สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน ก

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD)
เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ชุดนี้ จัดทำขึ้นตามมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560)
เพื่อแก้ปัญหานักเรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร์ กระตุ้นให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด
เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง
มีการเรียงลำดับเน้ือหาจากง่ายไปหายาก มีท้ังหมด 7 เล่ม ดงั น้ี

เล่มที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 2 สมบตั ิเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 3 รากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ท่ี 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เล่มที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว มีเน้ือหาประกอบด้วยคำชี้แจง
เกี่ยวกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้ คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้สำหรับครูและนักเรียน
สาระสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อน - หลังเรียน
และเฉลยบัตรกิจกรรม เฉลยบตั รงาน เฉลยแบบทดสอบก่อน - หลงั เรยี น

ผจู้ ัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิค
การแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
ทำให้นักเรียนมผี ลสมั ฤทธิท์ างการเรียนสูงข้ึน เป็นสื่อที่มีประสิทธิภาพสำหรับครทู ี่สนใจนำไปใช้ในการ
พัฒนานักเรียน และสามารถอำนวยประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ให้บรรลุตามวัตถุประสงค์ของ
หลกั สตู รได้

อุมาวดี เสน็ อุมา
ครูชำนาญการ

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

ข

สารบัญ

เรื่อง หน้า
คำนำ ก
สารบญั ข
คำชแี้ จงเก่ยี วกบั ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ ค
คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับครู ง
คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับนกั เรียน ฉ
ผงั มโนทศั น์ขนั้ ตอนการเรยี นรู้ ช
ผลการเรยี นรู้ และจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เลม่ ที่ 4 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 2
สาระสำคญั สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว 5
บัตรคำสั่งที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 7
บัตรเนอื้ หาที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 8
บัตรกิจกรรมที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว 15
บตั รงานที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 18
แบบทดสอบหลงั เรยี น เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว 21
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 24
เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว 25
เฉลยบัตรงานที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว 28
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว 31
ตารางบนั ทึกคะแนน 32
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 33
บรรณานุกรม 35

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ค

คำชี้แจงเกีย่ วกบั ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้

1. เอกสารเล่มนีเ้ ปน็ ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมอื เทคนิคการ
แบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน มีทั้งหมด 7 เล่ม ดังน้ี
เล่มที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 2 สมบัติเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 3 รากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 4 กราฟและค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

2. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ เป็นเล่มที่ 7 เรื่อง สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว ประกอบด้วย
2.1 คำชี้แจงเกี่ยวกบั ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
2.2 คำแนะนำสำหรบั ครู
2.3 คำแนะนำสำหรับนกั เรียน
2.4 ผลการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้และสาระสำคัญ
2.5 แบบทดสอบกอ่ นเรียน
2.6 บัตรคำสงั่
2.7 บัตรกิจกรรม / เฉลยบัตรกิจกรรม
2.8 บัตรเนือ้ หา
2.9 บตั รงาน / เฉลยบัตรงาน
2.10 แบบทดสอบหลังเรยี น
2.11 บรรณานุกรม

3. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ ใชเ้ วลาเรียน 2 ชัว่ โมง
4. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ ประเมนิ ผลการเรียนรู้จากแบบทดสอบหลังเรยี น เลม่ ที่ 7

จำนวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลาในการสอบ 15 นาที

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

ง

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์
(STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน ครูมีบทบาทสำคัญ ในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควรเตรียม
ความพรอ้ มและปฏิบตั ิตามคำแนะนำ ดงั น้ี

1. ศึกษารายละเอียดต่าง ๆ ทั้งด้านเนื้อหา วิธีการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ ข้ันตอนการ
ดำเนินกิจกรรมและกระบวนการจัดการเรียนการสอนด้วยเทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์
(STAD) ให้เข้าใจชดั เจน ดังน้ี
1.1 ขั้นท่ี 1 ข้ันนำเสนอเนื้อหา ครูจะทบทวนพื้นฐานความรู้เดิม จากนั้นครูสอน
เนือ้ หาใหม่กับนักเรียนกลุ่มใหญท่ ้ังชั้น

1.2 ขั้นท่ี 2 ขั้นทำงานเป็นทีม นักเรียนจะต้องทำงานเป็นกลุ่ม ปฏิบัติกิจกรรม
และทำบัตรงานร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียน
คนละ 1 เล่ม ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหาและตัวอย่าง ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้
เพื่อนในกลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้เพื่อนในกลุ่มฟังจนเข้าใจ การอธิบายมี
จุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดีมีผลให้สามารถทำ
แบบทดสอบย่อยได้คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง และส่งผลให้
คะแนนของกล่มุ ดีไปด้วย ในการทำงานกล่มุ ครูจะดูแลอยู่อยา่ งใกล้ชิด คอยให้
คำแนะนำหรอื อธิบายเมื่อนกั เรียนมีปัญหาและไม่สามารถหาคำตอบได้ในกลุ่ม

1.3 ขั้นที่ 3 ขั้นทดสอบย่อย เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจในเนื้อหาที่เรียน
ซึ่งนักเรียนแต่ละคนต้องทำบัตรงาน และแบบทดสอบด้วยตนเองไม่มีการ
ช่วยเหลอื กนั

1.4 ข้ันท่ี 4 ขนั้ คดิ คะแนนความก้าวหนา้ คะแนนทีน่ ักเรียนทำได้จากการทดสอบ
จะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนนรายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนน
กลุ่ม โดยครูติดวิธีการหาคะแนนความก้าวหน้า และการหาคะแนนกลุ่มไว้ที่
บอร์ดของห้องเรียน เมื่อเรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมีคะแนนกลุ่ม
มากทีส่ ุดจะได้รบั รางวลั

1.5 ข้ันท่ี 5 ข้ันชมเชย ยกย่อง นักเรียนคนใดและกลุ่มใด ทำคะแนนได้มากที่สุด
หรอื ทำคะแนนได้ดีกวา่ คร้ังกอ่ นจะได้รับคำชมเชยหรอื รางวลั

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

จ

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับครู (ต่อ)

2. ศกึ ษาค้นคว้าเนื้อหาเพิม่ เติมลว่ งหน้า และเตรียมความพร้อมกอ่ นใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้
3. แบ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 – 5 คน คละความสามารถ คือ คนเก่ง

ปานกลาง และอ่อน ใช้อัตราสว่ น 1:2:1
4. ชีแ้ จงให้นักเรียนทราบวิธีการใชช้ ดุ กิจกรรมการเรียนรู้
5. แจ้งผลการเรียนรู้และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้แก่นักเรียน
6. ใหน้ ักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเปน็ รายบคุ คล เพื่อนำคะแนนที่ได้ไปใช้เป็นคะแนนฐาน

ของตนเอง และคะแนนฐานเฉลี่ยของกล่มุ ตอ่ ไป

คะแนนฐานของตนเอง คือ ร้อยละของคะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เล่มที่ 7

คะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เลม่ ที่ 7  100
10

คะแนนฐานเฉลีย่ ของกลุม่ คือ คา่ เฉลีย่ ของคะแนนฐานของสมาชิกในกลมุ่

คะแนนทดสอบยอ่ ย คือ ร้อยละของคะแนนหลังเรียน

7. ให้คำแนะนำและอำนวยความสะดวกในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
8. หลังจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรียบร้อยแล้วให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน

เป็นรายบุคคล

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ฉ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับนักเรยี น

ในการศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่ม
สัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดต่อนักเรียนเอง ก่อนที่จะศึกษา
นกั เรียนควรปฏิบตั ิตามคำแนะนำ ดังน้ี

1. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เล่มที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว ใช้เวลา 2 ชว่ั โมง
2. นักเรียนอ่านคำชีแ้ จงเกีย่ วกับชุดกิจกรรมและคำแนะนำสำหรับนกั เรียนใหเ้ ข้าใจ
3. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 7 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที เป็นรายบุคคล

เพื่อประเมินความรู้พื้นฐานของนักเรียน แล้วตรวจคำตอบจากเฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
และบันทึกคะแนนทีไ่ ด้
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม และบัตรกิจกรรม บัตรงานร่วมกัน ซึ่งครูจะแจก
ชุดกิจกรรมให้นักเรียนคนละ 1 เล่ม ให้นักเรียนศึกษาเน้ือหา ตัวอย่าง ถ้านักเรียน
ไม่ เข้ า ใจ ก็ ให้ เพื่ อ น ใน ก ลุ่ ม ที่ มี ค ว า ม เข้ า ใจ อ ธิ บ า ย ให้ เพื่ อ น ใน ก ลุ่ ม ฟั ง จ น เข้ า ใจ
การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดี มีผลให้
สามารถทำแบบทดสอบได้คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง และส่งผลให้
คะแนนของกลุ่มดีไปด้วย ในการทำงานกลุ่มครูจะดูแลอยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้
คำแนะนำหรอื อธิบาย เมือ่ นกั เรียนมีปัญหาและไมส่ ามารถหาคำตอบได้ในกลุม่
5. ทำแบบทดสอบหลังเรียนเล่มที่ 7 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที ด้วยตนเอง ไม่มีการ
ชว่ ยเหลอื กนั เพือ่ ทราบความก้าวหน้าในการเรียนของนกั เรียน
6. คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนน
รายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนนกล่มุ เม่อื เรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลมุ่ ใดมีคะแนนกลุ่ม
มากทีส่ ุดจะได้รบั รางวลั
7. ในการทำ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อนเรียน และแบบทดสอบหลังเรียน
ข อ ใ ห้ นั ก เรี ย น ท ำ ด้ ว ย ค ว า ม ต้ั ง ใ จ แ ล ะ มี ค ว า ม ซื่ อ สั ต ย์ ต่ อ ต น เอ ง ใ ห้ ม า ก ที่ สุ ด
โดย “นักเรยี นตอ้ งไม่เปิดดเู ฉลยล่วงหนา้ ”

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

ช

ผงั มโนทศั นข์ ้นั ตอนการเรียนรู้

อ่านคำชีแ้ จงสำหรบั นกั เรียน

ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ศึกษาบัตรเนื้อหา
ศกึ ษาเนือ้ หาและตัวอย่าง
ทำบัตรกิจกรรม/ตรวจบัตรกิจกรรม
ทำบัตรงาน/ตรวจบัตรงาน

ทำแบบทดสอบหลังเรียน

ประเมนิ ผล ไมผ่ า่ นเกณฑ์

ผ่านเกณฑ์

บันทึกคะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน
คำนวณคะแนนพัฒนาการของกลุ่ม
ประกาศชมเชย

จบการศึกษาชุดกิจกรรม
ทำแบบทดสอบหลังเรียน จำนวน 30 ข้อ

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

1

ผลการเรียนรู้ และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน
เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว

ผลการเรียนรู้
แก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

และนำไปใช้ในการแก้ปญั หา

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

1. ดา้ นความรู้ นักเรียนสามารถ
1.1 แก้สมการพหนุ ามตัวแปรเดียวดีกรีไมเ่ กินส่ีทีม่ สี ัมประสิทธิ์เปน็ จำนวนเต็มและ

นำไปใช้ในการแก้โจทย์ปญั หาได้

2. ดา้ นทักษะ นกั เรียนมีความสามารถ
2.1 ในการแก้ปัญหา
2.2 ในการใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสอ่ื สาร และการนำเสนอ

3. ดา้ นคุณลักษณะ ปลูกฝังให้นกั เรียนมีพฤติกรรม ดังนี้
3.1 มีความซือ่ สัตย์
3.2 มีระเบียบวินยั
3.3 ใฝเ่ รียนรู้
3.4 มุ่งมน่ั ในการทำงาน

4. ดา้ นสมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น นกั เรียนมีความสามารถ

4.1 ในการสื่อสาร
4.2 ในการแก้ปญั หา

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

2

แบบทดสอบก่อนเรียน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ น
เลม่ ท่ี 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว
จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที

คำชีแ้ จง : ให้นกั เรียนทำเคร่อื งหมายกากบาท () ทับบนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง
ทีถ่ กู ต้องทีส่ ดุ เพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

1. ถ้า a และ b เป็นคำตอบของสมการ x2 = − 4 แล้ว a + b มีคา่ เท่าใด
ก. 0
ข. 2i
ค. i
ง. 4i

2. ข้อใดคือเซตคำตอบของสมการ x3 + 8 = 0

 ก. − 2, −1+ 3i , −1− 3i
 ข. 2, 1+ 3i , 1− 3i
 ค. − 2, 1+ 3i , 1− 3i
 ง. 2, −1+ 3i , −1− 3i

3. สมการพหนุ ามกำลัง 3 ทีม่ ี 2 และ − 2i เปน็ คำตอบ คือข้อใด
ก. x3 + 2x2 − 4x −8 = 0
ข. x3 − 2x2 − 4x −8 = 0
ค. x3 − 2x2 + 4x +8 = 0
ง. x3 − 2x2 + 4x −8 = 0

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

3

4. เศษจากการหารพหนุ าม 2x3 − x +1 ด้วย x +1 มีค่าเท่าใด

ก. 0
ข. 1
ค. 3
ง. 4

จ.

5. ข้อใดคือผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ x3 −3x2 + 2x −6 = 0

ก. 2 + 2i
ข. 2 − 2i

ค. 3
ง. − 3

6. ข้อใดเป็นผลคณู ของคำตอบของสมการ x4 − 16 = 0

ก. 16
ข. −16
ค. 8
ง. −8

7. กำหนดให้ z1 , z2 เปน็ คำตอบของสมการพหนุ าม 4z2 +8 = 0 คา่ ของ 1 มีค่าเท่ากับ
z1z2

ข้อใดต่อไปนี้

ก. − 1

2

ข. 1

2

ค. 2

2

ง. − 2

2

8. ถ้าสมการพหุนาม x3 −2x2 +3kx−3 = 0 มี x −1 เป็นตัวประกอบ แล้วค่าของ 3k + 2
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 2

ข. 4

ค. 6

ง. 8

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

4

9. เซตคำตอบของสมการ x2 −2x + 40 = 0 คือข้อใดตอ่ ไปนี้

ก. − 39 , 39
 ข. − 2 39 , 2 39
 ค. 1− 2 39 ,1+ 2 39
 ง. 1− 39 ,1+ 39

10. ข้อใดคือคำตอบท้ังหมดของสมการ x4 +13x2 +36 = 0
ก.  2i ,  3i
ข.  2i ,  4i
ค.  2i ,  5i
ง.  9i ,  4i

คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้

10

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

5

สาระสำคญั สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ทฤษฎีบทหลกั มูลของพีชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra)

ให้ p(x) เป็นพหุนามทีม่ ีสมั ประสิทธิ์เปน็ จำนวนจรงิ และมีดกี รีมากกว่าศูนย์
จะได้วา่ p(x) = 0 จะมีคำตอบที่เป็นจำนนเชิงซ้อนอย่างนอ้ ยหนึ่งคำตอบ

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)

ให้ p(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 ++ a1x + a0 เปน็ พหนุ าม โดยที่ n
เป็นจำนวนเตม็ บวกและ an , an−1 , an−2 ,..., a1 , a0 เป็นจำนวนจรงิ ซึง่ an  0
สำหรับจำนวนจรงิ c ใดๆ จะได้วา่

พหุนาม p(x) มี x − c เปน็ ตวั ประกอบ กต็ ่อเม่อื p(c) = 0

ทฤษฎีบทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem)

ให้ p(x) = an xn + an xn−1 + an−2xn−2 ++ a1x + a0 เป็นพหุนาม โดยที่ n

−1

เป็นจำนวนเต็มบวก และ an , an−1 , an−2 ,..., a1 , a0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง an  0

ถ้า x − k เป็นตัวประกอบพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

m

ซึ่ง m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m หาร an ลงตัว

และ k หาร a0 ลงตัว

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

6

ทฤษฎีบท 1

ให้ p(x) เป็นพ หุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและมีดีกรี n
เม่ือ n  1 จะได้ว่าสมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ท้ังหมด n คำตอบ เมือ่ นบั คำตอบที่ซ้ำกนั

ทฤษฎีบท 2

ถ้าจำนวนเชงิ ซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหนุ าม

xn + a1xn−1 +...+ an−1x + an = 0

โดยที่สัมประสิทธิ์ a1 , a2 , a3 ,...., an เป็นจำนวนจริง แล้ว z จะเป็นคำตอบของ
สมการพหนุ ามนี้

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

7

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว บัตรคำสง่ั ที่ 7

สมการพหุนามตวั แปรเดียว

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรูด้ ้านความรู้

1. นักเรียนสามารถแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ ที่มีสัมประสิทธิ์
เป็นจำนวนเตม็ และนำไปใช้ในการแก้โจทยป์ ัญหาได้

คำสงั่ : ให้สมาชิกทกุ คนของแต่ละกลุ่มปฏิบตั ิกิจกรรมตามขั้นตอนดงั ต่อไปนี้

1. ศึกษาบัตรเนื้อหาท่ี 7 แลกเปล่ียนเรียนรู้ ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่
มี ความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ

2. ตัวแทนกลมุ่ 1 กล่มุ (โดยการสมุ่ ของครู) สรุปเนื้อหาที่ 7
3. ทำบัตรกิจกรรมที่ 7 โดยแลกเปลีย่ นเรียนรู้ภายในกลุม่
4. ตวั แทนกลมุ่ 2 กลุ่ม (โดยการสุ่มของคร)ู นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน
5. แลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่ม โดยตรวจสอบความถูกต้องจากบัตรเฉลย

และสรุปคะแนนที่ได้จากการทำบัตรกิจกรรม หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์การประเมิน
ให้ทบทวนบัตรเนือ้ หาที่ 7 ใหม่
6. ทำบัตรงานที่ 7 แล้วแลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่มโดยตรวจสอบ
ความถูกต้องจากเฉลยบัตรงานที่ 7 และบันทึกคะแนนที่ได้ หากคะแนนไม่ผ่าน
เกณฑ์การประเมินให้ทบทวนบัตรเนื้อหาที่ 7 ใหม่ และทำบัตรงานที่ 7 อีกครั้ง

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

8

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว บตั รเนือ้ หาที่ 7

สมการในรูป anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 ++ a1x + a0 = 0 เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มบวก
และ an , an−1 , an−2 ,..., a1 , a0 เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นจำนวนจริง โดยที่ an  0
จะเรียกสมการนีว้ า่ สมการพหนุ ามกำลงั n

จากทีเ่ คยเรียนมาแล้วนั้น สมการพหุนามกำลังสองอยู่ในรูป ax2 +bx+c = 0 เม่อื a,b,c

เปน็ จำนวนจริงใด ๆ และ an  0

โดยมีคำตอบ คือ − b  b2 − 4ac เม่ือ b2 − 4ac  0

2a

และ − b  b2 − 4ac i เม่อื b2 − 4ac  0

2a

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคำตอบของสมการ x2 −4x +5 = 0

วิธีทำ จาก x2 − 4x +5 = 0
จะได้ b2 − 4ac = (−4)2 − 4(1)(5)

= 16 − 20 = − 4

x − b  b2 − 4ac i
=

2a

4  −4i
=

2
= 4  2i

2

= 2i

ดงั นนั้ คำตอบของสมการ คอื 2+i และ 2−i

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

9

ทฤษฎีบทหลักมลู ของพีชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra)

ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสมั ประสิทธิ์เปน็ จำนวนจรงิ และมีดกี รีมากกวา่ ศูนย์
จะได้วา่ p(x) = 0 จะมีคำตอบที่เปน็ จำนวนเชิงซ้อนอย่างนอ้ ยหนึ่งคำตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ x4 + 2x −15 = 0
วิธีทำ
x4 + 2x −15 = (x2 + 5)(x2 −3)

= (x2 − 5i2)(x2 − ( 3)2 )

= (x − 5i)(x + 5i)(x − 3 )(x + 3)

ดงั นั้น คำตอบทั้งหมดของสมการ x4 + 2x −15 = 0 คือ 5i , − 5i , 3 , − 3

จากตัวอย่างท่ี 2 สามารถสรุปเปน็ ทฤษฎีบท ดังนี้

ทฤษฎีบท 1
ให้ p(x) เป็นพหนุ ามที่มีสัมประสิทธิเ์ ปน็ จำนวนจรงิ และมีดกี รี n เมื่อ n  1
จะได้วา่ สมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด n คำตอบ
เมือ่ นับคำตอบที่ซ้ำกนั

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

10

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)

ให้ p(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 ++ a1x + a0 เปน็ พหนุ าม โดยที่ n
เป็นจำนวนเต็มบวกและ an , an−1 , an−2 ,..., a1 , a0 เป็นจำนวนจรงิ ซึง่ an  0
สำหรบั จำนวนจรงิ c ใดๆ จะได้วา่

พหุนาม p(x) มี x − c เป็นตัวประกอบ ก็ตอ่ เมอ่ื p(c) = 0

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 −3x2 +5x +9 = 0

วิธีทำ ให้ p(x) = x3 −3x2 + 5x + 9

จำนวนเต็มที่หาร 9 ลงตวั คือ 1,  3,  9

จากการตรวจสอบ p(1), p(−1), p(3), p(−3), p(9) และ p(−9)

พบว่า p(−1) = 0 ดงั น้ัน x +1 เปน็ ตัวประกอบของ p(x)

จะได้ p(x) = (x +1)(x2 − 4x +9)

ดังนนั้ x +1 = 0 หรอื x2 − 4x +9 = 0

ถ้า x2 −4x +9 = 0 จะได้ x = 4  16 − 36 i 5i
=2
2

ดงั น้ัน เซตคำตอบของสมการ x3 −3x2 +5x +9 = 0 คือ

 −1, 2 + 5i , 2 − 5i

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

11

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem)

ให้ p(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 ++ a1x + a0 เป็นพหุนาม โดยที่ n
เป็นจำนวนเต็มบวก และ an , an−1 , an−2 ,..., a1 , a0 เป็นจำนวนจริง ซึ่ง an  0
ถ้า x − k เป็นตัวประกอบพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

m

ซึ่ง m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m หาร an ลงตัว
และ k หาร a0 ลงตัว

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x4 + x3 − 2x −1 = 0

วิธีทำ ให้ p(x) = 2x4 + x3 − 2x −1

เนือ่ งจากจำนวนเต็มที่หาร -1 ลงตวั คอื 1

และจำนวนเต็มทีห่ าร 2 ลงตัว คือ 1,  2

ดงั นน้ั จำนวนตรรกยะ k ทีท่ ำให้ p k  = 0

m m

จะอยู่ในกล่มุ ของจำนวนตอ่ ไปนี้ คือ 1,  1

2

จากการตรวจสอบพบว่า p(1) = 0 และ p− 1  = 0

 2

ดังนน้ั x −1 และ x + 1 เปน็ ตัวประกอบของ p(x)

2

จะได้ p(x) = (x −1)(2x +1)(x2 + x +1)

ดงั นน้ั x −1 = 0 หรอื 2x +1 = 0 หรอื x2 + x +1 = 0

ถ้า x2 + x +1 = 0 แล้ว −1 1− 4i = −1 3i
x=
22

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ 2x4 + x3 − 2x −1 = 0 คือ  1 , 1, −1+ 3i , −1− 3i 
− 
2 2 2

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

12

ข้นั ตอนการหาคำตอบของสมการ มีดังนี้
1. ถ้า an =1 ให้หาตวั ประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an

ทีท่ ำให้ p(x) =0 ตามทฤษฎีบทตวั ประกอบจำนวนตรรกยะ
2. นำ x−c ทีห่ าได้ ในข้อ 1. ไปหาร p(x) ผลหารจะเปน็ พหนุ ามทีม่ ี

ดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยงั มีดีกรีสงู กวา่ 2 ให้แยกตวั ประกอบตอ่ ไปอีก

โดยใช้วธิ ีตาม ข้อ 1. และ 2

อ๋อ ! สรุปได้แบบนีไ้ ง

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

13

ทฤษฎีบท 2
ถ้าจำนวนเชงิ ซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหุนาม

xn + a1xn−1 +...+ an−1x + an = 0

โดยที่สัมประสิทธิ์ a1 , a2 , a3 ,...., an เป็นจำนวนจริง แล้ว z จะเป็นคำตอบของ
สมการพหนุ ามนี้

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแสดงว่า 2+ 3i เป็นคำตอบของสมการ x4 −7x2 + 20x +14 = 0

และจงหาเซตคำตอบของสมการน้ี

วิธีทำ ให้ p(x) = x4 − 7x2 + 20x +14

จะได้ p(2 + 3i) = (2 + 3i)4 − 7(2 + 3i)2 + 20(2 + 3i) +14

= (1+ 4 3i)2 − 7(1+ 4 3i) + 40+ 20 3i +14

= − 47+8 3i − 7 − 28 3i + 40+ 20 3i +14

=0

ดงั นนั้ 2+ 3i เป็นคำตอบของสมการ p(x) = 0
จากทฤษฎีบท จะได้ว่า 2− 3i เปน็ คำตอบของสมการดว้ ย
เนื่องจาก (x −(2 + 3i))(x − (2 − 3i )) = x2 − 4x + 7
และเมือ่ นำ x2 − 4x + 7 ไปหาร p(x) ได้ผลหารเปน็ x2 + 4x + 2
จะได้ p(x) = (x2 − 4x + 7)(x2 + 4x + 2)
ดังนนั้ x2 − 4x + 7 = 0 หรอื x2 + 4x + 2 = 0
ถ้า x2 + 4x + 2 = 0 แล้ว x = − 2 + 2 หรอื x = − 2 − 2

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการน้ี คือ 2+ 3i , 2− 3i , − 2+ 2 , − 2− 2

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

14

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
วิธีทำ มี 3, − 4 และ 3+ i เป็นคำตอบ และมี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ
เนื่องจาก 3+ i เปน็ คำตอบของสมการ และจากทฤษฎีบท 2
จะได้วา่ 3−i เป็นคำตอบของสมการดว้ ย
จะได้ (x − 3)(x + 4)(x − (3 + i))(x − (3 − i)) = 0

(x2 + x −12)(x2 − 6x +10) = 0

x4 −5x3 −8x2 +82x −120 = 0

ดังนั้น x4 −5x3 −8x2 +82x −120 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 4
ที่มสี ัมประสิทธิเ์ ปน็ จำนวนเตม็ มี 3, − 4 และ 3+ i เปน็ คำตอบและ
มี 1 เปน็ สัมประสิทธิ์นำ

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

15

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว บตั รกิจกรรมท่ี 7

จดุ ประสงค์ 1. นักเรียนสามารถแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ ที่มี
สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและนำไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้

สมาชิก 1) .... .............................................................ระดบั ช้ัน............... เลขที่ ...............
2) ................................................................ระดับช้ัน............... เลขที่ ...............
3) ................................................................ระดบั ช้ัน............... เลขที่ ...............
4) ................................................................ระดบั ช้ัน................ เลขที่ ...............
5) ................................................................ระดบั ช้ัน................ เลขที่ ...............

คำส่งั จงหาเซตคำตอบของสมการตอ่ ไปนี้
1. x3 − 2x2 − 2x +1 = 0

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

16

2. (x + 2)(x2 + 4x + 5) = 0

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

3. 2x3 + 2x2 + 2x − 6 = 0

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

4. x4 − x3 + 7x2 −9x −18 = 0
วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

17

5. จงหาเซตคำตอบของสมการพหนุ าม x4 −7x3 +18x2 −22x +12 = 0 เมื่อ 1 + i
เป็นคำตอบหน่งึ ของสมการพหุนามนี้

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

10
เกณฑก์ ารตัดสิน ไดค้ ะแนนต้งั แต่ 7 คะแนนขึ้นไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

18

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว บัตรงานท่ี 7

คำสั่ง 1. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้
1) x3 − 2x2 − x + 2 = 0

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

2) x4 −6x2 − 40 = 0

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

19

3) x4 − 6x3 +15x2 − 22x +12 = 0

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

2. จงแสดงว่า -2 เป็นคำตอบซ้ำ 2 คำตอบ ของสมการพหุนาม
x4 − 2x3 −7x2 + 28x +52 = 0 พร้อมท้ังหาคำตอบของสมการพหุนามน้ี

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

20

3. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ทีม่ สี ัมประสิทธิ์เปน็ จำนวนเตม็ มี 2−2 3i และ
− 4i เป็นคำตอบ และมี 1 เป็นสัมประสิทธิน์ ำ

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

10

เกณฑ์การตดั สิน ไดค้ ะแนนตง้ั แต่ 7 คะแนนขึน้ ไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 21

แบบทดสอบหลงั เรียน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น
เล่มท่ี 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว
จำนวน 10 ขอ้ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเครอ่ื งหมายกากบาท () ทบั บนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ กู ต้อง
ทีส่ ุดเพียงคำตอบเดียวเทา่ น้ัน

1. เศษจากการหารพหุนาม 2x3 − x +1 ด้วย x +1 มีคา่ เทา่ ใด

ก. 4
ข. 3

ค. 1
ง. 0

2. กำหนดให้ z1 , z2 เป็นคำตอบของสมการพหุนาม 4z2 +8 = 0 ค่าของ 1
z1z2

มีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 1

2

ข. − 1

2

ค. 2

2

ง. − 2

2

3. ข้อใดคือเซตคำตอบของสมการ x3 + 8 = 0

 ก. − 2, −1+ 3i , −1− 3i
 ข. 2, 1+ 3i , 1− 3i
 ค. − 2, 1+ 3i , 1− 3i
 ง. 2, −1+ 3i , −1− 3i

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น 22

4. ข้อใดคือคำตอบทั้งหมดของสมการ x4 +13x2 +36 = 0
ก.  2i ,  3i
ข.  2i ,  4i
ค.  2i ,  5i
ง.  9i ,  4i

5. ถ้า a และ b เปน็ คำตอบของสมการ x2 = − 4 แล้ว a + b มีคา่ เท่าใด
ก. 0
ข. 2i
ค. i
ง. 4i

6. ข้อใดคือผลบวกของคำตอบท้ังหมดของสมการ x3 −3x2 + 2x −6 = 0
ก. − 3
ข. 3
ค. 2 − 2i
ง. 2 + 2i

7. เซตคำตอบของสมการ x2 −2x + 40 = 0 คือข้อใดต่อไปนี้

ก. − 39 , 39
 ข. − 2 39 , 2 39
 ค. 1− 2 39 ,1+ 2 39
 ง. 1− 39 ,1+ 39

8. สมการพหนุ ามกำลัง 3 ที่มี 2 และ − 2i เป็นคำตอบ คือข้อใด
ก. x3 + 2x2 − 4x −8 = 0
ข. x3 − 2x2 − 4x −8 = 0
ค. x3 − 2x2 + 4x −8 = 0
ง. x3 − 2x2 + 4x +8 = 0

เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

23

9. ข้อใดเปน็ ผลคณู ของคำตอบของสมการ x4 − 16 = 0

ก. 16
ข. −16
ค. 8
ง. −8

10. ถ้าสมการพหุนาม x3 −2x2 +3kx−3 = 0 มี x −1 เปน็ ตัวประกอบ แล้วค่าของ 3k + 2
เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
ก. 2

ข. 4
ค. 6

ง. 8

คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้

10

เลม่ ที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

33

เกณฑก์ ารให้คะแนน

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

34

เกณฑก์ ารให้คะแนน

บัตรกิจกรรมที่ 7

ขอ้ ท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 – 5 แสดงวิธที ำชดั เจน สมบรู ณ์ คำตอบถูกต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไม่สมบูรณ์ แต่อย่ใู นแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถกู ต้อง และคำตอบถกู ต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน หรอื ไม่แสดงวิธที ำคำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถกู ต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบูรณ์

แตค่ ำตอบไม่ถกู ต้อง

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ัดเจน ไม่สมบูรณ์ แต่อยใู่ นแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถูกต้อง คำตอบไม่ถกู ต้อง

ไม่แสดงวิธที ำและคำตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

บัตรงานที่ 7

ข้อท่ี เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
ขอ้ ละ 2 คะแนน
1 (1)-(3) แสดงวิธที ำชดั เจน สมบูรณ์ คำตอบถูกต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 1.5 คะแนน
และ แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไม่สมบูรณ์ แตอ่ ย่ใู นแนวทางที่ ขอ้ ละ 1 คะแนน
2 – 3 ถกู ต้อง และคำตอบถกู ต้องครบถว้ น
แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ดั เจน หรอื ไมแ่ สดงวิธที ำคำตอบ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน
ถกู ต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบรู ณ์ ขอ้ ละ 0 คะแนน
แต่คำตอบไม่ถกู ต้อง
แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไมส่ มบรู ณ์ แต่อยใู่ นแนวทางที่
ถูกต้อง คำตอบไมถ่ กู ต้อง
ไมแ่ สดงวิธที ำและคำตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

35

บรรณานกุ รม

กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร์ : จำนวนเชิงซ้อน.
กรุงเทพฯ: ฟสิ ิกส์เซ็นเตอร.์

จักรินทร์ วรรณโพธ์กิ ลาง. คูม่ ือประกอบการเรียนรายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เติม
ม.4 – 6 เลม่ 4. กรงุ เทพฯ: พ.ศ.พฒั นา จำกดั .

ณัฐ อุดมพาณิชย์. (2559). แนวขอ้ สอบวชิ าคณติ ศาสตร์ เพือ่ สอบ PAT1 (พมิ พ์ครง้ั ที่ 5).
กรงุ เทพฯ: สถาบนั สอนคณิตศาสตร์และฟสิ ิกส์ SYNTAX+.

ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. แบบฝึกเสริมทักษะรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1.
กรุงเทพฯ: แมค็ เอด็ ดูเคชน่ั จำกดั .

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2562). หนังสอื เรียนรายวชิ า
เพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่ม 2 (พมิ พ์ครงั้ ที่ 3).
กรงุ เทพฯ: จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.

เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว