แบบฝึกทักษะ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ชุดที่ 4 วิธีจัดหมู่ โดย นางสาวประไพศรี พุฒพวง ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะครู ชำนาญการพิเศษ โรงเรียนประสานมิตรวิทยา อำเภอกันทรารมย์ จังหวัดศรีสะเกษ สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาศรีสะเกษ ยโสธร สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน
คำนำ คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อความสำเร็จในการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เนื่องจากคณิตศาสตร์ ช่วยให้มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือ สถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และ สามารถนำไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้าน วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดี ขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข ดังนั้น ผู้เขียนจึงได้สร้างแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2 เรื่องหลักการ นับเบื้องต้น เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาเนื้อหาความรู้คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง ฝึกการค้นคว้าด้วยตนเอง ฝึกการคิด วิเคราะห์ สังเคราะห์และแก้ปัญหาด้วยตนเอง นักเรียนได้ร่วมกิจกรรมปฏิบัติจริง มีความสุข และสนุกสนาน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น มีด้วยกัน 4 ชุด ดังนี้ ชุดที่ 1 หลักการบวกและการคูณ ชุดที่ 2 แฟกทอเรียล ชุดที่ 3 วิธีเรียงสับเปลี่ยน ชุดที่ 4 วิธีจัดหมู่ ผู้เขียนหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คงจะทำให้นักเรียนได้ฝึกทักษะจนเกิดความรู้ ความเข้าใจ ซึ่งจะส่งผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนรู้สูงขึ้นและสามารถ นำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้ นางสาวประไพศรี พุฒพวง ผู้จัดทำ
สารบัญ หน้า คำชี้แจง 1 ตัวชี้วัดการเรียนรู้ 2 แบบทดสอบก่อนเรียน 3 ใบความรู้เรื่องวิธีจัดหมู่ 5 แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่องวิธีจัดหมู่ 13 แบบทดสอบหลังเรียน 18
คำชี้แจง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2 เป็นแบบฝึกทักษะที่ดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนอย่างเป็นขั้นตอนและ ตรงตามตัวชี้วัดการเรียนรู้ ที่เน้นการลงมือปฏิบัติ เน้นการคิดอย่างเป็นระบบ ประกอบด้วยแบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน โดยมีขั้นตอนการปฏิบัติดังนี้ 1. จงอ่านคำชี้แจงในแต่ละส่วนให้เข้าใจ 2. ทำแบบทดสอบก่อนเรียนเพื่อวัดความรู้พื้นฐานของนักเรียน 3. จงศึกษาใบความรู้ และทำแบบฝึกทักษะตามที่กำหนดตามลำดับ 4. หากนักเรียนมีข้อสงสัย หรือมีปัญหาในการทำกิจกรรมใด ให้ซักถามครูผู้สอนทันที 5. เมื่อจบบทเรียนแล้วจงทำแบบทดสอบหลังเรียน เพื่อวัดความก้าวหน้าของนักเรียน
มาตรฐาน/ตัวชี้วัด สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด 1. เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ ในการแก้ปัญหา
ใบความรู้ เรื่องวิธีจัดหมู่ วิธีจัดหมู่ (Combination) คือ การนำสิ่งของออกมาจำนวนหนึ่ง จากสิ่งของที่มีอยู่ โดยไม่ถือตำแหน่งของ สิ่งของเป็นสำคัญ (การเลือก) ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการจัดหมู่ ครั้งละ r สิ่ง ( 0 ≤r≤n) จำนวนวิธีจัดหมู่ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ nCr หรือ r nC หรือ Cn,r หรือ r n ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการจัดหมู่ ครั้งละ r สิ่ง ( 0 ≤r≤n) จำนวนวิธีจัดหมู่ เท่ากับ !( )! ! r n r n r n nCr − = = และ nCr = nCn−r นั่นคือ n r nPr C , r!= ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้ 1. 10,3 = 10! (10−3)!3! = 10! 7!3! = 120 2. 9,4 = 9! (9−4)!4! = 9! 5!4! = 126 3. 8,2 = 8! (8−2)!2! = 8! 6!2! = 28 4. 5,3 ∗ 4,2 = 5! (5−3)!3! ∗ 4! (4−2)!2! = 5! 2!3! ∗ 4! 2!2! = 10 ∗ 6 = 60 ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้ 1. จงหาค่าของ n จากสมการ ,2 = 45 วิธีทำ ,2 = 45 ! (−2)!2! = 45 ! (−2)! = 45 ∗ 2! ! (−2)! = 90 ( − 1) = 90 ( − 1) = 10 ∗ 9 ดังนั้น = 10
2. จงหาค่าของ n จากสมการ Cn,12 = Cn,8 วิธีทำ ,12 = ,8 ! (−12)!12! = ! (−8)!8! !(−8)! !(−12)! = 12! 8! (−8)! (−12)! = 12! 8! (−8)(−9)(−10)(−11)(−12)! (−12)! = 12∗11∗10∗9∗8! 8! ( − 8)( − 9)( − 10)( − 11) = 12 ∗ 11 ∗ 10 ∗ 9 นั่นคือ − 8 = 12 ดังนั้น = 20 3. จงหาค่าของ n จากสมการ Pn,4 30 Cn,5 = • วิธีทำ Pn,4 30 Cn,5 = • ! (−4)! = 30 ∙ ! (−5)!5! !5! !∙30 = (−4)! (−5)! 120 30 = (−4)(−5)! (−5)! 4 = − 4 4 + 4 = 8 = ดังนั้น = 8 4. ถ้า Pn,r = 60,480 และ Cn,r = 84 แล้ว จงหา C10,r +2 วิธีทำ จาก , × ! = , 84 × ! = 60,480 ! = 60,480 84 ! = 720 6! = 720 นั่นคือ = 6 ดังนั้น 10,6+2 = 10,8 = 10! (10−8)!8! = 10! 2!8! = 10×9 2 = 45
ตัวอย่างที่ 3. คนกลุ่มหนึ่งมี 9 คน เป็นผู้ชาย 4 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนของคนกลุ่มนี้มา 4 คน จงหา จำนวนวิธีการเลือกตัวแทนทั้งหมด เมื่อ 1. ได้จำนวนผู้ชายเท่ากับจำนวนผู้หญิง 2. ได้ทั้งผู้ชายและผู้หญิง วิธีทำ 1. จำนวนวิธีการเลือกผู้หญิง 2 คน จาก 5 คน = C5,2 = 10 วิธี ในแต่ละวิธี เลือกผู้ชาย 2 คน จาก 4 คน ซึ่งเลือกได้ = C4,2 = 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการเลือกตัวแทน 4 คน = 10×6 = 60 วิธี 2. จำนวนวิธีการเลือกผู้แทนโดยได้ทั้งผู้ชายและผู้หญิง = จำนวนวิธีเลือกอย่างไม่มีเงื่อนไข - จำนวนวิธีเลือกได้เพศเดียว = C9,4 − ( จำนวนวิธีเลือกได้ผู้ชายล้วน)-( จำนวนวิธีเลือกได้ผู้หญิงล้วน) = 126 - 1 -5 = 120 วิธี ตัวอย่างที่ 4. มีหนังสือที่แตกต่างกันจำนวน 10 เล่ม ในจำนวนนี้เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่ม เป็นหนังสือ เคมี 3 เล่ม และเป็นหนังสือฟิสิกส์ 5 เล่ม นักเรียนคนหนึ่งต้องการนำหนังสือไปอ่านจำนวน 4 เล่ม จงหา จำนวนวิธีเลือกหนังสือ เมื่อ 1. ได้หนังสือฟิสิกส์ 2 เล่ม 2. ได้หนังสือฟิสิกส์อย่างน้อย 1 เล่ม 3. ได้หนังสือ 2 วิชา ๆ ละ เท่า ๆ กัน วิธีทำ 1. จำนวนวิธีการเลือกหนังสือฟิสิกส์ 2 เล่ม = C5,2 = 10 วิธี ในแต่ละวิธี เลือกหนังสือวิชาอื่นอีก 2 เล่ม ได้ = C5,2 = 10 วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีเลือกหนังสือ =1010 =100 วิธี 2. จำนวนวิธีเลือกหนังสือเพื่อให้ได้หนังสือฟิสิกส์อย่างน้อย 1 เล่ม = จำนวนวิธีเลือกอย่างไม่มีเงื่อนไข - จำนวนวิธีเลือกโดยไม่ได้หนังสือฟิสิกส์ = C10,4 − C5,4 = 210 - 5 = 205 วิธี
3. ต้องการ 2 วิชา จาก 3 วิชา ดังนั้น ต้องแยกออกเป็น 3 กรณี คือ กรณีที่ 1 ได้หนังสือคณิตศาสตร์ และเคมี วิชาละ 2 เล่ม จำนวนวิธีเลือกหนังสือ = C2,2 C3,2 =13 = 3 วิธี กรณีที่ 2 ได้หนังสือคณิตศาสตร์ และฟิสิกส์ วิชาละ 2 เล่ม จำนวนวิธีเลือกหนังสือ = C2,2 C5,2 =110 =10 วิธี กรณีที่ 3 ได้หนังสือฟิสิกส์ และเคมี วิชาละ 2 เล่ม จำนวนวิธีเลือกหนังสือ = C5,2 C3,2 = 310 = 30 วิธี รวมทั้ง 3 กรณี จะได้จำนวนวิธีเลือกหนังสือทั้งหมด เท่ากับ 3+10+30= 43
แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่องวิธีจัดหมู่ 1.จงหาค่าของ 1. 5,3 = .................................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 2. 8,2 = .................................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 3. 10,7 =.................................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 4. 12,2 =.................................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 5. 15,4 =.................................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 6. ,3 =.................................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 7. −2,−4 =........................................................ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 8. ,3 = 10 จงหาค่าของ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 9. ,13 =. ,15 .จงหาค่าของ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 10. ,5 =. ,7 .จงหาค่าของ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................
11. ,−4 =. 210 .จงหาค่าของ ,4 ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 12. ถ้า ,3 = 10. แล้วจงหาค่าของ ,3 ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 13.ถ้า ,2 = 45. แล้วจงหาค่าของ ,4 ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... 12. ถ้า , = 120. และ , = 720 แล้วจงหา ค่าของ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ...................................................................................... 2. มีหนังสือที่แตกต่าง ๆ กันอยู่ 10 เล่ม นายก ก ต้องการยืมหนังสือไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก จะสามารถเลือกยืมได้ ทั้งหมดกี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 3. จะเลือกนักเรียน 4 คน จากนักเรียน 17 คน ไปตอบปัญหาคณิตศาสตร์ได้กี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................
4. มีคนกลุ่มหนึ่งจำนวน 9 คน ต้องการเลือกตัวแทนจากคนกลุ่มนี้มา 4 คน จะมีวิธีการเลือกตัวแทนทั้งหมดกี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 5. ในการพิมพ์ปกหนังสือมีสีให้เลือกทั้งหมด 8 สี ถ้าให้เลือกสีทั้งหมดเพียง 3 สี จะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 6. นักเรียนห้องหนึ่งเป็นชาย 5 คน หญิง 4 คน ถ้าจะเลือกผู้แทน 3 คน ให้เป็นชาย 2 คน หญิง 1 คน จะมีวิธีการ เลือกได้กี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 7. คนกลุ่มหนึ่งมี 9 คน เป็นผู้ชาย 4 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนของคนกลุ่มนี้มา 4 คน จงหาจำนวนวิธีการเลือก ตัวแทนทั้งหมด เมื่อ 1. ได้จำนวนผู้ชายเท่ากับจำนวนผู้หญิง 2. ได้ทั้งผู้ชายและผู้หญิง ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 8. มีหนังสือที่แตกต่างกันจำนวน 10 เล่ม ในจำนวนนี้เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 2 เล่ม เป็นหนังสือเคมี 3 เล่ม และ เป็นหนังสือฟิสิกส์ 5 เล่ม นักเรียนคนหนึ่งต้องการนำหนังสือไปอ่านจำนวน 4 เล่ม จงหาจำนวนวิธีเลือกหนังสือ เมื่อ 1. ได้หนังสือฟิสิกส์ 2 เล่ม 2. ได้หนังสือฟิสิกส์อย่างน้อย 1 เล่ม 3. ได้หนังสือ 2 วิชา ๆ ละ เท่า ๆ กัน ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................
9. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลที่แตกต่างกัน 11 ลูก เป็นลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 3 ลูก และสีน้ำเงิน 3 ลูก ถ้าต้องการ หยิบลูกบอลพร้อมกัน 3 ลูก จากกล่องใบนี้ จงหาจำนวนวิธีการหยิบโดยที่ 1. ได้ลูกบอลครบทุกสี 2. ได้ลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก 3. ได้ลูกบอลสีน้ำเงินอย่างน้อย 1 ลูกและไม่มีสีขาว ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 10. มีสติกเกอร์รูปแมว 5 แบบ รูปสุนัข 6 แบบ (ขนาดเท่ากัน) จำนวนวิธีที่จะเลือกสติกเกอร์รูปแมว 2 แบบ และ รูปสุนัข 3 แบบ จะมีวิธีการเลือกได้กี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 11. ในการสอบแข่งขันครูออกข้อสอบทั้งหมด 13 ข้อ ถ้านักเรียนเลือกทำให้ครบ 10 ข้อ โดยที่ 5 ข้อแรก มีข้อบังคับว่าต้องเลือกทำ 3 ข้อ จำนวนวิธีที่นักเรียนนจะเลือกทำข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 12. ในกล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 9 ลูก เป็นสีแดง 4 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก และสีขาว 2 ลูก สุ่มหยิบมา 3 ลูก จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบลูกแก้วทั้ง 3 ลูกให้ได้สีต่างกันทั้งหมด ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................
13. กำหนดจุด 10 จุด บนเส้นรอบวงกลมวงหนึ่ง ถ้าต้องการลากส่วนนของเส้นตรงที่มี 2 จุดจากจุด 10 จุดนี้ จะมีส่วนของเส้นตรงกี่เส้น ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 14. จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ได้จากการลากเส้นเชื่อมจุดยอด 6 จุดของรูป 6 เหลี่ยม ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 15. จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป 8 เหลี่ยมด้านเท่า ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 16. กำหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงกลมวงหนนึ่ง จงหาจำนวนวิธีการสร้างรูปเหลี่ยมบรรจุในวงกลมโดยใช้จุด เหล่านี้เป็นจุดยอดมุม ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 17. เส้นขนาน 5 เส้น ลากในแนวนอน ตัดกับเส้นนขนาน 3 เส้น ลากในแนวตั้ง จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทั้งหมดกี่รูป ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 18. ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผู้เข้าร่วมประชุมทั้งหมด 10 คน ถ้าทุกคนทักทายและจับมือกันจะมีวิธีการจับมือกัน ทั้งหมดกี่ครั้ง ..................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................... 19. ในการแข่งขันฟุตบอลครั้งหนึ่ง มีทีมฟุตบอลสมัครเข้าร่วมแข่งขัน 8 ทีม ซึ่งทุกทีมต้องพบกันหมด คณะกรรมการจัดการแข่งขันจะจัดการแข่งขันได้ทั้งหมดกี่ครั้ง ..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................