เมทริกซ์-ชุดกิจกรรม

ผลการแก้ไขปญั หาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนต่าในเรื่อง เมทริกซ์
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรียนในเตาพทิ ยาคม จังหวัดตรัง
โดยใช้ส่อื การเรยี นรู้ ชุดฝึกกิจกรรมการเรียนรู้เมทรซิ ์

โดย
นางสาววีร์วิกา อบุ ลจันทร์

ตา่ แหน่ง ครู

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
โรงเรยี นในเตาพทิ ยาคม อ่าเภอห้วยยอด จงั หวดั ตรงั
สา่ นักงานเขตพนื้ ที่การศึกษาการมัธยมศึกษาตรงั กระบี่

ส่านกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน

ค่านา่

เอกสารรายงานการวิจัยในชั้นเรียน เร่ือง “ผลการแก้ไขปัญหาผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนต่าในเร่ืองเมทริกซ์
ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรยี นในเตาพทิ ยาคม อ่าเภอห้วยยอด จังหวัดตรัง โดยใช้ส่ือการเรียนรู้ ชุดฝึกกิจกรรมการ
เรียนรู้เมทริกซ์” ฉบับน้ีจัดท่าขึ้นเพ่ือแก้ไขปัญหาการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5
และเป็นแนวทางในการท่าวิจัยในชั้นเรียนส่าหรับครูกลุ่มสาระการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ หรือ กลุ่มสาระการเรียนรู้
อนื่ ๆ ท่ีสนใจ อนั จะส่งผลใหก้ ารเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ มปี ระสิทธภิ าพมากย่ิงข้นึ

ขอขอบคณุ ผู้มีสว่ นเกย่ี วข้องท่ีกรุณาให้คา่ ปรกึ ษา ช่วยเหลือ แนะน่า ตลอดจนนักเรียนท่ีเป็นกลุ่มตัวอย่างใน
การจัดทา่ วจิ ัยในช้ันเรยี นคร้ังนี้เปน็ อย่างยง่ิ

นางสาววรี ว์ ิกา อุบลจันทร์
ผู้เขียน

สารบัญ หนา้
1-2
เรือ่ ง

ค่าน่า
รายงานการวจิ ยั ในชั้นเรียน เรอื่ ง “ผลการแกไ้ ขปัญหาผลสัมฤทธทิ์ างการเรยี นต่า
ในเร่อื ง เมทริกซ์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรียนในเตาพทิ ยาคม จงั หวดั ตรัง
โดยใชส้ ื่อการเรียนรู้ ชดุ ฝกึ กจิ กรรมการเรยี นรู้เมทริกซ์”

- ความส่าคญั ของปญั หาการวิจยั
- วัตถุประสงค์การวจิ ัย
- วธิ ีดา่ เนนิ การวิจยั
- สรุปผลการวจิ ัย
บรรณานกุ รม
ภาคผนวก
ภาคผนวก ก ชดุ ฝกึ กจิ กรรมการเรยี นรู้เมทริกซ์
ภาคผนวก ข ผลการวิเคราะห์ขอ้ มลู
ภาคผนวก ค บรรยากาศช้นั เรยี น

1.ชื่อปัญหาการวิจัย “ผลการแก้ไขปัญหาผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนต่าในเร่ือง เมทริกช์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5
โรงเรียนในเตาพิทยาคม จังหวัดตรงั โดยใช้ส่ือการเรยี นรู้ ชุดฝึกกิจกรรมการเรียนรู้เมทรกิ ซ์”
2. ปัญหาวิจัย ท่าอย่างไรนักเรียนที่มีผลสัมฤทธ์ิไม่ผ่านเกณฑ์ข้ันต่าในห้องเรียนปกติ จะสามารถมีผลสัมฤทธิ์
ทางการเรียนคณติ ศาสตร์ เร่ืองเมทริกชส์ งู ข้นึ
3.ความส่าคัญของปัญหาการวจิ ยั

2.1 เป็นแนวทางหน่งึ ในการแก้ไขปัญหาผลสมั ฤทธ์ิทางการเรยี นตา่ ในเรือ่ งเมริกช์ โดยใชส้ อื่ การเรียนรู้ชดุ
กจิ กรรมการเรยี นรู้เมทริกซ์

2.2 เป็นแนวทางหนง่ึ ในการพัฒนาทักษะพื้นฐานการเรียน เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการสอง
ตวั แปรท่ีซบั ซอ้ นต่อไปได้
3.วัตถปุ ระสงคก์ ารวิจัย

3.1 เพือ่ แก้ไขปัญหาผลสมั ฤทธท์ิ างการเรียนต่า เรอื่ งเมริกช์ โดยใชส้ ่อื การเรียนรู้ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้
เมทริกซ์

3.2 เพื่อเปรียบเทียบผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนก่อนเรียนและหลังเรียน
3.3 เพ่ือศึกษาความพงึ พอใจตอ่ การเรยี นรู้โดยใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้เมทริกซ์

4.วธิ ีด่าเนนิ การวิจยั
4.1 ประชากร / กลมุ่ ตวั อยา่ งทศ่ี กึ ษา นักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรียนในเตาพทิ ยาคม

จงั หวัดตรงั ปีการศกึ ษา 2564 กลุ่มตวั อยา่ ง จ่านวน 17 คน
4.2 เครือ่ งมอื การวิจยั
4.2.1 เครื่องมอื ในการแกป้ ัญหา ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ช้นั ม.5

เร่ืองเมทริกช์
4.2.2 เครอื่ งมือในการเก็บรวบรวมข้อมลู แบบทดสอบก่อนเรียนละหลงั เรยี น แบบวดั ความ

พึงพอใจต่อกจิ การเรยี นรโู้ ดยใช้ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้เมทริกซ์
4.3 วิธีการเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล ผู้วจิ ัยเก็บรวบรวมขอ้ มลู จากบนั ทกึ คะแนนกอ่ นเรยี นและหลังเรียน

ของนกั เรยี นทีเ่ ขา้ รว่ มการวิจยั โดยใชแ้ บบทดสอบก่อนเรยี นและหลงั เรียน โดยเก็บข้อมูลจากนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา
ปที ี่ 5 โรงเรยี นในเตาพิทยาคม จงั หวัดตรัง จา่ นวน 17 คน

4.4 สถิตทิ ีใ่ ช้ และวิธกี ารวเิ คราะหข์ อ้ มลู
4.4.1 หาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนกอ่ นเรียนและหลงั เรียน และ

แบบวดั ความพึงพอใจตอ่ การเรียนรู้โดยใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้เมทรกิ ซ์
4.4.2 หาคา่ สถิติทดสอบความแตกตา่ งของค่าเฉลย่ี คะแนนกอ่ นเรียนและหลงั เรยี น t-test

dependent

5. สรุปการวิจยั
จากการวิจัยพบว่า ค่าคะแนนเฉลี่ยก่อนเรียน เท่ากับ 5.76 คะแนน ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานก่อนเรียน

เท่ากับ 1.68 ค่าคะแนนเฉลี่ยหลังเรียน เท่ากับ 13.24 คะแนน ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหลังเรียน เท่ากับ 2.17
จะเห็นได้ว่าผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนหลังเรียนสูงกว่าก่อนเรียน เม่ือน่ามาทดสอบโดยใช้สถิติทดสอบ t-test
dependent พบว่า ค่าคะแนนเฉล่ียหลังเรียนสูงกว่า ก่อนเรียนอย่างมีนัยส่าคัญทางสถิติที่ระดับ .05 จากการ
สอบถามโดยใชแ้ บบวดั ความพึงพอใจตอ่ การเรียนโดยใช้ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้เมทริกซ์ พบว่า ค่าเฉล่ียความพึงพอใจ
เท่ากับ 4.58 ระดับคุณภาพ ดีมาก แสดงว่าการเรียนรู้โดยใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เมทริกซ์ เป็นแนวทางหนึ่งใน
การพฒั นาผลสมั ฤทธทิ์ างการเรยี นคณิตศาสตร์ เร่ือง เมทรกิ ช์

6. ข้อเสนอแนะ
6.1 ขอ้ เสนอแนะในการน่าผลการวิจยั ไปใช้
ควรใช้ส่ือการเรยี นรู้ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้เมทริกซ์ เพอ่ื ใหน้ ักเรียนผลการเรียนปกติด้วย
6.2 ข้อเสนอแนะในการทา่ วจิ ัยครัง้ ตอ่ ไป
ครูควรผลติ สอ่ื ทหี่ ลากหลายการเรยี นรเู้ อง เพ่อื ใหส้ อดคลอ้ งกับตัวชวี้ ดั มาตรฐานการเรยี นรู้ และ

บรบิ ทของโรงเรียนยิ่งขึ้น

บรรณานกุ รม

สุวฒั นา สวุ รรณเขตนิคม. เส้นทางสูก่ ารวจิ ัยในชั้นเรียน. กรุงเทพ ฯ : บพิธการพมิ พ,์ 2538.
สุวิมล วอ่ งวานิช . การวจิ ยั ปฏบิ ตั ิการในชัน้ เรยี น . กรุงเทพ ฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย,

2546.
อทุ มพร จามรมาน. การวจิ ยั ของคร.ู กรุงเทพ ฯ : จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , 2537.

ภาคผนวก ก

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้

1. เมทรกิ ซ์ (Matrix) บทท่ี 2
บทนิยาม เมทรกิ ซ์

เมทริกซ์ คือ ชุดของจา่ นวน mn จา่ นวน  m,n  I  

ซง่ึ เขยี นเรียงกนั m แถว (row) n หลัก (column) ภายในเครื่องหมายวงเลบ็ ในรูปแบบ

 a11 a12 a1n  แถวท่ี 1
 a22 
 a21 a2n 
am2
  แถวท่ี 2
 
 am1 amn 

หลกั ท่ี 1 หลักที่ 2 หลักท่ี n

เรยี ก aij ว่าเปน็ สมาชกิ (entry) ในแถวที่ i และหลักท่ี j ของเมทริกซ์ หรือ เรียกวา่
เป็นสมาชิกในตา่ แหนง่ ท่ี ij ของเมทรกิ ซ์ เม่ือ i1,2,...,m และ
j1, 2,..., n 
เมทรกิ ซ์ท่ีมี m แถว และ n หลัก วา่ เปน็ mn เมทรกิ ซ์ และเรียก mn วา่
มติ ขิ องเมทริกซ์ (dimension of matrix)

นอกจากเขยี นเมทรกิ ซ์ A และสมาชกิ ของเมทริกซ์ A ในรูปแบบทกี่ ลา่ วมาแลว้
อาจจะเขยี นเมทริกซใ์ หส้ ้ันลง ดงั น้ี

A   aij mn หมายถึง เมทริกซ์ A ที่มมี ติ ิ mn และ aij เปน็ สมาชิกใน
ต่าแหนง่ ท่ี ij เม่อื i1,2,..., m  และ j1,2,...,n 

แบบฝกึ หดั

 3 0 1 0 1  1 0 
 2 5  1   2 
1. ก่าหนด A  , B  0 1  และ C   2  จงตอบค่าถามต่อไปน้ี
 1 
 4  2

1) มิตขิ องเมทรกิ ซ์ A 2) มิติของเมทริกซ์ B 3) มิตขิ องเมทรกิ ซ์ C

4) a13  b31 a23  b32  5)  2c12  c22 2

1 ; i j

2. กา่ หนด C   cij 33 โดยท่ี cij   0 ; i j จงหาเมทรกิ ซ์ C
i j
 2 ;

การเท่ากนั ของเมทรกิ ซ์

บทนยิ าม ถ้า A   aij mn และ B   bij mn แลว้ A  B กต็ ่อเมื่อ aij  bij

แบบฝกึ หัด จงหาคา่ ของตัวแปรในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

2a  3 5  p2 1  4 1
1 0  1 0     
1) 2  3b  5 2)  2 r   q 4 

4 3  4 3 


3)  x2 10    2x  4)  2x  y   2
6  1  x  11
y  6 y3   11y2   2 y 

การบวกและการลบเมทรกิ ซ์

บทนิยาม ถา้ A   aij mn และ B   bij mn แล้ว

1) A  B   aij bij mn 2) A  B   aij bij mn

หมายเหตุ : เมทรกิ ซท์ ่ีมสี มาชิกทุกตวั เป็นศนู ย์ เรยี กว่า เมทรกิ ซศ์ ูนย์ ( 0 )

สมบัตขิ องเมทริกซ์เกย่ี วกบั การบวก

ก่าหนดให้ A และ B เป็นเมทรกิ ซ์ท่มี ีมติ เิ ดียวกัน

1) สมบัตปิ ิดการบวก A B จะเปน็ เมทริกซ์

2) สมบตั กิ ารสลับทก่ี ารบวก AB  B A

3) สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่การบวก A  B C  A  B  C

4) สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การบวก A0 A0 A

5) สมบตั กิ ารมีอนิ เวอร์สการบวก A   A  0   A A

แบบฝึกหัด

1. กา่ หนด A   3 1 , B  0 1 และ C  1 0 จงหาคา่ ตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้
 2  1  4 3 0 1

1) A  B  C 2) A  B C

3) A  B C 4) A  B  C

2. กา่ หนด A   3 1 , B  0 1 และ C  1 0 จงหาเมทริกซ์ X ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
  1  4 3 0 1
 2

1) X  A  B 2) X  B  C  A

3) A  B  X  C 4) B  A  X  0

3. จงหาเมทรกิ ซ์ X เมอื่ 0 2 1  4 2 1   2 1 1 X
 1 0 3 1  3 2   0 0 
 1

การคณู เมทริกซด์ ้วยจ่านวนจริง

บทนยิ าม ถา้ A   aij mn และ c เป็นจา่ นวนจรงิ แลว้ cA   caij mn

สมบตั เิ กยี่ วกับการคูณเมทริกซ์ด้วยจา่ นวนจรงิ
กา่ หนดให้ A , B เปน็ เมทริกซ์ท่มี ีมิตเิ ดยี วกนั และ c , d เปน็ จ่านวนจริง
1) cd A = cdA = dcA
2) cA  B = cA  cB
3) c  d A = cA  dA
4) 1A  A และ 1A  A
5) 0A  0
6) c0  0

แบบฝึกหดั

1 0  3 0   0 1
  2 , B  2  2 และ C   4 0 จงหาคา่ ตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. กา่ หนด A   0

1 3  1 1  0 2

1) 2A  3B  4C 2) 1 A  B  2C

2

3) 5 B  3 A  2C 4) 4A  3B  2C

22

1 0 0  1 3  3
 1  2 และ B  1  1 
2. ก่าหนด A   1 1  จงหาเมทริกซ์ X ในแต่ละข้อต่อไปน้ี

1 0 1  2 0  2

1) 2A  3B  X 2) 2X  A  1 X  B

2

การคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์

บทนยิ าม ถา้ A   aij mn และ B   bij np ผลคูณ AB  C โดยที่ C   aij mp

เม่ือ cij  ai1b1 j  ai2b2 j  ...  ainbnj

หมายเหตุ : หลกั ของเมทริกซ์ตัวตงั้ และแถวของเมทริกซต์ วั คูณไมเ่ ท่ากัน จะไม่สามารถหา BA ได้

สมบตั ขิ องเมทริกซเ์ กย่ี วกับการคณู

ก่าหนดให้ A , B และ C เปน็ เมทริกซ์ท่สี ามารถคูณตดิ ต่อกันได้

1) สมบัติการเปล่ียนหมู่ ABC  ABC

2) สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์ ส่าหรับ Ann ใดๆ จะมี In ท่ี AI  IA  A
เรยี ก I ว่าเมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์การคูณ

1 0 1 0 0
0 1  0 0
ตัวอยา่ ง I เช่น I2  , I3 0 1 1
0

3) สมบัตกิ ารแจกแจง A  BC  AC  BC AB  C  AB  AC

ขอ้ ควรระวัง!!!
1) AB ไม่จ่าเปน็ ต้องเท่ากับ BA
2) A  B2  A2  2AB  B2 กต็ อ่ เม่ือ AB  BA
3) A  B2  A2  2AB  B2 กต็ ่อเม่อื AB  BA

4) A  BA  B  A2  B2 ก็ตอ่ เมือ่ AB  BA
5) ถ้า AB  0 ไมจ่ า่ เปน็ ที่ A  0 หรือ B  0
6) ถ้า AB  AC โดย A  0 ไม่จา่ เป็นที่ B  C

แบบฝกึ หดั

2 1 0 1  1 2
3 0 1 B  2  
1. ก่าหนด A  , 3 และ C   0 4  จงหาผลคูณของเมทริกซใ์ นแตล่ ะข้อ

1 2 

ต่อไปน้ี

1) AB 2) BA

3) AC 4) CA

2. กา่ หนด A   3 1 , B  1 1 และ C  1 0 จงหาเมทรกิ ซ์ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้
 2  1 0 3 0 1

1) AC 2) CB

3) A2 4) C3

5) 2AB 6)  A2 B  C5

3. กา่ หนด A  2 0 และ B a b ถ้า AB  A  B แลว้ จงหาค่า abcd
0  1 c d 

4. กา่ หนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์มิติ nn จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า AB  0 แล้ว A  0 หรอื B  0

ข. ถา้ AB  0 แลว้ BA  0

1. ถูกทั้ง 2 ข้อ 2. ผิดทั้ง 2 ขอ้ 3. ก ถูก , ข ผดิ 4. ก ผดิ , ข ถกู

เมทรกิ ซส์ ลับเปลี่ยน (Transpose of a matrix)

บทนิยาม ให้ A   aij mn ถา้ B   bij nm โดยท่ี bij  a ji ทกุ i1, 2,..., m  และ
j1,2,...,n  แลว้ เรยี ก B ว่า เมทรกิ ซ์สลับเปลยี่ นของ A และแทน B ด้วย At

บทนยิ าม A เปน็ เมทรกิ ซส์ มมาตร ก็ต่อเมื่อ At  A

บทนิยาม A เป็นเมทรกิ ซเ์ สมือนสมมาตร ก็ตอ่ เมอ่ื At  A

สมบัตขิ องทรานสโพส

1) ถา้ A เป็นเมทริกซใ์ ดๆ แล้ว At t  A

2) ถ้า A เป็นเมทรกิ ซใ์ ดๆ และ k เป็นจา่ นวนจริงใดๆ แล้ว kAt  kAt
3) ถ้า A , B เป็นเมทริกซ์ที่มมี ติ เิ ดียวกนั แลว้ A  Bt  At  Bt
4) ถ้า A เปน็ เมทริกซ์ท่ีมีมติ ิ mn และ B เป็นเมทริกซ์ที่มมี ติ ิ n p แลว้ ABt  Bt At

5) ถ้า A เป็นเมทรกิ ซ์ใดๆ และ n เป็นจา่ นวนเต็มใดๆ แล้ว An t  At n

แบบฝกึ หดั
1. จงหาเมทริกซส์ ลบั เปล่ยี นในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

0 1 1 0 5 8
2) 2  2 3 1 0
1) 1 2 0 3  3)

 7 5

2. ก่าหนด A   3 0 และ B  1 1 จงหาเมทริกซใ์ นแต่ละข้อต่อไปนี้
  1 0 3
 2

1) At 2) Bt

3) 3At 4) 3At

5) A  Bt 6) At  Bt

7) A  Bt 8) At  Bt

9) ABt 10) Bt At

3. ก่าหนดให้ A   x x x2  x โดยท่ี x เป็นจา่ นวนจรงิ คา่ ของ x ทท่ี า่ ให้ A At เทา่ กบั เทา่ ใด
3x 2 2x 1

1 2x2 2 y 1

4. กา่ หนดให้ A  x 2 5  ถา้ A At แล้วจงหาค่า xyz

 y z 1 5 

 x 1 x2 1 0 2
  2 2 แลว้ x  y มีคา่ เทา่ ใด
5. ถา้ ผลบวกระหว่าง A  y 2 1 3  และ At เทา่ กับ 0 1

 3 x 2 y   2 2 1

6. ก่าหนดให้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซข์ นาด 22

ถา้ A  2B  5 4 , A Bt  2  1 และ C  AB แล้ว c12  c21 มคี ่าเท่าใด
8 16 1  5

1.3 อนิ เวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์ (Inverse of a matrix)

บทนยิ าม ให้ A เป็น nn เมทริกซ์ ถา้ B เป็น nn เมทริกซ์ทมี่ ีสมบั ัตวิ า่ AB  BA  In
แล้วจะเรยี ก B วา่ เปน็ อนิ เวอร์สการคณู ของ A และเขยี นแทน B ดว้ ย A1

การหาอินเวอรส์ การคูณของเมทริกซ์ทม่ี ีมติ ิ 22

ถ้า A  a b และ ad  bc  0 แลว้ A1  1 d  b
c  ad  bc  c 
d  a 

แบบฝึกหดั

1. จงแสดงวา่ B เป็นอนิ เวอร์สของ A เมื่อก่าหนด A  2 3 และ B  5 3
3 5 3 2 

2 1 1 1 2 0 2 
จงแสดงวา่ B เป็นอินเวอร์สของ A เมือ่ กา่ หนด A  1  2  1 5
2. 0 2  และ B   7 1 1
3 1  1
1

3. จงหาอนิ เวอรส์ ของเมทริกซ์ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1) 2 3 2) 5 3
3 5 3 2 

3) 2 1 4) 1 2
3 3  2 4

1.4 การหาอินเวอร์สการคูณของเมททริกซ์
บทนิยาม ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant) คือ คา่ ตวั เลขจา่ นวนใดจ่านวนหน่ึง และมีเพยี งจ่านวน
เดียวเท่านั้นที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตรุ สั ถา้ A เปน็ เมทิรกซ์จตั รุ สั จะเขียนแทน
ดเี ทอรม์ ิแนนตข์ อง A ด้วย det A หรือ A

การหาค่าดีเทอรม์ แิ นนตข์ องเมทริ กซ์ ถ้า A  a แล้ว det A  a
- ดีเทอร์มแิ นนตข์ อง 11 เมทรกิ ซ์
- ดเี ทอรม์ ิแนนตข์ อง 22 เมทริกซ์ ถา้ A  a b แล้ว det A  ad  bc
c d 
- ดเี ทอรม์ แิ นนตข์ อง 33 เมทริกซ์
a b c
ถา้ A  d 
e f  แล้ว

g h i 

det A  aei  bfg  cdh ceg  bdi  ahf 

แบบฝกึ หดั 2)  2555
1. จงหาดเี ทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

1) 0

3) 1 2 4) 3 2
3 4  6 4

1 2 3  1 3 3 
 
5) 4 5 6 6)  4 2 0 

7 8 9 2 1 5

2. จงหาคา่ x เมอื่ กา่ หนดให้ x x  3  22

5 2

การคา่ นวณหาดเี ทอร์มิแนนต์โดยการกระจายโคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบรว่ มเกย่ี ว) วิธกี ารน้ใี ชไ้ ดส้ ่าหรบั

เมทรกิ ซจ์ ตั ุรัส nn , n  2

บทนยิ าม กา่ หนด A   aij nn สญั ลกั ษณ์ M ij A แทนเมทริกซท์ ีเ่ กดิ จากการตดั แถวท่ี i และ
หลกั ที่ j ของ A ออกไป ค่าดีเทอรม์ ิแนนต์ของ Mij A เรยี กว่า ไมเนอร์ (minor)

ของ aij

บทนิยาม กา่ หนด A   aij nn โคแฟกเตอร์ (cofactor) ของสมาชกิ aij หรอื ตัวประกอบร่วม
เก่ียวของ aij ของ A สัญลกั ษณ์คือ Cij A ซง่ึ Cij A   1 i j Mij A

3. จงหาไมเนอร์ของสมาชกิ ทกุ ตัวของเมทริกซ์ A 0 5
9 7 

 1 3 3 
 
4. จงหาไมเนอรแ์ ละตวั ประกอบร่วมเกยี่ วของสมาชกิ ทุกตวั ของเมทรกิ ซ์  4 2 0 

2 1 5

5. ให้ A เปน็ เมทริกซ์มติ ิ 33 ถา้ 2 0 , 2 1 และ M 22  1 1 จงหา det A
M13  0 1 M31  0 1 0
2

การคา่ นวณหาดเี ทอร์มแิ นนตข์ อง A ใหท้ า่ ดังน้ี
1) เลือกสมาชิกแถวใดแถวหน่ึงหรอื หลกั ใดหลกั หนึ่งของ A แลว้ หาโคแฟคเตอรข์ องสมาชกิ แตล่ ะตวั
ในแถวหรือหลกั นั้น
2) เอาสมาชิกแตล่ ะตวั ในแถวหรือหลกั นัน้ คณู กบั โคแฟคเตอร์ของสมาชิกหรอื ตวั ประกอบร่วมเก่ียว
ของสมาชิกแตล่ ะตัวในแถวหรือหลกั นนั้ แล้วนา่ ผลคูณท่ีได้มาบวกกนั ผลบวกท่ไี ด้คือคา่ ดีเทอร์
มแิ นนต์
ของ A

6. จงหาดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1) 1 2 2) 3 2
3 4  6 4

1 2 3  1 3 3 
 
3) 4 5 6 4)  4 2 0 

7 8 9 2 1 5

 1 0 2 0

5) 1 3 0 4

 2 1 5 7
2 2 0 3

ต่อไปนีเ้ ป็นสมบัติของดเี ทอร์มแิ นนต์ทค่ี วรทราบ ซ่ึงอาจจะเป็นประโยชน์ในการหาดีเทอร์มแิ นนตข์ องเมท

รกิ ซ์ A   aij nn ใดๆ เม่ือ n  2
1) ถา้ A มสี มาชิกในแถวใดแถวหนง่ึ หรอื หลกั ใดหลักหนงึ่ เปน็ 0 ทุกตัว แล้ว det A  0
2) ถ้า A มสี มาชกิ ในแถวสองแถวหรือสองหลักใดๆ ซ้า่ กันแล้ว det A  0
3) ถา้ A มสี มาชิกในแถวสองแถวหรอื สองหลักใดๆ เปน็ จ่านวนเทา่ ของกนั และกนั แล้ว det A  0
4) ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์สามเหลี่ยมบน หรอื เมทริกซ์สามเหลีย่ มล่าง หรอื เมทริกซเ์ ฉียง แล้วดเี ทอร์มแิ นนต์
จะเทา่ กับผลคณู ของสมาชิกในแนวเส้นทแยงมมุ

7. จงหาคา่ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 4 1 6

0 1 6 2) 0 0 0

1) 0 3 0 4 1 126

0 5 2

4 1 6 11 0

3) 2 3 9 4) 2 2 2

4 1 6 4 4 19

1 4 3 1 5 2

5) 5 20 15 6) 2 1 4

4 0 4 4 100 8

4 1 6 100

7) 0 3 1 8) 2 4 0

0 0 2 0 8 9

400 00 0

9) 0 1 0 10) 0 1 0

002 0 0 2

5) ถ้า B เปน็ เมทริกซท์ ี่เกดิ จากการสลบั สองแถว (หลกั ) ใดๆ ของเมทรกิ ซ์ A จะไดว้ ่า det B  det A
6) ถา้ B เป็นเมทริกซ์ท่ีเกดิ จากการเอาคา่ คงท่ี k คณู แถว (หลัก) ใดแถว (หลกั ) หนงึ่ ของเมทริกซ์ A จะ

ได้วา่ det B  k det A
7) ถา้ B เป็นเมทริกซท์ ี่เกิดจากการเอาคา่ คงท่ี k คูณแถว (หลัก) ใดแถว (หลัก) หน่ึง แล้วนา่ ไปบวกเข้า

กับอีกแถว (หลัก) หน่งึ ของเมทริกซ์ A จะได้วา่ det B  det A

a b c
8. ก่าหนดให้ A  d 
e f  และ det A  3 จงหาดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

g h i 

d e f  g h i 
  2) B  d 
1) B  a b c  e f 

g h i  a b c 

a c b b c a
4) B  e 
3) B  d f e f d 

g i h h i g 

a b 2c  a b c 
5) B  d  6) B  3d 
e 2 f  3e 3 f 

g h 2i   g h i 

2a 6b 2c g h i 
  8) B  d 
7) B  d 3e f  e f 

 g 3h i  a b c 

a b c 2a  6b c b
e  4b f  4c
9) B  d  4a 10) B  2d  6e f e
h i 
 g 2g  6h i h

คุณสมบตั ขิ องดเี ทอรม์ แิ นนต์
กา่ หนดให้ A และ B เปน็ เมทริกซท์ ่มี ีมิติ nn
1) detIn  1 และ det0  0

2) det A  det At 

3) detAB  det A det B

4)  det Am  det Am ; m  I

5)  det A1  1 เมอ่ื A เปน็ Non - Singular Matrix
det A

6) detcA  cn det A ; c  R

9. ก่าหนดให้ A  2 3 และ B  1 0 จงหา
1 1 5 3

1) det A 2) det B

3) det At  4) detAB

5) detB2  6) det3B
7)  det A1 8) detA  B
9) det At Bt 
 10) det A1B1

10. ก่าหนดให้ A  2 3 , B 1 2 และ C  1 2 จงหา
2 4 3 4  1  3
2)  det At BtC
1) detABC

 3) det 3A3B1Ct  4) det  1 A3  At A  At 
2 

11. ถ้า A เปน็ 33 เมทริกซ์ และ det A  8 จงหา det3A

12. กา่ หนดให้ A, B,C และ D เปน็ เมทริกซม์ ิติ 33 ถ้า det A  4 , det B  2 , det C  1 และ
ABtD  2C2 แลว้ det D มีคา่ เท่าไร

บทนยิ าม เมทรกิ ซ์เอกฐาน (Singular Matrix) คือ เมทริกซจ์ ัตุรัสท่ี det A  0

บทนยิ าม เมทริกซ์ท่ไี มใ่ ชเ่ มทริกซ์เอกฐาน (Non - Singular Matrix) คอื เมทริกซ์จตั รุ ัสที่

det A  0

13. จงหาจ่านวนจริง x ที่ท่าให้เมทรกิ ซ์ในแตล่ ะข้อต่อไปนีเ้ ป็นเมทรกิ ซ์เอกฐาน

6 x x 1 2x
3 1 2) 1 x 
1) 0 

0 1 1

บทนิยาม ให้ A เปน็ เมทรกิ ซ์ท่มี ีมิติ nn เมอื่ n  2 เมทริกซ์ผกู พนั (adjoint matrix) ของ
A คือ เมทริกซ์  Cij  A t เขียนแทนเมทริกซ์ผูกพันของ A ด้วย adj  A

14. กา่ หนดให้ A  0 5 จงหา adj  A
9 
7 

adj  A = CC1211  A C12  At
 A C22  A

 1 3 3

15. ก่าหนดให้ A   4 2 0 จงหา adj  A

2 1 5

adj  A = CC1211  A C12  A C13  At
 A C22  A C23  A
C32  A
C31  A C33  A

การหาอนิ เวอร์สการคูณของเมทริกซ์

A1  1  adjA ; det A  0 เมอ่ื adj  A   Cij  A t

det A

หมายเหตุ : A จะมตี ัวผกผนั การคณู ก็ต่อเม่ือ A ไมเ่ ป็นเมทริกซ์เอกฐาน

คุณสมบตั ิของอินเวอร์สเมทริกซ์
กา่ หนดให้ A และ B เป็น Non - Singular Matrix มิตเิ ดยี วกนั

 1) A1 1  A

2) AB1  B1 A1

   3) A1 t  At 1
   4) Am 1  A1 m ; m  I

5) kA1  k 1 A1 ; k  R และ k  0

16. กา่ หนดให้ A  0 5 จงหา A1
9 7 

det A = adj  A = CC1211  A C12  At
 A C22  A

 1 3 3
 2 0 จงหา A1
17. กา่ หนดให้ A   4

2 1 5

det A = adj  A =

CC1211  A C12  A C13  At
 A C22  A C23  A
C32  A
C31  A C33  A

 2 2 3
 1 0 จงหา A1
18. กา่ หนดให้ At   1

 0 1 4

det A = adj  A =

CC1211  A C12  A C13  At
 A C22  A C23  A
C32  A
C31  A C33  A

19. จงหาจ่านวนจริง x ท่ที ่าให้เมทรกิ ซ์ต่อไปน้ีมีอินเวอร์สการคูณ

1 2 1  x 1 x 1 0 
1) 0 2   2 1
4  2)  1

2 0 x 1  0 0 x 

 1 1 2 1 0 0
 2 0  
20. กา่ หนดให้ A   1 และ B   4 2 0  จงหา

2 0 5 7 1 1

1) det A 2) det B

3) det At 4) det AB

5) det A2 6) det B1

7) det 3A 8) det 2B

9) det 2ABt  10) det At B2

11) det adj  A 12) detadjB

13) detadjAt  14) det3AadjB

1.5 การใชเ้ มทริกซแ์ ก้ระบบสมการเชงิ เสน้
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น
xy = 3
2x  3y = 4
ซึ่งเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้ดังนี้

1 1  x = 3
2 3  y 4

AX =B
A1 AX = A1B

IX = 1 3 1  3 
5 2  4
1 

X = 1  5 
5 10

X = 1
2

x = 1
  2
 y 

ดังนน้ั ค่าตอบของระบบสมการ คือ 1,2 

แบบฝึกหดั 2) 2x  y  0
1. จงแกร้ ะบบสมการในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
1) x  3y  8 3x  2y  1

x 2y 3

2. จงแกร้ ะบบสมการ x  y  2z = 3
y  3z =5
= 17
x  4y 8z

3. จงแกร้ ะบบสมการ 2x  y  3z = 3
4x  2y  z = 7
x 3y  2z = 5

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule)
เม่อื ก่าหนดระบบสมการเชิงเสน้ ท่ีมี n สมการ และ n ตัวแปร โดย AX  B เป็นสมการเมทริกซ์

ทสี่ มั พนั ธ์กับระบบสมการนี้

 x1  b1 
  b2 
ให้ X   x2  และ B   

 bn 
  
 xn 

ถ้า det A 0 แล้ว x1  det  A1  , x2  det  A2  , ... , xn  det  An 
det  A det  A det  A

เม่อื Ai คือ เมทริกซท์ ่ีได้จากการแทนหลักท่ี i ของ A ด้วยหลักของ B ทุก i1,2,...,n 

แบบฝกึ หดั x  y  2z = 3
1. จงแก้ระบบสมการท่กี ่าหนดให้ โดยใช้กฎของคราเมอร์

y  3z = 5

x  4y 8z = 17

จากระบบสมการท่ีกา่ หนด เขียนสมการเมทริกซ์ไดเ้ ป็น AX  B เมอื่

1 1 2   x 3
A  0 3  y  
1 , X   , B   5 

1 4 8  z  17

2. จงแกร้ ะบบสมการทีก่ า่ หนดให้ โดยใช้กฎของคราเมอร์ 2x  y  3z = 3
4x  2y  z = 7
x 3y  2z = 5

จากระบบสมการท่ีกา่ หนด เขียนสมการเมทริกซ์ได้เป็น AX  B เม่ือ

3. จงแก้ระบบสมการที่กา่ หนดให้ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ x  2y  4z = 2

2x 3y 7z = 3

3x  y  5z =1

จากระบบสมการที่ก่าหนด เขียนสมการเมทริกซ์ได้เปน็ AX  B เมื่อ

หมายเหตุ ระบบสมการท่ีมจี า่ นวนคา่ ตอบเปน็ อนันต์และระบบสมการทีไ่ ม่มคี า่ ตอบ
จะมดี ีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์สมั ประสิทธ์ิเทา่ กับ 0

บทนยิ าม กา่ หนดระบบสมการเชิงเสน้ ที่มี m สมการ และ n ตวั แปร

a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2   a2n xn  b2

am1 x1  am2 x2   amn xn  bm

เมทรกิ ซ์แต่งเติม (augmented matrix) ของระบบสมการนี้คือ

 a11 a12 a1n b1 
 a22 
 a21 a2n b2 
am2
 
am1 
amn bm 

บทนยิ าม ให้ A เป็น m n เมทรกิ ซ์ เรยี กการด่าเนินการต่อไปนี้วา่ เปน็ การด่าเนนิ การตามแถว
บทนิยาม (row operation) กับเมทริกซ์ A

1. สลับท่แี ถวที่ i และ j ของ A เขียนแทนด้วย Rij
2. คณู สมาชิกในแถวที่ i ดว้ ยคา่ คงตวั c  0 เขยี นแทนด้วย cRi
3. เปล่ียนแถวที่ i ของ A โดยนา่ คา่ คงตัว c คณู สมาชิกในแถวที่ j  j  i

แลว้ น่าไปบวกกบั สมาชกิ แตล่ ะตัวในแถวท่ี i เขยี นแทนด้วย Ri  cRj

ให้ A เปน็ m n เมทริกซ์ กล่าวว่า A มรี ปู แบบขน้ั บนั ไดแบบแถว (row – echelon
form) เมอื่ A มีสมบตั ิตอ่ ไปน้ี

1. ถา้ A มีแถวทม่ี ีสมาชิกบางตัวไม่เทา่ กับ 0 แล้วสมาชกิ ตัวแรก (จากซา้ ยไป
ขวา)

ทไี่ ม่ใช่ 0 ต้องเปน็ 1 เรียก 1 ตวั น้ีว่าเป็น 1 ตัวน่า (leading 1) ในแถว
2. ถ้า A มแี ถวทีม่ ีสมาชิกทกุ ตวั ในแถวเทา่ กบั 0 แลว้ แถวเหลา่ นตี้ ้องอยู่ดา้ นล่าง

ของแถวที่มีสมาชกิ บางตัวไมเ่ ทา่ กับ 0
3. ถ้า aij เปน็ 1 ตัวนา่ ในแถวที่ i และ ai1k เปน็ 1 ตวั นา่ ในแถวที่ i 1 แลว้

jk

บทนิยาม ถา้ เมทริกซ์ B ได้จากเมทริกซ์ A โดยการดา่ เนนิ การตามแถวแล้วจะกลา่ ววา่ B สมมลู
แบบแถว (row equivalent) กบั A เขียนแทน B สมมลู แบบแถวกับ A ด้วย A ~ B

เม่ือก่าหนดระบบสมการเชิงเส้นมาให้ จะมีเมทรกิ ซแ์ ต่งเติมของระบบสมการและสามารถใชก้ ารดา่ เนนิ การ
เพ่ือใหไ้ ดเ้ มทริกซ์ที่มีรปู แบบข้ันบนั ไดแบบแถว เมทริกซ์ที่ได้นีจ้ ะเป็นเมทริกซแ์ ต่งเตมิ ของระบบสมการท่ีมคี ่าตอบชุด
เดียวกับระบบสมการที่กา่ หนด แต่สามารถหาค่าตอบได้ง่ายกวา่

แบบฝึกหัด

1. จงแกร้ ะบบสมการในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้

1) x  y  2z = 3 2) 2x  y  3z = 3
4x  2y  z = 7
y  3z =5 x 3y  2z = 5

x  4 y  8z = 17

3) x  2y  7z = 10 4) x  2y  4z = 2
x  y  5z = 7 2x 3y 7z = 3
2x  y  4z = 5 3x  y  5z = 1

2. จงแกร้ ะบบสมการ x  y  z  2t =1
=3
2x  3y  2z  5t =0
3x  2y  2z  t =0
x  y  3z  t

การด่าเนินการตามแถวนอกจากจะชว่ ยเปลีย่ นเมทริกซแ์ ตง่ เติมของระบบสมการเชิงเสน้ ทีก่ า่ หนดใหเ้ ป็น
เมทรกิ ซ์แต่งเตมิ ของระบบสมการเชิงเสน้ ทีห่ าคา่ ตอบไดง้ า่ ยกว่าแตม่ ีค่าตอบชดุ เดียวกบั ระบบสมการที่ก่าหนดแล้ว
ยังสามารถใช้เป็นเครื่องมอื เพ่ือหาอินเวอรส์ ของเมทริกซไ์ ด้อกี

เมื่อก่าหนดเมทริกซ์ A ท่ีมมี ติ ิ n n โดยท่ี det  A  0 แลว้ จะสามารถใชก้ ารด่าเนินการตามแถวของ
เมทรกิ ซ์

 A In 

เขียนเฉพาะสมาชิก

จนไดเ้ มทริกซ์  In B  กจ็ ะไดว้ ่า B  A1

แบบฝกึ หัด
จงหา A1 ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี (ถ้ามี)

1) ก่าหนดให้ A  1 4 1 1 0 
1 3
2) กา่ หนดให้ A  1 0 1
เนือ่ งจาก det  A 1  0
ฉะน้นั A มีอนิ เวอร์ส 6 2 3

เนื่องจาก detA  ............................

ฉะน้ัน A ( มี , ไม่มี ) อนิ เวอร์ส

ภาคผนวก ข

ผลการวเิ คราะหข์ ้อมลู

ตารางแสดงคะแนนผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ โดยใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เมทริกซ์
ของนกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงเรียนในเตาพิทยาคม จงั หวัดตรัง

ท่ี รายชอื่ กอ่ นเรยี น หลงั เรียน

1. นายณฐั พงษ์ แซค่ า้ ง 6 13

2. นายภทั รพล กลับเฒา่ 4 12

3. นายรัชชานนท์ เพ็งนุน่ 5 13

4. นายวุฒิพงษ์ ทองนุย้ 3 11

5. นายสถาพร ทองแย้ม 5 12

6. นายสทิ ธภิ าคย์ ศรีแก้ว 6 13

7. นางสาวกรองกาญจน์ จนั ทร์นยิ ม 7 14

8. นางสาวณัฐมน ชัยคช 6 13

9 นางสาวปภาดา ไชยภักดี 6 13

10 นางสาวประภาสิริ คงดี 9 18

11 นางสาววรวลัญช์ คงรอด 8 17

12 นางสาววรางคณา ศรีแก้ว 6 13

13 นางสาวอมลณัฐ หนโู มละ 8 17

14 นางสาวกมลชนก แสงสรุ วิ งศ์ 7 13

15 นายธนทนัน อธธิ นันภพ 4 11

16 นายวรโชติ หนคู ลา้ ย 4 11

17 นายวัชระ สสี ุข 4 11

คะแนนเฉล่ีย 5.76 13.24

S.D. 1.68 2.17

คะแนนเฉล่ยี รอ้ ยละ 28.82 66.18

ผลการทดสอบคา่ เฉลย่ี คะแนนกอ่ นและหลังเรยี น

รายการ Mean S.D.
กอ่ นเรยี น 5.76 1.68
หลังเรียน 13.24 2.17

ภาคผนวก ค

บรรยากาศชนั้ เรียน