โครงงานคณิตศาสตร์modular

โครงงานคณิตศาสตร์

เรื่อง Modular Art

โดย
1. เด็กชายวทิ ูร ปาปะสิม
2. เด็กหญิงธิดามาศ อุดม
3. เด็กหญิงภทั รินทร ศรีนาง
โรงเรียนบ้านไผ่ อาเภอบ้านไผ่ จังหวัดขอนแก่น
สานักงานเขตพื้นทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 25

รายงานฉบบั นี้เป็ นส่วนประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์
ประเภทประดิษฐ์ ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาตอนต้น

เนื่องในงานศิลปหัตถกรรมนกั เรียนภาคตะวันออกเฉียงเหนือ
คร้ังที่ 62 จงั หวัดชัยภูมิ ประจาปี การศึกษา 2555

โครงงานคณิตศาสตร์

เร่ือง Modular Art

โดย 1. เดก็ ชายวทิ ูร ปาปะสิม
2. เดก็ หญิงธิดามาศ อุดม
3. เดก็ หญิงภทั รินทร ศรีนาง

ครูทีป่ รึกษา 1. นางอุมาพร พมิ พ์ภักดี
2. นางสาวอนงค์ ศิริมา

โรงเรียนบ้านไผ่ สานกั งานเขตพืน้ ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 25

รายงานฉบับนีเ้ ป็ นส่วนประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์
ประเภทประดิษฐ์ ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาตอนต้น

เน่ืองในงานศิลปหตั ถกรรมนกั เรียนภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ
คร้ังที่ 62 จังหวัดชัยภมู ิ ประจาปี การศึกษา 2555

ก

บทคดั ย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง Modular Art เป็นการศึกษารูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ทาให้
เกิดงานศลิ ปะ Modular และสามารถนาความรู้ทางคณิตศาสตร์มาออกแบบศิลปะ Modular ที่ทา
ใหเ้ กิดลวดลายทส่ี ร้างสรรคข์ องตนเอง โดยสมาชิกไดป้ ระยกุ ตก์ ารนาศิลปะทางคณิตศาสตร์
เก่ียวกบั รูปเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิตและใชโ้ ปรแกรม GSP มาช่วย ในการออกแบบ
ลวดลาย และนาผลงานทไ่ี ดม้ าตกแต่งลงบนกระดาษ ผา้ กระจก ฯลฯ สามารถออกแบบให้เป็น
ผลติ ภณั ฑข์ องใชใ้ นชีวติ ประจาวนั ได้ อีกท้งั สามารถอธิบายใหเ้ พื่อนนกั เรียนในห้องเรียน ชุมนุม
และผสู้ นใจไดเ้ ขา้ ใจในงานศิลปะทีเ่ กิดจากคณิตศาสตร์ได้

วัตถุประสงค์ของโครงงาน
1. เพือ่ ศึกษารูปแบบทางคณิตศาสตร์ท่ีทาให้เกิดศิลปะ Modular
2. เพือ่ นาความรู้ทางคณิตศาสตร์มา ออกแบบศิลปะ Modular ท่ีทาเกิดลวดลายท่ี
สร้างสรรคท์ าใหเ้ กิดผลงานและผลติ ภณั ฑใ์ หมๆ่ ในชีวิตประจาวนั
3. เพ่ือให้นกั เรียนมีเจตคติทดี่ ีตอ่ วชิ าคณิตศาสตร์และรู้จกั การใชเ้ วลาว่างให้เกิดประโยชน์

วิธดี าเนนิ การจัดทาโครงงาน
1. จดั กลมุ่ สมาชิก 3 คน
2. ศกึ ษาหาความรู้เก่ียวกบั การทาโครงงานคณิตศาสตร์
3. ศึกษาหัวขอ้ ทีส่ นใจโดยการสืบคน้ ขอ้ มูลทางอนิ เตอร์เนต็ และเอกสารทเี่ ก่ียวขอ้ ง
4. ดาเนินงานและปฏิบตั ิเพื่อให้ไดผ้ ล
5. สรุปผลการดาเนินงาน และเขยี นรายงาน
6. นาเสนอผลงาน

ผลการดาเนินงาน
จากการดาเนินงานตามโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง Modular Art พบวา่ ประสบผลสาเร็จ

และบรรลตุ ามวตั ถปุ ระสงคด์ งั น้ี
1. ไดร้ ูปแบบทางคณิตศาสตร์ทท่ี าให้เกิดศลิ ปะ Modular
2. สามารถนาความรู้ทางคณิตศาสตร์มา ออกแบบศลิ ปะ Modular ที่ทาเกิดลวดลายที่
สร้างสรรคท์ าใหเ้ กิดผลงานและผลติ ภณั ฑใ์ หมๆ่ ท่ีนาไปใชใ้ นชีวิตประจาวนั
3. นกั เรียนมีเจตคติท่ดี ีตอ่ วชิ าคณิตศาสตร์และรู้จกั การใช้เวลาว่างใหเ้ กิดประโยชน์

ข

กิตตกิ รรมประกาศ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง Modular Art ประสบความสาเร็จไดด้ ว้ ยความช่วยเหลือจาก
บคุ คลหลายท่าน คณะทางานขอขอบคณุ พ่ี ๆ เพื่อน ๆ และนอ้ ง ๆ นกั เรียนโรงเรียนบา้ นไผ่ ที่ให้
ความช่วยเหลอื ในการจดั ทาผลงาน ขอขอบคณุ คณุ ครูอุมาพร พมิ พภ์ กั ดี คุณครูอนงค์ ศริ ิมา ครูท่ี
ปรึกษาโครงงาน ทีค่ อยใหค้ าแนะนา ช้ีแนะแนวทางเป็นอยา่ งดี คุณครูเอมอร สิทธิสงวนพนั ธ์ที่
คอยดูแลและใหก้ าลงั ใจอยา่ งใกลช้ ิด คุณครูสังวรณ์ หสั โรจน์ ทถ่ี ่ายทอดความรู้ในการสกรีนผา้
เพอ่ื ลงลวดลาย คุณครูนารีรัตน์ พมิ วงั หวั หนา้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์และคณุ ครูใน
กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ทุกทา่ นท่ดี ูแลและให้กาลงั ใจเป็นอยา่ งดีมาโดยตลอด

คณะผจู้ ดั ทามคี วามซาบซ้ึงใจในความกรุณาของครูทกุ ทา่ นเป็นอยา่ งมาก นอกจากน้ี
ขอขอบพระคณุ นายยทุ ธศาสตร์ กงเพชร ผอู้ านวยการโรงเรียนบา้ นไผ่ ทใ่ี หค้ วามสนบั สนุนใน
เรื่องงบประมาณและเป็นกาลงั ใจในการทาโครงงานเพือ่ ให้สาเร็จลลุ ่วงไปดว้ ยดี

คณะผจู้ ดั ทา
1 พฤศจิกายน 2555

สารบญั หน้า
ก
เรื่อง ข
บทคดั ยอ่ 1
กิตตกิ รรมประกาศ 1
บทท่ี 1 บทนา 2
2
ทมี่ าและความสาคญั ของโครงงาน 3
วตั ถปุ ระสงค์ 11
ขอบเขตของการศกึ ษา 15
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวขอ้ ง 19
บทที่ 3 วิธีดาเนินการ
บทที่ 4 ผลการดาเนินการ
บทท่ี 5 สรุปผลการดาเนินการ
บรรณานุกรม
ภาคผนวก

บทที่ 1
บทนา

ท่ีมาและความสาคัญของโครงงาน
คณิตศาสตร์เป็นรากฐานสาคญั ของความเจริญกา้ วหนา้ ทางดา้ นวิทยาศาสตร์ และ

เทคโนโลยี ท่ีเห็นไดอ้ ยา่ งชดั เจน ในปัจจบุ นั มกี ารคิดคน้ และการพฒั นาองคค์ วามรู้ใหมๆ่ เป็น
ประโยชน์ตอ่ การพฒั นาประเทศและโลก ซ่ึงลว้ นตอ้ งอาศยั ความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นพ้ืนฐานหลกั
คณิตศาสตร์ไมไ่ ดม้ คี วามเก่ียวขอ้ งและมีความหมายเพยี งแคต่ วั เลขและสญั ลกั ษณเ์ ทา่ น้นั หากแต่
ยงั มคี วามสาคญั ในการช่วยพฒั นาความคดิ ของมนุษยใ์ หม้ คี วามคดิ สร้างสรรค์ ช่วยเสริมสร้างความ
มเี หตผุ ลรู้จกั การคดิ อยา่ งมรี ะบบระเบยี บ มีการวางแผนการทางาน มคี วามสามารถในการตดั สินใจ
สามารถคาดการณ์ วางแผนตดั สินใจและแกป้ ัญหาไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง คณิตศาสตร์อาจจะเป็นวิชาท่ี
ทุกคนมองภาพวา่ เป็นวชิ าทเี่ ก่ียวกบั ตวั เลขมคี วามยากและซบั ซ้อน การเรียนตอ้ งอาศยั ความต้งั ใจ
สูงและส่ิงทต่ี ามมาคอื ความเครียด ความวติ กกงั วล ตลอดจนความลม้ เหลวทางการเรียนใน
ทีส่ ุด แนวทางแกไ้ ขทท่ี าไดค้ อื การท่จี ะตอ้ งเปลย่ี นความรู้สึกจากท่ีวา่ วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ี
ยาก เรียนแลว้ เครียด น่าเบื่อหน่าย มาเป็น วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาทเี่ รียนแลว้ สนุก มีความ
น่าสนใจ เป็นการผอ่ นคลายความตรึงเครียด และเป็นการสร้างจินตนาการทางการคดิ ที่กวา้ งไกล

ศิลปะถอื วา่ เป็นส่ิงหน่ึงทส่ี ามารถดึงดูดความสนใจให้มคี วามชอบท่จี ะเรียนมากข้ึน เพราะ
ศิลปะเป็นวิชาท่ีไมม่ ีผิดไม่มถี กู ทกุ คนสามารถเรียนได้ และส่วนใหญก่ ็มคี วามชอบอยแู่ ลว้ เป็น
ทนุ เดิม วชิ าคณิตศาสตร์กบั ศิลปะมีความเกี่ยวขอ้ งกนั อยา่ งแยกไมอ่ อกเลยทีเ่ ดียว โดยเฉพาะอยา่ งยิ่ง
ในสาระการเรียนรู้เรขาคณิต ซ่ึงถือว่าเป็นพ้ืนฐานของศลิ ปะก็วา่ ได้ ในการเรียนการสอน
เน้ือหาวิชาคณิตศาสตร์ในส่วนของเรขาคณิตกน็ า่ จะใชก้ ิจกรรมเก่ียวกบั ศลิ ปะท่เี กิดจาก
เส้นตรง มุม ฯลฯ มาใหป้ ฏบิ ตั ิในรูปแบบต่าง ๆ เช่น วาดภาพ ตอ่ รูป โยงเสน้ ระบายสี ฯลฯ

สาหรับงานศิลปะท่ีคณะทางานเลอื กทจี่ ะนามาทาชิ้นงานน้นั เราเลอื กที่จะประยกุ ต์
ความรู้ทางคณิตศาสตร์มาใชใ้ นมมุ มองทางศิลป์ เช่น จานวนและตวั เลข รูปเรขาคณิต การแปลง
ทางเรขาคณิต การออกแบบลวดลาย โดยใชโ้ ปรแกรม GSP นามาตกแตง่ สร้างสรรคเ์ ป็นช้ินงาน
เป็นศลิ ปะทางคณิตศาสตร์อีกหน่ึงมุมมองที่สวยงาม ทาไดง้ ่าย ไมย่ ากอยา่ งท่หี ลาย ๆ คนคิดและ
สามารถทาไดจ้ ริง

ดงั น้นั โครงงานคณิตศาสตร์ เร่ือง Modular Art จึงเป็นโครงงานที่ทาข้ึนโดยมขี อบเขต
การใชจ้ ินตนาการของเราสามารถสร้างลวดลาย พร้อมนาหลกั การทางคณิตศาสตร์ คือ แบบรูป
จานวนและตวั เลข การแปลงทางเรขาคณิต เขา้ มาช่วยในการสร้างลวดลาย มีการบูรณาการเขา้ ก2บั

2
ทุกวิชา เช่นวิชาศิลปะ การงานอาชีพและเทคโนโลยี โดยการลงสีลวดลายลงบนช้ินงานเพ่อื ให้เกิด
ประโยชน์และสามารถนาไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นชีวิตประจาวนั ตอ่ ไป

วัตถปุ ระสงค์
1. เพอ่ื ศึกษารูปแบบทางคณิตศาสตร์ทท่ี าให้เกิดศลิ ปะ Modular
2. เพ่อื นาความรู้ทางคณิตศาสตร์มา ออกแบบศลิ ปะ Modular ที่ทาเกิดลวดลายที่
สร้างสรรคท์ าใหเ้ กิดผลงานและผลติ ภณั ฑใ์ หม่ๆ ในชีวิตประจาวนั
3. เพอ่ื ให้นกั เรียนมเี จตคติทด่ี ีต่อวิชาคณิตศาสตร์และรู้จกั การใชเ้ วลาว่างให้เกิดประโยชน์

ขอบเขตของการศึกษา
1. ศกึ ษาความรู้เก่ียวกบั ศิลปะ Modular ทใ่ี ชห้ ลกั การทางคณิตศาสตร์มาออกแบบ
ลวดลายต่างๆโดยการสืบคน้ ทางอนิ เตอร์เนต็
2. ศึกษาเน้ือหาวชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง แบบรูป จานวนและตวั เลข การสร้างรูป
เรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต
3. ศกึ ษาการใชโ้ ปรแกรม GSP มาออกแบบลวดลายตา่ งๆโดยใชว้ ิธีการเลือ่ นขนาน การ
สะทอ้ นและการหมุน
4. บูรณาการชิ้นงานกบั วิชาอ่ืนเพื่อการประยกุ ตใ์ ชใ้ นชีวติ ประจาวนั และเป็นการ
สร้างสรรคผ์ ลงานใหม่ๆ เช่น การสกรีนผา้ การเพน้ ทผ์ า้ หรือแกว้ โดยใชล้ วดลายจาก
ศลิ ปะ Modular
5. ระยะเวลาในการดาเนินงาน คอื ระหว่างวนั ท่ี 1 กนั ยายน 2555 ถึง 30 ตลุ าคม
2555

บทที่ 2 3
เอกสารทเ่ี กย่ี วข้อง

ในการทาโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง Modular Art คณะทางานไดศ้ กึ ษาขอ้ มูล ท่เี ป็น
ประโยชน์เก่ียวกบั เน้ือหาและขอ้ มลู ดงั ตอ่ ไปน้ี

1. ศิลปะ Modular
2. รูปแบบ รูปเรขาคณิต จานวนและตวั เลข
3. การแปลงทางเรขาคณิต
4. โปรแกรม GSP
5. การสกรีนผา้
1 .ศิลปะ Modular
1.1 ความหมายของศิลปะ Modular

ศิลปะ หรือ ศิลป์ ทวั่ ๆไปแลว้ จะหมายถงึ การกระทาหรือข้นั ตอนของการสร้างชิ้นงาน
ศลิ ปะโดยมนุษย์ คาแปลในภาษาองั กฤษทีต่ รงท่สี ุดคอื Art ศิลปะเป็นคาท่มี คี วามหมายกวา้ ง แต่
ส่วนใหญ่แลว้ จะมคี วามหมายเก่ียวกบั การสร้างสรรค์สุนทรียภาพ งานศิลปะ จะรวมถงึ ชิ้นงาน
หลายๆชนิดโดยผูส้ ร้างต้งั ใจสร้างช้ินงานเพอ่ื ส่ือสาร,ส่ืออารมณ์,หรือใชส้ ญั ลกั ษณเ์ พอ่ื ให้ผชู้ ม
ชิ้นงานตคี วาม ศิลปะอาจรวมไปถึงงานในรูปแบบต่างๆเช่น งานเขียน บทกวี การเตน้ รา การแสดง
ดนตรี งานปฏมิ ากรรม ภาพวาด-ภาพเขยี น การจกั สาน หรือ อนื่ ๆ อยา่ งไรก็ตามส่วนใหญแ่ ลว้ ศิลปะ
จะหมายถงึ งานทางทศั นศิลปะพวก ภาพวาด-ภาพเขยี น งานประตมิ ากรรม งานแกะสลกั เป็นตน้
ศิลปะ(Art) นบั ว่าเป็นศาสตร์ทม่ี ีประวตั ิศาสตร์ยาวนาน ต้งั แตม่ มี นุษยเ์ กิดข้ึน และนบั ว่าเป็นศาสตร์
ของนกั ปราชญท์ เ่ี ป็นทชี่ ื่นชม

Modular เป็นการประกอบดว้ ยหน่วยแยกหรือแบบรูปต่างๆ ท่ีสามารถนามารวมกนั อยา่ ง
มกี ฎเกณฑ์ มีหลกั การ จนประกอบเป็นชิ้นงานอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงได้

ศิลปะ modular จึง เป็นศลิ ปะท่ีสร้างข้ึนโดยร่วมกนั หน่วยมาตรฐาน ( โมดลู ) มีรูปแบบ มี
องคป์ ระกอบทีซ่ บั ซอ้ น ในบางหน่วยสามารถเคลื่อนยา้ ยต่อ มาลบและเพม่ิ ข้นึ ไดเ้ พื่อสร้างงานใหม่
ของศิลปะที่แตกต่างจากเดิมหรือการกาหนดค่าทต่ี ามมา การศึกษารูปแบบ วิธีการทเี่ ราอาจจะใช้
รูปแบบการเป็นจานวนในการสร้างเอกลกั ษณ์และการออกแบบลวดลายศลิ ปะทีช่ ื่นชอบ

4

ตวั อยา่ ง ศิลปะ Modular

5
การออกแบบลวดลาย โดยตารางการคานวณ Modular

1.การกาหนดตารางลวดลายแต่ละเซลลห์ มายเลขในการตกแต่งภายในของตาราง
ตัวอย่าง ตารางการคานวณ mod 5 เป็นการตกแต่งภายในของตารางเป็น 5 x 5 การแปลงตวั เลข
ท้งั หมดเพือ่ mod 5 โดยการหารดว้ ย 5 และบนั ทึกส่วนทเ่ี หลอื ส่วนทีเ่ หลือคือตวั เลขทเี่ ราสนใจ
นามากาหนดลวดลาย

เริ่มตน้ ดว้ ยการกาหนดลวดลายส่ีเหล่ยี มไปยงั หมายเลขท่ปี รากฏในการตกแต่งภายในของตาราง ใน
รูปแบบดา้ นลา่ ง ไดถ้ กู แทนดว้ ยรูปแบบทส่ี มบรู ณข์ องรูปแบบท่ีเลือก

แลว้ เรากรอกแต่ละตารางในการตกแต่งภายในของตารางท่ีมรี ูปแบบตามจานวนทถ่ี ูกทาเครื่องหมาย
ในน้นั

6

เราสามารถใชก้ ารรวมกนั ของช่องสี่เหล่ียมเป็น 25 รูปแบบการออกแบบข้นั พ้ืนฐานทเ่ี ราสามารถนา
ภาพนิ่งเล่ือนขนาน น้ีสะทอ้ น (พลิก) หรือหมนุ (เปิ ด) เพอื่ ทาให้เกิดลวดลายทางศลิ ปะท่ีมขี นาด
ต่างๆตามตอ้ งการ

ตัวอย่าง ตารางการคานวณ Mod 12 เป็นการตกแตง่ ภายในของตารางเป็น 12 x 12 การแปลง
ตวั เลขท้งั หมดเพือ่ Mod 12 โดยการหารดว้ ย 12 และบนั ทึกส่วนทเี่ หลอื ส่วนทเี่ หลือคือตวั เลขท่ีเรา
สนใจนามากาหนดลวดลาย เราจะใชเ้ ฉพาะสิบสองจานวนเตม็ จาก 0 ถงึ 11 สามารถนาเสนอให้เห็น
ในตารางการดาเนินงาน ตารางสาหรบั การเพมิ่ และการคูณ 12 ดงั น้ี

Mod บวก12 Mod คูณ 12

2. รูปแบบ รูปเรขาคณิต จานวนและตัวเลข
2.1 รูปแบบ
ความหมายของรูปแบบ คาวา่ “รูปแบบ” หรือ Model เป็นคาทีใ่ ชเ้ พื่อสื่อความหมายหลาย

อยา่ ง ซ่ึงโดยทวั่ ไปแลว้ รูปแบบจะหมายถงึ ส่ิงหรือวิธีการดาเนินงานทเี่ ป็นตน้ แบบอยา่ งใดอยา่ งหน่ึง
เช่น แบบจาลองส่ิงก่อสร้าง

พจนานุกรม Contemporary English ของ Longman (1981, p. 668) ให้ความหมายไว้
ความหมาย Model ที่หมายถงึ สิ่งของหรือคนท่ีนามาใชเ้ ป็นแบบอยา่ งในการดาเนินการบางอยา่ ง
เช่น รูปตน้ แบบ

7

พจนานุกรมการศกึ ษา Good (1973) ไดใ้ ห้ความหมายรูปแบบ ดงั น้ี รูปแบบ หมายถึง
แบบอยา่ งของส่ิงใดส่ิงหน่ึงเพ่อื เป็นแนวทางในการสร้างหรือทาซ้าเป็นตวั อยา่ งเพื่อการเลยี นแบบ
เป็นแผนภมู ิหรือรูปสามมติ ซิ ่ึงเป็นตวั แทนของส่ิงใดสิ่งหน่ึงหรือหลกั การหรือแนวคดิ เป็นชุดของ
ปัจจยั หรือตวั แปรทมี่ ีความสัมพนั ธซ์ ่ึงกนั และกนั ซ่ึงรวมกนั เป็นตวั ประกอบและเป็นสัญลกั ษณ์

อาจกลา่ วไดว้ า่ รูปแบบหมายถงึ แบบจาลองอยา่ งงา่ ยหรือยอ่ ส่วนของปรากฏการณต์ ่าง ๆ
ทผี่ เู้ สนอรูปแบบดงั กลา่ วไดศ้ ึกษาและพฒั นาข้นึ มาเพื่อแสดงหรืออธิบายปรากฏการณใ์ หเ้ ขา้ ใจได้
งา่ ยข้ึน หรือในบางกรณีอาจจะใชป้ ระโยชน์ในการทานายปรากฏการณท์ ีจ่ ะเกิดข้ึนตลอดจนอาจใช้
เป็นแนวทางในการดาเนินการอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงตอ่ ไป

โดยสรุป รูปแบบ หมายถงึ สิ่งท่เี ป็นตวั แทนของโครงสร้างทางความคดิ หรือ
องคป์ ระกอบและความสมั พนั ธข์ ององคป์ ระกอบตา่ ง ๆ ท่สี าคญั ของเร่ืองที่ศึกษา

2.2 รูปเรขาคณิต
รูปเรขาคณิต (Geometric Form) มรี ูปท่แี น่นอน มาตรฐาน สามารถวดั หรือคานวณไดง้ ่าย มี
กฎเกณฑ์ เกิดจากการสร้างของมนุษย์ เช่น รูปสี่เหล่ยี ม รูปวงกลม รูปวงรี นอกจากน้ียงั รวมถึง
รูปทรงของส่ิงท่มี นุษยป์ ระดิษฐ์คิดคน้ ข้นึ อยา่ งมีแบบแผน แน่นอน เช่น รถยนต์ เครื่องจกั รกล
เคร่ืองบนิ สิ่งของเคร่ืองใชต้ ่าง ๆ ทีผ่ ลิตโดยระบบอุตสาหกรรม กจ็ ดั เป็นรูปเรขาคณิตเช่นกนั
รูปเรขาคณิตเป็นรูป ท่ีให้โครงสร้างพ้นื ฐานของรูปตา่ ง ๆ ดงั น้นั การสร้างสรรคร์ ูปอืน่ ๆ ควรศกึ ษา
รูปเรขาคณิตให้เขา้ ใจถ่องแทเ้ สียกอ่ น ดงั ตวั อยา่ งรูปเรขาคณิต

2.3 จานวนและตัวเลข
จานวน หมายถงึ ปริมาณท่ที าให้เรามีความรู้สึกว่ามากหรือนอ้ ยซ่ึงเป็นนามธรรมและมี
ความเขา้ ใจตรงกนั แต่ช่ือทีเ่ ราใชเ้ รียก "หน่ึง" "สอง " "สาม" ยอ่ มแตกตา่ งกนั ซ่ึงเป็นไปตาม
ธรรมชาตภิ าษาของชนชาติ น้นั ๆ
ตวั เลข หมายถึง สัญญลกั ษณห์ รือเครื่องหมายท่ใี ช้เขียนเพ่ือแสดงจานวน
เช่น จานวน สาม อาจแทนดว้ ย 3 ๓ หรือ III ฯลฯ ก็ได้ ซ่ึงก็แลว้ แตล่ ะชนชาตแิ ต่ละภาษา
ระบบจานวนตวั เลขท่เี รานิยมใชก้ นั ในปัจจุบนั น้ี เป็นระบบเลขฮินดูอารบคิ ซ่ึงจะ
ประกอบดว้ ยตวั เลขโดดจานวนสิบตวั ไดแ้ ก่ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 เราสามารถนาตวั เลขมา
สร้างเป็นจานวนเลขโดยการเขยี นใหอ้ ยใู่ นตาแหน่งตา่ ง ๆได้

8

3. การแปลงทางเรขาคณิต
การเลื่อนขนาน (Translation or Slide)
การเลอื่ นขนานตอ้ งมีรูปตน้ แบบ ทศิ ทางและระยะทางที่ตอ้ งการเลอื่ นรูป การเลอื่ น

ขนานเป็นการแปลงทจี่ บั คูจ่ ดุ แตล่ ะจุดของรูปท่ไี ดจ้ ากการเล่ือนรูปตน้ แบบไปในทางทศิ ทางใด
ทิศทางหน่ึงดว้ ยระยะทางทีก่ าหนด จดุ แต่ละจุดบนรูปทไ่ี ดจ้ ากการเล่อื นขนานระยะห่างจากจดุ ที่สม
นยั กนั บนรูปตน้ แบบเป็นระยะทางเทา่ กนั การเลือ่ นในลกั ษณะน้ีเรียกอีกอยา่ งหน่ึง ว่า “สไลด์
(slide)”
การสะท้อน (Reflection or Flip)

การสะทอ้ นตอ้ งมีรูปตน้ แบบท่ตี อ้ งการสะทอ้ นและเส้นสะทอ้ น (reflection line หรือ
Mirror line) การสะทอ้ นรูปขา้ มเส้นสะทอ้ นเสมอื นกบั การพลกิ รูปขา้ มเสน้ สะทอ้ นหรือการดูเงา
สะทอ้ นบนกระจกเงาที่วางบนเสน้ สะทอ้ น การสะทอ้ นเป็ นการแปลงที่มกี ารจบั ค่กู นั ระหว่างจุดแต่
ละจดุ บนรูปตน้ แบบกบั จดุ แตล่ ะจุดบนรูปสะทอ้ น โดยท่ี

1. รูปที่เกิดจากการสะทอ้ นมขี นาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะทอ้ น
เท่ากนั ทุกประการกบั รูปเดิม

2. เส้นสะทอ้ นจะแบ่งคร่ึงและต้งั ฉากกบั ส่วนของเส้นตรงท่ีเช่ือมระหว่างจุด แตล่ ะจุด
บน รูปตน้ แบบกบั จุดแตล่ ะจุดบนรูปสะทอ้ นท่ีสมนยั กนั นน่ั คอื ระยะระหว่างจุดตน้ แบบและเสน้
สะทอ้ นเทา่ กบั ระยะระหว่างจุดสะทอ้ นและเส้นสะทอ้ น
การหมุน (Rotation or Turn)

การหมนุ จะตอ้ งมีรูปตน้ แบบ จดุ หมนุ และขนาดของมมุ ทต่ี อ้ งการหมนุ ในรูปน้นั การ
หมุนเป็นการแปลงท่จี บั ค่จู ุดแต่ละจดุ ของรูปที่ไดจ้ ากการหมุน โดยท่ีจดุ แตล่ ะจดุ บนรูปตน้ แบบ
เคลอ่ื นทร่ี อบจดุ หมุนดว้ ยขนาดของมมุ ท่กี าหนด จดุ หมนุ จะอยนู่ อกรูปหรือบนรูปกไ็ ด้ การหมุน
จะหมนุ ตามเขม็ นาฬกิ าหรือทวนเขม็ นาฬิกากไ็ ด้ โดยทวั่ ไปเมือ่ ไม่ระบไุ วก้ ารหมนุ รูปจะเป็นการ
หมนุ ทวนเข็มนาฬิกา บางคร้ังถา้ เป็นมุมทเี่ กิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา ขนาดของมมุ อาจใช้
สญั ลกั ษณ์ (- x0 ) หรือ ถา้ เป็นมมุ ท่เี กิดจากการหมุนทวนเข็มนาฬกิ า ขนาดของมมุ อาจใชส้ ัญลกั ษณ์
x0

การสะท้อนแบบเลื่อน (Glide Reflection)
การสะทอ้ นแบบเล่ือน เป็นการแปลงอีกชนิดหน่ึง การสะทอ้ นแบบเล่ือน

ประกอบดว้ ย การสะทอ้ นและการเลื่อนทีเ่ กิดข้นึ เป็นลาดบั โดยเกิดจากการสะทอ้ นก่อนแลว้ ตาม
ดว้ ยการเล่ือนขนาน (สิ่งสาคญั ในการสะทอ้ นแบบเล่ือน คือ แกนสะทอ้ น ระยะทางและทิศทางใน
การเลื่อน)

9

4. โปรแกรม GSP
โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) เป็นโปรแกรมคณิตศาสตร์ท่ผี ลิตจาก

ประเทศสหรฐั อเมริกา เป็นโปรแกรมท่ีมีประสิทธิภาพโปรแกรมหน่ึง สามารถนาไปใชใ้ นวชิ า
คณิตศาสตร์ไดห้ ลายวิชา เช่น วิชาเรขาคณิต พชี คณิต ตรีโกณมิติ และแคลคลู สั โปรแกรม GSP
เป็นส่ือเทคโนโลยีทชี่ ่วยให้ผูเ้ รียน มโี อกาสเรียนคณิตศาสตร์โดยการสร้างองคค์ วามรู้ดว้ ยตนเอง
(Constructivist Approach) และเป็นการเรียนโดยเนน้ ผเู้ รียนเป็นสาคญั (Learner-Centered
Learning) โปรแกรม GSP เป็นสื่อท่ชี ่วยให้ผูเ้ รียนพฒั นาทกั ษะของการนึกภาพ (Visualization)
ทกั ษะของกระบวนการแกป้ ัญหา (Problem Solving Skills) นอกจากน้ี การใชโ้ ปรแกรม GSP ใน
การเรียนการสอนคณิตศาสตร์เป็นการบูรณาการสาระท่เี กี่ยวขอ้ งกบั ความรู้คณิตศาสตร์และทกั ษะ
ดา้ นเทคโนโลยเี ขา้ ดว้ ยกนั ทาให้ผเู้ รียนมโี อกาสพฒั นาพหุปัญญา อนั ไดแ้ ก่ ปัญญาทางภาษา ดา้ น
ตรรกศาสตร์ ดา้ นมิตสิ ัมพนั ธ์ และดา้ นศิลปะ ดว้ ยเหตุผลดงั กล่าว โปรแกรม GSP จึงไดร้ บั
รางวลั ยอดเยี่ยมหลายรางวลั อาทิเช่น Best Educational Software of All Time จาก Stevens
Institute of Technology Survey of Mentor Teachers และ Most Valuable Software for Students
จาก National Survey of Mathematics Teachers, USA. โปรแกรม GSP มใี ชอ้ ยา่ งแพร่หลายกว่า 50
ประเทศทวั่ โลกอกี ท้งั บรรจุอยใู่ นหลกั สูตรวิชาคณิตศาสตร์ระดบั ต่าง ๆ ถึง 10 ประเทศ เช่น
สิงคโปร์ มาเลเซีย ญ่ปี ่ ุน จีน องั กฤษ อเมริกา เป็นตน้
5. การสกรีนผ้า

อุปกรณ์ไดแ้ ก่ บลอ็ กสกรีนเส้ือเปล่า ตน้ แบบลาย สต๊ิกเกอร์ art knife ลูกกลงิ้ ยาง
กระดาษกาว เทปหนงั ไก่ แผน่ รองตดั

ข้นั ตอนการสกรีนผ้า
1. ออกแบบลวดลายตามความตอ้ งการ เม่อื ไดล้ ายแลว้ กป็ ริ้นแบบลงบนกระดาษไข หรือ
ใชว้ ิธีการถา่ ยฟิลม์
2. เตรียมอปุ กรณท์ าบล็อกขึงผา้ สกรีนลงบนเฟรมใหต้ ึงโดยการใชแ้ ม็กซ์ยิงรอบกรอบ จะ
ไดบ้ ล็อกสกรีนเปลา่ ๆ

10
3. เตรียมนายาทางเคมโี ดยมกี าวอดั มคี ุณสมบตั เิ ป็นตวั ก้นั สี ผสมนายาไวแสง ทานายาให้
ทว่ั บลอ็ ก ปาดให้เสมอกนั ตากลมใหแ้ หง้ แลว้ วางบนตูไ้ ฟประมาณ 5 นาที แลว้ นาไปลา้ งน้าให้
สะอาดใชน้ ้าฉีดจากกระบอกรีดผา้ บริเวณลายสกรีน จนคาบกาวหมด เมอื่ แหง้ นามาเคลือบน้ายา
เพ่ือความทนทาน

4. นาบล็อกที่สาเร็จมาวางทาบตามตาแหน่งทต่ี อ้ งการลงบนเส้ือที่จะสกรีนโดยการขึงตึง

5. เตรียมสีตามตอ้ งการ ปาดสีตามลายอยา่ งรวดเร็วเพื่อไมใ่ ห้สีแห้งซึงจะทาใหบ้ ลอ็ กสกรี
เสียหายได้ สามารถปาดซ้าไดอ้ ีกหากสีไมส่ ม่าเสมอ เสร็จแลว้ ดึงบลอ็ กสกรีนออกอยา่ ง
ระมดั ระวงั นาเส้ือไปฝ่ึงแดดใหแ้ ห้ง จะไดเ้ ส้ือสกรีนท่ีเสร็จเรียบร้อย

11

บทที่ 3
วิธีการดาเนนิ การ
ในการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์เร่ือง Modular Art มีข้นั ตอน การดาเนินงานดงั น้ี

วธิ ีการดาเนนิ การ
1. จดั ต้งั กลุ่มโครงงานคณิตศาสตร์ ซ่ึงประกอบดว้ ยสมาชิก 3 คน มีการประชุม

ปรึกษาหารือเกี่ยวกบั แผนการดาเนินการจดั ทาโครงงาน กาหนดขอบข่ายของโครงงาน
2. ประชุมปรึกษาหารือเพือ่ สรุปเรื่องที่ไดศ้ ึกษา ซ่ึงทางกลุ่มไดล้ งความเห็นวา่

คณิตศาสตร์สามารถออกแบบงานศลิ ปะทม่ี ีคุณคา่ ได้ ซ่ึง ศลิ ปะ ModuLar เป็นศลิ ปะทีน่ ่าสนใจใน
การศกึ ษาเพราะมรี ูปแบบทเี่ ก่ียวขอ้ งกบั วิชาคณิตศาสตร์

3. วิเคราะห์ วางแผน หาแนวทางในการดาเนินงาน
4. กาหนดรูปแบบของการออกแบบลวดลายโดยใหส้ มาชิกศึกษาคน้ ควา้ จากตารา และ
สืบคน้ ทางอนิ เตอร์เนต็ และใชโ้ ปรแกรม GSP ช่วยในการออกแบบลวดลายที่เป็นของตนเอง
5. ศึกษารูปแบบวธิ ีการทจ่ี ะนา ศิลปะModular มาประยกุ ตใ์ ชใ้ นชีวิตประจาวนั โดย
สามารถนามาเพน้ ท์ สกรีนลงบนผา้ เส้ือ หรือแกว้ ได้
6. สรุปผล
4. สรุปผลการดาเนินงาน
5. ประชุมอภปิ รายปัญหาต่าง ๆ ร่วมกบั ครูทป่ี รึกษาเพ่อื รับฟังความคิดเห็นและนาไป
ปรบั ปรุงแกไ้ ข
6. จดั ทารายงานโครงงานคณิตศาสตร์ฉบบั สมบูรณ์
7. นาเสนอโครงงานคณิตศาสตร์ให้นกั เรียนและผสู้ นใจ

12

ลาดบั ข้นั ตอนในการทาผลงานผลงานภาพศิลปะ Modular 5
ตวั อย่างที่ 1 ตารางการคานวณการบวก ใน Mod 6 x 6 5
0
+01234 1
001234 2
112345 3
223450 4
334501
445012
550123
กาหนดรูปแบบเป็ นสี

0 1 23 4 5

ผลงานท่ไี ด้

ตวั อย่างที่ 2 ตารางการคานวณการลบ ใน Mod 6 x 6 13
-01234
001234 5
150123 5
245012 4
334501 3
423450 2
512345 1
0
กาหนดรูปแบบเป็ นสี

0 1 23 4 5

ผลงานที่ได้

ตวั อย่างท่ี 2 ตารางการคานวณการคณู ใน Mod 6 x 6 14
x01234
000000 5
101234 0
202402 5
303030 4
404204 3
505432 2
1
กาหนดรูปแบบเป็ นสี

0 12 3 4 5

ผลงานท่ไี ด้

15
บทที่ 4
ผลการดาเนนิ งาน
จากการดาเนินงานงานสร้างสรรคท์ าชิ้นงานให้เป็นศิลปะ Modular เม่ือนาลวดลายท่ที า
ตามตารางการคานวณไดม้ าแปลงทางเรขาคณิตโดยการเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ จะ
ไดล้ วดลายที่มคี วามหลากหลายและและสามารถนาลวดลายไปเพน้ ท์ สกรีนลงบนผลติ ภณั ฑใ์ หมๆ่
ในชีวิตประจาวนั ได้ ดงั น้ี
ตวั อย่าง ลวดลายท่ไี ด้จากคานวณการบวก ใน Mod 6 x 6

ตวั อย่าง ลวดลายทไี่ ด้จากการคานวณการลบ ใน Mod 6 x 6

16

ตวั อย่างลวดลายที่ได้จากการคานวณการคณู ใน Mod 6 x 6

ตวั อย่างลวดลายท่ีได้จากการคานวณการคูณ ใน Mod 6 x 6

17

ตวั อย่าง ลวดลายทไ่ี ด้จากการคานวณการลบ ใน Mod 9 x 9

ตัวอย่าง ลวดลายท่ีได้จากการคานวณการลบ ใน Mod 9 x 9

18
ตวั อย่างลวดลายที่ได้จากการนารูปต้นแบบมาแปลงทางเรขาคณิต เป็ นลวดลายท่มี ีขนาดใหญ่ขนึ้

19

บทท่ี 5
สรุปผล และข้อเสนอแนะ

สรุปผล
โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง Modular Art เป็นการนาความรู้เก่ียวกบั ศิลปะ Modular

บูรณาการเขา้ กบั ความรู้ทางคณิตศาสตร์ เพือ่ ใหเ้ กิดลวดลายทส่ี วยงาม ทางคณะทางาน ได้
ประยกุ ตก์ ารนาศิลปะทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกบั รูปเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิตและใช้
โปรแกรม GSP มาช่วย ในการออกแบบลวดลาย แลว้ นามาตกแต่งลงบนกระดาษ ผา้ กระจก
สามารถออกแบบให้เป็นผลติ ภณั ฑข์ องใช้ในชีวิตประจาวนั ได้ ตลอดระยะเวลาในการทางาน
คณะทางานไดร้ ับกาลงั ใจและคาแนะนาอยา่ งดียง่ิ จากคณะครู เกี่ยวกบั เทคนิคการออกแบบลวดลาย
ทางคณิตศาสตร์แบบตา่ งๆ จนคณะทางานเขา้ ใจและสามารถสร้างสรรคช์ ิ้นงานทสี่ ื่อสารในเชิง
คณิตศาสตร์ไดม้ ากข้นึ อกี ท้งั สามารถอธิบายใหเ้ พือ่ นนกั เรียนในหอ้ งเรียน ชุมนุม และผสู้ นใจได้
เขา้ ใจในงานศลิ ปะท่เี กิดจากคณิตศาสตร์ได้ ส่งผลให้การดาเนินงานบรรลุวตั ถปุ ระสงค์ ดงั น้ี

1. ไดร้ ูปแบบทางคณิตศาสตร์ท่ที าให้เกิดศิลปะ Modular
2. สามารถนาความรู้ทางคณิตศาสตร์มา ออกแบบศิลปะ Modular ท่ที าเกิดลวดลายที่

สร้างสรรคท์ าใหเ้ กิดผลงานและผลติ ภณั ฑใ์ หม่ๆในชีวิตประจาวนั
3. นกั เรียนมเี จตคติที่ดีต่อวชิ าคณิตศาสตร์และรู้จกั การใชเ้ วลาว่างใหเ้ กิดประโยชน์

ข้อเสนอแนะ
1. ควรทาชิ้นงานทอ่ี อกแบบจากรูปเรขาคณิตในแบบอน่ื ๆ เช่น รูปสามเหลีย่ ม รูปหา้
เหลีย่ ม รูปวงกลม เป็นตน้
2. ควรนาลวดลายท่ีออกแบบไปสร้างสรรคช์ ิ้นงานอื่นๆ เช่น ภาชนะ กระเบ้ือง เสื่อ
ลายผา้ เป็นตน้

20

บบรรณานุกรม

ภาควชิ าคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั พระนคร. คณิตศาสตร์กับศิลป์ . เอกสารประกอบ
การเรียนวิชาคณิตศาสตร์

ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2544). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้
พน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 2
ตามหลกั สูตรการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. พมิ พค์ ร้ังที่ 1.
กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พค์ ุรุสภา ลาดพร้าว.

สถาบนั พฒั นาคณุ ภาพวิชาการ (พว.) โครงงานคณิตศาสตร์ สานกั พมิ พ์ บริษทั เดอะมาสเตอร์
กรุ๊ป แมนเนจเมน้ ท์ จากดั . ม.ป.ท.

http://community.thaiware.com/lofiversion/index.php/t235217.html เรขาคณิต

http://www.chongtangmagz.com/main/content.php?page=sub&category=10&id=89

http://www.env.msu.ac.th/new/ENVedu/files/PET.doc

http://www.kroobannok.com/board_view.php?b_id=16435&bcat_id=16

http://electronics.se-ed.com/contents/001h060/001h060_p02.asp

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A8%E0%B8%B4%E0%B8%A5%E0%B8%9B%E0%B8
%B0

ภาพกิจกรรม

สืบค้นข้อมูลทางอนิ เตอร์เน็ต ปรึกษาครูทป่ี รึกษา สร้างชิ้นงานสร้างสรรค์จากศิลปะ Modular

นาลวดลายทอ่ี อกแบบมาเพ้นท์ลงบนกระจก และผ้า

นาลวดลายทอ่ี อกแบบ เพ้นท์ลงผ้าเพอ่ื นาไปทาเป็ นของใช้ในชีวติ ประจาวนั
ศึกษาและทาการสกรีนลวดลายที่ออกแบบลงบนเสื้อ

สมาชิกโครงงานและครูทปี่ รึกษา กับผลงานสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์

ลวดลายทอ่ี อกแบบ

รูปที่ได้จากการสะท้อน

รูปที่ได้จากการสะท้อน

รูปที่ได้จากการสะท้อน

รูปทไี่ ด้จากการสะท้อน
รูปที่ได้จากการสะท้อน

รูปที่ได้จากการสะท้อน

รูปที่ได้จากการสะท้อน