หลักการคูณและการบวก(รูปเล่ม)

แบบฝึกทักษะ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ชุดที่ 1 หลักการบวกและการคูณ โดย นางสาวประไพศรี พุฒพวง ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะครู ชำนาญการพิเศษ โรงเรียนประสานมิตรวิทยา อำเภอกันทรารมย์ จังหวัดศรีสะเกษ สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาศรีสะเกษ ยโสธร สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน

คำนำ คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งต่อความสำเร็จในการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เนื่องจากคณิตศาสตร์ ช่วยให้มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือ สถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และ สามารถนำไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้าน วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดี ขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข ดังนั้น ผู้เขียนจึงได้สร้างแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2 เรื่องหลักการ นับเบื้องต้น เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาเนื้อหาความรู้คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง ฝึกการค้นคว้าด้วยตนเอง ฝึกการคิด วิเคราะห์ สังเคราะห์และแก้ปัญหาด้วยตนเอง นักเรียนได้ร่วมกิจกรรมปฏิบัติจริง มีความสุข และสนุกสนาน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น มีด้วยกัน 4 ชุด ดังนี้ ชุดที่ 1 หลักการบวกและการคูณ ชุดที่ 2 แฟกทอเรียล ชุดที่ 3 วิธีเรียงสับเปลี่ยน ชุดที่ 4 วิธีจัดหมู่ ผู้เขียนหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คงจะทำให้นักเรียนได้ฝึกทักษะจนเกิดความรู้ ความเข้าใจ ซึ่งจะส่งผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนรู้สูงขึ้นและสามารถ นำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้ นางสาวประไพศรี พุฒพวง ผู้จัดทำ

สารบัญ หน้า คำชี้แจง 1 ตัวชี้วัดการเรียนรู้ 2 แบบทดสอบก่อนเรียน 3 ใบความรู้เรื่องแผนภาพต้นไม้ 5 แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่อง แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ 12 แบบฝึกทักษะที่ 2 เรื่อง แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกไม่เป็นนระเบียบ 18 ใบความรู้เรื่องหลักการบวกและการคูณ 20 แบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่องหลักการบวกและการคูณ 27 แบบทดสอบหลังเรียน 39

คำชี้แจง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 2 เป็นแบบฝึกทักษะที่ดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนอย่างเป็นขั้นตอนและ ตรงตามตัวชี้วัดการเรียนรู้ ที่เน้นการลงมือปฏิบัติ เน้นการคิดอย่างเป็นระบบ ประกอบด้วยแบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน โดยมีขั้นตอนการปฏิบัติดังนี้ 1. จงอ่านคำชี้แจงในแต่ละส่วนให้เข้าใจ 2. ทำแบบทดสอบก่อนเรียนเพื่อวัดความรู้พื้นฐานของนักเรียน 3. จงศึกษาใบความรู้ และทำแบบฝึกทักษะตามที่กำหนดตามลำดับ 4. หากนักเรียนมีข้อสงสัย หรือมีปัญหาในการทำกิจกรรมใด ให้ซักถามครูผู้สอนทันที 5. เมื่อจบบทเรียนแล้วจงทำแบบทดสอบหลังเรียน เพื่อวัดความก้าวหน้าของนักเรียน

มาตรฐาน/ตัวชี้วัด สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัวชี้วัด 1. เข้าใจและใช้หลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ ในการแก้ปัญหา

ใบความรู้ เรื่อง แผนภาพต้นไม้ แผนภาพต้นไม้ (Tree. Diagram) แผนภาพต้นไม้ เป็นวิธีการอย่างหนึ่ง ในการหาจำนวนวิธีที่เป็นนไปได้ทั้งหมด ของการกระทำ เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่ง และแผนภาพต้นไม้แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ 1. แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ 2. แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกไม่เป็นระเบียบ 1. แผนภาพต้นไม้ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ หมายถึง แผนภาพต้นไม้ที่แต่ละกิ่งใหญ่เมื่อแตกออกเป็นกิ่งย่อย ๆ แล้วจะมีจำนวนกิ่งย่อย ๆ เท่ากันทุกกิ่ง ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อจำนวน 2 ตัวประกอบด้วย สีขาว สีฟ้า และกางเกง 3 ตัวคือ สีฟ้า สีดำ และสีชมพู จะมีจำนวนวิธีใส่เสื้อและกางเกงเป็นชุดที่แตกต่างกันกี่วิธี จะได้รูปแผนภาพต้นไม้ ดังนี้ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะใส่ชุดได้แตกต่างกัน คือ 6 วิธี ได้แก่ { (ฟ้า, ฟ้า), (ฟ้า, ดำ), (ฟ้า, ชมพู), (ขาว ,ฟ้า), (ขาว, ดำ), (ขาว, ชมพู) } (ฟ้า,ฟ้า) (ฟ้า,ดำ) (ฟ้า,ชมพู) ) (ขาว,ฟ้า) ) (ขาว,ดำ) ) (ขาว,ชมพู) ๗ )

ตัวอย่างที่ 2 เมื่อโยนเหรียญหนึ่งอัน จำนวน 3 ครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันกี่วิธี กำหนดให้ H แทน เหรียญขึ้นหน้าหัว T แทน เหรียญขึ้นหน้าก้อย จำนวนวิธีของการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง มี 8. วิธี ได้แก่ { (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) } (H,H,H) ) (H,H,T) ) (H,T,H) ) (H,T,T) ) (T,H,H) ) (T,H,T) ) (T,T,H) ) (T,T,T) )

ตัวอย่างที่ 3. ครอบครัวหนึ่งต้องการมีบุตร 2 คน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดของการมีบุตรเพศต่าง ๆ ของครอบครัวนี้ กำหนดให้ แทนผู้ชาย แทน ผู้หญิง . จำนวนวิธีทั้งหมดของการมีบุตรเพศต่าง ๆ ของครอบครัวนี้มี 4 วิธี ได้แก่ { (ชช), (ชญ), (ญช), (ญญ) } (ญ,ญ) ) (ญ,ช) ) (ช,ญ) ) (ช,ช) )

ตัวอย่างที่ 4. ระหว่างท่าข้ามสองฝั่งแม่น้ำมีเรือยนต์ข้ามฟากแล่นอยู่ 4 ลำ จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ผู้โดยสารคนหนึ่ง จะข้ามฟากโดยที่เที่ยวไปและเที่ยวกลับลงเรือไม่ซ้ำลำกัน กำหนดให้ (ร1,ร2) ) (ร1,ร3) ) (ร1,ร4) ) (ร2,ร1) ) (ร2,ร3) ) (ร2,ร4) ) (ร3,ร1) ) (ร3,ร2) ) (ร3,ร4) ) (ร4,ร1) ) (ร4,ร2) ) (ร4,ร3) )

จำนวนวิธีทั้งหมดที่ผู้โดยสารจะข้ามฟาก มี 12. วิธี ได้แก่ { (ร1,ร2), (ร1,ร3), (ร1,ร4), (ร2,ร1), (ร2,ร3), (ร2,ร4), (ร3,ร1), (ร3,ร2), (ร3,ร4), (ร4,ร1), (ร4,ร2), (ร4,ร3) } 1.2 แผนภาพต้นไม้ที่มีกิ่งแตกออกไม่เป็นระเบียบ หมายถึง แผนภาพต้นไม้ที่มีกิ่งใหญ่แต่ละกิ่ง เมื่อแตกออกไปแล้ว จะก่อให้เกิดกิ่งย่อย ๆ จำนวนไม่เท่ากันทุกกิ่ง ตัวอย่างที่ 1 วศินโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ 4 ครั้ง จะมีจำนวนวิธีการโยนได้ทั้งหมดกี่วิธี อะไรบ้าง เมื่อมีกติกาว่า ถ้าโยนเหรียญแล้วครั้งที่ 1 และครั้งที่ 2 หงายเป็นหน้าเดียวกันให้หยุดโยน หรือครั้งที่ 2 และครั้งที่ 3 หงายเป็นหน้า เดียวกันให้หยุดโยน วิธีทำ กำหนดให้ H แทนเหรียญขึ้นหน้าหัว T แทนเหรียญขึ้นหน้าก้อย ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3 ครั้งที่ 4 H H H H T T T H H H T T T T แผนภาพต้นไม้ที่ใช้เป็นแบบแตกกิ่งออกอย่างไม่เป็นระเบียบ จากแผนภาพในการโยนเหรียญครั้งนี้ จะมีจำนวนวิธีการโยนได้ 8 วิธี ได้แก่ HH, HTT, HTHH, HTHT, TT, THH, THTH, TTTT

ตัวอย่างที่ 2 นายธนโชติกับนายจิรศักดิ์ แข่งขันหมากรุก โดยมีกติกาว่า ผู้ชนะคือผู้ที่ชนะติดต่อกัน 2 เกม หรือชนะ ร่วมกัน 3 เกม ตามกติกานี้ จะแข่งขันได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ กำหนดให้ T แทน นายธนโชติชนะ J แทน นายจิรศักดิ์ชนะ เริ่มเล่น เกมที่ 1 เกมที่ 2 เกมที่ 3 เกมที่ 4 เกมที่ 5 T T T T T J J J J T T T T J J J J J จะได้จำนวนวิธีการแข่งขันทั้งหมด 10 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 ในการเล่นเกมอย่างหนึ่งมีกติกาว่า ถ้าเล่นชนะจะได้คะแนน 1 แต้ม ถ้าแพ้จะเสียคะแนน 1 แต้มและจะ เลิกเล่นก็ต่อเมื่อได้คะแนนครบ 3 แต้ม หรือไม่มีแต้มเหลือ หรือ เล่นครบ 5 ครั้ง ถ้าตอนเริ่มเล่นนายวรวุธ มีคะแนน อยู่ 1 แต้ม อยากทราบว่านายวรวุธ จะมีวิธีเล่นกมนี้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ 3 3 2 2 2 20 1 20 0 0 0 ดังนั้น วรวุธจะเล่นเกมได้ทั้งหมด 6. วิธี

แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่องแผนภาพต้นไม้ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ จงเขียนแผนภาพต้นไม้ 1. ทักษ์ดนัยมีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 2. ตัว และรองเท้า 2 คู่ เขาจะมีการแต่งตัวที่แตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี 2. โยนลูกเต๋า 1 ลูกพร้อมกับโยนเหรียญ 1 เหรียญ จะมีจำนวนวิธีที่แตกต่างกันกี่วิธี สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี

3. นก 3. ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม่ 2 กิ่ง ได้กี่วิธี สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี 4. ครอบครัวหนึ่งต้องการมีบุตร 3 คน จะมีจำนวนวิธีที่แตกต่างกันกี่วิธี สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี

5. ปรัชญาต้องการส่งจดหมาย 2 ฉบับ ลงตู้ 3. ตู้ จะทำได้กี่วิธี เมื่อ 5.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 5.2 จดหมายแต่ละฉบับต้องไม่ทิ้งซ้ำตู้กัน 5.3 จดหมาย 2 ฉบับทิ้งในตู้เดียวกัน สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี 6. หอประชุมแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 3 ประตู นักเรียนจะมีวิธีการเข้าและออกทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 6.1 เข้าและออกจากหอประชุมโดยประตูใดก็ได้ 6.2 เข้าและออกจากหอประชุมโดยใช้ประตูไม่ซ้ำกันกับประตูที่เข้ามา 6.3 เข้าและออกจากหอประชุม โดยเข้าประตูใดต้องออกประตูนั้น สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี

7.ชายคนหนึ่งต้องกาสร้างจำนวน 3 หลัก แต่ละหลักเป็นหมายเลข 0, 1, 2, 3 เขาจะสร้างได้กี่จำนวน เมื่อ 7.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 7.2 เป็นจำนวนคี่ 7.3 เป็นจำนวนคู่ สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี 8. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ แบบทดสอบเป็นแบบเลือกตอบ จริงหรือเท็จ จำนวน 4 ข้อ อยากทราบว่า นักเรียนจะมีวิธีเลือกตอบแบบทดสอบฉบับนี้ทั้งหมดกี่วิธี สรุป การทำงาน มีทั้งหมด.........ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้.............วิธี จำนวนวิธีทั้งหมดที่แตกต่างกัน เท่ากับ.................................................................วิธี

แบบฝึกทักษะที่ 2 เรื่องแผนภาพต้นไม้ที่มีกิ่งแตกออกไม่เป็นระเบียบ จงเขียนแผนภาพต้นไม้ 1. ในการแข่งขันปิงปองคู่หนึ่งมีกติกาว่าใครชนะ 2 เกมก่อนจะเป็นผู้ชนะ จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการหา ผู้ชนะของการแข่งขันครั้งนี้ 2. ภานุเดชและณัฐวุฒิ แข่งขันเทนนิสกัน โดยมีกติกาว่าผู้ใดชนะสองเกมติดต่อกัน หรือชนะรวมแล้วสามเกม จะเป็นผู้ชนะในการแข่งขัน จงหาว่าจะมีการแข่งขันกันจนกว่าจะมีผู้ชนะทั้งหมดกี่คน

3. กิตติศักดิ์พนันยิงปืนกับเพื่อนของเขา โดยมีกติกาว่า ถ้าเขายิงถูกเป้าจะได้ 1 บาท แต่ถ้าเขายิงผิดเป้า เขาจะเสีย 1 บาท ถ้ากิตติศักดิ์ยิงได้ทั้งหมดไม่เกิน 5 นัด และจะหยุดเล่นก่อนครบ 5 นัดเมื่อเขาเสียเงินหมด หรือ เขาได้กำไร 3 บาท จงหาจำนวนวิธีการเล่นของกิตติศักดิ์จนกว่าเขาจะหยุดเล่น โดยกำหนดให้ว่า เมื่อเริ่มเล่นกิตติศักดิ์ มีเงินอยู่แล้ว 1 บาท 4. การแข่งขันฟุตบอลระหว่างทีม A และทีม B โดยมีกติกาว่า ทีมใดที่ชนะ 3 ครั้งทีมนั้นจะเป็นผู้ชนะ (กำหนด ให้ผลการแข่งขันแต่ละครั้งมี ชนะ หรือ แพ้ เท่านั้น) จงหาจำนวนวิธีแข่งขันจนกว่าจะมีทีมที่ชนะในการแข่งขันครั้งนี้

5. ทีม A และทีม B แข่งขันปิงปองกัน โดยมีกติกาว่า ถ้าทีมใดชนะ 2 เกมติดต่อกัน หรือชนะรวม 4 เกม จะเป็นผู้ชนะในการแข่งขัน จะเขียนแผนภาพต้นไม้แสดงวิธีการแข่งขันทั้งหมด พร้อมทั้งหาจำนวนวิธีการแข่งขัน 6. ชายคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุด 0 บนเส้นจำนวนในแนวนอน ถ้าความยาวของแต่ละก้าวของชายผู้นี้เท่ากับ 1 หน่วย ให้ชายผู้นี้ก้าวไปทางขวามือหรือซ้ายมือ เขาจะหยุดก้าว เมื่อเขาก้าวไปเป็นจำนวน 5 ก้าว หรือเขาอยู่ในตำแหน่ง 3 หรือ -2. เท่านั้น จงเขียนแผนภาพต้นไม้ แสดงวิธีการเคลื่อนที่ของชายผู้นี้ทั้งหมดเท่าที่จะเป็นไปได้ และเป็นไปได้กี่วิธี

7. ในการเล่นเกมส์อย่างหนึ่ง เล่นได้ไม่เกิน 5 ครั้ง นาย ก มีเงินเพียง 1 บาท เมื่อเริ่มเล่นเขาจะเลิกเล่น เมื่อมีกำไร 2 บาท หรือหมดเงิน จะมีวิธีเล่นกี่วิธี ถ้าเขาชนะเขาจะได้ครั้งละ 1 บาท และถ้าแพ้จะเสีย 1 บาท จะเขียนแสดงด้วยแผนภาพต้นไม้ได้อย่างไร

ใบความรู้ เรื่องหลักการบวกและการคูณ หลักการคูณ ถ้าต้องการทำงาน k อย่าง ต่อเนื่องกัน โดยที่ มีวิธีการทำงานอย่างแรก 1 n วิธี ในแต่ละวิธีของการทำงานอย่างแรก มีวิธีการทำงานอย่างที่ 2 2 n วิธี ในแต่ละวิธีของการทำงานอย่างแรกและอย่างที่ 2 จะมีวิธีการทำงานอย่างที่ 3 3 n วิธี . . . . . . ในแต่ละวิธีของการทำงานอย่างแรกถึงอย่างที่ k-1 มีวิธีการทำงานอย่างที่ k k n วิธี จะได้ว่า จำนวนวิธีการทำงานทั้ง k อย่าง = n n n nk • • • ... • 1 2 3 วิธี ตัวอย่างที่ 1 มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง มีทั้งนิสิตชายและหญิง และในแต่ละเพศถ้าแยกตามชั้นปี จะมีทั้งปี 1,2,3. และ 4 อยากทราบว่า ถ้าแยกตามเพศและชั้นปี จะแยกนิสิตได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 2 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. แยกตามเพศ , ขั้นตอนที่ 2 แยกตามชั้นปี) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 แยกตามเพศได้ 2. วิธี ขั้นตอนที่ 2. แยกตามชั้นปีได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดในการแยกนิสิตได้ × = วิธี ตัวอย่างที่ 2. โยนเหรียญ จำนวน 3 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่หน้าเหรียญแตกต่างกันทั้งหมด วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. เหรียญที่ 1 , ขั้นตอนที่ 2 เหรียญที่ 2 , ขั้นตอนที่ 3 เหรียญที่ 3) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 โยนเหรียญที่ 1 ได้ (H, T) 2. วิธี

ขั้นตอนที่ 2. โยนเหรียญที่ 2 ได้(H, T) 2. วิธี ขั้นตอนที่ 3 โยนเหรียญที่ 3 ได้(H, T) 2 วิธ๊ ดังนั้น จำนวนวิธีที่หน้าเหรียญแตกต่างกันทั้งหมด 2× × = วิธี ตัวอย่างที่ 3 ห้องเรียนห้องหนึ่งมีประตู 4 ประตู นักเรียนคนหนึ่งเดินเข้าไปในห้องเรียน แล้วเดินออกจาก ห้องเรียน นักเรียนคนนี้จะมีวิธีเลือกประตูเดินเข้า และเดินออกกี่วิธี เมื่อ 1. เดินเข้าและเดินออกประตูใดก็ได้ 2. เดินเข้าและเดินออกต้องเป็นประตูเดียวกัน 3. เดินเข้าและเดินออกต้องไม่เป็นประตูเดียวกัน วิธีทำ 1. เดินเข้าและเดินออกประตูใดก็ได้ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 2 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. เดินเข้า , ขั้นตอนที่ 2 เดินออก) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เดินเข้า (ป1, ป2, ป3, ป4) 4. วิธี ขั้นตอนที่ 2. เดินออก (ป1, ป2, ป3, ป4) 4. วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่หน้าเหรียญแตกต่างกันทั้งหมด × = วิธี 2. เดินเข้าและเดินออกต้องเป็นประตูเดียวกัน แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 2 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. เดินเข้า , ขั้นตอนที่ 2 เดินออก) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เดินเข้า (ป1, ป2, ป3, ป4) 4. วิธี ขั้นตอนที่ 2. เดินออก (ป1 หรือ ป2 หรือ ป3 หรือ ป4) 1. วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่หน้าเหรียญแตกต่างกันทั้งหมด × = วิธี

3. เดินเข้าและเดินออกต้องไม่เป็นประตูเดียวกัน แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 2 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. เดินเข้า , ขั้นตอนที่ 2 เดินออก) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เดินเข้า (ป1, ป2, ป3, ป4) 4. วิธี ขั้นตอนที่ 2. เดินออก (จะต้องไม่เป็นประตูกับประตูเดินเข้า) 3. วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่หน้าเหรียญแตกต่างกันทั้งหมด × = วิธี ตัวอย่างที่ 4 ครูคนหนึ่งมีหนังสือที่แตกต่างกัน 3 เล่ม ต้องการแจกหนังสือทั้งหมดให้นักเรียนซึ่งมี 10 คน อยากทราบว่า จะมีวิธีแจกหนังสือให้นักเรียนทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. ไม่แจกหนังสือซ้ำคน วิธีทำ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หนังสือเล่มที่ 1 , ขั้นตอนที่ 2 หนังสือเล่มที่ 2 , ขั้นตอนที่ 3 หนังสือเล่มที่ 3) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 หนังสือเล่มที่ 1 10. วิธี ขั้นตอนที่ 2. หนังสือเล่มที่ 2 10 วิธี ขั้นตอนที่ 3. หนังสือเล่มที่ 3 10 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีแจกหนังสือให้นักเรียนทั้งหมด × × = , วิธี 2. ไม่แจกหนังสือซ้ำคน แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หนังสือเล่มที่ 1 , ขั้นตอนที่ 2 หนังสือเล่มที่ 2 , ขั้นตอนที่ 3 หนังสือเล่มที่ 3) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 หนังสือเล่มที่ 1 10. วิธี ขั้นตอนที่ 2. หนังสือเล่มที่ 2 9 วิธี

ขั้นตอนที่ 3. หนังสือเล่มที่ 3 8 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีแจกหนังสือให้นักเรียนทั้งหมด × × = วิธี ตัวอย่างที่ 4 ถ้าต้องการสร้างจำนวนที่มี 3 หลัก โดยสร้างจากตัวเลข 0,1,2,3,4 หรือ 5 แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน เมื่อ 1 ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม 2. เป็นจำนวนคี่ 3. เป็นจำนวนคู่ 4. จำนวนที่สร้างมีค่ามากกว่า 350 5. จำนวนที่สร้างหารด้วย 5 ลงตัว วิธีทำ 1 ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หลักร้อย , ขั้นตอนที่ 2 หลักสิบ , ขั้นตอนที่ 3 หลักหน่วย) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 5 วิธี (หลักร้อย ใส่ตัวเลข ได้ 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5) ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 5 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน 2. เป็นจำนวนคี่ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หลักร้อย , ขั้นตอนที่ 2 หลักสิบ , ขั้นตอนที่ 3 หลักหน่วย) ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 3 วิธี (หลักหน่วย ใส่ตัวเลข ได้ 3 ตัว คือ 1, 3, , 5) ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 4 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน

3. เป็นจำนวนคู่ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หลักร้อย , ขั้นตอนที่ 2 หลักสิบ , ขั้นตอนที่ 3 หลักหน่วย) แยกพิจารณา เป็น 2 กรณี กรณีที่ 1. ใส่ 0. ที่หลักหน่วย ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 5 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน กรณีที่ 2. ใส่ 2, 4. ที่หลักหน่วย ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 2 วิธี ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 4 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน รวมจำนวนสองกรณี จำนวนที่สร้างได้ทั้งหมด = 20 + 32. = 52 จำนวน 4. จำนวนที่สร้างมีค่ามากกว่า 350 แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หลักร้อย , ขั้นตอนที่ 2 หลักสิบ , ขั้นตอนที่ 3 หลักหน่วย) แยกพิจารณา เป็น 2 กรณี กรณีที่ 1. ใส่ 3 ที่หลักร้อย ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 3 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน กรณีที่ 2. ใส่ 4, 5. ที่หลักร้อย ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 2 วิธี

ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 5 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน รวมจำนวนสองกรณี จำนวนที่สร้างได้ทั้งหมด = 3 + 40. = 43 จำนวน 5. จำนวนที่สร้างหารด้วย 5 ลงตัว แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด 3 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1. หลักร้อย , ขั้นตอนที่ 2 หลักสิบ , ขั้นตอนที่ 3 หลักหน่วย) แยกพิจารณา เป็น 2 กรณี กรณีที่ 1. ใส่ 0 ที่หลักหน่วย ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 5 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน กรณีที่ 2. ใส่ 5. ที่หลักหน่วย ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตัวเลขใส่ในหลักหน่วยได้ 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2. เลือกตัวเลขใส่ในหลักร้อยได้ 4 วิธี ขั้นตอนที่ 3. เลือกตัวเลขใส่ในหลักสิบได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีสร้างได้ทั้งหมด × × = จำนวน รวมจำนวนสองกรณี จำนวนที่สร้างได้ทั้งหมด = 20 + 16. = 36 จำนวน

หลักการบวก ถ้าต้องการทำงาน k อย่าง ที่ไม่ต่อเนื่องกัน โดยที่ มีวิธีการทำงานอย่างแรก 1 n วิธี ในแต่ละวิธีของการทำงานอย่างแรก มีวิธีการทำงานอย่างที่ 2 2 n วิธี ในแต่ละวิธีของการทำงานอย่างแรกและอย่างที่ 2 จะมีวิธีการทำงานอย่างที่ 3 3 n วิธี . . . . . . ในแต่ละวิธีของการทำงานอย่างแรกถึงอย่างที่ k-1 มีวิธีการทำงานอย่างที่ k k n วิธี จะได้ว่า จำนวนวิธีการทำงานทั้ง k อย่าง = n + n + n + + nk ... 1 2 3 วิธี หลักการลบ วิธีที่ต้องการ = วิธีทั้งหมด – วิธีที่ไม่ต้องการ ตัวอย่างที่ 1 วิรดาเข้าไปรับประทานอาหารในศูนย์อาหารแห่งหนึ่ง ซึ่งมีร้านอาหารตามสั่ง 5 ร้าน ร้านก๋วยเตี๋ยว 4 ร้าน ร้านอาหารญี่ปุ่น 2 ร้าน และร้านอาหารฟาสต์ฟู้ด 1 ร้าน วิรดาจะมีวิธีเลือกรับประทานอาหารได้ทั้งหมด กี่วิธี วิธีทำ แนวคิด เนื่องจาก การเลือกรับประทานอาหาร มีเพียงขั้นตอนเดียว คือ สามารถใช้เลือกรับประทานได้ ทั้งร้านอาหาร ตามสั่ง ร้านก๋วยเตี๋ยว ร้านอาหารญี่ปุ่น และร้านอาหารฟาสต์ฟู๊ด จึงนำจำนวนร้านทั้งหมดมารวมกัน ดังนั้น วิรดาจะมีวิธีเลือกรับประทานอาหารได้ทั้งหมด 5 + 4 + 2 + 1 = 12. วิธี ตัวอย่างที่ 2. ถ้าการเดินทางระหว่างเมือง A กับเมือง B สามารถทำได้ 2 ทาง คือ ทางบก ซึ่งมีถนนเชื่อมระหว่างกัน 4 เส้น และทางอากาศ ซึ่งมีสายการบินเชื่อมโยงที่สามารถใช้บริการได้ 3 สายการบิน อยากทราบว่าจะมีวิธีการ เดินทางจากเมือง A ไปเมือง B ได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ แนวคิด เนื่องจาก การเดินทางจากเมือง A ไปย้งเมือง B มีเพียงขั้นตอนเดียว คือ สามารถใช้ทางบก 4 เส้นทาง และ ทางอากาศได้อีก 3 เส้นทาง จึงนำจำนวนเส้นทางทั้งหมดมารวมกัน ดังนั้น จะมีวิธีการเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B. ได้ทั้งหมด 4 + 3. = 7. วิธี

แบบฝึกทักษะ เรื่อง หลักการคูณและหลักการบวก 1. อริญามีเสื้อ 4 ตัว กระโปรง 3. ตัว และรองเท้า 2. คู่ อยากทราบอริญาจะแต่งตัวไปเที่ยวได้ต่าง ๆ กันกี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่อริญาจะแต่งตัวไปเที่ยวได้ต่าง ๆ กัน ............................................... วิธี 2. มีถนนจากกรุงเทพฯ ไปลพบุรี 3 สาย มีถนนจากลพบุรีไปนครสรรค์ 2. สาย และมีถนนจากนครสวรรค์ไป เชียงใหม่ 3 สาย ถ้าปริญขับรถจากกรุงเทพฯ เพื่อไปเชียงใหม่ โดยขับผ่านลพบุรีและนครสวรรค์ ถามว่าปริญสามารถ เลือกเส้นทางได้ทั้งหมดกี่เส้นทาง วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่ปริญเลือกเส้นทางได้ทั้งหมด ............................................... วิธี 3. โยนลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกัน จะสามารถออกเต้มได้แตกต่างกันกี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่ลูกเต๋าออกแต้มได้แตกต่างกัน ............................................... วิธี

4. จะมีวิธีในการทำข้อสอบให้แตกต่างกันได้กี่วิธี เมือต้องทำข้อสอบ 4 ตัวเลือกจำนวน 5 ข้อ วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีในการทำข้อสอบให้แตกต่างกันได้ ............................................... วิธี 5. ข้อสอบประเภทให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จชุดหนึ่งมี 8 ข้อ นักเรียนจะมีวิธีทำข้อสอบชุดนี้กี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทำข้อสอบชุดนี้ ............................................... วิธี

6. มีชาย 7 คน มานั่งเรียงแถวบนม้ายาว จะมีวิธีการนั่งที่แตกต่างกันกี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่งที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 7. นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 8. ครอบครัวหนึ่งต้องการมีบุตร 3 คน จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการมีบุตรของครอบครัวนี้ วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้

ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 9. นำอักษรจากคำว่า SPECIAL มาจัดเป็นคำใหม่ โดยไม่คำนึงถึงความหมาย จะจัดได้กี่คำที่แตกต่างกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการนั่งที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 10. ห้องเรียนห้องหนึ่งมีประตู 5 ประตู นักเรียนคนหนึ่งเดินเข้าไปในห้องเรียน แล้วเดินออกจากห้องเรียน นักเรียน คนนี้จะมีวิธีเลือกประตูเดินเข้าและเดินออกกี่วิธี เมื่อ 1. เดินเข้าและเดินออกประตูใดก็ได้ วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่อริญาจะแต่งตัวไปเที่ยวได้ต่าง ๆ กัน ............................................... วิธี

2. เดินเข้าและเดินออกต้องเป็นประตูเดียวกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่อริญาจะแต่งตัวไปเที่ยวได้ต่าง ๆ กัน ............................................... วิธี 3. เดินเข้าและเดินออกต้องไม่เป็นประตูเดียวกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่อริญาจะแต่งตัวไปเที่ยวได้ต่าง ๆ กัน ............................................... วิธี 11. มึลูกบอลที่แตกต่างกัน 4 ลูก ต้องการนำลูกบอลเหล่านี้ไปใส่กล่อง 5 กล่อง ที่แตกต่างกัน อยากทราบว่าจะมี วิธีการใส่ของลูกบอลทั้ง 4 ลูกกี่วิธี เมื่อ 1. ลูกบอลแต่ละลูกจะใส่ในกล่องใดก็ได้ วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการใส่ของลูกบอลทั้ง 4 ลูก ............................................... วิธี

2. กล่องแต่ละใบจะรับลูกบอลได้ไม่เกิน 1 ลูก วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการใส่ของลูกบอลทั้ง 4 ลูก ............................................... วิธี 3. ลูกบอลทั้ง 4 ลูกอยู่ในกล่องใบเดียวกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการใส่ของลูกบอลทั้ง 4 ลูก ............................................... วิธี 12. มีจดหมายที่แตกต่างกัน 4 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายทั้งหมดในตู้ไปรษณีย์ ซึ่งมีทั้งหมด 6 ตู้ จะมีจำนวนวิธีการทิ้ง จดหมายกี่วิธี เมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี

ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการทิ้งจดหมาย ............................................... วิธี 2. จดหมายแต่ละฉบัยต้องไม่ทิ้งซ้ำตู้กัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีการทิ้งจดหมาย ............................................... วิธี 13. จากอักษรในคำว่า “COMBINE” เลือกตัวอักษรเหล่านี้มาสร้างเป็นคำ ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว ที่ไม่ซ้ำกัน ได้กี่คำ ถ้าคำนั้นต้องมีสระอยู่หน้า และลงท้ายด้วย M วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีในการสร้างคำใหม่ ............................................... วิธี

14. ถ้าต้องการสร้างจำนวนที่มี 3 หลัก เลขแต่ละหลักเลือกจากตัวเลข 0,2,3,5,6,7 และ 9 จะสร้างได้ทั้งหมด. กี่จำนวน เมื่อ 1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 2. เลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 3. จำนวนที่สร้างมีค่าน้อยกว่า 400 วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี

4. เป็นจำนวนคู่และเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน กรณีที่ 1 ใส่................................................................ ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี กรณีที่ 2 ใส่................................................................ ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี รวมทั้งสองกรณี ............................................... วิธี 5. เป็นจำนวนคี่และเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี

6. จำนวนที่สร้างได้หารด้วย 5 ลงตัวและมีค่ามากกว่า 500 วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน กรณีที่ 1 ใส่................................................................ ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี กรณีที่ 2 ใส่................................................................ ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี รวมทั้งสองกรณี ............................................... วิธี 15. ถ้าต้องการสร้างจำนวนเต็มที่มีค่าระหว่าง 3000 และ 5000 โดยสร้างจากตัวเลข 0,1,2,3,4,5 และ 6 จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน เมื่อต้องการให้ 1. เลขแต่ละหลักไม่ต้องซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี

2. เป็นจำนวนคู่และเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน กรณีที่ 1 ใส่................................................................ ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี กรณีที่ 2 ใส่................................................................ ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี รวมทั้งสองกรณี ............................................... วิธี 3. เป็นจำนวนคี่และเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี

4. เลขแต่ละหลักซ้ำกัน วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 16. ถ้ากลล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 8 ใบ โดยแต่ละใบมีหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 เขียนกำกับอยู่หมายเลข 1 ใบ แล้วนำบัตร 2 ใบมาวางเรียงกันเป็นเลขสองหลังได้กี่วิธี วิธีทำ แนวคิด การทำงานมีทั้งหมด ............... ขั้นตอน ในแต่ละขั้นตอนนั้นสามารถกระทำได้ ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ขั้นตอนที่........ .......................... ............... วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน ............................................... วิธี 17. เลขหมายโทรศัพท์ในกรุงเทพฯ ประกอบด้วยเลข 7 ตัว จำนวนวิธีการสร้างหมายเลขโทรศัพท์ที่ขึ้นต้นตัวเลข 3 ตัวแรก 423 มี ........................................................................................................................................หมายเลข 18. ข้อสอบฉบับหนึ่งมี 10 ข้อ เป็นข้อสอบที่ให้ตอบว่า จริง หรือ เท็จ ถ้านักเรียนคนหนึ่งทำข้อสอบนี้ทุกข้อ จงหา จำนวนวิธีทั้งหมดที่เขาจะตอบข้อสอบฉบับนี้ .................................................................................................วิธี 19. ถ้าต้องการนำตัวอักษรจากคำว่า “ VITAMEN” มาสร้างเป็นคำใหม่ซึ่งประกอบด้วย 4 ตัวอักษรต่าง ๆ กัน จะสร้างได้ .......................................................................................................................................................คำ 20. ป้ายทะเบียนรถยนต์ในกรุงเทพฯ ประกอบด้วย ชื่อจังหวัด พยัญชนะ 2 ตัว และตามด้วย ตัวเลข 4 ตัว อยากทราบว่ากองทะเบียนจะออกป้ายทะเบียนรถยนต์ได้ทั้งหมด....................................................................ป้าย