Turunan Pertama

Definisi Turunan

• Definisi Misalkan y = f (x) terdefinisi pada interval I. Fungsi turunan

pertama dari f, ditulis f ' (x) , didefinisikan sebagai

f '(x) = lim f (x + h) − f (x) ,  x
h→0 h

bila limitnya ada.

• Notasi lain y ', dy , df (x) , Dx y, Dx f ( x) dy dikenal
dx dx , bentuk dx

sebagai notasi Leibniz.

Sifat-sifat Dasar

Rumus Dasar dan Aturan dalam Turunan

Fungsi Fungsi Derivatif (y’) 3
Eksponensial (y)
(pangkat) Contoh

Logaritma ex ex
(ln x = logex
= elog x ) ax ax ln(a) y = 2x → y’ = 2x ln
2

ln x 1/x

loga(x) 1 / (x ln(a))

Rumus Dasar dan Aturan dalam Turunan 4

Aturan Pangkat

Jika f(x)=xn maka f′(x)=nxn−1

1. f(x)= 2x10 maka f′(x)=20x9

2. g(x)= √x , g′(x)= ½ x -1/2

3. y=3/x2 , dy/dx= -6/x3

Turunan fungsi trigonometri

Trigonometri sin x cos x
(x dlm radian)
cos x −sin x
tg x sec2x
cotg x
sec x −csc2x
cosec x tg x sec x
− ctg x csc x

Aturan Fungsi Turunan

Aturan Fungsi (y) Derivatif (y’) Contoh
Perkalian dg
konstanta cf cf’ y = 5x7 → y’ = 5.7x6 = 35 x6
Pangkat
Jumlah xn nxn−1 y = x3 → y’ = 3x2
Selisih f+g f’ + g’ y = x3 + 5x7 → y’ = 3x2 + 35x6
f-g f’ − g’ y = x3 - 5x7 → y’ = 3x2 - 35x6
Perkalian y = x sin x → y’ = x cos x + 1.sin x
fg f g’ + f’ g = x cos x + sin x

Pembagian f/g (f’ g − g’ f )/g2

Aturan Fungsi Turunan

Aturan Fungsi (y) Derivatif (y’) Contoh
Kebalikan 1/f −f’/f2
1. y=1/x → y’=-1/x2
2. y = csc x = 1/sin x →
y’ = - cos x/sin2x

= -(cos x/sinx) (1/sin x)
= - ctg x csc x

Aturan Rantai f(g(x)) = f’(g(x))g’(x) y = (3x – 5)7, g(x) = 3x – 5
(Komposit) fog(x) y’ = 7(3x – 5)6 3 = 21(3x – 5)6

Pangkat dy/dx = dy/du . du/dx
fg fg(g’ ln f + f’g/f) y= x2x → y’ = x2x(2 ln x + 2)

Contoh lain

1. Tentukan turunan pertama dari f (x) = x3 + 3x2 + 4
Jawab :

f '(x) = 3x2 + 3.2x + 0 = 3x2 + 6x

2. JTaewntaubkfa:(nx()y=tu=xx2r+u+u31nvan→pye’rt=amu’av dari f (x) = (x3 + 1)(x2 + 2x + 3)
+ v’u)

f '(x) = 3x2 (x2 + 2x + 3) + (x3 +1)(2x + 2)

= 3x4 + 6x3 + 9x2 + 2x4 + 2x3 + 2x + 2

= 5x4 +8x3 + 9x2 + 2x + 2 = − x2 −6x +1 .
( x2 +1)2
3.TJeanwtfau' (bxk)a=:n1.y( xt2=u(+xr12u)u+−n1/2)xva2( xn→+3p) eyr’ t=am(ua’vda–riv’u)/v2

= x2 +1− 6x − 2x2
( x2 +1)2

Aturan Rantai (Chain Rule)

• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dy dan du ada , maka

dy = dy x du du dx
dx du dx
dy y = sin( x2 + 1)
Contoh : Tentukan dx dari

Jawab : u = x2 + 1 y = sin u

Misal sehingga bentuk diatas menjadi

dy = cosu du = 2x
du dx

dan

dy = cos(x2 +1) 2x = 2x cos(x2 +1)

dx

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan dy , du , dv Ada, maka
du dv dx
dy = dy x du x dv
dx du dv dx

Contoh : Tentukan dy dari y = Sin4 (x3 + 5) = (sin( x3 + 5))4

Jawab : dx

→Misal v = x3 + 5 dv = 3x2
dx
→u = Sin v
du = cosv = cos(x3 + 5)
dv
→y = u 4
dy = 4u3 = 4Sin3 (x3 + 5)
sehingga du

dy = dy . du . dv = 12 x2 Sin3(x3 + 5)Cos(x3 + 5)
dx du dv dx

• Contoh : Tentukan f '(x2 ) jika d ( f (x2 )) = x2 +1, x  0
jawab : dx

d ( f ( x2 )) = x2 +1  f ' ( x 2 ).2x = x 2 +1
dx
 f '(x2) = x2 +1
2x

Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari

1. f (x) = x1/ 2 + 3 x2 + 1

2. f (x) = (x + 1) (x3 + 2x + 1)
3. f (x) = x +1

x −1
4. f (x) = x

x2 −1

5. f (x) = x2 −1
x2 +1

Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari

x2 − 2x + 5 7. Tentukan f'(cos(x2 )),
1. y = x2 + 2x − 3
=d(f(cos(x2 ))
2. y = (2x − 3)10 dx
( )jika
2x − 3 10

3. y = sin3 x

( )4. y = cos4 4x2 − x

5. y =  x + 12
 x −1

6. y = sin x tan [ x2 + 1 ]

Referensi

• Derivatives (Differential Calculus)
https://www.mathsisfun.com/calculus/index.html

• Turunan, Maulida R.S. STTtelkom,
https://www.academia.edu/8687190/Turunan_PPT