Transformasi Geometri

BAB

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi pada bidang ada 4 jenis yaitu ;
- Pergeseran (Translasi)
- Pencerminan (Refleksi)
- Perputaran (Rotasi)
- Perkalian (Dilatasi)

Transformasi isometri adalah suatu transformasi yang menghasilkaan bayangan yang kongruen
dengan bangun aslinya. Misal : translasi, refleksi, dan rotasi.
Catatan:

 Jarak dan arah suatu pergeseran dapat ditentukan dengan : ruas garis berarah, misal RS

atau sebuah pasangan bilangan, misal  a  .
b

 Pencerminan ditentukan dengan suatu garis yang dianggap sebagai sumbu
pencerminannya.

 Perputaran ditentukan dengan :
- pusat putaran.
- besar dan arah sudut putar, misalnya searah atau berlawanan arah jarum jam.

 Perkalian ditentukan dengan pusat dan factor skalanya. Misal [P,k] merupakan dilatasi
berpusat di P dan factor skala k.

A. Translasi (Pergeseran)

Suatu translasi yang memindahkan setiap titik “ a satuan ke kanan dan b satuan

ke atas ‘ dinyatakan dengan suatu pasngan bilangan bentuk kolom  a  .
b

Translasi T:  a  memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y) sehingga x = x +a
b

dan y = y + b.
Ditulis T: (x,y)  (x,y) = (x + a , y + b)

Dalam bentuk matriks kolom, ditulis :

 xy''   x  a    x    a 
y  b y b

Contoh:
Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai
hasil translasi 13 !

Jawab:
13

By Dwi Murwati Page 1

O(0,0)  O(1,3)
A(5,0)  A(6,3)
B(0,6)  B(1,9)
C(5,6)  C(6,9)
Jadi bayangannya OABC dengan O(1,3), A(6,3), B(1,9), dan C(6,9).

Cara lain :

OA B C O A B C

 0 5 0 56    1 1 1 13  13 6 1 6 
0 0 6 3 3 3 3 9 9

Jadi bayangannya OABC dengan O(1,3), A(6,3), B(1,9), dan C(6,9).

B. Refleksi (Pencerminan)

Pencerminan Terhadap sumbu X (Mx)

Y

(x,y)

OX
(x,-y)

Mx memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y) sehingga x = x dan y = -y.
Ditulis Mx : (x,y)  (x,y) = (x,-y)
Jika x dan y dinyatakan dengan x dan y, didapat :

x = x = 1.x + 0.y
y = -y = 0.x + 1.y

yang dapat disajikan dengan matriks :

 xy''  10..xx  0.y    1 0  x 
 1.y 0 1 y

Matriks Mx =  1 0  disebut matriks operator pencerminan terhadap sumbu X.
0 1

Cara lain:

Y
-B(0,1)

, X
A(1,0)

Gunakan titik A(1,0) dan B(0,1) sebagai pembentuk matriks awal, yaitu :

 x A xB    1 01
y A yB 0

By Dwi Murwati Page 2

Pencerminan terhadap sumbu X

A(1,0)  A(1,0) matriknya :  x' A x'B    1 01
y'A y'B 0

B(0,1)  B(0,-1)

Silahkan dicoba sendiri untuk :

 Pencerminan terhadap sumbu Y

 Pencerminan terhadap garis y = x

 Pencerminan terhadap garis y = -x

 Pencerminan terhadap titik asal O

 Pencerminan terhadap garis x = a

 Pencerminan terhadap garis y = b

Contoh:

Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai

hasil refleksi terhadap sumbu X !

Jawab:

Mx =  1 01
0

O A B C O A B C

Sehingga :  1 01  0 5 0 5  =  0 5 0 5 
0 0 0 6 6 0 0 6 6

Jadi bayangannya OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,-6), dan C(5,-6).

By Dwi Murwati Page 3

C. Rotasi (Perputaran)

Y
A(r, +)

A (r, )





OX
A (r, )  x = r Cos 

y = r Sin 
A(r, +)  x = r Cos (+)

y = r Sin (+)
x = r Cos (+)

= r Cos  Cos  - r Sin  Sin 
= x Cos  - y Sin 
y = r Sin (+)
= r Sin  Cos  + r Cos  Sin 
= y Cos  + x Sin 
= x Sin  + y Cos 

Secara matriks dapat ditulis :

 xy''   xCos  ySin    Cos  Sin  x 
xSin  yCos Sin Cos y

Sudut rotasi positif jika berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dan negative jika
sesuai dengan arah perputaran jarum jam.

Contoh:

Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai
hasil rotasi di O sejauh 30 berlawanan dengan arah jarum jam !

Jawab:

RO,30 =  Cos30 CSoisn3300    1 3  1 
Sin30 2 2
1
1 2 3
2

O A B C O A B C

 1 3  1   0 5 0 5  =  0 5 3 3 5 3333
2 2 0 0 6 6 0 2 33 2
1
1 2 3 5 5
2 2 2

Jadi bayangannya OABC dengan O(0,0), A( 5 3, 5 ), B(  3,3 3 ), dan
2 2

C( 5 3  3, 5  3 3)
2 2

Rotasi dengan Pusat P(a,b)

x = {(x-a) Cos  - (y-b) Sin } - a

y = {(x-a) Sin  + (y-b) Cos } – b

atau

 x'a    Cos  Sin  x  a 
y'b Sin Cos y  b

By Dwi Murwati Page 4

Contoh:

Diketahui titik A(4,5), tentukan bayangannya akibat rotasi 90 dengan titik pusat P(1.1) !

Jawab:

 xy''11   Cos90 CSoisn9900  4  11
Sin90 5 

=  0 01 34 =  34
1

  xy''   3411   43

Jadi, bayangan titik A(4,5) akibat rotasi 90 dengan titik pusat P(1.1) adalah A(-3,4).

D. Dilatasi (Perkalian)

Suatu dilatasi dengan pusat O dan factor skala k dinyatakan dengan [O,k].
Dilatasi [O,k] memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y) sehingga x = kx dan y = ky.
Ditulis [O,k] : (x,y)  (x,y) = (kx,ky)

Y A(kx,ky)

OA = k OA

A(x,y)

OX

Jika x dan y dinyatakan dengan x dan y, didapat :

x = kx = k.x + 0.y

y = ky = 0.x + k.y

yang dapat disajikan dengan matriks :

 xy''   k.x  0. y    k 0  x 
0.x  k. y 0 k y

Matriks [O,k] =  k 0  disebut matriks operator dilatasi dengan pusat O dan factor skala k.
0 k

Catatan:

 Jika k>0 maka bangun asal dan bayangan letaknya sepihak terhadap pusat dilatasi.
 Jika k<0 maka bangun asal dan bayangan letaknya berlainan pihak terhadap pusat

dilatasi.

 Jika 0<k<1 maka dilatasi merupakan pengecilan.
 Jika k<-1 atau k>1 dilatasi merupakan pembesaran.
 Jika k = -1 maka dilatasi itu sama dengan pencerminan terhadap O dan sama dengan

rotasi 180 dengan pusat O.

Contoh:
Tentukan bayangan segi empat OABC dengan O(0,0), A(5,0), B(0,6) dan C(5,6) sebagai
hasil dilatasi [O,3] !

Jawab;

[O,3] =  3 03 
0

By Dwi Murwati Page 5

O A B C O A B C

 3 03   0 5 0 5  =  0 15 0 1185
0 0 0 6 6 0 0 18

Jadi bayangannya OABC dengan O(0,0), A(15,0), B(0,18), dan C(15,18).

Dilatasi dengan Pusat P(a,b)

A(x,y) [P(a,b),k] A (k(x-a) + a, k(y-b) + b)

atau

 x'a    k 0  x  a   k  x  a 
y'b 0 k y  b y  b

 xy''   k (x  a)  a 
k (y  b)  b

Contoh:
Diketahui titik A(5,9), tentukan hasil bayangannya karena dilatasi [P,3] dengan titik pusat
P(2,1) !

Jawab:

Dilatasi [P,3]

 xy''21  3. 59  12    33..28  2    1215 
  1

Jadi, titik bayangan hasil dilatasi adalah: A(11,25).

E. Transformasi Linear

Transformasi linear adalah transformasi yang memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x,y)

sedemikian sehingga :

x'  ax  by atau xy''   a b  x 
y' cx  dy c d y

Contoh:

Diketahui dua buah titik dipetakan sebagai berikut :
(2,1)  (5,1)
(0,1)  (1,3)

Tentukan matriks transformasinya !

(2,1) ac db  (5,1)

(0,1) (1,3)

 a b  2    15   2a + b =5
c d 1

2c + d = 1

 a b  10   13  b = 1 ; d = 3
c d

Sehingga : a = 2 ; c = -1

Jadi matriks transformasinya  2 13
1

By Dwi Murwati Page 6

Tabel Matriks Transformasi

NO TRANSFORMASI PEMETAAN MATRIKS
1 Identitas (x,y)  (x,y)
2 Translasi (x,y)  (x,y) = (x + a , y + b)  1 10 
3 Mx (x,y)  (x,-y) 0
4 My (x,y)  (-x,y)
5 My=x (x,y)  (y,x)  xy''   x    a 
6 My=-x (x,y)  (-y,-x) y b
7 Mo (x,y)  (-x,-y)
8 R(O,) (x,y)  (xCos - ySin, xSin + yCos)  1 01
9 D[O,k] (x,y)  (kx,ky) 0

 1 0 
0 1

 0 10 
1

 1 01
0

 1 01
0

 CSions  Sin 
Cos

 k 0 
0 k

Catatan:
Untuk memperoleh matriks transformai tunggal dari beberapa matriks transformasi, dapat
dilakukan dengan mengalikan matriks-matriks transformasi tersebut.

Contoh:

Jika T1 =  3  dan T2 =  1  menyatakan matriks translasi, maka tentukan bayangan titik A(-
0 2

3,1) oleh T2oT1 !
Jawab:

T2oT1 = T1 + T2

=  3  +  1  =  4 
0 2 2

Sehingga :  13 +  4  = 13
2

Jadi, bayangan A(-3,1) oleh T1 + T2 adalah A(1,3)

Contoh:

Tentukan bayangan A(2,5) oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan terhadap sumbu

X!

Jawab:

Mx o My =  1 01  1 0  =  1 01
0 0 1 0

 1 01  2     2 
0 5  5

Jadi, bayangan A(2,5) oleh My dilanjutkan Mx adalah A(-2,-5).

By Dwi Murwati Page 7

LATIHAN

1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,1), B(3,5) dan C(5,2). Tentukanlah bayangan

segitiga tersebut setelah digeser oleh T  2  !
1

2. Diketahui segi empat ABCD dengan titik-titik sudut A(1,2), B(1,5), C(3,4) dan D(5,1).

Tentukan bayangan segi empat ABCD tersebut akibat pencerminan terhadap sumbu X !

3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0,1), B(3,0), dan C(5,4). Tentukanlah
bayangan segitiga tersebut akibat pencerminan terhadap titik asal !

4. Tentukanlah bayangan titik A(6,3) akibat diputar dengan aturan sebagai berikut:
a. 90 dengan pusat O(0,0).
b. 180 dengan pusat O(0,0).
c. 90 dengan pusat P(1,2).
d. -90 dengan pusat O(0,0).

5. Dengan menggunakan matriks operator, tentukan bayangan segitiga PQR dengan titik sudut
P(2,3), Q(-1,5) dan R(2,2) akibat pencerminan berikut:
a. terhadap sumbu X
b. terhadap sumbu Y
c. terhadap garis y = x
d. terhadap garis y = -x
e. terhadap titik asal

6. Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan AB = 6 cm dan AC = 5 cm. Titik Odi tengah AC.
Tentukan hasil dilatasi segitiga ABC dengan pusat O dan factor dilatasi 2 !

7. Diberikan persegi ABCD dengan sisi 10 cm. Titik O perpotongan AC dan BD. Tentukan hasil

dilatasi persegi ABCD dengan pusat O dan factor dilatasi 3 !
4

8. Segitiga ABC siku-siku di A, AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Titik O di tengah BC. Gambarkan
hasil dilatasi segitiga ABC dengan pusat O dan factor dilatai 3 !

9. Jajar genjang ABCD dengan AB = 8 cm dan AD = 6 cm. Gambarkan hasil dilatasi jajar
genjang tersebut apabila memiliki pusat A dan factor dilatasi 2 !

10. Layang-layang PQRS dengan diagonal PR QS berpotongan di O sehingga OP = OR = 2 cm,
OQ = 4 cm dan OS = 2 cm. Tentukan hasil dilatasi laying-layang PQRS dengan pusat O dan
factor dilatasi 2 !

By Dwi Murwati Page 8