RUMUS & NOTA PENTING MATEMATIK SPM

2020

SIRI NOTA PENTING MATEMATIK
SPM

Nsharinaz@smkdoj

0

SIRI NOTA PENTING MATEMATIK SPM

Topik Mukasurat

Indeks 1
Formula 2-3
1. Ketaksamaan Linear
2. Set 4
3. Persamaan Linear Serentak 5
4. Persamaan Kuadratik 6
5. Garis & Satah dalam 3 Matra 7
6. Penaakulan Matematik 8-9
7. Garis Lurus 10 -11
8. Matriks 12
9. Kebarangkalian 13
10. Isipadu 14
11. Perimeter dan Luas 15 - 16
12. Kecerunan dan Luas di bawah Graf 17 - 18
13. Bulatan III 19
14. Graf Fungsi II 20 - 21
15. Penjelmaan III 22 - 23
16. Statistik 24 - 25
26 - 27

MATHEMATICAL FORMULEA

The following formulae may be helpful in answering the questions.

RELATIONS ( HUBUNGAN )

1 ) am an  amn 7 ) Pythagoras Theorem / Teorem
2 ) a m  a n  a mn
Pithagoras
 3 ) am n  amn
c2  a2  b2

8) PA  nA
nS 
1  d b 
4) A1  ad  bc c a 9 ) PA'  1  PA

5 ) Distance/ Jarak 10 ) m  y2  y1
x2  x1
 x2  x1 2  y2  y1 2
11 ) m   y  int ercept
6 ) Midpoint / Titik tengah x  int ercept

(x, y)   x1  x2 , y1  y2  m   p int asan  y
2 2 p int asan  x

1

dis tan ce travelled
12 ) Average speed 

time taken
jarak yang dilalui
Purata Laju 
masa yang diambil
sum of data
13 ) Mean 
number of data
hasil tambah nilai data
Min 
bilangan data
sum of (class mark  frequency)
14 ) Mean 
sum of frequencies
hasil tambah (nilai titik tengah kelas  ke ker apan)
Min 

hasil tambah ke ker apan

SHAPES AND SPACE ( BENTUK DAN RUANG )

1 ) Area of trapezium / Luas trapezium
 1  sum of parallel sides  height
2
 1  hasil tambah sisi selari  tinggi
2

2 ) Circumference of circle  d  2r
Lili tan bula tan  d  2j

3 ) Area of circle  r2
Luas bula tan  j2

4 ) Curved surface area of cylinder  2rh
Luas permukaan melengkung selinder  2jt

5 ) Surface area of sphere  4r2
Luas permukaan sfera  4j2

6 ) Volume of right prism / Isipadu prisma tegak
 cross sectional area  length
 luas ker a tan rentas  panjang

7 ) Volume of cylinder  r2h
Isipadu silinder  j2t

2

8 ) Volume of cone  1 r2h
3

Isipadu kon  1 j2t
3

9 ) Volume of sphere  4 r3
3

Isipadu sfera  4 j3
3

10 ) Volume of pyramid / Isipadu piramid

 1  base area  height
3

 1  luas tapak  tinggi
3

11 ) Sum of int erior angles of a polygon

Jum hasil sudut pedalaman poligon

 n 11800

arc length angle subtended at centre
12 ) 
circumference of circle 360 0

panjang lengkok sudut pusat

lili tan bula tan 360 0

area of sector angle subtended at centre
13 ) 
area of circle 360 0

luas sektor sudut pusat

luas bula tan 360 0

14 ) Scale factor / Faktor skala
k  PA'
PA

15 ) Area of image  k 2  area of object

Luas imej  k 2 luas objek

3

1 LINEAR INEQUALITIES / KETAKSAMAAN LINEAR

Above Above Above Right

≥ ≥ ≥ Left ≥
≤
Below Below Below

≤ ≤ ≤

Solid Line for ≥ or ≤
Dashed Line for > or < only

1 ) Shade the region which satisfies the three inequalities y  x , y  3x  6 and y  6 .x=1x=1

yy

6 y=x 6 y=x
4
4

2 y + 3x = 6 2 x
O 2
y + 3x = 6

x O2

2 ) Shade the region which satisfies the three inequalities 2 + 3 = 12 , y  4 andx=1x=1
x 6.

yy

44 y=4 44

x= 6

2 2

2x + 3y = 12 2x + 3y = 12

O6 xO 6 x

4

2 SET

A − di dalam set A
A’ − di luar set A
 − gabungkan jadi satu / SEMUA
 − senaraikan unsur yang SAMA

1 ) Shade the following set

a ) (Q’  R )  P R Labelkan R Lorekkan R
P P 4 P

Q Q Q
1 23

5

(Q’  R )  P
= (1,4, 5  3,4 )  1
= 4 1
= 4,1

b ) M’  ( P  L ) Labelkan M Lorekkan M
LM L L
12 34
P 1234 P 5 P
65 6

M’  ( P  L )
= 1,5 ,6  ( 4,5  1,2 )
= 1,5,6  1,2,4,5
= 1,5

5

3 LINEAR SIMULTANEOUS EQUATIONS /
PERSAMAAN LINEAR SERENTAK

1 ) Calculate the value of x and y that satisfy the following simultaneous linear equations
Hitung nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut

Kaedah Penghapusan

a ) 2x  1 y  3 hapuskan pecahan samakan penyebut x
3  x 3.... 6x + y = 9 .…. 6x + y = 9 .….

3x − y = 9 3x − y = 9 .….  x 2.... 6x − 2y =18 .….

2x  1 y  3 .…

3

3x − y = 9 ….

Operasi  −  () 3x  y  9 ……
6x + y = 9 …….
6x − 2y = 18 ……. 3x  (3)  9
3x  3  9
y − −2y = 9 − 18 3x  9  3
y + 2y = − 9 3x  6

3y = − 9 x 6 =2
3
9

y=

3

y=−3

Kaedah Gantian − y = 9 − 3x y  9  3x

b ) 2x  1 y  3 y  9  3x y  9  3(2)
3 y  9  6

3x − y = 9 y  3

2x  1 y  3 ……

3

3x − y = 9 …….

Penyebut tunggal
…. 3x − y = 9

.... 2x  1 y  3

3
2x  1(9  3x)  3

3
2x  1(9) 1(3x)  3

33
2x  3  x  3
2x  x  3  3
3x  6

x6 2
3

6

4 QUADRATIC EQUATION / PERSAMAAN KUADRATIK

Expanding Quadratic Expression Forming Quadratic Equation

x(ax  b) = ax2  bx ax2  bx  d ax  b  cx  d
c x
a(x2  b) = ax2  ab
ax2  bx  d ax  b  cx  d
(x  b)(x  c) = x2  cx  bx  bc c x
= x2  (b  c)x  bc
ax2  bx  cd x(ax  b)  cx  d
ax2  bx  cd  0 ax2  bx  cx  d
ax2  bx  cx  d  0

a ) x 2 − 5x = 2( x − 6 ) b ) x2 + 8x + 5 = 5( x + 3 )
x 2 − 5x = 2x − 12
x 2 − 5x − 2x + 12 = 0 x2 + 8x + 5 = 5x + 15
x 2 − 7x + 12 = 0 x2 + 8x −5x + 5 − 15 = 0
x2 + 3x − 10 = 0
( x − 3 )( x − 4 ) = 0 ( x − 5 )( x + 2 ) = 0
x = 3 or x = 4 x = 5 or x = −2

c ) x2 8  2x
3

x 2 + 8 = 3( 2x )
x 2 + 8 = 6x
x 2 − 6x + 8 = 0
( x − 2 )( x − 4 ) = 0
x = 2 or x = 4

Mencari punca−punca Persamaan Kuadratik menggunakan Kalkulator Sc fx−570

Tekan MODE 3 kali EQN 1

UNKNOWMS  DEGREE 2

a  masukkan nilai a dan tekan 
b  masukkan nilai b dan tekan 
c  masukkan nilai c dan tekan 
x1  merupakan jawapan pertama.
Untuk jawapan kedua tekan  sekali lagi
x2  . Jika jawapan dalam pecahan tak
wajar, tekan shift a bc .

Kembali ke fungsi normal 3
Tekan SHIFT MODE All

7

5 Line and Angle in 3D / Garis & Satah Dalam 3 Matra

5.1 Sudut antara garis dan satah 5.2 Sudut antara dua satah
E E

di bawahnya di bawahnya

DC DC



AB AB

Bucu sepunya -Bucu garis Bucu/garis sepunya –
bertemu bucu satah
Bucu/garis satah bertemu

 Line  Plane ( location )  satPalahne  Plane ( location )
 AE  ABCD ( bawah )   ABE
 ABCD ( bawah ) 
 EAC
 E AB
 Bucu  Bucu
yang tinggal sepunya Bucu Bucu/
yang garis
 Bucu
di bawahnya tinggal sepunya

pada satah  Jarak terpendek  Bucu dibawah
EA dan EB nya pada

satah

E BC

5.3 Cari sudut Teorem Phytagoras

 hypo hypo opp c b Sisi hypo 
Bukan hypo
adj  

adj a

opp ( hypo)2 = ( opp )2 + ( adj )2
c2 = a2 + b2

sin   o cos  a tan   o 3, 4, 5 Perlu hafal
hha 5, 12, 13 dan ingat
7, 24, 25
SOH CAH TOA 8, 15, 17

opp -opposite
adj - adjacent

8

1 ) The diagram shows a cube PQRSTUVW 2 ) The diagram shows a right prism. The
with a horizontal base PQRS. Point K right-angled triangle EFG is the uniform
and M are the midpoint of VW and QR cross-section of the prism.
respectively.
H 6 cm
TW 8 cm K

U VK J

S 12 cm G
R
F
M
P 8 cm Q E

Identify and calculate the angle Identify and calculate the angle
between the line PK and the base between plane FHJ and EGHJ
PQRS

Solution :  PQRSM ( bawah ) Solution :  EGHJ ( belakang )
PK FHJ
PM HJ
K F HG
F
PM = 82  42 = 80 = 8.944 cm
H
K

8 cm 

 12 cm

P 8.944 cm M G 6 cm F

8 6
Tan KPM = Tan FHG =

8.944 12
= 0.8945 = 0.5

KPM = Tan−1 0.8945 FHG = Tan−1 0.5
= 41.810 = 26.560

9

6 Mathematical Reasoning / Penaakulan Matematik

6.1 Pernyataan ( Statements ) 6.5 Hujah ( Arguments )

Pernyataan Hujah 1
− ayat lengkap, tidak tergantung Premis 1 : Jika x = P maka x = Q
− ayat yang mempunyai maksud yang Premis 2 : x = P
jelas benar atau kepalsuannya Kesimpulan : x = Q

6.2 Pengkuantiti “Semua” atau Premis 1 : Jika x = P maka x = Q
“Sebilangan” Premis 2 : x  P
Kesimpulan : x  Q
Semua −setiap objek menepati kreteria
Sebilangan −sekurang−kurang satu objek Hujah 2
Premis 1 : Jika P > Q maka P+a > Q+a
menepati kreteria yang diberikan. Premis 2 : P > Q
Kesimpulan : P+a > Q+a
6.3 Pernyataan Gabungan ‘Atau’ atau
‘Dan’ Premis 1 : Jika P > Q maka P+a > Q+a
Premis 2 : P < Q
p q p dan q p atau q Kesimpulan : P+a < Q+a

Benar Benar Benar Benar Hujah 3
Benar Palsu Palsu Benar Premis 1 : Jika x ialah P maka x ialah Q
Palsu Benar Palsu Benar Premis 2 : x ialah P
Palsu Palsu Palsu Palsu Kesimpulan : x ialah Q

a ) 12 − 8 = 4  Benar Premis 1 : Jika x ialah P maka x ialah Q
 Premis 2 : x bukan P
dan 6 x 2 = 12 Kesimpulan : x bukan Q
b ) (−1)(−5) = 5  Palsu
 Hujah 4
dan b x b = 2b Premis 1 : Semua P ialah Q
c ) −2 > 0  Benar Premis 2 : R ialah P
 Kesimpulan : R ialah Q
atau 100 cm = 1m
d ) (−3)(1) = 3  Palsu

atau 0 − 2 = 2

6.4 Implikasi ( Implication ) 6.6 Deduksi dan Induksi

Jika P , maka Q a ) Diberi bahawa turutan 6, 22, 48, 84…..
6 = 5( 0 )2 + 1
P ialah antecedent ( kesan ) 22 = 5( 1 )2 + 2
Q ialah consequent ( akibat ) 48 = 5( 2 )2 + 3
84 = 5( 3 )2 + 4
Implikasi “jika dan hanya jika”
……………….
P jika dan hanya jika Q Kesimpulan : 5n2 + n

Implikasi 1 : Jika P maka Q n = 0, 1, 2, 3, ……..
Implikasi 2 : Jika Q maka P
b ) Diberi bahawa turutan 1, 10, 25, 46……
P jika dan hanya jika Q 1 = 3( 1 )2 − 2
10 = 3( 2 )2 − 2
Implikasi 1 : Jika depan maka belakang 25 = 3( 3 )2 − 2
Implikasi 2 : Jika belakang maka depan 46 = 3( 4 )2 − 2

Akas( converse ) suatu Implikasi ……………….
Kesimpulan : 3n2 − 2
Jika P maka Q
Akas : Jika Q maka P n = 1, 2, 3, 4, …..

10

1 ) a ) State whether the following 2 ) a ) State whether the following
statement is true or false. statement is true or false.
Nyatakan sama ada pernyataan Nyatakan sama ada pernyataan
berikut adalah benar atau palsu berikut adalah benar atau palsu

All triangle have sides of equal 42 = 16 or −5 < −2
length 42 = 16 atau −5 < −2
Semua segi tiga mempunyai
sisi−sisi yang sama panjang b ) Write down two implications based
on the following compound
b ) Write down two implications based on statement :
the following sentence : Tulis dua implikasi berdasarkan
pernyataan berikut.
m − 3 > 0 if and only if m > 3
p −q > 0 if and only if p > q
Tulis dua implikasi berdasarkan ayat p −q > 0 jika dan hanya jika p > q
berikut.
c ) Write down premise 2 to complete
m − 3 > 0 jika dan hanya jika m > 3 the following argument:
Tulis premis 2 untuk melengkapkan
c ) Write down premise 2 to complete the hujah berikut :
following argument: Premise 1 : All subset of P are subset
Tulis premis 2 untuk melengkapkan of Q.
hujah berikut : Premis 1 : Semua subset P adalah
Premise 1 : All quadrilaterals have two subset Q.
diagonals.
Premis 1 : Semua segiempat Premise 2 / Premis 2 : ……………
mempunyai dua
pepenjuru. Conclusion : Set R is not a subset of P
Kesimpulan: Set R bukan subset P
Premise 2 / Premis 2 : ……………
d ) Make a general conclusion by
Conclusion : A rhombus is a induction for the sequence of
quadrilateral numbers 10, 13, 19, ... which follow
the following pattern.
Kesimpulan: Rhombus ialah segiempat Buat satu kesimpulan umum secara
aruhan bagi urutan nombor 10, 13,
b ) Make a general conclusion by 19, ... yang mengikut pola berikut.
induction for the sequence of
numbers 5, 8, 11, ... which follow the 10 = 3( 2 )0 + 7
following pattern. 13 = 3( 2 )1 + 7
Buat satu kesimpulan umum secara 19 = 3( 3 )2 + 7
aruhan bagi urutan nombor 5, 8, 11, ... ............................................
yang mengikut pola berikut.

5 = 3( 1 ) + 2
8 = 3( 2 ) + 2
11 = 3( 3 ) + 2
............................................

[ 5 marks ] ( July SPM 2009 )

Solution : Solution :
a ) palsu a ) benar

b ) Implikation 1 / Implikasi 1 : b ) Implikation 1 / Implikasi 1 :
Jika m −3 > 0, maka m > 3 Jika p −q > 0, maka p > q

Implikation 2 / Implikasi 2 : Implikation 2 / Implikasi 2 :
Jika m > 3, maka m −3 > 0 Jika p > q, maka p −q > 0

c ) Premise 2 / Premis 2 : c ) Premise 2 / Premis 2 :
Rhombus mempunyai dua pepenjuru Set R is not a subset of Q

d ) Conclusion / Kesimpulan : d ) Conclusion / Kesimpulan : :
3n + 2 n = 1, 2, 3, 4, .......... 3(2)n  7 n = 0, 1, 2, 3,.........

11

7 Straight Line / Garis Lurus

Garis selari kecerunan sama Pintasan
Garis selari y (x = 0)
b

Persamaan garis selari a = xintercept
Garis selari by  ax  c melalui titik ( p, q) b = yintercept
b y a xc
a x (y = 0)
b y  a x  k ……… ( p, q)
b(q)  a( p)  k x−intercept y = 0 ( tutup y )
y−intercept x = 0 ( tutup x )
k  bq  ap

1 ) In the diagram, straight line AB is 2 ) In the diagram, ABCD is rectangle. The
parallel to straight line CD. Given that
the equation of straight line CD is equation of line AD is y  2 x  8 . Find
3
3x  y  9 , find
a ) The equation of BC
a ) The equation of straight line AB b ) The y−intercept of BC
b ) The x−intercept of straight line AB
yA
y
A(−3,6) C D B(9,2)
C x
x
Solution :
BD a ) y 2x8

Solution : 3
a ) 3x  y  9 y  2 x  k ………… B(9,2)

3x  y  k ………… A(−3,6) 3
3(3) 6  k 2 (9)  k  2
9  6  k 3
3  k 2(3) k  2
k  26
3x  y  3 k  4

b ) x−intercept ( tutup y ) y 2x4
3x  y  3 3
3x  0  3
3x  3 b ) y−intercept ( tutup x )
x  1 y 2x4
x−intercept = −1 3
y0 4

y  4
y−intercept = −4

12

8 Matrices / Matriks

Matriks songsang bagi  p q  ialah A 1 = a 1 b      ps 1 rq  sr q 
r s   p

1 ) a ) Given that the inverse matrix of 2 ) a ) Given that

65 11 is 111 f g1 , state 1  p 54 5  42   1 01 , find
5 k 3 3  0

the value of f and g. the values of k and p.

b ) Using matrices, calculate the value b ) Using matrices, calculate the value

of x and y that satisfy the of x and y that satisfy the

following simultaneous equation. following simultaneous equation.

65 11 x   184  53  42 x   182
y  y

Solution : Solution :

a ) Inverse matrix 65 11 a) Inverse matrix  5  4 
3  2

6  6 11 = a 1 b     10  5  42 = a 1 b    
5 5  12 3  

 1  1 61  1   2 54 
65 5 10  12  3

1  1 61 1   2 4 
 11 5 2  3 5

Compare to 111 f g1 Compare to 1  p 4 
5 k 3 5

f = −1 g=6 k=2 p = −2

b)  6 11 x   184 b)  5  42 x   182
5 y 3  y

 x   imnvaetrrsixe184  x   imnvaetrrsixe182
y y

 1  1 61 184  1   2 4  182
 11 5 2  3 5

 111  1( )  1( ))  1   2( ) 4( ))
 5( ) 6( 2  3( ) 5(

 111 1(8)  1(14)   1   2(12)  54((88))
 5(8)  6(14) 2  3(12) 

 111 4242  1  8 
2 4

  42421111   8 2 
4 2

  24  24

x=2 x=4
y = −4 y=2

13

9 Probability / Kebarangkalian

Kebarangkalian suatu peristiwa, P(A)

P(A) = n(A) n(A)  bil. kesudahan
n( S )  ruang sampel ( jumlah kesudahan )
n(S)

1 ) The diagram shows eight labeled cards 2 ) The diagram shows six cards labeled with
in bags A and B. A card is picked at letters.
random form each of the bags. Rajah menunjukkan enam kad berlabel
Rajah menunjukkan lapan kad berlabel dengan huruf.
dalam bag A dan bag B. Sekeping kad
dipilih secara rawak dari setiap bag. B E YOND

All these cards are put into a box. A

1P3Q5 2R4 two−letters code is to be formed by

Bag A Bag B using any two of these cards. Two cards

are picked at random, one to another,

a ) List all sample space without replacement.
Senaraikan ruang sampel
Kesemua kad ini dimasukkan ke dalam
b ) List all the outcomes of the events
and find the probability that sebuah kotak. Suatu kod dua huruf
Senaraikan kesudahan setiap
peristiwa and cari keberankalian hendak dibentuk menggunakan
bahawa
i ) Both cards are labelled with a mana−mana dua daripada kad ini. Dua
letter
Kedua-dua kad berlabel kad dipilih secara rawak, satu persatu
dengan huruf
ii ) One card is labeled with a tanpa dikembalikan.
letter and the other card is
labeled with a number. a ) List all sample space
Sekeping kad berlabel
dengan huruf dan kad yang Senaraikan ruang sampel
satu lagi berlabel dengan
nombor. b ) List all the outcomes of the events

and find the probability that

Senaraikan kesudahan setiap

peristiwa and cari keberankalian

bahawa

i ) The code begins with the letter Y

Kod itu bermula dengan huruf Y

ii ) The code consists of two vowels

Kod itu terdiri daripada dua

vokal

Solution : Solution :
a ) Sample space
a ) Sample space

1 2R4 B E YOND
( 1, 2 ) ( 1, R ) ( 1, 4 ) ( B, E ) ( B Y ) ( B, O ) ( B, N ) ( B, D )

P 2R4 E BYOND
( P, 2 ) ( P, R ) ( P, 4 ) ( E, B ) ( E, Y ) ( E, O ) ( E, N ) ( E, D )

3 2R4 Y BEOND
( 3, 2 ) ( 3, R ) ( 3, 4 ) ( Y, B ) ( Y, E ) ( Y, O ) ( Y, N ) ( Y, D )

Q 2R4 O BEYND
( Q, 2 ) ( Q, R ) ( Q, 4 ) ( O, B ) ( O, E) ( O, Y ) ( O, N ) ( O, D )

5 2R4 N B E YOD
( 5, 2 ) ( 5, R ) ( 5, 4 ) ( N, B ) ( N, E ) ( N, Y ) ( N, O ) ( N, D )

b ) i ) {(P,R), (Q,R)} = 2 D B E YON
15 ( D, B ) ( D, E ) ( D, Y) ( D, O ) ( D, N )

ii ) {(1,R), (P,2), (P,4), (3,R), (Q,2), (Q,4), b ) i ) {(Y,B), (Y,E), (Y,O), (Y,N), (Y,D)}
(5,R)}
= 5 1
=
30 6
7
= ii ) {(E,O), (O,E)} = 2 = 1
30 15
15

14

10 Volume / Isipadu

Volume of cylinder  r2h r Volume of sphere  4 r 3
Isipadu silinder  j 2t
3

h Isipadu sfera  4 j 3 r
3

Volume of a half cylinder r Volume of a half sphere
 1  r 2h
2 h  1  4 r 3 r
23
Isipadu separuh silinder
 1  j 2t Isipadu separuh sfera
2
 1  4 j 3
Volume of cone  1 r2h 23
3
Volume of pyramid
Isipadu kon  1 j 2t
3 h / Isipadu piramid h
 1  base area height
Volume of a half cone r 3
 1  1 r 2h
23  1  luas t apakt inggi Luas tapak
3
Isipadu separuh kon
 1  1 j 2t h
23 r

Volume of right prism / Isipadu prisma tegak tebal
 cross sec tional area  length
Luas keratan
 luas ker a tan rentas  panjang rentas

Luas keratan
rentas

panjang

a=4

h = 12 h = 12 h=6 b=5
b=5 l=7
w=5 l=7 a=4

l=4 r=4 h=6

V= 1  w  h  l V= 1  22 r 2h V= 1 (a  b)  h  l
3 3 7 2

= 1  4  5 12 = 1  22  42 12 = 1 (4  5) 6 12
3 3 7 2

15

1 ) Diagram 9, shows a solid cuboid. A half Solution :
−cone solid ABCD is taken out from the Isipadu kuboid = WHL
cuboid. = 7x5x9
Rajah 9 menunjukkan sebuah pepejal = 315
berbentuk kuboid. Sebuah pepejal
berbentuk separuh kon dikeluarkan Isipadu separuh kon = 1  1 j 2t
daripada kuboid itu. 2 3

D  1  1  22 (72)2 9
2 3 7
5 cm
= 57 3
4

Isipadu pepejal yang tinggal

A C 9 cm = 315 − 57 3
4

= 257 1 cm3.
4
B
7 cm
Diagram 9 / Rajah 9

Using  = 22 , calculate the volume, in
7

cm3, of the remaining solid. Give the

answer correct to two decimal places.

Mengunakan  = 22 , hitung isipadu,
7

dalam cm3 , pepejal yang tinggal. Beri

jawapan betul kepada dua tempat

perpuluhan.

[ 4 marks ] ( July SPM2009 )

2 ) Diagram 3, shows a solid cone with Solution :
radius 9 cm and height 14 cm. A
cylinder with radius 3 cm and height 7 Isipadu kon = 1 j 2t
cm is taken out of the solid. 3
Rajah 3 menunjukkan sebuah pepejal
berbentuk kon berjejari 9 cm dan = 1  22  9  9 14
tinggi 14 cm. Sebuah silinder yang 3 7
berjejari 3 cm dan tinggi 7 cm
dikeluarkan daripada pepejal itu. = 1188

Isipadu silinder = j2t

= 22  3  3  7
7

= 198

Isipadu pepejal yang tinggal
= 1188 − 198
= 990 cm3.

Diagram 8 / Rajah 8

Calculate the volume, in cm3, of the

remaining solid.

Hitung isipadu, dalam cm3 , pepejal

yang tinggal.

[ Use / Gunakan = 22 ].
7

[ 4 marks ] ( k2s6 SPM2005 )

16

11 Perimeter and Area / Perimeter dan Luas

Perimeter Luas r

1 ) Circumference of circle  2r 2 ) Area of circle r 2
Lilitan Bulatan = 2j r

Luas bulat an j 2

3 ) Arch of a sector  4 ) Area of sect or  r 2 
   2r r Luas sekt or  j 2 r
360

Panjang lengkung sektor
   2r
360

5 ) Area of trapezium / Luas trapezium a

 1  sum of parallel sides  height a
2 b tinggi

 1  hasil t ambah sisi selari  t inggi tapak b
2

1 ) Diagram 9, OQRS is a square. OPQS is a Solution :
sector of a circle with center O.
Rajah 9, OQRS ialah segiempat sama. a ) Lengkok PQ =   2j
OPQS ialah sektor bagi sebuah bulatan 360
berpusat O.
= 30  2(22)(14) = 7 1 cm
RS 360 7 3

Perimeter = PQ + QR + RS + SO + OP

= 7 1 + 14 + 14 + 14 + 14
3

14 cm = 63 1 cm
3

QO b ) Luas OPQ =   j2
300 360

= 30  22 (14)2 = 511
360 7 3

P Luas OQRS = WL
Diagram 9 / Rajah 9 = 14 14
= 196
Using  = 22 . and give the answer to
7 Luas OQS =   j2
360
two decimal places. Calculate
= 90  22 (14)2 = 154
Dengan menggunakan = 22 , dan 360 7
7

beri jawapan kepada dua tempat Luas rantau berlorek
= 196 − 154 + 511
perpuluhan. Hitung 3
= 93 1 cm2
a ) The perimeter, in cm, of the whole 3

diagram

Perimeter, dalam cm, seluruh rajah

b ) The area in cm2, of the coloured

region

Luas, dalam cm2, kawasan yang

berwarna ( July SPM2009 )

17

2 ) Diagram 4 shows two sectors ORST and Solution :
OUV with the same centre O. RWO is a
semicircle with diameter RO and RO = a ) Lengkok RST =   2j
2OV. ROV and OUT are straight lines. 360
Rajah 4 menunjukkan dua sektor
bulatan ORST dan OUV kedua−duanya = 120  2(22)(14) = 29 1 cm
berpusat O. RWO ialah separuh bulatan 360 7 3
dengan RO sebagai diameter dan RO =
2OV. ROV dan OUT ialah garis lurus. Lengkok UV =   2j
360
S
T = 60  2(22)(7) = 7 1 cm
360 7 3
WU
Perimeter = RST + TU + UV + VO + OR
= 29 1 + 7 + 7 1 + 7 + 14
33
= 64 2 cm
3

R OV b ) Luas ORST =   j2
Diagram 4 / Rajah 4 360

OV = 7 cm and UOV = 600. = 120  22 (14)2 = 205 1

OV = 7 cm dan UOV = 600. 360 7 3

Using  = 22 . Calculate Luas OUV =   j2
7 360

Dengan menggunakan = 22 . Hitung
7
= 60  22 (7)2 = 25 2
a ) The perimeter, in cm, of the whole 360 7 3

diagram

Perimeter, dalam cm, seluruh rajah Luas ORW =   j2
360
b ) The area in cm2, of the shaded
= 180  22 (7)2 = 77
region 360 7

Luas, dalam cm2, kawasan yang

berlorek

[ 6 marks ] ( k2s7 SPM2005 ) Luas rantau berlorek
= ORST + OUV − ORW
= 205 1 + 25 2 − 77
33
= 154 cm2

18

12 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Graf Jarak−masa (Distance−Time Graph) Graf Laju−masa ( Speed−Time Graph )

Distance (Jarak) Z Speed (Laju) Z

B Berhenti seketika B Laju seragam

AX Y AX Y

OP QR OP QR

Time (masa) Time (masa)

1 ) Laju = Jarak Pecutan = Kadar perubahan Laju
m asa
1 ) Pecutan = Laju
Jum Jarak m asa
2 ) Purata Laju =

Jum masa

J L Jarak = Luas di bawah graf
LM PM Jum Luas

2 ) Purata Laju =
Jum masa

1 ) Diagram 5 shows the speed−time graph Solution :
of a particle for a period of t seconds. a ) 12 – 5 = 7 saat
Rajah 5 menunjukkan graf laju masa
bagi suatu zarah dalam tempoh t saat. b ) 8 = 1.6 m s−2
5
Speed ( m s−1 )

21

9 c ) Jum Luas = 148 m

Trapezium+segi empat+trapezium= 148

1 1  5(1 9)+7( 9) + 1 (t 12)(9  21) =148
22
12 t
O5 1  5(10) + 7( 9 ) + 1 (t 12)(30) = 148
Time ( s ) 22

a ) State the length of time, in s, that 25 + 63 + 1 15(t 12) = 148
the particle moves with uniform 2
speed
Nyatakan tempoh masa, dalam s, 25 + 63 + 7.5t − 90 = 148
zarah itu bergerak dengan laju
seragam 7.5t + 25 + 63 − 90 = 148

b ) Calculate the rate of change of 7.5t − 2 = 148
speed, in ms−2, of the particle in the
first 5 seconds 7.5t = 148 + 2
Kira kadar perubahan laju, dalam
ms−2, zarah itu pada 5 saat pertama. 7.5t = 150

c ) Calculate the value of t, if the total t = 150 = 20 saat
distance travelled for the period of t 7.5

seconds is 148 m.
Hitung nilai t, jika jumlah jarak yang
dilalui dalam tempoh t saat itu ialah
148 m. [ 6 marks ] ( k2s9 SPM2005 )

19

13 Bulatan III

Bulatan Tangen Pada Bulatan

x mx Tangent to a
m n
O radius circle is a
n y straight line
y that touches
m + n + x + y = 3600 m + n = 1800
x + y = 1800 tangent the circle at
B
90o x C exactly one

y O PM Q point, called
the contact
Contact point point.

O

A x + y = 900 P MQ
If line AC passes through centre
point, OMP and OMQ -right angle
then ABC is a right angle triangle triangle

A

O p qC

a N B
O p + q = 1800

2a A
M

a a x y
a a O m nC
M
 B
O
NN OAC = OBC = 900

M

OA = OB, AC = BC

x + y = 900 m + n = 900

x=m y=n

O A

=y x =y yx
O x
MN y
MON – isosceles triangle C

OM = ON OMN = ONM = y

y  1800  x B
2

20

Sudut antara tangen dan temberang selang seli

m
n

mn C
AB

m m
n n

mn mn

A B CA B C

21

14 Graf Fungsi II

Type of Functions Type of Shape of Graph
y  axn Graph
a0 a0
a) Linear Function, n = 1
y y

y  ax  c Straight c
c
line

b) Quadratic Function, y = ax+c x x
n =2 y x
y  ax2  bx  c y = -ax+c

y

Parabola

x

y = ax2 y = -ax2
y
y
c x

c x y = -ax2+c

y = ax2+c y
y

x x
x
y = ax2+bx y = -ax2+bx
y
c y

y = ax2+bx+c c
y
x

c) Cubic Function, n = 3 y = -ax2+bx+c
y

y  ax3  bx  c Cubic

graph x x
x
y = ax3 y = -ax3
y y

c c
x
y = ax3+c
y y = -ax3+c
y

cc

x x
y = ax3+bx+c ( b > 0) y = -ax3+bx+c ( b > 0)

2212

yy

c c
x x

d) Reciprocal Function, y = ax3+bx+c ( b < 0) y = -ax3+bx+c ( b < 0)

y y

n = -1 Hyperbola

y  a or y  ax1 x x
x
ya ya
x x

213

15 Penjelmaan III

Transformations Example

a)  x   kanan  kiri I is the image of object O
y  atas _ bawah
Tranlations under a

Movement of x units along the translation  5  .
2
x−axis and y units along the y−axis

Pergerakan x unit pada paksi−x  5 langkah ke kaitrai s
dan di ikuti y unit pada paksi−y. 2 langkah ke

y

5

I4

3

2O

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

b ) Reflection I is the image of object O
A reflection in the line ........... under a reflection in the line x =
Pantulan pada garis ………. 3.

c ) Rotations y
A rotations of R0 clockwise
(anticlockwise) about the centre P 4
(x, y).
Putaran R0 ikutjam ( lawanjam ) 3 OI 6 x
pada pusat P( x, y ) 2
1 O
d ) Enlargements
An enlargements of scale factor k -1 0 x=3
with centre at P ( x, y) 1 23 4 5
Pembesaran dengan faktor skala k
pada pusat P ( x, y ) I is the image of object O
under a rotation of 900
clockwise about the centre
(4,2).

y I
 P(4,2)
5

4O

3

2

1

-1 0 1 2 3 4 5 6 x

I is the image of object O
under an enlargement of scale
factor 2 with centre (0, 1).

2214

Scale factor /Faktor skala y
k = Im age dis tan ce = Jarak Im age =
5
Object dis tan ce Jarak Objek
4 I
PI
PO 3

Area of image/Luas imej ( I = O
k2O )
2
= k2 x Luas objek
1 P(0,1)

-1 0 1 2 3 4 5 6 x

2215

16 Statistik

OGIF HISTOGRAM POLIGON KEKERAPAN

OKLS HPKTT
K
KL U K



 

 

 

 
 
S ST

Bentuk S Tangga Bukit

Sempadan Atas = 62 + SA + Jadual Min
0.5 Titik SB
tengah = 2 Markah Titik Kekerapan fx
= 62.5 Titik Tengah 60 + 62 Tengah (f)
=2 122
(x) 192
61 335
Kekerapan Longgokan = 60  62 61 2 560
146
Marks Kekerapan Kekerapan 63  65 64 3 1355
Longgokan
66  68 67 5

60  62 2 2 69  71 70 8

63  65 3 5 72  74 73 2

66  68 5 10 20

69  71 8 18 1355
Min = 20
72  74 2 20
= 67.75
Kuartil = KL  4
20 Kelas Mod = 69  71
= 4

KL =5 Saiz kelas = 3

 Komen
8 pelajar mendapat
Q3 
markah di antara
Q2  6971.

Q1  S




K1 = 25% daripada data
K2= 50% daripada data

 median

K3 = 75% daripada data

2261

Julat interkuartil K
= K3 - K1


 

 

 TT

SEMOGA BERMANFAAT

2217