เวกเตอร์2

4.2 เวกเตอรห์ น่ึงหน่วยมาตรฐาน

บทนิยาม เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย คือ เวกเตอรท์ ่มี ีขนาดเท่ากบั หน่ึงหน่วย

เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยท่จี ะกลา่ วต่อไปนเี้ ป็นเวกเตอรห์ นึ่งหน่วยซง่ึ มีจดุ เริ่มตน้ ทจ่ี ุดกาเนิด และมีทาง
ทิศตามแกน x แกน y หรือ แกน z ในทศิ ทางบวกตามแกนนนั้ ๆ เราเรียกวา่ เวกเตอรห์ น่ึงหน่วย

มาตรฐาน (standard unit vectors)

เวกเตอรห์ น่ึงหน่วยมาตรฐาน

เวกเตอร์ 2 มิติ

Y

(0,1) สญั ลักษณ์
i แทนเวกเตอรห์ น่งึ หน่วยมาตรฐาน ตามแกน x
j (1, 0) X j แทนเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยมาตรฐาน ตามแกน y
Oi

เวกเตอร์ 3 มติ ิ

Z

(0, 0, 1) สัญลักษณ์
i แทนเวกเตอรห์ นึ่งหน่วยมาตรฐาน ตามแกน x
k j (0, 1, 0) Y j แทนเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยมาตรฐาน ตามแกน y
k แทนเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยมาตรฐาน ตามแกน z
i O

(1, 0, 0)

X

ตัวอยา่ ง 3 จงบอกขนาดและทิศทางของเวกเตอรต์ ่อไปนี้ พรอ้ มทงั้ เขียนภาพประกอบ

(1) พจิ ารณาในเวกเตอร์ 2 มิติ Y
2 i คือ เวกเตอรท์ ่มี ขี นาด …… หน่วย

ทศิ ทาง ………………………...…….

3 j คือ เวกเตอรท์ ่มี ขี นาด …… หนว่ ย X
ทศิ ทาง ……………………………….
O

i คือ เวกเตอรท์ ่มี ีขนาด …… หนว่ ย

ทศิ ทาง ……………………….……….

1.5 j คอื เวกเตอรท์ ่มี ีขนาด …… หนว่ ย

ทิศทาง ……………………….……….

(2) พจิ ารณาในเวกเตอร์ 3 มิติ Z Y
–2 i คอื เวกเตอรท์ ่มี ขี นาด …… หน่วย O

ทิศทาง ………………………...……. X
3 j คอื เวกเตอรท์ ่มี ขี นาด …… หนว่ ย

ทิศทาง ……………………………….
2k คอื เวกเตอรท์ ่มี ีขนาด …… หน่วย

ทิศทาง ……………………….……….

4.3 เวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉาก

จากท่ไี ดก้ ล่าวถึง เวกเตอรใ์ นเชงิ เรขาคณิตไปแลว้ วา่ จะมีจดุ เรม่ิ ตน้ และจดุ สนิ้ สดุ ของเวกเตอร์
ดงั นนั้ การแทนเวกเตอรใ์ นระบบแกนมมุ ฉากจึงสามารถทาไดด้ งั นี้

(1) เวกเตอรใ์ น 2 มิติ
1) ถา้ กาหนดจดุ เร่มิ ตน้ ของเวกเตอรค์ ือ จดุ กาเนิด O(0, 0) และจดุ สนิ้ สดุ ของเวกเตอรค์ อื

จดุ A(a, b) ในระนาบแกนมมุ ฉากเราจะนยิ าม เวกเตอร์ OA ดงั นี้

Y สญั ลกั ษณแ์ ทนเวกเตอร์ OA ไดแ้ ก่
A(a, b)
OA a , b

bj X a
b
O ai ai bj

a,

b 2) ถา้ กาหนดจดุ เรม่ิ ตน้ ของเวกเตอรค์ ือ จดุ P(x1, y1) และจดุ สิน้ สดุ ของเวกเตอรค์ อื จดุ Q

(x2, y2) ในระนาบแกนมมุ ฉากเราจะนิยาม เวกเตอร์ PQ ดงั นี้

Y Q(x2, y2) สญั ลกั ษณแ์ ทนเวกเตอร์ OA ไดแ้ ก่

(y2 y1) j OA x2 x1 , y2 y1
x2 x1
(x1, y1) P x1) i R(x2, y1) y2 y1
(x2 (x2 x1) i (y2 y1) j
X
O
a,
b

(2) เวกเตอรใ์ น 3 มติ ิ
1) ถา้ กาหนดจดุ เร่มิ ตน้ ของเวกเตอรค์ ือ จดุ กาเนิด O(0, 0, 0) และจดุ สนิ้ สดุ ของเวกเตอร์

คือจุด A(a, b, c) ในระนาบแกนมมุ ฉากเราจะนิยาม เวกเตอร์ OA ดงั นี้

Z สญั ลกั ษณแ์ ทนเวกเตอร์ OA ไดแ้ ก่

A(a, b, c) OA a , b , c
a
O ck b
c
a i a, Y a i b j ck
X bbj

2) ถา้ กาหนดจดุ เร่มิ ตน้ ของเวกเตอรค์ ือ จดุ P(x1, y1,z1) และจดุ สิน้ สดุ ของเวกเตอรค์ อื จดุ
Q(x2, y2, z2) ในระนาบแกนมมุ ฉากเราจะนิยาม เวกเตอร์ PQ ดงั นี้

P(x1, y1, z1) สญั ลกั ษณแ์ ทนเวกเตอร์ OA ไดแ้ ก่
Z

(x2 x1)i Q(x2, y2, z2) OA x2 x1 , y2 y1 , z2 z1
(z2 z1)k
(x2, y1, z1)A x2 x1
B(x2, y2, z1) y2 y1
O (y2 y1) j z2 z1 z1)k
a, Y
(x2 x1) i (y2 y1) j (z2

X b

ข้อสังเกต จะพบว่า เวกเตอรใ์ ดๆ ใน 2 มติ ิ สามารถเขียนในรูปของ i และ j ไดเ้ สมอ
และ เวกเตอรใ์ ดๆ ใน 3 มิติ สามารถเขียนในรูปของ i , j และ k ไดเ้ สมอ
ถา้ u เป็นเวกเตอร์ และ a,b,c การเขียนเวกเตอร์ u ในระบบแกนมมุ ฉากเขียน
ได้ 3 แบบ ดงั นี้

เวกเตอร์ ในระนาบ 2 มติ ิ ในปรภิ มู ิ 3 มิติ

เขียนในรูปของ i , j หรอื k ai bj a i b j ck
เขยี นเฉพาะสว่ นประกอบของ
 a, b  a,b,c
i , j หรอื k

เขียนในรูปเมทรกิ ซ์ a a
b b
c

หมายเหตุ เราเรียก a, b และ c วา่ เป็นสว่ นประกอบ(component) ของเวกเตอร์ u

ตวั อยา่ ง 3 จงหาเวกเตอร์ AB และ BA ในขอ้ ต่อไปนี้ โดยเขยี นเวกเตอรท์ งั้ สามรูปแบบ

(1) A(2, 4), B(–1, 5) (2) A(0, –2), B(4, –3)

(2) A(0, 4, -5), B(1, 0, 5) (3) A(–2, 1, 3), B(0, 0, 0)

4.4 การเทา่ กนั ของเวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉาก

จากท่ไี ดก้ ล่าวถงึ เวกเตอรใ์ นเชิงเรขาคณิต ถา้ ให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ
u = v กต็ ่อเม่อื เวกเตอรท์ งั้ สอง มขี นาดเท่ากนั และ มีทิศทางเดยี วกนั สว่ นการนิยามใน
เชิงพชี คณิต ใหน้ ิยามท่ีง่ายขนึ้ ในการตรวจสอบ ดงั นี้

บทนิยาม การเท่ากนั ของเวกเตอร์ 2 มติ ิ

ให้ =   และ = 

= ก็ตอ่ เม่อื และ

การเทา่ กนั ของเวกเตอร์ 3 มติ ิ

ให้ =   และ = 

= ก็ตอ่ เม่อื และ และ

4.5 นิเสธของเวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉาก

บทนิยาม นิเสธของเวกเตอร์ 2 มติ ิ แทนดว้ ย – โดยท่ี
ให้ =  a , b  นิเสธของ

– =  –a , –b 

นิเสธของเวกเตอร์ 3 มติ ิ แทนดว้ ย – โดยท่ี
ให้ =  a , b , c  นเิ สธของ

– =  –a , –b , –c 

ตัวอยา่ ง 5 ให้ P(2, –1, z) และ Q(3, y, 2) เป็นจดุ ในปรภิ มู ิ 3 มิติ
ถา้ AB =  2x , 4 , 0  และ AB PQ จงหา 4x + 3y + z

ตัวอย่าง 6 ให้ u 2 i (b 1) j (c 9)k และ v (a 1)i 3 j
ถา้ u v จงหา a + 2b + c

4.6 การบวก การลบ และ การคูณดว้ ยสเกลาร์ ของเวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉาก

จากท่ไี ดก้ ล่าวถึงการบวกกนั ของเวกเตอร์ การลบกนั ของเวกเตอร์ และการคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์
ในเชงิ เรขาคณิตไปแลว้ การนยิ ามในเชิงพีชคณิต ใหน้ ิยามท่งี า่ ยขนึ้ ในการหาผลลพั ธ์ ดงั นี้

บทนิยาม การบวก การลบ และ การคณู ด้วยสเกลารข์ องเวกเตอร์ 2 มติ ิ

ให้ =   และ =  

การบวก การลบ และ การคูณดว้ ยสเกลารข์ องเวกเตอร์ 3 มติ ิ

ให้ =   และ =  

สมบัตขิ องการบวกและการคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

ทฤษฎบี ท (สมบตั ิของเวกเตอร)์
ให้ และ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ (ใน 2 มิติ หรือ 3 มิต)ิ
และ k , m เป็นสเกลาร(์ จานวนจรงิ ) จะได้

(1)
(2)
(3)

(4) และ

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

ข้อสงั เกต การบวก ลบ และการคณู ดว้ ยสเกลารข์ องเวกเตอร์ จะดาเนินคลา้ ยกบั เรอ่ื งเมทรกิ ซ์ *

ตัวอย่าง 7 ให้ u 5 i 3 j , v 2 i 5 j , w i 2 j เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ 2 มติ ิ

จงหา

(1) u v w = ………………………………………………………………

(2) u v w = ………………………………………………………………

(3) 2u 3v + 2 w = ………………………………………………………………

= ………………………………………………………………

*(4) ถา้ w au bv จงหา a + b

ตวั อยา่ ง 8 ให้ u 2 , 1 , 3 , v 1 , 2 , 0 , w 0 , 3 , 5 เป็นเวกเตอรใ์ น

ปรภิ มู ิ 3 มติ ิ จงหา

(1) u v w = ………………………………………………………………

(2) u v w = ………………………………………………………………

(3) 2u 3v + 2 w = ………………………………………………………………

= ………………………………………………………………

*(4) ถา้ au bv cw 2 , 1 , 5 จงหา a + b + c

4.7 ขนาดของเวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉาก (Norm of a Vector)

จากท่ไี ดก้ ลา่ วถงึ ขนาดของเวกเตอรใ์ นเชงิ เรขาคณิตไปแลว้ ว่าแทนดว้ ยความยาวของสว่ นของ
เสน้ ตรง การนิยามในเชิงพชี คณิตจะใชท้ ฤษฎีบทของปีทาโกรสั ใหน้ ิยามท่งี า่ ยขึน้ ในการหาขนาด ดงั นี้

Y ขนาดของเวกเตอร์ 2 มติ ิ

| OA | A(a, b) | OA |2 | OB |2 | BA | 2
a2 b2
Oa
b | OA | a2 b2
a,
bZ X

| OA | B

ขนาดของเวกเตอร์ 3 มติ ิ

| OA |2 | OB |2 | BA | 2
| OC |2 | CB | 2
A(a, b, c) b2 | BA | 2
a2 c2

O c Y a2 b2 c2
B | OA |
a a,
XC bb

บทนิยาม ขนาดของเวกเตอร์ 2 มิติ (Norm of a Vector)

ให้ =   = ขนาดของ แทนดว้ ย โดยท่ี

ขนาดของเวกเตอร์ 3 มติ ิ (Norm of a Vector)

ให้ =  = ขนาดของ แทนดว้ ย โดยท่ี

หมายเหตุ ตาราบางเลม่ อาจจะใชข้ นาดของเวกเตอร์ u แทนดว้ ย u

สมบตั ขิ องขนาดของการบวก ลบ และการคูณด้วยสเกลารข์ องเวกเตอร์

ทฤษฎีบท ให้ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ มี  เป็นมมุ ระหวา่ งเวกเตอร์ และ
และ k เป็นสเกลาร(์ จานวนจรงิ ) จะได้
(1) |k | = |k|| | ( |k| คือ ค่าสมั บรู ณข์ อง k )

(2)
(3)
(4)

ตวั อย่าง 10 จงหาขนาดของเวกเตอรต์ ่อไปนี้ (2) b = 2 i 2 j
(4) d = 7 i j 6 k
(1) a =  –4 , 3 

(3) c = 2, –2, 2 2 

ตัวอย่าง 11 จงหาขนาดของ PQ เม่อื กาหนดจดุ P และ จดุ Q ในขอ้ ต่อไปนี้

(1) P(–3, 4) , Q(4, –3) (2) P(–4, 5), Q(–1, –2)

(3) P(1, –2, 4) , Q(3, 2, 0) (4) P(7, –5, 1) , Q(–7, –2 , –1)

4.8 เวกเตอรห์ น่ึงหน่วยของเวกเตอรใ์ ดๆ (Unit Vectors)

เราไดก้ ลา่ วถงึ นิยามของเวกเตอรห์ นง่ึ หน่วยไปแลว้ วา่ “เป็นเวกเตอร์ทมี่ ขี นาดเท่ากบั หนง่ึ หนว่ ย”

ตวั อย่างของเวกเตอรห์ นึง่ หน่วยเชน่ i 1 j k 0, 1 ในปรภิ มู ิ 3 มิติ

หรอื เชน่ 3i 1j , 1 , 0 ในระนาบ 2 มติ ิ เป็นตน้
2 2

สาหรบั เวกเตอร์ u ใดๆ ไม่ว่าจะใน 2 มติ ิ หรอื 3 มิติ สามารถสรา้ งเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ยของเวกเตอร์

นนั้ ได้ ดงั นี้

กาหนดให้ u a, b, c a i + b j + ck เป็นเวกเตอรใ์ น 3 มติ ิ (ใน 2 มิตแิ สดงเหมือนกนั )

จะได้ | u | a2 b2 c2 ถา้ ให้ v 1u
a2 b2 c2

จะได้ | v | 1 |u| Z u a i b j ck
a2 b2 c2 Y
Uu
1 ( a2 b2 c2 )
a2 b2 c2

=1 O

แสดงว่า v เป็นเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยท่มี ที ิศทางเดยี วกนั กบั u X a,
b

บทนิยาม เวกเตอรห์ น่ึงหน่วยของเวกเตอรใ์ ดๆ (Unit Vector of a Vector)

เวกเตอรห์ นึง่ หน่วยท่มี ที ศิ ทางเดียวกบั คอื

( 2 มติ ิ) = เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยท่ีมที ิศทางเดียวกบั
ถา้ ให้ = 

คือ

( 3 มติ ิ) = เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยท่มี ีทศิ ทางเดยี วกบั
ถา้ ให้ = 

คือ

เพ่อื ความสะดวกในท่นี จี้ ะแทน เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยท่มี ีทศิ ทางเดยี วกบั u ดว้ ย Uu

*-* ประโยชนข์ องเวกเตอรห์ น่ึงหน่วย *–* นาไปใ

ใชเ้ ป็นทิศทางของการสรา้ งเวกเตอรใ์ หม้ ขี นาดและทิศทางตามเวกเตอรๆ์ หนึ่ง กลา่ วคือ

ถา้ ตอ้ งการสรา้ งเวกเตอร์ v ใหม้ ีทิศทางเดียวกบั u โดยใหม้ ีขนาด k หน่วย จะได้ v k Uu
ตวั อย่าง 14 กาหนดให้ u 2 i j 2k จงหา

(1) เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยท่มี ีทศิ ทางเดยี วกบั u

(2) เวกเตอรท์ ่มี ที ิศทางเดยี วกบั u และมีขนาด 10 หน่วย

4.9 การขนานกันของเวกเตอรใ์ นระบบแกนมุมฉาก

ในการพจิ ารณาเวกเตอรเ์ ชิงเรขาคณิต ไดน้ ยิ ามการขนานกนั ของเวกเตอรท์ ่ไี ดก้ ลา่ วไปแลว้ ว่า
“เวกเตอรข์ นานกนั ก็ต่อเมือ่ มีทิศทางเดยี วกนั หรอื ตรงขา้ มกนั ” และไดก้ ลา่ วถงึ ทฤษฎบี ทสาหรบั การ
ตรวจสอบการขนานกนั ของสองเวกเตอร์ สมมตุ วิ า่ เป็น u และ v ซ่งึ ไม่เป็นเวกเตอรศ์ นู ย์

u / / v กต็ ่อเม่อื มี a  R ซ่งึ a  0 ท่ที าให้ u = av
หวั ขอ้ นเี้ ราจะตรวจสอบการขนานกนั ของเวกเตอรท์ ่สี ะดวกขึน้ โดยอาศยั ความรูท้ างพชี คณิตมาช่วย ดงั นี้

(1) การขนานกนั ของเวกเตอร์ 2 มติ ิ

ทฤษฎบี ท การขนานกันเวกเตอร์ 2 มิติ โดยท่ี จะไดว้ า่
ให้ และ

ขนานกบั ก็ต่อเม่อื ad = bc

หมายเหตุ
(1) ทฤษฎบี ทนี้ การตรวจสอบการขนานกนั ดไู ดจ้ ากผลคณู ไขวข้ องสว่ นประกอบว่าเท่ากนั หรอื ไม่

u v น่นั คือจากผลคณู ไขว้ ad = bc จะได้ ab
c=d
a  c 
    ถา้ a b =k>0 แลว้ u ขนานกบั v ในทิศทางเดียวกนั ***
 b   d  c = d

ถา้ a = b =k<0 แลว้ u ขนานกบั v ในทิศทางตรงขา้ มกนั ***
c d

(2) ถา้ เขียนเวกเตอรใ์ นระนาบ XY สามารถตรวจสอบการขนานกนั ของเวกเตอรไ์ ดจ้ ากความชนั ดงั นี้

Y u ai bj จะไดค้ วามชนั ของ u เท่ากบั b = tan 
 v ci dj a

จะไดค้ วามชนั ของ v เท่ากบั d = tan 
c
เรียก , เป็นมมุ กาหนดทิศทางของ u และ v

O  X u ขนานกบั v ก็ต่อเม่อื mu = mv (หรือ  =  ) ***

a v= 1 1 w= 3
3 2 2
ตวั อย,า่ ง 19 กาหนดให้ u 2 , 3

b จงพิจารณาการขนานกนั ของเวกเตอร์

แบบฝึ กหดั 4

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จงบอกพกิ ดั ของจดุ ในระบบแกนมมุ ฉาก 3 มติ ิจากรูปต่อไปนี้

(1) Z (2)
A
(-3, -2, 2) Z

(-1, 2, 5) B

BC Y AC FD
E (2, 7, 1)Y
O
O
FD

(3, -6, -5) X
E

X

จดุ A คอื ………… จุด C คือ ……..…… จดุ A คือ ………… จดุ C คือ

…………… จุด B คอื …………. จดุ D คือ …….……..
จดุ E คอื …………. จดุ F คือ ……….…..
จดุ B คอื …………. จดุ D คือ ………....
จดุ E คอื …………. จดุ F คือ ……….…..

2. จงหาเวกเตอร์ AB เม่อื กาหนดจดุ A และจดุ B ในขอ้ ตอ่ ไปนี้

(1) A(-1, 2), B(4, -3) AB = ………………………………………….

(2) A(3, -4) , B(-2, 4) AB = ………………………………………….

(3) A(-5, 0, 4), B(3, -3, 3) AB = ………………………………………….

(4) A(-2, 1, 3), B(0, 0, 1) AB = ………………………………………….

3. จงหาจดุ เร่มิ ตน้ (หรือจดุ สิน้ สดุ ) เม่อื กาหนดเวกเตอรแ์ ละจดุ สนิ้ สดุ (หรือจดุ เรม่ิ ตน้ ) ในขอ้ ต่อไปนี้

(1) AB 3 i 2 j k , A(-1, 0, 3) จดุ B คือ ……………………………………

(2) PQ 2, 2, 0 , Q(0, 1, 0) จดุ P คือ ……………………………………

(3) MN j 2k , N(1, 0, 4) จดุ M คอื ……………………………………

(4) RS 0, 0 , 2 R(1, 2, 3) จดุ S คอื ……………………………………

4. กาหนดให้ u u w j 2k จงหา

(1) u v 2 i =……………………………………………………………………….
(2) 2w (u 2v) =……………………………………………………………………
(3) w 3 i 3u v =…………………………………………………………………

5.1 ผลคูณเชิงสเกลาร(์ Scalar Product) หรอื ผลคณู จดุ (Dot Product)

บทนิยาม ผลคูณเชงิ สเกลาร์ : Dot Product

ให้ และ เป็นเวกเตอรใ์ น 2 มติ ิ หรือ 3 มติ ิ

ผลคณู เชงิ สเกลารข์ อง และ เขยี นแทนดว้ ย โดยท่ี

เวกเตอรใ์ น 2 มิติ : ถา้ และ

เวกเตอรใ์ น 3 มิติ : ถา้ และ

ทฤษฎีบท ผลคูณเชิงสเกลาร์ : Dot Product
ให้ และ เป็นเวกเตอร์ และ  เป็นมมุ ระหว่าง และ โดยท่ี 0   180
จะได้

ขอ้ สงั เกต
(1) จากนิยามของผลคณู เชิงสเกลาร์ และทฤษฎบี ทขา้ งตน้ เราสามารถท่จี ะหาผลคณู เชิงสเกลาร์

ได้ 2 วธิ ี คอื
▪ ถา้ ทราบสว่ นประกอบ i , j และ k ของเวกเตอรจ์ ะ ใช้นิยาม ในการหาผลคณู
▪ ถา้ ทราบขนาดและมุม ของสองเวกเตอร์ จะ ใชท้ ฤษฎบี ท ในการหาผลคณู

(2) จากทฤษฎีบท u v | u || v | cos จะได้ สตู รหาขนาดมมุ ระหว่าง u และ v

หามมุ ระหว่าง
เวกเตอร์

โดยท่ี | u || v | 0 ดงั นนั้ ถา้ u 0 , v 0 จากสตู รนีจ้ ะไดว้ ่า u
❖ u v > 0 ก็ต่อเม่อื เป็นมมุ แหลม (0o <  < 90o)
v
u v

❖ u v = 0 กต็ ่อเม่อื เป็นมมุ ฉาก ( = 90o) v

u

❖ u v < 0 ก็ต่อเม่อื เป็นมมุ ปา้ น (90o <  < 180o)

สมบตั ิของผลคูณเชิงสเกลารท์ ส่ี าคัญ *  *

ทฤษฎีบท ผลคณู เชิงสเกลาร์ : Dot Product และ
ให้ , และ เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ a เป็นสเกลาร์ และ  เป็นมมุ ระหวา่ ง จงหา

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. และ จะไดว้ า่ ก็ตอ่ เม่ือ =0
และ
8 ถา้ จะไดว้ า่  ก็ต่อเม่ือ
9. ถา้

ตัวอย่าง 1 (ใชน้ ิยาม) กาหนดให้ u 1, 2, 3 v = w

(1) u v (2) v w

(3) w u (4) v v

(5) (u v) w (6) (u v)w

(7) (v w) (v w) (8) (u v) (u v)

ตวั อยา่ ง 2 กาหนดให้ u 2 i j 2k , v 2 i 3 j k , w 3 i 2k
ถา้ u a 2 , v a 5 และ w a 5 จงหาเวกเตอร์ a

ตัวอย่าง 3 (ใชท้ ฤษฎีบท) กาหนดให้ | u |, | v | และ  ในขอ้ ต่อไปนี้ จงหา u v

(1) | u | 3, | v | 2 , 45 (2) | u | 10, | v | 12 , 90

ตัวอยา่ ง 4 (ใช้ทฤษฎีบท) จงหามมุ ระหวา่ ง u และ v เม่อื กาหนด u และ v ในขอ้ ต่อไปนี้
(1) u 2 3 i 2 j และ v 3 3 i 3 j เป็นเวกเตอรใ์ น 2 มติ ิ

(2) u 3 i 2 j 6k และ v 3 i 5 j 8k เป็นเวกเตอรใ์ น 3 มติ ิ

ตัวอย่าง 5 กาหนดให้ u a i b j k , v 3 i j k และ w 3 i 2 j 2k
ถา้ u ตงั้ ฉากกบั v และ u ตงั้ ฉากกบั w จงหา u

แบบฝึ กหัด 5(5.1)

------------------------------------------------------------------------------------

1. จงหา u v จาก u และ v ท่กี าหนดใหใ้ นขอ้ ตอ่ ไปนี้ และจงพจิ ารณาวา่ มมุ ระหวา่ งเวกเตอร์
เป็นมมุ แหลม มมุ ฉาก หรือมมุ ปา้ น

(1) u 2, 4, -8 v = (2) u , 0, 1 v = 2 2

(3) u , 0, 4 v = 6 (4) u , 3, 12 v = 0 12

2. กาหนดให้ u 2 i 3 j 4k, v i 2 j 5k, w 3 i 6 j k จงหา

(1) u ( 2v w) (2) (3u v)2

3. กาหนดให้ จดุ A, B และ C ต่อไปนี้ จงพจิ าณาวา่ ABC เป็นรูป มมุ แหลม หรือ  มมุ ฉาก

หรือ  มมุ ปา้ น

(1) A(0, 1) , B(3, 2) , C(2, 3) (2) A(1, 2) , B(3, 3) , C(1, 5)

5. 2 ผลคณู เชิงเวกเตอร(์ Vector Product) หรือผลคณู ไขว้ (Cross Product)

ผลคณู เชิงเวกเตอร์ หมายถึง ผลคณู ระหว่างเวกเตอรส์ องเวกเตอรส์ ามมติ ิ ท่ผี ลลพั ธข์ องการคณู เป็น
เวกเตอร์

ถา้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉากสามมิติ ผลคณู ของ u กบั v ใชส้ ญั ลกั ษณแ์ ทนดว้ ย
u  v อา่ นวา่ “เวกเตอร์ยูครอสเวกเตอร์ว”ี

บทนิยาม ผลคณู เชิงเวกเตอร์ : Cross Product

กาหนด = และ =

=

หมายเหตุ จากนยิ ามขา้ งตน้ เราจะพบว่าเราสามารถใชค้ วามรูเ้ ร่ืองเมทรกิ ซ(์ ดเี ทอรม์ ินนั ตข์ องเมทรกิ ซ)์
มาชว่ ยในการเขา้ ใจการหาผลคณู เชงิ เวกเตอรไ์ ดง้ ่ายขนึ้ ดงั นี้

u  v = (b1c2 − b2c1) i + (c1a2 − c2a1) j + (a1b2 − a2b1)k

= b1 c1 i a1 c1 j a1 b1 k
b2 c2 a2 c2 a2 b2

i jk ส่วนประกอบของ u (ตวั ตงั้ )
ส่วนประกอบของ v (ตวั คณู )
= a1 b1 c1
a2 b2 c2

ตวั อยา่ ง 1 จงหาผลคณู เชงิ เวกเตอรเ์ ม่อื กาหนด w
(2) u v
v 1, 2, 3 , u

(1) v u

(3) w w **(4) v (w v)

ทศิ ทางของผลคณู เชิงเวกเตอร์

ทฤษฎบี ท ทศิ ทางของผลคูณเชิงเวกเตอร์ จะไดว้ ่า
ถา้  และ  และ ไมข่ นานกบั

 ตงั้ ฉากกบั และ

จากทฤษฎบี ทนจี้ ะไดว้ า่ =
=
k =
j

i

ขนาดของผลคณู เชิงเวกเตอร์

ทฤษฎีบท ขนาดของผลคณู เชิงเวกเตอร์
ถา้  และ  เม่อื  เป็นมมุ ระหวา่ ง และ โดยท่ี 0 ≤  ≤ 180 จะได้
(i) (Lagrange’s Identity) และ

(ii) จากทฤ=ษฎบี ทนจี้ ะได้ สตู รในการหาขนาด

มมุ ระหวา่ งเวกเตอร์ u และ v หาจาก sin |u v|
| u || v |

ตวั อย่าง จงหา    
(i + j + 2k )(2i − j −3k )

แบบฝึ กหัด 6(5.2)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. กาหนดให้ u 4, 5, 2 v 6, 0, 1 , w 7, 6, 2 จงหา

(1) u v (2) u w

(3) w v (4) u (v w)

(5) u (2v 3w) (6) w (u v)

2. กาหนดให้ u i j k , v 4 j 4k จงหา
(1) เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยท่ีตงั้ ฉากกบั u และ v

(2) เวกเตอรข์ นาดเท่ากบั u v และมีทศิ ทางเดยี วกบั u v

❖ การตรวจสอบการขนานและการตั้งฉากของเวกเตอรจ์ ากผลคณู เชงิ สเกลารแ์ ละผลคูณเชงิ เวกเตอร์

ถา้ กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ น 2 มิติ หรอื 3 มิติ โดยท่ี u, v 0
โดยท่ี u  v = | u || v | cos  และ | u  v | = | u || v | sin 
ซ่งึ u  v = 0 ก็ต่อเม่อื  = 90o และ | u  v | = 0 ก็ต่อเม่อื  = 0o, 180o ดงั นนั้

ทฤษฎบี ท กาหนดให้ และ เป็นเวกเตอรใ์ น 2 มิติ หรอื 3 มิติ โดยท่ี จะได้
ก็ตอ่ เม่ือ
(1) ก็ต่อเม่อื
(2)

หมายเหตุ ถา้ | u  v | = 0 และ  = 0o แสดงว่า u v ในทิศทางเดยี วกนั
ถา้ | u  v | = 0 และ  = 180o แสดงว่า u v ในทิศทางตรงขา้ มกนั

ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ u = a i + b j + k , v = 3 i + j − k และ w = −3 i + 2 j + 2k
ถา้ u ⊥ v และ u ⊥ w จงหา u

❖ การใช้เวกเตอรใ์ นการหาพนื้ ทข่ี องรูปสเี่ หลย่ี มดา้ นขนาน

• พนื้ ท่ขี องรูปสเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน คือ | u v | = | u || v | sin 

• พนื้ ท่ขี องรูปสามเหลี่ยม เทา่ กบั 1 | u || v | sin  = 1 u v
2 ABCD 2 AB =
     
ตัวอย่าง จงหาพนื้ ท่ขี องรูปส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน เม่อื i + 3 j + 4k และ AD = 3i − 2 j + k