Bahan Ajar 1_Persamaan Kuadrat

BAHAN AJAR
PERSAMAAN KUADRAT

CAPAIAN PEMBELAJARAN
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable dan sistem
pertidaksamaan linear dua variable. Mereka dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi
kuadrat (termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial
(berbasis sama) dan fungsi eksponen

TUJUAN PEMBELAJARAN
• Peserta didik dapat menentukan akar-akar persamaan
kuadrat
• Perserta didik dapat menyelesaikan permasalahan
kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGAMATI

Kehadiran taman membuat

suasana rumah tampak asri.

Selain itu, adanya taman rumah

membuat udara menjadi lebih

segar. Taman rumah identik

dengan lahan yang luas. Padahal

taman juga dapat dibuat pada

lahan sempit. Gambar disamping

merupakan contoh taman ruma berbentuk persegi Panjang. Misalkan Panjang

taman rumah tersebut (2 + x) meter dan lebarnya x meter. Adapun luas taman

tersebut adalah 8m2. Ilustrasi ini merupakan contoh penerapan persamaan

kuadrat dalam kehidupan. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak

permasalahan lain yang berkaitan dengan persamaan kuadrat seperti yang akan

kamu pelajari pada bahan ajar ini.

AYO MENANYA

Berdasarkan situasi diatas, dapatkah kalian menentukan Panjang dan lebar
taman tanpa harus mengukurnya secara langsung?
Selanjutnya buatlah pertanyaan lain yang berkaitan dengan ilustrasi diatas.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGGALI INFORMASI

BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Secara umum persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki derajat
tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu

2 + + = 0
a,b,c merupakan anggota bilangan real dengan a ≠ 0. Bilangan a dan b disebut
sebagai koefisien, c disebut konstanta.
Perhatikan beberapa persamaan berikut

Contoh bentuk Contoh bukan
persamaan kuadrat bentuk persamaan kuadrat

2 + 5 + 6 = 0 − 2 = 0
2 2 + 9 = −5
2 − 25 = 0 2 + 3 = 0
4 2 = 0
3 − 5 = 12
3 − 8 = 0

Ciri-ciri persamaan kuadrat:
• Sebuah persamaan dengan pangkat tertinggi peubah adalah 2 dan
pangkat terendahnya adalah 0
• Koefisien variabelnya adalah bilangan real
• Koefisien variable berpangkat 2 tidak boleh bernilai nol

AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Pada persamaan kuadrat, nilai-nilai yang membuat persamaan tersebut bernilai
benar disebut akar persamaan. Ada beberapa metode yang digunakan untuk
menentukan akar persamaan kuadrat. Simaklah uraian materi berikut.

1. METODE PEMFAKTORAN
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar menjadi bentuk
perkalian faktornya. Ada beberapa bentuk faktorisasi, diantaranya:

© Putu Winda Marhayani Wijaya

a. Persamaan kuadrat berbentuk + + = , dengan a = 1
Bentuk persamaan kuadrat dengan a = 1 adalah 2 + + = 0. Misalkan p,q
adalah bilangan bulat. Bentuk 2 + + = 0 dapat difaktorkan sebagai berikut

2 + + = 0 = ( + )( + ) = 0
Dimana + = dan . = . Dengan kata lain, p dan q adalah dua bilangan
yang merupakan factor dari c dan jika dijumlahkan akan menghasilkan b.

CONTOH. Diketahui persamaan 2 + 4 + 3 = 0. Menentukan pasangan
Pada persamaan tersebut, nilai a = 1, b = 4, c = nilai p dan q
3. Dengan demikian p + q = 4 dan p.q = 3. Untuk
dapat mencari nilai p dan q, pertama lihat p q p.q p +q
syarat p.q = 3 terlebih dahulu. Diketahui bahwa
factor dari 3 adalah 1 dan 3 serta -1 dan -3. 133 4
Kemungkinan pasangan nilai p dan q seperti
tabel disamping. -1 -3 3 -4

Berdasarkan table tersebut, bilangan yang memenuhi p + q = 4 dan p.q = 3
adalah bilangan pada baris pertama. Dengan demikian diperoleh sebagai
berikut.
2 + 4 + 3 = 0

( + 1)( + 3) = 0
+ 1 = 0 atau + 3 = 0
= −1 atau = −3
Jadi akar-akar dari persamaan tersebut adalah -1 atau -3

b. Persamaan kuadrat berbentuk + + = , dengan a ≠ 1

Misalkan p,q adalah bilangan bulat. Bentuk 2 + + = 0 dapat difaktorkan

seperti berikut.

2 + + = 1 ( + )( + ) = 0


Dimana + = dan . = . Dengan kata lain, p dan q adalah dua bilangan

yang merupakan factor dari ac dan jika dijumlahkan akan menghasilkan b.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

CONTOH. Diketahui persamaan 2 2 + 7 + 3 = 0. Menentukan pasangan
Pada persamaan tersebut, nilai a = 2,b = 7,c = 3. nilai p dan q
Dengan demikian p + q = 7 dan p.q = 6. Untuk
dapat mencari nilai p dan q, pertama lihat syarat p q p.q p +q
p.q = 6 terlebih dahulu. Diketahui bahwa faktor
dari 6 adalah 1 dan 6 serta 2 dan 3. 166 7
Kemungkinan pasangan nilai p dan q seperti
tabel disamping. -1 -6 6 -7

236 5

-2 -3 6 -5

Berdasarkan table tersebut, bilangan yang memenuhi p + q = 7 dan p.q = 6

adalah bilangan pada baris pertama. Dengan demikian diperoleh sebagai

berikut.

2 2 + 7 + 3 = 0

1
2 (2 + 1)(2 + 6) = 0

1 (2 + 1)2( + 3) = 0
2

(2 + 1)( + 3) = 0

2 + 1 = 0 atau + 3 = 0

= − 1 atau = −3

2

Jadi akar-akar dari persamaan tersebut adalah − 1 atau -3

2

2. METODE MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA
Pada metode melengkapkan kuadrat semburna, bentuk persamaan kuadrat
2 + + = 0 dapat dijabarkan menjadi bentuk berikut.

( + ) =
Dimana p,q adalah bilangan bulat. Selanjutnya, ingat kembali rumus-rumus
aljabar berikut.

( + ) = + +
( − ) = − +

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Rumus-rumus aljabar tersebut digunakan sebagai dasar untuk menentukan
akar-akar dari persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

CONTOH. Diketahui persamaan kuadrat 3 2 − 9 − 30 = 0. Langkah-langkah

menentukan akar-akar persamaan tersebut dengan melengkapkan kuadrat

sempurna

Langkah 1 Memindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan

3 2 − 9 − 30 = 0

3 2 − 9 = 30

Langkah 2 Membagi setiap suku dengan koefisien x2

3 2 − 9 = 30

2 − 3 = 10

Langkah 3 Membagi nilai b dengan 2. Kemudian menentukan kuadrat

dari hasil pembagian.

Langkah 4 3
2 =−2
2 9
(2) = 4
Menambahkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan dengan

hasil yang diperoleh pada langkah 3

2 − 3 + 9 = 10 + 9
4 4

3 2 49
( − 2) = 4

Langkah 6 Mengakar kuadratkan kedua ruas

√( − 32 = √49
2) 4

Langkah 7 37
( − 2) = ± 2
Mencari nilai x

37
( − 2) = ± 2

© Putu Winda Marhayani Wijaya

( − 3) = 7 ( − 3) = − 7

22 22

= 7 + 3 = − 7 + 3

22 22

= 10 = 5 = −4 = −2

2 2

Jadi, akar dari 3 2 − 9 − 30 = 0 adalah 5 atau -2

3. METODE RUMUS KUADRAT
Jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka kamu dapat
meenntukan akar-akarnya dengan menggunakan rumuskuadrat sebagai
berikut.

1,2 = − ± √ 2 − 4

2

Rumus diatas dikenal dengan sebutan rumus kuadrat atau rumus “ABC”,

karena untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, kita harus

memperhatikan nilai koefisien a,b, dan c. Nilai di dalam akar pada rumus di

atas sebagai diskriminan (D), yaitu = 2 − 4 . Nilai diskriminan ini

mempengaruhi akar-akar dari persamaan kuadrat. Syarat-syarat untuk

menggunakan rumus kuadrat adalah sebagai berikut.

• Di dalam rumus kuadrat, terdapat nilai diskrimian = 2 − 4

• Nilai a tidak boleh sama dengan 0 atau a ≠ 0

• Apabila nilai D < 0, maka nilai dari akar-akarnya tidak real

• Apabila nilai D > 0, maka nilai dari akar-akarnya dikatakan real berbeda

• Apabila nilai D = 0, maka nilai dari akar-akarnya kembar

CONTOH. Tentukan akar persamaan dari 2 + 4 − 15 = 0 dengan rumus
kuadrat. Berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat, diperoleh a = 1, b =
4, dan c = -15, sedemikian hingga

1,2 = − ± √ 2 − 4

2

© Putu Winda Marhayani Wijaya

1,2 = −4 ± √42 − 4.1. −15

2.1

1,2 = −4 ± √16 + 60

2

1,2 = −4 ± √76

2

1,2 = −4 ± 2√19

2

1,2 = −2 ± √19

Jadi, akar persamaan dari 2 + 4 − 15 = 0 adalah −2 + √19 atau −2 − √19

AYO MENALAR

Perhatikan ilustrasi dibawah ini.
Pak Danar mempunyai kebuh berbentuk persegi
Panjang. Luas kebun Pak Danar 270 m2.
Panjang kebun tersebut tiga lebihnya dari
lebarnya. Disekeliling kebun akan dibuat jalan
selebar 2 meter. Tentukan luas sisa kebun
setelah dibuatkan jalan tersebut.

AYO BERBAGI

Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman
sebangku atau sekelasmu.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO BERLATIH
Agar lebih memahami materi diatas, cobalah menjawab pertanyaan berikut

1. Akar dari persamaan 2 + 7 − 17 = 0 adalah −7±3√13 . Apakah pernyataan

2

tersebut benar? Coba buktikan!
2. Seorang atlet lempar lembing melemparkan sebuah tongkat lembing

dengan kecepatan tertentu. Tinggi ujung tongkat tersebut setiap detik
dapat dinyatakan ke dalam sebuah fungsi yaitu ℎ( ) = −0,5 2 + 2 +
5 (meter). Setelah melambung beberapa saat, akhirnya tongkat tersebut
mendarat di permukaan tanah. Berapakah waktu yang dibutuhkan
tongkat hingga mendarat ke tanah?

© Putu Winda Marhayani Wijaya