุ่งมน่ั ในการทำงาน

4. ดา้ นสมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น นกั เรียนมีความสามารถ

4.1 ในการส่ือสาร
4.2 ในการแก้ปญั หา

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

2

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ น
เล่มท่ี 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น
จำนวน 10 ขอ้ เวลา 15 นาที

คำชีแ้ จง : ให้นักเรียนทำเคร่ืองหมายกากบาท () ทับบนตัวเลือก ก, ข, ค หรือ ง
ที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียวเท่าน้ัน

1. รากที่ n ของ w มีอย่กู ี่คำตอบ ถ้าให้ w เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เปน็ จำนวนเต็มบวก
ก. n คำตอบ
ข. n −1 คำตอบ
ค. 2n −1 คำตอบ
ง. w คำตอบ

2. ข้อใด ไมใ่ ช่ รากที่ 3 ของ 1 ในรูปเชงิ ขวั้
ก. 1(cos0 + i sin 0 )
ข. 1(cos90 + i sin 90 )
ค. 1(cos120 + i sin120 )
ง. 1(cos240 + i sin 240 )

3. ข้อใดคือรากที่ 3 ของ 1 ในรูป a+bi

ก. −1, − 1 − 3 i , 3 + 1 i

22 22

ข. − 1, − 3 + 1 i , − 3 − 1 i

22 22

ค. 1, 3 + 1 i , − 1 + 3 i

22 22

ง. 1, − 1 + 3 i , − 1 − 3 i

22 22

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

3

4. รากที่ 3 ของ 1 มีกราฟเปน็ อยา่ งไร

ก. Y

1 z1

-z12 O 1X

-1 z3

ข. Y

z2 1

-1 O 1z1 X

z3-1

ค. Y

1 z1 X

z2 1

-1 O

-1 z3

ง. ไม่มีขอ้ ถกู

5. ข้อใด ไม่ใช่ รากที่ 3 ของ 8i

ก. 2i
ข. − 2i
ค. 3 +i
ง. − 3 + i

6. รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะมีผลต่างระหว่างค่าอาร์กิวเมนตข์ องสองรากที่อยู่
ติดกันเทา่ กับเท่าใด
ก. 90

n

ข. 180

n

ค. 360

n

ง. 270

n

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

4

7. กำหนดให้ z1 , z2 และ z3 เปน็ รากที่ 3 ของจำนวนเชงิ ซ้อนจำนวนหน่งึ

ถ้า z1 = 2(cos15 +i sin15) แล้วผลคูณ z2z3 มีค่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้

ก. 2 − 2i
ข. 2 + 2i
ค. 3 −i
ง. 3 + i

8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) − 2i เปน็ คา่ รากหนง่ึ ของรากที่ 3 ของ 8i
(2) 3 +i เป็นคา่ รากหนง่ึ ของรากที่ 3 ของ 8i
(3) 3 −i เป็นคา่ รากหน่งึ ของรากที่ 3 ของ 8i
ข้อใดกลา่ วถกู ต้อง
ก. (1) เทา่ นั้น
ข. (1) และ (2) เท่านั้น
ค. (1) และ (3) เทา่ นั้น
ง. (2) และ (3) เทา่ นั้น

9. กำหนดให้ z1 , z2 และ z3 เปน็ รากที่ 3 ของจำนวนเชงิ ซ้อนจำนวนหนง่ึ
ถ้า z1 = 2 2(cos60 +i sin 60) แล้วผลคูณ z2z3 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. − 4 + 4 3i
ข. 3 − 4i
ค. −1+ 4 3i
ง. 2 − 2i

10. กำหนดให้ z1 , z2 , z3 และ z4 เป็นรากที่ 4 ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหน่งึ

ถ้า z1 = 2 cos  + i sin   แล้ว z2 z3 z4 มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้
 6 6

ก. − 3 −i

ข. 2 2 คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้
ค. 8
ง. 8i 10

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

5

สาระสำคัญ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n z

ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า n z =n r cos  + 2k  +i sin  + 2k 
n   n

เมือ่ k = 0,1, 2,..., n −1

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จะมี n ราก (คำตอบ)
1. ถ้า z1, z2, z3 ..., zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1 = z2 = z3 =...= zn
2. ถ้า z1, z2, z3 ..., zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1 + z2 + z3 +...+ zn = 0

ทฤษฎีบท

ถ้า w= r(cos + i sin  ) เปน็ จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เปน็ ศนู ย์ แล้ว

รากที่ n ของ w มีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกนั คือ

z=n r cos + 2k  + i sin + 2k  เมื่อ k0,1, ..., n −1
n  n

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

6

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รากที่ ของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรคำสงั่ ที่ 6

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

จุดประสงคก์ ารเรียนร้ดู ้านความรู้

1. นกั เรียนสามารถหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้

คำส่งั : ให้สมาชิกทกุ คนของแต่ละกลุ่มปฏิบตั ิกิจกรรมตามขั้นตอนดงั ต่อไปนี้

1. ทำบัตรกิจกรรมที่ 6.1 เป็นรายบคุ คล เพื่อตรวจสอบความรพู้ ืน้ ฐานของนกั เรียน
และรว่ มกนั เฉลยคำตอบที่ถกู ต้องรว่ มกบั ครู

2. ศกึ ษาบตั รเนอื้ หาที่ 6 แลกเปลีย่ นเรียนรู้ ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกล่มุ ทีม่ ี
ความเข้าใจอธิบายให้ฟงั จนเข้าใจ

3. ตัวแทนกลมุ่ 1 กลุ่ม (โดยการส่มุ ของครู) สรปุ เน้ือหาที่ 6.1
4. ทำบตั รกิจกรรมที่ 6.2 โดยแลกเปลีย่ นเรียนรู้ภายในกลุ่ม
5. ตัวแทนกลุ่ม 2 กลุ่ม (โดยการสุม่ ของคร)ู นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน
6. แลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่ม โดยตรวจสอบความถูกต้องจากบัตรเฉลย

และสรุปคะแนนที่ได้จากการทำบัตรกิจกรรม หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์การประเมิน
ให้ทบทวนบตั รเนือ้ หาที่ 6 ใหม่
7. ทำบตั รงานที่ 6 แล้วแลกเปลี่ยนกนั ตรวจกบั สมาชิกภายในกลมุ่ โดยตรวจสอบ
ความถูกต้องจากเฉลยบตั รงานที่ 6 และบันทึกคะแนนที่ได้ หากคะแนนไมผ่ ่าน
เกณฑก์ ารประเมินให้ทบทวนบัตรเนือ้ หาที่ 6 ใหม่ และทำบัตรงานที่ 6 อีกครั้ง

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

7

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

รากที่ ของจำนวนจริง บตั รกิจกรรมท่ี 6.1

คำชีแ้ จง : ให้นักเรียนเติมคำตอบในช่องวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปนี้
1. จงหาค่าของ

1) 3 − 64 ตอบ ...................................................
2) − 3 64 ตอบ ...................................................
3) − 3 − 64 ตอบ ...................................................

4) 125 ตอบ ...................................................

3 ตอบ ...................................................

512

5) 3 − 8x3 y6

2. จงหารากที่ 3 ของ ตอบ ...................................................
1) 1 ตอบ ...................................................
2) − 0.008 ตอบ ...................................................
3) 343 ตอบ ...................................................
4) − 729 ตอบ ...................................................
5) 100

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

5

เกณฑก์ ารตัดสิน ไดค้ ะแนนตั้งแต่ 3.5 คะแนนขึ้นไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

8

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน บัตรเนื้อหาท่ี 6

จากการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนที่ได้ศึกษามาแล้วนั้น สำหรับหัวข้อนี้
จะกล่าวถึงการนำทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์มาช่วยในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยถ้าให้ w เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
รากที่ n ของ w คือ จำนวนเชงิ ซ้อน z ที่สอดคล้องกับสมการ zn = w

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหารากที่ 3 ของ − 64 พร้อมทั้งเขียนเวกเตอรแ์ สดงรากที่หาได้ใน
วิธีทำ ระนาบเชิงซ้อน

ให้ z = r(cos + i sin  ) เปน็ รากที่ 3 ของ − 64
จะได้ z3 = − 64
จากทฤษฎีบทของเดอร์มัวฟวร์ จะได้ z3 = r3(cos3 +i sin 3)
เนื่องจาก − 64 = 64(−1+ 0i)

= 64(cos + i sin  )

ดงั นนั้ r3(cos3 +i sin 3 ) = 64(cos +i sin  )

นนั่ คือ r3 = 64 และ 3 =  + 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเตม็

จะได้ r = 4 และ  =  + 2k เมื่อ k = 0, 1, 2

33

เมื่อ k = 0 จะได้ 1 = 
3

k = 1 จะได้ 2 = 

k = 2 จะได้ 3 = 5
3

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

9

จากที่กำหนดให้ รากทีส่ ามของ − 64 แทนด้วย z = r(cos +i sin  )

จะได้ z1 = 4cos  + i sin   = 4 1 + 3 i  = 2+2 3i
3 3  2 2

z2 = 4(cos +i sin  ) = 4(−1+ 0i) = − 4

z3 = 4cos 5 + i sin 5  = 4 1 − 3 i  = 2−2 3i
3 3  2 2

ดงั นนั้ รากที่ 3 ของ − 64 คือ − 4 , 2+ 2 3i และ 2− 2 3i

เมื่อแทน k ด้วยจำนวนเต็มอื่น ๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1 , z2 หรอื z3
แสดงว่ารากที่ 3 ของ − 64 ที่แตกต่างกันมี 3 จำนวนเทา่ นั้น คือ z1 , z2 และ z3
เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 3 ของ − 64 มีขนาด 4 หนว่ ย และเวกเตอร์แต่ละคทู่ ีอ่ ยลู่ ำดับทีต่ ดิ กนั ทำมุม
ขนาด 2 หรอื 120 เท่ากนั ทกุ คู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดังนี้

3

Y
4 z1

-4 O 4X

z2

-4 z3

เกรด็ เสริม
เวกเตอร์แต่ละคู่ทอี่ ยลู่ ำดบั ทีต่ ิดกนั
ทำมุมขนาด หรือ เท่ากนั ทกุ คู่

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

10

สามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

ทฤษฎีบท

ถ้า w= r(cos + i sin  ) เปน็ จำนวนเชิงซ้อนทีไ่ ม่เปน็ ศนู ย์ แล้ว

รากที่ n ของ w มีท้ังหมด n รากทีแ่ ตกต่างกัน คือ

z=n r cos + 2k  + i sin + 2k  เมือ่ k0,1, ..., n −1
n  n

ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากที่ 3 ของ 8i

วิธีทำ ให้ z = r(cos + i sin  ) เปน็ รากที่ 3 ของ 8i

เนือ่ งจาก 8i = 8(0 +1i)

=  + i sin  )
8(cos
22

ดงั นนั้ 3 8i = 3 8 cos  + 2k  + i sin  + 2k  ; k = 0,1, 2
6 3  6 3

= 2cos  + k • 2  +i sin   + k • 2 
6 3   6 3

เมื่อ k = 0 จะได้ 3 8i = 2cos  + i sin   = 3+i
6 6 

k = 1 จะได้ 3 8i = 2cos 5 + i sin 5  =− 3+i
6 6 

k = 2 จะได้ 3 8i = 2cos 3 + i sin 3  = − 2i
2 2 

ดงั นน้ั รากที่ 3 ของ 8i คือ − 2i , 3 +i และ − 3 + i

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

11

ตวั อย่างท่ี 3 จงหารากที่ 4 ของ −8 −8 3i

วิธีทำ เนื่องจาก − 8−8 3 i = 16(cos240 + i sin 240)

จะได้ 4 −8−8 3i = zk = 4 16 cos 240 + k360   + i sin  240 + k360  
4   4

เมือ่ k = 0,1, 2,3

 ( ) ( )= 2 cos 60 + k • 90 +isin 60 + k •90

เมือ่ k = 0,1, 2,3

 เมือ่ k = 0 จะได้ z0 = 2 cos 60 + i sin 60 = 1+ 3i
 k = 1 จะได้ z1 = 2 cos150 + i sin150 = − 3 + i
 k = 2 จะได้ z2 = 2 cos240 + i sin 240 = −1− 3i
 k = 3 จะได้ z3 = 2 cos330 + i sin 330 = 3 −i

ดงั นน้ั รากที่ 4 ของ − 8 − 8 3i คือ 1+ 3i , − 3 +i , −1− 3i และ 3 −i
เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 4 ของ −8 −8 3i มีขนาด 2 หนว่ ย และเวกเตอร์แตล่ ะคูท่ ีอ่ ยู่

ลำดับที่ตดิ กันทำมมุ ขนาด  หรอื 90 เท่ากันทุกคู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดงั นี้

2

Y

2 z1

z2

-2 2 X
O
z4
z3 -2

: 1. ถ้า z1, z2, z3 ..., zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1 = z2 = z3 =...= zn
2. ถ้า z1, z2, z3 ..., zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1 + z2 + z3 +...+ zn = 0

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

12

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 6 รากที่ ของจำนวนเชิงซอ้ น บตั รกิจกรรมท่ี 6.2

จุดประสงค์ 1. หารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้

สมาชิก 1) .................................................................ระดบั ช้ัน............... เลขที่ ...............
2) ................................................................ระดับชั้น............... เลขที่ ...............
3) ................................................................ระดับชั้น............... เลขที่ ...............
4) ................................................................ระดับชั้น................ เลขที่ ...............
5) ................................................................ระดับช้ัน................ เลขที่ ...............

คำสง่ั จงหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ นตอ่ ไปนี้ พร้อมท้ังเขียนเวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ใน
ระนาบเชิงซ้อน
1. รากที่ 3 ของ −1

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

13

จะได้เวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ คือ

2. รากที่ 3 ของ 27i3

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................
จะไดเ้ วกเตอร์แสดงรากที่หาได้ คือ

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

14

3. รากที่ 4 ของ 16

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................
จะไดเ้ วกเตอรแ์ สดงรากที่หาได้ คือ

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

6
เกณฑก์ ารตัดสิน ไดค้ ะแนนตั้งแต่ 4.5 คะแนนขึ้นไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

15

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน บัตรงานที่ 6

คำสั่ง จงหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้ พร้อมท้ังเขียนเวกเตอรแ์ สดงรากที่หาได้
ในระนาบเชิงซ้อน

1. รากที่ 3 ของ 27

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................
จะได้เวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ คือ

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

16

2. รากที่ 3 ของ 3 −i

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................
จะได้เวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ คือ

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

17

3. รากที่ 3 ของ 8cos  + isin  
3 3

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................
จะได้เวกเตอร์แสดงรากที่หาได้ คือ

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น 18

4. รากที่ 4 ของ 2 + 2 3i

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................
จะไดเ้ วกเตอรแ์ สดงรากที่หาได้ คือ

คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

8

เกณฑ์การตัดสิน ไดค้ ะแนนตั้งแต่ 6 คะแนนขึ้นไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 19

แบบทดสอบหลังเรียน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น
เลม่ ท่ี 6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอ้ น
จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเคร่อื งหมายกากบาท () ทบั บนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ กู ต้อง
ทีส่ ุดเพียงคำตอบเดียวเท่าน้ัน

1. รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะมีผลต่างระหว่างค่าอารก์ ิวเมนตข์ องสองราก
ทีอ่ ย่ตู ิดกนั เท่ากับเท่าใด
ก. 360

n

ข. 270

n

ค. 180

n

ง. 90

n

2. กำหนดให้ z1 , z2 และ z3 เป็นรากที่ 3 ของจำนวนเชงิ ซ้อนจำนวนหน่งึ
ถ้า z1 = 2(cos15 +i sin15) แล้วผลคณู z2z3 มีค่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
ก. 2 + 2i
ข. 2 − 2i
ค. 3 +i
ง. 3 −i

3. ข้อใด ไม่ใช่ รากที่ 3 ของ 8i
ก. 3 +i
ข. − 3 + i
ค. − 2i
ง. 2i

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

20

4. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้
(1) − 2i เป็นค่ารากหนง่ึ ของรากที่ 3 ของ 8i
(2) 3 +i เป็นค่ารากหนง่ึ ของรากที่ 3 ของ 8i
(3) 3 −i เป็นค่ารากหน่งึ ของรากที่ 3 ของ 8i
ข้อใดกล่าวถกู ต้อง
ก. (1) เทา่ น้ัน
ข. (1) และ (2) เทา่ นั้น
ค. (1) และ (3) เทา่ นั้น
ง. (2) และ (3) เท่านั้น

5. รากที่ n ของ w มีอยกู่ ีค่ ำตอบ ถ้าให้ w เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
ก. w คำตอบ
ข. n −1 คำตอบ
ค. n คำตอบ
ง. 2n −1 คำตอบ

6. กำหนดให้ z1 , z2 และ z3 เปน็ รากที่ 3 ของจำนวนเชงิ ซ้อนจำนวนหน่งึ
ถ้า z1 = 2 2(cos60 +i sin 60) แล้วผลคูณ z2z3 มีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 2 − 2i
ข. −1+ 4 3i
ค. 3 − 4i
ง. − 4 + 4 3i

7. ข้อใดคือรากที่ 3 ของ 1 ในรูป z2

ก. 1, − 1 + 3 i , − 1 − 3 i

22 22

ข. −1, − 1 − 3 i , 3 + 1 i

22 22

ค. − 1, − 3 + 1 i , − 3 − 1 i

22 22

ง. 1, 3 + 1 i , − 1 + 3 i

22 22

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

21

8. ข้อใด ไมใ่ ช่ รากที่ 3 ของ 1 ในรปู เชงิ ขวั้
ก. 1(cos240 + i sin 240 )
ข. 1(cos120 + i sin120 )
ค. 1(cos90 + i sin 90 )
ง. 1(cos0 + i sin 0 )

9. รากที่ 3 ของ 1 มีกราฟเป็นอยา่ งไร

ก. Y

1 z1

-z12 O 1X

-1 z3

ข. Y

z2 1

-1 O 1z1 X
z3-1
z1 X
ค. Y
1
1

z2

-1 O

-1 z3

ง. ไม่มีขอ้ ถกู

10. กำหนดให้ z1 , z2 , z3 และ z4 เปน็ รากที่ 4 ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหน่งึ

ถ้า z1 = 2 cos  + i sin   แล้ว z2 z3 z4 มีคา่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้
 6 6 

ก. 8i

ข. − 3 −i คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้
ค. 8

ง. 2 2 10

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

22

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น

ข้อ ตวั เลือก
1ก
2ข
3ง
4ข
5ก
6ค
7ง
8ข
9ก
10 ค

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

23

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 6.1

คำชี้แจง : ให้นักเรียนเติมคำตอบในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้
1. จงหาคา่ ของ

1) 3 − 64 ตอบ − 4
2) − 3 64 ตอบ − 4
3) − 3 − 64 ตอบ 4

4) 125 ตอบ 5

3 8

512 ตอบ − 2xy2

5) 3 − 8x3 y6

2. จงหารากที่ 3 ของ ตอบ 1
1) 1 ตอบ − 2
2) − 0.008 ตอบ 7
3) 343 ตอบ − 9
4) − 729 ตอบ 3 100
5) 100

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

24

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 6 รากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 6.2

คำสง่ั จงหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนี้ พร้อมท้ังเขียนเวกเตอรแ์ สดงรากที่หาได้ใน
ระนาบเชิงซ้อน

1. รากที่ 3 ของ −1
วิธีทำ ให้ z = r(cos + i sin  ) เป็นรากที่ 3 ของ −1
จะได้ z3 = −1
จากทฤษฎีบทของเดอรม์ วั ฟวร์ จะได้ z3 = r3(cos3 +i sin 3)
เนือ่ งจาก −1 = 1(−1+ 0i)

= 1(cos + i sin  )

ดงั นนั้ r3(cos3 +i sin 3 ) = 1(cos +i sin  )

นัน่ คือ r3 = 1 และ 3 =  + 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเตม็

จะได้ r = 1 และ  =  + 2k เมือ่ k = 0, 1, 2

33

เมื่อ k = 0 จะได้ 1 = 
3

k = 1 จะได้ 2 = 

k = 2 จะได้ 3 = 5
3

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

25

จากที่กำหนดให้ รากทีส่ ามของ −1 แทนด้วย z = r(cos +i sin  )

จะได้ z1 = 1cos  + i sin   = 1 1 + 3 i  = 1 + 3i
3 3  2 2 2 2

z2 = 1(cos + i sin  ) = −1+ 0i = −1

z3 = 1 cos 5 +i sin 5  = 1 1 − 3 i  = 1− 3i
 3 3  2 2 2 2

ดังนนั้ รากที่ 3 ของ − 64 คือ 1 + 3 i , −1 และ 1 − 3 i
22 22

เมื่อแทน k ด้วยจำนวนเต็มอื่น ๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนทีซ่ ้ำกับ z1 , z2 หรอื z3

แสดงวา่ รากที่ 3 ของ −1 ทีแ่ ตกต่างกนั มี 3 จำนวนเท่านั้น คือ z1 , z2 และ z3

เวกเตอรท์ ีแ่ สดงรากที่ 3 ของ −1 มีขนาด 1 หน่วย และเวกเตอรแ์ ตล่ ะคู่ที่อยู่ลำดบั ทีต่ ดิ กนั ทำมมุ ขนาด

2 หรอื 360 เทา่ กนั ทกุ คู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดงั น้ี
n n

Y

1 z1

-1 O 1X

z2

-1 z3

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

26

2. รากที่ 3 ของ 27i3

วิธีทำ 27i3 = − 27i จะได้ รากที่ 3 ของ − 27i

ให้ z = r(cos + i sin  ) เป็นรากที่ 3 ของ − 27i

จะได้ z3 = − 27i

จากทฤษฎีบทของเดอรม์ ัวฟวร์ จะได้ z3 = r3(cos3 +i sin 3)

เนื่องจาก − 27 i = 27(0 + (−1)i)

= 27cos 3 + i sin 3 
2 2

ดังนนั้ r3(cos3 + i sin 3 ) = 27cos 3 + i sin 3 
2 2

นน่ั คือ r3 = 27 และ 3 = 3 + 2k เมื่อ k เปน็ จำนวนเตม็

2

จะได้ r = 3 และ  =  + 2k เมือ่ k = 0, 1, 2

23

เมื่อ k = 0 จะได้ 1 = 
2

k = 1 จะได้ 2 = 2
3

k = 2 จะได้ 3 = 11
6

จากที่กำหนดให้ รากที่สามของ − 27i แทนด้วย z = r(cos +i sin  )

จะได้ z1 = 3cos  + i sin   = 3(0 + i) = 3i
2 2 

z2 = 3cos 7 + i sin 7  = 3 − 3 − 1 i  = − 33 − 3 i
6 6  2 2 2 2

z3 = 3cos 11 + i sin 11  = 3 3 − 1 i  = 3 3−3i
6 6  2 2 22

ดังนน้ั รากที่ 3 ของ − 27i คือ 3i , − 3 3 − 3 i และ 3 3 − 3 i
22 22

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

27

เมื่อแทน k ด้วยจำนวนเต็มอืน่ ๆ จะได้ จำนวนเชงิ ซ้อนทีซ่ ้ำกบั z1 , z2 หรอื z3
แสดงวา่ รากที่ 3 ของ − 27i ที่แตกต่างกันมี 3 จำนวนเทา่ นั้น คือ z1 , z2 และ z3
เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 3 ของ − 27i มีขนาด 3 หน่วย และเวกเตอร์แต่ละคู่ที่อยู่ลำดับที่ติดกันทำมุม
ขนาด 2 หรอื 360 เทา่ กนั ทุกคู่ ซึง่ เขียนแสดงได้ดงั นี้

3n

Y
3 z1

-3 3X
O
z3
z2

-3

3. รากที่ 4 ของ 16

วิธีทำ ให้ z = r(cos + i sin  ) เปน็ รากที่ 4 ของ 16
จะได้ z4 =16
จากทฤษฎีบทของเดอร์มัวฟวร์ จะได้ z4 =r4(cos4 +i sin 4)
เนื่องจาก 16 = 16(1+ 0i)

= 16(cos 0 + i sin 0)

ดงั นนั้ r4(cos4 +i sin 4 ) = 16(cos0 +i sin 0)
น่ันคือ r4 = 16 และ 4 = 2k เมือ่ k เปน็ จำนวนเต็ม
จะได้ r = 2 และ  = k เมือ่ k = 0, 1, 2, 3

2

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

28

เมือ่ k = 0 จะได้ 1 = 0

k = 1 จะได้ 2 = 
2

k = 2 จะได้ 3 = 

k = 3 จะได้ 4 = 3
2

จากทีก่ ำหนดให้ รากที่สามของ 16 แทนด้วย z = r(cos +i sin  )

จะได้ z1 = 2(cos 0 + i sin 0) = 2(1+ 0i) = 2

z2 = 2cos  + i sin   = 2(0 +1i) = 2i
2 2

z3 = 2(cos +isin ) = 2(−1+0i) = − 2

z4 = 2cos 3 + i sin 3  = 2(0 −1i) = − 2i
2 2 

ดงั นน้ั รากที่ 4 ของ 16 คือ 2, 2i, − 2 และ − 2i

เมื่อแทน k ด้วยจำนวนเต็มอน่ื ๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนทีซ่ ้ำกับ z1 , z2 หรือ z3
แสดงว่ารากที่ 4 ของ 16 ทีแ่ ตกต่างกนั มี 4 จำนวนเท่านั้น คือ z1 , z2 , z3 และ z4
เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 4 ของ 16 มีขนาด 2 หน่วย และเวกเตอร์แต่ละคู่ที่อยู่ลำดับที่ติดกันทำมุม
ขนาด  หรอื 90 เทา่ กันทุกคู่ ซึง่ เขียนแสดงได้ดังนี้

2

Y
2 z2

-2 2 X
z3 O
z1

-2 z4

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

29

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 6 รากที่ ของจำนวนเชิงซอ้ น เฉลยบัตรงานที่ 6

คำสงั่ จงหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ นต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนเวกเตอรแ์ สดงรากที่หาได้
ในระนาบเชิงซ้อน

1. รากที่ 3 ของ 27

วิธีทำ ให้ z = r(cos + i sin  ) เป็นรากที่ 3 ของ 27
จะได้ z3 = 27
จากทฤษฎีบทของเดอร์มวั ฟวร์ จะได้ z3 = r3(cos3 +i sin 3)
เนื่องจาก 27 = 27(1+ 0i)

= 27(cos0 +i sin 0)

ดังนนั้ r3(cos3 +i sin 3 ) = 27(cos0 +i sin 0)

นัน่ คือ r3 = 27 และ 3 = 0+ 2k เมือ่ k เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ r = 3 และ  = 2k เมือ่ k = 0, 1, 2

3

เมือ่ k = 0 จะได้ 1 = 0

k = 1 จะได้ 2 = 2
3

k = 2 จะได้ 3 = 4
3

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

30

จากที่กำหนดให้ รากที่สามของ 27 แทนด้วย z = r(cos +i sin  )
จะได้ z1 = 3(cos 0 + i sin 0) = 3(1+ 0i) = 3

z2 = 3 cos 2 + i sin 2  = 3 − 1+ 3 i  = −3+3 3i
 3 3  2 2 22

z3 = 3 cos 4 + i sin 4  = 3 − 1 − 3 i  = − 3 − 33 i
 3 3  2 2 2 2

ดังนน้ั รากที่ 3 ของ 27 คือ 3, − 3 + 3 3 i และ − 3 − 3 3 i
22 22

เมื่อแทน k ด้วยจำนวนเตม็ อื่น ๆ จะได้ จำนวนเชิงซ้อนทีซ่ ้ำกบั z1 , z2 หรอื z3

แสดงว่ารากที่ z2 ของ 27 ที่แตกตา่ งกนั มี 3 จำนวนเทา่ นั้น คือ z1 , z2 และ z3

เวกเตอรท์ ีแ่ สดงรากที่ z2 ของ 27 มีขนาด 3 หนว่ ย และเวกเตอรแ์ ตล่ ะค่ทู ี่อยู่ลำดับที่ตดิ กันทำมุม
ขนาด 2 หรอื 360 เท่ากนั ทกุ คู่ ซึ่งเขียนแสดงได้ดังนี้

3n

Y

z2 3

-3 O 3X
z3 -3
z1

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

31

2. รากที่ 3 ของ 3 −i

วิธีทำ ให้ z = r(cos +i sin  ) เปน็ รากที่ 3 ของ 3 −i

จะได้ z3 = 3 −i

เนื่องจาก 3 −i = 2cos11 + i sin 11 
6 6

จากทฤษฎีบทของเดอรม์ ัวฟวร์ จะได้ z3 =r3(cos3 +isin 3)

ดงั นนั้ r3(cos3 + i sin 3 ) = 2cos11 + i sin 11 
6 6

นั่นคือ r3 = 2 และ 3 = 11 + 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

6

จะได้ r = 3 2 และ  = 11 + 2k เมือ่ k = 0, 1, 2

18 3

เมื่อ k = 0 จะได้ 1 = 11
8

k = 1 จะได้ 2 = 23
18

k = 2 จะได้ 3 = 35
18

จากที่กำหนดให้ รากที่สามของ 3 −i แทนด้วย z = r(cos +i sin  )

จะได้ z1 = 3 2  cos 11 + i sin 11 
8 8 

z2 = 3 2cos 23 + i sin 23 
 18 18 

z3 = 3 2cos 35 + i sin 35 
 18 18 

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

32

เวกเตอรท์ ีแ่ สดงรากที่ z2 ของ 3 −i มีขนาด 3 2 หน่วย และเวกเตอรแ์ ต่ละคู่ทีอ่ ยลู่ ำดบั ที่ตดิ กนั
ทำมมุ ขนาด 2 หรอื 360 เทา่ กันทุกคู่ ซึง่ เขียนแสดงได้ดงั นี้

3n

Y

z1

−3 2 X
z3
O

z2

−3 2

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

33

3. รากที่ 3 ของ 8cos  + isin  
3 3

วิธีทำ ให้ z = r(cos + i sin  ) เป็นรากที่ 3 ของ 8cos  + i sin  
3 3

จะได้ z3 =8cos  + i sin  
3 3

จากทฤษฎีบทของเดอรม์ ัวฟวร์ จะได้ r3(cos3 + i sin 3 ) =8cos  + i sin  
3 3

ดังนนั้ r3 = 8 และ 3 =  + 2k เมือ่ k เปน็ จำนวนเต็ม

3

จะได้ r = 2 และ  =  + 2k เมื่อ k = 0, 1, 2

93

เมือ่ k = 0 จะได้ z1 = 2cos  + i sin  
9 9 

k = 1 จะได้ z2 = 2cos 7 + i sin 7 
9 9 

k = 2 จะได้ z3 = 2 cos 13 + i sin 13 
9 9 

เวกเตอรท์ ี่แสดงรากที่ z2 ของ 8cos  + isin   มีขนาด 3 2 หนว่ ย และเวกเตอร์แตล่ ะคู่
3 3 

ทีอ่ ยู่ลำดับทีต่ ดิ กนั ทำมุมขนาด 2 หรอื 360 เท่ากันทกุ คู่ ซึง่ เขียนแสดงได้ดังนี้

3n

Y
2

z2 O z1

-2 2
X

z3 -2

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

34

4. รากที่ 4 ของ 2 + 2 3i
วิธีทำ ให้ z = r(cos + i sin  ) เปน็ รากที่ 4 ของ 2 + 2 3i

จะได้ z4 = 2 + 2 3i

เนือ่ งจาก 2 + 2 3i = 4cos  + i sin  
3 3

จากทฤษฎีบทของเดอร์มวั ฟวร์ จะได้ r4(cos4 +i sin 4 ) = 4cos  +i sin  
3 3

ดังนนั้ r4 = 4 และ 4 =  + 2k เมื่อ k เปน็ จำนวนเตม็

3

จะได้ r = 2 และ  =  + k เมือ่ k = 0, 1, 2, 3

12 2

เมือ่ k = 0 จะได้ z1 = 2cos  + i sin  
 12 12 

k = 1 จะได้ z2 = 2cos 7 + i sin 7 
 12 12 

k = 2 จะได้ z3 = 2cos 13 + i sin 13 
 12 12 

k = 3 จะได้ z4 = 2cos 19 + i sin 19 
 12 12 

เวกเตอร์ที่แสดงรากที่ 4 ของ 2 + 2 3i มีขนาด 2 หน่วย และเวกเตอร์แต่ละคู่ที่อยู่ลำดับ
ที่ตดิ กันทำมมุ ขนาด  หรอื 90 เทา่ กนั ทุกคู่ ซึง่ เขียนแสดงได้ดงั นี้

2

Y

z2

z3 O z1

X

z4

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

35

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

ขอ้ ตวั เลือก
1ก
2ค
3ง
4ข
5ค
6ง
7ก
8ค
9ข
10 ค

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

37

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

38

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

บัตรกิจกรรมที่ 6.1 คะแนน
ขอ้ ละ 0.5 คะแนน
ข้อท่ี เกณฑก์ ารให้คะแนน ขอ้ ละ 0 คะแนน
1 – 2 คำตอบถกู ต้องครบถ้วน

คำตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม

บตั รกิจกรรมที่ 6.2

ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 – 3 แสดงวิธที ำชัดเจน สมบูรณ์ คำตอบถกู ต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน ไม่สมบรู ณ์ แตอ่ ยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถูกต้อง และคำตอบถูกต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ัดเจน หรอื ไมแ่ สดงวิธที ำคำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถกู ต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบูรณ์

แตค่ ำตอบไม่ถูกต้อง

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ดั เจน ไมส่ มบรู ณ์ แตอ่ ยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถกู ต้อง คำตอบไมถ่ ูกต้อง

ไม่แสดงวิธที ำและคำตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

39

เกณฑก์ ารให้คะแนน

บัตรงานที่ 6

ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 – 4 แสดงวิธที ำชัดเจน สมบรู ณ์ คำตอบถูกต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไม่สมบรู ณ์ แตอ่ ยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถูกต้อง และคำตอบถกู ต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ดั เจน หรอื ไม่แสดงวิธที ำคำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถกู ต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบูรณ์

แตค่ ำตอบไมถ่ ูกต้อง

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ดั เจน ไม่สมบรู ณ์ แตอ่ ยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถกู ต้อง คำตอบไม่ถกู ต้อง

ไม่แสดงวิธที ำและคำตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

เลม่ ที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

40

บรรณานุกรม

กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร์ : จำนวนเชิงซอ้ น.
กรุงเทพฯ: ฟสิ ิกส์เซน็ เตอร์.

จกั รินทร์ วรรณโพธ์กิ ลาง. คมู่ ือประกอบการเรียนรายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เติม
ม.4 – 6 เลม่ 4. กรงุ เทพฯ: พ.ศ.พฒั นา จำกดั .

ณฐั อุดมพาณิชย์. (2559). แนวขอ้ สอบวชิ าคณติ ศาสตร์ เพื่อสอบ PAT1 (พมิ พค์ รง้ั ที่ 5).
กรุงเทพฯ: สถาบนั สอนคณิตศาสตร์และฟสิ ิกส์ SYNTAX+.

ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. แบบฝึกเสริมทกั ษะรายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1.
กรงุ เทพฯ: แมค็ เอ็ดดเู คชนั่ จำกดั .

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2562). หนงั สอื เรียนรายวชิ า
เพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 (พมิ พค์ รง้ั ที่ 3).
กรุงเทพฯ: จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย.

เล่มที่ 6 รากที่ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น