Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu kalimat terbuka matematika yang didalamnya memuat dua variabel. Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud yaitu: < , > , ≤ , ≥ Keterangan: < : kurang dari > : lebih dari ≤ : kurang dari atau sama dengan ≥ : lebih dari atau sama dengan Pertidaksamaan linear dua variabel memiliki bentuk: Cara mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel: 1. Tetapkan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan 2. Cari titik potong terhadap sumbu dan sumbu 3. Gambarkan titik yang diperoleh dari langkah 2 pada koordinat cartesius Syarat garis lurus untuk menggambarkan daerah penyelesaian SPtL: a. Jika tanda ≥ atau ≤, gunakan garis tidak putus-putus b. Jika tanda > atau <, gunakan garis putus-putus 4. Tetapkan satu titik sebagai titik acuan. Titik acuan adalah sembarang titik yang tidak dilalui oleh garis. Jika titik acuan memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik acuan merupakan daerah penyelesaian. Kemudian arsirlah daerah yang memuat titik acuan sebagai himpunan penyelesaian. Contoh: Tentukan daerah penyelesaian dari ! 1. Tetapkan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan
menjadi dan menjadi 2. Cari titik potong terhadap sumbu dan sumbu 0 2 3 0 (0,3) (2,0) Ambil titik uji (0,0) dan substitusikan ke persamaan ; dan (benar) (benar) 3. Gambarkan titik yang diperoleh dari langkah 2 pada koordinat cartesius Model matematika Beberapa permasalahan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari sering kali dapat diterjemahkan ke dalam model matematika (bahasa matematika) SPtLDV. Berikut langkahlangkah menuliskan persoalan sehari-hari ke dalam model matematika SPtLDV. 1. Tuliskan ketentuan –ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel 2. Buatlah pemisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabelvariabel misal dan 3. Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui 0 5 1 0 (0,1) (5,0)
Contoh: 1. Seorang siswa dapat memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat sebagai berikut: a. Nilai matematika lebih dari 6 b. Nilai fisika minimal 7 c. Jumlah nilai matematika dan fisika tidak boleh kurang dari 13 Buat model matematika sebagai syarat seorang siswa bisa ke jurusan IPA Jawaban : Misal: Matematika = dan Fisika = Maka Model Matematika adalah dijadikan sebagai Syarat atau Kendalanya, yaitu: a. b. c. dengan , ϵ R 2. Seorang pemborong akan membangun rumah di atas tanah seluas 10.000 m2 . Rumah yang akan dibangun terdiri dari dua tipe yaitu A dan B. Luas tanah tipe A 100 m2 dan luas tanah tipe B 80 m2 . Sebuah rumah tipe A dikerjakan oleh 5 orang dan sebuah rumah tipe BS dikerjakan oleh 3 orang, sedangkan tenaga kerja yang tersedia 450 orang. Rumah itu akan dijual dengan keuntungan Rp 1.000.000 untuk satu unit A dan Rp 750.000 untuk satu unit B. Buat model matematika dan tulis labanya dalam dan ! Jawaban : Misal: Rumah Tipe A = Rumah Tipe B = Syarat/Kendala 1. (Kedua ruas dibagi dengan 20) 5x + 4y ≤ 500 2. 5x + 3y ≤ 450 3. x ≥ 0 (Karena tidak mungkin sebuah type rumah bernilai negatif) 4. y ≥ 0 (Karena tidak mungkin sebuah type rumah bernilai negatif) 5. Labanya: (dijadikan sebagai fungsi tujuan atau fungsi objektif), sehingga f(x,y) =
Nilai Optimum Fungsi Objektif Fungsi objektif atau fungsi tujuan merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan (meminimumkan atau memaksimumkan) berdasarkan pembatas/kendala yang ada. Nilai optimum fungsi objektif dapat ditentukan menggunakan metode grafik, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik. Bentuk objektif atau tujuan dinyatakan dalam atau Dari bentuk ini akan dicari nilai optimum (maksimum atau minimum). 1. Metode uji titik pojok Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan uji titik pojok : Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel melalui grafik Tentukan koordinat titik-titik pojok daerah penyelesaian tersebut Tentukan nilai fungsi objektif untuk setiap titik pojok tersebut Tentukan nilai optimum fungsi objektif. Jika memaksimumkan fungsi objektif, pilihlah nilai yang terbesar. Jika meminimumkan fungsi objektif, pilihlah nilai yang terkecil. Contoh: Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan dan Jawab: Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan dan dapat digambarkan sepertidi bawah ini.
Selanjutnya, menentukan koordinat titik potong kedua garis pada grafik. Misalkan titik potong kedua garis adalah titik B. Dengan cara eliminasi y dari kedua persamaan garis diperoleh pengerjaan berikut. 4x + 3y = 36 3x + 3y = 30 ------------------ - x = 6 Substitusikan x = 6 ke persamaan x + y = 10, sehingga , diperoleh Jadi, koordinat titik B(6, 4). Untuk menentukan nillai maksimum dari fungsi objektif, kita gunakan Uji titik pojok terhadap fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y Jadi, nilai maksimumnya adalah 36. Menyelesaikan Permasalahan sehari-hari (kontekstual) menggunakan konsep program linear. Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear (menetukan nilai optimum) yang berkaitan dengan masalah sehari-hari 1. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam sistem pertidaksamaan linear), dan fungsi objektif yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan 2. Buatlah grafik dari sistem pertidaksamaan linear pada diagram cartesius 3. Tentukan hinpunan penyelesaian (daerah penyelesaian) 4. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut untuk mencari nilai maksimum/minimum (optimum) Titik Pojok A (10,0) 3 ·10 + 4 · 0 = 30 B (6,4) 3 · 6 + 4 · 4 = 34 C (0,9) 3 · 0 + 4 · 9 = 36 (maksimum)
Contoh: Unit produksi Amarta Bakery, mempunyai modal Rp 1.200.000. Pengurus unit produksi merencanakan membuat cake nanas dan cake cokelat. Biaya untuk membuat cake nanas Rp 30.000 per loyang dan cake cokelat Rp 20.000 per loyang. Keuntungan dari penjualan cake nanas Rp 5.000 dan keuntungan dari penjualan cake cokelat Rp 4.000 per loyang. Mengingat kapasitas oven sangat terbatas, maka pengurus hanya bisa membuat sebanyakbanyaknya 50 loyang cake. Hitunglah keuntungan maksimum unit produksi Amarta Bakery! Penyelesaian: 1. Ubahlah ke dalam bentuk model matematika (dalam sistem pertidaksamaan linear) dari masalah di atas Model Matematika: (kedua ruas dibagi 10.000) Tentukan fungsi objektif dari masalah di atas: 2. Buatlah grafik dari sistem pertidaksamaan linear pada diagram cartesius Cari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y Jumlah Produksi Biaya Produksi Keuntungan Cake Nanas 30.000 5000 Cake Cokelat 20.000 4000 Persediaan 50 1.200.000 0 50 50 0 (0,50) (50,0) 0 40 60 0 (0,60) (40,0)
3. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear Ambil titik uji (0,0) dan substitusikan ke persamaan dan (benar) (benar) Grafik dan daerah penyelesaiannya 4. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut untuk mencari nilai maksimum/minimum (optimum) Subtitusikan nilai x dan y dari masing-masing titik pada fungsi objektif dan carilah nilai yang terbesar Titik Pojok Fungsi Objektif: (0,50) 5000(0) + 4000(50) = 200.000 (20,30) 5000(20) + 4000(30) = 220.000 (40,0) 5000(40) + 4000(0) = 200.000
5. Keuntungan maksimum yang diperoleh unit produksi Amarta Bakery adalah Rp 220.000 6. Banyak cake nanas dan cake cokelat yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum adalah 20 buah cake nanas dan 30 cake cokelat.