E-Book LKPD Trigonometri

E-BOOK LKPD

MATEMATIKA

Memuat Materi
 Trigonometri

Dilengkapi Ringkasan Materi
dan Latihan Soal

i

E-Book LKPD Matematika untuk SMK Kelas X
Hak Cipta @ 2021 pada Klinik Etam
Disusun oleh : Muhammad Syarwani, S.Pd
E-Book ini dibuat untuk mempermudah siswa didalam
proses pembelajaran Matematika.

ii

Nama : Muhammad Syarwani, S.Pd

Agama : Islam

Tmpt & Tgl Lahir : Amuntai, 28 Februari 1994

Pendidikan Terakhir : S1 Pendidikan Matematika

Pekerjaan : Guru Matematika di SMKN 1 MM

Hobby : Olahraga Tenis Meja

iii

DAFTAR ISI

COVER

HAK CIPTA........................................................................................................ ii

PROFIL PENULIS ........................................................................................... iii

DAFTAR ISI ................................................................................................... iv

A. Definisi Trigonometri .................................................................. 1
B. Pengukuran Sudut dengan Ukuran Derajat dan Ukuran Radian

1. Definisi Sudut............................................................................ 1
2. Penamaan Sudut ........................................................................ 1
3. Ukuran sudut.............................................................................. 2
C. Perbandingan Trigonometri
1. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku .............. 3
2. Nilai Perbandingan Trigonometri pada sudut istimewa........... 6
3. Nilai Perbandingan Trigonometri Di Berbagai Kuadran........... 9
4. Rumus-rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi .... 11
D. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya ......................................... 13
E. Identitas Trigonometri............................................................... 14
F. Aturan Sinus dan Kosinus
1. Aturan Sinus ............................................................................................... 15
2. Aturan Cosinus........................................................................................... 18
G. Luas Segitiga Dengan Aturan Trigonometri.......................... 21
H. Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ........................ 24
I. Trigonometri Sudut Rangkap..................................................... 26

iv

A. Definisi Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani Trigonometri berasal
dari dua kata, yaitu trigono = berarti segitiga dan metri = ilmu
ukur.

Jadi trigonometri merupakan ilmu ukur segitiga.

B. Pengukuran Sudut dengan Ukuran Derajat dan Ukuran Radian

1. Definisi Sudut
Sudut adalah titik pertemuan antara dua ruas garis yang
saling bersilangan.

Contoh :




Gambar di atas merupakan ilustrasi sebuah sudut :

2. Penamaan Sudut
Nama sudut yang sering kita jumpai dalam trigonometri
seperti :

; ; ;

Keterangan: dibaca alpa
dibaca beta
dibaca gama
dibaca teta

1

3. Ukuran Sudut Dalam Derajat Dan Radian

Sudut dalam trigonometri, secara garis besar terbagi menjadi

tiga bagian yaitu sudut lancip ( ) , sudut tumpul

( ) dan sudut refleks ( ).

Adapun pengukuran sudut ada 2 macam yaitu :

a. Ukuran Derajat

=

=



= ′
′ = ′′

b. Ukuran Radian

Besar dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan

antara panjang busur AB dan jari-jari lingkaran.




= ×



Lambang : Rad ( )



Hubungan antara derajat dan radian yaitu :

= ⇒ =

= = ≈ ,

,

=



2

C. Perbandingan Trigonometri

Trigonometri merupakan nilai perbandingan sisi – sisi pada

sebuah segitiga sembarang maupun segitiga siku – siku. Adapun

keenam perbandingan trigonometri yaitu sinus ( ), cosinus

( ), tangen ( ), cosecan ( ) , secan ( ) dan

cotangen ( ).

1. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku.
Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut :

B Terhadap sudut A

ac Sisi a disebut sisi di depan sudut A
Sisi b disebut sisi di samping sudut A



C A Sisi c disebut hipotenusa / sisi miring.

b

Berdasarkan keterangan dan gambar di atas, perbandingan
trigonometri sudut A (besar sudut A = o ) didefinisikan sebagai

berikut :

a. Sin  = Sisi didepan sudut  = a (Sin de mi)
c (Cos sa mi)
Sisi miring (tan de sam)
b
b. Cos  = Sisi disamping sudut  = c
Sisi miring
a
c. tan  = Sisi didepan sudut  = b
Sisi disamping sudut
c
Sisi miring a

d. Cosec  = Sisi didepan sudut  = c
b
e. Sec  = Sisi Sisi miring  =
disamping sudut

3

Sisi disamping sudut  b
f. Cotan  = Sisi didepan sudut  = a

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

a. tan   sin  e. Cotan   1

cos  tan 

b. cot   cos  f. Sec   1

sin  cos

c. sec   1 g. Cosec   1

cos  sin 

d. csc  1

sin 

Lembar Kerja Siswa (LKS)

Pada gambar di samping segitiga sikusiku ABC

dengan panjang a  24 dan c  25.

Tentukan keenam perbandingan

trigonometri berikut: B
(1) sin 

(2) cos 

(3) tan  ac

(4) cosec 

(5) sec  
(6) catan  A

C
b

4

Penyelesaian:
Untuk menentuk keenam perbandingan trigonometri harus
diketahui terlebih dahulu panjang dari setiap sisi pada segitiga,
Dari soal diketahui panjang a = 24 dan panjang c = 25, sedangkan
panjang b masih belum diketahui, untuk menentukan panjang b
dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

b=√
=√
=√
=√
=7

Diperoleh b = 7.
(1) sin  = =

(2) cos  = =

(3) tan  = =

(4) cosec  = =

(5) sec  = =

(6) cotan  = =

5

LATIHAN SOAL B c
Pada gambar di samping segitiga sikusiku
ABC dengan panjang a  24 dan c  25.
Tentukan keenam perbandingan a
trigonometri berikut:
C A
1) sin b
2) cos
3) tan
4) sec
5) cosec
6) cotan

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya
dapat dicari tanpa memakai kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60,
dan 90.

Tabel Perbandingan Trigonometri Sudut – Sudut Istimewa

Perbandingan Sudut – sudut istimewa
Trigonometri

√√

√√
√√

6

Lembar Kerja Siswa(LKS):
(1) Tentukan hasil operasi dari trigonometri berikut
a) sin 300 + cos 450 =
b) sin 600 cos 300 + cos 600 sin 300 =
c) sin 600 + 4 tan 450 – cos 300 =

(2) Hitunglah nilai pada gambar berikut ini.
C

y

A B
Penyelesaian:
(1) Dengan menggunakan perbandingan sudut-sudut istimewa

pada tabel diperoleh.
a) sin 300 + cos 450 = + √

= (1+√ )

b) sin 600 cos 300 + cos 600 sin 300 = √ ( ) ( ) ( )

= 3+( )

=( )+
=
=
c) sin 600 + 4 tan 450 – cos 300 = ( ) + 4 ( ) – ( )
=

7

(2) untuk menentukan nilai x dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan tan 600 yaitu perbandingan sisi

depan (y) dan samping (x) pada , karena yang diketahui

Cuma panjang sisi yaitu 10, maka terlebih dahulu kita

harus menentukan nilai y dengan menggunakan persamaan sin

300 yaitu perbandingan sisi depan(y) dan miring (10).

sin 300 =

sin 300 ( ) = y
y = sin 300 10
y = ( ) 10
y=5
mencari nilai x.
tan 600 =

x=

x=

x= ×

√

x=
Jadi nilai x pada gambar tersebut adalah √

LATIHAN SOAL

1) Tentukan hasil operasi dari trigonometri berikut
a) sin 300 + cos 600 – tan 450 =
b) sin 900 + 3 cos 00 – 4 tan 600 cos 300 =

8

2) Adi melihat kearah puncak pohon dari jarak 10 m, dengan
sudut elevasi 600. Jika Adi melihat pophon dengan posisi
tiarap. Berapakah tinggi pohon yang dilihat Adi.

3. Nilai Perbandingan Trigonometri Di Berbagai Kuadran
Dalam trigonometri terdapat besaran putaran derajat dari 00
– 3600, dan putaran tersebut terbagi atas empat kuadran,
yaitu: kuadran pertama (I) dari 00 – 900, kuadran kedua(II)
dari 900 – 1800, kuadran ketiga(III) dari 1800 – 2700, dan
kuadran keempat(IV) dari 2700 – 3600. Sebagaimana diagram
berikut.

9

Berikut tabel nilai untuk perbandingan trigonometri dimasing-
masing kuadran.

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Cosec + + - -

Sec + - - +

Cotan + - + -

Atau dalam diagram seperti berikut.

10

4. Rumus-rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi.
Rumus perbandingan trigonometri sudut yang berelasi dapat
dirangkum sebagai berikut :
a. Rumus di kuadran I

Sin (90 - ) = Cos 

Cos (90 - ) = Sin 

tan (90 - ) = Cotan 

b. Rumus di kuadran II

Sin (90 + ) = Cos  Sin (180 - ) = Sin 

Cos (90 + ) = - Sin  atau Cos (180 - ) = - Cos 

tan (90 + ) = - Cotan  tan (180 - ) = - tan 

c. Rumus di kuadran III

Sin (180 + ) = - Sin  Sin (270 - ) = - Cos 

Cos (180 + ) = - Cos  atau Cos (270 - ) = - Sin 

Tan (180 + ) = tan  tan (270 - ) = Cotan 

d. Rumus di kuadran IV

Sin (270 + ) = - Cos  Sin (360 - ) = - Sin 

Cos (270 + ) = Sin  atau Cos (360 - ) = Cos 

tan (270 + ) = - Cotan  tan (360 - ) = - tan 

e. Rumus sudut negatif

Sin (- ) = - Sin 

Cos (- ) = Cos 

tan (- ) = - tan 

11

Lembar Kerja Siswa (LKS):

(1) Tentukan nilai trigonometri berikut.

a) sin 1350 d) cos 3300

b) cos 2100 e) sin 1200

c) tan 3150 f) - tan (-450)

Penyelesaian:

(1) untuk menentukan nilai trigonometri tersebut dapat

ditentukan dengan rumus sudut berelasi.

a) sin 1350 = sin ( 900 + 450 ) kuadran II

= cos 450

= .... kuadran III
b) cos 2100 = cos (1800 + .... )

= - cos ....

= .... kuadran IV
c) tan 3150 = tan (.... – .... )

= - tan ....

= .... kuadran IV
d) cos 3300 = cos (2700 + .... )

= sin ....

= .... kuadran II
e) sin 1200 = sin (.... – ....)

= sin ....

= .... kuadran IV
f) - tan (-450) = - ( - tan 450 )

= tan ....

= ....

12

LATIHAN SOAL

1) Tentukan nilai trigonometri berikut.

a) sin 2250 d) cos (-300)

b) cos 1500 e) sin 3000

c) tan 2400 f) tan 1350

D. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya

1. Fungsi Trigonometri
Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat
tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangen dari sudut
tersebut, sehingga perbandingan trigonometri merupakan suatu
pemetaan atau fungsi.

a. f : x  Sin x (dibaca : “f memetakkan x ke Sin x”) atau dapat
ditulis f (x) = Sin x

b. f : x  Cos x (dibaca : “f memetakkan x ke Cos x”) atau dapat
ditulis f(x) = Cos x

c. f : x  tan x (dibaca : “ f memetakkan x ke tan x”) atau dapat
ditulis f(x) = tan x

2. Grafik Fungsi Trigonometri grafik trigonometri dapat
Untuk menggambarkan sketsa
menggunakan tabel.

Grafik fungsi y = Sin x ( 0 < x < 360o)
Tabel :

x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

1 1 3 1 1 3 1 0 - 1 - 1 3 -1 - 1 3 - 1 0
Y = Sin x 0 2 2 2 22 22

2

13

Grafik sin x :

‘’’’’’’’’’’’’’’’’’’

Tugas Mandiri

(1) Buatlah table beserta grafiknya dari fungsi trigonometri

berikut y = cos x ( 0 < x < 360o)
a) Fungsi: y = tan x ( 0 < x < 360o)
b) Fungsi:

E. Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang
berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus
dasar :

Y P(x, y) Dari gambar di samping diperoleh

cos  x , sin  y dan r  x2  y 2 .

r rr

 y Sehingga sin2  + cos2  =
Ox X
=

=

=1
Jadi sin2  + cos2  = 1

14

Berdasarkan rumus tersebut dapat diperoleh identitas berikut:
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotan2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotan2x
Cotan2x = cosec2x – 1

F. Aturan Sinus dan Cosinus

Untuk menentukan unsur ( sudut , sisi ) suatu segitiga sembarang
digunakan rumus sinus dan kosinus berikut :

Perhatikan segitiga ABC berikut : C

C

ba

Ac BA B

Pada segitiga ABC diatas berlaku rumus/aturan sinus dan kosinus,

sebagai berikut :

1. Aturan Sinus
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai
berikut:

15

ab c
SinA SinB SinC

Aturan sinus berlaku jika syarat-syarat berikut terpenuhi:
a. Pada segitiga diketahui “panjang dua sisi dan besar satu

sudut” atau “besar dua sudut dan panjang satu sisi”
b. Salah satu panjang sisi dan besar sudut yang diketahui

harus berhadapan.
c. Jika yang dicari panjang sisi maka besar sudut yang

didepannya harus diketahui, dan jika besar sudut yang dicari
maka panjang sisi yang didepan nya harus diketahui.

Lembar Kerja Siswa(LKS).
(1) Diketahui segitiga ABC dengan besar A = 300, B = 450,

dan panjang sisi b = 12 cm. Tentukan panjang sisi a.
Penyelesaian:
Untuk mempermudah didalam menyelesaikan soal, terlebih
dahulu sketsakan gambar segitiga ABC seperti berikut.

Pada gambar terlihat bahwa aturan sinus berlaku pada soal
diatas.

16

Diketahui: A = 300
B = 450

b = 12 cm

Ditanya: a = ....

=

=

=

=

=

=√
=√

=
Jadi, Panjang sisi a adalah .... cm.

LATIHAN SOAL
1) Diketahui segitiga OPQ dengan besar O = 600, P = 450,

dan panjang sisi p = 20 cm. Tentukan panjang sisi o.
2) Diketahui segitiga ABC dengan besar A = 600, panjang sisi

a = 12 cm, dan panjang sisi b = 4√ cm. Tentukan besar B.

17

2. Aturan Cosinus

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan kosinus
sebagai berikut:

Aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi

a2 = b2 + c2 – 2bc cos 
b2 = a2 + c2 – 2ac cos 
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 

Catatan: Aturan ini berlaku pada segitiga untuk mencari
panjang sisi yang lain jika diketahui panjang dua sisi dan besar
sudut yang diapit oleh kedua panjang sisi yang diketahui.

Lembar Kerja Siswa(LKS)

(1) Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, dan A = 600.
Tentukan panjang BC.

Penyelesaian:

Untuk mempermudah didalam menyelesaikan soal, terlebih
dahulu sketsakan gambar segitiga ABC seperti berikut.

C

b = 5 cm a=?

600 c = 8 cm B
A

Pada gambar terlihat yang diketahui panjang dua sisi dan satu
sudut yang diapit, maka untuk penentukan BC digunakan aturan
cosinus.

18

Diketahui: b = 5 cm
c = 8 cm
A = 600

Ditanya: a = ....
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
a2 = ....2 + ....2 – 2(5)(8) cos 600
a2 = .... + 64 – ....
a2 = .... – 40
a2 = ....
a=7

Jadi panjang BC adalah .... cm.

Aturan kosinus untuk menentukan besar sudut

b2  c2  a2
Cos A = 2bc

a2  c2  b2
Cos B = 2ac

a2  b2  c2
Cos C = 2ab

Catatan: Aturan ini berlaku pada segitiga untuk mencari besar
sudut jika diketahui panjang dari ketiga sisi pada segitiga
tersebut.

19

Lembar Kerja Siswa(LKS):

(1) Diketahui segitiga ABC, AB = 16 cm, AC = 10 cm, dan BC =
14 cm. Tentukan besar A.

Penyelesaian:

(1) Diketahui: a = 14 cm
b = 10 cm
c = 16 cm

Ditanya: A = ....
b2  c2  a2

Cos A = 2bc

Cos A = ( )( )
Cos A =
Cos A =

Cos A =

A = arc cos ( )

A = ....
Jadi besar A adalah 600.

LATIHAN SOAL
1) Diketahui segitiga KLM dengan panjang sisi k = 7 cm, panjang

sisi m = 5 cm, dan L = 600. Tentukan panjang sisi l.
2) Diketahui segitiga PQR dengan panjang sisi p = 4, panjang

sisi q = 6, dan panjang sisi r = 8, tentukan besar R.

20

G. Luas Segitiga Dengan Menggunakan Aturan Trigonometri

1. Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit
diketahui.

L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B

Lembar Kerja Siswa(LKS):
(1) Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut

C = 450
Penyelesaian:

L = ½ a.b. sin C
= ½ (....)(....). sin 450

= 20 . ....
= ....
Jadi Luas segitiga tersebut adalah 10 2 cm2.

21

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak
diantara kedua sudut yang diketahui.

L  a2.sin B.sin C
2sin A

L  b2.sin A.sin C
2sin B

L  c2.sin A.sin B
2sin C

Lembar Kerja Siswa(LKS):
(1) Diketahui segitiga ABC dengan b = 10 cm, B = 1050 dan

C = 300. Tentukan luas segitiga ABC tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui: c = 10 cm

B = 1050
C = 300
Ditanya: Luas Segitiga.
Untuk menentukan luas segitiga harus diketahui ketiga
besar sudut dari segitiga tersebut, karena diketahui
jumlah besar sudut pada segitiga 1800, maka kita dapat
menentuka besar sudut A.
A = 1800 - 1050 - 300
= 450
Sehingga luas segitiga ABC adalah

L=

22

L=
( √) ( )

L= ( , )
L=

L= ,
L = 18,04
Jadi, luas segitiga tersebut adalah 18,04 cm2.

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui.

L  s.(s  a).(s  b).(s  c)

s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)

Lembar Kerja Siswa(LKS):

(1) Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4
cm, c = 5 cm.
Penyelesaian:
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
L=√ ( ) ( ) ( )
L=√ ( ) ( ) ( )
L=√ ( ) ( ) ( )
L=√
L = ....
Jadi Luas Segitiga ABC adalah .... cm2.

23

LATIHAN SOAL

1) Diketahui segitiga KLM dengan panjang sisi k = 10 cm,

panjang sisi m = 8 cm, dan L = 300. Tentukan luas segitiga

tersebut. C
2) Diketahui segitiga OPQ dengan p = 10 cm, B = 600 dan

= 450. Tentukan luas segitiga ABC tersebut.

3) Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 6 cm, b = 8 cm,

c = 10 cm

H. Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. cos ( + )  cos  cos   sin  sin 
2. cos (  )  cos  cos  + sin  sin 
3. sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 
4. sin (  )  sin  cos   cos  sin 

5. sin ( + ) =

6. sin ( - ) =

Lembar Kerja Siswa(LKS):
(1) Tentukan nilai dari trigonometri berikut

a) cos 150 =
b) sin 750 =
c) tan 1050 =

24

Penyelesaian
Dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut kita
dapat menyelesaiakn soal diatas.
a) cos 150 = cos (450 – 300)

= cos 450 cos 300 + sin 450 sin 300
= (....)(....) + (....)(....)
= .... √ + .... √
= ....( √ √ )
b) sin 750 = sin (450 + 300)
= sin (....) cos (....) + cos (....) sin (....)
= (....)(....) + (....)(....)
= .... √ + .... √
= ....( √ √ )

c) tan 1050 = tan ( 450 + 600)
() ()

= () ()

=
( )( )

= (√ √ )
√

25

LATIHAN SOAL
1) Tentukan nilai dari trigonometri berikut

a) cos 1050 =
b) sin 150 =
c) tan 150 =

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. sin 2 = 2 sin cos

2. cos 2 = cos2 – sin2

atau
cos 2 = 1 – 2 sin2

atau 1
cos 2 = 2 cos2

3. tan 2 =

Lembar Kerja Siswa(LKS):
(1) Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai trigonometri

berikut.
a) 8 sin 150 cos 150 =
b) 1 – 2 sin2 750 =

c) =

26

Penyelesaian:
a) 8 sin 150 cos 150 = .... 2 sin 150 cos 150

= 4 sin 2(....)
= 4 sin ....
=4
= ....
b) 1 – 2 sin2 750 = cos 2(750)
= cos (....)
= cos (.... + ....)
= - sin ....
= - ....
c) = tan .... (150)
= tan ....
= ....
LATIHAN SOAL
1) Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai trigonometri
berikut.

a) =

b) 12 sin 22,50 cos 22,50 =
c) 20 cos2 150 – 10 =

27