e-modul matematika

modul
MATEMATIKA

PELUANG

Untuk SMA/SMK
Kelas 12

Kata Pengantar

Puji syukur atas kehadiran Allah SWT yang telah memberikan limpahan nikmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan E-modul ini yang berjudul “Bilangan
Berpangkat dan Bnetuk Akar” dengan lancar dan tepat waktu. Tak lupa pula sholawat serta salam
kita sanjungkan kepada Nabi besar Muhammad SAW telah membawa umatnya dari zaman yang
terang benderang seperti sekarang ini.

Terima kasih saya ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu, memberikan
support, ataupun dukungan baik secara moril ataupun non moril, sehingga E-modul ini dapat
diselesaikan dengan baik, terima kasih juga kepada Bapak Ikhsan Sahal Guntur, S.Pd., M.Pd.,
selaku dosen pengampu mata kuliah Pengembangan Bahan Ajar Matematika.

Penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam pengusungan E-modul ini, untuk itu
saran dan kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan dalam rangka perbaikan E-modul
selanjutnya.

Semoga E-modul ini dapat bermanfaat dan membantu meningkatkan ilmu pengetahuan
bagi para pembacanya. Aamiin yaa Rabbal Alamin.

Magelang, April 2022

Desemtika Audry

2

Daftar Isi

Kata Pengantar..................................................................................................................... 2
Daftar Isi ............................................................................................................................. 3
Pendahuluan......................................................................................................................... 4
Petunjuk Penggunaan E-Modul ............................................................................................ 5
Kompetensi Yang Harus Dicapai.......................................................................................... 6
Peta Konsep ......................................................................................................................... 7
Apersepsi ............................................................................................................................. 8
Materi Peluang .................................................................................................................... 9
Latihan Soal ........................................................................................................................ 15
Evaluasi ............................................................................................................................... 16
Rangkuman ......................................................................................................................... 17
Kunci Jawaban .................................................................................................................... 18
Daftar Pustaka...................................................................................................................... 20

3

Pendahuluan

Pembelajaran Jarak Jauh (PJJ) adalah salah satu solusi terbaik yang dapat membantu
jalannya proses pembelajaran di tengah pandemic COVID-19 seperti sekarang ini.berbagai pro
dan kontra terjadi dalam proses Pembelajaran Jarak Jauh (PJJ) salah satunya terkendala pada paket
data dan jaringan internet.

Para tenaga pendidik diharuskan untuk terus berinovasi dan kreatif dalam mencari jalan
keluar permasalahan tersebut dan tentu saja perlu adanya kerja sama yang baik antara tenaga
pendidik, masyarakat, orang tua, dan peserta didik. Pembelajaran berbasis daring ini dirasa masih
sangat berat bagi mereka yang kesulitan ekonomi dan mereka yang tinggal di daerah susah sinyal.

Berlandaskan hal tersebut maka muncullah ide untuk membuat pembelajaran secara offline
menggunakan e-modul. E-modul ini sangat efisien dan efektif selain bisa digunakan secara offline,
e-modul juga dapat membantu siswa lebih mudah untuk memahami materi yang diberikan oleh
guru, karena di dalam e-modul di desain semenarik mungkin agar pembaca tertarik untuk
membaca e-modul tersebut.

Diharapkan penggunaan e-modul dapat menjadi salah satu solusi dalam Pembelajaran
Jarak Jauh (PJJ) yang dapat dinikmati oleh semua kalangan peserta didik.

4

Petunjuk Penggunaan E-Modul

E-Modul matematika materi peluang dua kejadian bersyarat ini disusun untuk membantu
peserta didik kelas XII SMK semester genap dalam menentukan dan menyelesaikan permasalahan
tentang peluang dua kejadian bersyarat. Dalam penyusunannya, E-Modul ini
disesuaikan dengan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar yang berlaku saat ini.
Penyajian materi dalam E-Modul ini disusun dengan menggunakan model Problem
Based Learning, sehingga peserta didik dituntun untuk memecahkan permasalahan yang ada.
Sistematika E-Modul ini adalah sebagai berikut

1. Sebelum menginjak pada pembahasan, E-Modul ini diawali dengan paparan
kompetensi yang harus dicapai oleh peserta didik.

2. Materi pembahasan diawali dengan stimulus berupa contoh kasus nyata serta aktivitas
relevan.

3. Uraian materi merupakan materi pokok/materi pembelajaran dalam E-Modul. Materi
disajikan dengan bahasa yang sederhana sehingga mudah dipahami.

4. Setiap pembahasan sub materi dilengkapi dengan contoh soal untuk memperjelas
konsep yang dipelajari.

5. Latihan berisi soal-soal untuk menguji kemampuan peserta didik dalam memahami
materi yang dipelajari.

6. Rangkuman berisi pokok-pokok pembicaraan materi yang telah selesai dipelajari.
7. Evaluasi berisi soal-soal untuk melihat kemampuan siswa dalam materi peluang dua kejadian

bersyarat.

Berikut adalah langkah-langkah yang disarankan bagi peserta didik dalam menggunakan E-Modul
ini.

1. Bacalah terlebih dahulu kompetensi yang harus dicapai yang terletak sebelum pembahasan.
2. Pahami uraian materi dengan seksama dan perhatikan contoh soal yang diberikan dengan

sebaik-baiknya.
3. Kerjakan latihan soal yang ada.
4. Bacalah kembali rangkuman yang ada di akhir bab.
5. Kerjakan soal-soal evaluasi yang ada di akhir bab.

5

Kompetensi Yang Harus Dicapai

A. Kompetensi Inti (KI)
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleran, gotong royong,
santun, dan percaya diri dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan
alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya
3. Memahami pengetahuan (factual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin
tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian
tampak mata
4. Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai,
merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca,
menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuatu dengan yang dipelajari di sekolah dan
sumber lain yang sama dalam sudut pandang/ teori

B. Kompetensi Dasar (KD) dan Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.4 Mendeskripsikan dan menentukan 3.4.5 Mengidnetifikasi kejadian bersyarat

peluang kejadian majemuk (peluang suatu percobaan acak

kejadian-kejadian saling bebas, saling 3.4.6 Menentukan peluang kejadian

lepas, dan kejadian bersyarat) suatu bersyarat suatu percobaan acak

percobaan acak

4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.4.3 Menentukan penyelesaian masalah

dengan peluang kejadian majemuk yang berkaitan dengan peluang suatu

(peluang kejadian-kejadian saling bebas, kejadian bersyarat suatu percobaan

saling lepas, dan kejadian bersyarat)

6

Peta Konsep

Peluang

Kaidah Kejadian
Pencacahan
Kejadian Kejadian
Permutasi Sederhana Majemuk

Kombinasi Peluang Dua
Kejadian Saling

Bebas

7

Apersepsi

Sebelum masuk ke materi inti,
sangatlah penting anda

mengingat kembali materi
berikut ini!

Kaidah Pencacahan Suatu permutasi dari beberapa unsur adalah
banyaknya cara menyusun sebagian atau seluruh unsur-
PERMUTASI unsur tersebut dengan memperhatikan urutan dan tanpa ada
! pengulangan unsur.
Ciri-ciri permutasi:
= ( − )! - diberikan posisi atau jabatannya
- tidak boleh diacak

Kombinasi dari sekelompok unsur adalah banyaknya cara KOMBINASI
menyusun sebagian atau seluruh unsur-unsur tersebut !
tanpa memperhatikan urutan.
Ciri-ciri kombinasi: = ! ( − )!
- boleh diacak
- tidak diberikan posisi

Kejadian

KEJADIAN SEDERHANA Peluang dari suatu kejadian Kejadian saling bebas
adalah perbandingan antara banyaknya titik sampel
( ) = ( ) dan ruang sampel dari suatu kejadian.
( ) Keterangan:
n(A) = banyak kejadian A
KEJADIAN MAJEMUK n(S) = banyak ruang sampel
Peluang Dua Kejadian Saling Bebas
Kejadian saling bebas (kata penghubung "dan").
( ∩ ) = ( ) . ( ) Kejadian A dan Kejadian B dikatakan kejadian
saling bebas jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh
kejadian B atau sebaliknya.

8

Materi

Pendahuluan

Problem Statement

Ibu-ibu dan 4 orang remaja yang sedang
berbelanja. Kemudian dari mereka dipilih
secara acak 3 orang untuk mendapatkan 3
undian hadiah utama, dan setiap orang hanya
berhak memperoleh 1 hadiah.

Masalah 1
Tentukan peluang kejadian undian ketiga dimenangkan oleh remaja, jika
undian pertama dan kedua dimenangkan oleh ibu-ibu.

Masalah 2
Tentukan peluang dari kejadian undian pertama dimenangkan remaja, undian
kedua dimenangkan oleh ibu-ibu dan undian ketiga dimenangkan remaja.

Orientasi Pada Masalah
Persoalan diatas menunjukkan 2 masalah berbeda. Sebutkan apa saja perbedaan dari ke
duanya? Dapatkah kamu menjelaskan perbedaan diantara keduannya!

Peluang Dua Kejadian Bersyarat

Mengorganisasikan
Dalam Subbab sebelumnya, Anda telah memahami bahwa dua kejadian dikatakan saling
bebas jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua.
Dalam subbab ini, Anda akan mempelajari peluang kejadian dikatakan tidak bebas atau disebut
dua kejadian bersyarat.

9

Penyelidikan

Apakah peluang kejadian bersyarat itu ? Agar Anda dapat memahami dan
mampu membedakan antara kejadian yang saling bebas dan kejadian
bersyarat, selesaikan kegiatan 1 berikut ini!

Ayo Amati ! Kondisi 1

Misalnya, sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Jika sebelum
pengambilan kedua, kelereng tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak. Kasus ini
termasuk kejadian yang saling bebas. Tentukan peluang terambilnya kelereng merah pada
pengambilan pertama dan terambil kelereng merah pada pengambilan kedua.

Penyelesaian:

A = kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama

B = kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan kedua

Jumlah kelereng sebelum pengambilan pertama adalah 5 merah + 4 biru = 9 kelereng

Peluang terambilnya 1 kelereng merah pada pengambilan pertama adalah

( ) = 5
9

Jumlah kelereng sebelum pengambilan kedua adalah 5 merah + 4 biru = 9 kelereng

Peluang terambilnya 1 kelereng merah dengan syarat 1 kelereng merah sudah diambil ditulis

( ) = 5
9

Jadi, peluang terambilnya berturut-turut kelereng merah dan kelereng biru adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( ) = 5 × 5 = 25
9 9 81

Ayo Amati !

Bagaimana jika sebelum pengambilan kedua, kelereng pertama tidak dikembalikan ke
dalam kotak? Untuk kasus ini, pengambilan kelereng yang kedua bergantung pada hasil
pengambilan pertama. Kejadian ini disebut bersyarat. Tentukan peluang terambilnya
kelereng merah pada pengambilan pertama dan terambil kelereng merah pada pengambilan
kedua.

Penyelesaian:
A = kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama
B = kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan kedua

10

Jumlah kelereng sebelum pengambilan pertama adalah 5 merah + 4 biru = 9 kelereng

Peluang terambilnya 1 kelereng merah pada pengambilan pertama adalah

( ) = 5
9

Jumlah kelereng sebelum pengambilan kedua adalah 4 merah + 4 biru = 8 kelereng

Peluang terambilnya 1 kelereng merah dengan syarat 1 kelereng merah sudah diambil ditulis

( ) = 4 = 1
8 2

Peluang terambilnya berturut-turut kelereng merah dan kelereng biru adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( ) = 5 × 1 = 5
9 2 18
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu dinotasikan dengan ( | )).

Jadi peluang terambilnya berturut-turut kelereng merah dan bola biru adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( | ) = 5 × 1 = 5
9 2 18

Ayo Simpulkan !

Maka dapat dituliskan:

 Peluang terjadinya kejadian B jika diketahui kejadian A telah terjadi, ditulis dengan
notasi ( | ),

 Jika A dan B dua kejadian bersyarat, sehingga diperoleh:
( ∩ ) = ( ) × ( | )

Ayo Amati ! Kondisi 2

Sebuah dadu bermata enam dilempar sekali. Kita akan menentukan kejadian munculnya
bilangan ganjil kalau pada percobaan itu telah diketahui bahwa kejadian yang muncul
hanyalah bilangan prima.

Alternatif Penyelesaian:

Dadu bermata enam dilempar sekali, maka
∙Ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∙Kejadian muncul bilangan ganjil adalah A = {1, 3, 5}

Karena telah diketahui yang muncul hanya bilangan prima maka

ruang sampel berubah menjadi B = {2, 3, 5}

Dari kejadian bilangan prima ini yang merupakan bilangan ganjil adalah kejadian {3, 5}

Ayo Amati !

Perhatikan diagram venn pada gambar diatas. Sekarang kita akan menentukan cara untuk
menghitung peluang kejadian bersyarat. Untuk itu, marilah simak kembali percobaan diatas !

11

Alternatif Penyelesaian:

Dadu bermata enam dilempar sekali, maka

Ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4,5 ,6}

Kejadian muncul bilangan ganjil adalah A = {1, 3, 5} ➔ P(A) = 3

Kejadian muncul bilangan prima adalah B = {2, 3, 5} ➔ P(B) = 3

Sedangkan kejadian A ∩ B = {3, 5} ➔ P(A ∩ B) = 2

Karena telah diketahui yang muncul hanya bilangan prima maka ruang sampel berubah

menjadi B = {2, 3, 5}.

Dalam ruang kejadian berikut ini, munculnya bilangan ganjil setelah munculnya bilangan prima

adalah A|B = {3, 5} ➔ P(A|B) = 23

Dari fakta bahwa P(A) = 3, P(B) = 3, P(A ∩ B) = 2, dan P(A|B) = 2, maka kita mendapatkan
66 6 3

hubungan.

2 = 3 x 2 atau 2 = 3 x 2
6 63 663

P(A ∩ B) = P(B) x P(A|B) P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A)

Ayo Menalar !

Berdasarkan hubungan terakhir yang ini, diperoleh peluang munculnya kejadian A dengan

kejadian B adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( | )➔ ( | ) = ( ∩ ) , dengan P(B) ≠ 0
( )

Ayo Simpulkan !

Definisi:
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A
akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B atau sebaliknya.
Rumus menghitung peluang kejadian bersyarat yaitu

( | ) = ( ∩ ) , ( ) ≠ 0
( )

Rumus menghitung peluang munculnya kejadian A dengan kejadian B adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( | )

12

Contoh Soal !

Untuk lebih memahami peluang dua kejadian bersyarat, perhatikan
contoh soal berikut ini:

Contoh 1
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. jika diambil 2 bola satu per
satu tanpa dikembalikan, tentukan peluang bola yang terambil itu berurut-turut bola merah
dan putih!

Penyelesaian:

A = kejadian terambilnya bola merah

B = kejadian terambilnya bola putih.

Jumlah bola sebelum pengambilan pertama adalah 4 merah + 2 putih = 6 bola

Peluang terambilnya 1 bola merah pada pengambilan pertama adalah

( ) = 4 = 2
6 3

Jumlah bola sebelum pengambilan kedua adalah 3 merah + 2 putih = 5 bola

Peluang terambilnya 1 bola putih dengan syarat bola merah sudah diambil ditulis

( | ) = 2
5

Jadi, peluang terambilnya berturut-turut bola merah dan bola putih adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( | ) = 2 × 2 = 4
3 5 15

Contoh 2
Sebuah dadu dilempar sekali tentukan peluang munculnya mata
dadu genap dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima
terlebih dahulu.

Alternatif Penyelesaian:
Misal:
A adalah kejadian munculnya mata dadu prima
B adalah kejadian munculnnya mata dadu genap dengan syarat munculnya kejadian mata dadu
prima terlebih dahulu
 Ruang sampel:

S ={1,2,3,4,5,6}, sehinga n(S) = 6
 Kejadian munculnyanya mata dadu prima:

A = {2,3,5}, sehingga n(A) = 3

13

Peluang kejadian A:

( ) = 3 = 1

62

 B Kejadian munculnnya mata dadu genap:

B = {2,4,6)

Sehingga irisannya ∩ = {2}, dengan n(A ∩ B) = 1

Peluang kejadian ( ∩ ) = ( ∩ ) = 1
( ) 6

 Jadi, peluang munculnya mata dadu genap dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima

lebih dahulu:

( ∩ ) 1 1 Ingat Rumus Kejadian Bersyarat !
( ) 3 ( ∩ ) = ( ) × ( | )
( | ) = = 6 =
1

2

→ ( | ) = ( ∩ )
( )

Peluang munculnya mata dadu genap dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima
lebih dahulu adalah 31.

14

Latihan Soal

 Peserta didik diminta untuk mengerjakan latihan soal agar dapat lebih mengasah
pemahamannya terkait materi yang telah diberikan

 Berikut link untuk latihan soal yang harus dikerjakan
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeK-

7M0jih8WnqzAqiTeoebJZIFgvDfB9yrfXGFtJSbrl1myg/viewform

15

Evaluasi

1. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Jika akan diambil 2 bola satu per satu
tanpa dikembalikan, tentukan peluang bola yang terambil itu berturut-turut berwarna
a. merah – biru;
b. biru – merah ;
c. biru – biru.

2. Ada sepuluh ekor kuda berlomba dalam sebuah pacuan. Tiap-tiap kuda diberi nomor 1
sampai dengan nomor 10. Tentukan peluang kuda bernomor 2, 5, dan 7 berturut-turut
keluar sebagai juara 1, juara 2, dan juara 3.

“Orang pesimis melihat kesulitan dalam setiap peluang, orang optimis melihat peluang
dalam setiap kesulitan”
-Sir Winston Churchill-

16

Rangkuman

Peluang Kejadian Bersyarat

Definisi:

Dua kejadian disebut kejadian bersyarat apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan

mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B atau sebaliknya.

Rumus menghitung peluang kejadian bersyarat yaitu

( | ) = ( ∩ ) , dengan P(B) ≠ 0
( )

Rumus menghitung peluang munculnya kejadian A dengan kejadian B adalah:

( ∩ ) = ( ) × ( | )

Keterangan: : Peluang terjadinya A dan B.
P(A ∩ B) : Peluang terjadinya A.
: Peluang terjadinya kejadian B setelah kejadian A terjadi.
P(A)

P(B|A)

“Dengan ilmu hidup menjadi mudah, dengan seni hidup menjadi indah, dengan ibadah
hidup menjadi terarah”
- Cahaya Kalbu -

17

Kunci Jawaban

1. -

a. Pada pengambilan pertama, tersedia 5 bola merah dari 9 bola. Peluang terambil bola merah

adalah
( ) = 5

9

Pada pengambilan kedua, tersedia 4 bola biru dari 8 bola. Ingat, satu bola merah telah diambil

pada pengambilan pertama. Peluang terambil bola biru dengan syarat bola merah telah diambil

pada pengambilan pertama adalah
( | ) = 4 = 1

82

Jadi, peluang terambil berturut-turut merah – biru adalah
( ∩ ) = ( ) × ( | ) = 5 × 1 = 5

9 2 18

b. Pada pengambilan pertama, tersedia 4 bola biru dari total 9 bola. Peluang terambil bola biru

adalah
( ) = 4

9

Pada pengambilan kedua, tersedia 5 bola merah dari 8 bola. Ingat, satu bola biru telah diambil

pada pengambilan pertama. Peluang terambil bola merah dengan syarat bola biru telah diambil

pada pengambilan pertama adalah
( | ) = 5

8

Jadi, peluang terambil berturut-turut biru – merah adalah
( ∩ ) = ( ) × ( | ) = 4 × 5 = 5

9 8 18

c. Pada pengambilan pertama, tersedia 4 bola biru dari total 9 bola. Peluang terambil bola biru

adalah
( ) = 4

9

Pada pengambilan kedua, tersedia 3 bola biru dari 8 bola. Ingat, satu bola biru telah diambil

pada pengambilan pertama. Peluang terambil bola biru kedua dengan syarat bola biru pertama

telah diambil pada pengambilan pertama adalah
( | ) = 3

8

Jadi, peluang terambil berturut-turut biru – biru adalah
( ∩ ) = ( ) × ( | ) = 4 × 3 = 1

98 6

2. Banyak cara agar 3 dari 10 ekor kuda memenangkan Ingat Rumus Permutasi !
lomba mementingkan urutan pemenang !
sebagai berikut.
= ( − )!

10! 10! 10 × 9 × 8 × 7!
10 3 = (10 − 3)! = 7! = 7! = 10 × 9 × 8 = 720

18

Hanya ada satu kemungkinan kuda bernomor Ingat Rumus Kejadian Sederhana !
2, 5, dan 7 berturut-turut keluar sebagai ( )

juara 1, juara 2, dan juara 3 sehingga ( ) = ( )
peluangnya adalah
( ) = 1

720

19

Daftar Pustaka

Noormandiri. 2017. Matematika Kelompok Peminatan MIA SMA kelas XI. Jakarta: Erlangga.
Kemendikbud. 2017. Buku Matematika Buku Guru Kelas XI Edisi Revisi 2017. Jakarta:

Kemendikbud.

20