วิธีเรียงสับเปลี่ยน(รูปเล่ม)

แบบฝึกทักษะ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ชุดที่ 3 วิธีเรียงสับเปลี่ยน โดย นางสาวประไพศรี พุฒพวง ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะครู ชำนาญการพิเศษ โรงเรียนประสานมิตรวิทยา อำเภอกันทรารมย์ จังหวัดศรีสะเกษ สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาศรีสะเกษ ยโสธร สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน

คำนำ คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อความสำเร็จในการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เนื่องจากคณิตศาสตร์ ช่วยให้มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือ สถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และ สามารถนำไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้าน วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดี ขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข ดังนั้น ผู้เขียนจึงได้สร้างแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2 เรื่องหลักการ นับเบื้องต้น เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาเนื้อหาความรู้คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง ฝึกการค้นคว้าด้วยตนเอง ฝึกการคิด วิเคราะห์ สังเคราะห์และแก้ปัญหาด้วยตนเอง นักเรียนได้ร่วมกิจกรรมปฏิบัติจริง มีความสุข และสนุกสนาน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น มีด้วยกัน 4 ชุด ดังนี้ ชุดที่ 1 หลักการบวกและการคูณ ชุดที่ 2 แฟกทอเรียล ชุดที่ 3 วิธีเรียงสับเปลี่ยน ชุดที่ 4 วิธีจัดหมู่ ผู้เขียนหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คงจะทำให้นักเรียนได้ฝึกทักษะจนเกิดความรู้ ความเข้าใจ ซึ่งจะส่งผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนรู้สูงขึ้นและสามารถ นำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้ นางสาวประไพศรี พุฒพวง ผู้จัดทำ

สารบัญ หน้า คำชี้แจง ตัวชี้วัดการเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยน แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่อง แบบฝึกทักษะที่ 2 เรื่อง ใบความรู้เรื่องหลักการบวกและการคูณ แบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่อง แบบทดสอบหลังเรียน

คำชี้แจง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2 เป็นแบบฝึกทักษะที่ดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนอย่างเป็นขั้นตอนและ ตรงตามตัวชี้วัดการเรียนรู้ ที่เน้นการลงมือปฏิบัติ เน้นการคิดอย่างเป็นระบบ ประกอบด้วยแบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน โดยมีขั้นตอนการปฏิบัติดังนี้ 1. จงอ่านคำชี้แจงในแต่ละส่วนให้เข้าใจ 2. ทำแบบทดสอบก่อนเรียนเพื่อวัดความรู้พื้นฐานของนักเรียน 3. จงศึกษาใบความรู้ และทำแบบฝึกทักษะตามที่กำหนดตามลำดับ 4. หากนักเรียนมีข้อสงสัย หรือมีปัญหาในการทำกิจกรรมใด ให้ซักถามครูผู้สอนทันที 5. เมื่อจบบทเรียนแล้วจงทำแบบทดสอบหลังเรียน เพื่อวัดความก้าวหน้าของนักเรียน

มาตรฐาน/ตัวชี้วัด สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด 1. เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ ในการแก้ปัญหา

ใบความรู้ เรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีการเรียงสับเปลี่ยน เป็นการนำสิ่งของจำนวนหนึ่งมาจัดเรียง โดยที่การจัดเรียงดังกล่าวให้คำนึงถึง ตำแหน่งของสิ่งของแต่ละสิ่งเป็นสำคัญ วิธีเรียงสับเปลี่ยนมี 2 ลักษณะคือ 1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้น 2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม 1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้น แยกพิจารณาดังนี้ 1.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันหมด เมื่อมีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการนำสิ่งของทั้งหมด มาจัดเรียงแบบเชิงเส้น จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยน ดังนี้ เลือกสิ่งของไปใส่ในตำแหน่งที่หนึ่งได้ n วิธี ในแต่ละวิธี เลือกสิ่งของไปใส่ในตำแหน่งที่สองได้ n-1 วิธี ในแต่ละวิธี เลือกสิ่งของไปใส่ในตำแหน่งที่สองได้ n-2 วิธี . . . . . . ในแต่ละวิธี เลือกสิ่งของไปใส่ในตำแหน่งที่ n ได้ 1 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน = n(n −1)(n − 2)...1 วิธี = n! วิธี สูตร 1 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด n สิ่ง เท่ากับ n ! วิธี ตัวอย่างที่ 1 มีคน 4 คน มาจัดเรียงแถว จะมีวิธีการจัดให้ยืนทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ .....4.... .....3.... .....2.... ......1..... ตำแหน่งที่ 1 ตำแหน่งที่ 2 ตำแหน่งที่ 3 ตำแหน่งที่ 4 จำนวนวิธีจัดให้ยืนทั้งหมด = 4! วิธี = 24 วิธี

ตัวอย่างที่ 2 ถ้าต้องการจัดหนังสือที่แตกต่างกัน 7 เล่ม บนชั้นหนังสือจะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ ......7..... ......6..... ......5...... ....4....... .....3...... ......2...... ....1....... ตำแหน่งที่ 1. ตำแหน่งที่ 2. ตำแหน่งที่ 3. ตำแหน่งที่ 4. ตำแหน่งที่ 5. ตำแหน่งที่ 6. ตำแหน่งที่ 7 จำนวนวิธีจัดหนังสือ = 7! วิธี = 5,040 วิธี ตัวอย่างที่ 3 ชาย 3 คน และหญิง 2 คน มานั่งบนม้านั่ง 5 ตัวเรียงแถวยาว จะมีวิธีนั่งทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1. เพศเดียวกัน นั่งติดกัน 2. หญิง 2 คน นั่งติดกัน 3. ชาย 3 คน นั่งติดกัน 4. ชายและหญิงนั่งสลับกันทีละคน วิธีทำ 1. เพศเดียวกัน นั่งติดกัน ผู้ชาย 3 คน คิดเป็น 1 คน และหญิง 2 คน คิดเป็น 1 คน จะได้คน 2 คน คน 2 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 2!= 2 วิธี ในแต่ละวิธี ชาย 3 คนมีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 3!= 6 วิธี ในแต่ละวิธี หญิง 2 คนมีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 2!= 2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง = 2*6*2 = 24 วิธี 2. หญิง 2 คน นั่งติดกัน ช1 ช2 ช3 ผู้หญิง 2 คน คิดเป็น 1 คน ดังนั้นคน 5 คน คิดเป็น 4 คน คน 4 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 4!= 24 วิธี ในแต่ละวิธี หญิง 2 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 2!= 2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง = 24*2= 48 วิธี ช1ช2ช3 ญ1ญ2 ญ1ญ2

3. ชาย 3 คน นั่งติดกัน ญ1 ญ2 ผู้ชาย 3 คน คิดเป็น 1 คน ดังนั้น คน 5 คน คิดเป็น 3 คน คน 3 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 3!= 6 วิธี ในแต่ละวิธี ชาย 3 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 3!= 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง = 6*6= 36 วิธี 4. ชายและหญิงนั่งสลับกันทีละคน ชาย 3 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 3!= 6 วิธี ในแต่ละวิธี หญิง 2 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = 2!= 2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง = 6*6 = 36 วิธี การจัดสิ่งของที่แตกต่างกัน m ชุด แต่ละชุดมีสิ่งของ n สิ่ง ต้องการจัดสิ่งของทั้งหมดเป็นแถว โดยสลับที่กันทีละ k สิ่ง (k หารn ลงตัว) จำนวนวิธีการจัด ( ) m = m!n!n!... n!= m! n! วิธี m ครั้ง ตัวอย่างที่ 1 มีผู้ชาย 6 คน และผู้หญิง 6 คน ต้องการนำคนทั้งหมดไปนั่งเรียงแถวยาว จะมีวิธีการนั่งกี่วิธี. เมื่อต้องการให้ชายและหญิงนั่งสลับกันทีละ 1 คน วิธีทำ จะพบว่า มีสิ่งของที่แตกต่างกัน 2 ชุด แต่ละชุดมี 6 คน เพราะว่าจำนวนผู้ชายเท่ากับจำนวนผู้หญิง ดังนั้นการจัดที่นั่งสามารถจัดได้ 2! วิธี ในแต่ละกรณีผู้ชายสลับที่กันเองได้ 6! วิธี และในแต่ละวิธีผู้หญิงสลับกันเองได้ 6! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง = 2!6!6! วิธี ช1ช2ช3

ตัวอย่างที่ 2 มีลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีขาว 4 ลูกและสีม่วง 4 ลูก ลูกบอลแต่ละลูกไม่เหมือนกัน ถ้าต้องการจัดลูกบอลเรียงเป็นแถวยาว จะจัดได้กี่วิธี เมื่อลูกบอลสลับสีกันทีละ 1 ลูก วิธีทำ จะพบว่ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน 3 ชุด แต่ละชุดมี 4 สิ่ง การสลับทีละลูก จะจัดได้หลายแบบ กล่าวคือ ตำแหน่งที่หนึ่ง ตำแหน่งที่สอง และตำแหน่งที่สาม จะเป็นสีอะไร ดังนั้น จำนวนแบบของการจัด 3! แบบ ในแต่ละแบบ มีจำนวนวิธีการจัด ดังนี้ ลูกบอลสีแดง 4 ลูก สลับกันเองได้ 4! วิธี ในแต่ละวิธี ลูกบอลสีขาว สลับกันเองได้ 4! วิธี ในแต่ละวิธี ลูกบอลสีม่วง สลับกันเองได้ 4! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการจัดลูกบอล = 3!4!4!4! วิธี ตัวอย่างที่ 3 มีหนังสือคณิตศาสตร์ 6 เล่ม หนังสือฟิสิกส์ 6 เล่ม หนังสือเคมี 6 เล่ม และหนังสือชีววิทยา 6 เล่ม หนังสือทุกเล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการจัดหนังสือแถวบนชั้นหนังสือ จะได้กี่วิธี 1. จำนวนวิธีจัดโดยให้สลับวิชากันทีละ 1 เล่ม = 4!6!6!6!6! วิธี 2. จำนวนวิธีจัดโดยให้สลับวิชากันทีละ 2 เล่ม. = 4!6!6!6!6! วิธี 3. จำนวนวิธีจัดโดยให้สลับวิชากันทีละ 3 เล่ม = 4!6!6!6!6! วิธี ตัวอย่างที่ 4 เด็กนักเรียนคนหนึ่งมีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม หนังสือฟิสิกส์ 2 เล่ม และหนังสือเคมี 4 เล่ม ถ้าหนังสือทุกเล่มมีความแตกต่างกัน และต้องการจัดหนังสือทั้งหมดเรียงแถวบนชั้นหนังสือ จะจัดได้กี่วิธี เมื่อ 1. หนังสือที่เป็นวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน 2. หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ติดกัน แต่หนังสือเคมีอยู่ติดกันทีเดียว 4 เล่ม ไม่ได้ 3. หนังสือทีอยู่ริมทั้งสองด้านต้องเป็นหนังสือวิชาเดียวกัน วิธีทำ หนังสือทั้งหมด มีดังนี้ 1 2 3 1 2 1 2 3 4 M ,M ,M ,P,P ,C ,C ,C ,C 1. หนังสือที่เป็นวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน ถ้าต้องการให้หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน เราจะต้องจัดหนังสือเป็น 3 กลุ่ม ดังนี้ M1M2M3 P1P2 C1C2C3C4 หนังสือ 3 กลุ่ม สลับที่กันระหว่างกลุ่มได้ 3! วิธี ในแต่ละวิธี กลุ่มคณิตศาสตร์ 3 เล่ม สลับที่กันได้ 3! วิธี ในแต่ละวิธี กลุ่มฟิสิกส์ 2 เล่ม สลับที่กันเองได้ 2! วิธี ในแต่ละวิธี กลุ่มเคมี 4 เล่ม สลับที่กันเองได้ 4! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดหนังสือ = 3!3!2!4! วิธี

2. หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ติดกัน แต่หนังสือเคมีอยู่ติดกันทีเดียว 4 เล่ม ไม่ได้ หนังสือคณิตศาสตร์ จะต้องถือว่าเป็น 1 เล่ม หนังสือเคมีอยู่ติดกันทีเดียว 4 เล่มไม่ได้ หมายความว่า อาจจะติดกันได้บางเล่ม แต่ห้ามติดกันทั้งหมดทั้ง 4 เล่ม ดังนั้น จำนวนวิธีการจัดหนังสือที่ต้องการ = จำนวนวิธีจัดหนังสือโดยให้คณิตศาสตร์ติดกันทั้ง 3 เล่ม - จำนวนวิธีจัดโดยให้คณิตศาสตร์ติดกันทั้ง 4 เล่มและเคมีติดกัน 4 เล่ม หาจำนวนวิธีจัดโดยให้คณิตศาสตร์ติดกันทั้ง 3 เล่ม จะมีหนังสือ 7 เล่ม มีวิธีจัดได้ 7! วิธี ในแต่ละวิธี หนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม สลับที่กันเอง 3! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการจัดหนังสือ 7!3! วิธี หาจำนวนวิธีโดยให้คณิตศาสตร์ติดกันทั้ง 3 เล่ม และเคมีติดกันทั้ง 4 เล่ม จะมีหนังสือ 4 เล่ม มีวิธีจัดได้ 4! วิธี ในแต่ละวิธีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม สลับกันเองได้ 3! วิธี ในแต่ละวิธี หนังสือเคมี 4 เล่ม สลับที่กันเองได้ 4! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการจัดหนังสือ 4!3!4! วิธี จำนวนวิธีจัดหนังสือตามต้องการ =7!3! – 4!3!4! =. วิธี 3. หนังสือทีอยู่ริมทั้งสองด้านต้องเป็นหนังสือวิชาเดียวกัน หนังสือที่อยู่ริมทั้งสองด้านเป็นวิชาเดียวกัน เป็นไปได้ 3 กรณี คือ กรณีที่ 1 หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ริมทั้งสองด้าน M M ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 3 7! 2 เลือกหนังสือคณิตศาสตร์ 1 เล่ม อยู่ริมด้านหนึ่งได้ 3 วิธี เลือกหนังสือคณิตศาสตร์อีก 1 เล่ม อยู่ริมอีกด้านหนึ่งได้ 2. วิธี ในแต่ละวิธี หนังสือที่เหลือ 7 เล่ม สลับที่กันเองได้ 7! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดหนังสือ = 3*2*7! วิธี

กรณีที่ 2 หนังสือฟิสิกส์อยู่ริมทั้งสองด้าน P P ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 2. 7! 1 เลือกหนังสือฟิสิกส์ 1 เล่ม อยู่ริมด้านหนึ่งได้ 2 วิธี เลือกหนังสือฟิสิกส์อีก 1 เล่ม อยู่ริมอีกด้านหนึ่งได้ 1 วิธี ในแต่ละวิธี หนังสือที่เหลือ 7 เล่ม สลับที่กันเองได้ 7! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดหนังสือ = 2*1*7! วิธี กรณีที่ 3 หนังสือเคมีอยู่ริมทั้งสองด้าน C C ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 4. 7! 3 เลือกหนังสือเคมี 1 เล่ม อยู่ริมด้านหนึ่งได้ 4 วิธี เลือกหนังสือเคมีอีก 1 เล่ม อยู่ริมอีกด้านหนึ่งได้ 3 วิธี ในแต่ละวิธี หนังสือที่เหลือ 7 เล่ม สลับที่กันเองได้ 7! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีจัดหนังสือ = 4*3*7! วิธี รวมทั้งสามกรณี จำนวนวิธีจัดหนังสือ = .( 3*2*7!) + (2*1*7!) + (4*3*7!) วิธี = 20*7! วิธี

แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันหมด 1. มีนักเรียน 4 คน ยืนเรียงเพื่อถ่ายรูป ทั้งหมดกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 2. รถเก๋ง 5 คัน เข้าจอดในที่จอดรถซึ่งจอดได้ 5 คันพอดี จะมีวิธีการเข้าจอดทั้งหมดกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 3. มีสามีภรรยารวม 6 คู่ มาร่วมงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง ถ้าให้คนทั้ง 6 คู่ มานั่งบนม้านั่ง 12 ตัว ซึ่งวางเรียงเป็นแถว ๆ ละ 6 ตัว จะมีวิธีการนั่งกี่วิธี เมื่อ 1. ผู้หญิงนั่งแถวเดียวกัน 2. สามีภรรยาแต่ละคู่ต้องนั่งติดกันและแถวเดียวกัน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 4. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่มี 4 หลัก ทั้งหมดที่สร้างได้จากตัวเลข 1,2,3และ 4 โดยที่แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 5. ชาย 6 คน และหญิง 6 คน ในจำนวนนี้มีนายสมบัติและนางสาวสมศรี รวมอยู่ด้วย ถ้าให้ผู้ชายไปจับคู่กับ ผู้หญิง จะมีวิธีจับคู่กี่วิธี เมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. นายสมบัติจับคู่กับนางสาวสมศรี 3. นายสมบัติไม่จับคู่กับนางสาวสมศรี ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

6. ครูคนหนึ่งนำนักเรียนชาย 4 คนและนักเรียนหญิง 4 คน มาถ่ายรูปร่วมกับครู โดยยืนเป็นแถวยาว จะมีวิธีการยืนทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1. ครูยืนตรงกลาง 2. ครูยืนตรงการ และนักเรียนชายยืนติดกัน และนักเรียนหญิงยืนติดกัน 3. ครูยืนตรงกลางและอยู่ติดกับนักเรียนชายคนหนึ่งและนักเรียนหญิงคนหนึ่ง 4. ครูยืนริมและนักเรียนชาย – หญิง ยืนสลับทีละคน 5. ครูยืนริม และนักเรียนชายและหญิง ยืนสลับกันทีละสองคน 6. ครูยืนริม และนักเรียนชายยืนติดกันและนักเรียนหญิงยืนติดกัน 7. ครูยืนริมและนักเรียนหญิงยืนติดกัน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 7.ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า PREFACE จะสลับได้กี่วิธี เมื่อต้องการให้อักษรที่ซ้ำกันอยู่ติดกัน และ 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. อักษรที่ซ้ำกันอยู่ริม 3. อักษรที่ซ้ำกันต้องไม่อยู่ริม 4. ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ 5. ขึ้นต้นด้วยสระ 6. พยัญชนะอยู่ติดกัน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 8. มีหนังสือที่แตกต่างกัน 8 เล่ม ในจำนวนนี้เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือเป็นแถวยาว แถวเดียว จะจัดได้กี่วิธี คือ 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ติดกันทั้ง 3 เล่ม 3. หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ติดกันทั้ง 3 เล่มไม่ได้ ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

1.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการนำมาจัดเรียงจำนวน k สิ่ง (k ≤ n) ดังนี้ ตำแหน่งที่หนึ่ง เลือกสิ่งของไปวางได้ n วิธี ในแต่ละวิธี ตำแหน่งที่สองเลือกสิ่งของไปวางได้ n-1 วิธี ในแต่ละวิธี ตำแหน่งที่สามเลือกสิ่งของไปวางได้ n-2 วิธี . . . . . . ในแต่ละวิธี ตำแหน่งที่ k เลือกสิ่งของไปวางได้ n-(k-1) วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด เท่ากับ ( ) ( ) ( ) ( )! ! 1 2 ... 1 n k n n n n n k − • − • − • • − − = วิธี สูตรที่ 2 ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการนำมาจัดเรียงจำนวน k สิ่ง (k ≤ n) จะได้ จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน ( )! ! n k n − = เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ k nP หรือ nPk หรือ Pn,k นั่นคือ ( )! ! , n k n Pn k − = ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้ 1. ( ) 20 3! 5 4 3! 3! 5! 5 2 ! 5! 5,2 = • • = = − P = 2. ( ) 2,520 2! 7 6 5 4 3 2! 2! 7! 7 5 ! 7! 7,5 = • • • • • = = − P = 3. ( ) 90 8! 10 9 8! 8! 10! 10 2 ! 10! 10,2 = • • = = − P = 4. ( ) 3,991,680 5! 12 11 10 9 8 7 6 5! 5! 12! 12 7 ! 12! 1 2,7 = • • • • • • • = = − P = 5. ( ) 1,860,480 15! 20 19 18 17 16 15! 15! 20! 20 5 ! 20! 2 0,3 = • • • • • = = − P =

6. จงหาค่าของ n จากสมการ ,4 1,2 18 Pn = Pn− วิธีทำ ,4 1,2 18 Pn = Pn− ( 4)! ! n − n ( ) ( 3)! 1 ! 18 − − = n n !(−)! (−)!(−)! = (−)!(−)(−)! (−)!(−)! = ( − ) = − = − − = ( − )( + ) = − = หรือ + = = = − ดังนั้น = วิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่แตกต่างกันจำนวนหนึ่งและต้องการให้สิ่งของชุดหนึ่งในจำนวนนั้น อยู่แยกจากกันหมด มีหลักการดังนี้ ขั้นที่ 1 นำสิ่งของชุดที่ต้องการให้แยกจากกันออกมาจากสิ่งของทั้งหมดก่อน แล้วนำสิ่งของที่เหลือไป คำนวณหาวิธีเรียงสับเปลี่ยนเฉพาะที่เหลือก่อน สมมติให้ได้ m วิธี ขั้นที่ 2 นำสิ่งของที่เราต้องการให้อยู่แยกกันไปแทรกตามช่องว่างระหว่างสิ่งของที่วางเรียงไว้ก่อนแล้ว ขั้นที่ 1 โดยแทรกช่องละ 1 สิ่งเท่านั้น ถ้ามีสิ่งของที่วางเรียงไว้แล้วในขั้นที่ 1 จำนวน k สิ่ง จะมีช่องว่างให้แทรกได้ จำนวน k +1 ช่อง (รวมหัวและท้ายแถว) และถ้ามีสิ่งของที่ต้องนำไปแทรกจำนวน r สิ่ง ( r k +1 ) แล้ว จำนวนวิธีแทรก = Pk +1,r วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน = m Pk +1,r วิธี ตัวอย่างที่ 2 มีผู้ชาย 5 คน และผู้หญิง 4 คน มายืนเรียงแถวยาว จะมีวิธีการยืนทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ วิธีทำ 1. ไม่มีชายสองคนใดยืนติดกัน ให้ผู้หญิง 4 คน ไปยืนและสับเปลี่ยนกันก่อน ผู้หญิง 4 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน 4! วิธี ในแต่ละวิธี นำผู้ชาย 5 คน ไปแทรกตามช่องว่างซึ่งมี 5 ช่อง ดังนั้น ผู้ชาย 5 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน , = ! วิธี เพราะฉะนั้น จำนวนวิธีการยืน = 4!5! วิธี

2. ไม่มีหญิงสองคนใดยืนติดกัน ให้ผู้ชาย 5 คน ไปยืนและสับเปลี่ยนก่อน ผู้ชาย 5 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน 5! วิธี ในแต่ละวิธี นำผู้หญิง 4 คน ไปแทรกตามช่องว่าง ซึ่งมี 6 ช่อง ดังนั้น ผู้หญิง 4 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน , วิธี เพราะฉะนั้น จำนวนวิธีการยืน 5! , = วิธี

แบบฝึกทักษะเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการนำมาจัดเรียงจำนวน k สิ่ง 1. จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้ 1. P5,3 = 2. P15,5 = 3. P19,4 = 4. P13,13 = 2. จงหาค่าของ n เมื่อกำหนดให้ 1. , = ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ 2. , = ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ 3. , = ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ 4. , = ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ 3. มีรูปภาพที่แตกต่างกัน 12 รูป ต้องการแขวนรูปภาพเหล่านี้เรียงเป็นแถว จำนวน 6 รูป จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยน ของรูปภาพกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 4. มีผู้สมัครเป็นกรรมการนักเรียนอยู่ 5 คน จะมีวิธีเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการได้กี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 5. ถ้าต้องการสร้างคำ ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร 5 ตัว ไม่ซ้ำกัน โดยที่ตัวอักษรเลือกมาจากคำว่า PERMUTATION จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คำ โดยที่คำที่สร้างไม่จำเป็นต้องมีความหมาย และ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. อักษรตัวแรกเป็นพยัญชนะ 3. อักษรตัวกลางเป็นสระ 4. มีสระอย่างน้อย 1 ตัว ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

6. สามีภรรยาคู่หนึ่งมีบุตรชาย 2 คน และบุตรสาว 3 คน ถ้าให้คนทั้งหมดมายืนเรียงแถวยาว จะมีวิธีการยืนทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1. บุตรชายยืนติดกัน แต่บุตรสาวยืนแยกกันหมด 2. บุตรสาวยืนติดกัน แต่บุตรชายยืนแยกกันหมด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 7. มีห้องเรียน 5 ห้อง ในแต่ละห้องส่งตัวแทน 2 คน เป็นชาย 1 คน และหญิง 1 คน แล้วนำตัวแทนมาเลือก ประธาน 1 คน รองประธาน 1 คน เลขานุการ 1 คน เหรัญญิก 1 คน และประชาสัมพันธ์ 1 คน จะมี วิธีการเลือกให้ครบ 5 ตำแหน่งกี่วิธีเมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. ประธานและรองประธานเป็นคนละเพศ 3. ได้ผู้หญิงอย่างน้อย 1 คน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 8. คำที่เกิดจากการสับเปลี่ยนของตัวอักษรในคำว่า MEDIANS มีทั้งหมดกี่คำ เมื่อ 1. สระทุกตัวอยู่ติดกัน 2. สระทุกตัวอยู่แยกกันหมด 3. มีพยัญชนะอย่างน้อย 2 ตัวอยู่ติดกัน 4. ไม่มีสระตัวใดอยู่ติดกับ E ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 8. มีนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 6 คน ต้องการนำนักเรียนในกลุ่มนี้ไปนั่งบนม้านั่งยาวอย่างน้อย 1 คน จะมีวิธีการ นั่งที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

1.3 วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นของสิ่งของที่มีบางสิ่งซ้ำกัน(ถ้ามีสิ่งของทั้งหมด n สิ่ง และมีบางสิ่งซ้ำกัน) สมมติให้ มีการซ้ำกัน k กลุ่ม ดังนี้ กลุ่มที่ 1 มีสิ่งของซ้ำกัน 1 n สิ่ง กลุ่มที่ 2 มีสิ่งของซ้ำกัน 2 n สิ่ง . . . . . . กลุ่มที่ k มีสิ่งของซ้ำกัน k n สิ่ง สมมติให้ มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน = d วิธี ในแต่ละวิธี พบว่า ถ้าสิ่งของในกลุ่มที่ 1 แตกต่างกัน จะสลับที่กันเองได้ !1 n วิธี ถ้าสิ่งของในกลุ่มที่ 2 แตกต่างกัน จะสลับที่กันเองได้ !2 n วิธี . . . . . . ถ้าสิ่งของในกลุ่มที่ k แตกต่างกัน จะสลับที่กันเองได้ !k n วิธี ดังนั้น ! ! ... ! ! d n1 n2 nk = n นั่นคือ ! !... ! ! n1 n2 nk n d = ตัวอย่างที่ 1 ตัวอักษรในคำว่า SUCCESS จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำต่าง ๆ ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ คำว่า SUCCESS มีตัวอักษร 7 ตัว มีซ้ำกันบางตัว คือ S ซ้ำกัน 3 ตัว C ซ้ำกัน 2 ตัว ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน ! !! = วิธี ตัวอย่างที่ 2 ตัวอักษรในคำว่า BEGINNING จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำต่าง ๆ ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1. อักษรที่ไม่ซ้ำกันอยู่ติดกัน 2. อักษรที่ซ้ำกันในกลุ่มเดียวกันอยู่ติดกัน วิธีทำ คำว่า BEGINNING มีตัวอักษร 9 ตัว มีบางตัวซ้ำกัน คือ G ซ้ำกัน 2 ตัว I ซ้ำกัน 2 ตัว N ซ้ำกัน 3 ตัว

1. อักษรที่ไม่ซ้ำกันอยู่ติดกัน อักษรที่ไม่ซ้ำกัน คือ B และ E ดังนั้น จึงรวม B และ E เป็นตัวเดียวกัน BE G G I I N N N ตัวอักษรจึงเหลือ 8 ตัว ตัวอักษร 8 ตัว มีวิธีเรียงสับเปลี่ยน 8! 2!2!3! = 1,680 วิธี ในแต่ละวิธี ตัวอักษร B และ E สลับกันเองได้ 2! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน 2! * ! !!! = 3,360 วิธี 2. อักษรที่ซ้ำกันในกลุ่มเดียวกันอยู่ติดกัน รวม GG เป็น 1 ตัว รวม II เป็น 1 ตัว และรวม NNN เป็น 1 ตัว B E GG II NNN จะพบว่า มีตัวอักษรเพียง 5 ตัว ทั้งหมดไม่ซ้ำกัน ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษร 5 ตัว =. 5! =. 120. วิธี

แบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเชิงเส้นของสิ่งของที่มีบางสิ่งซ้ำกัน 1. ชายคนหนึ่งมีธนบัตร ชนิด 500 บาท 3 ใบ ชนิดละ 100 บาท 4 ใบ ชนิด 20 บาท 2 ใบ และ ชนิดละ 10 บาท 3 ใบ ถ้าชายผู้นี้ต้องการจัดเรียงธนบัตรทั้งหมดในซองธนบัตร อยากทราบว่าชายผู้นี้จะมีวิธี จัดเรียงธนบัตรทั้งหมดกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 2. มีตัวเลขอยู่ 7 ตัว คือ 1,1,2,2,2,3,4 ถ้าต้องการนำตัวเลขทุกตัวมาจัดเรียงเป็นจำนวนที่มี 7 หลัก จะสร้างได้ กี่จำนวน เมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. มีค่ามากกว่า 2 ล้าน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 3. ถ้ามีหนังสือคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน 4 เล่ม มีหนังสือฟิสิกส์ เหมือนกัน 4 เล่ม และหนังสือเคมีแตกต่างกัน 3 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือเดียวกัน จะมีวิธีการจัดทั้งหมดกี่วิธีที่แตกต่างกัน เมื่อต้องการให้ 1. หนังสือเล่มใดอยู่ที่ใดก็ได้ 2. หนังสือวิชาเดียวกันต้องอยู่ติดกัน 3. หนังสือเคมีอยู่แยกกันทั้ง 3 เล่ม ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

4. ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า COOPERATOR จะสลับได้ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. อักษร O อยู่ติดกันทั้ง 3 ตัว 3. ขึ้นต้นด้วยอักษร R ทั้ง 2 ตัว ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... 5. ถ้าต้องการบรรจุคน 9 คน เข้าทำงานใน 3 แผนก โดยที่แผนกที่หนึ่งต้องการคนงาน 2 คน แผนกที่ส่อง ต้องการคนงาน 3 คน และแผนกที่สามต้องการคนงาน 4 คน แล้วจะมีการบรรจุคนงานเหล่านี้ได้กี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................

2. วิธีการเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม ในการจัดสิ่งของจำนวนหนึ่งแบบวงกลม ถ้าสิ่งของแต่ละสิ่งเปลี่ยนตำแหน่งไปพร้อมๆ กัน โดยการหมุนในทิศทาง ทวนเข็ม หรือตามเข็มนาฬิกา ก็ตาม ลักษณะเช่นนี้ถือว่าเป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนวิธีเดียวกัน วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม สามารถแยกออกได้ 2 ประเภท คือ 2.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมแบบพลิกไม่ได้ หรือวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบมองได้ด้านเดียว เช่นการ จัดคนยืนเป็นวงกลม จัดคนนั่งรอบโต๊ะวงกลม เป็นต้น ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกันจำนวน n สิ่ง วิธีเรียงสบเปลี่ยนแบบวงกลมของสิ่งของทั้งหมด แบบพลิก ไม่ได้ ทำได้โดยการให้สิ่งของสิ่งหนึ่งอยู่คงที่ สิ่งของที่เหลือ n-1 สิ่ง ให้จัดเรียงแบบเชิงเส้น ซึ่งจะได้ (n −1)! วิธี นั่นคือ จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมแบบพลิกไม่ได้ = (n −1)! วิธี 2.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมแบบพลิกได้ ได้แก่การร้อยดอกไม้เป็นพวงมาลัยแบบวงกลม เมื่อร้อย เป็นวงกลมสามารถพลิกรูปมองได้ 2 ด้าน ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมที่พลิกได้ เท่ากับ ( ) 2 n −1 ! วิธี ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน 2 ประเภท ๆ ละ n สิ่ง จะได้ว่า จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้งหมด แบบวงกลม โดยสลับประเภทกันทีละ k สิ่ง (k ต้องหาร n ลงตัว) เท่ากับ k (n −1)!n! วิธี ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง นำสิ่งของมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม (แบบด้านเดียว) ครั้งละ r สิ่ง (0<r≤n) แล้ว จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน เท่ากับ (n r) r n r nPr ! ! − = ตัวอย่างที่ 1 มีวิธีจัดให้ผู้รับเชิญ 6 คน ให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีที่จะจัดผู้รับเชิญ 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลม .......................................... วิธี ........................................... วิธี ตัวอย่างที่ 2 มีกระถางไม้ประดับชนิดต่าง ๆ กัน 7 ชนิด ชนิดละ 1 กระถาง ถ้านำมาวางรอบเสาธง จะมี วิธีการจัดวางทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีจัดวางกระถางไม้ประดับทั้งหมด .........................................วิธี ..........................................วิธี ตัวอย่างที่ 3 มีผู้หญิง 3 คน และผู้ชาย 5 คน มายืนเรียงเป็นวงกลม จะยืนได้กี่วิธีเมื่อ

1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ผู้หญิง 3 คน ยืนติดกัน 3. ผู้หญิง 3 คน ยืนแยกจากกัน วิธีทำ 1. จำนวนคนทั้งหมดมี ........................................... คน จำนวนวิธีการยืน ........................................... วิธี ............................................ วิธี 2. ให้รวมผู้หญิง 3 คน เป็น 1 คน ดังนั้น คน 8 คน จะเป็น คนเพียง 7 คน คน 7 คน มีวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม ......................................... วิธี ........................................ วิธี ในแต่ละวิธี ผู้หญิง 3 คน สลับกันเองได้ .................................................... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการยืน = ........................................................ วิธี 3. จำนวนวิธีการยืนโดยให้ผู้หญิง 3 คน แยกจากกัน เท่ากับ จำนวนวิธีการยืนอย่างไม่มีเงื่อนไข - จำนวน วิธีการยืนโดยให้ผู้หญิง 3 คน ยืนติดกัน นั่นคือ จำนวนวิธีการยืนทั้งหมด = ............................................ วิธี = ........................................... วิธี ตัวอย่างที่ 4 นักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ยืนเรียงกันเป็นวงกลมได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้า 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ชายและหญิงสลับกันทีละ 1 คน 3. ชายและหญิงสลับกันทีละ 2 คน 4. ชายและหญิงสลับกันทีละ 3 คน วิธีทำ 1. จำนวนวิธีการจัดยืนเรียงเป็นวงกลม ทั้งหมดเท่ากับ ................................................. วิธี 2. ชายและหญิงสลับที่กันทีละ 1 คน กำหนดให้ชายคนหนึ่งอยู่คงที่ ผู้ชาย 5 คนที่เหลือไปนั่งที่ผู้ชายและสลับกันเองได้ .................................... วิธี ในแต่ละวิธี ผู้หญิง 6 คนไปนั่งที่ผู้หญิงและสลับกันเองได้ .................... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง …………………………………… วิธี 3. ชายและหญิงสลับที่กันทีละ 2 คน

กำหนดให้ชายคนหนึ่งอยู่คงที่ จำนวนวิธีการเลือกที่นั่ง เท่ากับ ........................... วิธี ในแต่ละวิธี ผู้ชาย 5 คนที่เหลือ ไปนั่งที่ผู้ชายและสลับกันเองได้ ..................... วิธี ในแต่ละวิธี ผู้หญิง 6 คน ไปนั่งที่ผู้หญิง และสลับกันเองได้ ........................... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่ง ........................................................... วิธี 4. ชายและหญิงสลับที่กันทีละ 3 คน กำหนดให้ชายคนหนึ่งอยู่คงที่ จำนวนวิธีเลือกที่นั่งเท่ากับ .................. วิธี ในแต่ละวิธี ผู้ชาย 5 คนที่เหลือ ไปนั่งที่ผู้ชาย และสลับที่กันเองได้ ................... วิธี ในแต่ละวิธี ผู้หญิง 6 คน ไปนั่งที่ผู้หญิง และสลับที่กันเองได้ .......................... วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีการนั่ง ...................................................................... วิธี แบบฝึกทักษะที่ 4 เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

1. มีวิธีจัดให้ผู้รับเชิญ 7 คน ให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 7 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. มีกระถางไม้ประดับชนิดต่าง ๆ กัน 9 ชนิด ชนิดละ 1 กระถาง ถ้านำมาวางรอบเสาธง จะมีวิธีการจัดวางทั้งหมดกี่วิธี …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. มีผู้หญิง 5 คน และผู้ชาย 6 คน มายืนเรียงเป็นวงกลม จะยืนได้กี่วิธีเมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ผู้หญิง 5 คน ยืนติดกัน 3. ผู้หญิง 5 คน ยืนแยกจากกัน …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. นักเรียนชาย 8 คน และนักเรียนหญิง 8 คน ยืนเรียงกันเป็นวงกลมได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้า 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ชายและหญิงสลับกันทีละ 1 คน 3. ชายและหญิงสลับกันทีละ 2 คน 4. ชายและหญิงสลับกันทีละ 3 คน …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ข้อสอบ O-NET เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยน

1. ในการเขียนตัวเลข 3 หลัก จากเลขโดด 1 ถึง 7 โดยที่เลขโดดในหลักทั้งสามไม่ซ้ำกันเลย จะมีวิธีเขียนตัวเลขเหล่านี้ที่แสดงจำนวนคี่ได้กี่จำนวน ......................................................................................................................................................................................... 2. มีกล่อง 2 ใบ แต่ละใบมีลูกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยู่อย่างละลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องทั้งสองใบนี้ จะมีวิธีการหยิบได้ทั้งหมดกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 3 .ข้อสอบชุดหนึ่งมี 2 ตอน ตอนที่หนึ่งมี 5 ข้อ ให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จ ตอนที่สองมี 5 ข้อ เป็นข้อสอบแบบ 4 ตัวเลือกถ้าต้องการตอบข้อสอบชุดนี้ทุกข้อโดยไม่เว้นแล้ว จะมีวิธีตอบข้อสอบชุดนี้ได้ต่างๆ กันทั้งหมดเท่ากับข้อ ใดต่อไปนี้.............................................................................................................................................................. 4. ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมู่บ้านซึ่งประกอบด้วยประธานฝ่ายชาย 1 คน ประธานฝ่ายหญิง 1 คน กรรมการฝ่ายชาย 1 คน และกรรมการฝ่ายหญิง 1 คน จากผู้สมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวิธีการเลือก คณะกรรมการได้กี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 5. มาลีต้องการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C โดยต้องเดินทางผ่านไปยังเมือง B ก่อนจากเมือง A ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต์ รถไฟ หรือเครื่องบินได้ แต่จากเมือง B ไปเมือง C สามารถเดินทางไปทาง เรือ รถยนต์ รถไฟ หรือเครื่องบิน ข้อใดต่อไปนี้คือจำนวนวิธีในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ที่จะต้อง เดินทางโดยรถไฟเป็นจำนวน 1 ครั้ง ......................................................................................................................................................................................... 6. ตู้นิรภัยมีระบบล็อกที่เป็นรหัสประกอบด้วยตัวเลขโดด 0 ถึง 9 จำนวน 3 หลัก จำนวนรหัสทั้งหมดที่มีบาง หลักซ้ำกันคือเท่าใด ......................................................................................................................................................................................... 7. จำนวนวิธีในการจัดให้หญิง 3 คน และชาย 3 คนนั่งเรียงกันเป็นแถว โดยให้สามีภรรยาคู่หนึ่งนั่งติดกันเสมอ มี ทั้งหมดกี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 8. ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูก 2 คน ไปเที่ยวสวนสนุกแห่งหนึ่งถ้าจัดคนทั้งสี่ถ่ายรูปกับรูปปั้นโดราเอมอนโดย ยืน เรียงกันให้โดราเอมอนอยู่ตรงกลาง และลูกทั้งสองคนไม่ยืนติดกัน จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี ......................................................................................................................................................................................... 9. ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 6 คน เป็นชาย 2 คน หญิง 4 คน จำนวนวิธีที่จะจัดให้คนทั้งหกยืนเรียงกันเพื่อ ถ่ายรูป โดยให้ชายสองคนยืนริมสองข้างเสมอ จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี .........................................................................................................................................................................................