รูปเรขาคณิตสามมิติ และภาพหน้าตัดของรูปเร

เรขาคณติ

เรขาคณิต คอื คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งทวี่ ่าด้วยการจาแนกประเภท สมบตั ิ
และโครงสรา้ งของเซตของจดุ ที่เรียงกนั อย่างมีระเบยี บตามกฎเกณฑ์ท่ีกาหนดให้
เป็นรูปทรงต่าง ๆ เชน่ เสน้ ตรง วงกลม รปู สามเหล่ียม ระนาบ รูปกรวย

รปู เรขาคณิต

รปู เรขาคณติ คือ รูปที่ประกอบดว้ ย จดุ เสน้ ตรง เสน้ โคง้ ระนาบ ฯลฯ

อยา่ งนอ้ ยหนึ่งอย่าง

- จดุ ไม่มีมติ ิ

- เสน้ ตา่ ง ๆ มีหนงึ่ มิติ

เสน้ ตรง รังสี ส่วนของเสน้ ตรง เส้นโค้ง

ภาพของรูปเรขาคณติ สองมติ แิ ละสามมติ ิ

รปู เรขาคณติ สองมิติ ( 2D Shapes)

รูปเรขาคณิตสองมิติ หมายถึง รูปเรขาคณติ ทแี่ สดงความกว้าง
และความยาวของรูป

แบ่งออกเปน็ 2 กลุม่ ใหญ่ๆ ตามลกั ษณะของขอบหรือดา้ นของรปู ได้แก่
1. กลุ่มท่ีมีขอบหรือด้านของรปู เป็นสว่ นของเสน้ ตรง กลุม่ นีค้ ือ

รปู หลายเหลีย่ ม ( polygon )
2. กล่มุ ท่มี ขี อบหรอื ด้านเปน็ เสน้ โค้งงอ เช่น รูปวงกลม และรูป

วงรี เปน็ ตน้ กลุ่มน้ไี มม่ ชี ่ือเรียกโดยเฉพาะ

ตวั อย่างรปู เรขาคณติ สองมิติ ( 2D Shapes)

Circle Semi – Circle Triangle Square Oval Rectangle

วงกลม ครึง่ วงกลม สามเหล่ยี ม สเ่ี หล่ียมจัตุรสั วงรี สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้

Pentagon Hexagon Parallelogram Trapezoid Octagon Decagon

ห้าเหลีย่ ม หกเหลี่ยม ส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน สเ่ี หลี่ยมคางหมู แปดเหลี่ยม สิบเหลีย่ ม

รูปเรขาคณติ สามมิติ

รูปเรขาสามมิติ หมายถึง รูปเรขาคณิตทรงสามมิติที่มีฐานหรือหน้าตัด
เป็นรูปทรงต่าง ๆ เช่น รูปทรงกระบอก รูปทรงกลม รูปพีระมิด รูปปริซึม รูป
กรวย เป็นตน้

รปู เรขาคณติ สามมิติ ( 3D Shapes)

แบ่งออกเป็น

- ปรซิ ึม ( Prism )

- พรี ะมิด (Pyramid)

- รูปทรงอ่นื ๆ

ตัวอย่าง ปรซิ ึม

ปริซึม (Prism)

คอื รปู ทม่ี ีหนา้ ตัดหรอื บานทั้งสองเปน็ รูป

ปริซมึ หนา้ ตดั หรือ หลายเหลีย่ มทเ่ี ท่ากนั ทุกประการ และอย่บู น
สามเหลย่ี ม ฐาน ระนาบที่ขนานกนั มีหน้าข้างเปน็ รปู สีเ่ หล่ยี ม

สนั หรือขอบ ดา้ นขนาน

หนา้ หนา้ การเรยี กชื่อปรซิ ึม เรียกตามลกั ษณะของ
ข้าง ข้าง รปู หลายเหล่ียมทเ่ี ป็นหน้าตดั ฐาน เชน่ ปรซิ ึม
ปริซมึ สเี่ หลยี่ มสามเหลีย่ ม ปริซมึ สีเ่ หล่ียม เป็นต้น
หนา้ ตัดหรอื
ฐาน

ตัวอย่าง ปรซิ ึม

Triangular Prism Rectangular Prism Pentagonal Prism Hexagonal Prism
ปรซิ มึ ฐานหา้ เหล่ียม ปรซิ มึ ฐานหกเหลีย่ ม
ปริซึมฐาน ปริซึมฐาน
สามเหลี่ยม ส่ีเหล่ยี มผืนผ้า

ตวั อย่าง ปริซึม

Cube Cylinder
ลูกบาศก์ ทรงกระบอก

ตวั อย่าง พรี ะมิด

พีระมิด (Pyramid)

สัน คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานเป็น
สนั รูปหลายเหลี่ยม มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่

ในระนาบเดียวกับฐาน และมีหน้าข้าง
เปน็ รปู สามเหลีย่ ม

การเรียกชื่อพรี ะมดิ เรียกตาม
ลักษณะของรูปหลายเหลยี่ มทีเ่ ป็นฐาน
เชน่ พีระมิดฐานสเ่ี หลย่ี ม หมายถึง พรี ะมดิ
ท่ีมฐี านเป็นรปู ส่ีเหลีย่ ม

ตัวอยา่ ง พรี ะมิด

Triangular Pyramid Square Pyramid Rectangular Pyramid
พรี ะมดิ ฐานสามเหลีย่ ม พีระมดิ ฐานสีเ่ หล่ียมจัตุรัส พีระมดิ ฐานสีเ่ หลี่ยมผนื ผ้า

ตวั อย่าง พรี ะมิด

Pentagonal Pyramid Hexagonal Pyramid
พีระมิดฐานหา้ เหลยี่ ม พรี ะมิดฐานหกเหล่ียม

รปู ทรงอ่ืน ๆ ไดแ้ ก่

ทรงกลม รปู เรขาคณิตสามมิตหิ รือทรงสามมิติท่มี ีผวิ
โค้งเรยี บ และจดุ ทกุ จดุ บนผิวโคงอยหู่ า่ งจากจุดคงท่ีจุดหนึง่
เป็นระยะทางเทา่ กนั จุดคงที่น้ันเรียกว่า เส้นผ่านศูนยก์ ลาง
ของทรงกลม และระยะทางที่เทา่ กนั น้นั เรียกวา่ รศั มขี อง
ทรงกลม

กรวย เป็นรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ มี่ ฐี านเป็นรูปวงกลม มียอดแหลม
ท่ไี มอ่ ยใู่ นระนาบเดียวกนั กับฐาน และเสน้ ทต่ี อ่ ระหวา่ งจุดยอดกับจุด
ใด ๆ บนขอบของฐานเปน็ สว่ น

ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิตใิ นชวี ติ ประจาวนั

คล้ายทรงกลม คล้ายปรซิ ึมฐานสเ่ี หล่ยี มผนื ผ้า

คล้ายลูกบาศก์

คลา้ ยปรซิ ึมฐานสามเหล่ยี ม

คลา้ ยทรงกระบอก

คล้ายกรวย

รปู คลีข่ องรปู เรขาคณิตสามมติ ิ

รูปเรขาคณิตสองมิติ และรูปเรขาคณิตสามมิติมีความแตกต่างกัน เพราะ
รูปเรขาคณิตสามมิติแสดงให้เห็นถึงความหนาหรือความลึก ในขณะที่รูป
เรขาคณิตสองมิติจะไม่แสดงส่วนน้ี การอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ
กับภาพสองมิติ โดยการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติและการประกอบรูปเรขาคณิต
สามมิตจิ ากภาพสองมติ ิ ดังนี้

รูปคล่ขี องรปู เรขาคณติ สามมิติ

รปู เรขาคณติ สามมิติ รูปคลขี่ องรูปเรขาคณิตสามมติ ิ

ปรซิ มึ ฐานสีเ่ หล่ยี มจตั ุรัส

รปู คลข่ี องรปู เรขาคณติ สามมติ ิ

รูปเรขาคณติ สามมติ ิ รูปคลขี่ องรปู เรขาคณติ สามมติ ิ

ปรซิ ึมฐานสเ่ี หล่ียมผนื ผา้

รูปคลีข่ องรปู เรขาคณิตสามมติ ิ

รปู เรขาคณิตสามมิติ รปู คล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

ปรซิ ึมฐานสามเหลย่ี ม

รูปคลีข่ องรปู เรขาคณิตสามมติ ิ

รปู เรขาคณติ สามมิติ รปู คล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

ปรซิ มึ ฐานหา้ เหล่ยี ม

รปู คลี่ของรปู เรขาคณติ สามมิติ

รปู เรขาคณติ สามมิติ รปู คลี่ของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

ลกู บาศก์

รูปคล่ีของรูปเรขาคณติ สามมิติ

รปู เรขาคณิตสามมิติ รปู คลี่ของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

ทรงกระบอกฝาเปิด

รปู คล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมิติ

รูปเรขาคณติ สามมิติ รูปคลี่ของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

ทรงกระบอกฝาปิด

รูปคลีข่ องรูปเรขาคณติ สามมิติ

รูปเรขาคณติ สามมติ ิ รปู คล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

กรวยปิด

รปู คลี่ของรปู เรขาคณติ สามมิติ

รปู เรขาคณติ สามมิติ รปู คลี่ของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

กรวยเปิด

รปู คลีข่ องรูปเรขาคณิตสามมติ ิ

รูปคล่ีของพีระมิดฐาน n เหลี่ยม ประกอบด้วยรูป n เหล่ียมท่ีเป็นฐานจานวน 1 รูป และรูป

สามเหล่ยี มขนาดตา่ ง ๆ จานวน n

รูปเรขาคณติ สามมติ ิ รปู คล่ขี องรปู เรขาคณิตสามมิติ

พีระมิดฐานสีเ่ หลย่ี ม

รูปคลี่ของรปู เรขาคณติ สามมิติ

รูปเรขาคณติ สามมติ ิ รูปคลี่ของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

พีระมดิ ฐานสามเหลย่ี ม

รปู คลีข่ องรปู เรขาคณิตสามมติ ิ

รูปเรขาคณิตสามมติ ิ รปู คล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

พรี ะมดิ ฐานหา้ เหลี่ยม

หน้าตดั ของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ

แมค่ ้าและพ่อคา้ ทข่ี ายผลไมแ้ บบรถเขน็ จะต้องมกี ารหนั่ ผลไม้เป็นชิน้ ๆ หนา้ ตัด
ของผลไมแ้ ตล่ ะชิน้ จะเปน็ รูปเรขาคณติ สองมติ ิทมี่ ีลักษณะแตกต่างกันไป โดยขน้ึ อยู่
กับแนวการตัดและชนดิ ของผลไม้นน้ั ๆ

หนา้ ตัดของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

หนา้ ตดั (section) หรอื ภาพตดั บนระนาบ เกดิ จากการใช้ระนาบตดั รูป
เรขาคณิตสามมติ ิ โดยรูปที่ไดจ้ ากการตดั จะเปน็ รูปเรขาคณติ ชนดิ ใด ขน้ึ อยกู่ บั แนว
การตดั และชนิดของรปู เรขาคณติ สามมิตินนั้

ในทนี่ จ้ี ะกล่าวถงึ หน้าตดั จากการตัด 2 แนว คือ แนวตั้งฉากกับพื้นราบ และ
แนวขนานจากพืน้ ราบ

หนา้ ตัดของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

การผ่าลูกมะนาวที่เกิดจากการใชร้ ะนาบตัดรูปเรขาคณติ
สามมิติตอ่ ไปน้ี

มะนาว ตดั ตามแนวต้งั ฉากกบั หนา้ ตัดของผลมะนาวเมอื่ ตดั ตาม
พนื้ ราบ แนวตัง้ ฉากกับพ้ืนราบมลี กั ษณะ
คลา้ ยวงกลม

หน้าตดั ของรูปเรขาคณิตสามมิติ

มะนาว ตัดตามแนวขนาน หนา้ ตัดของผลมะนาวเม่ือตดั ตาม
กับพืน้ ราบ แนวขนานกบั พน้ื ราบมีลกั ษณะ
คลา้ ยวงกลม

หน้าตัดของรูปเรขาคณิตสามมิติ

การผา่ ลกู แกว้ มงั กรที่เกดิ จากการใชร้ ะนาบตดั รปู เรขาคณติ สามมติ ิ
ตอ่ ไปนี้

แกว้ มงั กร ตดั ตามแนวตง้ั ฉาก หน้าตัดของผลแก้วมังกรเมอ่ื ตดั ตาม
กบั พน้ื ราบ แนวตั้งฉากกบั พ้นื ราบมีลักษณะคล้าย
วงกลม

หนา้ ตัดของรูปเรขาคณติ สามมิติ

แกว้ มงั กร ตัดตามแนวขนาน หนา้ ตดั ของผลแกว้ มังกรเมื่อตดั ตาม

กบั พืน้ ราบ แนวขนานกบั พ้นื ราบมีลักษณะคล้าย

วงรี

หนา้ ตัดของรปู เรขาคณิตสามมิติ

จากรูปขา้ งตน้ จะเห็นวา่ ไมว่ ่าจะตัดผลมะนาวแนวในแนวการตัดใดก็ตาม ภาพ
หนา้ ตดั ที่ไดจ้ ะมลี กั ษณะคล้ายวงกลมเสมอ แตถ่ า้ ตัดผลแก้วมงั กร ภาพหนา้ ตดั ทีไ่ ด้
จะเป็นรูปเรขาคณติ สองมติ ิท่มี ีลักษณะแตกต่างกันขน้ึ อย่กู บั แนวการตดั

เพราะฉะนน้ั การตัดรูปเรขาคณติ สามมิตติ ามแนวการตัดต่าง ๆ จะได้ภาพหน้า
ตดั เป็นรปู เรขาคณติ สองมติ ิ ซง่ึ แบง่ หนา้ ตดั ได้ 2 ลักษณะ คอื

1) ภาพหน้าตัดทไ่ี ดจ้ ะเป็นรปู เรขาคณิตสองมติ ชิ นิดเดียวกนั
2) ภาพหน้าตดั ที่ได้จะเปน็ รปู เรขาคณิตสองมิติตา่ งชนดิ กัน

โดยมีรายละเอียดดงั น้ี

หน้าตดั ของรปู เรขาคณิตสามมิติ

ทรงกลม

ระนาบตัดทรงกลมตามแนวตั้งฉาก หนา้ ตดั เปน็ วงกลม
กบั พน้ื ราบ

ระนาบตัดทรงกลมตามแนวขนาน หน้าตดั เป็นวงกลม
กบั พื้นราบ

หน้าตัดของรูปเรขาคณติ สามมิติ

ทรงกระบอก ระนาบตัดตาม
แนวขนานกับพื้นราบ
หน้าตดั เปน็ วงกลม
ระนาบตดั ตาม
แนวขนานกับพืน้ ราบ
หน้าตดั เป็น
สี่เหลยี่ มมุมฉาก

ระนาบตัดตามแนวเฉียงกับพ้ืนราบ
หนา้ ตดั เปน็ วงรี