การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่และปริมาตร

คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม
เรื่อง การใช้เวกเตอรใ์ นการหาพน้ื ทแี่ ละปรมิ าตร

จดั ทาโดย
นางสาวกันต์กนษิ ฐ์ กาญจนั ดี เลขที่20

นักเรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี5/3

โรงเรียนปากพนัง
สานกั งานเขตพืน้ ทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษาเขต 12
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร

คานา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งการใช้เวกเตอร์ในการหาพืน้ ท่แี ละปรมิ าตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี5
ใช้ประกอบการเรียนการสอนในรายวิชาเพ่ิมเติม3 รหสั วิชา ค32201 เพือ่ ใหผ้ ู้เรยี นเกิดการเรยี นรู้ เข้าใจบทเรียนได้ดี
ยิ่งขึ้น สามารถจดจาเน้ือหาในบทเรยี นต่างๆได้คงทน ทราบความก้าวหน้าของตนเอง สามารนาแบบฝกึ มาทบทวนเน้อื หา
เดมิ ด้วยตนเองได้ นอกจากนย้ี งั เปน็ เคร่ืองบง่ ชีใ้ ห้ครูมองเห็นจุดเดน่ หรอื จุดบกพรอ่ งของนักเรียนได้อย่างชดั เจน ช่วยใน
การฝึกทกั ษะแก้ปญั หาการเรยี นร้ขู องผ้เู รยี นเปน็ รายบุคคลและเป็นกลุ่มได้ รวมทง้ั ใช้ประเมนิ ผลความก้าวหน้าทางการ
เรยี นร้แู ละพฒั นาทกั ษะผ้เู รียน

ผ้จู ดั ทา

นางสาวกนั ต์กนษิ ฐ์ กาญจนั ดี

สารบัญ
เรอื่ ง หน้า

แบบทดสอบก่อนเรียนเรือ่ งการใช้เวกเตอรใ์ นการหาพนื้ ทแี่ ละปรมิ าตร................................................................................1-3
ใบความร้เู รอื่ งการใชเ้ วกเตอรใ์ นการหาพนื้ ทีแ่ ละปริมาตร....................................................................................................4-7
แบบฝกึ ทกั ษะเรอ่ื งการใชเ้ วกเตอร์ในการหาพื้นท่แี ละปริมาตร..........................................................................................8-10
แบบทดสอบหลงั เรียนเร่ืองการใช้เวกเตอร์ในการหาพน้ื ท่แี ละปรมิ าตร.............................................................................11-13
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะเรือ่ งการใช้เวกเตอรใ์ นการหาพน้ื ที่และปรมิ าตร...............................................................................14-15
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลงั เรยี นเรือ่ งการใช้เวกเตอรใ์ นการหาพน้ื ท่ีและปรมิ าตร............................................16-18

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

1.สามารถหาพื้นที่และปรมิ าตรได้
2.สามารถยกตวั อยา่ งทบ่ี ่งว่าเป็นการใช้เวกเตอร์ในการหาพน้ื ท่แี ละปรมิ าตรได้
3.สามารถอธิบายวธิ กี ารหาพ้ืนทแี่ ละปริมาตรได้
4.สามารถนาสมบตั ขิ องเวกเตอรไ์ ปหาพืน้ ท่ีและปรมิ าตรได้
5.รบั ผิดชอบตอ่ หน้าท่ีท่ีไดร้ บั มอบหมาย

1

แบบทดสอบก่อนเรยี นเรือ่ งการใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่และปริมาตร

คาช้ีแจง จงเลอื กวงคาตอบที่ถูกต้องในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1.จงหาพืน้ ท่ขี องรูปส่ีเหล่ยี มด้านขนานABCD เมอื่ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = 2 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = − ⃗ + ⃗ − 2 ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. √11 ตารางหนว่ ย ข. -√11 ตารางหน่วย

ค. 11√3 ตารางหนว่ ย ง. -11√3 ตารางหนว่ ย

2.จงหาพ้นื ท่ีของรปู ส่เี หล่ยี มด้านขนานABCD เมอ่ื ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + 3 ⃗ + 4 ⃑⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 3 ⃗ − 2 ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. √11 ตารางหน่วย ข. -√11 ตารางหนว่ ย

ค. 11√3 ตารางหนว่ ย ง. -11√3 ตารางหนว่ ย

3.จงหาพืน้ ท่ีของรูปสเี่ หล่ียมด้านขนานABCD เมอ่ื ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = 3 ⃗ − 2 ⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 3 ⃗ + 4 ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √196 ตารางหน่วย ข. √225 ตารางหน่วย

ค. √256 ตารางหนว่ ย ง. √289 ตารางหน่วย

2

4.จงหาพนื้ ทีข่ องรปู สีเ่ หลย่ี มด้านขนานABCD เมอื่ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = − ⃗ + 2 ⃗ − 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 − ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. -5√3 ตารางหนว่ ย ข. 5√3 ตารางหนว่ ย

ค. -3√5 ตารางหน่วย ง. 3√5 ตารางหน่วย

5.จงหาพ้นื ทข่ี องรปู สเี่ หล่ยี มด้านขนานABCD เม่ือ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ − ⃗ + 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = −2 ⃗ + 3 ⃗ − 2 ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. √138 ตารางหน่วย ข. √139 ตารางหนว่ ย

ค. √140 ตารางหน่วย ง. √141 ตารางหน่วย

6.จงหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลยี่ มด้านขนานที่มี ⃑u⃗ = −2 ⃗ + 5 ⃗ + 3 ⃑⃗ , ⃗ = − ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = 3 ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗

เปน็ ด้าน ข. 17 ลูกบาศกห์ นว่ ย
ก. 15 ลกู บาศกห์ น่วย

ค. 19 ลูกบาศก์หน่วย ง. 21 ลกู บาศก์หนว่ ย

3

7.จงหาปริมาตรของทรงสเ่ี หล่ียมด้านขนานทม่ี ีเป็นด้าน ⃑u⃗ = − ⃗ + ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = ⃗ − 3 ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. 3 ลูกบาศกห์ นว่ ย ข. 5 ลกู บาศกห์ น่วย

ค. 7 ลกู บาศกห์ น่วย ง. 9 ลูกบาศก์หน่วย

8.จงหาปริมาตรของทรงส่เี หล่ียมด้านขนานที่มี u⃑⃗ = ⃗ + 2 ⃗ , ⃗ = − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. 1 ลูกบาศกห์ น่วย ข. 3 ลกู บาศกห์ น่วย

ค. 5 ลกู บาศกห์ นว่ ย ง. 7 ลูกบาศกห์ นว่ ย

9.จงหาปริมาตรของทรงส่ีเหลี่ยมด้านขนานทม่ี ี u⃑⃗ = 2 ⃗ + ⃗ , ⃗ = ⃗ − 2 ⃑⃗ และ ⃗ = − ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. 2 ลูกบาศกห์ นว่ ย ข. 4 ลูกบาศก์หน่วย

ค. 6 ลูกบาศกห์ น่วย ง. 8 ลกู บาศก์หน่วย

10.จงหาปริมาตรของทรงส่ีเหล่ยี มด้านขนานท่ีมี u⃑⃗ = ⃗ + ⃗ , ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. 1 ลูกบาศก์หนว่ ย ข. 2 ลูกบาศกห์ นว่ ย

ค. 3 ลกู บาศกห์ น่วย ง. 4 ลูกบาศก์หน่วย

4

ใบความร้เู รอื่ งการใช้เวกเตอรใ์ นการหาพนื้ ท่แี ละปริมาตร

การใช้เวกเตอรใ์ นการหาพื้นทีข่ องรูปส่ีเหลยี่ มด้านขนาน

กาหนด เปน็ รปู สี่เหลี่ยมด้านขนาน
พืน้ ท่ีรปู ส่เี หล่ียม = | ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ ||⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ | sin

หรือ = |⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ × ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ |

5

ตัวอยา่ ง จงหาพน้ื ท่ีของรปู สเี่ หลย่ี มด้านขนาน ทม่ี ีจุดยอด
(1, −1,3), (2,3, −2), (1,1,5), , (0, −3,10)

2−1 1
วธิ ีทา ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = [ 3 + 1 ] = [ 4 ]
−2 − 3 −5

0 − 1 −1
⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = [−3 + 1] = [−2]

10 − 7 3

̅ ̅ ̅
⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ × ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = [ 1 4 −5]

−1 −2 3

= (28 − 10) ̅ − (7 − 5) ̅ + (−2 + 4) ̅

= 18 ̅ − 2 ̅ + 2 ̅

⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ × ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = √182 + (−2)2 + 22 = √324 + 4 + 4 = √322

พ้ืนท่ีของรูปสเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน เทา่ กับ √322 = 2√83 ตารางหนว่ ย

6

การใช้เวกเตอร์ในการหาปรมิ าตรของทรงส่เี หล่ยี มด้านขนาน

ปรมิ าตรของทรงสเี่ หล่ียมด้านขนานทรงตัน เท่ากบั | ̅ ||cos || ̅ × ̅| หรอื เทา่ กับ | ̅ ∙ ( ̅ × ̅)|
ตัวอย่าง จงหาปริมาตรของทรงส่เี หลีย่ มด้านขนานที่มี ̅ = 2 ̅ + 3 ̅ − 4 ̅ , ̅ = ̅ − ̅ + ̅ และ ̅ = ̅ + ̅ + 2 ̅

̅ ̅ ̅
วธิ ที า ̅ × ̅ = |1 −1 1|

112
= (−2 − 1) ̅ − (2 − 1) ̅ + (1 + 1) ̅ = −3 ̅ − ̅ + 2 ̅

̅ ∙ ( ̅ × ̅) = (2)(−3) + (3)(−1) + (−4)(2) = −6 − 3 − 8 = −17
ปริมาตรของสเี่ หลย่ี มด้านขนานทรงตัน = | ̅ ∙ ( ̅ × ̅)|

= |−17| = 17 ลกู บาศก์หนว่ ย
ข้อสงั เกต :

7

1. ̅ ∙ ( ̅ × ̅) = ̅ ∙ ( ̅ × ̅ ) = ̅ ∙ ( ̅ × ̅ )
2. เน่อื งจาก ̅ × ̅ = −( ̅ × ̅ )

ดังนน้ั ̅ ∙ ( ̅ × ̅) = − ̅ ∙ ( ̅ × ̅)

3. ถ้า ̅ , ̅ และ ̅ อยบู่ นระนาบเดยี วกนั แล้ว ̅ ∙ ( ̅ × ̅) = 0
4. เนอ่ื งจาก ̅ × ̅ = 0̅

ดงั นน้ั ̅ ∙ ( ̅ × ̅) = ̅ ∙ ( ̅ × ̅) = ̅ ∙ ( ̅ × ̅ ) = 0

8

แบบฝึกทกั ษะเรือ่ งการใช้เวกเตอรใ์ นการหาพ้นื ทแ่ี ละปรมิ าตร

คาช้ีแจง จงทาแบบฝึกทกั ษะแตล่ ะข้อต่อไปน้ี โดยข้อทีม่ ีการคิดคานวณให้คดิ ในกระดาษอน่ื แล้วนาคาตอบทีไ่ ดม้ าใส่ให้ถกู ต้อง
1.สตู รการหาพื้นท่ขี องรปู สเ่ี หลี่ยมด้านขนาน
....................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................
2.สูตรการหาปริมาตรของทรงส่ีเหลีย่ มด้านขนาน
....................................................................................................................................................................................................................................
3.หน่วยของพ้นื ท่ี
....................................................................................................................................................................................................................................
4.หนว่ ยของปรมิ าตร
....................................................................................................................................................................................................................................

9

5.จงหาพื้นที่ของรปู ส่ีเหลีย่ มด้านขนาน ABCD เมื่อ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + ⃗ + 4 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 ⃗ + 3 ⃗ − 2 ⃑⃗ เปน็ ด้าน
....................................................................................................................................................................................................................................
6.จงหาปริมาตรของทรงสเ่ี หล่ียมด้านขนานท่มี เี ป็นด้าน u⃑⃗ = ⃗ + 2 ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ − 2 ⃑⃗ เป็นด้าน
....................................................................................................................................................................................................................................
7.จงหาปริมาตรของทรงสีเ่ หล่ียมด้านขนานทมี่ เี ปน็ ด้าน u⃑⃗ = − ⃗ + ⃗ − 4 ⃑⃗ , ⃗ = ⃗ + ⃗ + 2 ⃑⃗ และ ⃗ = 3 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗
เป็นด้าน
....................................................................................................................................................................................................................................
8.จงหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มเี ป็นด้าน u⃑⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗ , ⃗ = −2 ⃗ + 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = 7 ⃗ − 4 ⃑⃗
เปน็ ด้าน
....................................................................................................................................................................................................................................

10

9.จงหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มเี ปน็ ด้าน ⃑u⃗ = − ⃗ + ⃗ + ⃑⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃗ − ⃑⃗ และ ⃗ = 5⃑ ⃗ + ⃗ + ⃑⃗
เป็นด้าน
....................................................................................................................................................................................................................................
10.จงหาพ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ABCD เม่ือ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน
....................................................................................................................................................................................................................................

11

แบบทดสอบหลงั เรยี นเร่อื งการใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นทแี่ ละปริมาตร

คาชีแ้ จง จงเลอื กวงคาตอบท่ถี ูกต้องในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

1.จงหาพ้นื ท่ีของรปู สเี่ หลี่ยมด้านขนานABCD เมอ่ื ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = 2 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = − ⃗ + ⃗ − 2 ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √11 ตารางหน่วย ข. -√11 ตารางหนว่ ย

ค. 11√3 ตารางหนว่ ย ง. -11√3 ตารางหน่วย

2จงหาพืน้ ท่ีของรูปสเ่ี หล่ียมด้านขนานABCD เม่อื ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + 3 ⃗ + 4 ⃑⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 3 ⃗ − 2 ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. √11 ตารางหน่วย ข. -√11 ตารางหน่วย

ค. 11√3 ตารางหน่วย ง. -11√3 ตารางหน่วย

3.จงหาพ้ืนทข่ี องรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานABCD เมื่อ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = 3 ⃗ − 2 ⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 3 ⃗ + 4 ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √196 ตารางหนว่ ย ข. √225 ตารางหน่วย

ค. √256 ตารางหน่วย ง. √289 ตารางหนว่ ย

12

4.จงหาพื้นท่ขี องรปู ส่เี หลี่ยมด้านขนานABCD เมื่อ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = − ⃗ + 2 ⃗ − 3 ⃑⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 − ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. -5√3 ตารางหน่วย ข. 5√3 ตารางหนว่ ย

ค. -3√5 ตารางหน่วย ง. 3√5 ตารางหน่วย

5.จงหาพ้นื ท่ีของรูปสเ่ี หลยี่ มด้านขนานABCD เม่ือ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ − ⃗ + 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = −2 ⃗ + 3 ⃗ − 2 ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √138 ตารางหนว่ ย ข. √139 ตารางหน่วย
ค. √140 ตารางหน่วย ง. √141 ตารางหน่วย

6.จงหาปริมาตรของทรงสเี่ หล่ยี มด้านขนานที่มี ⃑u⃗ = −2 ⃗ + 5 ⃗ + 3 ⃑⃗ , ⃗ = − ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = 3 ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗

เปน็ ด้าน ข. 17 ลกู บาศกห์ น่วย
ก. 15 ลูกบาศก์หนว่ ย

ค. 19 ลกู บาศกห์ น่วย ง. 21 ลูกบาศกห์ นว่ ย

7.จงหาปรมิ าตรของทรงสี่เหล่ยี มด้านขนานทีม่ ี u⃑⃗ = − ⃗ + ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = ⃗ − 3 ⃑⃗

ก. 3 ลกู บาศก์หน่วย ข. 5 ลูกบาศก์หน่วย

13

ค. 7 ลูกบาศก์หน่วย ง. 9 ลกู บาศก์หนว่ ย

8.จงหาปรมิ าตรของทรงสเ่ี หล่ยี มด้านขนานท่มี ี ⃑u⃗ = ⃗ + 2 ⃗ , ⃗ = − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. 1 ลกู บาศกห์ นว่ ย ข. 3 ลูกบาศก์หน่วย
ค. 5 ลูกบาศก์หน่วย ง. 7 ลูกบาศกห์ น่วย

9.จงหาปรมิ าตรของทรงสีเ่ หล่ยี มด้านขนานทม่ี ี ⃑u⃗ = 2 ⃗ + ⃗ , ⃗ = ⃗ − 2 ⃑⃗ และ ⃗ = − ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. 2 ลกู บาศก์หนว่ ย ข. 4 ลกู บาศก์หน่วย

ค. 6 ลูกบาศก์หนว่ ย ง. 8 ลกู บาศก์หน่วย

10.จงหาปริมาตรของทรงสเี่ หล่ยี มด้านขนานทีม่ ี ⃑u⃗ = ⃗ + ⃗ , ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. 1 ลกู บาศก์หนว่ ย ข. 2 ลกู บาศกห์ น่วย

ค. 3 ลกู บาศก์หน่วย ง. 4 ลูกบาศกห์ น่วย

14

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะเรือ่ งการใช้เวกเตอรใ์ นการหาพน้ื ที่และปริมาตร

1.สูตรการหาพืน้ ทขี่ องรูปสเ่ี หลี่ยมด้านขนาน

∴ พ้ืนท่ีรปู ส่ีเหลี่ยม = |⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ | |⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ | sin

หรือ = | ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ | × |⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ |
2.สูตรการหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลยี่ มด้านขนาน
∴ ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมด้านขนานทรงตัน เท่ากับ | ̅ ||cos || ̅ × ̅| หรือเทา่ กบั | ̅ ∙ ( ̅ × ̅)|
3.หน่วยของพน้ื ท่ี
∴ ตารางหน่วย
4.หนว่ ยของปริมาตร
∴ ลกู บาศก์หน่วย

5.จงหาพน้ื ท่ขี องรปู สเ่ี หล่ียมด้านขนานABCD เมือ่ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + ⃗ + 4 ⃑⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 ⃗ + 3 ⃗ − 2 ⃑⃗ เป็นด้าน
∴ 15 ตารางหน่วย

15

6.จงหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลยี่ มด้านขนานทม่ี เี ปน็ ด้าน u⃑⃗ = ⃗ + 2 ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ − 2 ⃑⃗ เป็นด้าน
∴ 20 ลูกบาศก์หนว่ ย
7.จงหาปริมาตรของทรงส่เี หล่ียมด้านขนานทมี่ เี ปน็ ด้าน ⃑u⃗ = − ⃗ + ⃗ − 4 ⃑⃗ , ⃗ = ⃗ + ⃗ + 2 ⃑⃗ และ ⃗ = 3 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗
เป็นด้าน
∴ 18 ลกู บาศก์หนว่ ย
8.จงหาปรมิ าตรของทรงส่เี หลี่ยมด้านขนานทม่ี เี ปน็ ด้าน u⃑⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗ , ⃗ = −2 ⃗ + 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = 7 ⃗ − 4 ⃑⃗ เป็นด้าน
∴ 23 ลูกบาศกห์ น่วย
9.จงหาปรมิ าตรของทรงส่ีเหลี่ยมด้านขนานทีม่ เี ปน็ ด้าน ⃑u⃗ = − ⃗ + ⃗ + ⃑⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃗ − ⃑⃗ และ ⃗ = 5⃑ ⃗ + ⃗ + ⃑⃗
เป็นด้าน
∴ 12 ลูกบาศกห์ น่วย
10.จงหาพ้ืนทขี่ องรูปส่ีเหล่ยี มด้านขนานABCD เม่อื ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน
∴ √35 ตารางหนว่ ย

16

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี นเร่อื งการใช้เวกเตอร์ในการหาพ้ืนทแ่ี ละปรมิ าตร

1.จงหาพน้ื ที่ของรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนานABCD เมอื่ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = 2 ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = − ⃗ + ⃗ − 2 ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. √11 ตารางหนว่ ย ข. -√11 ตารางหน่วย

ค. 11√3 ตารางหน่วย ง. -11√3 ตารางหน่วย

2.จงหาพน้ื ที่ของรปู สเ่ี หลี่ยมด้านขนานABCD เมอื่ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ + 3 ⃗ + 4 ⃑⃗ และ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 3 ⃗ − 2 ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √11 ตารางหนว่ ย ข. -√11 ตารางหน่วย

ค. 11√3 ตารางหนว่ ย ง. -11√3 ตารางหน่วย

3.จงหาพน้ื ที่ของรูปสี่เหลย่ี มด้านขนานABCD เม่ือ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = 3 ⃗ − 2 ⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 3 ⃗ + 4 ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √196 ตารางหน่วย ข. √225 ตารางหน่วย

ค. √256 ตารางหน่วย ง. √289 ตารางหน่วย

17

4.จงหาพ้นื ทข่ี องรูปสีเ่ หลีย่ มด้านขนานABCD เม่อื ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = − ⃗ + 2 ⃗ − 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = 2 − ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. -5√3 ตารางหน่วย ข. 5√3 ตารางหน่วย

ค. -3√5 ตารางหน่วย ง. 3√5 ตารางหน่วย

5.จงหาพน้ื ท่ขี องรูปสเี่ หลีย่ มด้านขนานABCD เมอ่ื ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ = ⃗ − ⃗ + 3 ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃗ = −2 ⃗ + 3 ⃗ − 2 ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. √138 ตารางหนว่ ย ข. √139 ตารางหน่วย
ค. √140 ตารางหน่วย ง. √141 ตารางหน่วย

6.จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลย่ี มด้านขนานท่มี ี ⃑u⃗ = −2 ⃗ + 5 ⃗ + 3 ⃑⃗ , ⃗ = − ⃗ − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = 3 ⃗ + 2 ⃗ − ⃑⃗

เปน็ ด้าน ข. 17 ลูกบาศกห์ นว่ ย
ก. 15 ลูกบาศก์หน่วย

ค. 19 ลกู บาศกห์ นว่ ย ง. 21 ลกู บาศก์หนว่ ย

18

7.จงหาปริมาตรของทรงสีเ่ หลยี่ มด้านขนานท่มี ี u⃑⃗ = − ⃗ + ⃗ , ⃗ = 2 ⃗ + ⃑⃗ และ ⃑⃑ ⃗ = ⃗ − 3 ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. 3 ลูกบาศก์หน่วย ข. 5 ลูกบาศกห์ น่วย

ค. 7 ลูกบาศกห์ น่วย ง. 9 ลกู บาศก์หน่วย

8.จงหาปรมิ าตรของทรงสีเ่ หลย่ี มด้านขนานท่มี ี ⃑u⃗ = ⃗ + 2 ⃗ , ⃗ = − ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. 1 ลูกบาศกห์ นว่ ย ข. 3 ลูกบาศกห์ นว่ ย
ค. 5 ลกู บาศกห์ น่วย ง. 7 ลูกบาศกห์ น่วย

9.จงหาปริมาตรของทรงส่ีเหลี่ยมด้านขนานทม่ี ี ⃑u⃗ = 2 ⃗ + ⃗ , ⃗ = ⃗ − 2 ⃑⃗ และ ⃗ = − ⃗ + ⃑⃗ เปน็ ด้าน

ก. 2 ลูกบาศก์หน่วย ข. 4 ลูกบาศกห์ น่วย
ค. 6 ลูกบาศก์หน่วย ง. 8 ลกู บาศกห์ นว่ ย

10.จงหาปรมิ าตรของทรงสเี่ หลย่ี มด้านขนานท่ีมี ⃑u⃗ = ⃗ + ⃗ , ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ และ ⃗ = ⃗ + ⃑⃗ เป็นด้าน

ก. 1 ลกู บาศก์หนว่ ย ข. 2 ลูกบาศก์หน่วย
ค. 3 ลกู บาศกห์ นว่ ย ง. 4 ลกู บาศกห์ นว่ ย

อ้างองิ

https://www.google.com/?hl=th
https://www.qanda.ai/

นางสาวกันตก์ นษิ ฐ์ กาญจนั ดี เลขท่ี20
นกั เรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี5/3

โรงเรยี นปากพนัง
สานักงานเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษามธั ยมศึกษาเขต 12
สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

- ขอบคณุ สาหรบั การรบั ชม -