Tema 2. Sist. Vinculados. Sist. Reticulados

SISTEMAS
VINCULADOS

ESTABILIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES – TÉCNICO ELECTROMECÁNICO
INDUSTRIAL – UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA

ING. JORGELINA V.V. ROJAS

CUERPOS VINCULADOS

CONCEPTOS GENERALES:

CHAPA: La mayoría de los elementos estructurales utilizados en construcción son de una
configuración tal que admiten un plano de simetría y las fuerzas exteriores que actúan
sobre ellos generalmente también están dispuestas sen forma simétrica respecto de ese
plano, por lo tanto, podemos reemplazar la totalidad de estas fuerzas por un sistema
equivalente que actúa en el mismo. De aquí que, a los efectos prácticos, podamos
reemplazar el cuerpo rígido por un conjunto de puntos materiales planos, coincidentes con
el plano de simetría y cargado con el sistema de fuerzas mencionado. Dicho plano recibe el
nombre de chapa.

VINCULO

Es toda condición geométrica que limite la posibilidad de movimiento de un cuerpo.

Vínculo tipo BIELA, barra rígida que une el
punto A con el punto B.

GRADOS DE LIBERTAD:

Los grados de libertad de un sistema material son el número de coordenadas libres que posee.

Si movemos el punto A cuya posición está definida por las coordenadas x e y,
a otro lugar en donde le llamaremos A´, necesitamos conocer las
coordenadas x´ e y´ para conocer la nueva posición, entonces por tener dos
coordenadas libres decimos que tiene DOS GRADOS DE LIBERTAD.

OTRO EJEMPLO DE GRADOS DE LIBERTAD DE UNA CHAPA QUE SE
TRASLADA DE SU POSICIÓN ORIGINAL:

Consideremos una chapa que se desplaza dentro de su propio plano. Una vez cumplida la
traslación, los puntos A y B pasan a ocupar las posiciones A´ y B´ que conocidas definen
perfectamente la nueva posición de la chapa y por lo tanto, cualquier otro punto que
consideremos, por ejemplo el C, al estar ligado a los anteriores por el vinculo de la rigidez
que determina que sus distancias mutuas se mantengan, quedará perfectamente definido en
su posición.

En resumen: La posición final de la chapa queda definida por fijar solo
3 coordenadas (grados de libertad).

¿Pueden ver en la imagen cuales serían estas coordenadas?
Pista: Se necesitan conocer 4 (dos para cada punto), pero basta con 3

porque la cuarta queda definida por la condición de rigidez:
= ( ´ − ´) + ( ´ − ´)

¿ Y QUE PASARÍA SI FIJAMOS UNA DE ESAS COORDENADAS, POR
EJEMPLO Z = A?

Ya vimos que una chapa que se traslada en su mismo
plano posee 3 grados de libertad por tener 3
coordenadas libres, es decir, las que hay que definir si o
si para conocer la nueva posición de la chapa. Si =
cte, hemos restringido uno de esos 3 grados de libertad
ya que la chapa no podrá desplazarse libremente en el
plano, sino que solo puede moverse paralelamente al eje
z y alrededor del punto A.

En conclusión, impusimos a la chapa una condición de
vínculo.

¿Y QUE PASARÍA SI RESTRINGIMOS UNA COORDENADA MAS AL
PUNTO ANTERIOR?

Si ahora fijamos el punto A en el plano diciendo que además de
cumplirse la condición anterior de = cte , también debe
cumplirse = cte, a la chapa no le queda mas posibilidad de
movimiento que una rotación en torno del punto A y por lo tanto
cualquier otro punto como por ejemplo el B que está unido al A
por una distancia invariable d dada por la condición de rigidez, se
desplazará sobre un arco de circunferencia de centro en A.

En conclusión: Le restringimos a la chapa 2 grados de libertad, habiéndole
impuesto dos condiciones de vínculo y ahora la chapa posee solo 1 grado
de libertad, entonces decimos que se encuentra articulada en el punto A,

que es una articulación a tierra alrededor del cual puede girar.

¿Y QUE PASARÍA SI RESTRINGIMOS LA ÚLTIMA COORDENADA LIBRE
QUE LE QUEDA A AL CHAPA?

Si restringimos el tercer grado de libertad que le queda a la
chapa, imponiendo por ejemplo que una de las coordenadas del
punto B quede fija ( = cte), el punto B quedará inmóvil y por
lo tanto la chapa también, ya que tendrá dos puntos fijos y
cualquier otro punto que consideremos, quedará fijo también
por la condición de rigidez que los une.

En conclusión: Para fijar una chapa a tierra, es
necesario imponerle tantas condiciones de vínculo

como grados de libertad posea.

TIPOS DE VINCULO

VINCULO APARENTE:
• Es toda condición de vínculo impuesta a un punto de una chapa que no altere las

posibilidades de desplazamiento del mismo.

VINCULO ABSOLUTO: limita la movilidad de un cuerpo respecto de la tierra
RELATIVO: limita el movimiento con respecto de otro cuerpo

DISPOSITIVOS DE APOYO

Para vincular una chapa a tierra existen tres tipos de apoyos para sistemas planos:
• Apoyo simple o de primera especie, denominado comúnmente apoyo móvil. Restringe 1

grado de libertad.
• Apoyo doble o de segunda especie, que también recibe el nombre de apoyo fijo o

articulación. Restringe 2 grados de libertad.
• Apoyo triple o de tercera especie, conocidos comúnmente como empotramientos.

Restringe 3 grados de libertad.

Para fijar una chapa a tierra será necesario recurrir a alguna de las siguientes opciones: 1) Con tres
apoyos de primera especie, 2) Mediante un apoyo de primera especie y uno de segunda, 3) Utilizando

un empotramiento.

VÍNCULOS DE PRIMERA ESPECIE

• CHAPA DE ACERO TRIANGULAR: que se articula por su vértice en un punto de la chapa a
la que sustenta, apoyando su base en tierra con interposición de un tren de rodillos de acero.

• BIELA: es una barra articulada a tierra por uno de sus extremos y a la chapa por el opuesto.

CHAPA DE ACERO BIELLA
TRIANGULAR

Representación simplificada

VINCULOS DE SEGUNDA ESPECIE

Son similares a los móviles con la única diferencia de que la base del
cuerpo de apoyo se encuentra rígidamente vinculada con la tierra.

Se los suele
simplificar de la
siguiente forma

O también puede
formarse con dos

bielas

VINCULO DE TERCERA ESPECIE

En este caso se fija la chapa a tierra, impidiendo totalmente su movimiento.
Esta fijación se puede lograr mediante un empotramiento o por ejemplo, con un apoyo de
primera especie y otro de segunda especie.

EQUILIBRIO DE LA CHAPA VINCULADA.
REACCIONES DE VINCULO.

Si a una chapa le quitamos 2 grados de libertad con un apoyo fijo y le imponemos un sistema de fuerzas que
podemos resumir en la resultante R, cualquier dirección, intensidad y sentido de ésta tenderá a hacer girar la
chapa en torno al punto A, donde está colocado el apoyo fijo, a menos que su recta de acción pase justo por el
punto de rotación de la chapa A. Es decir que para que haya equilibrio solo es necesario imponer al sistema de
fuerzas una condición, que analíticamente podemos expresar a través de la sumatoria de momentos en el punto A:

= 0 Condición de concurrencia

Refiriéndonos a un par de ejes coordenados, si llamamos e a las
coordenadas de un punto cualquiera de la recta de acción de cada una de
las fuerzas que constituyen el sistema y e las del punto de articulación
a tierra, la condición de equilibrio para un sistema con un solo grado de
libertad, queda como:

∗ sin − − ∗ cos − = 0

Si al sistema anterior le quitamos el apoyo fijo, la chapa perderá nuevamente el equilibrio y
para devolvérselo, es necesario colocar nuevamente el vínculo o aplicar una fuerza opuesta
a R que se denomina reacción de vínculo.

Un apoyo fijo puede reaccionar en cualquier dirección

Si tenemos un apoyo móvil, la chapa tendrá solo una condición de vínculo y dos grados de
libertad, por lo que necesitaremos imponerle dos condiciones para asegurar su equilibrio:

= 0

= 0

Donde Hi es la proyección horizontal de una fuerza genérica.

Las condiciones de equilibrio anteriores desarrolladas con coordenadas quedan como:

∗ sin − − ∗ cos − = 0

∗ sin = 0

Un apoyo móvil puede reaccionar sólo en su dirección normal
Si el apoyo móvil fuera una biela, la reacción tendría la
dirección de ésta.

Si la chapa no posee ningún grado de libertad, no será necesario imponer ninguna condición para que se
mantenga en equilibrio. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de ésta situación en la que una chapa
está sustentada por un apoyo fijo y uno móvil, en consecuencia mantiene su equilibrio independientemente
del sistema de fuerzas actuante.

DETERMINACIÓN DE LAS REACCIONES DE
VINCULO. SOLUCIÓN GRAFICA

Consideraremos sólo a los sistemas isostáticamente sustentados, es decir aquellos en donde el número de
vínculos es igual al número de grados de libertad, en el caso de una sola chapa son 3.

Para éste caso, si tenemos por ejemplo una chapa con un sistema de fuerzas externas aplicado que
resumiremos en R y la sustentamos con un apoyo fijo y otro móvil, sabemos que el móvil solo puede
reaccionar en su dirección normal y la recta de acción de ésta reacción se cruzará con la de R en el punto
M. También sabemos que el apoyo fijo puede reaccionar en cualquier dirección pero para que haya
equilibrio en el sistema está obligada a reaccionar en una recta de acción que intercepte al punto M.

El sentido de las reacciones debe ser tal que cierre
el polígono de fuerzas resultante, construido por R

y las reacciones de vínculo.

Si sustentamos la chapa isostáticamente con tres apoyos Con éste sistema se buscan
móviles, procederemos de manera similar: 1) Hallamos la equilibrantes, no
resultante del sistema de fuerzas exteriores actuantes, 2) componentes.
Ponemos en evidencia las reacciones de los tres vínculos, que
como son móviles sólo pueden tener rectas de acción
normales, 3) Aplicando el procedimiento de Culmann, hallamos
primero el punto M que será la intersección de dos de las
rectas de acción de las reacciones incógnitas y luego, hallamos
un punto N que surge de la intersección de la recta de acción
de la tercera reacción y la de R, 4) La recta de acción que une
los puntos M y N es la recta de acción de la componente
auxiliar, 5) Construimos el polígono de fuerzas definiendo el
sentido de las reacciones de manera que éste resulte cerrado
para asegurar el equilibrio.

Si en cambio sustentamos la chapa con un empotramiento, cualquiera sea R la chapa se
encontrará en equilibrio, en consecuencia la reacción de vínculo debe ser una fuerza
opuesta a la resultante de las fuerzas exteriores activas.

En la práctica nos interesará trasladar el sistema
formado por la resultante R y su equilibrante al
baricentro de la sección S – S. Es decir,
descomponerlo en una fuerza de dirección paralela
a , cuya recta de acción pase por G y en el par
de reducción .

DETERMINACIÓN DE LAS REACCIONES DE
VINCULO. SOLUCIÓN ANALÍTICA

Como vimos en la definición de fuerza, para definirla debemos conocer al menos 3
parámetros (dirección, sentido e intensidad), por lo tanto para determinar una reacción
analíticamente, buscaremos determinar estos parámetros:

En un apoyo móvil sabemos que la dirección de la
reacción coincide con su normal y si suponemos un

sentido, solo nos queda conocer 1 parámetro (su
intensidad), por lo tanto, en los apoyos móviles

tenemos 1 incógnita.

En un apoyo fijo la reacción puede tener cualquier
dirección, sólo conocemos un punto de su recta de acción

ya que debe pasar por el punto de apoyo.Tenemos
entonces dos incógnitas, la dirección y el sentido, o bien, las

componentes horizontal y vertical.

En un empotramiento, la reacción involucra 3 incógnitas que pueden ser los tres
parámetros convencionales o pueden elegirse como incógnitas, el par de empotramiento

y las intensidades de las componentes según dos direcciones ortogonales.

Se dice que la chapa es estáticamente determinada cuando tiene como máximo 3
incógnitas, si tiene mayor número de incógnitas es estáticamente indeterminada y no la
podremos resolver con los elementos que tenemos en este curso.

Sistema con dos apoyos fijos que como
vimos tiene dos incógnitas por apoyo, en
total son 4 incógnitas. Sistema estáticamente

indeterminado.

El problema tendrá infinitas posibles
soluciones, ya que los apoyos fijos pueden

reaccionar en cualquier dirección.

Analizaremos el sistema de la figura, sustentado isostáticamente por un apoyo fijo y uno

móvil y sometido al sistema de fuerzas Pi. Si referimos el sistema a un par de ejes

coordenados z e y y ponemos en evidencia las reacciones de vínculo, podemos elegir las

incógnitas según dos opciones:

1) Elegimos como incógnitas las componentes Ha y Va
de la reacción en A y a los efectos del planteo de las
ecuaciones supondremos Rb positiva. Una vez
resueltas las ecuaciones, si los valores resultantes
están afectados por el signo (-), significa que los
sentidos reales de las reacciones son contrarios a los
supuestos inicialmente.

Recordemos que en las condiciones analíticas de equilibrio para resolver sistemas planos
no concurrentes, teníamos tres opciones:

a) Dos condiciones de nulidad de proyecciones sobre dos ejes y una condición de nulidad
de momento respecto de un punto cualquiera del plano.

b) Dos condiciones de nulidad de momentos respecto de dos puntos cualesquiera del
plano y una condición de nulidad de proyecciones respecto de un eje que no sea
normal a la dirección definida por los dos puntos.

c) Tres condiciones de nulidad de momentos respecto de 3 puntos no alineados.

Para sistemas de una chapa en general se suele usar la opción a):
Proyectando el sistema de fuerzas activas y reactivas primero sobre el eje x y luego sobre el eje y:

+ . + . = 0

+ . + . = 0
Para simplificar la ecuación de momentos, elegimos como centro el punto A y así respecto de este punto,
se anulan los momentos de Ha y Va:

− − − + sin − − cos − = 0

Conviene comenzar a resolver la ecuación de momento porque es independiente, es decir,
tiene una sola incógnita (Rb). La despejamos y reemplazamos en las dos primeras
ecuaciones que se vuelven independientes y nos permiten calcular directamente Ha y Va.

2) Si, en vez de optar por las incógnitas Ha y Va de la reacción Ra, optamos por su
argumento e intensidad:

. + . + . = 0

. + . + . = 0

La ecuación de momento es la misma del punto 1):

− − − + sin − − cos − = 0

Obteniendo de ésta Rb y remplazando en las anteriores, no se obtienen ecuaciones
independientes sino un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, del cual obtenemos Ha y
Va.
El valor de la reacción se obtiene con el teorema de Pitágoras:

= +

Y su dirección se obtiene como: tan =

• Si ahora consideramos un empotramiento en la sección S-S. Adoptaremos como
incógnita las dos componentes de la reacción de empotramiento, cuya recta de acción
pasa por el baricentro de la sección de empotramiento y el par de empotramiento Me.

a) Ec. de proyección:

. + = 0

. + = 0

b) Ec. de momento con G como centro:

sin − − cos − + = 0

Las tres ecuaciones son independientes y nos permiten
calcular He,Ve y Me. Luego:

= + y tan =

CADENAS CINEMÁTICAS

Consideremos dos chapas S1 y S2. Cada una de ellas posee 3 grados de libertad y las dos en
conjunto 6 (Fig. a). Si las vinculamos mediante una articulación A1,2 denominada articulación
relativa o intermedia (Fig. b) y fijamos a tierra una de las chapas (Fig. c), le estamos restringiendo
2 grados de libertad al nuevo sistema que recibe el nombre de cadena cinemática de dos
chapas (Fig. d).

Una articulación relativa entre dos chapas, restringe dos grados de libertad

Esta articulación constituye un vinculo interno, a diferencia de las articulaciones a tierra que
son vínculos externos. Pero si recordamos que las articulaciones externas también
restringen dos grados de libertad, podemos generalizar que cualquier articulación
aplicada a una chapa, sea de vínculo interno o externo, restringe 2 grados de
libertad.

Generalizando, para una cadena cinemática de n chapas existen n-1 articulaciones
intermedias. El número de grados de libertad de una cadena cinemática de n chapas resulta:

= 3. − 2. − 1 = + 2

Y para fiajrla a tierra será necesario imponerle n+2 condiciones de vínculo.

SISTEMAS DE RETICULADO

Barra: chapa cuya dimensión transversal sea pequeña en relación con su longitud, de manera
que pueda representarse por su eje:

Si colocamos fuerzas en los puntos A y
B de la barra, ésta que constituye un
vínculo para ambos puntos, reaccionará
para cada uno de ellos en sentido
contrario a la fuerza externa aplicada
en cada punto, de manera de mantener
el equilibrio.

• Si las fuerzas saplicadas en los puntos A y B son divergentes originan en la barra un
esfuerzo interno que se denomina “esfuerzo de tracción”.

• En cambio, si las fuerzas exteriores aplicadas en la barra tienen sentidos concurrentes, los
esfuerzos internos que experimentara la barra serán de “compresión”.

Por convección los esfuerzos de tracción
serán positivos y los de compresión
negativos

GENERACIÓN DE UN SISTEMA DE RETICULADO

Si tenemos 3 barras articuladas entre si, de modo que constituyen una cadena cinemática
abierta, con 5 grados de libertad y articulamos entre si las dos barras extremas, estamos
restringiendo 2 grados de libertad. El sistema formado quedará con 3 grados de libertad y se
comportará como una única chapa rígida.

Si agregamos al triangulo dos nuevas barras en cualquiera
de sus vértices, resultará una nueva cadena cinemática de
tres chapas con 5 grados de libertad, que si nuevamente
articulamos entre si las dos barras agregadas, volvemos a
quitar 2 grados de libertad y el sistema quedará
nuevamente con 3 grados de libertad comportándose
como una barra rígida. Si continuamos procediendo de esta
forma obtendremos un Sistema de reticulado.

En general se los puede clasificar en: Reticulado
compuesto
Triangulado
Simple

CONDICIÓN DE RIGIDEZ. RELACIÓN ENTRE EL
NUMERO DE BARRAS Y VÉRTICES

Si llamamos n al número de pares de barras que se agregan al triángulo primitivo, el número total de barras
será:

= 3 + 2

Como cada par de barras da origen a un vértice, el número de éste será:
= 3 +

Despejando n y reemplazando en la primera queda: Condición
= 2 − 3 de rigidez

Esta condición de rigidez es necesaria, pero no puede ser suficiente si la distribución de la barra no es la

conveniente:

Ej:

La condición de rigidez, como dijimos es necesaria pero no suficiente, por cuanto de
cumplirse para que el reticulado sea indeformable, es necesario que no exista vinculo
interno aparente ni que existan barras superfluas o que parte del sistema tenga posibilidad
de sufrir desplazamientos relativos con respecto a la parte restante.

DISTINTOS TIPOS DE RETICULADOS PLANOS

Cuatro tipos comunes usados en la construcción, principalmente
el galpones y naves industriales:
a) La forma mas simple. Generalmente se construye en madera

o acero. Las barras verticales reciben el nombre de
montantes y las inclinadas diagonales.
b) Armadura Inglesa.
c) Reticulado compuesto denominado Armadura Polonceau.
d) Arco de tres articulaciones.

Las estructuras de reticulado tienen como misión transmitir a los apoyos las cargas que las
solicitan, por intermedio de las barras que las constituyen.

Los esfuerzos exteriores que solicitan a los reticulados están constituidos por:
• Peso propio
• Efecto del viento
• Sobrecarga, generalmente móvil.
A los fines prácticos se considera que éstos esfuerzos se transmiten a los nudos en forma
de cargas concentradas.
Para su resolución pueden aplicarse los métodos de Culmann, de Ritter o del polígono
funicular aplicado a los ya mencionados.