แฟร็กทัล (fractal)

การศึกษาคนควาดวยตนเอง (Independent Study) เรื่อง แฟร็กทัล (Fractal) โดย นายภูชิชย พรหมสิน รหัสนักศึกษา 61131111016 เสนอ อาจารยชอเอื้อง อุทิตะสาร รายงานนี้เปนสวนหนึ่งของรายวิชา MAP4405 สัมมนาการศึกษาคณิตศาสตร สาขาวิชาคณิตศาสตร คณะครุศาสตรมหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา 2564

ก คํานํา รายงานฉบับนี้เปนสวนหนึ่งของรายวิชา MAP4405 สัมมนาการศึกษาคณิตศาสตรเพื่อเปน ประโยชนแกนักศึกษาวิชาชีพครู สาขาวิชาคณิตศาสตร มาหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา ที่จะศึกษา เกี่ยวกับแฟร็กทัล (Fractal) อันจะนับไดวาเปนองคความรูหรือสาขาวิชาที่คอนขางใหมในโลกของคณิตศาสตร ซึ่งผูจัดทําจัดทําขึ้นเพื่อรวบรวมองคความรู และนําสิ่งที่ไดจากการศึกษาคนความาประยุกตใชกับการทํางานใน ฐานะครู นั่นก็คือการนํามาใชประโยชนในดานการจัดการเรียนการสอน ผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวารายฉบับนี้จะเปนประโยชนแกนักศึกษาวิชาชีพครูสาขาวิชา คณิตศาสตรทุกคน รวมไปถึงผูที่สนใจใฝศึกษาหาความรูเพื่อพัฒนาตนเองอยูเสมอ หากรายงานเลมนี้มี ขอบกพรองประการใด ผูจัดทําขออภัยไว ณ โอกาสนี้ดวย ภูชิชย พรหมสิน ผูจัดทํา

ข กิตติกรรมประกาศ รายงานฉบับนี้สําเร็จและสมบูรณเปนรูปเลม ดวยความกรุณาและเอาใจใสเปนอยางดีจาก อาจารยชอเอื้อง อุทิตะสาร ที่ไดกรุณาใหคําปรึกษาและแนะแนวทางในการทํารายงานการดําเนินการทํา รายงานในครั้งนี้โดยไมมีขอบกพรอง รวมทั้งขอเสนอแนะและขอคิดเห็นตาง ๆ ตลอดทั้งการตรวจแกไขรายงาน ฉบับนี้ใหสําเร็จสมบูรณยิ่งขึ้น ทางคณะผูจัดทําจึงขอขอบพระคุณเปนอยางสูงไว ณ โอกาสนี้ ขอขอบพระคุณคุณครูทุกทานที่ไดประสิทธิ์ประสาทวิชาความรู และประสบการณตลอดจนอํานวย ความสําเร็จใหบังเกิด สุดทายนี้ คุณพอ คุณแม และเพื่อน ๆ ที่เปนกําลังใจ และใหความชวยเหลือในการเก็บรวบรวมขอมูล และใหคําแนะนําในการทํารายงานครั้งนี้ใหสําเร็จลุลวงดวยดีตลอดมา ภูชิชย พรหมสิน ผูจัดทํา

สารบัญ เรื่อง หนา คํานํา………………………………………………………………………………………………………………………………………. ก กิตติกรรมประกาศ……………………………………………………………………………………………………………………. ข บทที่ 1 แฟร็กทัลคืออะไรกันนะ………………………………………………………………………………………………… 1 สวนที่เหมือนกันหรือคลายกันในตัว…………………………………………………………………………………… 2 วัดความยาวของชายฝงทะเลอังกฤษไดหรือไม……………………………………………………………………… 6 แลวแฟร็กทัลคืออะไรกันแน………………………………………………………………………………………………. 9 บทที่ 2 แฟร็กทัลมีลักษณะอยางไร……………………………………………………………………………………………. 12 แฟร็กทัลในธรรมชาติ……………………………………………………………………………………………………….. 13 แฟร็กทัลที่สรางจากรูปเรขาคณิต………………………………………………………………………………………. 16 แฟร็กทัลที่เกิดจากจํานวนเชิงซอน……………………………………………………………………………………. 21 บทที่ 3 สามเหลี่ยมเซียรพินสกีเปนยังไงนะ………………………………………………………………………………. 24 สิ่งใดคือสามเหลี่ยมเซียรพินสกี………………………………………………………………………………………… 25 ความสัมพันธเชิงตัวเลขที่ซอนอยูในรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี……………………………………………… 27 บทที่ 4 แฟร็กทัลมีประโยชนแนหรือ………………………………………………………………………………………… 29 มิติแฟร็กทัล…………………………………………………………………………………………………………………….. 30 รักษาโรคดวยแฟร็กทัล……………………………………………………………………………………………………… 34 แฟร็กทัลอันชาญฉลาดที่รูทันเศรษฐกิจ………………………………………………………………………………. 36 แฟร็กทัลอยูในชีวิตประจําวันของเรา…………………………………………………………………………………… 37 บรรณานุกรม…………………………………………………………………………………………………………………………. 39

บทที่ 1 แฟร็กทัลคืออะไรกันนะ • สวนที่เหมือนกันหรือคลายกันในตัว • วัดความยาวของชายฝงทะเลอังกฤษไดหรือไม • แลวแฟร็กทัลคืออะไรกันแน

2 ใครเคยมองตนไมที่อยูไกล ๆ ในขณะที่ใบกําลังรวงหลนชวงกอนฤดูหนาวบาง สังเกตเห็นกิ่งกานที่งอก ยาวจากลําตนไดซัดเจนเลยใชไหมยิ่งถาเดินเขาไปใกลตนไม จะยิ่งเห็นกิ่งกานเล็กๆ ยื่นออกมาจากกิ่งกาน ขนาดใหญมากขึ้นไปอีก และในกิ่งกานเล็ก ๆ ก็ยังมีกิ่งกานที่เล็กกวายื่นออกมาอีกมากมาย ตอไปจะมาเรียนรู โครงสรางพิเศษที่ปรากฏใหเห็นตามตนไม สวนที่เหมือนกันหรือคลายกันในตัว บร็อกโคลีมีประโยชนตอรางกาย กอนจะกินบร็อกโคลีมีใครเคยสังเกตรูปรางของบร็อกโคลีบางไหม ถาตัดบร็อกโคลีออกมาสวนหนึ่งจะดูคลายกับรูปรางเดิมกอนตัดออกมาก ไมใชแคเพียงบร็อกโคลีเทานั้น ใบเฟรนก็เชนกัน ถาตัดกิ่งกานสวนหนึ่งออกจะพบวามีรูปรางลักษณะเหมือนใบเฟรนใบใหญทั้งใบเชนกัน ภาพ 1 รูปรางของสวนยอยเล็ก ๆ ดูคลายกับรูปรางจริงแบบยอสวน ถาตองการอธิบายใหใครสักคนฟงถึงลักษณะรูปรางของตนไม ใบเฟรน หรือบร็อกโคลี จะอธิบายวา มีลักษณะอยางไรดี ถาเปนใบเฟรนหรือบร็อกโคลีอาจบอกวาคลายกับรูปสามเหลี่ยม สวนตนไมมองเห็นเหมือน เปนเสนมาเชื่อมตอกันหลาย ๆ เสน แตความจริงแลวรูปรางของใบเฟรนหรือบร็อกโคลีไมใชรูปสามเหลี่ยมที่เรียนในวิชาคณิตศาสตร สวนตนไมก็ไมใชทั้งเสนตรงหรือเสนโคงใด ๆ เชนกัน กิ่งกานตนไม บร็อกโคลี ใบเฟรน

3 ภาพดานบนคือรูปรางที่เคยเรียนใน วิชาคณิตศาสตรเรียกวา รูปเรขาคณิต (geometric figure) รูป สามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม ทรงสี่หนา ลูกบาศก ทรงกลม และรูปรางแบบอื่น ๆ รูปรางและรูปทรง เหลานี้หาความยาวพื้นที่ และปริมาตรไดอยางงายดาย นั่นเปนสาเหตุที่ผูคนใชรูปรางและรูปทรงเหลานี้ในการสรางสิ่งตาง ๆ ที่จําเปนในชีวิตประจําวัน ไมวา จะเปนเฟอรนิเจอรหรืออาคารบานเรือน ธรรมชาติไมไดเปนระเบียบเหมือนกับรูปเรขาคณิต เชน เมื่อจะวาดภูเขามักวาดรูปสามเหลี่ยมหรือ กรวยเหมือนภาพดานซาย แตภูเขาจริง ๆ ที่เห็นในธรรมชาติก็เหมือนกับบร็อกโคลีและใบเฟรนซึ่งไมมีรูปรางที่ แนชัด ลําตนของตนไมไมไดเปนทรงกระบอก และชายฝงทะเลก็ไมไดเปนเสนโคงที่ราบเรียบ ภาพ 3 ภาพภูเขาที่เด็กวาดเปนรูปสามเหลี่ยม แตภูเขาจริงกลับมีลักษณะขรุขระกวานั้น การจะวัดขนาดหรือความยาวในธรรมชาติโดยใชเครื่องมือที่มนุษยสรางขึ้น จึงเปนไปไดยาก ถึงแมจะ ใชเครื่องมือที่วัดสวนที่เล็กมาก ๆ ได แตบางครั้งอาจเกิดสถานการณที่ทําใหผลลัพธออกมาแตกตางกันก็ได ภาพ 2 รูปเรขาคณิต เรขาคณิต หนึ่งในสาขาของ วิชาคณิตศาสตรที่เริ่มตนในอียิปต โบราณ จากการหาพื้นที่ของที่ดิน ซึ่งเรียนรูเกี่ยวกับรูปทรงในธรรมชาติ และความสัมพันธระหวางรูปรางและ รูปทรงตาง ๆ ภาพภูเขาที่เด็กวาด ภูเขาจริง

4 ดังนั้นจึงพยายามที่จะไมอธิบายธรรมชาติดวยเรขาคณิต แตก็ยังมีนักวิชาการบางคนชอบวิเคราะห โครงสรางซับซอนที่คนพบไดในธรรมชาติดวยเรขาคณิต แตสิ่งที่นาสนใจมากกวานั้นก็คือพวกเขาใช กฎทางคณิตศาสตรกับรูปเรขาคณิตอยางงาย เปนเครื่องมือในการวิเคราะห ในที่สุดพวกเขาคนพบวา มีความเปนระเบียบในโครงสรางธรรมชาติที่ดูเหมือนซับซอนและไรระเบียบใด ๆ ลองดูตัวอยางรูปสามเหลี่ยม ที่พวกเขาคนพบดังตอไปนี้ ขั้นตอนแรกคือแบงความยาวแตละดานออกเปน 3 สวน จากนั้น สรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาในสวนที่สอง แลวลบเสนที่เปนฐานของ รูปสามเหลี่ยมนั้นออก ทําซ้ําขั้นตอนดังกลาว 1 ครั้งจะไดรูปรางตามภาพที่ 2 และหากทํา ขั้นตอนเดิมซ้ําอีกครั้ง รูปรางที่ไดจะออกมาตามภาพ 3 นั่นคือการสรางรูป สามเหลี่ยมดานเทาขนาดเล็กบนดานของรูปสามเหลี่ยมดานเทาขนาดใหญ กวาไปเรื่อย ๆ จนเกิดเปนรูปรางใหมขึ้น เมื่อทําขั้นตอนเดิมซ้ําไปเรื่อย ๆ จะเกิดเปนโครงสรางเรขาคณิต รูปรางคลายเกล็ดหิมะตามภาพดานซายเรียกวา เกล็ดหิมะค็อค (Koch snowflake) เกาะของค็อค (Koch's island) หรือ เสนโคงค็อค (Koch curve) เพียงขั้นตอนงาย ๆ แตกลับเกิดรูปรางที่ดูซับซอนขึ้นมาได นาประหลาดใจใชไหมกับการคนพบโครงสรางที่ดูซับซอนเหลานี้ ตามธรรมชาติทั้ง ๆ ที่สรางขึ้นดวยขั้นตอนงาย ๆ เทานั้นเอง แตไมใชวา โครงสรางทั้งหมดในธรรมชาติจะสรางขึ้นมาไดงายดายเชนนี้ มีบางอยาง ในธรรมชาติที่ซับซอนและไรระเบียบกฎเกณฑดวยเชนกัน แตโครงสราง ธรรมชาติที่ผูคนคนพบกันสวนใหญลวนแตเปนโครงสรางที่สรางขึ้นมาดวย ขั้นตอนงาย ๆ ซึ่งหมายความวานี่อาจเปนทางลัดไปสูการทําความเขาใจกับ โครงสรางธรรมชาติก็เปนได ถาพิจารณารูปรางที่สรางจากกฎเกณฑใดกฎเกณฑหนึ่งและทําซ้ํา ไปซ้ํามา จะรูไดวามีสมบัติสําคัญอะไรซอนอยู นั่นก็คือไมวาจะดึงภาพเขามา ดูระยะใกลหรือยอขนาดใหเล็กลงเพื่อพิจารณาสวนใดก็ตาม รูปรางสวนยอย จะเหมือนหรือคลายกับรูปรางทั้งหมดของตัวตนแบบ 1 2 3 4 5 ภาพ 4 การสราง เกล็ดหิมะค็อค

5 สาเหตุที่เปนเชนนั้นไมซับซอนเลย เพราะเกิดจากการทําซ้ําไปซ้ํามา ดังนั้นไมวาจะขยายหรือลดขนาด ก็พบวาทุกสวนยอยเหมือนกับสวนใหญทั้งหมดของตัวตนแบบ สมบัติเชนนี้เรียกวา ความคลายในตัว (self-similarity) คือสิ่งใด ๆ ที่มีสวนยอย ๆ เหมือนกันหรือคลายกันกับสวนใหญทั้งหมด เมื่อขยายดู ภาพที่เกิดจากการทําซ้ําหลายครั้ง ๆ จะพบวาสวนนั้นจะเหมือนกับสวนในภาพแรกนั่นก็คือภาพรวมทั้งหมด ของตัวตนแบบ สมบัติของความคลายในตัวเชนนี้จะเกิดขึ้นในกฎเกณฑที่ซ้ําไปซ้ํามาไมมีที่สิ้นสุด โดยสมบัติที่ ซ้ําไปซ้ํามาอยางไมสิ้นสุดนี้เรียกวา การเวียนเกิด (recursion) จึงเรียกโครงสรางที่มีความคลายตัวตนแบบ และมีการเวียนเกิดวา โครงสรางแฟร็กทัล (fractal structure) ภาพ 5 การขยายเขาไปดูในชองสี่เหลี่ยมเพื่อคนหารูปรางที่คลายคลึงกัน สวนยอยที่เลือกมาพิจารณาไมจําเปนตองเหมือนกับสวนใหญไปทุกอยางก็ไดขอแคสวนยอยนั้น มีสมบัติเปนรูปรางแบบเดียวกันก็เรียกไดวามีความคลายในตัวแลวแฟร็กทัลชนิดนี้เรียกวา แฟร็กทัลที่มีสมบัติ เสมือนคลายในตัว (quasi-self-similarity) แตถาเปนแฟร็กทัลที่มีรูปรางเหมือนกับสวนใหญของตัวตนแบบ ทุกอยาง เชน เกล็ดหิมะค็อค จะเรียกแฟร็กทัลชนิดนี้วาคือ แฟร็กทัลที่มีสมบัติคลายในตัวอยางสมบูรณ (exact self-similarity) ตัวอยางของแฟร็กทัลที่มีสมบัติคลายในตัวที่ไมสมบูรณก็คือชายฝงทะเลที่พบเห็นได ทั่วไปในธรรมชาติ ตอไปจะขยับเขาไปใกลชายฝงใหมากขึ้นเพื่อดูวามีโครงสรางแฟร็กทัลใดซอนอยูในนั้น

6 วัดความยาวของชายฝงทะเลอังกฤษไดหรือไม แนวเขตที่แผนดินและทะเลมาบรรจบกันเรียกวา ชายฝงทะเล เคยดูแผนที่ประเทศไทยที่ติดอยู ในหองเรียนบางไหม จะเห็นชายฝงทะเลตลอดแนวตั้งแตตะวันตกจนถึงตะวันออก วาแตชายฝงทะเลนี้ จะมีความยาวเทาไรกันนะ ความจริงแลวคําถามนี้ตองยอนกลับไปที่จุดเริ่มตนของแฟร็กทัลโดย เบอนัว มองแดลโบร (Benoit Mandelbrot: ค.ศ. 1924-2010) นักคณิตศาสตรซาวฝรั่งเศส ผูบัญญัติคําวา “แฟร็กทัล” ขึ้นมา เขาใสโจทยงาย ๆ เพื่อสรางความเขาใจเกี่ยวกับแฟร็กทัลลงใน วิทยานิพนธเรขาคณิตแฟร็กทัลในธรรมชาติของเขาดวยโจทยที่วา "ชายฝงทะเลอังกฤษยาวเทาไรนะ" เพียงแคมองแวบแรกอาจดูเหมือน เปนคําถามที่ไรสาระ แตในโจทยที่แสนเรียบงายนี้กลับมีความหมาย ลึกซึ้งซอนอยูกอนอื่นมาลองหาความยาวของชายฝงทะเลอังกฤษที่ มองแดลโบรถามไววา ความจริงแลวยาวเทาไร โดยใชเสนตรงที่มีความ ยาว 320 กิโลเมตร และ 40 กิโลเมตรในการวัด หากวาดเสนตรง 320 กิโลเมตร ลงบนแผนที่เกาะอังกฤษจะใชเสนตรงแค 8 เสนดังภาพ ดานขวาบน ดังนั้นชายฝงทะเลจะมีความยาวประมาณ 2,560 กิโลเมตร แตหากวาดเสนตรง 40 กิโลเมตรจะวาดลอมประเทศตองใชทั้งหมด 102 เสน และชายฝงทะเลจะยาวประมาณ 4,080 กิโลเมตร นั่นคือความ ยาวของชายฝงทะเลที่วัดโดยใชหนวยเปน 40 กิโลเมตรจะมีความยาว มากกวาการใชหนวยเปน 320 กิโลเมตร ดังนั้นถาใชหนวยวัดที่มีขนาดเล็กกวานี้ เชน 1 เซนติเมตรหรือ 1 มิลลิเมตร ชายฝงทะเลจะมีความยาวเทาใด แนนอนวาความยาวที่วัดได จะเพิ่มมากขึ้น เมื่อใชหนวยวัดขนาดใหญ ความยาวจะไดนอยกวาเพราะวัดขาม แนวโคงตาง ๆไป แตเมื่อใชหนวยวัดขนาดเล็กลงจะยิ่งวัดไดแมแต ระยะทางที่โคงหรือเวาที่หนวยวัดขนาดใหญกวาทําไมได ความยาวที่วัดได จากหนวยวัดขนาดเล็ก จึงมากกวาความยาวที่ไดจากหนวยวัดขนาดใหญ ความยาวมาตรฐาน 320 กิโลเมตร ความยาวมาตรฐาน 40 กิโลเมตร ภาพ 6 การวัดความยาว ของชายฝงทะเลอังกฤษ

7 แตก็ยังรูสึกแปลก ๆ กับการที่ความยาวเพิ่มขึ้นเมื่อใชหนวยวัดที่ละเอียดมากขึ้น แลวความยาว ที่แทจริงของชายฝงทะเลอังกฤษคือเทาไรกัน พื้นที่ของเกาะอังกฤษมีขนาดคงที่อยูแลว แตทําไมชายฝงทะเล ที่ลอมรอบเกาะจึงมีความยาวที่ไมแนนอนเชนนี้ ตอนนี้พักเรื่องการวัดความยาวชายฝงทะเลเอาไวกอน แลวมาพิจารณารูปรางของชายฝงกันใหชัดเจน มากขึ้น หากขึ้นเครื่องบินแลวถายภาพชายฝงทะเล จะไดภาพชายฝงทะเลที่ขรุขระ คราวนี้ลองขึ้นไปถายภาพ บนภูเขาซึ่งเปนจุดที่ต่ํากวาเครื่องบินสักเล็กนอยภาพชายฝงทะเลที่ไดจะคลายกับภาพที่ถายจากเครื่องบิน ตอไปลองถายภาพบนเนินเขาใกลกับชายฝงกันดู รูปรางของชายฝงเปนอยางไรบาง ภาพที่ออกมา เกือบจะเปนเสนตรงเลยทีเดียว แตนั่นไมเปนความจริง ภาพของแนวชายฝงจะไมแตกตางจากภาพทางดานบน 2 ภาพที่ถายไวมากนัก แมจะยืนบนโขดหินแลวถายภาพออกมา ชายฝงทะเลจะยังคงเปนเชนเดิม ลองพิจารณาภาพดานลาง ภาพ 7 ชายฝงทะเลที่ไดจาก การถายภาพบนเครื่องบิน ภาพ 8 ชายฝงทะเลที่ไดจาก การถายภาพบนภูเขา ภาพ 9 ชายฝงทะเลที่ไดจาก การถายภาพบนเนินเขา ภาพ 10 ชายฝงทะเลที่ไดจาก การถายภาพบนโขดหิน

8 ขั้นตอนสุดทายคือภาพถายของแนวเขตที่แผนดินมาเจอกับน้ําทะเล หากขยายภาพถายจะเห็น กอนหินและทรายเล็ก ๆ ที่บรรจบกับทะเลและกอตัวเปนเสนขรุขระขึ้นมา ถาเอาภาพทั้ง 5 ภาพที่ถายจาก สถานที่ที่ตางกัน โดยตัดออกมาแคสวนยอยที่แผนดินเจอกับทะเล เชื่อวาตองดูไมออกแน ๆ วาถายมาจาก สถานที่ที่ความสูงตางกัน เพราะเสนตาง ๆ ในภาพมีรูปรางคดเคี้ยวเหมือนกันไปหมด นาทึ่งใชไหมละ เหมือนกับชายฝงทะเลมีเวทมนตรเลย ที่นี่มีความลับแสนมหัศจรรยซอนอยู ไมวาภาพ จะถายจากสวนไหน เมื่อขยายภาพออกจะพบวามีรูปรางคลายกับลักษณะสวนใหญของตัวตนแบบ หมายความวาชายฝงทะเลมีลักษณะคลายกับเกล็ดหิมะค็อค ซึ่งเปนโครงสรางแฟร็กทัล แตเกล็ดหิมะค็อคจะมี ความคลายในตัวอยางสมบูรณไปทุกสวน ในขณะที่ชายฝงทะเลแมไมไดคลายกันทุกสวนอยางสมบูรณ แตก็นับวาเปนโครงสรางแฟร็กทัลดวยเชนกัน สรางแฟร็กทัลสวนใหญในธรรมชาติมีลักษณะคลายกับชายฝงทะเล แมวาจะไมคลายในตัวอยาง สมบูรณ แตก็ดูคลายในตัวมากจนกระทั่งไมอาจมองเห็นไดดวยตา ดังนั้นถาตองการวัดความยาวของ ชายฝงทะเลอยางแมนยํา จะตองวัดตามเสนที่ทรายเม็ดเล็ก ๆ บนชายหาดบรรจบกับน้ําทะเล ซึ่งผูเชี่ยวชาญ คนใดก็ไมมีทางทําได แลวสรุปวาความยาวที่ไดถูกตองหรือไม ตอนนี้ทุกคนนาจะรูคําตอบของคําถามนี้แลวตอใหวัดตาม เสนที่มีเม็ดทรายทีละเม็ดก็ไมอาจหาคําตอบที่ถูกตองแมนยําได เพราะอาจจะมีบางสิ่งที่เล็กกวาเม็ดทรายอยูใน นั้นดวย สรุปแลวความยาวชายฝงทะเลไมมีที่สิ้นสุดจึงไมสามารถแสดงคําใด ๆ ได ราวกับวาเปนเวทมนตรของ แฟร็กทัล ชางเปนสิ่งที่นามหัศจรรยจริง ๆ ภาพ 11 แนวเขตที่น้ํามาบรรจบกับทราย

9 แลวแฟร็กทัลคืออะไรกันแน ในปจจุบัน “แฟร็กทัล (Fractal)” เปนคําที่ใชในเชิงวิทยาศาสตรและคณิตศาสตร โดยแฟร็กทัล ไดถูกคนพบมานาน กอนที่คําวา "แฟร็กทัล" จะถูกบัญญัติขึ้นมาใชเรียกสิ่งเหลานี้ ในป ค.ศ.1872 คารล ไวเออรชตรัสส (Karl Weierstrass) ไดยกตัวอยางของฟงกชันที่มีคุณสมบัติ"everywhere continuous but nowhere differentiable" คือ มีความตอเนื่องที่ทุกจุด แตไมสามารถหาคาอนุพันธได ตอมาในป ค.ศ. 1904 เฮลเก ฟอน ค็อค (Helge Von Koch) ไดยกตัวอยางทางเรขาคณิต ซึ่งไดรับการเรียกขานในปจจุบันนี้วา "เกล็ดหิมะค็อค" (Koch Snowflake) ตอมา เกออรก คันทอร (Georg Cantor) ไดยกตัวอยางเซตยอยของ จํานวนจริงที่มีคุณสมบัติแฟร็กทัลนี้ อันเปนที่รูจักกันในชื่อ เซตคันทอร หรือ ฝุนคันทอร นอกจากนี้ยังมี นักคณิตศาสตรอีกหลายคนในชวงปลายคริสตศตวรรษที่ 19 ถึงตนคริสตศตวรรษที่ 20 เชน อองรี ปวงกาเร (Henri Poincare), เฟลิกซ คลิน (Felix Klein), ปแอร ฟาตู (Pierre Fatou) และกาสตง จูเลีย (Gaston Julia) ไดศึกษาฟงกชันวนซ้ํา (Iterated Function) ซึ่งมีคุณสมบัติความคลายตนเอง (Self-similarity) ซึ่งความคลายตนเองเกิดขึ้นเมื่อโครงสรางมีรูปแบบซ้ํา ๆ ของภาพที่เล็กลง ๆ ที่ยังอยูในตัวมันในมาตราสวน ที่แตกตางกัน จากการศึกษาขอมูลของแฟร็กทัลและการเกิดแฟร็กทัล นั้นทําใหทราบวา สิ่งที่เรารูจักกันในนามของ Fractal นั้น ไดถูก คนพบมานานกอนที่คําวา Fractal จะถูกบัญญัติขึ้นมาใชเรียก สิ่งเหลานี้ แฟร็กทัลนั้นถูกนําไปประยุกตเพื่อใชศึกษากับศาสตร ในหลาย ๆ แขนง ทั้งคณิตศาสตรดนตรี ปรากฏการณธรรมชาติ รูปทรงที่เกิดจากการสรางของธรรมชาติ จนกระทั่งในป ค.ศ.1960 เบอนัว มองเดลโบร ไดทําการศึกษาถึงคุณสมบัติความคลายตนเอง นี้ และตีพิมพบทความชื่อ "How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension" มองเดลโบรไดเห็นถึงความสัมพันธของผลงานในเรื่องตาง ๆ ในอดีต ซึ่งเปนคนละเรื่องไมมีความสัมพันธกัน เขาจึงไดรวบรวม แนวความคิดที่เกี่ยวของ และบัญญัติคําวา ‘แฟร็กทัล’ ขึ้น ภาพ 12 เบอนัว มองเดลโบร (Benoit Mandelbrot)

10 นักคณิตศาสตรชื่อ เบอนัว มองเดลโบร (Benoit Mandelbrot) ซึ่งเปนผูใหกําเนิดวิชา เรขาคณิตเศษสวน (Fractal Geometry) ในราว ค.ศ.1975 ดังนั้นวิชานี้จึงมีอายุประมาณ 40 ป ซึ่งนับวานอยมากเมื่อเปรียบเทียบกับคณิตศาสตรแขนงอื่น เชน เรขาคณิตที่มีกําเนิดมานับพันป สิ่งที่พบเห็น ในธรรมชาติจํานวนมากไมสามารถอธิบายไดดวยรูปเรขาคณิตแบบยุคลิด มองเดลโบร เคยกลาววา กอนเมฆไมใชทรงกลม ภูเขาไมใชรูปกรวย ชายฝงไมใชวงกลม เปลือกไมไมไดราบเรียบ หรือสายฟาแลบไมได ปรากฏเปนเสนตรง แฟร็กทัล (Fractal) เปนคําที่มีรากศัพทมาจากภาษาละติน คําวา “Fractus” หรือ “Fractum” ซึ่งเปนคําที่ใหความหมายคลายกันกับคําวา Fragmented ในภาษาอังกฤษที่แปลวา “การแยกสวน” หรือ “แตกหรือเศษสวน” แฟร็กทัลเปนรูปเรขาคณิตที่แตกตางจากเสนตรง รูปหลายเหลี่ยม และวงกลม ซึ่งเปนรูป เรขาคณิตแบบยุคลิด (Euclid) แฟร็กทัลมีสมบัติที่สําคัญซึ่งเรียกวา มีรูปแบบเหมือนตัวเอง (Self-similar Pattern) ในระดับที่ตางกัน ซึ่งหมายความวา ถาเราดึงภาพเขามาดูที่ระยะใกลจะเห็นสวนยอยของภาพมี รูปรางเหมือนสวนใหญ ใบเฟรนเปนตัวอยางของแฟร็กทัลที่มีสมบัติที่เห็นไดชัดเจน ถาขยายภาพของใบเฟรน จะเห็นแขนงยอยของใบเฟรนมีรูปรางเหมือนตัวเอง สมบัติที่สําคัญของแฟร็กทัลอีกประเด็นหนึ่งคือ มีมิติที่ไม เปนจํานวนเต็ม (Non-integer Dimension) นี่จึงเปนที่มาของคําวาแฟร็กทัล คําวา Fractal นั้นแมจะถูกบัญญัติขึ้นโดย เบอนัว มองเดลโบร แตก็ไมไดใหนิยามที่ชัดเจนเกี่ยวกับคํา ๆ นี้ ดังนั้นคําจํากัดความของสิ่งที่เราเรียกวา แฟร็กทัล นั้นยังคงมีความกํากวมไมชัดเจนอยูในตัวเอง จากการ รวบรวมขอมูลจะพบวาในหลายการใหคํานิยามนั้นจะมีสาระที่คลายกันของหลายนิยาม คือ การทําซ้ํารูปแบบ หรือกระบวนการเดิม (repeating pattern or process),การทํารูปแบบคลายตนเองขามขนาด (self-similarity across scales) ,การใชรูปแบบเดิมไมมีที่สิ้นสุด (never ending pattern) ซึ่งเมื่อทําความ เขาใจแลวจะสามารถสรุปความหมายเบื้องตน ไดวาคือการทําซ้ํารูปแบบหรือกระบวนการเดิมในขนาดตาง ๆ ของรูปเดิมไปเรื่อย ๆ ภาพ 13 ตัวอยางของแฟร็กทัลที่สามารถพบเห็นไดทั่วไป ชายฝง กอนเมฆ เปลือกไม สายฟาแลบ

11 เรขาคณิตเศษสวน หรือเรขาคณิตแบบแฟร็กทัล (Fractal geometry) เปนโครงสรางทางเรขาคณิตที่ เกิดจากการแตกออกหรือแยกออกจากโครงสรางทางเรขาคณิตเดิม โดยสวนที่แตกออกมายังมีรูปรางทาง เรขาคณิตเชนเดิมแตลดขนาดลง ตัวอยางของเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลที่พบในธรรมชาติ เชน เกล็ดหิมะ กอนเมฆ ชายฝงทะเล ตนไม ใบไมคลื่นน้ํา และการวางตัวของภูเขา เปนตน เรขาคณิตแบบแฟร็กทัลสามารถ นํามาใชเปนโครงสรางของสายอากาศได และดวยสมบัติของเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลจะทําใหสามารถเติมเต็ม พื้นที่วางของสายอากาศ กอใหเกิดประโยชนในการสรางสายอากาศใหมีขนาดเล็กลง นั่นคือสายอากาศที่มี รูปรางเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลจะสามารถเพิ่มขนาดความยาวทางไฟฟาไดในพื้นที่เล็ก ๆ ซึ่งเหมาะสําหรับใชใน การออกแบบสายอากาศเสนลวดและสายอากาศแพทชแบบไมโครสตริป นอกจากสายอากาศแฟร็กทัลจะมี ขนาดเล็กลงจากโครงสรางเดิมแลวยังสามารถสรางเปนสายอากาศที่ใชงานไดหลายความถี่ดวย ภาพ 14 การขยายเพื่อสังเกตสวนยอยของใบเฟรน

บทที่ 2 แฟร็กทัลมีลักษณะอยางไร • แฟร็กทัลในธรรมชาติ • แฟร็กทัลที่สรางจากรูปเรขาคณิต • แฟร็กทัลที่เกิดจากจํานวนเชิงซอน

13 แฟร็กทัลในธรรมชาติ แฟร็กทัลเปนรูปแบบที่พบไดทั่วไปในธรรมชาติ เชน ตนไม ใบไม เกล็ดหิมะ สายฟาแลบ เทือกเขา ชายฝงแมน้ํา หลอดเลือดในรางกายมนุษย และอีกมากมาย จนเปนที่กลาวกันวาธรรมชาติเปนนักออกแบบที่ดี เลิศที่สุด เชน ทําใหพืชไดรับประโยชนสูงสุดจากแสงอาทิตย ชวยใหหัวใจและหลอดเลือดลําเลียงออกซิเจนไปสู สวนตางๆ ของรางกายไดอยางมีประสิทธิภาพที่สุด มาถึงตอนนี้ทุกคนก็ไดรูสมบัติอันนาทึ่งของแฟร็กทัล คําวาแฟร็กทัลมาจากรากศัพทภาษาละติน “frangere” มีความหมายวา 'แตก' และคําวา “fractus” ซึ่งมีความหมายวา ไมวาสวนใดจะแตกหักไป แตลักษณะโดยรวมของสวนที่เหลือจะยังคงรูปรางเดิม สิ่งที่พบเห็นในธรรมชาติจํานวนมากไมสามารถอธิบายไดดวยเรขาคณิตแบบยุคลิดของกรีกโบราณ แตเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลทําได อยางที่เคยกลาวไวในหัวขอสวนที่เหมือนกันหรือคลายกันในตัว วาปรากฏการณทางธรรมชาติที่ซับซอนที่สุดคือแฟร็กทัลที่ไมใชรูปเรขาคณิตทั่วไป เชน รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทรงกลม และกรวย กิ่งกานตนไม ใบเฟรน เกล็ดหิมะ ชายฝงทะเล บร็อกโคลี สายฟาแลบ ภาพ 15 แฟร็กทัลในธรรมชาติ

14 นอกจากนี้แลวยังคนพบแฟร็กทัลไดในปอดซึ่งเปนอวัยวะที่ชวยในการหายใจของมนุษยดวย หลอดเลือดแดงที่เขาสูปอดของมนุษยถูกแบงยอยและกอตัวเปนเสนเลือดเล็ก ๆ โครงสรางของแฟร็กทัลนี้ ถูกออกแบบมาเพื่อชวยใหหัวใจและหลอดเลือดลําเลียงแกสออกซิเจนไปสูสวนตาง ๆ ของรางกายไดอยาง มีประสิทธิภาพที่สุดในพื้นที่ผิวที่ขนาดใหญขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุด ในขณะที่ปริมาตรจะคอย ๆ ลดลง ซึ่งเปนสมบัติเฉพาะของแฟร็กทัลนั่นเอง สมบัตินี้ทําใหปริมาณแกสออกซิเจนที่เขาสูปอดของสิ่งมีชีวิตจําพวกสัตวแปรผันตรงกับพื้นที่ผิวของ หลอดเลือด เปนเรื่องนามหัศจรรยที่ไดคนพบขอเท็จจริงทางคณิตศาสตรที่ซอนอยูในปอดของเรา หลอดเลือดเกือบทุกเสนในรางกายลวนมีรูปแบบแฟร็กทัลนี้ เพื่อสงแกสออกซิเจนและสารอาหาร ไปยังทุกสวนของรางกายไดอยางมีประสิทธิภาพ สิ่งที่นาสนใจยิ่งกวาคือ หลอดเลือดในรางกายกระจายไป ทุกที่ตั้งแตศีรษะจนถึงปลายเทา ดังนั้นปริมาณเลือดจึงดูเหมือนจะเยอะมากเลยใชไหม แตจริง ๆ แลว ตองขอบคุณโครงสรางแฟร็กทัลที่ทําใหปริมาณเลือดไมไดเยอะมากขนาดนั้น ไมเพียงแตในสัตว โครงสรางของใบเฟรนและบร็อกโคลีก็เปนเชนนั้น ใบเฟรนมีลักษณะเหมือน รูปสามเหลี่ยม แตถาพิจารณาดูใหดีๆ จะเห็นกานใบเล็กๆ หลาย ๆ กาน ไลจากปลายยอดที่มีขนาดเล็กที่สุด เรียงลงมาจนมีขนาดใหญขึ้นเรื่อย ๆ ที่ดานลางสุด ทําใหเห็นวาแตละกานมีลักษณะคลายกับใบเฟนทั้งใบ ซึ่งคลายกับรูปสามเหลี่ยม ภาพ 16 แฟร็กทัลในปอดมนุษย

15 นอกจากนี้ยังพบกับโครงสรางแฟร็กทัลอันงดงามไดรอบตัวเรา เชน โครงสรางเกล็ดหิมะ การไหลของ แมน้ําที่ไหลจากตนน้ําสูปลายน้ํา เทือกเขาอันนาเกรงขาม กอนเมฆที่ดูหนานุม และสมองที่เต็มไปดวยรอยหยัก เล็ก ๆ ดังนั้นการที่ไดรูจักแฟร็กทัลทําใหอธิบายสมบัติเฉพาะของธรรมชาติอันซับซอนได ภาพ 17 แฟร็กทัลในใบเฟรน

16 แฟร็กทัลที่สรางจากรูปเรขาคณิต นอกจากแฟร็กทัลที่เกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติแลว มนุษยยังสามารถสรางแฟร็กทัลไดจากรูปเรขาคณิต ดวย เชน สรางจากสวนของเสนตรง รูปสามเหลี่ยม หรือแมกระทั่งสรางจากรูปลูกบาศก โดยใชกระบวนการ งาย ๆ กับรูปเรขาคณิตเหลานี้ซ้ํา ๆ กันเปนจํานวนครั้งไมจํากัด ก็จะไดแฟร็กทัลที่มีรูปแบบที่ซับซอนและ นาสนใจ Fractal Geometry เปนรูปแบบของรูปทรงเราขาคณิตที่เกิดจากกระบวนการ Fractal เปนสวนหนึ่ง ที่ผูศึกษาคิดวามีความสําคัญกับการศึกษาครั้งนี้เนื่องจากความหมายที่ไมชัดเจนและมีการตีความที่หลากหลาย ของ Fractal เพื่อใหเขาใจความหมายของ Fractal นั้น เราอาจจะตองศึกษาความหมายผานกระบวนการเกิด Fractal Geometry เพื่อสรุปนิยามที่ชัดเจนของ Fractal โดยศึกษาจากตัวอยางรูปแบบที่เปนทั้งงาน 2 มิติ และงาน 3 มิติ กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบที่ 1 กรณีศึกษาแบบแรกเปนงาน 2 มิติ ที่มีลักษณะของ Fractal แบบรูปทรงสามเหลี่ยมโดยเกิดจากกการ แบงตัวออกภายในรูปทรงเดิมซ้ํารูปแบบเดิมไปเรื่อย ๆ ภาพ 18 รูปแบบแฟร็กทัลแบบรูปสามเหลี่ยม จากภาพจะเห็นไดวา เมื่อแบงตัวออกครั้งที่ 1 แลวจะทําใหเห็นผลลัพธที่ไดคลายกับรูปทรงเดิม ของตัวเองแตอยูในขนาดที่เล็กกวา การแบงตัวครั้งที่ 2 ก็คือการเอาวิธีการแบงตัวของครั้งแรกมาใชกับ ขนาดที่เล็กกวา ในทุกผลลัพธที่ไดจากการแบงตัวครั้งที่ 1 ในขั้นตอนการแบงตัวครั้งที่ 3 จะใชวิธีการเดียวกัน กับที่การแบงตัวครั้งที่ 2 ทํากับการแบงตัวครั้งที่ 1 และในขั้นตอนที่ 4 ก็จะใชวิธีการเดียวกันกับที่การแบงตัว ครั้งที่ 3 ทํากับการแบงตัวครั้งที่ 2 เชนเดียวกัน

17 กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบที่ 2 กรณีศึกษาแบบที่ 2 เปนงาน 2 มิติ ที่มีลักษณะของ Fractal แบบรูปทรงแตกกิ่ง โดยเกิดจากการแตก ตัวออกจากรูปทรงเดิมเปน 2 ชิ้น ซ้ํากันไปเรื่อย ๆ ภาพ 19 รูปแบบแฟร็กทัลแบบรูปแตกกิ่ง จากภาพจะเห็นไดวา ขั้นตอนการแตกตัวออกครั้งที่ 1 คือ การเอาตัวตั้งตนมาลดขนาดและแทนที่ ลงไปแลว จะทําใหเห็นผลลัพธที่ไดคลายกับรูปทรงเดิมของตัวเอง แตอยูในขนาดที่เล็กกวา การแตกตัวครั้งที่ 2 จะใชวิธีการเดียวกันกับที่การแตกตัวครั้งที่ 1 ทํากับตัวตั้งตน ในขั้นตอนการแตกตัวครั้งที่ 3 และครั้งที่ 4 ก็จะใชวิธีการที่ซ้ําในขั้นตอนแรกเหมือนกัน กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบที่ 3 กรณีศึกษาแบบที่ 3 เปนงาน 3 มิติ ที่มีลักษณะของ Fractal แบบรูปทรงลูกบาศกลบมุมโดยเกิดจาก การแบงรูปสี่เหลี่ยมทรงลูกบาศกกออกเปน 8 กอน (แบงครึ่งออกจะได 4 สวนในแตละดาน) จากนั้น ลบมุมที่อยูดานขวาบนออก และทําซ้ําขั้นตอนดังกลาวไปเรื่อย ๆ ภาพ 20 รูปแบบแฟร็กทัลแบบรูปทรงลูกบาศกลบมุม

18 จากภาพจะพบวาการเกิด Fractal แบบนี้ เกิดจากการหาสวนที่คลายกับตัวตั้งตนเพื่อทําซ้ําขบวนการ ตัวผลลัพธที่ไดมาไมไดมีรูปทรงคลายกันอยาชัดเจนกับตัวตั้งตน แตมีรองรอยที่คลายกัน คือ เหลือสวนที่เปน เปนมุมดานขวาบนเหลืออยูเหมือนกัน จึงนํากระบวนการมาทําการทําซ้ํา กรณีศึกษาการเกิด Fractal แบบที่ 4 กรณีศึกษาแบบที่ 4 เปนงาน 2 มิติ ที่มีลักษณะของ Fractal แบบรูป Dragon curve โดยเกิดจาก การสรางเสนตั้งจากขนาดเทากันกัน 2 เสน จากนั้นทําการคัดลอกตัวเองและหมุน 90 องศา มาตอกับตัวตั้งตน ที่จุดปลาย นําผลลัพธที่ไดทั้งหมดมาทําการคัดลอกและหมุน 90 องศาอีกครั้ง และนํามาตอที่จดปลาย นํา ผลลัพธที่ไดครั้งนี้มาทําซ้ําไปเรื่อย ๆ ภาพ 21 รูปแบบแฟร็กทัลแบบรูป Dragon curve

19 จากภาพจะพบวาการเกิด Fractal แบบนี้ ไมไดมีเรื่องของการเปลี่ยนขนาดตัวตั้งตนเขามาเกี่ยวของ ขนาดที่ใหญขึ้นเกิดจากกระบวนการทําซ้ําไปเรื่อย ๆ โดยผลลัพธสุดทายแทบไมสามารถมองเห็นความคลายกัน กับตัวตั้งตน ถาไมไดมองผานกระบวนการ จะเห็นความคลายตัวเองเฉพาะผลลัพธที่อยูติดกันเทานั้น จากการศึกษาอาจจะยังไมสามารถสรุปความหมายที่ชัดเจนของ Fractal ได แตสามารถทําใหเขาใจ ความหมายผานกระบวนการเกิดของ Fractal กลาวคือ แทจริงแลว Fractal ไมใชรูปทรงแตเปนกระบวนการ การทําช้ํากฎหรือกระบวนการกอนหนาใหไดผลลัพธเพื่อนําผลลัพธที่ไดไปสูตัวตั้งตนที่จะใชกับกระบวนการเดิม ไปเรื่อย ๆ ภาพ 22 ไดอะแกรมของกระบวนการ Fractal ตัวอยางแฟร็กทัลที่สรางจากรูปเรขาคณิต เสนโคงวอนค็อด (Von Koch Curve) ซึ่งสรางไดโดยการแบงสวนของเสนตรงออกเปน สามสวนเทากัน ลบสวนที่อยูตรงกลางออก แลวแทน สวนที่ถูกลบออกดวยดานสองดานที่ยาวเทากับ ความยาวของสวนที่ถูกลบออก ทํากระบวนการ เดียวกันนี้กับสวนของเสนตรงทุกเสนที่ไดจากการทํา ในรอบกอนหนา PROCESS / RULE กระบวนการ SEED ตัวตั้งตน/ผลลัพธ ภาพ 23 เสนโคงวอนค็อด

20 สามเหลี่ยมเซียรพินสกี (Sierpinski Triangle) ซึ่งสรางไดโดยการเชื่อมจุดกึ่งกลาง ของแตละดานของรูปสามเหลี่ยม ทําใหเกิดรูป สามเหลี่ยมดานเทาใหมสี่รูป ทํากระบวนการ เดิมนี้กับรูปสามเหลี่ยมใหมที่อยูตรงมุมทั้งสาม ของรูปสามเหลี่ยมใหญ โดยไมสนใจรูป สามเหลี่ยมใหมที่อยูตรงกลาง ทําซ้ําเชนนี้ ตอไปเรื่อย ๆ ดังในรูป จะไดแฟร็กทัลที่มีลักษณะ ซับซอนและสวยงาม นี่เปนเพียงบางตัวอยางของแฟร็กทัลที่สรางจากรูปเรขาคณิต นอกจากนี้ยังมีแฟร็กทัลอีกจํานวนมากที่ สรางจากรูปเรขาคณิต สําหรับผูที่รูจัก คันทอรเซต (Cantor set) ก็จะเห็นวาคันทอรเซตเปนตัวอยางของ แฟร็กทัลที่สรางจากสวนของเสนตรงเชนกัน ภาพ 24 สามเหลี่ยมเซียรพินสกี ภาพ 25 คันทอรเซต

21 แฟร็กทัลที่เกิดจากจํานวนเชิงซอน เราสามารถสรางแฟร็กทัลจากฟงกชันคณิตศาสตรงาย ๆ ได โดยการคํานวณคาของฟงกชันซ้ํา ๆ กัน แบบเวียนเกิด ในที่นี้จะเนนเฉพาะแฟร็กทัลที่เกิดจากฟงกชันพหุนามที่กําหนด โดยให ( ) 2 fz z c = + เมื่อ z และ c เปนจํานวนเชิงซอน โดยเริ่มจากการเลือกจํานวนเชิงซอน 0 z หาคาของฟงกชันที่ 0 z โดยแทนคา z ดวย 0 z จะได ( )0 f z ทําตอไปโดยแทน z ดวย ( )0 f z จะได f fz ( ( 0 )) ถาทําตอไปอีก โดยแทน z ดวย f fz ( ( 0 )) จะได f f fz ( ( ( 0 ))) ทําซ้ําเชนนี้ตอไปเรื่อย ๆ จะไดลําดับของจํานวน เชิงซอน z fz f fz f f fz 00 0 0 , , , ,... ( ) ( ( )) ( ( ( ))) ซึ่งถาเขียนในรูปความสัมพันธเวียนเกิด จะได 2 n n 1 z zc + = + เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนลบ จะได ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ( ))) 2 10 0 2 2 1 0 2 3 2 0 z z c fz z z c f fz z z c f f fz = += = += = += เราเรียกลําดับของจํานวนเชิงซอน 0123 zzzz ,,,,วา วงโคจรของ 0 z ตัวอยาง เมื่อ c i =− + 0.4 0.6 และ 0 z i = + 0.5 จะได ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 0.5 0.4 0.6 1.15 1.6 1.15 1.6 0.4 0.6 1.6375 3.08 1.6375 3.08 0.4 0.6 7.205 10.687 zi i i z ii i z ii i = + − + =− + = − + − + =− + = − + − + =− +

22 จูเลียเซต (Julia set) ในลําดับแรกเราจะใหนิยามของฟลดจูเลียเซต (Filled Julia set) ซึ่งแทนดวย K, สวนจูเลียเซตคือ ขอบ (Boundary) ของเซต c K สําหรับจํานวนเชิงซอน C แตละจํานวนที่เปนคาคงตัว เลือก 0 z ในระนาบเชิงซอนใหเปนจุดเริ่มตน หาวงโคจรของ 0 z ที่เกิดจากการใชฟงก็ชัน ( ) 2 fz z c = + ซ้ําๆ กัน ถาวงโคจรของ 0 z อยูใกลกัน ไมลู ออกสูอนันต แลว 0 z เปนสมาชิกของ c K ในกรณีนี้จะกําหนดสีดําใหแกจุด 0 z แตถาวงโคจรของ 0 z ลูออกสู อนันต แสดงวา 0 z ไมเปนสมาชิกของ c K ในกรณีนี้จะกําหนดสีขาวใหแกจุด 0 z เพื่อความละเอียดและ สวยงาม อาจกําหนดสีใหแตกตางกัน ซึ่งขึ้นอยูกับความเร็วที่วงโคจรนั้นลูออกสูอนันต คําถามคือ จะรูไดอยางไรวาเมื่อใดวงโคจรจะลูออกสูอนันต มีทฤษฎีที่สามารถพิสูจนไดไมยากวา ถามี j ซึ่งทําให z c 0 > max ,2 { }แลวสมาชิกของวงโคจรถัดไปจาก j z จะหางไกลจากจุดกําเนิดออกไปเรื่อย ๆ และลูออกสูอนันตดังนั้น ในกรณีที่ c ≤ 2 เราเพียงตรวจสอบวามี j ที่ทําให 2 j z > หรือไม ถามี j แสดง วาวงโคจรของ 0 z ลูออกสูอนันต ภาพ 26 สีดําคือฟลดจูเลียเซต เมื่อ c i =− + 0.4 0.6 จากตัวอยางขางบน จะเห็นวา c ≈ 0.7211 และ 2 z ≈ 3.4882 ซึ่งมีคามากกวา 2 ดังนั้น วงโคจร ของ 0 z จะลูออกสูอนันต นั่นคือ 0 z i = + 0.5 เปนสมาชิกของเซต c K เมื่อ c i =− + 0.4 0.6 จะเห็นวา แตละ c ที่ตางกันจะไดเซต c K ที่ตางกัน ดังนั้นจึงมีจูเลียเซตเปนจํานวนอนันต

23 แมนเดลบรอตเซต (Mandelbrot set) แมนเดลบรอตเซต คือเซตของจุดในระนาบเชิงซอนที่เกิดจากฟงกชัน 2 n n 1 z zc + = + เชนกัน แตตางกันตรงที่การสรางแมนเดลบรอตเซต จะเริ่มตนจาก 0 z ที่เปนจุดกําเนิดเสมอ สวน c จะ แปรเปลี่ยนไปในระนาบเชิงซอน ดังนั้น แมนเดลบรอตเซต คือเซตของจํานวนเชิงซอน c ทั้งหลายที่มีผลทําให วงโคจรของ 0 z = 0 ไมลูออกสูอนันต ในกรณีนี้จะกําหนดสีดําใหจุด c และกําหนดสีขาวใหจุด c ที่ทําใหวง โคจรของ 0 z = 0ลูออกสูอนันต หรือจะกําหนดสีอื่น ๆ เพื่อความสวยงามก็ไดและจะกําหนดสีใดขึ้นอยูกับวา วงโคจรนั้นลูออกสูอนันตเร็วหรือชาเพียงใด ภาพ 27 สีดําคือแมนเดลบรอตเซต

บทที่ 3 สามเหลี่ยมเซียรพินสกีเปนยังไงนะ • สิ่งใดคือสามเหลี่ยมเซียรพินสกี • ความสัมพันธเชิงตัวเลขที่ซอนอยูในรูปสามเหลี่ยม เซียรพินสกี

25 สิ่งใดคือสามเหลี่ยมเซียรพินสกี รูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี(Sierpinski Triangle) เปนแฟร็กทัลประเภทหนึ่งของรูปเรขาคณิต ไดรับ การตั้งชื่อครั้งแรกในป ค.ศ. 1970 โดยนักคณิตศาสตรชื่อ เบอนัว มองเดลโบร (Benoit Mandelbrot) สรางขึ้นโดยกระบวนการทําซ้ํา โดยจะเริ่มจากรูปสามเหลี่ยมดานเทาหนึ่งรูป และครั้งตอไปจะใชรูปที่เกิดขึ้น เปนรูปใหมที่จะสรางตอไป โครงสรางที่ซับซอนดังกลาวมีความนาสนใจ ดวยความงดงามที่มีอานุภาพ สมบัติทางคณิตศาสตรและความสัมพันธเชิงตัวเลขที่ซอนอยูในโครงสรางนี้ ปรากฏใหเห็นมากมาย อยางนาอัศจรรย มีกระบวนการสราง ดังนี้ 1. เริ่มจากรูปสามเหลี่ยมดานเทา 1 รูป 2. ลดมาตราสวนของความยาวดานลงครึ่งหนึ่ง 3. ทําสําเนา 3 รูป 4. ติดรูปที่สําเนาไว ซึ่งมีขนาดเล็กลง 3 รูปไวที่มุมของรูปสามเหลี่ยมเดิม 5. จัดรูปสํานา 3 รูป (ดังขอ 4) ไวดวยกันใหเปนรูปเดียว 6. จากขอ 5 ดําเนินการซ้ําตั้งแตกระบวนการในขอ 2 ลงมา โดยมีแผนผังที่แสดงการสรางดังนี้ ภาพ 28 กระบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี(Sierpinski Triangle) เมื่อดําเนินการตามกระบวนการดังกลาว โดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) แลวจะไดรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี(Sierpinski Triangle) มีลักษณะ ดังตอไปนี้

26 ภาพ 29 การสรางรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี(Sierpinski Triangle) ขั้นที่ 0 ถึง ขั้นที่ 5 ตามลําดับ โดยการทํากระบวนการขางตนซ้ําแลวซ้ําอีก โดยแตละครั้งจะใชรูปที่เกิดขึ้นเปนรูปใหมที่จะสรางตอไป โครงสรางที่ซับซอนนาตื่นตาตื่นใจดวยความงามที่มีอานุภาพและสมบัติทางคณิตศาสตรจะเริ่มปรากฏออกมา จากกระบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี(Sierpinski Triangle) ขางตน จะเห็นวาผูเรียน ไดใชกระบวนการทางวิศวกรรมสรางแบบรูปที่มีคุณสมบัติคลายตนเอง (Self-similarity) เพื่อศึกษาสมบัติทาง คณิตศาสตรและความสัมพันธเชิงตัวเลขที่ซอนอยูในโครงสรางนี้

27 ความสัมพันธเชิงตัวเลขที่ซอนอยูในรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี ความสัมพันธเชิงตัวเลขที่นาสนใจหลายเรื่องสามารถสํารวจและคนหา ทําใหอยูในรูปทั่วไป (General Form) ไดโดยใหนักเรียนใชรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกีที่สรางขึ้นโดยใชโปรแกรม The Geometer's Sketchpad (GSP) บางเรื่องไดใหไวในตารางตอไปนี้ ตาราง 1 ความสัมพันธเชิงตัวเลขในรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี รูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกี ขั้นที่ 0 1 2 3 4 5 n จํานวนรูปสามเหลี่ยมสีทึบ 1 3 9 27 81 243 3 n จํานวนรูปสามเหลี่ยมสีขาว 0 1 4 13 40 121 3 1 2 n − จํานวนจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมสีทึบ 3 6 15 42 123 366 1 3 n na − + 0 ( 3) a = จํานวนจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมสีขาว 0 3 12 39 120 363 3 1 3 2 n   −     อัตราสวนระหวางจํานวนรูปสามเหลี่ยมสีทึบ กับจํานวนรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 1 3 4 9 16 27 64 81 256 243 1024 ( ) 3 4 n เสนรอบรูปรอบ ๆ รูปสามเหลี่ยมสีทึบ 1 3 2 9 4 27 8 81 16 243 32 ( ) 3 2 n ตัวอยาง การหาพจนทั่วไปของลําดับของจํานวนรูปสามเหลี่ยมสีทึบ ลําดับของจํานวนรูปสามเหลี่ยมสีทึบในรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกีคือ 1, 3, 9, 27, 81, 243 , ... เราจะหาพจนทั่วไปของลําดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … ไดดังนี้ กําหนดให n แทน จํานวนขั้นของการสรางรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกีและ na แทน พจนที่ n ของลําดับของจํานวนรูปสามเหลี่ยมสีทึบ จากลําดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … เราจะไดวา

28 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 3 3 3 9 3 27 3 81 3 243 3 a a a a a a = = = = = = = = = = = = 3 n na = ดังนั้น ลําดับ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … นี้ จะมีพจนทั่วไป คือ 3 n na = เราจึงไดวา จํานวนรูป สามเหลี่ยมสีทึบในรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกีคือ 3 n na = เมื่อ n แทน จํานวนขั้นของการสรางรูปลามเหลี่ยม เซียรพินสกี ในสภาพที่กําหนดใด ๆ ขั้นตอนถัดไปจะมีรูปสามเหลี่ยมเปนสามเทาของชิ้นสวนรูปสามเหลี่ยมเสมอ ดังนั้นรูปจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา แตสภาพที่จํากัด ภาพที่ยอสวนยังจะอยูเหมือนภาพทั้งภาพแนนอน ภาพ ในอุดมคติเชนนี้คือสิ่งที่เปนรูปธรรม ภาพที่ดีที่สุดที่สามารถแสดงไดคือ ขั้นตอนจํากัดบางขั้น ซึ่งผูสอนอาจ เชื่อมโยงใหผูเรียนเกิดมโนทัศนทางคณิตศาสตร เรื่องลําดับจํากัด (Finite Sequence) และลําดับอนันต (Infinite Sequence)

บทที่ 4 แฟร็กทัลมีประโยชนแนหรือ • มิติแฟร็กทัล • รักษาโรคดวยแฟร็กทัล • แฟร็กทัลอันชาญฉลาดที่รูทันเศรษฐกิจ • แฟร็กทัลอยูในชีวิตประจําวันของเรา

30 มิติแฟร็กทัล แฟร็กทัลที่เต็มไปดวยสมบัติอันนามหัศจรรยดูเหมือนในนั้นจะมีมิติพิเศษซอนอยูดวย มาดูดีกวา วาสิ่งที่คาดเดาไวถูกตองหรือไม ในทางคณิตศาสตรไมวาความยาวของเสนตรง 1 มิติจะยาวเทาใดก็ไมอาจ เติมเต็มระนาบ 2 มิติหรือปริภูมิ 3 มิติได แตเสนโคงในเกล็ดหิมะค็อคซึ่งลอมรอบพื้นที่อันจํากัด และความยาว รอบรูปที่ไมสิ้นสุดคอนขางแตกตางจากเสนตรง 1 มิติ พิจารณาจากภาพสวนยอยของเกล็ดหิมะค็อคใกล ๆ ภาพ 30 สวนขยายของเกล็ดหิมะค็อด ไมวาจะขยายภาพเพื่อใหเห็นในระยะใกลแคไหน เกล็ดหิมะค็อคจะยังคงขรุขระเชนเดิมเสมอ ซึ่งหมายความวาเสนโคงนี้ไมใชเสนตรง 1 มิติทั่วไป ถาอยางนั้นจะเปน 2 มิติใชหรือไม แตเทาที่พิจารณาดูแลว ก็ไมใชรูปรางในระนาบจึงไมอาจเรียกวา 2 มิติไดเพราะความยาวอันไมมีที่สิ้นสุดจึงมีขนาดใหญกวา 1 มิติ ทั่วไป แตโดนจํากัดขนาดพื้นที่ ทําใหตองอยูใน 2 มิติ ดังนั้นมองแดลโบรจึงสรางแนวคิดของมิติใหมที่เรียกวามิติกึ่งกลางระหวางมิติที่ 1 และมิติที่ 2 นั่นคือ มิติทศนิยม (decimal dimension) ซึ่งไมวาจะหยิบยกสวนใดสวนหนึ่งของเสนโคงค็อคหรือชายฝงทะเล ที่มีขนาดเล็กมากเพียงใด ก็ไมสามารถวัดความยาวได แตมีความแตกตางเล็กนอยในความขรุขระ ระดับของ ความขรุขระนี้สามารถเกิดมิติที่แตกตางกันขึ้นมา ตอไปมาเรียนรูเกี่ยวกับการปรากฏขึ้นของมิติใหมกัน ภาพดานลางสรางขึ้นโดยการเพิ่มความยาวดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหเปน 2 เทาของรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสเดิม ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหมเพิ่มขึ้นเปน 2 เทา ในขณะที่พื้นที่เพิ่มขึ้นเปน 4 เทา ภาพ 31 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากการเพิ่มความยาวดาน

31 คราวนี้มาเพิ่มความยาวดานของลูกบาศกใหเปน 2 เทา ความยาวดานของลูกบาศกใหมเพิ่มขึ้นเปน 2 เทา พื้นที่ผิวเพิ่มขึ้นเปน 4 เทาเชนเดียวกับกรณีกอนหนานี้ แตปริมาตรของลูกบาศกเพิ่มขึ้นจากเดิมถึง 8 เทา ภาพ 32 ปริมาตรของลูกบาศกที่เกิดจากการเพิ่มความยาวดาน ในกรณีนี้ 2 มาจาก 1 21 2 × = เทา 1 22 2 × = หรือ 4 เทา 3 222 2 ××= หรือาสังเกตไดวา จํานวน 1, 2 และ 3 นี้เปนมิติที่ 1 คือเสน มิติที่ 2 คือระนาบ และมิติที่ 3 คือพื้นที่ เพราะความยาวทั้งหมดของ ดานเปน 1 มิติ ความยาวจึงเพิ่มเปน 1 2 เทา พื้นที่เปน 2 มิติ จึงเพิ่มเปน 2 2 เทา และปริมาตรเปน 3 มิติ จึงเพิ่มเปน 3 2 เทา เฟลิกซ เฮาสดอฟฟ (Felix Hausdorff: ค.ศ. 1868-1942) นักคณิตศาสตรชาวเยอรมันใช ขอเท็จจริงนี้อธิบายวา เมื่อขยายรูปรางขึ้น x เทา ปริมาณเกิดการเปลี่ยนแปลงเปน n x เทา จะเรียกมิติของ รูปรางนั้นวา n มิติ และเรียกมิติเชนนี้วา มิติเฮาสดอฟฟ (Hausdorff dimension) ตามคํานิยามของ มิติของเฮาสดอรฟ เสนโคงหรือเสนตรงปกติและรูปรางจะถือวาเปน 1 มิติและ 2 มิติตามลําดับ แตรูปราง แฟร็กทัลไมมีทางจะปรากฏเปนมิติที่เปนจํานวนเต็มได ถาอยางนั้นแฟร็กทัลจะปรากฏขึ้นในมิติใด ดูตัวอยางรูปรางงาย ๆ ของแฟร็กทัล นั่นก็คือเกล็ดหิมะ ค็อคซึ่งสรางขึ้นมาโดยใชเสนตรง ตามกฎนี้จะทําใหคิดไดวามันคือ 1 มิติ ตอไปจะขยายเกล็ดหิมะค็อคเปน 3 เทาอยางที่เคยทํากับลูกบาศกที่ไดยกตัวอยางไป ในตอนนี้หากพยายามจะวัดความยาวดานของเกล็ดหิมะค็อคถือวาเปนเรื่องที่ไรความหมายไปเลย เพราะไมวาจะกอนหรือหลังขยายภาพ ความยาวดานของเกล็ดหิมะนี้ก็ไมมีที่สิ้นสุดอยูแลว แฟร็กทัลเหลานี้ไมไดสรางขึ้นไดแคในระนาบสองมิติเทานั้น แตยังพบปรากฏการณที่คลายกันนี้ จากทรงสี่หนาและทรงหกหนาอีกดวย โดยทําซ้ําวิธีการเดียวกันกับรูปสามเหลี่ยมเซียรพินสกีในแตละหนา เพื่อสรางพีระมิดเซียรพินสกี

32 ภาพ 33 แฟร็กทัลที่เกิดจากการสรางดวยวิธีการเดียวกับสามเหลี่ยมเซียรพินสกี นอกจากนี้ยังสรางฟองน้ําเมงเงอร (Menger sponge) ไดโดยการแบงแตละหนาของลูกบาศก ออกเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก 9 รูปเทา ๆ กัน และเมื่อนําลูกบาศกขนาดเล็กที่อยูตรงกลางของ แตละหนาซึ่งมี 6 ลูก และลูกบาศกที่อยูตรงกลางภายในอีก 1 ลูก รวม 7 ลูกออก จะทําใหลูกบาศกใหญ ถูกแบงออกเปนลูกบาศกเล็กจํานวน 27 ลูก ฟองน้ําเมงเงอรเปนรูปทรงที่สรางขึ้นโดย คารล เมงเงอร (Kar Menger: ค.ศ. 1902-1985) นักคณิตศาสตรซาวออสเตรีย ลองดูภาพในวามีสวนใดขาดหายไป ภาพ 34 ฟองน้ําเมงเงอร (Menger sponge) จํานวนทรงสี่หนาของพีระมิดเซียรพินสกีและจํานวนลูกบาศกของฟองน้ําเมงเงอรเพิ่มขึ้นอยางไมมี ที่สิ้นสุด อีกทั้งพื้นที่ผิวก็เพิ่มขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดอีกดวย แตพื้นที่วางภายในยังคงขยายตัวตอเนื่องอยูใน ขอบเขตของทรงสี่หนาและลูกบาศก ซึ่งหมายความวา พื้นที่ผิวจะเพิ่มขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุด ขณะที่ปริมาตรใกล จะมีคาเปน 0 ซึ่งเปนปรากฏการณที่พบไดเฉพาะในแฟร็กทัลเทานั้น ภาพ 35 การสรางฟองน้ําเมงเงอร

33 คราวนี้จะมาดูฟองน้ําเมงเงอรซึ่งเปนรูปราง 3 มิติที่ไดกลาวถึงวิธีการสรางแบบคราว ๆ ไปแลว เมื่อแบงแตละหนาของลูกบาศกออกเปน 9 สวน ดังนั้นจะไดลูกบาศกขนาดเล็ก 27 ลูก เราจะนําลูกตรงกลาง ของแตละหนาออกทั้งหมด 6 ลูก รวมถึงลูกที่อยูตรงกลางลูกบาศกอีก 1 ลูก รวมทั้งหมด 7 ลูก จากนั้นทําซ้ําขั้นตอนเดิมไปเรื่อย ๆ จํานวนลูกบาศกขนาดเล็กจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ขณะเดียวกันพื้นที่ผิว และพื้นที่วางภายในลูกบาศกก็จะเพิ่มมากขึ้นไปดวย จนสุดทายปริมาตรของลูกบาศกจะมีคาเขาใกล0 แมภายนอกจะดูเปนรูปทรง 3 มิติ แตถาปริมาตรเขาใกล 0 จึงทําใหรูปทรงนี้ไมอาจเรียกไดวาเปน 3 มิติ และภาพรวมยังไมใชเสนโคงที่ราบเรียบหรือพื้นผิวเรียบ ดังนั้นก็ไมใช 2 มิติอีกดวย สรุปฟองน้ําเมงเงอร มีกี่มิติกันแน มาลองใชวิธีการเดียวกันที่เคยใชในเกล็ดหิมะค็อคดู ภาพ 36 สวนขยายของฟองน้ําเมงเงอร เมื่อขยายภาพฟองน้ําเมงเงอรเปน 3 เทา แลวสังเกตสวนที่เปนลูกบาศกในวงกลม จะเห็นวาในวงกลม จะมีลูกบาศกสีชมพูอยู 20 ลูก นั่นคือพื้นที่ผิวของฟองน้ําเมงเงอรเพิ่มขึ้น 20 เทา ถาหาไดวาตองมี 3 กี่ตัว ที่คูณกันแลวได 20 คําตอบนั้นก็คือมิติของฟองน้ําเมงเงอรเนื่องจาก 33 9 × = และ 3 3 3 27 ××= มิติ ฟองน้ําเมงเงอรจึงเปนจํานวนที่อยูระหวางจํานวนเฉพาะ 2 กับ 3 และเพราะวา 2.73 3 20 ≈ ดังนั้นฟองน้ํา เมงเงอรจึงมีมิติเปน 2.73 ตามคํานิยามของมิติเฮาสดอฟฟแสดงใหเห็นวาแฟร็กทัลเปนมิติทศนิยม กรณีเสนโคงแฟร็กทัลที่ เติมเต็มดานจะปรากฏอยูระหวางมิติที่ 1 หรือมิติที่ 2 ขึ้นอยูกับวาจะโคงเพียงใด ยิ่งเสนโคงแฟร็กทัลใกลเคียง กับเสนตรงมากเทาไรก็ยิ่งเขาใกล 1 มิติมากเทานั้น แตถาโคงมากขึ้นเรื่อย ๆ จนเกือบเต็ม จะไดแฟร็กทัลที่เขา ใกล 2 มิติ

34 รักษาโรคดวยแฟร็กทัล ก า ร ที่ มิ ติ แ ฟ ร็ ก ทั ล เ ป น มิ ติ ท ศ นิ ย ม มี ความสําคัญมากเลยหรือ คําตอบคือ ใชแลว มิติ ทศนิยมนี้มีประโยชนในหลากหลายดาน เพราะตอนนี้ กําลังมีการทําวิจัยเพื่อวินิจฉัยและรักษาโรคของมนุษย โดยใชแฟร็กทัลที่มีมิติทศนิยม โรคพารคินสัน (Parkinson's disease) เปน หนึ่งในโรคที่สําคัญที่เกิดขึ้นในผูสูงอายุ เชนเดียวกับ โรคสมองเสื่อมโดยมีสัดสวนผูสูงอายุที่อายุ 60 ปขึ้นไป ไปซึ่งปวยเปนโรคนี้อยูประมาณ 1 ใน 1,000 คน การสังเกตอาการในระยะแรกเปนสิ่งสําคัญ แตเนื่องจาก อาการปรากฏอยางชา ๆ จึงไมรูวาจะปวยเปนโรคนี้ตอนไหน อาการของผูปวยโรคนี้คือกาวขาลําบากหรือกาวเทาสั้น ๆ และมีการทรงตัวที่ไมดีแตเมื่อลองสังเกต และวิเคราะหการเดินที่ผิดปกติของผูปวยอยูสัก 2-3 นาที ผลลัพธที่ปรากฏคลายคลึงกับการเดินตลอดทั้งวัน นั่นคือมีรูปแบบของแฟร็กทัลซอนอยูในนั้น การปรากฏตัวของรูปแบบแฟร็กทัลเหลานี้ในรางกายมนุษยไมไดมีเพียงแคการเดินที่ผิดปกติของ โรคพารคินสันเทานั้น แตยังรวมถึงอัตราการเตนของหัวใจที่ผิดปกติหรือคลื่นสมองของผูปวยที่มีภาวะซึมเศรา หรือภาวะสมองเสื่อม ดังนั้นนักวิทยาศาสตรจึงสังเกตเห็นโรคนี้ลวงหนาและเริ่มมองหาวิธีใชแฟร็กทัลใน การรักษา มาดูกันดีกวาวาพวกเขาใชวิธีใดในการรักษา มีการพัฒนาอุปกรณที่ติดเซ็นเซอรไวกับรางกายผูปวยโรคพารคินสัน เพื่อรวบรวมขอมูลเกี่ยวกับ ความเร็วกับทาทางการเดินแลววิเคราะหดวยคอมพิวเตอร จนไดเห็นผลลัพธของมิติแฟร็กทัลของผูปวยวาเปน มิติที่ 1.48 และสําหรับคนปกติจะอยูที่ประมาณ 1.3 ตัวเลขเหลานี้ใชระบุขอบเขตอาการของผูปวยวาอยูใน ขั้นใดและใชสําหรับปรับเปลี่ยนยา ซึ่งจะชวยลดผลขางเคียงของการใชยา นอกจากนี้อัตราการเตนของหัวใจยังดึงดูดความสนใจของนักวิจัยแฟร็กทัลดวยคนสุขภาพดีดูเหมือนมี อัตราการเตนของหัวใจปกติ แตในความเปนจริงยิ่งเปนคนสุขภาพดียิ่งมีอัตราการเตนของหัวใจผิดปกติ เหมือนกับรูปแบบของความอลวนยังไงละ ภาพ 37 ผูปวยโรคพารคินสัน

35 ดังนั้นอัตราการเตนของหัวใจตามลักษณะของโรคหัวใจที่ปรากฏออกมาจึงเปนมิติแฟร็กทัลและทําให เกิดคาตาง ๆ ตามมา เชนเดียวกับการศึกษาวิจัยโรคพารคินสันในตอนนี้ นักวิจัยจึงพยายามศึกษาคนควาวิจัย มิติแฟร็กทัลของผูปวยโรคหัวใจเพื่อนํามาใชในการวินิจฉัยและรักษาอาการปวยของผูปวย แฟร็กทัลยังใชในการรักษาอาการปวยทางจิต เชน ภาวะซึมเศราและภาวะสมองเสื่อมภาวะสมอง เสื่อมสามารถแบงออกเปน 2 ประเภทขึ้นอยูกับสาเหตุ แนนอนวาการรักษาก็ยอมตางกันไปดวย แตหากวัด คลื่นสมองของผูที่มีภาวะสมองเสื่อมจะพบรูปแบบแฟร็กทัลไดหลากหลายมากขึ้นอยูกับประเภทของภาวะ สมองเสื่อม แมผลลัพธนั้นจะมีสวนชวยในการรักษาได แตถึงอยางนั้นก็ยังวิเคราะหไดยากวาเปนภาวะสมอง เสื่อมประเภทใดและยากตอการรักษาไดทันทวงที งานวิจัยเกี่ยวกับการหาสัญญาณแฟร็กทัลในรางกายมนุษยและใชเพื่อการพัฒนาทางการแพทยได ดําเนินการมานานกวา 30 ปแลว แตยังมีอีกหลากหลายสวนงานที่ใชประโยชนจากแฟร็กทัลได ไมมีอะไร เหมาะสมกับรางกายอันลึกลับของมนุษยไดดีเทาแฟร็กทัลอีกแลว

36 แฟร็กทัลอันชาญฉลาดที่รูทันเศรษฐกิจ "วันนี้หุนก็ตกอีกแลว" หรือ "ราคาน้ํามันดิบระหวางประเทศสูงขึ้นอีกแลว" เคยไดยินผูใหญพูดถึง เรื่องนี้ในหนังสือพิมพหรือในขาวบางไหม ฟงดูเหมือนจะเปนเรื่องยากใชไหม แตขอมูลเหลานี้มีอิทธิพลตอ การใชชีวิตมากเลยนะ เพราะฉะนั้นรูไวก็ดี รูเรื่องแฟรกทัลก็เหมือนล้ําหนาคนอื่นไปหนึ่งกาว ราคาหุน วัตถุดิบ หรือน้ํามันดิบลวนแลวแตเกี่ยวของกับแฟร็กทัล มองแดลโบรซึ่งเปนผูสรางแฟร็กทัลก็ยังเปนนักเศรษฐศาสตรอีกดวย เขาพบวาราคาหุนและวัตถุดิบ มีสมบัติของแฟร็กทัล ซึ่งหมายความวาราคาหุนหรือราคาสินคาโภคภัณฑไดรับผลกระทบจากราคากอนหนา นอกจากนี้ยังหมายความวา รูปแบบของการเปลี่ยนแปลงราคาในระหวางวัน จะมีลักษณะคลายกับ รูปแบบของการเปลี่ยนแปลงราคาในชวงเดือนหรือป ในความเปนจริงเอดการ ปเตอรส (Edgar Peters) ซึ่งเคยทํางานกับบริษัทลงทุนสหรัฐฯ สรุปแลว แมวาราคาหุนจะทะยานอยางดุเดือด วิเคราะหไดโดยใชรูปแบบที่เหมาะสม Panagora Asset Management ไดวิเคราะหดัชนีราคาหุนในนิวยอรกโดยใชขอมูลตั้งแต ป ค.ศ. 1928-1989 ทําใหเราไดเห็นวาดัชนีหุนมี รูปแบบที่แนนอนและเปนมิติแฟร็กทัล 2.33 มิติ ภาพ 38 กราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของดัชนีหุนประเทศเกาหลีชวงหลังป ค.ศ. 1980 โดยใชแฟร็กทัลมาวิเคราะหเสนที่มีลักษณะผิดปกติ

37 แฟร็กทัลอยูในชีวิตประจําวันของเรา ในชีวิตประจําวันยังมีการใชรูปทรงเรขาคณิตแฟร็กทัลมากมาย ไมวาจะเปนเสื้อกันหนาวขนหาน ที่สวมใสกันในฤดูหนาว เพราะขนหานมีโครงสรางแฟร็กทัลอยู และโครงสรางแฟร็กทัลของขนหานนี้เอง ที่สามารถกักเก็บความอบอุนได มีการใชประโยชนจากแฟร็กทัลในหลายวิชา เชน ทางการแพทย ที่ตองตรวจวิเคราะหอวัยวะ ในรางกายที่ผิดปกติเชน ปอดหรือกอนเนื้อราย ซึ่งสวนใหญจะเปนรูปเหมือนแฟร็กทัล ทําใหสามารถวินิจฉัย และรักษาโรคได ทางดาราศาสตรใชแฟร็กทัลศึกษาโครงสรางของจักรวาล ทางอุตุนิยมวิทยาใชแฟร็กทัลใน การพยากรณอากาศ และทางเศรษฐศาสตรการเงิน ใชแฟร็กทัลในการวิเคราะหตลาดหุน เปนตน หลังจากที่มีการคนพบแฟร็กทัลไดไมนาน การใชประโยชน จากแฟร็กทัลไดพัฒนาไปอยางรวดเร็ว ในที่นี้จะยกตัวอยางการใช แฟร็กทัลในวงการอุตสาหกรรมและเทคโนโลยีในชีวิตประจําวัน นักออกแบบกราฟฟกใชแฟร็กทัลในการสรางภาพเสมือนจริง เพื่อใชในวงการภาพยนตรและเกมคอมพิวเตอร โดยใชหลักการ ในทํานองเดียวกับการสรางแฟร็กทัลจากรูปเรขาคณิต คือเริ่มจาก รูปเรขาคณิตงาย ๆ แลวกระทําการอยางใดอยางหนึ่งซ้ํา ๆ กัน จนไดเปนภาพที่ซับซอน ภาพทิวทัศนหรือภาพของสิ่งที่ไมมีในชีวิต จริง สามารถสรางไดจากแฟร็กทัล ภาพภูเขา น้ํา และเมฆ Star Trek II - The Wrath of Khan เปนภาพยนตรเรื่องแรกที่สรางภาพโดยใชแฟร็กทัล นอกจากนี้ การเก็บขอมูลในคอมพิวเตอรก็ใชประโยชนจากแฟร็กทัลในการบีบอัดขอมูลภาพใหเหลือนอย ซึ่งทําให ประหยัดเวลาและพื้นที่ในการเก็บบันทึกขอมูล นอกจากนี้ในภาพยนตรยังสามารถแสดงภาพภูมิประเทศ อันขรุขระไดเหมือนจริงโดยใชทฤษฎีแฟร็กทัล ดาวเคราะหที่ปรากฏในภาพยนตรเรื่อง Star Wars: The Return of the Jedi ถือเปนแฟร็กทัลที่ยอดเยี่ยมที่สรางขึ้นจากคอมพิวเตอรกราฟก ปจจุบันนักวิทยาศาสตรและวิศวกรไดคิดคนเทคโนโลยีใหม ๆ ในป ค.ศ. 2002 บริษัท Fractal Antenna Systems, Inc. ในประเทศสหรัฐอเมริกา ไดจดสิทธิบัตรเสาอากาศสําหรับระบบสื่อสารไรสาย โดย วัสดุที่ใชรับสงสัญญาณมีรูปรางเหมือนแฟร็กทัล ทําใหวัสดุมีขนาดเล็กกะทัดรัดและเบา แตมีความยาวของเสน รอบรูปคอนขางสูง ซึ่งชวยใหการรับสงสัญญาณมีประสิทธิภาพมากขึ้น ภาพ 39 สรางจากคอมพิวเตอร โดยใชแฟร็กทัล

38 ภาพ 40 ตัวอยางของแฟร็กทัลบนเสาอากาศ ที่สําคัญคือรูปของแฟร็กทัลเปนศิลปะที่สวยงาม ศิลปนจํานวนมากสรางผลงานโดยใชแฟร็กทัล เชน M.c. Escher ที่สรางภาพเทสเซเลชัน (Tesselation) แบบแฟร็กทัล หรือ Roger Johnston ที่สรางภาพ ดอกบัว (Water Lilies) ภาพ 41 "Circle Limit III" ผลงานเทสเซเลชั่นของ M.C. Escher ภาพ 42 "Water Lilies" ของ Roger Johnston

39 บรรณานุกรม ทวิช กองพิลา. (2558). เรขาคณิตกับสถาปตยกรรม : การแปลงความสัมพันธทางเรขาคณิตสูการออกแบบ สถาปตยกรรม (ปริญญานิพนธมหาบัณฑิต). มหาวิทยาลัยศิลปากร, กรุงเทพมหานคร. ปยะวัฒน ศรีสังวาลย. (2560, พฤษภาคม-สิงหาคม). ความงามทางคณิตศาสตรกับสะเต็มศึกษา: Sierpinski Triangle Aesthetic in Mathematics along with STEM Education: Sierpinski Triangle. วารสารคณิตศาสตรMJ-MATh, 62(692), 69-79. พงศธร มหาวิจิตร. (2552). ผลการจัดกิจกรรมโครงงานคณิตศาสตรภายใตสิ่งแวดลอมในชีวิตประจําวันที่มีตอ ความสามารถในการทําโครงงานและความสนใจในการเรียนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 (ปริญญานิพนธมหาบัณฑิต). มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร, กรุงเทพมหานคร. มาโนช ประชา. (2554). การประยุกตใชแฟร็กทัลไดเมนชันเพื่อหาคุณสมบัติของรูปภาพสําหรับระบบ CBIR (ปริญญานิพนธมหาบัณฑิต). มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลธัญบุรี, ปทุมธานี. ศุภณัฐ ชัยดี. (2557). คณิตศาสตรในธรรมชาติ รูปเรขาคณิตสาทิสรูป. เอกสารประกอบการสอนเสริม โครงการหองเรียนพิเศษวิทยศาสตร-คณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน โรงเรียนสุรศักติมนตรี, มหาวิทยาลัยเชียงใหม, เชียงใหม. สมพร สูตินันทโอภาส. (2561, มกราคม-กุมภาพันธ). แฟร็กทัลกับระบบพลวัต : กรุงเทพฯ จมน้ําเพราะงูเขียว ตัวเดียว. นิตยสาร สสวท., 46(210), 16-21. สันติรักษ ประเสริฐสุข. (2547, มกราคม). เรขาคณิตเศษสวนในสถาปตยกรรมและผังเมือง. วารสารวิจัยและ สาระสถาปตยกรรมและการผังเมือง, 1(2), 155-170. โอ ฮเยจ็อง. (2563). ทฤษฎีความอลวนและแฟร็กทัล : เกงคณิตดวยตัวเองจนคุณครูตกใจ[Mastering Elementary Math : The Chaos and Fratal] (พิมพครั้งที่ 1) (ธัชชา ธีรปกรณชัย). นานมีบุคส: กรุงเทพมหานคร,(2020) Ankit G., Akshat A. & Ashish N. (2014). A Review on Natural Phenomenon of Fractal Geometry. International Journal of Computer Applications, 86, 1-7. Patuano A. & Tara A. (2020). Fractal Geometry for Landscape Architecture: Review of Methodologies and Interpretations. Journal of Digital Landscape Architecture, 5, 72-80. Sala N. (2006). Fractal geometry and architecture: some interesting connections. EcoArchitecture: Harmonisation between Architecture and Nature, 86, 163-173.