BAHAN AJAR PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

BAHAN AJAR
MATEMATIKA

KELAS X

PERSAMAAN &
FUNGSI KUADRAT

Oleh

Putu Winda Marhayani Wijaya,S.Pd.,M.Pd.
SMA NEGERI 7 DENPASAR

BAHAN AJAR

PERSAMAAN KUADRAT

CAPAIAN PEMBELAJARAN
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable dan sistem
pertidaksamaan linear dua variable. Mereka dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi
kuadrat (termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial
(berbasis sama) dan fungsi eksponen

TUJUAN PEMBELAJARAN
• Peserta didik dapat menentukan akar-akar persamaan
kuadrat
• Perserta didik dapat menyelesaikan permasalahan
kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGAMATI

Kehadiran taman membuat

suasana rumah tampak asri.

Selain itu, adanya taman rumah

membuat udara menjadi lebih

segar. Taman rumah identik

dengan lahan yang luas. Padahal

taman juga dapat dibuat pada

lahan sempit. Gambar disamping

merupakan contoh taman ruma berbentuk persegi Panjang. Misalkan Panjang

taman rumah tersebut (2 + x) meter dan lebarnya x meter. Adapun luas taman

tersebut adalah 8m2. Ilustrasi ini merupakan contoh penerapan persamaan

kuadrat dalam kehidupan. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak

permasalahan lain yang berkaitan dengan persamaan kuadrat seperti yang akan

kamu pelajari pada bahan ajar ini.

AYO MENANYA

Berdasarkan situasi diatas, dapatkah kalian menentukan Panjang dan lebar
taman tanpa harus mengukurnya secara langsung?
Selanjutnya buatlah pertanyaan lain yang berkaitan dengan ilustrasi diatas.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGGALI INFORMASI

BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Secara umum persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki derajat
tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu

2 + + = 0
a,b,c merupakan anggota bilangan real dengan a ≠ 0. Bilangan a dan b disebut
sebagai koefisien, c disebut konstanta.
Perhatikan beberapa persamaan berikut

Contoh bentuk Contoh bukan
persamaan kuadrat bentuk persamaan kuadrat

2 + 5 + 6 = 0 − 2 = 0
2 2 + 9 = −5
2 − 25 = 0 2 + 3 = 0
4 2 = 0
3 − 5 = 12
3 − 8 = 0

Ciri-ciri persamaan kuadrat:
• Sebuah persamaan dengan pangkat tertinggi peubah adalah 2 dan
pangkat terendahnya adalah 0
• Koefisien variabelnya adalah bilangan real
• Koefisien variable berpangkat 2 tidak boleh bernilai nol

AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Pada persamaan kuadrat, nilai-nilai yang membuat persamaan tersebut bernilai
benar disebut akar persamaan. Ada beberapa metode yang digunakan untuk
menentukan akar persamaan kuadrat. Simaklah uraian materi berikut.

1. METODE PEMFAKTORAN
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar menjadi bentuk
perkalian faktornya. Ada beberapa bentuk faktorisasi, diantaranya:

© Putu Winda Marhayani Wijaya

a. Persamaan kuadrat berbentuk + + = , dengan a = 1
Bentuk persamaan kuadrat dengan a = 1 adalah 2 + + = 0. Misalkan p,q
adalah bilangan bulat. Bentuk 2 + + = 0 dapat difaktorkan sebagai berikut

2 + + = 0 = ( + )( + ) = 0
Dimana + = dan . = . Dengan kata lain, p dan q adalah dua bilangan
yang merupakan factor dari c dan jika dijumlahkan akan menghasilkan b.

CONTOH. Diketahui persamaan 2 + 4 + 3 = 0. Menentukan pasangan
Pada persamaan tersebut, nilai a = 1, b = 4, c = nilai p dan q
3. Dengan demikian p + q = 4 dan p.q = 3. Untuk
dapat mencari nilai p dan q, pertama lihat p q p.q p +q
syarat p.q = 3 terlebih dahulu. Diketahui bahwa
factor dari 3 adalah 1 dan 3 serta -1 dan -3. 133 4
Kemungkinan pasangan nilai p dan q seperti
tabel disamping. -1 -3 3 -4

Berdasarkan table tersebut, bilangan yang memenuhi p + q = 4 dan p.q = 3
adalah bilangan pada baris pertama. Dengan demikian diperoleh sebagai
berikut.
2 + 4 + 3 = 0

( + 1)( + 3) = 0
+ 1 = 0 atau + 3 = 0
= −1 atau = −3
Jadi akar-akar dari persamaan tersebut adalah -1 atau -3

b. Persamaan kuadrat berbentuk + + = , dengan a ≠ 1

Misalkan p,q adalah bilangan bulat. Bentuk 2 + + = 0 dapat difaktorkan

seperti berikut.

2 + + = 1 ( + )( + ) = 0


Dimana + = dan . = . Dengan kata lain, p dan q adalah dua bilangan

yang merupakan factor dari ac dan jika dijumlahkan akan menghasilkan b.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

CONTOH. Diketahui persamaan 2 2 + 7 + 3 = 0. Menentukan pasangan
Pada persamaan tersebut, nilai a = 2,b = 7,c = 3. nilai p dan q
Dengan demikian p + q = 7 dan p.q = 6. Untuk
dapat mencari nilai p dan q, pertama lihat syarat p q p.q p +q
p.q = 6 terlebih dahulu. Diketahui bahwa faktor
dari 6 adalah 1 dan 6 serta 2 dan 3. 166 7
Kemungkinan pasangan nilai p dan q seperti
tabel disamping. -1 -6 6 -7

236 5

-2 -3 6 -5

Berdasarkan table tersebut, bilangan yang memenuhi p + q = 7 dan p.q = 6

adalah bilangan pada baris pertama. Dengan demikian diperoleh sebagai

berikut.

2 2 + 7 + 3 = 0

1
2 (2 + 1)(2 + 6) = 0

1 (2 + 1)2( + 3) = 0
2

(2 + 1)( + 3) = 0

2 + 1 = 0 atau + 3 = 0

= − 1 atau = −3

2

Jadi akar-akar dari persamaan tersebut adalah − 1 atau -3

2

2. METODE MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA
Pada metode melengkapkan kuadrat semburna, bentuk persamaan kuadrat
2 + + = 0 dapat dijabarkan menjadi bentuk berikut.

( + ) =
Dimana p,q adalah bilangan bulat. Selanjutnya, ingat kembali rumus-rumus
aljabar berikut.

( + ) = + +
( − ) = − +

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Rumus-rumus aljabar tersebut digunakan sebagai dasar untuk menentukan
akar-akar dari persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

CONTOH. Diketahui persamaan kuadrat 3 2 − 9 − 30 = 0. Langkah-langkah

menentukan akar-akar persamaan tersebut dengan melengkapkan kuadrat

sempurna

Langkah 1 Memindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan

3 2 − 9 − 30 = 0

3 2 − 9 = 30

Langkah 2 Membagi setiap suku dengan koefisien x2

3 2 − 9 = 30

2 − 3 = 10

Langkah 3 Membagi nilai b dengan 2. Kemudian menentukan kuadrat

dari hasil pembagian.

Langkah 4 3
2 =−2
2 9
(2) = 4
Menambahkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan dengan

hasil yang diperoleh pada langkah 3

2 − 3 + 9 = 10 + 9
4 4

3 2 49
( − 2) = 4

Langkah 6 Mengakar kuadratkan kedua ruas

√( − 32 = √49
2) 4

Langkah 7 37
( − 2) = ± 2
Mencari nilai x

37
( − 2) = ± 2

© Putu Winda Marhayani Wijaya

( − 3) = 7 ( − 3) = − 7

22 22

= 7 + 3 = − 7 + 3

22 22

= 10 = 5 = −4 = −2

2 2

Jadi, akar dari 3 2 − 9 − 30 = 0 adalah 5 atau -2

3. METODE RUMUS KUADRAT
Jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka kamu dapat
meenntukan akar-akarnya dengan menggunakan rumuskuadrat sebagai
berikut.

1,2 = − ± √ 2 − 4

2

Rumus diatas dikenal dengan sebutan rumus kuadrat atau rumus “ABC”,

karena untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, kita harus

memperhatikan nilai koefisien a,b, dan c. Nilai di dalam akar pada rumus di

atas sebagai diskriminan (D), yaitu = 2 − 4 . Nilai diskriminan ini

mempengaruhi akar-akar dari persamaan kuadrat. Syarat-syarat untuk

menggunakan rumus kuadrat adalah sebagai berikut.

• Di dalam rumus kuadrat, terdapat nilai diskrimian = 2 − 4

• Nilai a tidak boleh sama dengan 0 atau a ≠ 0

• Apabila nilai D < 0, maka nilai dari akar-akarnya tidak real

• Apabila nilai D > 0, maka nilai dari akar-akarnya dikatakan real berbeda

• Apabila nilai D = 0, maka nilai dari akar-akarnya kembar

CONTOH. Tentukan akar persamaan dari 2 + 4 − 15 = 0 dengan rumus
kuadrat. Berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat, diperoleh a = 1, b =
4, dan c = -15, sedemikian hingga

1,2 = − ± √ 2 − 4

2

© Putu Winda Marhayani Wijaya

1,2 = −4 ± √42 − 4.1. −15

2.1

1,2 = −4 ± √16 + 60

2

1,2 = −4 ± √76

2

1,2 = −4 ± 2√19

2

1,2 = −2 ± √19

Jadi, akar persamaan dari 2 + 4 − 15 = 0 adalah −2 + √19 atau −2 − √19

AYO MENALAR

Perhatikan ilustrasi dibawah ini.
Pak Danar mempunyai kebuh berbentuk persegi
Panjang. Luas kebun Pak Danar 270 m2.
Panjang kebun tersebut tiga lebihnya dari
lebarnya. Disekeliling kebun akan dibuat jalan
selebar 2 meter. Tentukan luas sisa kebun
setelah dibuatkan jalan tersebut.

AYO BERBAGI

Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman
sebangku atau sekelasmu.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO BERLATIH
Agar lebih memahami materi diatas, cobalah menjawab pertanyaan berikut

1. Akar dari persamaan 2 + 7 − 17 = 0 adalah −7±3√13 . Apakah pernyataan

2

tersebut benar? Coba buktikan!
2. Seorang atlet lempar lembing melemparkan sebuah tongkat lembing

dengan kecepatan tertentu. Tinggi ujung tongkat tersebut setiap detik
dapat dinyatakan ke dalam sebuah fungsi yaitu ℎ( ) = −0,5 2 + 2 +
5 (meter). Setelah melambung beberapa saat, akhirnya tongkat tersebut
mendarat di permukaan tanah. Berapakah waktu yang dibutuhkan
tongkat hingga mendarat ke tanah?

Bahan ajar ini juga dapat Anda simak
melalui video pembelajaran berikut.

SCAN ME

© Putu Winda Marhayani Wijaya

BAHAN AJAR

KARAKTERISTIK FUNGSI KUADRAT

CAPAIAN PEMBELAJARAN
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable dan sistem
pertidaksamaan linear dua variable. Mereka dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat
(termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial (berbasis
sama) dan fungsi eksponen

TUJUAN PEMBELAJARAN
• Peserta didik dapat mengidentifikasi karakteristik fungsi
kuadrat
• Perserta didik dapat menyelesaikan permasalahan kontekstual
yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGAMATI

Pernahkah kamu bermain bola
basket? Saat bermain bola
basket, tentunya kamu akan
berusaha memasukkan bola ke
dalam ring. Tujuannya untuk
memperoleh skor. Ketika
melempar bola ke dalam ring,
gerakan bola akan membentuk
kurva yang menyerupai parabola. Dalam matematika, gerakan tersebut
membentuk fungsi kuadrat. Agar mengetahuinya, cermatihan bahan ajar ini
dengan seksama. Dengan demikian kamu dapat megaplikasikan ilmu yang
diperoleh dalam kehidupan sehari-hari.

AYO MENANYA

Dapatkah kamu menyebutkan benda-benda berbentuk melengkung lainnya?
Bagaimanakah bentuk rumus matematika fungsi kuadrat?

AYO MENGGALI INFORMASI

BENTUK UMUM FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang disusun oleh persamaan kuadrat berbentuk
umum :

( ) = 2 + + , a ≠ 0

© Putu Winda Marhayani Wijaya

atau dalam bentuk koordinat kartesius

y = ax² + bx + c

atau dalam bentuk relasi fungsi

f : x → ax² + bx + c

Grafik fungsi kuadrat berbentuk non-linear dalam koordinat kartesius yaitu
berupa parabola. Garis non-linear adalah istilah untuk garis tidak lurus dalam
ilmu matematika. Fungsi kuadrat dalam bahasa inggris disebut
dengan “Quadratic Function“. Konsep fungsi kuadrat menggunakan konsep
yang sama dengan konsep persamaan kuadrat yang dipelajari sebelumnya.

Berikut contoh dan bukan contoh fungsi kuadrat.

Contoh fungsi kuadrat: Bukan fungsi kuadrat:

• f(x) = x2 • f(x) = x
• f(x) = -x2 • y = -2x
• y = x2 – 2x • f(x) = x – 2
• y = -x2 – 7x + 8
• y=x+8

KARAKTERISTIK FUNGSI KUADRAT
Berikut beberapa sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berdasarkan bentuk
umumnya.
1. Hubungan nilai a terhadap fungsi kuadrat
Bentuk parabola fungsi kuadrat ditentukan nilai koefisien a dalam bentuk
umum f(x) = ax² + bx + c, yaitu
• a > 0 kurva parabola membuka ke atas (a positif)
• a < 0 kurva parabola membuka ke bawah (a negatif)

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Berikut ilustrasinya,

2. Hubungan nilai b terhadap fungsi kuadrat
Nilai b merupakan koefisien x yang menentukan posisi tiik puncak grfaik fungsi
kuadrat dalma koordinat kartesius. Posisi puncak ini disebut juga sebagai
sumbu simetri karena membagi grafik menjadi dua bagian yang simetri.
Sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c berdasarkan nilai b yaitu

• Jika b = 0, maka titik puncak berada di sumbu y (sumbu simetrinya sama
dengan sumbu y )

• Jika a dan b bertanda sama (positif dan positif atau negative dan
negative), maka titik puncak berada di sebelah kiri sumbu y

• ika a dan b bertanda beda(positif dan negative), maka titik puncak berada
di sebelah kanan sumbu y

Berikut ilustrasinya,

© Putu Winda Marhayani Wijaya

3. Hubungan nilai c terhadap fungsi kuadrat
Titik potong grafik fungsi kuadrat ditentukan oleh nilai konstanta c, pada
bentuk umum fungsi kuadrat ax² + bx + c. Nilai konstanta c merupakan titik
potong sumbu y dari kurva yang dibentuk fungsi kuadrat, yaitu titik (0, c).

• c > 0 kurva parabola memotong sumbu Y positif
• c = 0 kurva parabola memotong sumbu Y di titik pusat
• c < 0 kurva parabola memotong sumbu Y negatif
Berikut ilustrasinya.

4. Hubungan nilai D (Diskriminan) terhadap fungsi kuadrat
Nilai diskriminan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c adalah D = b² – 4ac. Nilai
diskriminan suatu fungsi kuadrat dapat digunakan sebagai parameter
karakteristik grafik berdasarkan titik potongnya di sumbu x. Karakteristik grafik
fungsi kuadrat berdasarkan nilai determinannya (D) sebagai berikut.

• D > 0; berarti grafik fungsi kuadrat mempunyai dua akar real berbeda
(grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda).

• D = 0; berarti grafik fungsi kuadrat mempunyai dua akar real kembar
(grafik memotong sumbu x pada satu titik dan merupakan sebuah titik
puncak).

© Putu Winda Marhayani Wijaya

• D < 0; berarti grafik fungsi kuadrat mempunyai akar imaginer (grafik tidak
memotong sumbu x). Terdapat 2 jenis karakteristik grafik kuadrat saat
nilai D < 0, yaitu:
1. Definit positif saat a > 0 dan D < 0 adalah karakteristik grafik
kuadrat saat posisinya berada di atas sumbu x.
2. Definit negatif saat a < 0 dan D < 0 adalah karakteristik grafik
kuadrat saat posisinya berada di bawah sumbu x.

Berikut ilustrasi grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya.

5. Titik Puncak Grafik Fungsi Kuadrat
Titik puncak grafik parabola dari fungsi kuadrat dapat dihitung dari bentuk
umumnya f(x) = ax² + bx + c. Titik puncak kurva parabola juga disebut titik
ekstrim. Berikut rumus untuk mencari titik puncak grafik fungsi kuadrat, yaitu
hitung titik ekstrim di sumbu x, lalu hitung nilai fungsinya untuk mendapat
titik ekstrim sumbu y.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Contoh Diketahui sebuah fungsi kuadrat f(x) = 3x² + 6x + 2, tentukan titik
puncak dari grafiknya!
Solusi

Sehingga titik puncak grafik tersebut berada pada titik (-1, -1), berikut
ilustrasinya.

F(x) =3x2 + 6x + 2

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENALAR

Selisih Panjang dan lebar tempat pensil yang berbentuk balok adalah 11 cm.
Tinggi tempat pensil tersebut 3 cm. Tentukan fungsi dalam x yang menyatakan
volume tempat pensil! Apakah fungsi tersebut berbentuk fungsi kuadrat?
Jelaskan alasannya!

AYO BERBAGI
Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman
sebangku atau sekelasmu.

AYO BERLATIH

Agar lebih memahami materi diatas, cobalah menjawab pertanyaan berikut
1. Sea membuat maket rumah dari papan PVC. Salah satu sisi atap maket
rumah berbentuk trapesium. Selisih antara sisi-sisi sejajar pada sisi atap
maket tersebut 4 cm. Adapun tingginya 6 cm. Tentukanlah fungsi dalam
x yang menyatakan luas dan keliling sisi atap maket tersebut!
Identifikasilah fungsi yang berbentuk fungsi kuadrat
2. Diketahui gerakan air mancur berbentuk fungsi ( ) = − 2 + 4 .
Berapakah jarak tertinggi air mancur tersebut dari permukaan tanah.

Bahan ajar ini juga dapat Anda simak
melalui video pembelajaran berikut.

SCAN ME

© Putu Winda Marhayani Wijaya

BAHAN AJAR

MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT

CAPAIAN PEMBELAJARAN
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable dan sistem
pertidaksamaan linear dua variable. Mereka dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi
kuadrat (termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial
(berbasis sama) dan fungsi eksponen

TUJUAN PEMBELAJARAN
• Peserta didik dapat menggambarkan fungsi kuadrat pada
bidang Cartesius
• Perserta didik dapat menyelesaikan permasalahan kontekstual
yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGAMATI

Di dunia ini ada beragam

desain jembatan. Contohnya

desain arch bridge. Desain ini

berbentuk melengkung

setengah lingkaran layaknya

sebuah panahan atau bentuk

parabola. Model desain arch

bridge dapat dijumpai di

Provinsi Kalimantan Selatan. Jembatan itu adalah Kalahien. Jembatan yang

melintasi Sungai Barito ini memiliki Panjang 620 meter dan lebar 9 meter.

AYO MENANYA

Menurut Anda, apakah jembatan Kalahien tersebut berbentuk grafik fungsi
kuadrat? Bisakah kamu sajikan desain jembatan ke dalam bentuk grafik
pada bidang koordinat Cartesius?

AYO MENGGALI INFORMASI

MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT
Langkah-langkah dalam menggambar suatu grafik fungsi kuadrat adalah
sebagai berikut.

1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu Y, yaitu nilai x = 0
2. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu X, yaitu nilai y = 0
3. Menentukan koordinat titik puncak

© Putu Winda Marhayani Wijaya

• Sumbu Simetri
Sumbu simetri merupakan garis yang membagi grafik menjadi dua
bagian yang sama besar atau simetri. Sumbu simetri grafik fungsi
kuadrat ( ) = = 2 + + dirumuskan sebagai berikut.


= − 2

• Nilai optimum
Nilai optimum merupakan nilai maksimum atau minimum suatu
grafik fungsi kuadrat. Nilai optimum fungsi kuadrat kuadrat ( ) =
= 2 + + dirumuskan sebagai berikut.

( 2 − 4 )
= − 4 = − 4

Berdasarkan bentuk grafik fungsi kuadrat, terdapat dua jenis nilai
optimum. Berikut jenis nilai optimum fungsi kuadrat ( ) = =
2 + + berdasarkan bentuk grafiknya.

a) Jika grafik terbuka ke bawah dimana a < 0, maka nilai
optimum fungsi kuadrat tersebut merupakan nilai maksimum

b) Jika grafik terbuka ke atas dimana a > 0, maka nilai optimum
fungsi kuadrat tersebut merupakan nilai minimum

4. Jika diperlukan, maka diberikan minimal satu titik bantu lainnya untuk
nilai x tertentu.

5. Gambarkan seluruh titik-titik yang ditemukan pada bidang koordinat.

Contoh
Gambarkan grafik fungsi kuadrat ( ) = 2 + 5 + 6
Penyelesaian
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.

1. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu x = 0
= 2 + 5 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 6)

© Putu Winda Marhayani Wijaya

2. Menentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu y = 0

2 + 5 + 6 = 0

( + 3)( + 2) = 0

( + 2) = 0 atau ( + 3) = 0

= −2 atau = −3

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah (-2, 0) dan (-3, 0)

3. Menentukan titik puncak

Sumbu simetri Nilai optimum

= − = − 5 = − = − (52−4.1.6) = − 1

2 2 4 4 4

Oleh karena nilai a = 1 > 0, maka dapat disimpulkan grafik akan

terbuka ke atas

4. Jika diperlukan, maka diberikan minimal satu titik bantu lainnya untuk

nilai x tertentu.

Misalkan diambil nilai x = -1, maka nilai dari y adalah sebagai berikut.

= 2 + 5 + 6 = −12 + 5(−1) + 6 = 2

Jadi, diperoleh sebuah titik bantu yaitu (-1, 2)

5. Berdasarkan langkah-langkah tersebut maka sketsa sederhana grafik fungsi

( ) = 2 + 5 + 6 adalah sebagai berikut

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENALAR

Komang membuat dua buah maket Gedung. Kedua maket tersebut atapnya
berbentuk parabola. Maket pertama atapnya berbentuk seperti grafik fungsi
( ) = − 2 − + 6 (dalam cm) dan atap maket kedua berbentuk seperti grafik
fungsi ( ) = − 2 + 10 − 16 (dalam cm). Apakah atap maket kedua lebih tinggi
daripada atap maket pertama? Coba sajikan gambar kedua maket dalam satu
bidang koordinat Cartesius.

AYO BERBAGI
Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman
sebangku atau sekelasmu.

AYO BERLATIH

Agar lebih memahami materi diatas, cobalah menjawab pertanyaan berikut
1. Mengapa grafik fungsi ( ) = −2 2 − 7 − 5 terbuka ke bawah? Coba
jelaskan! Kemudian gambarkan grafik fungsinya.
2. Diketahui gerakan air mancur berbentuk fungsi ( ) = − 2 + 4 .
Berapakah jarak tertinggi air mancur tersebut dari permukaan tanah?
Kemudian gambarkan ilustrasinya ke dalam grafik fungsinya.

Bahan ajar ini juga dapat Anda simak
melalui video pembelajaran berikut.

SCAN ME

© Putu Winda Marhayani Wijaya

BAHAN AJAR

MENYUSUN FUNGSI KUADRAT

CAPAIAN PEMBELAJARAN
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable dan sistem
pertidaksamaan linear dua variable. Mereka dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi
kuadrat (termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial
(berbasis sama) dan fungsi eksponen

TUJUAN PEMBELAJARAN
• Peserta didik dapat menyusun fungsi kuadrat berdasarkan
informasi yang diketahui
• Peserta didik dapat menyelesaikan permasalahan
kontekstual yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGAMATI

Roller coaster merupakan

permainan kereta luncur yang

bergerak pada suatu lintasan

khusus. Desain dari lintasan

roller coaster merupakan

faktor penting dalam

permainan roller coaster.

Desain yang baik akan

membuat permainan roller

coaster menjadi menarik dan aman. Hal tersebut merupakan contoh penerapan

fungsi kuadrat dalam kehidupan. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak

permasalahan lain yang berkaitan dengan fungsi kuadrat seperti yang kamu

akan pelajari pada bahan ajar ini.

AYO MENANYA

Menurut anda, bagaimana cara mendesain roller coaster ke dalam bentuk
rumus fungsi kuadrat

AYO MENGGALI INFORMASI

MENYUSUN FUNGSI KUADRAT
Kamu telah mengetahui bentuk umum fungsi kuadrat. Bentuk fungsi kuadrat
tersebut dapat disusun seperti persamaan kuadrat. Akan tetapi, terdapat
perbedaan di antara keduanya. Perbedaan dalam menyusun persamaan
kuadrat dengan menyusun fungsi kuadrat didasarkan pada unsur yang

© Putu Winda Marhayani Wijaya

diketahui. Dalam menyusun persamaan kuadrat, kamu harus mengetahui
akar-akarnya terlebih dahulu, sedangkan cara yang digunakan tidak tergantung
pada akar-akarnya. Namun, dalam menyusun fungsi kuadrt, cara yang
digunakan tergantung pada unsur yang diketahui. Untuk mengetahui cara
menyusun fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut ini dengan sungguh-
sungguh.

1. MENYUSUN RUMUS FUNGSI KUADRAT JIKA DIKETAHUI TITIK
POTONG TERHADAP SUMBU X DAN SATU TITIK LAIN

Jika diketahui suatu fungsi kuadrat = 2 + + yang memotong sumbu X
di titik A (x1, 0) dan titik B (x2, 0), serta melalui sebuah titik lain C (x, y), maka
rumus yang digunakan untuk menyusun fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.

= ( − 1)( − 2)
Dimana nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan koordinat titik C.

CONTOH. Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan

(4 , 0) serta melalui sebuah titik (0, 8).

♦ Substitusikan nilai x1, x2, x, y ke dalam bentuk rumus
= ( − 1)( − 2) sedemikian sehingga:

8 = (0 − 2)(0 − 4)

8 = (−2)(−4)

8 = 8

= 1

Setelah memperoleh nilai a, kembali substitusikan nilai x1, x2, dan a ke dalam
rumus = ( − 1)( − 2) kembali, sedemikian sehingga,

= 1( − 2)( − 4)

= 2 − 6 + 8

Jadi, fungsi kudrat melalui titik potong pada sumbu X dan satu titik lain yang

diketahui adalah = 2 − 6 + 8

Berikut ilustrasi gambar grafik fungsi kuadrat = 2 − 6 + 8 dengan geogebra.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

2. MENYUSUN RUMUS FUNGSI KUADRAT JIKA DIKETAHUI TITIK
PUNCAK DAN SATU TITIK LAIN

Jika diketahui suatu fungsi kuadrat = 2 + + yang memiliki titik Puncak
(p, q) serta melalui sebuah titik lain C (x, y), maka rumus yang digunakan untuk
menyusun fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.

= ( − )2 +
Dimana nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan koordinat titik C.

CONTOH. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (2 , 6) serta
melalui sebuah titik (1, 3).
♦ Substitusikan nilai p, q, x, y ke dalam bentuk rumus
= ( − )2 + sedemikian sehingga:

© Putu Winda Marhayani Wijaya

3 = (1 − 2)2 + 6
3 = (−1)2 + 6

3 = + 6
= −3
Setelah memperoleh nilai a, kembali substitusikan nilai p, q dan a ke dalam
rumus = ( − )2 + kembali, sedemikian sehingga,
= −3( − 2)2 + 6
= −3( 2 − 4 + 4) + 6
= −3 2 + 12 − 12 + 6
= −3 2 + 12 − 6
Jadi, fungsi kudrat yang memiliki titik puncak dan satu titik lain yang diketahui
adalah = −3 2 + 12 − 6
Berikut ilustrasi gambar grafik = −3 2 + 12 − 6 dengan geogebra.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

3. MENYUSUN RUMUS FUNGSI KUADRAT JIKA DIKETAHUI TIGA TITIK
KOORDINAT BERBEDA

Jika diketahui suatu fungsi kuadrat = 2 + + yang memiliki tiga titik
koordinat berbeda yaitu titik A (x1, y1), titik B (x2, y2), dan titik C (x3, y3) maka
rumus yang digunakan untuk menyusun fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.

= 2 + +
Dimana nilai a, b, c dapat ditentukan dengan mensubstitusikan ketika
koordinat titik tersebut.

CONTOH. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki koordinat titik (0, -5), (-1, 0),
dan (1, -12).
♦ Substitusikan ketiga titik koordinat dalam bentuk umum fungsi kuadrat
= 2 + + sedemikian sehingga didapat tiga persamaan yaitu:
(0, −5) → −5 = 02 + 0 +
−5 = … ( )
Substitusikan persamaan (i) ke dalam bentuk umum fungsi kuadrat, sehingga
(−1, 0) → 0 = (−1)2 + (−1) +
0 = − + −5
= + 5 … ( )
Substitusikan persamaan (ii) ke dalam bentuk umum fungsi kuadrat, sehingga
(1, −12) → −12 = 12 + 1 +
−12 = + − 5
−12 = + 5 + − 5
−12 = 2
= −6
Substitusikan nilai b ke dalam persamaan (ii), sehingga
= −6 + 5
= −1
Setelah memperoleh nilai a,b,c, kembali substitusikan ke dalam bentuk mum
fungsi kuadrat = 2 + + , sedemikian sehingga, = −1 2 − 6 − 5

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Jadi, fungsi kudrat yang memotong tiga koordinat titik yang diketahui adalah
= −1 2 − 6 − 5
Berikut ilustrasi gambar grafik = −1 2 − 6 − 5 dengan geogebra.

AYO MENALAR
Seorang arsitek ingin meancang sebuah gapura berbentuk lengkung
menyerupai parabola. Arsitek tersebut menggambar gapura pada sebuah bidang
koordinat dengan skala 1 : 100. Diketahui puncak gapura tersebut berada pada
koordinat (2, 3) dan melalui titik (1, 0). Coba sajikan desain gapura dalam
bentuk rumus fungsi kuadrat. Kemudian berapakah lebar gapura yang dibuat
oleh arsitek tersebut?

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO BERBAGI
Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman
sebangku atau sekelasmu.

AYO BERLATIH
Agar lebih memahami materi diatas, cobalah menjawab pertanyaan berikut

1. Apakah fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-5, 0) dan (7, 0)
dan melalui titik (0, -70) sama seperti fungsi kuadrat yang memiliki titik
puncak (1, 72) dan melalui titik (-1, -64)? Jelaskan!

2. Tunjukkan bahwa rumus fungsi kuadrat yang melalui titik (0, -72), (1, -
84), dan (-1, -54) memiliki nilai a = 3.

Bahan ajar ini juga dapat Anda simak
melalui video pembelajaran berikut.

SCAN ME

© Putu Winda Marhayani Wijaya