Algjebra e bulit

Florim Bajrami II.1

Algjebra e built. Njohuri themelore. Postulatet. Ligjet

2017, Gjilan

Sistemet fizike dhe sistemet logjike te të cilat mund të paraqiten vetëm dy
gjendje të ndryshme përshkruhen përmes algjebrës së Bulit (ang. Boolean Algebra).
Të tilla janë, p.sh., sistemet logjike te të cilat paraqiten gjendjet:

çdo gjë dhe asgjë, ose e vërtetë dhe e pavërtetë,

ose sistemet digjitale me gjendjet e tensioneve:

i lartë dhe i ulët, ose ekziston dhe nuk ekziston tension.

Algjebra e Bulit e ka zanafillën që nga punimet e Aristotelit, në kohën antike.
Por, bazat e kësaj algjebre janë përcaktuar nga George Boole (1815-1864), në vitin
1849, me punimet e tij për proceset e të menduarit.

Algjebra e Bulit për herë të parë zbatohet gjatë analizës së qarqeve me
ndërprerës, në punimet e Claude Shannon, në vitin 1938, prej nga shpesh quhet
edhe algjebër e ndërprerësve (ang. switching algebra).

Njohuri themelore

Algjebra e Bulit definohet si grumbull prej dy elementesh {0,1}, mbi të cilët
mund të zbatohen 3 operacione themelore: mbledhja, shumëzimi dhe komplementimi.
Për këto tri operacione përdoren operatorët logjikë OR, AND dhe NOT, ose në
gjuhën shqipe operatorët përkatës: OSE, DHE dhe JO.

Në vend të operatorëve logjikë të dhënë më sipër, për operacionin e
mbledhjes dhe të shumëzimit, në praktikë, përdoren edhe operatorët + e ·, kurse
vlerat e komplementuara në literaturë shënohen kryesisht me një vizë mbi vlerën.

Operacioni i mbledhjes dhe i shumëzimit paraqesin operacione binare, sepse
zbatohen mbi dy vlera, kurse operacioni i komplementimit quhet operacion unar,
sepse në të merr pjesë vetëm një vlerë.

Variablat të cilat mund të marrin vetëm dy vlera logjike, 0 dhe 1, njihen si
variabla të Bulit (ang. Boolean variable), ose variabla logjike. Kurse funksionet të
cilat formohen si kombinim i variablave dhe i operatorëve të algjebrës së Bulit
paraqesin funksione të Bulit (ang. Boolean function), ose funksione logjike.

Postulatet

Algjebra e Bulit mbëshetet në një grumbull qëndrimesh themelore, të cilat
ndryshe quhen postulate. Duke i përdorur tri operacionet themelore, këto
postulate shkruhen kështu:

Operacioni OSE

0+0=0
0+1=1
1+0 = 1
1+1 = 1

Operacioni DHE

0 ⋅0 = 0
0 ⋅1 = 0
1⋅0 = 0
1⋅1 = 1

Operacioni JO

0=1
1=0

ku me vizat mbi numra duhet nënkuptuar vlerat e komplementuara.
Në bazë të postulateve të dhëna më sipër, duke shfrytëzuar variablën logjike

A, e cila mund t’i marrë dy vlerat logjike të mundshme, 0 dhe 1, si dhe tri

operacioneve themelore, nxirren edhe relacionet algjebrike vijuese.

A +0= A A⋅1= A A=A
A +1=1 A ⋅0=0
A+A=A A⋅A=A

A + A =1 A ⋅ A= 0

Këto relacione në praktikë vërtetohen shumë thjesht, nëse në vend të
variablës A shkruhen dy vlerat e mundshme të saj. Kështu, p.sh., për relacionin

A+0=A

nëse variabla A zëvendësohet me dy vlerat e mundshme të saj, fitohen relacionet:

0+0=0
1+0=1

prej nga shihet se vlerat pas barazimit janë të njëjta me vlerat para operatorit +,
përkatësisht me dy vlerat e mundshme të variablës A.

Ligjet

Disa prej ligjeve që përdoren në algjebrën e zakonshme mund të shkruhen
edhe në algjebrën e Bulit. Në vazhdim janë dhënë ligjet themelore të kësaj algjebre
përmes barazimeve logjike të cilat përmbajnë dy ose tri variabla logjike.

Ligji i komutacionit

A +B=B+ A
A ⋅ B = B ⋅A

Ligji i asociacionit

A + (B + C) = (A + B) + C
A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C

Ligji i distribucionit

A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
A + B ⋅ C = (A + B) ⋅ (A + C)

Ligji i absorbcionit

A + (A ⋅ B) = A
A ⋅ (A + B) = A

Ligji i ekspansionit

A⋅B+ A⋅B= A
(A + B) ⋅ (A + B) = A

Ligjet e dhëna mund të vërtetohen duke pasur parasysh postulatet dhe
relacionet algjebrike të cilat u dhanë më parë.

Shembull Vërtetimi i ligjeve:

a. A(A+B)=A
b. AB + AB = A
c. (A + B)(A + B) = A

a.
A(A + B)= AA + AB
= A + AB
= A(1 + B)
= A⋅1
=A

b.
AB + AB = A(B + B)
= A ⋅1
=A

c.
(A + B)(A + B)= AA + AB + AB + BB

= A + AB + AB + 0

= A + AB + AB

= A(1 + B)+ AB

= A ⋅1+ AB

= A + AB

= A(1 + B)
= A ⋅1
=A

Ligjet e dhëna vlejnë edhe nëse barazimet logjike formohen duke shfrytëzuar
edhe më shumë variabla.