กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

ก

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมอื เทคนิคการแบ่งกลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD)
เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ชุดนี้ จัดทำขึ้นตามมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเ รียนรู้
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
(ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) เพื่อแก้ปัญหานักเรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร์ กระตุ้นให้
นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง
แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง มีการเรียงลำดับเนื้อหาจากง่ายไปหายาก มีทั้งหมด 7 เล่ม
ดงั น้ี

เลม่ ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 2 สมบัติเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 3 รากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มท่ี 4 กราฟและค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น
เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เล่มที่ 4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน มีเนื้อหา
ประกอบด้วย คำชีแ้ จงเกีย่ วกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้ คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
สำหรบั ครูและนักเรียน สาระสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบ
ก่อนและหลงั เรียน และเฉลยบตั รกิจกรรม เฉลยบตั รงาน เฉลยแบบทดสอบก่อนและหลังเรียน

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ
เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้ ทำให้นักเรียนมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูงขึ้น เป็นสื่อที่มีประสิทธิภาพสำหรับครู
ที่สนใจนำไปใช้ในการพัฒนานักเรียน และสามารถอำนวยประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ให้
บรรลตุ ามวัตถุประสงคข์ องหลกั สูตรได้

อมุ าวดี เส็นอุมา

ครูชำนาญการ

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

ข

สารบัญ

เรือ่ ง หน้า

คำนำ ก

สารบญั ข

คำชแี้ จงเกย่ี วกบั ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ ง

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับครู จ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรบั นกั เรียน ช

ผังมโนทศั น์ขนั้ ตอนการเรยี นรู้ ซ

ผลการเรยี นรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้ 1

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน 2

สาระสำคญั กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 6

บัตรคำสงั่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 7

บตั รเนอื้ หาที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 9

บัตรกิจกรรมที่ 4.1 กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 14

บตั รงานที่ 4.1 กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 16

บตั รกิจกรรมที่ 4.2 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น 18

บตั รงานที่ 4.2 กราฟและค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น 19

แบบทดสอบหลังเรยี น เลม่ ที่ 4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน 21

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เล่มที่ 4 กราฟและค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 25

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 4.1 กราฟและคา่ สัมบรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 26

เฉลยบตั รงานที่ 4.1 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น 27

ตัวอย่าง เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 4.2 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซ้อน 29

เฉลยบตั รงานที่ 4.2 กราฟและค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น 30

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น เลม่ ที่ 4 กราฟและค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น 32

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ค

สารบัญ (ตอ่ )

เรือ่ ง หนา้
ตารางบันทึกคะแนน 33
เกณฑ์การใหค้ ะแนน 34
บรรณานุกรม 36

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ง

คำชี้แจงเกี่ยวกับชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้

1. เอกสารเล่มนีเ้ ปน็ ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมอื
เทคนิคการแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน มีท้ังหมด 7 เล่ม ดังน้ี
เลม่ ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 2 สมบตั ิเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 3 รากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ท่ี 4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น
เล่มที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว

2. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ เปน็ ชุดการสอนเล่มที่ 4 กราฟและค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
ประกอบด้วย
2.1 คำชี้แจงเกีย่ วกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้
2.2 คำแนะนำสำหรับครู
2.3 คำแนะนำสำหรับนักเรียน
2.4 ผลการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้และสาระสำคัญ
2.5 แบบทดสอบก่อนเรียน
2.6 บัตรคำสั่ง
2.7 บตั รกิจกรรม / เฉลยบัตรกิจกรรม
2.8 บตั รเนอื้ หา
2.9 บัตรงาน / เฉลยบตั รงาน
2.10 แบบทดสอบหลงั เรยี น
2.11 บรรณานกุ รม

3. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ ใชเ้ วลาเรียน 4 ชัว่ โมง
4. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ ประเมินผลการเรียนรู้จากแบบทดสอบหลังเรยี น เลม่ ที่ 4

จำนวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลาในการสอบ 15 นาที

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น จ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่ม
สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ครูมีบทบาทสำคัญในการจัดการเรียนการสอน
ครูจึงควรเตรียมความพร้อมและปฏิบัติตามคำแนะนำ ดังนี้

1. ศึกษารายละเอียดต่าง ๆ ท้ังด้านเน้ือหา วิธีการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นตอน
การดำเนินกิจกรรมและกระบวนการจัดการเรียนการสอนด้วยเทคนิคการ
แบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) ให้เข้าใจชดั เจน ดงั น้ี
1.1 ขั้นท่ี 1 ขั้นนำเสนอเนื้อหา ครูจะทบทวนพื้นฐานความรู้เดิม จากนั้น
ครูสอนเน้ือหาใหม่กับนักเรียนกลุ่มใหญ่ท้ังช้ัน

1.2 ขั้นที่ 2 ขั้นทำงานเป็นทีม นักเรียนจะต้องทำงานเป็นกลุ่ม ปฏิบัติ
กิจกรรมร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียนคนละ 1 เล่ม
ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่าง ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่มี
ความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้
สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดีมีผลใหส้ ามารถทำแบบทดสอบย่อย
ได้คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง และสง่ ผลให้คะแนนของกลุ่ม
สูงไปด้วย ในการทำงานกลุ่มครจู ะดูแลอยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำ
หรอื อธิบายเมือ่ นกั เรียนในกลุ่มมีปญั หาและไมส่ ามารถหาคำตอบได้

1.3 ข้ันท่ี 3 ข้ันทดสอบย่อย เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจในเนื้อหาที่เรียน
ซึง่ นักเรียนแต่ละคนต้องทำบัตรงาน และแบบทดสอบด้วยตนเองไม่มีการ
ชว่ ยเหลอื กนั

1.4 ขั้นท่ี 4 ข้ันคิดคะแนนความก้าวหน้า คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการ
ทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนนรายบุคคลไปแปลง
เป็นคะแนนกลุ่ม โดยครูติดวิธีการหาคะแนนความก้าวหน้า และการหา
คะแนนกลุ่มไว้ที่บอรด์ ของห้องเรียน เมื่อเรียนจบหนว่ ยการเรียนรู้กลุ่มใด
มีคะแนนกลมุ่ มากทีส่ ดุ จะได้รบั รางวลั

1.5 ข้ันท่ี 5 ขน้ั ชมเชย ยกย่อง นักเรียนคนใดและกลุ่มใด ทำคะแนนได้มากที่สุด
หรอื ทำคะแนนได้ดีกวา่ ครั้งก่อนจะได้รบั คำชมเชยหรอื รางวลั

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน ฉ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับครู (ต่อ)

2. ศกึ ษาค้นคว้าเน้ือหาเพิ่มเติมลว่ งหน้า และเตรียมความพร้อมก่อนใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
3. แบ่งกลุ่มนักเรียนออกเปน็ กลมุ่ กลุ่มละ 4 – 5 คน คละความสามารถ คือ

คนเกง่ ปานกลาง และอ่อน ใช้อัตราส่วน 1:2:1
4. ชีแ้ จงให้นกั เรียนทราบวิธีการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้
5. แจ้งผลการเรียนรู้และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้แกน่ ักเรียน
6. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเป็นรายบุคคล เพื่อนำคะแนนที่ได้ไปใช้เป็น

คะแนนฐานของตนเอง และคะแนนฐานเฉลีย่ ของกลุม่ ตอ่ ไป

คะแนนฐานของตนเอง คือ ร้อยละของคะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เล่มที่ 4

คะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เล่มที่ 4  100
10

คะแนนฐานเฉลีย่ ของกลุ่ม คือ คา่ เฉลี่ยของคะแนนฐานของสมาชิกในกลมุ่

คะแนนทดสอบยอ่ ย คือ ร้อยละของคะแนนหลังเรียน

คะแนนพัฒนาการ คือ คะแนนทดสอบยอ่ ย – คะแนนฐาน

7. ให้คำแนะนำและอำนวยความสะดวกในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
8. หลังจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรียบร้อยแล้วให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน

เป็นรายบุคคล

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

ช

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับนักเรยี น

ในการศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ
เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดต่อ
นกั เรียนเอง ก่อนที่จะศกึ ษานกั เรียนควรปฏิบัติตามคำแนะนำ ดังน้ี

1. ชดุ กิจกรรมการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
ใช้เวลา 4 ชว่ั โมง

2. นกั เรียนอ่านคำชีแ้ จงเกี่ยวกับชดุ กิจกรรมและคำแนะนำสำหรับนักเรียนใหเ้ ข้าใจ
3. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 4 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที เป็นรายบุคคล

เพื่อประเมินความรู้พื้นฐานของนักเรียน แล้วตรวจคำตอบจากบัตรเฉลยและ
บันทึกคะแนนที่ได้
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม และบัตรกิจกรรมร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรม
ให้นักเรียนคนละ 1 เล่ม ให้นักเรียนศึกษาเน้ือหา ตัวอย่าง ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็
ให้เพื่อนในกลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ การอธิบายมีจุดประสงค์
เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดี มีผลให้สามารถทำแบบทดสอบได้
คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง และส่งผลให้คะแนนของกลุ่มสูงไปด้วย
ในการทำงานกลุ่มครูจะดูแลอยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำหรืออธิบาย
เมือ่ นกั เรียนมีปญั หาและไม่สามารถหาคำตอบได้ในกลมุ่
5. ทำแบบทดสอบหลังเรียนเล่มที่ 3 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที ด้วยตนเอง ไม่มี
การช่วยเหลอื กนั เพื่อทราบความก้าวหน้าในการเรียนของนกั เรียน
6. คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำ
คะแนนรายบคุ คลไปแปลงเป็นคะแนนกล่มุ เมอ่ื เรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมี
คะแนนกลุ่มมากที่สดุ จะได้รับรางวัล
7. ในการทำ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อนเรียน และแบบทดสอบหลัง
เรียน ขอให้นักเรียนทำด้วยความต้ังใจและมีความซื่อสัตย์ต่อตนเองให้มากที่สุด
โดย “นกั เรยี นต้องไมเ่ ปิดดูเฉลยล่วงหนา้ ”

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ซ

ผังมโนทศั น์ขัน้ ตอนการเรียนรู้

อา่ นคำชี้แจงสำหรับนักเรียน
ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ศึกษาบตั รเนื้อหา
ศกึ ษาเนือ้ หาและตัวอย่าง
ทำบตั รกิจกรรม/ตรวจบัตรกิจกรรม
ทำบตั รงาน/ตรวจบตั รงาน

ทำแบบทดสอบหลังเรียน

ประเมนิ ผล ไมผ่ า่ นเกณฑ์

ผา่ นเกณฑ์

บนั ทึกคะแนนลงในตารางบนั ทึกคะแนน
คำนวณคะแนนพัฒนาการของกลุ่ม
ประกาศชมเชย

ศึกษาชดุ กิจกรรมการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ เลม่ ตอ่ ไป

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 1

ผลการเรียนรู้ และจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน
เลม่ ที่ 4 กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น

ผลการเรียนรู้
เข้าใจจำนวนเชิงซ้อนและใช้สมบัติของจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปัญหา

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ
1.1 เขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยจุดลงบนกราฟได้

1.2 เขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยเวกเตอรล์ งบนกราฟได้

1.3 หาคา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อนที่กำหนดให้ได้

1.4 นำคุณสมบัติของค่าสัมบูรณไ์ ปประยุกต์ใช้ในการแก้ปญั หาได้

2. ดา้ นทักษะ นักเรียนมีความสามารถ
2.1 ในการแก้ปญั หา
2.2 ในการใช้ภาษาและสญั ลักษณ์ทางคณิตศาสตรใ์ นการสือ่ สาร และการนำเสนอ
3. ด้านคุณลักษณะ ปลกู ฝังให้นักเรียนมีพฤติกรรม ดงั นี้
3.1 มีความซือ่ สตั ย์
3.2 มีระเบียบวินยั
3.3 ใฝ่เรียนรู้
3.4 มุ่งมั่นในการทำงาน
4. ด้านสมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น นกั เรียนมีความสามารถ

4.1 ในการสื่อสาร
4.2 ในการแก้ปญั หา

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 2

แบบทดสอบก่อนเรยี น

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซ้อน
เลม่ ท่ี 4 กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเครอ่ื งหมายกากบาท () ทับบนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง
ทีถ่ ูกต้องที่สดุ เพียงคำตอบเดียวเท่าน้ัน

1. จากกราฟที่กำหนดให้ จดุ A , B , C และ D เปน็ จุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อนในข้อใด

Y แกนจนิ ตภาพ

A
B

X แกนจริง
CD

ก. 3+5i , − 3+ 2i , − 6+3i , 4−i ตามลำดบั
ข. 3+5i , − 3+ 2i , − 6−3i , 4−i ตามลำดับ
ค. 3+5i , − 6−3i , − 3+ 2i , 4−i ตามลำดบั
ง. − 3+ 2i , 3+5i , − 6−3i , 4−i ตามลำดบั

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 3

ใช้ขอ้ มูลตอ่ ไปนีต้ อบคำถามข้อ 2 – 3
Y แกนจนิ ตภาพ

C
B

O X แกนจริง
A

D

2. จำนวนเชิงซ้อน 2−6i , 6+4i เขียนแทนด้วยเวกเตอร์ใด
ก. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OC , OB ตามลำดับ
ข. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OA , OC ตามลำดับ
ค. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OD , OB ตามลำดบั
ง. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OB , OA ตามลำดับ

3. ข้อใดถูกต้อง
ก. OC แทนจำนวนเชิงซ้อน − 3+ 6i
ข. OD แทนจำนวนเชิงซ้อน 2−5i
ค. OB แทนจำนวนเชิงซ้อน − 6+3i
ง. OA แทนจำนวนเชิงซ้อน − 2−6i

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 4

4. คา่ สัมบรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อน z = − 4i

ก. z = 02 − 4i2
ข. z = 02 + (−4i)2
ค. z = 02 + 42
ง. z = 02 +(−4)2
5. ค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อน z = − 6 − 2i คือขอ้ ใด
ก. z = 10 2
ข. z = 10
ค. z = 3 10
ง. z = 2 10
6. ค่าของ i100 − 5i60 คือขอ้ ใด

ก. − 4
ข. 0
ค. 1
ง. 5
7. ข้อใดเปน็ จรงิ
ก. 5i  5
ข. 3−4i = − 3−4i
ค. − 5− 2i  4+3i

ง. 1 − 1 i  1

33 3

8. กำหนดให้ z = − 3 + 4i และ w = 12+5i คา่ ของ zw−1 คือขอ้ ใด
ก. 65
ข. − 65
ค. 13

5

ง. 5

13

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 5

9. ค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน z = (1+ 3i)2( 3 −i) คือขอ้ ใด

ก. 23
ข. 24
ค. 25
ง. 26
10. กำหนดให้ z =1−2i จงหา z2 − 6z +9

i

ก. 27
ข. 26
ค. 26
ง. 27

คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้

10

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

6

สาระสำคัญ กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซอ้ น (complex plane) คือ ระนาบในระบบแกนมมุ ฉาก ประกอบด้วย
แกน X เรียกว่า แกนจริง (real axis) และแกน Y เรียกวา่ แกนจนิ ตภาพ (imaginary axis)

บทนยิ าม ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น a + bi คือ จำนวนจริง a2 +b2
นัน่ คือ a + bi = a2 + b2

ทฤษฎบี ท ให้ z, z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชิงซ้อนจะได้
1. z 2 = z z
2. z = − z = z

3. 1 = 1 เมื่อ z  0

zz

4. z1z2 = z1 z2

5. z1 + z2  z1 + z2

6. z1 − z2  z1 − z2

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

7

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซ้อน บัตรคำสง่ั ท่ี 4

กราฟและค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

จุดประสงค์การเรียนรู้ด้านความรู้

1. นกั เรียนสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยจดุ ลงบนกราฟได้
2. นกั เรียนสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยเวกเตอรล์ งบนกราฟได้
3. นกั เรียนสามารถหาค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ได้
4. นกั เรียนสามารถนำคุณสมบตั ิของคา่ สัมบูรณไ์ ปประยุกต์ใช้ในการแก้ปญั หาได้

คำสงั่ : ให้สมาชิกทกุ คนของแตล่ ะกลุ่มปฏิบัติกิจกรรมตามข้ันตอนดังต่อไปนี้

1. ให้นักเรียนเขียนชื่อ-สกุล สมาชิกในกลุ่มลงในใบรายช่อื ทีค่ รูแจก พร้อมท้ัง
ระบุตวั อักษรทีแ่ ต่ละคนเลือก ได้แก่
T (Take care) คือ คณุ อำนวย P (Plan) คือ คณุ วางแผน
C (Compile) คือ คุณรวบรวม B (Beautify) คือ คุณตกแต่ง
S (Show) คือ คุณนำเสนอ

2. เขียนหน้าที่รับผดิ ชอบตามตวั อกั ษรที่ครูกำหนดไว้ข้างตน้
3. ให้คุณอำนวยของแต่ละกลุ่มมารบั อุปกรณใ์ นการทำกิจกรรมกลมุ่
4. ให้นักเรียนศึกษา/ทำความเข้าใจบัตรเนื้อหาที่ 4 แลกเปลี่ยนเรียนรู้

ถ้านักเรียน ไมเ่ ข้าใจกใ็ ห้เพือ่ นในกลมุ่ ทีม่ ีความเข้าใจอธิบายให้ฟงั จนเข้าใจ
5. ตัวแทนกลุ่ม 1 กลมุ่ (โดยการสุ่มของครู) สรปุ เนือ้ หาที่ 4

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

8

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 4 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น บตั รคำสัง่ ที่ 4

6. ทำบัตรกิจกรรมที่ 4.1 โดยแลกเปลี่ยนเรียนรู้ภายในกลุ่ม
7. ตัวแทนกลุ่ม 2 กลุ่ม (โดยการสุม่ ของคร)ู นำเสนอผลงานหน้าช้ันเรียน
8. แลกเปลี่ยนกันตรวจกบั สมาชิกภายในกลมุ่ โดยตรวจสอบความถกู ต้อง

จากบัตรเฉลยและสรุปคะแนนทีไ่ ด้จากการทำบตั รกิจกรรม
9. ทำบัตรงานที่ 4.1 แล้วแลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่มโดย

ตรวจสอบความถูกต้องจากบัตรเฉลย และบันทึกคะแนนที่ได้ หากคะแนน
ไมผ่ า่ นเกณฑ์การประเมินให้ทบทวนบัตรเนื้อหาที่ 4 ใหม่ และทำบัตรงาน
ที่ 4.1 อีกครั้ง
10. ทำบตั รกิจกรรมที่ 4.2
11. ทำบัตรงานที่ 4.2 แล้วแลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่มโดย
ตรวจสอบความถกู ต้องจากบัตรเฉลย และบันทึกคะแนนที่ได้ หากคะแนน
ไมผ่ ่านเกณฑ์การประเมินให้ทบทวนบัตรเนือ้ หาที่ 4 ใหม่ และทำบัตรงาน
ที่ 4.2 อีกครั้ง

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

9

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 4 กราฟและค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรเนื้อหาท่ี 4

เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน a + bi สามารถเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับ (a, b) ได้
ดังน้ันจึงสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยจุดบนระนาบ และเรียกระนาบนั้นว่า
ระนาบเชิงซ้อน (Complex plane) โดยให้แกน X แทนส่วนจริง เรียกว่า แกนจริง
(real axis) และให้แกน Y แทน สว่ นจินตภาพ เรียกวา่ แกนจนิ ตภาพ (imaginary axis)
แกนท้ังสองตงั้ ฉากกนั และตัดกนั ที่ (0, 0)

ตวั อย่างท่ี 1 จำนวนเชิงซ้อน 3+2i แทนได้ด้วยจุด (3, 2) หรือแทนด้วย
เวกเตอรท์ ี่มจี ดุ (0, 0) เป็นจดุ เริม่ ต้น และจุด (3, 2) เป็นจดุ สนิ้ สุด ดังรปู

Y แกนจินตภาพ Y แกนจินตภาพ

4 4

(3, 2) (3, 2)

-4 0 X แกนจรงิ -4 0 4 X แกนจริง
4

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 10

Y

b z = a +bi =(a,b)

 a X

O

จากรูป เปน็ เวกเตอรท์ ีเ่ ขียนแทนจำนวนเชงิ ซ้อน “ a +bi ” คือเวกเตอร์ทีม่ จี ุดตงั้ ต้น
ที่จดุ O (0, 0) และจุดสิน้ สดุ คือ จดุ (a,b)

บทนิยาม ค่าสมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ จำนวนจรงิ a2 +b2
นั่นคือ a + bi = a2 + b2

จากบทนิยาม จะเห็นวา่ ค่าสัมบรู ณข์ อง z = a + bi เขียนแทนด้วย z = a + bi = a2 + b2
คือ ระยะทางระหว่างจดุ (0, 0) และ (a,b)

มุม  คือมุมทีเ่ วกเตอร์ทำกบั แกน X ในทิศทวนเขม็ นาฬิกา

ตวั อยา่ งท่ี 2

คา่ สัมบูรณ์ของ 2+3i คือ 2+3i = 22 + 32 = 13

ค่าสัมบูรณ์ของ −3i คือ −3i = 02 + (−3)2 = 3

ค่าสมั บรู ณ์ของ −4 คือ − 4 = 42 + 02 = 4

ค่าสมั บรู ณข์ อง 1 − 3i คือ 1 − 3i =  1 2 +  − 3 2 = 1 + 3 =1
22 22 2 2 44

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 11

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนด z = 1+ 4i และ z1 = 3− 2i จงหา

(ก) z 2 และ zz เท่ากันหรือไม่
(ข) z , − z และ z เทา่ กนั หรือไม่
(ค) z z1 และ z z1 เทา่ กนั หรือไม่

(ก)

ดังน้ัน

ดงั น้ัน
(ค)

ดังนนั้

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

12

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั คา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน มีดงั นี้

ทฤษฎบี ท ให้ z , z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะได้
1. z 2 = z z

2. z = − z = z

3. 1 = 1 เมือ่ z  0

zz

4. z1z2 = z1 z2

5. z1 + z2  z1 + z2

6. z1 − z2  z1 − z2

ตัวอย่างท่ี 4 จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชิงซ้อน z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน
ซึง่ สอดคล้องกับอสมการ z  3 และอสมการ z −2  2

วิธีทำ เนือ่ งจาก z = z −0 คือ ระยะทางระหวา่ งจดุ (0,0) และ z
ดังน้ัน เซตของจุดท้ังหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ
z  3 คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะทางระหว่างจุด
(0,0) มากกว่าหรอื เท่ากับ 3 หน่วย ซึ่งก็คือ เซตของจุดที่อยูบ่ นเส้นรอบวง
และอยู่ภายนอกวงกลมที่มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ที่จดุ (0,0) และมีรัศมียาว 3 หน่วย

ในทำนองเดียวกนั z −2 คือ ระยะทางระหวา่ งจุด (2,0) และ z
ดังน้ัน เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ
z −2  2 คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะทางระหว่าง
จุด (2,0) น้อยกว่า 2 หน่วย ซึ่งก็คือ เซตของจุดที่อยู่ภายในวงกลม (ไม่
รวมจุดบนเส้นรอบวง) ทีม่ จี ุดศูนย์กลางอยู่ที่จดุ (2,0) และมีรัศมียาว 2 หน่วย

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

13

จะได้ กราฟของจุดท้ังหมดซึ่งสอดคล้องกับอสมการท้ังสองแสดงเปน็ ส่วนแรเงา ดังรูป

Y

4
2

-4 -2 0 2 44 X
-2

-4

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

14

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 4 กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ น บตั รกิจกรรมท่ี 4.1

จุดประสงค์ 1. นักเรียนสามารถเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนแทนด้วยจุดลงบนกราฟได้
2. นักเรียนสามารถเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนแทนด้วยเวกเตอรล์ งบนกราฟได้
3. นักเรียนสามารถหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ได้
4. นำคุณสมบตั ิของค่าสมั บูรณ์ไปประยุกตใ์ ช้ในการแก้ปัญหาได้

สมาชิก1) ............................................................. เลขที่ ..............หน้าที่......................
2) ............................................................. เลขที่ ..............หน้าที่ .....................
3) ............................................................. เลขที่ ..............หน้าที่ ....................
4) ............................................................. เลขที่ ..............หน้าที่ .....................
5) ............................................................. เลขที่ ...............หนา้ ที่ ...................

1. จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ตอ่ ไปนีใ้ นรูปของจุดและเวกเตอร์

1) z1 = 4 − 3i 2) z2 = − 6 − i 3) z3 = − 4 +3i
4) z4 = − i 5) z5 = − 4 − 2i

Y แกนจินตภาพ

X แกนจรงิ

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

15

2. จงหาค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนี้
1) z = − 6−8i  z = ..................................................................................

2) z = −12 + 5i  z = ..................................................................................

3) z = 2−5i  z = ..................................................................................

4) z = − 7i  z = ..................................................................................

5) (3+ 4i)(1− 3i) = .........................................................................................

6) 6+8i = .............................................................................................................

4 − 3i

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

11

เกณฑ์การตัดสิน ไดค้ ะแนนต้ังแต่ 8 คะแนนขึ้นไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

18

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 4 กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ น บัตรกิจกรรมท่ี 4.2

จดุ ประสงค์ 1. นักเรียนสามารถเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนแทนด้วยจดุ ลงบนกราฟได้
2. นักเรียนสามารถเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนแทนด้วยเวกเตอรล์ งบนกราฟได้
3. นักเรียนสามารถหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ได้

สมาชิก1) ......................................................... เลขที่ ...............หน้าที่ ........................
2) ......................................................... เลขที่ ..............หน้าที่ ........................
3) ......................................................... เลขที่ ..............หน้าที่ .......................
4) ......................................................... เลขที่ ..............หน้าที่ ........................
5) ......................................................... เลขที่ ...............หน้าที่ .......................

1. ให้นกั เรียนเขียนสรุปความรู้ส้ันๆ พร้อมยกตัวอย่างการเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อน
ที่แทนด้วยจุดและเวกเตอร์ และหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าวด้วย
ลงในกระดาษบรู๊ฟและตกแตง่ ให้สวยงาม

2. ดำเนนิ กิจกรรม Gellery Walk โดยใหค้ ณุ นำเสนอ (S) อย่ปู ระจำกลมุ่

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

16

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น บตั รงานที่ 4.1

1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยจดุ บนกราฟ เม่อื กำหนดจำนวนเชิงซ้อนดังตอ่ ไปนี้

z1 = (3, 4) z2 = (−2, 3)
z3 = − 4− 2i z4 = − 5i
z5 = 1− 7i z6 = − 7 − 2i
z7 = (−5, 6) z8 = (5, − 3)
z9 = (−4, − 6) z10 = 6 + 5i

Y แกนจินตภาพ

X แกนจรงิ

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

17

2. จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ตอ่ ไปนีใ้ นรูปของเวกเตอร์ พรอ้ มทั้งหา
คา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าว เมอ่ื กำหนดจำนวนเชงิ ซ้อนให้ดังต่อไปนี้

z1 = (1, 2) z2 = (−2, − 3) z3 = 4 − 2i z4 = − 6 − 5i
z5 = 2 −3i z6 = − 4 + 4i z7 = (5, 4) z8 = (−3, 6)
z9 = (−5, − 7) z10 = − 7 + 2i

Y แกนจินตภาพ

X แกนจรงิ

z1 = ................................................... z2 = ...................................................
z3 = ................................................... z4 = ...................................................
z5 = ................................................... z6 = ...................................................
z7 = ................................................... z8 = ...................................................
z9 = ................................................... z10 = ...................................................

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

15

เกณฑ์การตัดสิน ได้คะแนนตั้งแต่ 10.5 คะแนนขึ้นไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

19

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 4 กราฟและค่าสมั บรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น บตั รงานที่ 4.2

1. กำหนดให้ z = − 2 + 4i และ w = 3 − 6i จงหา
1.1 z2 w3 = ..........................................................................................

= ..........................................................................................
= ..........................................................................................
= ..........................................................................................
= ..........................................................................................

1.2 z2 = ..........................................................................................

w = ..........................................................................................
= ..........................................................................................
= ..........................................................................................
= ..........................................................................................

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

20

2. จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชงิ ซ้อน z ทั้งหมดในระนาบเชงิ ซ้อนซึ่งสอดคล้องกบั
อสมการ z −1  1

วิธีทำ…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

5

เกณฑก์ ารตดั สิน ไดค้ ะแนนตัง้ แต่ 3.5 คะแนนขึน้ ไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

21

แบบทดสอบหลงั เรียน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น
เล่มท่ี 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซ้อน
จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที

คำชีแ้ จง : ให้นกั เรียนทำเครอ่ื งหมายกากบาท () ทับบนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง
ที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียวเท่าน้ัน

1. จากกราฟที่กำหนดให้ จดุ A , B , C และ D เปน็ จดุ ที่แทนจำนวนเชิงซ้อนในข้อใด
Y แกนจนิ ตภาพ

A

B

X แกนจริง
CD

ก. 3+5i , − 3+ 2i , − 6−3i , 4−i ตามลำดับ
ข. − 3+ 2i , 3+5i , − 6−3i , 4−i ตามลำดบั
ค. 3+5i , − 6−3i , − 3+ 2i , 4−i ตามลำดบั
ง. 3+5i , − 3+ 2i , − 6+3i , 4−i ตามลำดบั

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 22

ใช้ขอ้ มูลต่อไปนีต้ อบคำถามข้อ 2 – 3
Y แกนจนิ ตภาพ

C
B

O X แกนจริง
A

D

2. จำนวนเชิงซ้อน 2−6i , 6+4i เขียนแทนด้วยเวกเตอรใ์ ด
ก. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OC , OB ตามลำดบั
ข. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OD , OB ตามลำดบั
ค. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OB , OA ตามลำดับ
ง. 2−6i , 6+ 4i เขียนแทนด้วย OA , OC ตามลำดบั

3. ข้อใดถูกต้อง
ก. OD แทนจำนวนเชิงซ้อน 2−5i
ข. OB แทนจำนวนเชิงซ้อน − 6+3i
ค. OC แทนจำนวนเชิงซ้อน − 3+ 6i
ง. OA แทนจำนวนเชิงซ้อน − 2−6i

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 23

4. ข้อใดเป็นจรงิ
ก. 5i  5
ข. 1 − 1 i  1

33 3

ค. − 5− 2i  4+3i
ง. 3−4i = − 3−4i

5. คา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซ้อน z = − 4i
ก. z = 02 −4i2
ข. z = 02 +(−4)2
ค. z = 02 + 42
ง. z = 02 + (− 4i)2

6. ค่าสมั บรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อน z = − 6 − 2i คือขอ้ ใด
ก. z = 10 2
ข. z = 3 10
ค. z = 2 10
ง. z = 10

7. ค่าของ i100 − 5i60 คือขอ้ ใด
ก. 5
ข. 1
ค. 0
ง. − 4

8. ค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน z = (1+ 3i)2( 3 −i) คือขอ้ ใด
ก. 23
ข. 24
ค. 25
ง. 26

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 24

9. กำหนดให้ z =1−2i จงหา z2 − 6z +9

i

ก. 26
ข. 26
ค. 27
ง. 27

10. กำหนดให้ z = − 3 + 4i และ w = 12+5i ค่าของ zw−1 คือขอ้ ใด
ก. 65
ข. − 65
ค. 13

5

ง. 5

13

คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้

10

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

25

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ขอ้ ตัวเลือก
1ข
2ค
3ก
4ง
5ง
6ก
7ข
8ง
9ก
10 ค

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

26

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ น
เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 4.1

1. จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อนทีก่ ำหนดให้ต่อไปนีใ้ นรูปของจดุ และเวกเตอร์

1) z1 = 4 − 3i 2) z2 = − 6 − i 3) z3 = − 4 +3i
4) z4 = − i 5) z5 = − 4 − 2i

Y แกนจินตภาพ

X แกนจรงิ

2. จงหาคา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนี้

1) z = − 6 −8i  z = (−6)2 + (−8)2 = 10

2) z = −12 + 5i  z = (−12)2 +52 = 13

3) z = 2 −5i  z = 22 + (−5)2 = 29

4) z = − 7i  z = 02 + (−7)2 = 7

5) (3+ 4i)(1− 3i) = 3+ 4i 1− 3i = (5)(2) = 10

6) 6 +8i = 10 = 2

4 −3i 5

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 7)

29

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

ตัวอย่าง เฉลยบตั รกิจกรรมท่ี 4.2
เลม่ ท่ี 4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

สรุป จากจำนวนเชิงซ้อน a +bi สามารถเขียนในรูปของคู่อันดับ (a,b) ได้
โดยแกน X คือ แกนจริง และแกน Y คือแกนจินตภาพ และค่าสัมบูรณ์ของ
a +bi คอื ความยาวของเวกเตอร์ท่เี ขียนแทนดว้ ย a +bi

ตัวอยา่ ง Y แกนจนิ ตภาพ

z1 = 3+ 4i z1
z2 = − 2 + 3i z2
z3 = − 4 −5i
z4 = 5− 6i
z5 = − 2i

X แกนจริง

z5
z3

z4

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

27

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

เลม่ ท่ี 4 กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน เฉลยบตั รงานที่ 4.1

1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยจุดบนกราฟ เมอ่ื กำหนดจำนวนเชิงซ้อนดังตอ่ ไปนี้

z1 = (3, 4) z2 = (−2, 3)
z3 = − 4−2i z4 = − 5i
z5 = 1−7i z6 = − 7 − 2i
z7 = (−5, 6) z8 = (5, − 3)
z9 = (−4, − 6) z10 = 6+5i

Y แกนจินตภาพ

z7 z10
z2 z1

z6 z3 X แกนจรงิ
z9
z8
z4

z5

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

28

2. จงเขียนกราฟของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ต่อไปนีใ้ นรูปของเวกเตอร์ พรอ้ มทั้ง
หาคา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าว เม่อื กำหนดจำนวนเชิงซ้อนใหด้ ังต่อไปนี้

z1 = (1, 2) z2 = (−2, − 3)
z3 = 4− 2i z4 = − 6 − 5i
z5 = 2 −3i z6 = − 4+ 4i
z7 = (5, 4) z8 = (−3, 6)
z9 = (−5, − 7) z10 = − 7 + 2i

Y แกนจินตภาพ

X แกนจรงิ

z1 = 12 + 22 = 5 z2 = (−2)2 + (−3)2 = 13
z3 = 42 + (−2)2 = 2 5 z4 = (−6)2 + (−5)2 = 61
z5 = 22 + (−3)2 = 13 z6 = (−4)2 + 42 = 4 2
z7 = 52 + 42 = 41 z8 = (−3)2 + 62 = 3 5
z9 = (−5)2 + (−7)2 = 74 z10 = (−7)2 + 22 = 53

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

30

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น (Complex Numbers)

เลม่ ท่ี 4 กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน เฉลยบตั รงานที่ 4.2

1. กำหนดให้ z = − 2 + 4i และ w = 3 − 6i จงหา

1.1 z2 w3 = z2 w3

= z 2 w3

= − 2 + 4i 2 • 3− 3

6i

= ( (−2)2 + 42 )2 •( 32 + (− 6)2 )3
= ( 20)2 • ( 9)3 = 20 • 27 = 540

1.2 z2 = z2
w
w − 2 + 4i 2

=
3 − 6i

= ( (−2)2 + 42 )2
32 +(− 6)2

= ( 20)2 = 20
93

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

31

2. จงเขียนกราฟแสดงจำนวนเชงิ ซ้อน z ทั้งหมดในระนาบเชงิ ซ้อนซึ่งสอดคล้องกับ
อสมการ z −1  1

วิธีทำ เนื่องจาก z −1 คือ ระยะทางระหว่างจุด (1,0) และ z ดังนั้น เซตของจุดทั้งหมดใน

ระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับอสมการ z −1  1 คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบ

เชิงซ้อนที่มีระยะทางระหว่างจุด (1,0) มากกกว่าหรือเท่ากับ 1 หน่วย ซึ่งก็คือ

เซตของจดุ ที่อยู่บนเส้นรอบวงและอยู่ภายนอกวงกลมทีม่ ีจุดศูนย์กลางอยู่ทีจ่ ุด (1,0)

และมีรศั มยี าว 1 หนว่ ย ดังน้ี Y

Y

11 11 Xx

-1 O
-1

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

32

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

ขอ้ ตวั เลือก
1ก
2ข
3ค
4ง
5ข
6ค
7ง
8ก
9ข
10 ง

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

34

เกณฑ์การให้คะแนน

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 35

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

บตั รกิจกรรมที่ 4.1

ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 - เขียนจุดและเวกเตอร์ถูกต้อง ครบถ้วน ข้อละ 1 คะแนน
- เขียนจดุ หรอื เวกเตอร์ถูกต้อง อย่างใดอย่างหนึ่ง ข้อละ 0.5 คะแนน
- เขียนไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่เขียนตอบ ข้อละ 0 คะแนน
ข้อละ 1 คะแนน
2 - ตอบคำถามถูกต้อง ครบถ้วน สอดคล้องกับเนือ้ หาที่ ข้อละ 0 คะแนน
เรียน
- เขียนไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่เขียนตอบ

บัตรงานที่ 4.1

ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 - เขียนจดุ แทนจำนวนเชิงซ้อนถกู ต้อง ข้อละ 0.5 คะแนน

- เขียนไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมเ่ ขียนตอบ ข้อละ 0 คะแนน

2 - เขียนเวกเตอร์ และหาค่าสมั บรู ณ์ถกู ต้อง ครบถ้วน ข้อละ 1 คะแนน

- เขียนเวกเตอร์ และหาค่าสัมบรู ณ์ถูกต้อง อย่างใดอย่างหนึ่ง ข้อละ 0.5 คะแนน

- เขียนไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่เขียนตอบ ข้อละ 0 คะแนน

บตั รงานที่ 4.2

ข้อท่ี เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน

1 - ตอบถูกต้อง ครบถ้วน ชดั เจน วธิ ีคิดสอดคล้องกับที่เรียน ข้อละ 2 คะแนน

- ตอบถูกต้อง แต่ยังไม่ครบถ้วน สมบูรณ์ วิธีคิดสอดคล้องกับทีเ่ รยี น ข้อละ 1 คะแนน

- ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม ข้อละ 0 คะแนน

2 - ตอบถกู ต้อง ครบถ้วน ชัดเจน วธิ ีคิดสอดคล้องกับที่เรียน 1 คะแนน

- ตอบถกู ต้อง แตย่ งั ไมค่ รบถ้วน สมบูรณ์ วิธีคิดสอดคล้องกับทีเ่ รยี น 0.5 คะแนน

- ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม 0 คะแนน

เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 36

บรรณานุกรม

กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร์ : จำนวนเชิงซ้อน.
กรงุ เทพฯ: ฟสิ ิกสเ์ ซน็ เตอร.์

จกั รินทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. คู่มือประกอบการเรียนรายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เติม
ม.4 – 6 เลม่ 4. กรงุ เทพฯ: พ.ศ.พฒั นา จำกัด.

ณฐั อดุ มพาณิชย.์ (2559). แนวข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ เพือ่ สอบ PAT1 (พมิ พค์ รงั้ ที่ 5).
กรงุ เทพฯ: สถาบนั สอนคณิตศาสตร์และฟสิ ิกส์ SYNTAX+.

ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. แบบฝึกเสริมทกั ษะรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1.
กรงุ เทพฯ: แม็คเอ็ดดูเคช่นั จำกัด.

สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2562). หนงั สอื เรียนรายวชิ า
เพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 2 (พมิ พค์ รงั้ ที่ 3).
กรงุ เทพฯ: จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั .

เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น