ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

เอกสารประกอบการเรียน
วิชา เสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ 3 (ค32201)
เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม

ครผู สู้ อน
นางสาวมินตรา โกพล

1|mintra kopol

บทท่ี 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ลและฟงั กช์ ันลอการทึ ึม

1.1 เลขยกกำลังทม่ี ีเลขช้กี ำลังเปน็ จำนวนเต็ม
บทนิยาม ถ้า a เปน็ จำนวนจริงใด ๆ และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก แลว้

an = a a a... a

n ตวั

เรยี ก a วา่ ฐานของเลขยกกำลัง

เรียก n ว่า เลขชี้กำลัง

บทนยิ าม ถ้า a เปน็ จำนวนจรงิ ท่ีไม่ใชศ่ ูนย์ a0 = 1

บทนยิ าม ถา้ a เป็นจำนวนจรงิ ท่ีไม่ใชศ่ ูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกแลว้ a−n = 1
an

สมบตั ิของเลขยกกำลังท่ีมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเตม็

ถ้า a, b เปน็ จำนวนจริง โดยที่ a  0,b  0 และ m, n เป็นจำนวนเตม็ แล้ว

1. am  an = am+n

2. am = am−n
an

3. (am )n = amn

4. (ab)n = an bn

5.  a n = an
b bn

ตวั อย่างที่ 1 จงทำ (x3y−2z4 )−3เปน็ รูปอยา่ งงา่ ยและเลขยกกำลังทุกจำนวนมเี ลขช้กี ำลงั เป็นจำนวนเตม็ บวก

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างที่ 2 จงทำ an an+1 เป็นรปู อยา่ งง่ายและเลขยกกำลงั ทุกจำนวนมีเลขช้ีกำลงั เปน็ จำนวนเต็มบวก

a2n

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2|mintra kopol

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงทำ 9n−1 152n+3 125n+4 เปน็ รปู อย่างง่ายและเลขยกกำลังทกุ จำนวนมเี ลขชกี้ ำลังเป็นจำนวน
เต็มบวก
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 เลขยกกำลงั ทม่ี เี ลขชกี้ ำลงั เป็นจำนวนตรรกยะ

บทนิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ n  2

ถา้ na เป็นจำนวนจริง แลว้ a 1 = n a
n

บทนยิ าม ถา้ a เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ และ m, n เปน็ จำนวนเตม็ โดยท่ี n  2

ถ้า na เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว a m = (a 1 )m = (n a)m หรอื amn = (am ) 1 = n am
n n n

ตวั อย่างที่ 4 จงทำ (27a3 ) 1 เป็นรปู อยา่ งงา่ ย เม่ือ a>0
6

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างที่ 5 จงทำ (8ab2 ) 1 เปน็ รูปอย่างง่าย เมื่อ a > 0, b > 0
3

(16a2b2 ) 1
4

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3|mintra kopol

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาคา่ ของ (32)7 4−17

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 7 จงทำ 3  2n − 4  2n−2 เปน็ รปู อย่างง่าย
2n − 2n−1

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาค่า x ของ 5x+1 + 5x = 750 เปน็ รปู อยา่ งง่าย เม่ือ a > 0, b > 0

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 9 จงทำ 4 x −2 − 4x−1 + 1 เป็นรูปอยา่ งง่ายและเลขยกกำลงั ทุกจำนวนมเี ลขชี้กำลงั เปน็ จำนวนเต็มบวก
2x − x−1
−2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4|mintra kopol

ตัวอยา่ งที่ 10 คำตอบของสมการ 3x+1 +32−x = 6 3 มคี ่าเทา่ กับเท่าใด [ วชิ าสามญั ]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 รากท่ี n ในระบบจำนวนจริงและจำนวนจรงิ ในรูปกรณฑ์
1.3.1 รากของจำนวนจรงิ
การเขียนเลขยกกำลงั เม่อื เลขช้ีกำลงั เปน็ จำนวนตรรกยะ สามารถทำไดโ้ ดยอาศัยความรู้เรอ่ื งรากท่ี n ของ

จำนวนจริง a
(ซง่ึ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n a ) และมบี ทนิยามดงั น้ี

บทนิยาม ให้ n เปน็ จำนวนเตม็ บวกทมี่ ากกว่า 1 a และ b เปน็ จำนวนจรงิ
b เปน็ รากที่ n ของ a กต็ อ่ เมือ่ bn = a
เรยี ก n a วา่ ค่ารากท่ี n ของ a หรอื กรณฑ์ที่ n ของ a

หมายเหตุ ถ้า n=2 จะเขยี นแทน 2 a ดว้ ย a

ในกรณที ่วั ไปมีข้อสรปุ เกยี่ วกับค่าหลกั ของรากที่ n ของจำนวนจริง a หรือ n a ดงั นี้
1. ถ้า a = 0, n a = 0
2. ถา้ a > 0 , n a เปน็ จำนวนเตม็ บวก
3. ถา้ a < 0 และ
3.1 n เปน็ จำนวนคี่ n a จะเปน็ จำนวนลบ
3.2 n เป็นจำนวนคู่ n a ไม่ใช่จำนวนจริง

5|mintra kopol

สมบัตขิ องรากท่ี n
ให้ a และ b เป็นจำนวนจรงิ m, n เปน็ จำนวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 1 และ a, b มรี ากที่ n
1. ( n a)n = a เม่อื n a เป็นจำนวนจรงิ
2. n ab = n a  n b

3. n a = n a , b  0
b n b

4. m n a = mn a

5. nk akp = n ap

1.3.2 การหาผลบวกและผลตา่ งของกรณฑ์

กรณฑ์ทม่ี ีอันดับเดียวกันและมีจำนวนภายใตเ้ คร่ืองหมายกรณฑ์เป็นจำนวนเดยี วกันจะบวกลบกนั ไดโ้ ดยใชส้ มบตั ิ

การแจกแจงของระบบจำนวนจรงิ

ตัวอยา่ งที่ 11 จงทำใหร้ ปู อย่างงา่ ย

1) 12 + 27 − 3 2) 3 2 + 32 − 4 64

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

3) 3 81 − 3 375 − 3 −192 4) 2 a4x + 3a2 4x − 9 a4x

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

5) 4 3+ 2 6) ( 72 − 3 5) + (3 20 + 50)
3 ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

6|mintra kopol

1.3.3 การหาผลคณู และผลหารของกรณฑ์

ในการหาผลคณู และผลหารของกรณฑ์ ถ้าอนั ดบั ของกรณฑ์ไม่เทา่ กนั ต้องทำให้อนั ดบั ของกรณฑเ์ ท่ากันเสียก่อนจงึ คูณ

หรอื หารกันได้ และใช้ทฤษฎีบทของกรณฑ์ ดังนี้

เมอ่ื a > 0 และ b > 0 จะได้

1. a  b = a b และ n a  n b = n a b 2. a = a และ na =n a
ตัวอยา่ งท่ี 12 จงทำให้อยใู่ นรปู อย่างง่าย b b nb b

1) 2 10  15 2) 3 a + b  3 a − b

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

3) (5 + 3 2)(5 − 3 2) 4) 5 3 2  7 3

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

5) 36 6) 2 1 3
34 2−

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

7|mintra kopol

1.3.4 การแก้สมการท่มี ีเคร่อื งหมายกรณฑ์อนั ดับสอง

ตวั อยา่ งที่ 13 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x + 3 = x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

ตวั อย่างที่ 14 จงหาเซตคำตอบของสมการ x + 7 − 8 − 2x = 1

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..............................

ตัวอย่างท่ี 15 จงหาเซตคำตอบของสมการตอ่ ไปน้ี

1) 2x − 3 = 5 2. 5x + 1 + 6 = 10

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

8|mintra kopol

3) 16x − 7 = 2x 4) − x2 + 21 = x + 3

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

5) 3x + 4 + 3x − 5 = 9 6. 4x + 1 − x − 2 = x + 3

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

9|mintra kopol

แบบฝึกหดั เพ่ิมเติม 1

1. จงทำใหเ้ ปน็ รูปอย่างง่ายและเลขยกกำลังทุกจำนวนมีเลขชีก้ ำลงั เป็นจำนวนเตม็ บวก

1.1) 2−33−5 1.2)  x −1 yz −2 −1
3−520  y −5 zx −8 
...................................................................................................  

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

...................................................................................................

1 x−3y2 −4 ( )( )1.4) b4b2
2 1 12b−8
( )1.3) 3

................................................................................................... ...................................................................................................
...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

...................................................................................................

...................................................................................................

...................................................................................................

2. จงทำให้เปน็ ผลสำเร็จ

2.1) 3 5( 10 + 2 5) 2.2) ( 3 + 2)( 3 − 2)

................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................

2.3) ( p + q + p − q)2 2.4) (3 a2 + b2 − 2 a2 − b2 )2

................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
................................................................................................... ...................................................................................................
.................................................................................................. ...................................................................................................

10 | m i n t r a k o p o l

3. จงหาจำนวนทีต่ ัวส่วนไมต่ ิดกรณฑ์ซ่งึ เท่ากับจำนวนต่อไปน้ี

3.1) 1 3.2) 2 1 3
3+ 6 2+

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

3.3) 9 40 7 3.4) 1
5−5 3+ 5+ 8

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

.................................................................................................. ..................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

.................................................................................................. ..................................................................................................

( )4. 3(5) 1 1 1 8 1
จงทำ 3 − 4(40) 3 + (1600) 6 − 10 25 3 เป็นรูปอย่างง่าย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………........................................................................................................................................
............................................................................................................................... ..........................................................................
...................................................................................................................................................................................... ...................
.........................................................................................................................................................................................................

11 | m i n t r a k o p o l

1.4 ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล (exponential function)

 ฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังกช์ ัน f = (x,y)R R y = ax ,a  0,a  1,aR

ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียลแบง่ เปน็ 2 กรณี คือ
กรณีที่ 1 เม่ือ 0  a  1

กราฟของฟังก์ชนั y = ax ,0  a  1 จะมีรปู ทั่วไปดงั น้ี

สิง่ ทที่ ราบจากกราฟ
1. เส้นกราฟผา่ นจดุ (0,1) และอยู่เหนือแกน X เสมอ

2. ฟงั ก์ชนั y = ax ,0  a  1 เป็นฟังกช์ นั ลด

ทำใหท้ ราบวา่

1) x1  x2 ก็ต่อเม่อื ax1  ax2
2) x1  x2 กต็ อ่ เม่อื ax1  ax2

**เคร่ืองหมายของอสมการจะต้องเปลย่ี น
กรณีที่ 2 เมื่อ a  1
กราฟของฟงั กช์ นั y = ax ,a  1 จะมีรปู ท่ัวไปดังนี้

สง่ิ ที่ทราบจากกราฟ
1. เสน้ กราฟผา่ นจดุ (0,1) และอยเู่ หนือแกน X เสมอ

2. ฟงั ก์ชนั y = ax ,a  1 เป็นฟังก์ชนั เพ่ิม

ทำให้ทราบวา่

1) x1  x2 ก็ต่อเม่อื ax1  ax2
2) x1  x2 ก็ตอ่ เม่อื ax1  ax2

**เครอ่ื งหมายของอสมการไม่ต้องเปลี่ยน

12 | m i n t r a k o p o l

ตวั อย่างที่ 16 จงพจิ ารณาว่าฟงั กช์ ันต่อไปน้ีเป็นฟงั กช์ นั ใดเปน็ ฟงั ก์ชนั เพิ่มหรือฟงั ก์ชนั ลด พรอ้ มทั้งเขียนกราฟ

1) y = 5x 2) y =  1 x
2

1.4.1 การเปรียบเทยี บคา่ ของเอกซโ์ พเนนเชยี ล
ตวั อย่างท่ี 17 จงเปรยี บเทียบคา่ ของ 243 ,234 ,432 ,423 โดยเรยี งลำดบั จากมากไปหาน้อย

**การเปรียบเทียบค่าของเอกซ์โพเนนเชยี ลทมี่ ฐี านแตกต่างกัน แตส่ ามารถทำให้เลขชี้กำลงั เหมอื นกันได้

หลกั การ แปลงเลขชก้ี ำลังใหเ้ ท่ากันและเป็นจำนวนบวก แลว้ ตรวจสอบฐานดงั น้ี

- ถา้ ฐานของตัวใดมากกว่าแล้ว ตัวนัน้ จะมีคา่ มากกวา่
- ถา้ ฐานของตัวใดนอ้ ยกว่าแล้ว ตวั น้ันจะมคี ่าน้อยกว่า

ตวั อย่างที่ 18 จงเปรียบเทียบคา่ ของ

1) 32.6 และ 22.6 2) 5−4 และ 3−4

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

3)  1 0.3 และ  1 0.3 4)  1 −1.5 และ  1 −3
2 3 3 2

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

13 | m i n t r a k o p o l

1.4.2 สมการเอกซโ์ พเนนเชียล

หลักการ กำหนดให้ a  0,a  1และ b  0,b  1

1. a = a กต็ อ่ เม่ือ  =  (พยายามทำฐานให้เท่ากนั )

2. ถา้ a = b และ a  b แล้ว  =  = 0 เทา่ นนั้

ตัวอย่างท่ี 19 จงหาเซตคำตอบของสมการตอ่ ไปน้ี

1) 32x+1 = 243 2) 2 1−x = 8
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
3) 0.25x = 64 4) 3x+4 = 1
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
5) 22x+1 = 4x  8x 6) 7x = 49x+1  3431−2x
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

1.4.3 อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล ใช้เทคนคิ เดยี วกบั การเปรียบเทียบค่าของเอกซ์โพเนนเชียลมาชว่ ยดังนี้

เม่อื 0  a  1 เมอื่ a  1

ax1  ax2 ก็ต่อเมื่อ x1  x2 ax1  ax2 ก็ต่อเมื่อ x1  x2
ax1  ax2 ก็ต่อเม่ือ x1  x2 ax1  ax2 ก็ต่อเมื่อ x1  x2
เคร่ืองหมายของอสมการจะตอ้ งเปลี่ยน เคร่อื งหมายของอสมการไม่ต้องเปลี่ยน

14 | m i n t r a k o p o l

ตัวอยา่ งท่ี 20 จงแก้อสมการตอ่ ไปนี้

1)  1 4 x  2 2) 52x−5  55x−6
2 …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... 4) 7x2−2x−8  7−3x+4
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
3) 43−x  64
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...

5)  1 x2 −3x+4   1 x+9 6)  1 x−5  27x+1
3 3 81

…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...

7) (0.0001)x2 −x−2  (0.001)x2 −x−2 8)  3 x+5   4 2x−1
4 3
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...

15 | m i n t r a k o p o l

แบบฝกึ หดั เพ่ิมเตมิ 2

1. จงหาคำตอบของสมการหรืออสมการต่อไปนี้

1.1 3x−3 = 243 1.2 22x+1 = 128

............................................................................................................................................ .................................................................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................................................................................
............................................................................................................................................ .................................................................................................................................................

1.3 41−x = 32 1.4 3x = 9−x+6

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

1.5 4 32x + 9  22x = 13 6x 1.6  1  = 32
 2 
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

1.7  1 2x   1 3 1.8 (0.1)2x  1
 2   16  (0.01)5

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

1.9 4x+1  2x−3 1.10 9x 8
22 x +1 81
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

16 | m i n t r a k o p o l

2. ถา้ f (x) = 2−x และ g(x) = 3x จงหาค่าของ

1. f (2) 2. g(3)
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………….
3. f (0) + g(0) 4. ( f g)(1)
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
5. (g f )(1)
…………………………………………………………………………………... 6. f (3)
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... g (2)
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………...

 3. กำหนดให้ แทนเซตของจำนวนจรงิ ถ้า A = x  32x+10 − 4(3x+6) + 27  0 แล้วเซต A เป็นสบั

เซตของชว่ งในขอ่ ใดต่อไปน้ี [PAT 1]

1. (−9,−4) 2. (−5,−2) 3. (−3,3) 4. (0,5) 5. (2,10)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………….................................................................................. ......................................................
.............................................................................................................. ...........................................................................................
.............................................................................................................................. ...........................................................................

17 | m i n t r a k o p o l

1.5 ฟังก์ชนั ลอการทิ มึ (logarithmic function)

 เนอ่ื งจากฟงั ก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชียล f = (x,y)R R y = ax ,a  0,a  1,aR เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหนึ่งจาก

R ไปท่ัวถึง R+ ดังนัน้ อินเวอร์สของฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ลจงึ เปน็ ฟังกช์ ันหนง่ึ ต่อหนึ่งจาก R+ ไป R คอื

 f−1 = (x,y)R R x = ay ,a  0,a  1,aR

จาก x = ay สามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรูป y = f(x) ไดโ้ ดยกำหนดให้ y = loga x ซึง่ อ่านวา่ “ลอการทิ ึมเอกซฐ์ านเอ”
หรอื “ลอ็ กเอกซ์ฐานเอ” ดังน้ันฟังก์ชนั ผกผนั ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ลจงึ เขยี นใหม่ได้เปน็

 (x,y)R R y = loga x,a  0,a  1,aR

ฟังกช์ ันลอการิทึมแบ่งเป็น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 เม่ือ 0  a  1

กราฟของฟงั กช์ นั y = loga x ,0  a  1 จะมรี ปู ทั่วไปดังนี้

สิ่งทท่ี ราบจากกราฟ

1. เสน้ กราฟผา่ นจดุ (1,0) และอยู่ฝ่ังแกน X ที่เป็นบวกเสมอ

2. ฟงั กช์ ัน y = loga x ,0  a  1 เปน็ ฟังกช์ ันลด

ทำให้ทราบวา่

1) x1  x2 ก็ต่อเม่อื loga x1  loga x2
2) x1  x2 กต็ ่อเม่อื loga x1  loga x2

**เครอ่ื งหมายของอสมการจะตอ้ งเปล่ียน

กรณที ่ี 2 เมื่อ a  1

กราฟของฟังกช์ นั y = loga x ,a  1 จะมีรปู ท่ัวไปดังนี้

สิ่งท่ที ราบจากกราฟ

1. เสน้ กราฟผ่านจุด (1,0) และอยู่ฝ่งั แกน X ทเี่ ป็นบวกเสมอ

2. ฟงั กช์ ัน y = loga x ,a  1 เป็นฟังก์ชันเพ่ิม

ทำให้ทราบวา่

1) x1  x2 กต็ ่อเม่อื loga x1  loga x2
2) x1  x2 กต็ ่อเม่อื loga x1  loga x2

**เคร่อื งหมายของอสมการไม่ต้องเปล่ียน

18 | m i n t r a k o p o l

1.5.1 สมบัติของลอการทิ มึ

1. loga 1 = 0 7. logb a =1 ,b  1 และ b>0
loga b
2. loga a = 1

3. loga MN = loga M + loga N 8. loga M = logb M
logb a
4. loga M = loga M − loga N
N 9. aloga x = x
5. loga Mk = k loga M

6. logak M = 1 loga M
k

ตัวอย่างที่ 21 จงหาค่าของ loga x เม่อื กำหนด a และ x ให้ดังน้ี

1. x = 125 , a = 5 2. x = 3 3 , a = 3

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

ตวั อย่างท่ี 22 จงหาค่าของ

1. log4 2 + log4 32 2. log2 80 − log2 5

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3. log4 864 −log4 27− log4 2 4. 7log7 3 − log4 64 + log25 125

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

19 | m i n t r a k o p o l

1.5.2 สมการลอการทิ มึ

หลกั การท่วั ไป

1. แปลงรูปสมการให้สมการท่ี log เทอมเดยี ว แล้วเปลี่ยนรูปลอการิทึมใหเ้ ป็นรูปเลขยกกำลงั โดยใช้สมบตั ิ

loga x = y  x = ay

2. ใช้สมบตั กิ ารเป็นฟงั กช์ นั 1-1 คอื สำหรับจำนวนจรงิ บวก x1 , x2 ทกุ ตวั เมือ่ a >0 และ a  1 แลว้
loga x1 =loga x2  x1 = x2

**3. ต้องตรวจสอบคำตอบท่ีไดว้ า่ ทำใหส้ มการเปน็ จริง และ loga x หาค่าไดต้ ามนยิ ามหรือไม่
loga x หาคา่ ได้ก็ตอ่ เมอื่ x > 0 , a > 0 และ a  1

ตัวอยา่ งที่ 23 จงหาคำตอบของสมการตอ่ ไปน้ี

1. xlog x = 100x 2. log(4 − 3x − x2 ) − log(1 − x) = 0

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

3. log(2x − 5) + log(x + 1) = log(x2 − x + 3) 4. log(3x + 2) = log(x −1) +1

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

5. log9 (x − 5) + log9 (x + 3) = 1 6. (log2 x)2 + 8log16 x − 3 = 0
…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

20 | m i n t r a k o p o l

1.5.3 สมการลอการิทมึ

หลกั การทว่ั ไปในการแก้อสมการลอการิทึมนนั้ จะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกบั ฟงั ก์ชนั ลดและฟังก์ชันเพิ่มมาช่วยในการแก้อสมการ

คอื

1. ถ้า a  1 แลว้ loga x  loga y ก็ตอ่ เมือ่ x  y
2. ถ้า 0  a  1 แล้ว loga x  loga y กต็ ่อเมื่อ x  y

loga x  loga y กต็ อ่ เม่ือ x  y
** การแก้อสมการจะตอ้ งตรวจคำตอบท่ไี ด้ว่า loga x เป็นไปตามบทนิยาม คอื x  0,a  0 และ a  1 หรอื ไม่
ตวั อยา่ งท่ี 24 จงหาคำตอบของอสมการต่อไปนี้

1. log 24 (x2 − 2x)  2 2. log5 (2x + 4)  log5 (5x + 3)
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

3. log1 (2x − 4)  log1 (x + 1) 4.  1 log2 (x2 +2)   1 log2 (4x−1)
3 3
33

……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

21 | m i n t r a k o p o l

แบบฝกึ หัดเพิม่ เตมิ 3

1. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

1.1) log(3x + 5) + 3 = log(2x +1) 1.2) log(x + 2) − log(x +1) = 3

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

1.3) log x =1− log(x − 9) 1.4) log2(log3 x) = 4
................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

................................................................................................... ...................................................................................................

2. กำหนด logy x + 4logx y = 4 แล้ว logy x3 มีค่าเท่ากบั เท่าใด [PAT 1]
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………..................................................................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………….....................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................ ................................................

22 | m i n t r a k o p o l

1.5.4 ลอการทิ ึมสามัญ

ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการทิ ึมทม่ี ีฐานเป็น 10

การเขียนลอการทิ ึมสามญั นิยมเขียนโดยไม่มฐี านกำกับ คือ log10 N เขียนแทนดว้ ย logN

ถา้ N = N0 10n โดยที่ 1 N0 10 และ n เปน็ จำนวนเตม็

จะได้ logN = log(N0 10n ) จากสมการ logN = logN0 + n
เรยี ก logN0 ว่า แมนทิสซา ของ logN
= logN0 + log10n เรยี ก n วา่ แคแรกเทอริสตกิ ของ logN
= logN0 + nlog10

ดงั นั้น logN = logN0 + n

ตัวอย่างท่ี 25 กำหนด log6.81 = 0.8331 จงหาคา่ N ที่กำหนดให้

1. logN = 2.8331 2. logN = −3.1669

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 26 กำหนด logN = 2.5159,log3.28 = 0.5159 และ logM = 3.7566,log5.71 = 0.7566แลว้ M + Nมคี า่ เทา่ ใด

............................................................................................................................. ...................................................................................
............................................................................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................ ....................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................................................................

ตวั อย่างท่ี 27 กำหนด log 2 = 0.301 แล้ว −10log 1 มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด
5

............................................................................................................................. ...................................................................................
................................................................................................................................. ...............................................................................
................................................................................................................................................................................. ...............................
................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................................................................................

23 | m i n t r a k o p o l

1.5.5 แอนติลอการทิ ึม
ถา้ logN = K แล้ว N จะเรยี กวา่ แอนตลิ อการิทึมของ logN และเขียนสั้นๆ ว่า antilog(K)
แสดงว่า N = antilog(K) = 10K

ตวั อย่างที่ 28 กำหนด log1.15 = 0.0607 จงหาค่าของ antilog(0.0607)
............................................................................................................................. ...................................................................................
............................................................................................................................................................................. ...................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................ ......................................................................................

ตัวอย่างท่ี 29 กำหนด antilog(0.06184) =1.153 จงหาค่าของ N เมอ่ื logN = 4.06184
............................................................................................................ ........................................................................ ............................
............................................................................................................................. ...................................................................................
................................................................................................................................................. ...............................................................
................................................................................................................................................................................................. ...............
..............................................................................................................................................................................................................
ตวั อย่างที่ 30 จงหาคา่ ของ antilog(8log2 − log129)
...................................................................................................................................................................................................... ..........
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................ ......................................................................... .......................................
............................................................................................................................. ...................................................................................
...................................................................................................................................... ........................................................................
........................................................................................... .............................................................................................................. ......

24 | m i n t r a k o p o l

1.5.6 ลอการทิ ึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติ หมายถึง ลอการิทึมทม่ี ฐี านเปน็ e โดยที่ e เป็นสญั ลกั ษณแ์ ทนจำนวนอตรรกยะจำนวนหน่ึงซง่ึ มี
คา่ ประมาณ 2.7181218 ซึ่งแสดงวา่ loge x ก็คือ ลอการิทมึ ธรรมชาติ

การเขียนลอการิทึมธรรมชาตหิ รือลอการิทึมของ x ฐาน e นิยมเขียน lnx แทน loge x
เราอาจหาค่าลอการิทมึ ฐาน e โดยอาศัยลอการทิ มึ ฐานสิบไดด้ งั น้ี

ln x = log x โดยที่ log e = 0.4343
log e

ตัวอย่างที่ 31 จงหาคา่ ของ ln114 และ ln0.324
................................................................................................................................................................. ...............................................
................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................ ................................................................................................................
............................................................................................................................. ...................................................................................
............................................................................................................................. ...............................................................................
................................................................................................................................................................................... .........................

ตวั อย่างท่ี 32 จงหาค่าของ

1. ln3 −ln6 + ln2 2. eln7

……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

ตัวอย่างที่ 33 กำหนดให้ log3 = 0.4771จงหาคา่ ของ antilog  ln5  − log 3
ln10

............................................................................................................................. ...................................................................................

.................................................................................................................................................... ............................................................

.................................................................................................................................................................................................... ............

................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................... .........................................................................................