E-Modul PYTHAGORAS SMP Kelas VIII

Tinjauan Mata Pelajaran

A. Deskripsi mata pelajaran
Salah satu materi yang diajarkan disekolah menengah pertama yaitu Teorema

Pythagoras. Dalam Teorema Pythagoras diajarkan bagaimana mengenali, menemukan
rumus Teorema Pythagoras yang didahului dengan permasalahan kongkrit sebagai
jembatan menuju konsep matematika, setelah pemahaman tentang teorema tersebut baru
mencari sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema Phytagoras merupakan sebuah
aturan matematika yang bisa dipakai dalam menentukan panjang salah satu sisi dari suatu
segitiga siku-siku, yang perlu kalian ingat dari teorema ini yaitu hanya berlaku untuk
segitiga siku-siku. Maka dari itu tidak dapat digunakan untuk menentukan sisi dari
sebuah segitiga lain yang tidak berbentuk siku-siku.

Pada materi teorema pythagoras membahas beberapa sub bab yaitu
1. Pengertian teorema pythagoras dan tripel pythagoras,

dalam hal ini siswa akan mengenal rumus pythagoras dan mengenal tentang Tripel
Pythagoras serta mampu menemukan dan memeriksa tripel pythagoras
2. Membuktikan kebenaran teorema pythagoras.
3. Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku dan juga panjang dua sisi diketahui.
4. Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi yang diketahui
5. Menyelesaikan masalah kontekstual menggunakan teorema pythagoras

B. Kegunaan Mata Pelajaran
Keguanaan mempelajari teorema pythagoras antara lain :
1. Melatih pemahaman mengenai suatu permasalahan yang sedang terjadi
2. Melatih dalam menyelesaikan masalah sesuai rencana dan terstruktur,
3. Meningkatkan ketelitian dalam suatu permasalahan atau pemecahan masalah.

C. Kompetensi Dasar
3.6. Menjelaskan dan membuktikan kebenaran teorema pythagoras dan tripel
pythagoras
4.7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema pythagoras dan tripel
pythagoras.

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

D. Bahan Pendukung
1. Laptop
2. Buku
3. Internet

E. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Pelajari materi pada modul dengan seksama, sesuai dengan materi yang diberikan.
2. Pelajari contoh soal dan pembahasan.
3. Kerjakan latihan soal dengan baik.
4. Bacalah rangkuman yang ada di akhir
5. Kerjakan Evaluasi akhir
6. Cek kunci jawaban.

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

PENDAHULUAN
Dengan diberlakunya standar isi pada satuan pendidikan dasar dan menengah, maka
penyusunan modul menjadi suatu tuntutan bagi guru. Terlebih dalam upaya meningkatkan
kemandirian dan keaktifan siswa dalam belajar, maka modul ini merupakan salah satu bahan
ajar yang tepat untuk digunakan.
Diharapkan setelah mempelajari modul ini, siswa akan memeperoleh pemahaman tentan
teorema pythagoras, kemampuan dasar berfikir logis, dan krisis, rasa ingin tahu, memecahkan
masalah dan keterampilan sosial juga akan didapat. Selain itu juga diharapkan akan memiliki
kemampuan berkomunikasi, bekerjasama, dan berkompetisi.
Pada modul ini saya akan mendeskripsikan materi tentang pythagoras, adapun materinya
antara lain:
1. Pengertian teorema pythagoras dan tripel pythagoras
2. Membuktikan kebenaran teorema pythagoras.
3. Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku dan juga panjang dua sisi diketahui.
4. Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi yang diketahui
5. Menyelesaikan masalah kontekstual menggunakan teorema pythagora

Indikator Pencapaian Kompetensi
3.6.1. Mampu merumuskan teorema pythagoras
3.6.2. Mampu merumuskan tripel pythagoras
3.6.3.Mampu menentukan panjang sisi segitiga siku-siku menggunakan teorema
pythagoras.
3.6.4. Mampu menentukan jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya diketahui
3.4.5. Mampu menentukan hubungan antara panjang sisi pada segitiga siku-siku khusus.
4.6.1. Menentukan solusi dari masalah yang berkaitan dengan teorema pythagoras.

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

Kegiatan Belajar
PYTHAGORAS

A. Teorema Pythagoras
Perhatikan gabar segitiga siku-siku berikut!

C

a
b

A B
c

Segitiga ABC siku-siku dititik A

a) A = 90

b) Sisi AB dan AC disebut sisi siku-siku

c) Sisi BC disebut sisi miring/ sisi terpanjang/ hipotenusa
d) Pada segitiga siku siku berlaku Teorema Pythagoras, yaitu “ kuadran sisi miring sama

dengan jumlah kuadran sisi yang lain”

BC2 = AB2 + AC2 atau a2 = b2 + c2

AC2 = BC2 - AB2 atau b2 = a2 - c2

AB2 = BC2 - AC2 atau c2 = a2 - b2

B. Tripel Pythagoras

Jika a,b, dan c adalah tiga bilangan asli dan berlaku kuadran bilangan terbesar sama
dengan jumlah kuadrat bilangan lainnya maka a,b, dan c disebut tripel pythagoras dan
Bilangan- bilangan yang memenuhi rumus pythagoras, disebut bilangan tripel
pythagoras.
Contoh:
Selidiki akibat pasangan bilangan 5,12,13 merupakan tipel pytagoras
Jawab:
132 = 52 + 122
169 = 25 + 144
169 = 169

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

Jadi, karena memenuhi rumus pythagoras, maka pasangan bilangan 5,12,13 adalah
tripel pytagoras.

Latihan 1
1. Gunakan teorema pythagoras untuk menghitung nilai x pada gambar berikut.

Jawab : ............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................

2. Selidiki pasangan bilangan-bilangan berikut! apakah merupakan tripel
pythagoras?
a. 8,12,14
b. 9,12,15
c. 9,40,41
Jawab : ............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

C. Menentukan Jenis Segitiga
Berdasarkan teorema pythagoras, dapat diambil kesimpulan yaitu jika a,b, dan c
adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga, dengan a > b > c dan
1. a2 = b2 + c2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
2. a2 < b2 + c2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
3. a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

Contoh :

Sebuah segitiga diketahui panjang ketiga sisinya adalah 6cm, 8cm, dan 12 cm.
Tentukan jenis segitiga tersebut!

Jawab:

122 ... 62 + 82

144 ... 36 + 64

144 > 100

D. perbandingan sisi pada segitiga siku-siku istimewa

1. segitiga siku-siku dengan sudut
perhatikan gambar berikut!

A 2a C
60o 30o

a

B

Jika panjang AB adalah a dan panjang AC adalah 2a, menurut rumus pythagoras
berlaku :

BC2 = AC2 - AB2
BC2 = (2a)2 - a2
BC2 = 4a2 - a2
BC2 = 3a2
BC = √
BC = 2 √
Jadi, pada segitiga berikut berlaku AB: BC : AC = a : 2 √ : 2a
Berdasarkan urutan dari sistem terpendek, maka berlaku perbandingan sisi segitiga
tersebut adalah 1 : √ : 2

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

2. Segitiga siku-siku dengan sudut
Perhatikan segitiga berikut!
P
45O
a
45O
QR
a

Jika panjang PQ=QR = a, maka menurut rumus pythagoras berlaku :
PR2 = PQ2 + QR2
PR2 = a2 + a2
PR2 = 2a2
PR = √
PR = √
JadI pada segitiga tersebut berlaku PQ : QR : PR = a : a : √
Berdasarkan urutan dari sistem terpendek, maka berlaku perbandingan sisi segitiga
tersebut adalah 1 : 1 : √

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

Contoh :
Perhatika gambar segitiga berikut, kemudian tentukan nilai x dan y!

M

y
9 cm

K 30o 60o

x
L

Berdasarkan urutan sisi terpendek LM : MK : KL = 1 : √ : 2
Menentukan x :
LM : KL = 1 : 2

=

=
x = 18 cm

Menentukan y :
LM : MK = 1 : √

=

√

=

√

y = 9√ cm

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

E. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan teorema pythagoras
Beberapa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema pythagoras.
Berikut contohnya.
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A kearah barat, dengan jarak 120 km,
kemudian kapal memutar kearah utara sejauh 50 km menuju ke pelabuhan B. Nerapa
jarak terpendek pelabuha B dengan A?

B

Jarak terpendek
pelabuhapelabih

50km

120 km A

Jarak terpendek pelabuha B dengan Pelabuha A, ditunjukan oleh garis AB. Dengan
menggunakan teorema pytaghoras:
AB2= 502 + 1202
AB2= 2.500 + 14.400
AB2= 16900
AB = √
AB = 130

Jadi jarak terpendek A ke B adalah 130 km

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

Latihan 2
1. Dari tigaan-tigaan bilangan berikut,selidikilah mana yang dapat membentuk

segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul ?
a. 9, 6, 11.
b. 7, 10, 12.
c. 12, 16, 20
d. 8,11,13
e. 9,14,17
f. 7,12,14

Jawab: ...................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................

2. .Perhatika gambar segitiga berikut, kemudian tentukan nilai x dan y!

C

y x
60o
30o
A 8cm B

Jawab : ...............................................................................................
.................................................................................................
.................................................................................................
................................................................................................

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

3. Sebuah tiang tingginya 12cm berdiri tegak diatas tanah datar. Dari ujung atas
tiang ditarik seutas tali kesebuah patok pada tanah. Jika panjang tali 15m,
maka berapa jarak patok dengan pangkal tiang bagian bawah?
Jawab : ...................................................................................................
....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

Rangkuman

 Salah satu sudur pada segitiga siku-siku adalah 90
 Pada segitiga siku-siku sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring/ sisi terpanjang/

juga disebut Hipotenusa
 Teorema pythagoras : “ pada segitiga siku-siku, jumlah kuadran sisi siku-sikunya sama

dengan kuadran sisi miringnya”
 Jika a,b, dan c adalah tiga bilangan asli dan berlaku kuadran bilangan terbesar sama

dengan jumlah kuadrat bilangan lainnya maka a,b, dan c disebut tripel pythagoras.
 a2 = b2 + c2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
 a2 < b2 + c2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
 a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

Untuk mengasah danmenguji kemampuan berpikir kalian, coba pilihlah salah satu jawaban
yang tepat pada huruf a,b,c,d!

1. perhatikan gambar berikut.

Pernyataan dibawah ini yang benar kecuali ...
a. q2 = p2 + r2
b. p2 = q2 - r2
c. r2 = q2 - p2
d. p2 = q2 + r2

2. segitiga ABC siku-siku di A, panjang AB = 8 cm, panjang AC = 17 cm.
Panjang BC adalah...
a. 9cm
b. 12 cm
c. 18 cm
d. 25cm

3. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yangmerupakan tripel Pythagoras
adalah...
a. 5,24,25
b. 7,12,13
c. 9,12,25
d. 14,48,50

4. Perhatikan gambar berikut!

Panjang AB adalah ..
a. 21 cm
b. 20 cm
c. 19 cm
d. 18 cm

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

5. Perhatikan gambar berikut.

Nilai dari x + y adalah...
a. 10 cm
b. 26 cm
c. 34 cm
d. 36 cm

6. Perhatikan tigaan bilangan berikut
(i) 3 cm, 5 cm, 6 cm
(ii) 5 cm, 12 cm, 13 cm
(iii) 7 cm, 10 cm, 12 cm
(iv) 7 cm, 9 cm, 10 cm
ukuran sisi yang membentuk segitigalancip ditunjukkan oleh ...
a. (i) dan (ii)
b. (i) dan (iii)
c. (ii) dan (iii)
d. (iii) dan (iv)

7. Perhatikan gambar berikut

Panjang sisi BC dan AC berturut-turut adalah...
a. 7 cm dan 7√ 2 cm
b. 7 cm dan 7√ 3 cm
c. 7√ 2 cm dan 7 cm
d. 7 √ 3 cm dan 7 cm

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

8. Gambar di bawah ini menunjukkan ∆ PQR siku-siku di P dan QR = 8 cm

Panjang sisi PQ dan PR adalah...
a. 4cm dan 4√ 2 cm
b. 4 cm dan 4 √ 3 cm
c. 8 cm dan 8 √ 2 cm
d. 8 cm dan 8 √ 3 cm

9. Perhatikan gambar berikut

Seseorang mengamati dua mobil daripuncak menara yang jarak masing-
masingmobil ke pengamat seperti tampak padasketsa gambar tersebut,
jika tinggi menara15 m, jarak kedua mobil tersebut adalah ...

a. 8 m
b. 10 m
c. 12 m
d. 15 m

10. Perhatikan gambar berikut

Panjang sisi BD adalah...
a. 13cm
b. 15cm
c. 14cm
d. 12 cm

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII

KUNCI JAWABAN

Evaluasi

1. d
2. b
3. d
4. a
5. d
6. d
7. a
8. b
9. c
10. a

Penilaian Evaluasi/Pilihan Ganda

Catatan : Untuk jawaban soal yang benar diberi nilai 1
Untuk jawaban soal yang salah diberi nilai 0

MODUL PYTHAGORAS UNTUK SMP/MTs KELAS VIII