hafta_11_çarpanlara_ayırma-219-246

ÇARPANLARA AYIRMA

ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK - 1
Afla€›daki ifadeleri ortak çarpan parantezlerine
‹çerisinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenlerin alarak çarpanlara ay›r›n›z.
her de€eri için daima do€ru olan eflitliklere özdefllik a) 2x + 2y + 4z
denir. b) x2 + 2x
c) 5x – 10y
Örne€in; d) 3x – 3y + 9
5x – 10 = 5(x – 2) eflitli€i bir özdeflliktir.
(x + y)2 = x2 + xy + y2 eflitli€i bir özdefllik de€ildir. a) 2x + 2y + 4z = 2(x + y + 2z)
Çünkü x = 2 ve y = 1 seçildi€inde, b) x2 + 2x = x(x + 2)
(2 + 1)2 = 22 + 2.1 + 12 c) 5x – 10y = 5(x – 2y)
d) 3x – 3y + 9 = 3(x – y + 3)
32 = 4 + 2 + 1
9 ≠7 oldu€undan özdefllik belirtmez. ÖRNEK - 2
g(x) ≠ 1 , h(x) ≠ 1 olmak üzere, 2x3 – 4x2 + 6x
ifadesini çarpanlara ay›r›n›z.
f(x) = g(x).h(x) fleklinde yaz›labiliyorsa,
2x3 – 4x2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan
f(x) çarpanlar›na ayr›lm›fl olur. g(x) ve h(x), f(x) in çar- 2x tir.
panlarıdır. 2x(x2 – 2x + 3)

Örne€in;
x2 + x = x.(x + 1) oldu€u düflünüldü€ünde,
f(x) g(x) h(x)
x2 + x in çarpanlar›na ayr›lm›fl şekli x.(x + 1) dir.
Ancak
x2 + x + 2 = x(x + 1) + 2 ise iki fonksiyonun çarp›m›
fleklinde yaz›lamad›€›ndan çarpanlar›na ayr›lm›fl ol-
maz.

ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI ÖRNEK - 3
8a2b – 12ab2
1- Ortak Çarpan Parantezine Alma: ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Toplam ya da fark durumundaki ifadelerin hepsinde 8a2b – 12ab2 ifadesindeki her terimdeki ortak çarpan
ayn› terim varsa, o terimi di€erleri ile çarp›m fleklinde 4ab dir.
yazabiliriz. 4ab(2a – 3b)

f(x).g(x) " f(x).h(x) = f(x)9g(x) " h(x)C

219

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA 2- Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:
Bir fonksiyonun her teriminde ortak çarpan yoksa,
ÖRNEK - 4 ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilir ve ortak
6ab3 + 4a2b2 – 8ab çarpan parantezine alınır.
ifadesini çarpanlara ay›r›n›z. ax + ay + bx + by
ifadesinde ilk iki terim a ortak parantezine son iki terim
6ab3 + 4a2b2 – 8ab ifadesindeki her terimdeki ortak b ortak parantezine alındığında,
çarpan 2ab dir. a(x + y) + b(x + y)
x + y ortak çarpan parantezine alındığında
2ab(3b2 + 2ab – 4) (x + y)(a + b) elde edilir.

ÖRNEK - 5 ÖRNEK - 6
519.800 – 519.790
işleminin sonucu kaçtır? ab + 2a + 3b + 6
ifadesini çarpanlara ayırınız.

519 .800 – 519.790 ifadesinde ortak terim 519 dur. ab + 2a + 3b + 6 ilk iki terim a ve son iki terim 3 pa-
519(800 – 790) rantezine alınırsa,
a(b + 2) + 3(b + 2)
519.10 = 5190 bulunur. b + 2 ortak çarpan parantezine alındığında
(b + 2)(a + 3)
KURAL
a – b = – (– a + b) = – (b – a) ÖRNEK - 7
x2 + 2x – xy – 2y
Örne€in; ifadesini çarpanlara ayırınız.

5 – y = – (y –5)
x – y – z = – (y + z – x)
15 – x2 = – (x2 – 15)
x2 – y2 = – (y2 – x2) dir.

KURAL

(a – b)2 = (b – a)2

Örne€in; x2 + 2x – xy – 2y
(5 – x)2 = (x – 5)2 x(x + 2) – y(x + 2)
(a – b – c)2 = (b + c – a)2 (x + 2)(x – y)
(x2 – y2)2 = (y2 – x2)2
220
YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 8 I. yol:
4a(b2 + 1) + b(16 + a2) x2 + xz + xy + yz
ifadesini çarpanlara ayırınız.
x(x + z) + y(x + z)
4a(b2+1) + b(16 +a2) (x + z)(x + y)

4ab2+4a + 16b+ba2 (x + z) yi bulmak için x + y = 6 ve y – z = 9 denklem-
4b(ab + 4) + a(4 + ab) lerini taraf tarafa çıkarırsak.
(4 + ab).(4b + a)
x+y=6
ÖRNEK - 9 y–z=9
(a – b)2 . (b – c) – (c – b)2 .(b – a) x + z = – 3 bulunur.
ifadesini çarpanlara ayırınız.
(x + z)(x + y) = – 18 bulunur.
(a – b)2 = (b – a)2 –3 6
(c – b)2 = (b – c)2 dir.
(b – a)2 (b – c) – (b – c)2 (b – a) II. yol:
(b – a)(b – c)[b – a – (b – c)]
(b – a)(b – c)(c – a) Bu tip sorularda soruda verilen eflitlikleri sa€layacak
flekilde de€iflkenlere rastgele say›lar verilebilir.
ÖRNEK - 10
x+y=6 x + y = 962 x = 6 ,y =0,z = – 9 olsun.
y–z=9 y – z =
olduğuna göre, x2 + xz + xy + yz işleminin sonucu
kaçtır? x2 + xz + xy + yz = 62 + 6.(– 9) + 6.0 + 0.(– 9)

= 36 – 54
= – 18 bulunur.

(2012 LYS – 1)

x(y + z) + z(y – x)

x2 + xy + xz + yz

ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?

A) x y C) z
x+y B) x + y x+z
yy
D) x + y E) y + z

x(y + z) + z(y – x) xy + xz + yz – xz
x2 + xy + xz + yz = x (x + y) + z (x + y)

y (x + z) y
= (x + y) (x + z) = x + y

Cevap : D

221

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

3- Özdeşliklerden Yararlanılarak Çarpanlara Ayırma: ÖRNEK - 11
2032 – 2012 işleminin sonucu kaçtır?
Bilinmeyene verilen özel değerler için sağlanan eşit-
liklere denklem, bilinmeyene verilen her değer için 2032 – 2012 = (203 – 201)(203 + 201)
sağlanan eşitliklere özdeşlik denir. = 2 . 404
= 808 bulunur.
Örne€in;

3x – 9 = 0 eşitliği

3x = 9

x = 3 için sağlandığından denklemdir.

Ancak
x2 – y2 = (x – y)(x + y) eşitliği her x, y reel sayısı için
sağlandığından özdeşliktir.

ÖRNEK - 12

İki Kare Farkı Özdeşliğinden 10012 –1 işleminin sonucu kaçtır?
Yararlanılarak Çarpanlara Ayırma 1002

KURAL

A2 – B2 = (A – B).(A + B) a1001– 1ka1001 + 1k 1000. 1002

1002 = = 1000
1002

Örne€in; ÖRNEK - 13

✰✰ a2 – 1 = a2 – 12 = (a – 1)(a + 1) a2982 – 982k– 200.392
✰✰ x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2)(x + 2) 2.a = 16

✰✰ x2 – (y + 3)2 = (x – y – 3)(x + y + 3) olduğuna göre, a kaçtır?
✰✰ (2x + 1)2 – (x – 5)2 = (2x + 1 – x + 5)(2x + 1 + x – 5)

= (x + 6)(3x – 4)

✰✰ 64y2 – 25x2 = (8y)2 – (5x)2 = (8y – 5x)(8y + 5x)

✰✰ 4x2 – 1 = (2x) 2 – f 1 2 = f2x – 1 pf2x + 1 a298 – 98ka298 + 98k – 200.392
16 4 4 4p 2.a = 16
p

✰✰ x2 – 5 = x2–a 5k2 = ax – 5kax + 5k 200.396 – 200.392 = 16
2.a

✰✰ a – b = a ak2–a bk2 = a a – bka a + bk 200a396 – 392k
2.a = 16
✰✰ (a3 – b)(a3 + b) = (a3)2 – b2 = a6 – b2
200 . 4 = 32a

✰✰ a x – yka x + yk = a x 2 – y2 = x – y2 200.4 = 32 .a
32 32
k

✰✰ (a2 – 3)(a2 + 3) = (a2)2 – 32 = a4 – 9 a = 25 bulunur.

222

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

✰✰ 1 –2 2 = f 1 2 1 .2 3 + a2 2
f3 3 3
3p p –2. 3k

ÖRNEK - 14

4x – 25 = 69 = 1 – 43 + 12
2x – 5 9 3

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? ✰✰ f2x – 32 = a2xk2 – 2.2x. 3 + f 3 2
xp x x
p

= 4x2 – 12 + 9
x2

= 4x2 + 9 – 12
x2
4x – 25 = (2x)2 – (5)2 = (2x – 5) (2x+ 5)

4x – 25 = 69
2x – 5

(2x – 5) (2x + 5) = 69

2x – 5

2x + 5 = 69
2x = 64

x = 6 bulunur.

Tamkare Özdeşliğinden Yararlanılarak ÖRNEK - 15
Çarpanlara Ayırma:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 x = 1 ve y= 3 olduğuna göre,
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2 4 8

x2 + 2xy + y2
x2 – 2xy + y2 ifadesinin değeri kaçtır?

x2+ 2xy + y2 = (x + y)2

KURAL x2 – 2xy + y2 = (x – y)2

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 x2 + 2xy + y2 ax + yk2 x+y 2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2 x2 – 2xy + y2 = ax – yk2 = f x – y p dir.

x ve y değerlerini yazdığımızda,

Örne€in; J 1 + 3 N2 = J 5 N2
Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulalım. K 4 – 8 O K 8 O
K 1 3 O K –1 O
✰✰ (x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 K 4 8 O K 8 O
= x2 + 10x + 25 KK OO KK OO
L P L P

= (– 5)2 = 25 bulunur.

223

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA (x – 3) 2 + (2y + 1)2 + 3 = 3
\ \0
ÖRNEK - 16
4a2 – 12ab + 9b2 0
ifadesini tam kare şeklinde yazınız.
x2 + 4y2 – 6x + 4y + 13 ifadesinin en küçük değeri

3' tür.

4a2 – 12ab + 9b2 (2012 LYS – 1)

(2a)2 (3b)2 x ve y gerçel sayıları için,

Çarpımlarının x2 – 4y = – 7
iki katı ortadaki y2 – 2x = 2
terimi verdiğinden
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
4a2 – 12ab + 9b2 = (2a – 3b)2 dir.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 4 E) 5
3 3

ÖRNEK - 17 x2 – 4y = – 7
x2 – 4y2 + 2x + 1 + y2 – 2x = 2
ifadesini çarpanlara ayırınız.
x2 – 4y + y2 – 2x = – 5
x2 – 4y2 + 2x + 1 = x2 + 2x + 1 – 4y2
= (x + 1)2 – (2y)2 x2 – 2x + y2 – 4y + 5 = 0
= (x + 1 – 2y)(x + 1 + 2y)
= (x – 2y + 1)(x + 2y + 1) 1+4
x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 0
ÖRNEK - 18 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 0
x ve y gerçel sayılar olmak üzere,
x2 + 4y2 – 6x + 4y + 13 00
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
x–1=0 , y–2=0
x2 + 4y2 – 6x + 4y + 13
x=1 , y=2
9+1+3
x + y = 1 + 2 = 3 bulunur.
= x2 – 6x + 9 + 4y2 + 4y + 1 + 3
= (x – 3)2 + (2y + 1)2 + 3 Cevap : A
(x – 3)2 ve (2y + 1)2 nin alabileceği en küçük değer
sıfır olduğundan, ÖRNEK - 19
216 + 29 + 1
işleminin sonucu kaçtır?

a28k2 + 2.28 .1 + 12 = a28 + 2

1k

= 28 + 1

= 257 dir.

224

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 20 ÖRNEK - 22

142 + 1 x– 1 =5 olduğuna göre, x2 + 1 nin eşiti
144 x x2

işleminin sonucu kaçtır? kaçtır?

142 = a olsun. 144 = a + 2 olur. x2 + 1 yi bulmak için, x– 1 =5 ifadesinde her iki
x2 x
1 1 a2 + 2a + 1
142 + 144 = a+ a+2 = a+2 tarafın karesini alalım.

(a + 1) 2 fx – 1 2 = (5) 2
= a+2 x
= a+1 p

a+2 x2 – 2.x. 1 + 1 = 25
x x2
a = 142 yazıldığında
x2 + 1 = 25 + 2
= 142 + 1 = 143 = 143 bulunur. x2
142 + 2 144 12
1
x2 + x2 = 27 bulunur.

ÖRNEK - 23

x+ 3 =7 olduğuna göre, x2 + 9 nin eşiti kaçtır?
x x2

ÖRNEK - 21 x+ 3 =7 her iki tarafın karesini alalım.
a + b = 10 x
a.b = 7
olduğuna göre, a2 + b2 kaçtır? fx + 32 = (7) 2
xp
a + b = 10 (her iki tarafın karesini alalım)
(a+b)2 = (10)2 a2 + b2 + 2 ab = 100 x2 + 2.x. 3 + 9 = 49
x x2
U7
a2 + b2 = 86 bulunur. x2 + 6 + 9 = 49
x2
YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası
x2 + 9 = 43 bulunur.
x2

225

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 24 ÖRNEK - 26

x2 – 4x + 5 = 0 olduğuna göre, x2 + 25 kaçtır? x+ x 1 =7 ise, ax – 2k2 + 1 kaçtır?
x2 –2 – 2k2
ax

x2 – 4x + 5 = 0 denkleminde eşitliğin her iki tarafını x x+ x 1 =7 eşitliğin her iki tarafından 2 çıkardığı-
ile böldüğümüzde, –2

x2 mızda,
x
– 4x + 5 = 0 x –2+ 1 = 7–2
x x x –2
x

x – 4+ 5 =0 x – 2+ 1 = 5 eşitliğin her iki tarafının karesi alın-
x x–2

x+ 5 =4 her iki tarafın karesini alalım. dığında,
x
2
fx + 52 = 42 fx – 2+ x 1 = (5) 2
xp – 2p

x2 + 2.x. 5 + 25 = 16 ax – 2k2 + 2.ax – 2k 1 + 1 = 25
x x2 – 2k – 2k2
ax ax

x2 + 25 = 16 – 10 = x2 + 25 =6 bulunur. ax – 2k2 + 1 = 23 bulunur.
x2 x2 – 2k2
ax

ÖRNEK - 25

1 1 ÖRNEK - 27
2x x2
x– =5 olduğuna göre, 4x2 + eşiti kaçtır?

x+ 1 =3 olduğuna göre, x – 1 in eşitini bulalım.
x x

x– 1 = 5 eşitliğinde her iki tarafını 2 ile çarpalım.
2x

2x – 1 = 10 elde ettiğimiz eşitliğin her iki tarafının I. yol:
x

karesini alalım. x+ 1 =3 eşitliğinin her iki tarafının karesini alalım.
x
f2x – 1 2 = (10) 2
x 1 1
p x2 + 2.x. x x2

+ =9

4x2 – 2.2x. 1 + 1 = 100 1
x x2 x2
x2 + =7 bulunur.
1
4x2 + x2 = 100 + 4

4x2 + 1 x– 1 =A olsun. Her iki tarafın karesini aldığımız-
x2 x
= 104 bulunur.
da,

226

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

x2 – 2.x. 1 + 1 = A2 ÖRNEK - 28
x x2
a + b – c = 12
x2– 2 + 1 = A2 dir. ab – ac – bc = – 13 olduğuna göre,
x2 a2 + b2 + c2 kaçtır?

fx2 + 1 = 7 oldu¤undanp a + b – c = 12 eşitliğinin her iki tarafının karesini ala-
x2 lım.
(a + b – c)2 = 122
7 – 2 = A2 a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) = 144

A2 = 5 – 13
A = " 5 bulunur. a2 + b2 + c2 – 26 = 144
a2 + b2 + c2 = 144 + 26
II. yol: a2 + b2 + c2 = 170 dir.

KURAL

(A + B)2 = (A – B)2 + 4AB
(A – B)2 = (A + B)2 – 4AB

(A – B)2 = (A + B)2 – 4AB İki Küp Toplamı veya İki Küp
Farkı ÖzdeşliğindenYararlanılarak
A=x ,B= 1 alındığında
x Çarpanlara Ayırma

dx – 1 2 = dx + 1 2 – 4.x . 1 KURAL
x x x A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
n n A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

dx – 1 2 = 32 – 4 Örne€in;
x
n ✰✰ x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x+ 22)
= (x + 2)(x2 – 2x + 4)
dx – 1 2 = 5
x ✰✰ x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 32)
n = (x – 3)(x2 + 3x + 9)

x– 1 =" 5 bulunur. ✰✰ 125 – 64y3 = 53 – (4y)3
x = (5 – 4y)(52 + 5.4y + (4y)2)
= (5 – 4y)(25 + 20y + 16y2)
KURAL
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) ✰✰ 54a3b9 – 2 = 2(27a3b9 – 1) = 2(33a3(b3)3 – 1)
(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(–AB – AC + BC) = 2((3ab3)3 – 1)
= 2(3ab3 – 1)((3ab3)2 + 3ab3 + 1)
Örne€in; = 2(3ab3 – 1)(9a2b6 + 3ab3 + 1)
(3x – y + z)2 = 9x2 + y2+ z2 + 2(– 3xy + 3xz – yz)
(2x – 3y + z)2 = 4x2 + 9y2 + z2 + 2(– 6xy + 2xz – 3yz)
(x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(–xy – xz + yz)

227

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 29 (2011 YGS)

a – b = 5 , a.b = 5 Birbirinden farklı a ve b sayıları için
olduğuna göre, a3 – b3 kaçtır?
a2 – b2 =b–a
b a

olduğuna göre, a + b ifadesinin değeri kaçtır?
b a

(a – b)2 = (5)2 A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 4

a2 + b2 – 2 ab = 25 35
U5

a2 + b2 = 35

a2 – b2 =b–a
b a
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a) (b)
\5 U5
a3 – b3
a.b =b–a

= 5 . 40 = 200 bulunur. a3 – b3 = (b – a) . ab

ÖRNEK - 30 (a – b).(a2 + ab + b2) = (b – a).ab
–1

x+ 1 =4 olduğuna göre, x3 + 1 kaçtır? a2 + ab + b2 = – ab
x x3
a2 + b2= –2ab

a + b = a2 + b2 = –2ab = –2
b a ab ab
(a) (b)
Cevap : A
1 1 1 1
x3 + x3 = fx + x pfx2 – x. x +
x2 p

= fx + 1 pfx2 + 1 – 1p
x x2

4 (2011 LYS – 1)

x2 + 1 yi bulabilmek için x+ 1 =4 eflitli€inde her t3 – 2 = 0 olduğuna göre, 1 ifadesinin t
x2 x t2 + t + 1

türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

taraf›n karesini alal›m. A) t + 1 B) t – 2 C) t – 1

fx + 12 = (4) 2 D) t2 + 1 E) t2 + 3
xp

x2 + 2. x . 1 + 1 = 16
x x2

x2 + 1 = 14 t3 – 2 = 0
x2 t3 – 1 – 1= 0
t3 – 1 = 1
x3 + 1 = fx + 1 pfx2 + 1 – 1p a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) olduğundan
x3 x x2 t3 – 1 = (t – 1)(t2 + t + 1) = 1

= 4(14 – 1) t–1= 1
t2 + t + 1
= 4.13
Cevap : C
x3 + 1 = 52 bulunur.
x3

228

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK - 33

ÖRNEK - 31 8a + 1 = 17
20033 + 1 4a – 2a + 1

20032 – 2002 oldu€una göre, a kaçt›r?
iflleminin sonucu kaçt›r?

2003 = a olsun. 2002 = a – 1 olur. a2ak3 + 1
a2ak2 – 2a + 1 = 17
a3 + 1 = a3 + 13 – aa + 1kaa2 – a + 1k
a2 – aa – 1k a2 – a + 1 a2 – a + 1

=a+1 2a = x olsun.

a yerine 2003 yazd›€›m›zda, x3 + 1 = 17
= 2003 + 1 x2 – x + 1
= 2004 bulunur.
ax + 1kax2 – x + 1k

x2 – x + 1 = 17

x + 1 = 17
x = 16

x = 2a olduğundan,
2a = 16

a = 4 bulunur.

ÖRNEK - 32 ÖRNEK - 34

1 x≠2 ve x3 = 8 olmak üzere,
3 36 – 3 6 + 1
iflleminin efliti nedir?

x2 + 2x + 13 işleminin sonucu kaçt›r?

3 6 = a olsun. 3 36 = a2 olur.

3 36 1 6 +1 = 1 x3 = 8
–3 a2 – a + 1 x3 – 8 = 0
x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 d›r.
(pay ve paydayı a + 1 ile çarpalım.) x – 2 ≠ 0 oldu€undan x2 + 2x + 4 = 0 olmal›d›r.
x2 + 2x + 4 = 0 ise,
a+1 = a+1 = 3 6 +1 x2 + 2x = – 4 tür.
(a2 – a + 1) (a + 1) a3 + 1 (3 6 ) 3 + 1
x2 + 2x + 13 = – 4 + 13
3 6 +1 bulunur. –4
7 = 9 bulunur.

229

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 35 ÖRNEK - 37
x4 + 64 ifadesini çarpanlara ayırınız.
a2 + a + 1 = 0 olduğuna göre, a2014 ün a türünden
eşiti nedir?

a2 + a + 1 = 0 eşitliğinde her iki tarafı (a – 1) ile (x2 + 8)2 = x4 + 64 + 16x2
çarpalım. verilen ifadeye 16x2 ekleyip, çıkaralım.
(a – 1)(a2 + a + 1) = 0 (a – 1) x4 + 64 + 16 x2 – 16x2
x4 + 16x2 + 64 – 16x2
a3 –1 = 0 (x2 + 8)2 – (4x)2
a3 = 1 dir. İki kare farkı özdeşliğinden,
(x2 + 8 – 4x)(x2 + 8 + 4x)
a2014 = a.(a3)671 O halde,
= a.(1)671 x4 + 64 = (x2 – 4x + 8)(x2 + 4x + 8)

= a bulunur.

Terim Ekleyip Çıkararak ÖRNEK - 38
Çarpanlara Ayırma x4 + 5x2 + 9 ifadesini çarpanlara ayırınız.

Terim eklenerek ifade tam kare yapılır, aynı terim
çıkarılarak iki kare farkı elde edilir.

ÖRNEK - 36 (x2 + 3)2 = x4 + 6x2 + 9
x4 + x2 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
verilen ifadeye x2 ekleyip çıkaralım.
x4 + x2 + 1 ifadesinin tam kare olması için ortadaki x4 + 5x2 + 9 + x2 – x2
terimin 2x2 olması gerekir. Bu nedenle ifadeye x2 ek- x4 + 6x2 + 9 – x2
leyip, x2 çıkaralım. (x2 + 3)2 – x2 (ifadesi iki kare farkı özdeşliğinden)
(x2 + 3 – x)(x2 + 3 + x) olur. O halde,
x4 + 5x2 + 9 = (x2 – x + 3)(x2 + x + 3) tür.

x4 + x2 + 1 + x2 – x2 KURAL
x4 + 2x2 + 1 – x2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(x2 + 1)2 – x2 (iki kare farkı özdeşliğinden) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(x2 + 1 – x)(x2 + 1 + x) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
O halde, a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
x4 + x2 + 1 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
230
YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK - 42
ÖRNEK - 39 f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 7 fonksiyonunun
(3x – 2y)3 ifadesinin açılımını yapınız. x = 3 5 – 1 için aldığı değer kaçtır?

(3x – 2y)3 =(3x)3–3.(3x)2(2y)+3.(3x).(2y)2 – (2y)3 f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 7
= 27x3 – 54x2 y + 36xy2 – 8y3 1+6

ÖRNEK - 40 f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 + 6
(3a + b)3 ifadesinin açılımını yapınız.
f(x) = (x + 1)3 + 6 fonksiyonunda x yerine 3 5 – 1
(3a + b) 3 = (3a) 3 + 3. (3a) 2 b + 3. (3a) .b2 + b3
= 27a3 + 27a2b + 9ab2 + b3 yazdığımızda,

fa3 5 – 1k = a3 5 3

– 1+ 1k + 6

= a3 3

5k + 6

= 5 + 6 = 11 bulunur.

ÖRNEK - 43

x+ 1 =5 ise x3 + 1 ün değeri kaçtır?
x x3

ÖRNEK - 41 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a ve b reel sayı
a3 + 3a2b = 2 a=x ve b= 1 alındığında
b3 + 3ab2 = 6 x
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
dx + 13 = x3 + 3x2 1 + 3x 1 + 1
a3 + 3a2b = 2 xn x x2 x3
+ b3 + 3ab2 = 6
dx + 13 = x3 + 3x + 3 + 1
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 8 xn x x3
(a + b)3 = 23 olduğuna göre, a + b = 2 bulunur.
fx + 1 3 = x3 + 1 + 3fx +\5 1x p
YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası \5 x x3
p

53 = x3 + 1 + 15
x3

x3 + 1 = 110 bulunur.
x3

231

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 44 ÖRNEK - 46
a – b = 4 , a.b = 5 olduğuna göre, a3 – b3 kaçtır?
a = 5 olduğuna göre,
3 a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
= 43 + 3.5.4
(a – 2)3 + 3(a – 2)2 + 3(a – 2) + 1 = 64 + 60
ifadesinin değeri kaçtır? = 124 bulunur.

a – 2 = x olsun.
x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3
x yerine a – 2 yazdığımızda
(a – 2 + 1)3 = (a – 1)3 olur.

a = 5 için
3

= f 5 3
3
– 1p

= f 2 3 = 8 dir.
3 27
p

(2012 LYS – 1)

x ve y pozitif gerçel sayıları için
x.y = 5
x2 + y2 = 15

olduğuna göre, x3 + y3 ifadesinin değeri kaçtır?

ÖRNEK - 45 A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 75
a + b = 5 , a.b = 9 olduğuna göre, a3+ b3 kaçtır?
(x+y)2 = x2 + y2 + 2 xy
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) 15 5
= 53 – 3 . 9 . 5
= 125 – 135 (x + y)2 = 25
= – 10 bulunur. x + y = 5 olur.
x3 + y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y)

= 53 – 3.5.5
= 125 – 75 = 50 bulunur.

Cevap : C

232

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 47 KURAL
n tek ise,
x+ 1 =5 olduğuna göre, x3 + 1 kaçtır? an + bn = (a+b)(an–1 – an–2.b+an–3b2 – an–4b3+... +bn–1)
x x3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) Örne€in;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
(x) 3 + d 1 3 = dx + 1 3 – 3.x 1 dx + 1 n a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)
x x x x
n n

= 53 – 3.5 a ≠ 0 olmak üzere, ax2+ bx + c üç terimlisinin çar-
= 125 – 15 panlara ayrılması:
= 110 bulunur.
ax2 + bx + c üç terimlisinde
KURAL
an – bn = (a – b)(an–1+ an–2.b+ an–3.b2 +...+bn–1)

① a = 1 ise,

x2 + bx + c ifadesinde c = m.n
xm
Örne€in; xn b = m + n olmak üzere,

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) x2 + bx + c = (x+m)(x+n) dir.
a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
Örne€in;
ÖRNEK - 48 ✰✰ x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
a6 – b6 açılımını yapınız.
x –3
x –2

Kuralı uyguladığımızda, ✰✰ x2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3)
a6 – b6 = (a – b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5) tir. x –4
x +3
İkinci yol olarak,
a6 – b6 = (a2)3 – (b2)3 = (a2 – b2)(a4+ a2b2+ b4) ✰✰ x2 + 8x – 33 = (x + 11)(x – 3)
x + 11
= (a – b)(a + b)(a4+a2b2+b4) x –3

Üçüncü yol olarak, ② ax2 + bx + c üç terimlisinde,
a6 – b6 = (a3)2 – (b3)2 = (a3 – b3)(a3+b3)
a ≠ 1 ise,
= (a – b)(a2+ab +b2)(a+b)(a2–ab+b2)
şeklinde yazılabilir. ax2 + bx + c = (px + m)(kx + n)
px m
kx n

a = p.k olmak üzere,
c = m.n
b = p.n + m.k

ax2 + bx + c = (px + m).(kx + n) dir.

233

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK - 52
6a2 – 5ab – 6b2 ifadesini çarpanlara ayırınız.
ÖRNEK - 49
2x2 – 7x + 3 üç terimlisini çarpanlara ay›rınız.

2x2 – 7x + 3 6a2 – 5ab – 6b2 (ortadaki terimi verdiğinden)
2x – 1 2a – 3b
1.x – 3 3a 2b

2.(– 3) + 1.(– 1) = – 7 (ortadaki terimi verdiğinden) 2.2 + (– 3).3 = – 5
2x2 – 7x + 3 = (2x – 1)(x – 3) tür.
6a2 – 5ab – 6b2 = (2a – 3b)(3a + 2b) dir.

ÖRNEK - 50
8x2 – 18x + 7 ifadesini çarpanlara ayırınız.

8x2 – 18x + 7
4x – 7

2x – 1

2.(– 7) + (– 1)(4) = – 18 (ortadaki terimi verdiğin-
den)

8x2 – 18x + 7 = (4x – 7)(2x – 1) dir.

ÖRNEK - 51 ÖRNEK - 53
45x2 – 3x – 6 ifadesini çarpanlara ayırınız.
(a – 4)2 + 2(a – 4) – 8 ifadesinde çarpanlarına ayı-
rınız.

45x2 – 3x – 6 (a – 4)2 + 2(a – 4) – 8 ifadesinde
9x + 3 a – 4 = x olsun.
5x – 2 x2 + 2x – 8 = (x + 4)(x – 2)
(– 2).9 + 3.5 = – 3 (ortadaki terimi verdiğinden) x +4
45x2 – 3x – 6 = (9x + 3)(5x – 2) x –2
x yerine a – 4 yazıldığında
= 3(3x + 1)(5x – 2) dir. = (a – 4 + 4)(a – 4 – 2)
= a (a – 6)
YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası
234

ÇARPANLARA AYIRMA

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ÖRNEK - 56

TANIM: x2 – 6x + 5 : x2 – 4x + 3

P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak x2 – 1 x2 + x – 2
üzere,
ifadesinin en sade şeklini bulunuz.

P (x) biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler
Q (x)
denir.

ÖRNEK - 54 x2 – 6x + 5 : x2 – 4x + 3
x2 – 1 x2 + x – 2
x2 – 3x – 4
x2 – 1 ax – 5kax – 1k ax – 3kax – 1k

ifadesinin en sade halini yazınız. =:
ax – 1kax + 1k ax + 2kax – 1k

x –5 : x – 3
x +1 x + 2

x2 – 3x – 4 = (x – 4)(x + 1) = x–5 $ x+2
x –4 x+1 x–3
x1
= x2 – 3x – 10 bulunur.
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) x2 – 2x – 3

x2 – 3x – 4 = ax – 4kax + 1k
x2 – 1 ax – 1kax + 1k

= x–4 bulunur. ÖRNEK - 57
x –1
x3 – 27 x2 – 16
x2 + 3x + 9 – x+4

ÖRNEK - 55 ifadesinin değeri kaçtır?

x2 – 9 : x–3
2x2 + 2x x+1

kesrinin sadeleşmiş şeklini bulunuz. x3 – 27 = (x – 3)(x2 + 3x + 9)
x2 – 16 = (x – 4)(x + 4) tür.

ax – 3kax2 + 3x + 9k ax – 4kax + 4k

x2 – 9 x–3 ax – 3kax + 3k x+1 x2 + 3x + 9 – x+4
2x2 + 2x x+1 2xax + 1k x–3
: = $

x – 3 – (x – 4) = x – 3 – x + 4

= x+3 bulunur. = 1 bulunur.
2x

235

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 58 x2 + mx – 3
(x – 2) (x + 1)
2x 2 1
x2 – 9 + x2 + 3x – x–3 ifadesinde paydadaki x – 2 ve x + 1 çarpanlarını 0
yapan değerler yukarıdaki ifadeyi de 0 yapar.

işleminin en sade şeklini bulunuz. x–2=0
x = 2 için,
22 + 2m – 3 = 0

4 + 2m – 3 = 0

2m = – 1

2x + 2 – 1 m = – 1
x2 – 9 x2 + 3x x–3 2

x+1=0

2x + 2 – 1 x = – 1 için, (– 1)2 + (– 1).m – 3 = 0
_x – 3i_x + 3i x_x + 3i _x – 3i
1–m–3=0

(x) (x – 3) x.(x + 3) m=–2

= 2x2 + 2x – 6 – x2 – 3x = x2 – x – 6 O halde, m'nin alabileceği değerler çarpımı,

xax – 3kax + 3k xax – 3kax + 3k – 2.f– 1 p = 1
2

= (x – 3) (x + 2) = x+2
x (x – 3) (x + 3) x (x + 3)

ÖRNEK - 60

53x + 5– 3x : 5x + 5– x
52x + 5–2x – 1 5x – 5– x

en sade şeklini bulunuz.

ÖRNEK - 59 5x = a
5– x = b olsun.
x2 + mx – 3
x2 – x – 2 a3 + b3
a2 + b2 – 1
kesri sadeleşebiliyorsa m'nin alabileceği değerler
çarpımı kaçtır?

: a+b
a–b

aa + bkaa2 – ab + b2k a – b
x2 + mx – 3 $ a+b
x2 – x – 2 sadeleşebilen bir kesir ise, a2 + b2 – 1

a.b = 5x . 5– x = 50 = 1 olduğundan,

x2 + mx – 3 ifadesi x2 – x – 2 nin çarpanlarından en aa + bkaa2 – 1 + b2k a – b$
az birine tam bölünmelidir.

x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) a2 + b2 – 1 a+b
x –2
x1 =a–b
= 5x – 5– x bulunur.

236

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA ÖRNEK - 62

ÖRNEK - 61 11 11
fx 20 – 1pfx 20 + 1p.fx 10 + 1pfx 5 + 1p
1
2
3 4 + 1 = x olduğuna göre,
x5–1
11 ifadesinin en sade fleklini bulunuz.

f3 8 – 1p.f3 8 + 1p

1

f3 2 – 1p
ifadesinin x türünden eşitini bulunuz.

(a – b)(a + b) = a2 – b2 özdeflli€ini kullanal›m.

(a – b)(a + b) = a2 – b2 özdeşliğini kullanalım. 11 11
fx 20 – 1pfx 20 + 1p.fx 10 + 1pfx 5 + 1p

11 12 2
f3 8 – 1p.f3 8 + 1p f3 8 p – 1
x5–1

1 =1 J 12 N 1 1
32 –1 K O 10
f3 2 – 1p KKfx 20 p – 1OOfx + 1pfx 5 + 1p

11 =L P

2
x5–1
34 –1 34 –1 1
= 1 = 1 11
12 1 1
f3 4 + 1p fx 10 – 1p.fx 10 + 1pfx 5 + 1p
f3 4 p – 1 – 1p . f3 4 34 +1 =2

1 x5–1

3 4 + 1 = x oldu€undan J 12 N
K O1
KKfx 10 p – 1OOfx 5 + 1p 11
1 =L P
x fx 5 – 1pfx 5 + 1p
2
= bulunur. =2

x5–1 x5–1

12 2
dx 5 n – 1 x 5 – 1
= = 1dir.
2
2
x5 –1
x5 –1

237

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA

ÖRNEK - 63

y y – 1p + x fx x – 1p Bir zamanlar, bir genç herkes gibi evlenmek isti-
x y +y yordu. Bu niyetini ailesine açtığında, babası ona
fx + y şöyle dedi:
“Elbette oğlum, elbette evlenebilirsin. Bana ken-
ifadesinin en sade şeklini bulunuz. di alınterinle kazandığın bir altını getirdiğinde,
seni hemen evlendireceğim.”
y y – 1p + x fx x – 1p ilk önce parantez içlerini Delikanlı babasının bu sözlerine gülümsedi. Ne
x y +y kadar da kolay bir sınavdı bu böyle! Ertesi gün,
fx + y istenilen altın lirayı götürüp gururla babasının
avucuna koydu. Babası hiçbir şey söylemeden,
düzenleyelim. altını evlerinin yanından akan nehre fırlattı.
Çocuk, altının düştüğü nehre şaşkınlıkla bir-iki
y y – x – y x x – x – y p saniye baktıktan sonra, babasına döndü ve sor-
x x + y y x + y du:
f p+ f “Şimdi evlenebilirim, değil mi babacığım?
Babası başını iki yana salladı:
= y –x x –y
x y “Hayır oğlum. Sana kendi alınterin ve emeğinle
fx + y p+ fx + y p kazandığın bir altın getirmeni söylemiştim. Bu
altını sen kazanmamışsın ki.”
= –y + –x Genç delikanlı babasının gerçeği nasıl keşfetti-
x+y x+y ğini anlayamamıştı. Sahiden de, parayı bir arka-
daşından ödünç almıştı. Ertesi gün bu defa an-
– ay + xk nesinden bir altın borç aldı ve parayı babasına
= = –1 götürdü.
Babası altını aldı ve yine nehre fırlattı. Çocuk bir
x+y kez daha şaşırmıştı:

ÖRNEK - 64 “Bunu niye yapıyorsun baba, anlamadım. Ama
işte sana bir altın getirdim, artık evlenebilir mi-
x2 + ax + b $ x2 + 5x – 6 = x+5 yim?”
x2 + 8x + 12 x2 – 1 x+3 Babası bu defa da izin vermedi oğluna:
“Bu altını da sen kazanmamışsın!”
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? Delikanlı babasının yanından ayrıldıktan sonra,
uzun uzun düşündü. Başkasından borç alıp gel-
x2 + ax + b ax – 1kax + 6k x+5 diğinde babası parayı yine nehre atacaktı; ve bu
$= gidişle evlenemeyecekti. O yüzden, genç adam
ax + 6kax + 2k ax – 1kax + 1k ax + 2k bir iş bulup çalışmaya ve altınını kendi emeğiyle
kazanmaya karar verdi.
x2 + ax + b = x + 5 Günler geçti ve kazandığı bir altını babasına
ax + 2kax + 1k x + 2 götürdü. Babası her zamanki gibi parayı nehre
atmaya hazırlanıyordu ki, oğlu can havliyle ba-
x2 + ax + b = (x + 1)(x + 5) basının kolunu tuttu ve bağırmaya başladı:
x2 + ax + b = x2 + 6x + 5
“Hayır baba! O altını nehre atamazsın! Onu ka-
a+b=6+5 zanmak için günlerce çalıştım ve sırtım ağrılar
= 11 dir. içinde kaldı!”

Babası, yüzünde ışıltılı bir gülümseme ile, elini
oğlunun omzuna koydu ve:

“Oğlum işte şimdi evlenebilirsin” dedi. “Çünkü,
emeğinin karşılığı olan bu paranın değerini artık
biliyorsun ve eminim ki onu akıllıca harcayacak-
sın.”

238

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası

ÇARPANLARA AYIRMA TEST
1

1. xy2 – yx2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli 5. 6a2b3 – 3ab2 ifadesinin çarpanlarından biri
aşağıdakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) xy(x – y) B) xy(y – x) C) xy(x + y) A) 3a B) ab C) 3ab2

D) xy(y – 1) E) xy(x – 1) D) a2b E) 2ab – 1

2. 9xy – 3x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli 6. 5a(x – 2) – 5b(x – 2) ifadesinin çarpanlarından
aşağıdakilerden hangisidir? biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) x – 2 B) a – b C) 5a – 5b

A) 3x(3y – 2) B) 3xy(3x – 1) D) 2 – x E) 2 + x

C) x(3y – 1) D) 3x(3y – 1)

E) 3xy(x – 1)

3. 10x2y3 – 5xy2 2xy2 – 2yx2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 7. xy ifadesinin en sade hali aşağıda-

kilerden hangisidir?

A) 0 B) 2 C) x – y

A) xy(10xy – 1) B) xy(10xy – y) D) 2(y – x) E) 2x – y

C) 5x2y(2xy2 – y) D) 5xy(2xy2 – 1)

E) 5xy2(2xy – 1)

4. a2 b3c4 + a5 b c3 8. x2 – 6x ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
2x – 12
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağı-
dakilerden hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir?

A) abc(ab2c3 + abc2) A) 2 B) 1 C) x
B) abc(ab2c3 + a3c2) 2 2
C) a2bc3(b2c + a2)
D) a2bc3(b2c + a3) D) 2x E) 2x – 3
E) ab2c3(a + a4)

239

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 1. B 2. D 3. E 4. D 5. D 6. E 7. D 8. C

ÇARPANLARA AYIRMA TEST
1

x2 – xy 13. ax + ay + bx + by
9. y2 – xy ifadesinin en sade hali aşağıdakiler-
ifdesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşa-
den hangisidir? ğıdakilerden hangisidir?

A) x B) – x C) xy A) (a – b)(x – y) B) (a + b)(x + y)
y y
x+y x–y
D) x – y E) x + y
C) (a – b)(x + y) D) (a + b)(x – y)

E) (a + b + x).y

10. 9a2 – 3a ifadesinin en sade hali aşağıdaki-
1– 3a
14. a3 + a2 + a + 1
lerden hangisidir?
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağı-
dakilerden hangisidir?

A) – 3a B) – a C) – 3a – 1

D) 1 E) 3a A) (a2+ 1)(a –1) B) (a2 + 1)(a + 1)

C) (a2 – 1)(a – 1) D) (a + 1)2.(a – 1)

E) (a2 + a + 1).a

11. 2x – 6 ifadesinin en sade hali aşağıdakiler-
x2 – 3x
15. x3 + 4x2 + 2x + 8 ifadesinin çarpanlarından biri
den hangisidir? aşağıdakilerden hangisidir?

A) x B) 2x C) 3 A) x + 2 B) x + 8 C) x2 + 2
x
D) x2 + 4 E) x2 + 8
D) 2 E) – 2
x x

12. 83.19 + 17.19 işleminin sonucu kaçtır? 16. x – y = 8
50 y – z = 6 olmak üzere,
xy – xz – y2 + yz ifadesinin değeri kaçtır?
A) 19 B) 24 C) 38 D) 190 E) 275
A) 24 B) 36 C) 48 D) 52 E) 60

240

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 9. B 10. A 11. D 12. C 13. B 14. B 15. C 16. C

ÇARPANLARA AYIRMA (Tam Kare Özdeşliği) TEST
2

1. a + b = 6 5. x = 1448 y = 1444
a.b = 4 olduğuna göre, (x + y)2 – 4xy ifadesinin değeri
olduğuna göre, a2 + b2 kaçtır? kaçtır?

A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28 A) 0 B) 16 C) 64 D) 81 E) 125

2. a = 8 , b = 1 6. (a + 3b)2 – 12ab = 36
3 3
olduğuna göre, a – 3b nin pozitif değeri
olduğuna göre, a2 – 4ab + 4b2 kaçtır? kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 9 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

3. x2 + y2 = 39 7. a + b = 5 a.b = 4
x.y = 5 olduğuna göre, a + b kaçtır?
olduğuna göre, x + y nin pozitif değeri kaçtır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

4. x = 2 7 + 5 olduğuna göre, 8. a + b = 3 , a.b = 1
x2 – 10x + 25 ifadesinin değeri kaçtır? olduğuna göre, a4 + b4 kaçtır?
A) 15 B) 25 C) 35 D) 45 E) 47
A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 36

241

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 1. E 2. C 3. D 4. D 5. B 6. C 7. E 8. E

ÇARPANLARA AYIRMA (Tam Kare Özdeşliği) TEST
2

9. a + b = 5 ve a.b = 3 13. a ve b pozitif gerçel sayılardır.

a – b aşağıdakilerden hangisi olabilir? 1 + 1 = 3 ve a.b=2
a b

A) 3 B) 2 3 C) 13 olduğuna göre, a2+ b2 çarpımı kaçtır?

D) 3 2 E) 19

A) 17 B) 24 C) 32 D) 40 E) 54

10. 2a + 2–a = 3 14. x2 + y2 – 8y + 16 = 0
olduğuna göre,
denklemini sağlayan x ve y reel sayılarının
16a + 16–a nın değeri kaçtır? çarpımları kaçtır?

A) 7 B) 9 C) 16 D) 47 E) 49 A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

11. 2x – 3 =1 olduğuna göre, 15. x ve y pozitif reel sayılardır.
x 9x2 + y2 = 39 veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi verilirse
x.y nin değeri bulunabilir?

4x2 + 9 toplamı kaçtır? A) 2x + y B) 2x – y C) x + 3y
x2
D) 3x – y E) 2x – 3y

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

12. a2 + b2 = 2ab olduğuna göre, (a2 – b2 + 5) ifa- 16. a + b + c = 10
desinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ab + ac + bc = 15
olduğuna göre, a2 + b2 + c2 kaçtır?
A) – 3 B) – 1 C) 0 D) 5 E) 7
A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90

242

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 9. C 10. D 11. E 12. D 13. C 14. A 15. D 16. C

ÇARPANLARA AYIRMA (İki Kare Farkı Özdeşliği) TEST
3

1. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 5. x = 52, 5 ve y = 47, 5
olduğuna göre, x2 – y2 kaçtır?
A) a2 – 9b2 = (a + 3b)(a – 3b) A) 50 B) 100 C) 200 D) 400 E) 500

B) a2 – b2 = da – b nda + b
4 2 2n

C) 2a 2– b2 = (2a – b)(2a + b)

D) a – b = _ a + b i_ a – b i

E) a2 – b = _a – b i_a + b i

2. a2 – b2 = 27 , a – b = 3 6. 5 – 45x2 ifadesinin çarpanlarından biri aşağı-
olduğuna göre, a kaçtır? dakilerden hangisidir?
A) 2 B) 3 C) 4
A) x + 1 B) x + 5 C) 3x + 1

D) 6 E) 9 D) 3x + 5 E) 3x – 5

3. 442 – 242
170

işleminin sonucu kaçtır? 7. x3 – 4xy2 ifadesinin çarpanlarından biri aşağı-
dakilerden hangisidir?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

A) x – y B) x + y C) x – 2y

D) 2x – y E) 2x + y

4. 512 – 9
742 – 262

işleminin sonucu kaçtır? 8. A = 54 – 1 aşağıdakilerden hangisine tam ola-
rak bölünebilir?
A) 27 B) 2 C) 4 D) 1
50 3 5 E) 2
A) 5 B) 10 C) 13 D) 15 E) 18

243

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 1. C 2. D 3. A 4. A 5. E 6. C 7. C 8. C

ÇARPANLARA AYIRMA (İki Kare Farkı Özdeşliği) TEST
3

9. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 13. a + 3b = 8 ve a – 9b2 = 4
x2 – y2 = 13 oldu€una göre, x kaçtır? olduğuna göre, a – 3b kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 2
8 4 3 2

10. x2 – 36 = 28 14. a = 7 + 1 olduğuna göre,
2x + 12 (a – 2)(a – 1).a çarpımının sonucu kaçtır?

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 12 B) 24 C) 48 D) 56 E) 62 A) 7 B) 9 C) 3 7

D) 7 2 E) 6 7

11. 9x – 1 +1 15. 610 . 618 çarpımı aşağıdakilerden hangisine
3x + 1 eşittir?

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangi- A) 6182 – 82 B) 6142 – 42
sidir?

C) 6142 – 22 D) 6162 – 62

A) 1 B) 3x C) 3x – 1 E) 6202 – 102
D) 3x + 1
E) 3–x

16. (24 + 1)(28 + 1) = x olduğuna göre, 216 nın x
cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12. 9x – 16 = 85 olduğuna göre, x kaçtır? A) x + 1000 B) 2x + 256
3x – 4 C) 4x – 1 D) 7x – 1

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 E) 15x + 1

244

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 9. E 10. E 11. B 12. C 13. D 14. E 15. B 16. E

ÇARPANLARA AYIRMA (Küpler Toplamı ve Küpler Farkı Özdeşliği) TEST
4

1. a3 + b3 = 3 + a 5. a3 – b3 = a – b = 4
a2 – ab + b2 oldu€una göre, a.b kaçt›r?

oldu€una göre, b kaçt›r? A) –2 B) –3 C) –4 D) –5 E) –6

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

2. a3 + b3 = 12 a3 – b3 = 4 6. a + 1 =3 olduğuna göre, a3 + 1 kaçt›r?
a2 – ab + b2 a2 + ab + b2 a a3

oldu€una göre, b kaçt›r? A) 18 B) 20 C) 27 D) 36 E) 45

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

3. 8x – 1 = 63 olduğuna göre, x kaçt›r? 7. f(x) = x3 – 3x2 + 3x oldu€una göre,
4x + 2x + 1 f_3 7 + 1i kaçt›r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

4. a ≠ 1 ve a3 = 1 oldu€una göre, a2 + a 8. a3 + b3 = 52
kaçt›r? a2b + ab2 = 4
oldu€una göre, a + b kaçt›r?

A) – 5 B) – 1 C) 1 D) 3 E) 5 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

245

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 1. B 2. B 3. D 4. B 5. D 6. A 7. C 8. B

ÇARPANLARA AYIRMA (Sadeleştirme) TEST
4
9. 3a2 – 13a – 10 ifadesinin çarpanlar›na ayr›lm›fl
şekli afla€›dakilerden hangisidir? x2 y – xy2 – x + y x2 – y2
13. :
A) (3a + 2).(a – 5) xy – 1 x2 + xy
B) (a + 2).(3a – 5)
C) (a – 2).(3a + 5) ifadesinin en sade flekli afla€›dakilerden han-
D) (6a – 1).(a + 3) gisidir?
E) (a – 5).(2a + 1)
A) x B) y C) x + y
E) 1
D) x – y

a2 – b2 x2 – xy 14. _a – bi3 + _b – ai3 + a – b : 1
ax + bx x2 – y2 a2 – b2 +
10. . a b

ifadesinin en sade flekli afla€›dakilerden han- ifadesinin en sade flekli afla€›dakilerden han-
gisidir? gisidir?

A) a – b B) a + b C) a A) a – b B) a + b C) a
x + y x – y x–y
D) b E) 1

D) b E) 1
x+y

1 15. a2 – 2a – 15 : a–5
x a2 – 9 a2 – 3a
1– x

11. x2 – 1 x3 + x2:

ifadesinin en sade flekli afla€›dakilerden han- ifadesinin en sade flekli afla€›dakilerden han-
gisidir? gisidir?

A) a – 1 B) a C) a + 1

A) x + 1 B) x – 1 C) x D) a + 2 E) 1

D) x2 – x E) 1

xy3 – yx3 16. x2 – ax –6
12. x + y x2 – 2x –3

ifadesinin sadelefltirilmifl flekli afla€›dakiler- sadelefltirilebilir bir kesir olduğuna göre, a n›n
den hangisidir? alabileceği değerler kümesi afla€›dakilerden
hangisidir?

A) x + y B) xy(x+y) C) x(x – y) A) { 1 } B) { 1, 5 } C) { 3, 5 }

D) xy(y – x) E) x D) {1, 3 } E) { 1, 2, 3 }
y

246

YGS Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası 9. A 10. A 11. E 12. D 13. A 14. E 15. B 16. B