Mecanica_Vectorial_para_para_ingenieros.Ed. 9.pdf.pdf.pdf.pdf

Forma 2255.4. Primeros momentos de áreas y líneas

Área triangular h ⎯x ⎯y Área
C
Un cuarto de área ⎯y h bh
circular 32
bb
Área semicircular 22
Un cuarto de área
4r 4r ␲ r2
elíptica
Área C C 3␲ 3␲ 4
r
semielíptica O ⎯y 4r ␲ r2
Área ⎯x O 3␲ 2
0
semiparabólica
Área parabólica 4a 4b ␲ab

Enjuta parabólica C C b 3␲ 3␲ 4
O Oa h
Enjuta general ⎯y
⎯x C
Oa 0 4b ␲ab
a 3␲ 2
h
⎯y 3a 3h 2ah
853
h
C ⎯y ⎯y 0 3h 4ah
53
O a
⎯x y = kx2

C 3a 3h ah
O 4 10 3

⎯x n + 1 a n+1 h ah
n + 2 4n + 2 n+1
a

y = kxn

C
O

⎯x

Sector circular r 2r sen α 0 α r2
3α
O C
⎯x

Figura 5.8A Centroides de áreas comunes.

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226 Fuerzas distribuidas: centroides y centros
de gravedad

Forma ⎯x ⎯y Longitud
2r 2r ␲ r
Un cuarto de arco C ␲␲ 2
circular O
⎯y Cr
Arco semicircular ⎯x O
0 2r ␲r
␲

Arco de círculo r r sen a 0 2ar
a
aC
Oa

⎯x
Figura 5.8B Centroides de formas comunes de líneas.

5.5. PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS

En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, trián-
gulos u otras de las formas comunes mostradas en la figura 5.8A. La
abscisa ෆX de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de
las abscisas xෆ1, xෆ2, . . . , xෆn de los centros de gravedad de las diferentes
partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso
de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los mo-
mentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo
eje (figura 5.9). La ordenada Yෆ del centro de gravedad de la placa se
encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al
eje x. Así, se escribe

͚My: ෆX(W1 ϩ W2 ϩ и и и ϩ Wn) ϭ xෆ1W1 ϩ xෆ2W2 ϩ и и и ϩ xෆnWn

͚Mx: Yෆ(W1 ϩ W2 ϩ и и и ϩ Wn) ϭ ෆy1W1 ϩ ෆy2W2 ϩ и и и ϩ ෆynWn

zz

y = W1 y W3
ΣW W2 G3

⎯X G G1 G2
O ⎯Y O

x x

Figura 5.9 ΣMy : ⎯X Σ W = Σ⎯ x W
ΣMx : ⎯Y Σ W = Σ⎯y W
Centro de gravedad de una placa compuesta.

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o en forma condensada, 2275.5. Placas y alambres compuestos

ෆX͚W ϭ ͚xෆW Yෆ͚W ϭ ͚ෆyW (5.7)

Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas ෆX y Yෆ del
centro de gravedad de la placa.

y y A3
A2
ΣA A1 C3
⎯X C
=
⎯Y
O C1 C2

xO x

Figura 5.10 Qy = ⎯X Σ A = Σ⎯ x A
Qx = ⎯Y Σ A = Σ⎯y A
Centroide de un área compuesta.

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gra- z W2 y
vedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa ෆX del centroi- W1 W3
de del área puede determinarse observando que el primer momento
Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el ⎯x1 x
producto de ෆX con el área total y como la suma de los primeros mo- ⎯x2
mentos de las áreas elementales con respecto al eje y (figura 5.10). La
ordenada Yෆ del centroide se encuentra de forma similar, considerando ⎯x3
el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene
y
Qy ϭ ෆX(A1 ϩ A2 ϩ и и и ϩ An) ϭ xෆ1A1 ϩ xෆ2A2 ϩ и и и ϩ xෆnAn
Qx ϭ Yෆ(A1 ϩ A2 ϩ и и и ϩ An) ϭ ෆy1A1 ϩ ෆy2A2 ϩ и и и ϩ ෆynAn

o en forma condensada,

Qy ϭ ෆX͚A ϭ ͚ xෆA Qx ϭ Yෆ͚A ϭ ͚ ෆyA (5.8)

A1 A2 A3
x

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área com- ⎯x1 ⎯x2
puesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas ෆX y Yෆ de su ⎯x3
centroide.
A1 Semicírculo ⎯x A ⎯xA
Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momen- A2 Rectángulo –+–
to de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los mo- +++
mentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, completo
un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá +––
un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además al área A3 Agujero
de un agujero se le debe asignar un signo negativo (fıgura 5.11). circular

De manera similar, en muchos casos es posible determinar el cen- Figura 5.11
tro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea
compuesta dividiendo al alambre o a la línea en elementos más sim-
ples (véase problema resuelto 5.2).

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y PROBLEMA RESUELTO 5.1
120 mm
Para el área plana mostrada en la figura, determine: a) los primeros mo-
60 mm mentos con respecto a los ejes x y y, y b) la ubicación de su centroide.
40 mm
80 mm
60 mm x

SOLUCIÓN

Componentes del área. El área se obtiene con la suma de un rec-
tángulo, un triángulo y un semicírculo y después se resta un círculo. Uti-
lizando los ejes coordenados mostrados, se determinan el área y las coorde-
nadas del centroide para cada una de las áreas componentes y luego se
introducen en la tabla que aparece en la parte inferior. El área del círculo
se indica como negativa puesto que debe restarse de las demás áreas. Nótese
que la coordenada ෆy del centroide del triángulo es negativa para los ejes
mostrados. Los primeros momentos de las áreas componentes con respecto
a los ejes coordenados se calculan y se introducen en la tabla.

yy y y y

120 mm + 40 mm 4 r1 = 25.46 mm r1 = 60 mm _ r2 = 40 mm
3␲
=r1 = 60 mm 60 mm 40 mm
x +
r2 =40 mm

80 mm 80 mm 105.46 mm 80 mm
60 mm
x x xx

–20 mm 60 mm 60 mm

Componente A, mm2 xෆ, mm ෆy, mm xෆA, mm3 yෆA, mm3

Rectángulo (120)(80) ϭ 9.6 ϫ 103 60 40 ϩ576 ϫ 103 ϩ384 ϫ 103
Triángulo ᎏ12ᎏ(Ϫ1ᎏ122ᎏ␲␲0(()64(6000))22) 3.6 ϫ 103 40 Ϫ20 ϩ144 ϫ 103 Ϫ72 ϫ 103
Semicírculo ϭ 5.655 ϫ 103 60 105.46 ϩ339.3 ϫ 103
Círculo ϭ Ϫ5.027 ϫ 103 60 Ϫ301.6 ϫ 103 ϩ596.4 ϫ 103
ϭ 80 ͚ xෆA ϭ ϩ757.7 ϫ 103 Ϫ402.2 ϫ 103
͚ yෆA ϭ ϩ506.2 ϫ 103
͚A ϭ 13.828 ϫ 103

y a) Primeros momentos del área. Con las ecuaciones (5.8), se escribe

Qx ϭ ͚ ෆyA ϭ 506.2 ϫ 103 mm3 Qx ϭ 506 ϫ 103 mm3
Qy ϭ ͚ xෆA ϭ 757.7 ϫ 103 mm3 Qy ϭ 758 ϫ 103 mm3

C Y = 36.6 mm b) Ubicación del centroide. Si se sustituyen los valores dados en la
x tabla, dentro de las ecuaciones que definen el centroide de un área com-
puesta se obtiene
X = 54.8 mm
ෆX͚A ϭ ͚ xෆA: ෆX(13.828 ϫ 103 mm2) ϭ 757.7 ϫ 103 mm3
ෆX ϭ 54.8 mm

Yෆ ͚A ϭ ͚ෆyA: Yෆ(13.828 ϫ 103 mm2) ϭ 506.2 ϫ 103 mm3
Yෆ ϭ 36.6 mm

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C 26 in. PROBLEMA RESUELTO 5.2
10 in. 24 in.
La figura mostrada está hecha a partir de un pedazo de alambre delgado y
A homogéneo. Determine la ubicación de su centro de gravedad.

B

y 12 in. SOLUCIÓN
C 26 in.
10 in. Como la figura está hecha de un alambre homogéneo, su centro de grave-
A 24 in. dad coincide con el centroide de la línea correspondiente. Por tanto, se de-
terminará dicho centroide. Si se seleccionan los ejes mostrados, con origen
en A, se determinan las coordenadas del centroide de cada segmento de lí-
nea y se calculan los primeros momentos con respecto a los ejes coordena-
dos.

5 in. Segmento L, in. xෆ, in. yෆ, in. xෆL, in2 yෆL, in2
Bx
AB 24 12 0 288 0
BC 26 12 5 312 130
CA 10 0 5
0 50
͚L ϭ 60
͚ xෆL ϭ 600 ͚ෆyL ϭ 180

Con la sustitución de los valores obtenidos en la tabla, en las ecuaciones que
defınen el centroide de una línea compuesta, se obtiene

ෆX͚L ϭ ͚ xෆL: ෆX(60 in.) ϭ 600 in2 ෆX ϭ 10 in.
Yෆ͚L ϭ ͚ෆyL: Yෆ(60 in.) ϭ 180 in2 Yෆ ϭ 13 in.

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A PROBLEMA RESUELTO 5.3
r
Una barra semicircular uniforme de peso W y radio r está unida a un perno
O en A y descansa contra una superficie sin fricción en B. Determine las reac-
ciones en A y B.
B

Ay SOLUCIÓN

Ax 2r Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre
A ␲ de la barra. Las fuerzas que actúan sobre la barra son su peso W, el cual está
aplicado en el centro de gravedad G (cuya posición se obtiene a partir de la
2r G figura 5.8B); una reacción en A, representada por sus componentes A x y A y
y una reacción horizontal en B.

Ecuaciones de equilibrio

ϩl ͚MA ϭ 0: ΂ ΃B(2r) Ϫ W ᎏ2␲r ϭ 0

BB W

B ϭ ϩ ᎏW␲ B ϭ ᎏW␲ y

A Ay = W yϩ ͚Fx ϭ 0: Ax ϩ B ϭ 0

Ax ϭ ϪB ϭ ϪᎏW␲ A x ϭ ᎏW␲ z

a ϩx͚Fy ϭ 0: Ay Ϫ W ϭ 0 A y ϭ Wx

Ax = W Sumando las dos componentes de la reacción en A:
␲

΄ ΂ ΃ ΅A ϭ W2 ϩ ᎏW␲ 2 1͞2 ΂ ΃A ϭ W 1 ϩ ᎏ␲12 1͞2

tan ␣ ϭ ᎏWW͞␲ ϭ ␲ ␣ ϭ tanϪ1 ␲

Las respuestas también pueden expresarse como sigue:
A ϭ 1.049W b72.3° B ϭ 0.318W y

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